南安一中2014～2015学年度上学期期中考
高二数学科试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。 命题：郑春洪
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求的. 1、命题“,11a b a b >->-若则”的否命题．．．
是（ ） A.,11a b a b >-≤-若则 B.,11a b a b >-<-若则 C.,11a b a b ≤-≤-若则 D.,11a b a b <-<-若则 2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于原点对称的点的坐标为（ ）
A ．)4,1,3(--
B ．)4,1,3(---
C ．)4,1,3(
D ．(3,1,4)-
3.若椭圆经过点P （2，3），且焦点为F 1(－2,0),F 2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于 （ ）
A.
22 B. 13 C. 12 D.3
2
4、 “p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
5、在正方体1111ABCD A BC D -中，
N M 、为的棱A AD B 与
的中点，则异面直线N M 与1BD 所成角的余弦值是（ ） A
B ．12
C D 6、设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过点
2F 的直线交双曲线
右支于不同的两点M 、N ．若△1MNF 为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
(B)
(D)
7、如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1
与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（
）
B.
C. D.
8.已知命题p ：关于x 的不等式2
20x ax a +->的解集是R ，命题q ：10a -<<，
则p 是q 的那么（ ）
A.充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
9、已知抛物线C 的方程为2
1
2
x y =
，过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是 （ ）
A. ()()+∞-∞-,11,
B. ???
? ??+∞???? ??-∞-,2222, C. ()()+∞-∞-,,2222 D. ()(
)
+∞-∞-,,22
10． 给定空间中的直线l 及平面 ，条件“直线l 与平面 内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面 垂直”的（ ）条件
A ．充要
B ．充分非必要
C ．必要非充分
D ．既非充分又非必要 11、 “22-≠≠y x 或”是“4-≠xy ”的（ ）
A ．必要而不充分条件
B ．充分而不要条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
12、过抛物线2
(0)y ax a =>的焦点F 作一条斜率不为0的直线交抛物线于A 、B 两点，若线
段AF 、BF 的长分别为m 、n ，则
mn m n
+等于（ ）
A.
12a
B.
14a
C. 2a
D.
4
a
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分
13．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=
，若a ∥b ，则=x ______
14、若0>m ，点??
?
??25,m P 在双曲线15422=-y x 上，则点P 到该双曲线左焦点的距离为 .
15. “1x >”是“2
x x >”的 条件．(填充分非必要条件、 必要非充分条件 、充要条件 、既非充分又非必要条件)
16．抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线
m x y +=对称，
且2
1
21-
=?x x ，则m 等于 三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 17.（本小题满分12分）
如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点
E 在1CC 上且EC E C 31=． （Ⅰ）证明：1
AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的余弦值．
18.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 过点)23,1(，且离心率21=e 。
（1）求椭圆方程； （2）若直线1
:2
l y x m =
+与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,8
1
(G ，求直线l 的方程。
19．（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC
的中点，
2,CA CB CD BD AB AD =====
（Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ； （Ⅱ）求点E 到平面ACD 的距离．
20．（本小题满分12分）已知一动圆M,恒过点F (1,0)，且总与直线:1l x =-相切,
A
B C
D E
A 1
B 1
C 1
D 1
C
E
（Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）探究在曲线C 上,是否存在异于原点的1122(,),(,)A x y B x y 两点,当1216y y =-时,直线AB 恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.
21.（本小题满分12分）如图，已知点H 在正方体1111ABCD A BC D -的对角线11B D 上，∠HDA=0
60．
（Ⅰ）求DH 与1CC 所成角的大小；
（Ⅱ）求DH 与平面1A BD 所成角的正弦值．
22．（本小题满分14分）已知椭圆C:2222b
y a x +=1(0a b >>)的离心率为36,短轴一个端点到
右焦点的距离为3. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2
3， 求△AOB 面积的最大值.
H
A
B
C D 1A
1
B 1C
1D
南安一中2014～2015学年度上学期期中考高二数学科参考答案（理科）
一、选择题：C D C A D B D C D C A B 二、填空题：
13．6x =- 14 . 13
2 15. 充分而不必要 16．32
m =
三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 17.（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．
（Ⅰ）证明：1
AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的余弦值． 解：以D 为坐标原点，
射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．
依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．
(021)(220)DE DB == ，，，，，，
1
1(224)(204)AC DA =--=
，，，，，． ···································································· 3分 （Ⅰ）因为10AC DB = ，10AC DE =
， 故1AC BD ⊥，1
AC DE ⊥．又DB DE D = ， 所以1AC ⊥平面DBE ． ················································································· 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则
DE ⊥ n ，1DA ⊥
n ．故20y z +=，240x z +=．
令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ····················································· 9分
1
AC
，n 等于二面角1A DE B --的平面角（或补角），
42
14
=
=
．所以二面角1A DE B --
的平面角的余弦值为42．………
12分
A
B
C
D
E
A 1
B 1
C 1
D 1
18.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 过点)23,1(，且离心率21=e 。
（1）求椭圆方程； （2）若直线1
:2
l y x m =
+与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,8
1
(G ，求直线l 的方程。
解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率.2
1=
e 2
1
=∴
a c c a 2=∴ 22223c c a
b =-=∴∴椭圆方程为134222
2
=+c
y c x ……2分 又点)23,1(在椭圆上13)23(412
2
2=+∴c
c 12=∴c ∴椭圆的方程为13
42
2=+y x ……4分 （Ⅱ）设),(),,(2211y x N y x M
由22
14312
x y y x m ?+=????=+?? 消去y 并整理得22
30x mx m ++-= ……5分 ∵直线12
y x m =+与椭圆有两个交点，∴22
4(3)0m m ?=-->，即22m -<< ……7分
又12x x m +=-，MN ∴中点P 的坐标为3(,)24
m m
- ……8分 ∵线段MN 的垂直平分线过定点)0,8
1(G
∴30
14.121228
PG m k m -=-?=-?=---，满足22m -<< ……11分
所求直线l 的方程是1
12
y x =- ……12分
19.．（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，
2,CA CB CD BD AB AD =====
（Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ； （Ⅱ）求点E 到平面ACD 的距离． 解:：⑴．证明：连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ………… 1分 ,BO DO BC CD == ，CO BD ⊥． ……… 2分
在AOC ?
中，由已知可得1,AO CO == … 3分
而2AC =， 222,AO CO AC ∴+= ………………… 4分 90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥ ………………… 5分
,BD OC O = ∴AO ⊥平面BCD ． …………………………… 6分
（Ⅱ）方法一。解：设点E 到平面ACD 的距离为h ． E ACD A CDE
V V --= ，
11
33
ACD CDE h S AO S ??∴?=?? ………………………………………………8分
在ACD ?
中，2,CA CD AD ===
12ACD S ?∴=,而1AO =
，212242CDE S ?=?=．
∴17CDE
ACD
AO S h S ???=
=
=，
∴点E 到平面ACD
…12分
（Ⅱ）方法二。解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),B D -
1(0,0,1),(,,0),(1,0,1),(1,22
C A E BA C
D =-=-
设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =
则
(,,)(1,0,1)0
(,,)1)0
n AD x y z n AC x y z ??=?--=???=?-=??
，
∴0
x z z +=??-=，
令1,y =
得(n =
是平面ACD 的一个法向量．……10分
又1(,22EC =- ∴点E 到平面ACD 的距离
7EC n h n
?===
．…12分 20．（本小题满分12分）已知一动圆M,恒过点F (1,0)，且总与直线:1l x =-相切, （Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）探究在曲线C 上,是否存在异于原点的1122(,),(,)A x y B x y 两点,当1216y y =-时,直线AB 恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.
解: (1) 因为动圆M,过点F (1,0)且与直线:1l x =-相切,所以圆心M 到F 的距离等于到直线l 的距离.所以,点M 的轨迹是以F 为焦点, l 为准线的抛物线,且12
p
=,2p =, 所以所求的轨迹方程为24y x =---------4分
(2) 假设存在1122(,),(,)A x y B x y 在24y x =上，则2114y x =，2224y x = ……6分
所以,直线AB 的方程:21
1121
()y y y y x x x x --=--,即 221112
221()444
y y y y y x y y --=-- 即AB 的方程为:211124
()4
y y y x y y -=-+,即 22121121()4y y y y y y x y +--=-
即:12()(164)0y y y x ++-=，令0y =,得4x =， ……11分 所以直线AB 过定点(4,0) ……12分 （ 本题设直线:l x ty m =+代入，利用韦达定理亦可）。
21（本小题满分12分）如图，已知点H 在正方体ABCD A B C D ''''-的对角线'B D '上，∠HDA=0
60．
（Ⅰ）求DH 与CC '所成角的大小；
（Ⅱ）求DH 与平面A BD '所成角的正弦值．
解：以D 为原点，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -． 不妨设1AB =，另设(1)(10)H m m m >>，，
则(100)DA = ，，，(001)CC '=
，
，．连结BD ，B D ''．
设(1)(0)DH m m m =>
，，，由已知60DH DA <>= ，
， 由cos DA DH DA DH DA
DH =<>
，
可得2m
m =
， ……3分
所以122DH ??= ? ???
，．
（Ⅰ）因为0011cos 2DH CC ++?'<>== ， 所以45DH CC '<>=
，．即DH 与CC '所成的角为45 ． ……6分
（Ⅱ）设平面A BD '的法向量为(,,),n x y z =
则
(,,)(1,0,1)0(,,)(1,1,0)0
n DA x y z n DB x y z ?'?=?=???=?=??
， ∴00
x z x y +=??+=?，令1,x =得(1,1,1)n =-- 是平面A BD '的一个法向量．……9分
1(1)1(1)cos DH n +-+?-<>== ，，设DH 与平面A BD '所成的角为θ
所以sin cos 6
DH n θ=<>= ，． …………12分
22．（本小题满分14分）已知椭圆C:2222b
y a x +=1(0a b >>)的离心率为36
,短轴一个端点到
右焦点的距离为3. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2
3
，求△AOB 面积的最大值.
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题
意c a a ?=
???=?
∴1b =，∴ 所求椭圆方程为
2
213
x y +=．…3分
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．
（1）当AB x ⊥
轴时，AB =4分
（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+．………5分
=
，得2
23(1)4m k =+．………6分
把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，
122631km
x x k -∴+=+，2122
3(1)31
m x x k -=+．………8分 2
2
2
21(1)()AB k x x ∴=+-2222
222
3612(1)(1)(31)
31k m m k k k ??
-=+-??++?? 222222222
12(1)(31)3(1)(91)(31)(31)
k k m k k k k ++-++==++ 242
22121212
33(0)34196123696k k k k k k
=+=+≠≤+=++?+++．………12分 当且仅当2
219k k =
，
即k =时等号成立．当0k =时
，AB =，综上所述max 2AB =．…13分
当k =时，AB 取得最大值，AOB △
面积也取得最大值max 12S AB =?=
．…14分