当前位置：文档之家› 随机微分方程在数理金融中的应用

随机微分方程在数理金融中的应用

摘要

复杂数据主要表现在相依、非线性、维数高与不完全观测等，在股市、基因序列和经济等领域中经常出现。为解决巨型数据集合问题，数据挖掘的理论、方法和技术已应运而生。而针对诸如怎样同时检验成千上万个基因中哪些基因的表达水平有显著性差异之类的高维统计推断问题，以错误发现率为主要特征的非参数估计方法无疑为其提供了一个有效的解决途径。

本文主要研究考察错误发现率的在各种参数模型和非参数模型下的控制检验方法，全文共分为四章。文章首先介绍了所选取课题的背景和意义，以及国内外在该方向的研究现状。在多重假设检验的背景下，给出了错误发现率的定义，提出利用p值进行假设检验，并在假设检验独立和相依的情形下对错误发现率的控制方法进行了探讨。在研究错误发现率的控制方法时，发现在处理多重假设检验问题时，核心的问题是如何估计真实零假设的个数，因此本文采用经验贝叶斯估计来估计它的值。在参数混合模型和非参数混合模型中研究真实零假设的估计问题是本文的核心内容。针对正态混合分布模型和Beta混合分布模型两种参数混合模型，文章采用矩估计方法和基于p值的最小二乘估计方法进行研究；在研究非参数混合模型时，分别介绍了最小二乘估计方法、Beta分布拟合模型和Beinstein 多项式拟合模型的方法。文章的最后以Hedenfalk报告的一组乳腺癌患者的基因数据为例进行仿真研究，发现错误发现率为微阵列数据的多重假设检验提供了合适的错误控制指标。

关键词：错误发现率；多重假设检验；p值；非参数估计；微阵列数据

- I -

Abstract

Complex data always appear in the stock market, gene sequences, economic and other fields, which mainly show the characteristic of dependent, nonlinear, high dimension and incomplete observations. In order to solve the problem of huge data collection, the theories, methods and techniques of data mining are proposed. While how to examine the high-dimensional statistical inference problem, such as the significant differences of expression levels in thousands of genes, the non-parametric estimation of false discovery rate provide an effective solution.

This paper mainly investigate the test method based on the false discovery rate of various parametric model and non-parametric model, which is divided into four chapters. Firstly, this paper introduce the background and significance of the topic, and the current studies in this direction at home and abroad. Under the background of multiple hypotheses testing, the paper describe the definition of the false discovery rate, propose using the p-value to test the hypothesis testing, and discuss the controlling method of the false discovery rate when the hypotheses testing is independent or dependent. When we investigate the controlling method of the false discovery rate and studied the multiple hypothesis testing problem, we find that the central problem is how to estimate the number of true null hypothesis, so this paper use the empirical Bayes estimation to estimate its value. Investigating the estimation of true null hypothesis in the mixing parametric model and non-parametric model is core of the dissertation. Aiming at the mixed normal distribution model and Beta mixture distribution model, This paper use the method of moment estimation and least squares estimation method based on the p-value to estimate its value; On studying the

non-parametric mixture model, the paper introduce the least square estimation method, Beta distribution fitting model method and the Beinstein polynomial fitting model method. Finally, the paper conduct the simulation research based on a group of patients with breast cancer gene data by Hedenfalk, and find that the false discovery rate is able to provide a suitable error control targets for the multiple hypothesis testing of microarray data.

Keywords: false discovery rate, multiple hypotheses testing, p-value, non-parametric estimation, microarray data

- II -

- III -

摘要 ..................................................................................................................... I Abstract ................................................................................................................... I I 第1章绪论 . (1)

1.1 课题研究的背景及意义 .......................................................................... 1 1.2 国内外在该方向的研究现状 (1)

1.2.1 国外对错误发现率的研究现状 ................................................... 1 1.2.2 国内研究现状 ............................................................................... 3 1.3 本文拟研究的主要内容 .......................................................................... 3 1.4 创新点 ...................................................................................................... 3 第2章错误发现率的多重检验方法 . (5)

2.1 多重假设检验的错误测度 ...................................................................... 5 2.2 P 值的定义、性质和计算方法 .............................................................. 6 2.3 独立情形下基于FDR 控制的检验方法 ................................................ 7 2.4 相依情形下基于FDR 控制的检验方法 ................................................ 8 2.5 真实零假设的个数0m 或比值0π的估计 (9)

2.5.1 -λ估计 ......................................................................................... 9 2.5.2 经验贝叶斯估计 ......................................................................... 11 2.6 本章小结 ................................................................................................ 12 第3章参数混合模型和非参数混合模型的估计 (13)

3.1 引言 ........................................................................................................ 13 3.2 正态分布混合模型 ................................................................................ 13 3.3 Beta 分布混合模型 ................................................................................ 17 3.4 非参数混合模型的估计 (21)

3.4.1 最小二乘估计 ............................................................................. 22 3.4.2 Beta 分布拟合模型 ..................................................................... 23 3.4.3 Beinstein 多项式拟合模型 ......................................................... 25 3.5 本章小结 ................................................................................................ 26 第4章错误发现率的估计方法的应用 .. (27)

4.1 引言 (27)

4.2 微阵列数据实例研究 (27)

4.3 本章小结 (28)

结论 (30)

参考文献 (31)

哈尔滨工业大学学位论文原创性声明和使用权限 .......... 错误！未定义书签。致谢 .................................................................................. 错误！未定义书签。

- IV -

第1章绪论

1.1 课题研究的背景及意义

复杂数据主要表现在相依、维数高、非线性与不完全观测等，经常出现在股市、基因序列和经济等领域中。在研究处理低维的简单数据时，采用传统的数理统计方法是有效的，但在研究比较复杂的数据时，就会变得比较困难。因此，“复杂数据的统计推断问题”已被列为我国统计学研究的重点课题。

随着科学技术的不断发展，在实际的统计研究过程中，出现了越来越多的大型数据集合问题。在研究巨型数据的高维统计推断问题时，以错误发现率为主要特征的非参数估计方法为其提供了一个有效地解决途径。

在巨型数据问题的统计分析中，错误发现率( false discovery rate, FDR)有着非常重要的作用，现已被越来越多地应用在微阵列(Microarray)数据研究和功能磁共振成像(Functional magnetic resonance imaging, fMRI)等领域。以微阵列数据研究和功能磁共振成像(fMRI)为代表的现代生物技术已经给医学界的研究带来了很大的影响。由于错误发现率可以为大规模数据多重检验中的错误控制提供一个合适的测量标准，因此在微阵列数据的研究中，研究者通常采用错误发现率(FDR)来控制多重假设检验的错误率。例如在研究基因表达的差异性试验中，假设我们挑选了R个差异表达的基因，其中有S个是真正有差异表达的，另外有V 个其实是没有差异表达的，也就是说是假阳性的。在试验中我们希望错误比例

α），在统计学意义上，这就等价

V/不能超过某个预先设定的值（比如05

于控制FDR不能超过%

1.2 国内外在该方向的研究现状

1.2.1 国外对错误发现率的研究现状

多重假设检验的统计显著性问题已经引起了许多统计学者的注意。1995年，Benjamini和Hochberg在研究多重假设检验时首次提出了错误发现率的概念，并在多重检验中对它的控制方法做了研究，给出了计算方法[1]。然而，由于当时没有学者研究大规模数据，因此并未受到重视，甚至还受到广大学者的质疑。若干年后，随着微阵列数据研究的不断发展，大规模数据的频繁出现使得FDR有了实际的应用，错误发现率的理论和应用研究也在逐渐走向成熟。

FDR(false discovery rate)的定义如下：

???=≠??? ??=??? ??+=0,00,R R R V E S V V E FDR 上式中的V 和S 分别表示m 个假设检验中错误拒绝和正确拒绝检验的个数，

R 表示m 个假设检验中总的拒绝原假设的个数，()?E 表示数学期望。

Storey 和Tibshirani(2003)提出了阳性错误发现率( positive false discovery rate ，pFDR)的定义，并在DNA 微阵列数据试验应用过程中，分别给出了统计数据独立和相关条件下的程序计算过程[2]。

pFDR 的定义为：

????>=0|R R V E pFDR

其中V 和R 的含义与上文相同。比较FDR 和pFDR 两者的定义可知，pFDR 是FDR 的一种特例。

设假设检验H 的检验统计量为T ，分别假设0=H 和1=H ，令()0

0Pr π==H 和()()1,0,|Pr ===≤j t F j H t T j 分别表示检验统计量T 的零分布和相间分布。同时进行m 次试验。也就是说，考察m 个假设检验：m H H ，?,1及其检验统计量

m t t ,,1?. 对每个i ，分别假设0=i H 和1=i H . 假定对每个i ，都有()0

0Pr π==i H 和()()1,0,|Pr ===≤j t F j H t T j . m t t ,,1?被当做T 的一个样本，且具有混合分布 ()()()t F t F t F 1000)1(ππ-+= (1-1)

设全体试验的拒绝域的集合为Γ。未被发现的错误率( false non-discovery rate ，FNR)首次被Genovese 和Wasserman(2002)[3]提出。从参考文献[4]和[5]中，我们可以得到正错误发现率(pFDR)和未被发现的错误率(FNR)的贝叶斯解释：

()()

()Γ∈Γ∈=

Γ∈==T T T H P pFDR F F Pr Pr |00

0π ()()

()

Γ?Γ?-

=Γ?==T T T H P pFNR F F Pr Pr 1|100π

上式中的分母()Γ∈T F 0Pr 和()Γ?T F Pr 可以由经验分布估计得出结果，有时也会从已知的或者由采样的方法得到的零分布中得到结果。如果0π可以由检验统计量m t t ,,1?估计，那么pFDR 和pFNR 就是可以估计的。Allison 等人(2002)采用有限Beta 混合模型，利用这些数量模拟了微阵列数据分析中的P 值[6]。

关于多重假设检验问题的研究，也受到了国际著名统计学家的高度重视，且已编入了国际统计学的教材中。Erich Lehmann 编著的《Theory of Point Estimation 》

和《Testing Statistical Hypotheses 》是世界各国培养统计学研究生的标准教材，被世界各国的大学广泛采用。2005年，Lehmann 还撰文提出了k-族错误率(k-FWER)的概念。另外，斯坦福大学统计系教授Bradley Efron 也对此问题作出了深入的研究，并在许多重要报告中介绍了FDR 的应用成果[7-9]。

1.2.2 国内研究现状

在国内统计学研究中，目前对多重假设检验中错误发现率问题的研究才刚刚起步。黄丽萍等(2003)以脑功能磁共振成像(fMRI)为实验，对多重假设检验的FDR 控制方法进行了研究，他们利用计算机编程技术对FDR 控制方法进行了详细的研究，并在功能磁共振成像(fMRI)数据分析中加以应用[10]。缪柏其(2005)和朱钰(2005)介绍了FDR 控制检验方法取得的显著成果[11]。东北师范大学郭建华教授指导的裴艳波(2005)的硕士论文对多重假设检验问题中关于三种错误测度--FWER,FDR 和pFDR 及其控制方法进行了较全面的介绍[12]。此外，苟鹏程(2006)对微阵列数据的多重比较进行了探讨[13]。

1.3 本文拟研究的主要内容

本文主要研究错误发现率的非参数估计方法，并以微阵列数据为实例进行仿真研究。在第二章中，我们从多重假设检验的错误测度的角度出发，引入错误发现率的概率意义，研究了p 值的定义和性质，并着重介绍真实零假设的个数0m 或比值0π的估计方法；在第三章，我们详细介绍比值0π在参数混合模型与非参数混合模型下的估计方法；第四章以微阵列数据为例，进行仿真研究，并得出相关结论。

1.4 创新点

本文的创新点在于：

首先，本文在多重假设检验的背景下，介绍了错误发现率的定义，并提出利用p 值进行假设检验；

其次，在对正态混合分布模型和Beta 混合分布模型两种参数混合模型进行研究时，文章采用矩估计方法和基于p 值的最小二乘估计方法进行研究；在研究非参数混合模型时，分别采用最小二乘估计方法、Beta 分布拟合模型和Beinstein 多项式拟合模型的方法进行研究；

最后，在以Hedenfalk 的乳腺癌微阵列数据作为实例对微阵列数据进行仿真研究时，本文采用置换检验的方法对错误发现率的控制方法进行研究，得到合理

的实验结果。

第2章错误发现率的多重检验方法

2.1多重假设检验的错误测度

在研究多重假设检验问题时，最核心的内容就是如何控制总体检验所犯的错误。由于涉及多重检验，因此情况将变得非常复杂。例如，同时对m 个假设进行检验，分别记为m i H i ，?=,1,. 如果原假设0i H 为真，则令0=i H ，否则令1=i H . 记{}0:0,i i H M =={}1:1i i H M ==. )(#),(#1100.M m M m ==, 即01,m m 分别为0M 和1M 中含有的元素的个数。显然有10m m m +=. 对于这m 个检验结果的分类见表2-1.

其中，R 表示拒绝总数，即m 个检验中显著性假设的个数，是一个可观测的随机变量；V 表示m 个检验中犯第Ⅰ类错误的个数；T 表示犯第Ⅱ类错误（假阴性）的总数，T 和V 均为不可观测的随机变量。

在实际的检验过程中我们发现，表2-1中的一些量，例如0,,,,m V S U T 是不可观测的。在多重假设检验中，为了衡量检验总体的第Ⅰ类错误，我们必须首先要寻找一种比较合理的错误测度，然后进一步研究该错误测度的控制检验方法，以达到尽可能多地发现显著性假设的目的。这里我们主要介绍错误发现率(FDR) 的定义及其衍生出来的各种相关测度。

定义2.1：FDR }{0,V E I R R ??

≡> ???

称为错误发现率(False discovery rate)。

1995年，Cahgeton 和Peshereg 提出了错误发现率的概念。下面是由错误发现率衍生出来的各种相关概念。

定义2.2：cFDR(r),V E R r R ??

≡= ???

称为条件错误发现率(conditional FDR).

定义2.3：eFDR(r),EV

≡称之为经验FDR(empirical FDR). 定义2.4：mFDR ,EV

≡

称之为边缘FDR(marginal FDR). 定义2.5：pFDR 0,V E R R ??

≡> ???

称之为阳性FDR(positive FDR).

定义2.6：FNR }{0,T E I W W ??

≡> ???

称之为假非发现错误率(False non-discovery

rate).

定义2.7：pFNR 0,T E W W ??

≡> ???

称之为阳性FNR(positive FNR).

这些衍生的错误测度与FDR 之间的关系可有下列式子表示出：

()Pr 0,FDR pFDR R =?>

()()()11

Pr Pr m

m r r V FDR E R r R r cFDR r R r R ==??

==?==?= ???∑∑

()()()11

Pr 0Pr 0m

r r V pFDR E R r R r R cFDR r R r R R ==??

==?=>=?=> ???∑∑

且当0m m =时，有1cFDR mFDR pFDR ===和

()()Pr 0Pr 0 1.FDR R V FWER =>=>=≤

2.2

P 值的定义、性质和计算方法

为了能够直观的得到接受或拒绝原假设的置信程度，我们通常采用P 值来研究。在多重假设检验的研究中，采用P 值进行假设检验已经成为国际上比较流行的方法。因此，在研究模型的估计方法之前，有必要先研究下P 值的定义和性质。

定义2.8：设检验统计量为X ，样本观测值为x ，对于一族拒绝域}{,Γ统计量X x =的P 值可以定义为：

()}

{()}

{

0:min Pr .x p x X H Γ∈Γ≡∈Γ

在实际的假设检验中，由定义2.8所得到的P 值，如果0.05p <, 说明检验结果是显著的；如果0.01p <, 则说明检验结果非常显著。下面给出P 值的计算方法和作用，并不加证明的给出P 值的性质。（1）P 值的计算方法

当0H 为真时，统计量X 的值x 可由样本数据计算出，根据检验统计量X 的实际分布，可以求出P 值()x p . 具体地讲，就是：

1.左侧检验的P 值是统计量X 小于样本统计值x 的概率，即：

()}{0Pr p x X x H =<；

2.右侧检验的P 值是统计量X 大于样本统计值x 的概率，即：

()}{

0Pr p x X x H =>；

3.当统计量的分布具有对称的性质时（例如正态分布，t 分布等），双侧检验的P 值是统计量X 落在样本统计值x 为端点的尾部区域内的概率的2倍，也就是说：当x 位于分布曲线的右侧时，有

()}{}{

00Pr 2Pr ,p x X x H X x H =>=>

当x 位于分布曲线的左侧时，有

()}{}{

00Pr 2Pr .p x X x H X x H =>=<

（2）P 值的性质

1.如果原假设为真，那么由定义

2.8计算出的P 值满足()0,1区间上的平均分布，即()0,1P U ；

2.如果原假设非真，则P 值的分布不易确定，但由P 值的统计意义可知，其分布具有递减的趋势。（3）P 值的作用

在假设检验中，我们先利用样本数据计算出P 值，然后将P 值()x p 与提前给出的检验水平α比较，得出检验的结论：

1.如果(),p x α≤则在显著水平α下接受原假设；

2.如果(),p x α>则在显著水平α下拒绝原假设。

在实际实验过程中，若()p x α=，则可以适当提高样本的大小，再次进行检验。

2.3 独立情形下基于FDR 控制的检验方法

在多重假设检验中，利用P 值来研究错误发现率的控制方法有很多。在这一节，我们先研究独立情形下基于FDR 控制的检验方法。

Benjamini 和Hochberg 在提出错误发现率的概念的同时，给出了FDR 最初的检验方法，记为BH 法。

BH 法：

设m 个假设检验1,m H H …，对应的P 值分别为1,,m p p …，将他们从小到大排序，得到()()1,,m p p …，其中()i p 对应于.i H 对于给定的检验水平q ，令

()max :,i i k i p q m ??

=≤????

则拒绝1,k H H …，对应的原假设。

实际上，当时提出的BH 法只是用来控制总体的错误测度(FWER)。由下面的定理我们可以发现，如果检验水平q 已知，那么该方法就可以有效地控制FDR 。

定理2.1 ：【Benjamini and Hochberg (1995)】[14]如果多重假设检验的统计量所对应的P 值相互独立，且具有连续的分布，q 为给定的检验水平，那么BH 法

控制q q m

m FDR ≤≤

. 受BH 法的启示，Benjamini 和Liu(1999)提出了一个step-up 的错误发现率的检验方法，记为BL1法[15]。

BL1法：

取1

111min 1,,1,1m i i m q i m m i δ-+??????=--≤≤ ???-+????

经过计算可以知道，i δ是单调上升的，即10 1.m δδ<≤≤≤…令()}

{

min :,i i k i p δ=> 则拒绝()()11,k H H -…,所对应的零假设。

注：在上面的BL1方法中，如果不存在这样的k , 那么拒绝所有的原假设。定理2.2 ：【Benjamini and Liu(1999a)】如果多重假设检验的统计量所对应的P 值相互独立，且具有连续的分布，，则BL1法控制,FDR q ≤ 其中q 为提前给定的检验水平。

由定理2.2可知，在相互独立的条件下，BH 法把FDR 的水平控制在0/.m q m 若0m 已知，则可令'0/q q m m =?取代BH 法中的检验水平q ，从而可以更精确地控制FDR 在q 水平内。

2.4相依情形下基于FDR 控制的检验方法

在上一节，我们讨论了独立情形下FDR 控制的检验方法，但是在实际的试验过程中，统计量一般会具有着这样或那样的依存关系，从而使得上面研究的控制方法是无效的。因此本节将介绍在统计量对应的P 值相依的条件下FDR 的控制方法。

针对多重检验中检验统计量自由分布的情形，我们有下述检验方法，由于该方法是由Benjamini and Liu 提出来的，因此叫做BL2法[16]。

BL2法：

令(){

min 1,/1i d m q m i =?-+, 有101m d <≤≤≤…d , 令(){}

min :i i k i p d =>,那么拒绝()()11,k H H -…, 对应的原假设；若不存在上述条件的k , 则拒绝所有原假设。

定理2.3 ：【Benjamini and Liu(1999b)】上述针对分布自由的检验统计量的BL2法，有q FDR ≤.

针对多重检验中检验统计量自由分布的情形，还有下述的FDR 控制方法，

该方法由Benjamini and Yekutieli 提出，因此记为BY 法。

BY 法：

令()1min :1i m j i k i p q m j =????

=≤?????? ?

????∑ ，则拒绝()()11,k H H -…, 所对应的原假设。

注：在上述检验方法中，如果不存在这样的k ，则不拒绝任何原假设。定理 2.4：【Benjamini and Yekutieli(2001)】上述对于多重检验自由分布的step-down 的FDR 控制方法控制FDR 在0/m q m 水平[17]。

2.5 真实零假设的个数0m 或比值0π的估计

通过上文在独立情形和相依情形下基于FDR 控制的检验方法的研究，我们可以知道，在多重假设检验中，如果真实零假设的个数0m 或者比值m m /00=π已知，那么就可以根据检验统计量之间相依或者独立的关系，采用上文介绍的检验方法来控制FDR. 然而在实际研究中，0m 或者0π往往是未知的，因此，最重要的问题就是如何估计0m 的值，或者等价的估计0π的值。本节就来研究这个问题，我们分两种方法进行具体研究。

2.5.1 -λ估计

基于P 值在不同假设条件下的分布差异性，Storey(2002)提出了一种0π的估计方法，记为-λ估计方法[18]。若假设m H H ,,1?同分布，设m p p ,,1?为m 个假设m H H ,,1?所对应的P 值。对()1,0∈?λ，我们记()}{λλ>=i p W #，那么0π可由下式估计出：

()()

.10λλπ-=

∧

m W (2-1)

由上式可以看出，λ的取值不同，由(2-1)式所得到的0π的估计值就不同，且所得到的估计值都比真实值偏大，这是因为()1,0∈?λ，有

()[]()∑=>=m

i i p W E 1Pr λλ

()()[]∑==>+=>=m

i i i i i H p H p 1

1,Pr 0,Pr λλ

()()()[]∑==>-+=>=m

i i i i i H p H p 1

001Pr 10Pr λπλπ

()()()1Pr 1100=>-+-=H p m m λπλπ，从而有

()()1Pr 110

00=>--+

=∧

H p E λλππλπ ()0

0011π

ππλ≥--+

=?dp p g ，

上式中的()p g 1表示备择假设下P 值的密度函数。由P 值的性质可知，密度函数()p g 1是渐进递减的，而且显然有()01≥p g . 因此由上式可以看出，当λ减小

时，0π的误差

()dp p g ?--1

011λλ

π就会变小，反之则变大。而且由()()

λλπ

-=∧1/0

m W 可以看出，当λ增大时，∧

0π的方差就会增大，这就造成了估计值∧

0π的不稳定性。

那么如何才能寻找一个合适的λ，使得估计值∧

0π达到最优呢？2002年，统计学家Storey 提出了一个选取λ的计算方法：考虑使均方误差

()()200??????-=∧πλπλE M S E (2-2)

最小化的λ取值。由于上式中的0π未知，我们可以用()λππλ

∧

∧=00min p

取代(2-2)

式的0π，这是因为对()1,0∈?λ，估计值()λπ∧

0都偏大，于是有

()()2

10*01∑=∧∧∧??

??????

??-=K

k p k K MSE πλπλ

其中()λπk

∧表示第k 次对P 值样本进行抽样后，采用(2-1)式重新计算得到的估计

值。从而最优λ为

(),min arg ?

?????=∧

∧

λλλMSE 从而可以得到最优-λ估计

.00

??=∧∧

∧λππb

由于()1,0∈λ，因此我们可以考虑采用格点法，即在()1,0区间上等距离地抽取有限个λ值，然后利用(2-1)式计算最小化均方误差[19]。

2.5.2 经验贝叶斯估计

在对微阵列数据进行研究时，Efron, B. and Tibshirani, R. (2002)[20]提出可采用经验贝叶斯方法来估计FDR. 令()0Pr 0=≡H π表示不同条件下基因表达无差别的概率，则()0111Pr ππ-==≡H 表示基因表达存在差别的概率。

我们采用10,f f 来表示零假设和备择假设检验下检验统计量X 的密度函数，对应的分布函数分别为10,F F . 则检验统计量X 的密度函数可以表示为

()()().1100x f x f x f ππ+=

计算后验概率，有

()()()

()

,1Pr 111x f x f x X H x p π=

==≡

()()()

()

.0Pr 000x f x f x X H x p π=

==≡

如果()x f 是已知的，或者已经被估计出来，记为()x f ∧

，则由

()()

()

R x x f x f x p ∈?≥-

=∧

∧

,01001π

得到不等式

()()

.min

00x f x f x

∧

≤π 从而得到0π的一个估计式

()()

.min

00x f x f x

∧

=π 上式也可以改写为

()()

,min

x F x F m x

∧

∧=π

其中()x F m ∧和()x F ∧

0为对应的经验分布函数。

2.6 本章小结

在第一节中，我们介绍了多重假设检验中错误测度的定义，给出了错误发现率的概念；第二节介绍了P 值的定义和性质；第三节和第四节分别介绍了检验统计量在独立情形和相依情形下FDR 控制的检验方法，第五节介绍了两种真实零假设0m 或比值0π的估计方法，为后面参数混合模型的估计方法奠定了基础。

第3章参数混合模型和非参数混合模型的估计

3.1 引言

在实际多重假设检验的研究中，我们往往使用随机的检验。当0=i H 时，统计量X 的密度函数记为()?0f , 当1=i H 时，统计量X 的密度函数与某个未知的参数δ有关，记为()δ?1f . 这里的m i ,,1?=. 如果δ固定，统计量X 的密度函数就可以表示为

()()()(),11000δππx f x f x f -+= (3-1) 与之相对应的P 值密度函数就可以表示为

()()()()().1,0,11000∈-+=p p g p g p g θππ (3-2) 其中上式中的()?0g 和()θ?1g 分别表示P 值在零假设和备择假设下的密度函数。显然模型(3-1)和(3-2)是关于δ的参数混合模型。

在模型(3-1)中，参数0π与δ均是可辨别的，其中δ表示冗余参数。同理，在模型(3-2)里面，参数0π和θ也是可辨别的。下面分别研究在正态混合分布模型和Beta 混合分布模型下0π的估计方法。

3.2 正态分布混合模型

为了方便研究，本节我们对模型(3-1)中的密度函数加以条件限制。假设统计量X 在零假设下服从标准正态分布，即()1,0~N X , 那么()?0f 为标准正态分布密度函数，我们把它记为()?φ; 在备择假设下，统计量()1,~δN X , 也就是说，()δ?1f 是期望为δ，方差为1的正态分布密度函数，记为()δφ-?。从而随机变量X 的其密度函数可以表示为

()()()().100δφπφπ--+=x x x f (3-3) 在这个模型中，参数()δπ,0是可辨别的，其中0π是我们要研究的参数，δ为冗余

参数。对于任何一个样本m x x x ，?,,21，如果样本容量足够，就可以由样本的前两阶矩得到方程组

()()()

???????+-+=-=∑∑==1112001201δππδπm

x m x m i i

m i i

解这个方程组，得 ()

(

)

.1,122

10112

∑∑∑

∑==∧

==∧

=-=

m i i

m i i m

i i

x m x x

m x

πδ (3-4)

即为参数()δπ,0的矩估计。

我们利用基于P 值的最小二乘估计来研究参数()δπ,0的估计方法，这里我们只考虑右侧检验。令()?Φ表示标准正态分布的分布函数，则有()x p Φ-=1，即

()X P Φ-=1。于是有

()()()ααμμαΦ==<==>0Pr 0Pr H X H P , ()()()δμμααα-Φ==<==>1Pr 1Pr H X H P ,

其中αμ表示正态分布的上侧α分位点，α为检验水平，有()αμα-=Φ1。记

()}{αα≤=i P R #，则有

()}{αα≤=P m ER Pr

()()()}{1Pr 10Pr 00=≤-+=≤=H P H P m απαπ ()[]()()[]}{1Pr 110Pr 100=>--+=>-=H P H P m απαπ ()()[]}{δμπαπα-Φ--+=1100m

()()}{αμδπαπ-Φ-+=001m 上式可以写成

()()()[].0ααμδαπμδα-Φ-=-Φ-m ER (3-5) 我们取()m i p i ,,2,1,?==α，则上式变为

()()()()()()()[]

.0i i p i p i μδΦp m p ER --=-Φ-πμδ

再令

()()()

()()

i i p i p i i m

z p y μδμδ-Φ-=

-Φ-=， (3-6)

若δ已知，对点列()m

i i i z y 1,=作最小二乘估计，可以得到参数0π的估计值，即由

10min ∑=∧

??-m

i i i y z π得到参数0π的估计值

∑

∑==∧=

m i i

i i i LS

y z y π (3-7)

而实际上δ是未知的，而可以采用矩估计的方法得到它的初始估计值。那么这个算法的步骤如下：算法一：

第一步：采用矩估计方法，由(3-4)式得到参数δ和0π的估计，即参数δ和0π的初值，记为0∧δ和0

0∧π；

第二步：令0

∧=δδ,带入到(3-6)式中，计算点列()m i z y i i ,,2,1,,?=；

第三步：对点列()m i z y i i ,,2,1,,?=作最小二乘估计，由(3-7)式得到0π新的估计值∧

0π；

第四步：利用2

10∑=∧

??-m

i i i y z π的最小化方法，求得∧δ；

第五步：令∧

∧=00

0ππ，∧

∧=δδ0

，重复计算第二步至第四步，直到估计值收敛为止。

我们再来利用统计量的拟合方法来研究参数()δπ,0的估计值。定义

()}{()()()()()

()

,#:λλλλμλλλR X X N R X i N N i i

i ∑∈==≥=，，

并记()()m R M λλ=, 其中λ为给定的检验水平，经过计算得

()()()()()

,1,,0,λλλλλμδμδφδμλμφμ-Φ-+==≥=

=≥H X X E H X X E

()()()

()

λλλμμμ≥=≥?==≥=X H X H X H Pr 0Pr 0Pr 0Pr

()()

()λμδπλπλ

πλh ≡-Φ-+=

0001

从而()().11Pr λμλh X H -=≥=

()()H X X E E X X E X H ,λμλμμλ≥=≥≥

()()()()()1,10,=≥-+=≥=H X X E h H X X E h λλμλμλ

()()()[]()()???

?-Φ-+?-+?=λλλμδμδφδλλμφλh h 1

()()()()[]()()

λλλλμδπλπμδφμδδπμφπ-Φ-+-+-Φ-+=

000011 (3-8)

()()()()????????

???????????

?==∑≥λλλλλμr R R X E E X E i X i i :

()

()()??????

≥?=λμλλX X E r r E 1

()λμ≥=X X E (3-9)

()}{()()()λλλμδπλπμμλ-Φ-+=≥=≥=001Pr :#X m

X i E

EM i

那么，由(3-8)和(3-9)式可以得到

()()()()[]()λλμμδπλπλλ≥?-Φ-+=?X X E X E EM 001

()()()()[]λλλμδφμδδπμφπ-+-Φ-+=001 ()()()λλμ?πμφπ001-+= (3-10)其中()()()λλλμδδμδφμ?-Φ+-≡。从而 (3-10)式可化为

()()()λμ?λλ-?X E EM ()()[]λλμ?μφπ-=0

与前文类似，令()m i p i ,,2,1,?==λ，则有

()()()()()()

p p p μδδμδφμ?-Φ+-=

记

()()()

()

()()

()i i i p m

i m j i p p i j x m

z y μ?μ?μφ-=

-=∑+-=1

1, (3-11)

于是，由()2

10∑=-m

i i i y z π可以得到0π的最小二乘估计值同式(3-7) 。从而这个算法的具体步骤如下：算法二：

第一步：由(3-4)式得到参数δ和0π的初值0

∧δ和0

0∧π；

第二步：令0

∧=δδ,代入到(3-11) 式中，计算点列()m i z y i i ,,2,1,,?=；第三步：对点列()m i z y i i ,,2,1,,?=作最小二乘估计，由(3-7) 式得到0π的新估计值∧

0π；

§8-5--微分方程应用举例

§8-5 微分方程应用举例在前面几节，已经举了一些力学、运动学方面应用微分方程的实例，本节将再集中学习几个在其他方面的应用实例，说明微分方程在许多实际领域中都有着广泛的应用．应用微分方程解决实际问题通常按下列步骤进行： (1)建立模型：分析实际问题，建立微分方程，确定初始条件； (2)求解方程：求出所列微分方程的通解，并根据初始条件确定出符合实际情况的特解； (3)解释问题：从微分方程的解，解释、分析实际问题，预计变化趋势．例1 有一个30?30?12(m 3 )的车间，空气中CO 2的容积浓度为0.12%．为降低CO 2的含量，用一台风量为1500(m 3 /min )的进风鼓风机通入CO 2浓度为0.04%的新鲜空气，假定通入的新鲜空气与车间内原有空气能很快混合均匀，用另一台风量为1500(m 3 /min )的排风鼓风机排出，问两台鼓风机同时开动10min 后，车间中CO 2的容积浓度为多少？解车间体积为10800m 3 ．设鼓风机开动t （min ）后，车间空气中CO 2的含量为x =x (t )，那么容积浓度为 10800 x ．记在t 到t +dt 这段时间内，车间CO 2含量的改变量为dx ，则 dx =该时间段内CO 2通入量-该时间段内CO 2排出量 =单位时间进风量?进风CO 2的浓度?时间-单位时间排风量?排风CO 2浓度?时间 =1500?0.04%?dt -1500? 10800 x ?dt ，于是有 dt dx =1500?0.04% -1500?10800x 即 dt dx =36 5 (4.32-x ) 初始条件x (0)=10800?0.12%=12.96．方程为可分离变量的方程，其通解为 x (t )=4.32+C t e 36 5-．将初始条件代入上式，得C =8.64．于是在t 时刻车间内空气中CO 2的含量为 x (t )=4.32(1+2t e 36 5-)．所以鼓风机打开10min 后，车间中CO 2浓度为 10800 47 .610800)10(= x =0.06%．例2 (马尔萨斯人口方程)英国人口学家马尔萨斯在1798年提出了人口指数增长模型：人口的增长率与当时的人口总数成正比．若已知t =t 0时人口总数为x 0，试根据马尔萨斯模型，确定时间t 与人口总数x (t )之间的函数关系．据我国有关人口统计的资料数据，1990年我国人口总数为11.6亿，在以后的8年中，年人口平均增长率为14.8‰，假定年增长率一直

常微分方程在数学建模中的应用(免费版)

常微分方程在数学建模中的应用这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（马尔萨斯（Malthus ）模型）英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ?+时间段内,人口的增长量为 t t rN t N t t N ?=-?+)()()(, 并设0t t =时刻的人口为0N ,于是 ?????==．， 00)(d d N t N rN t N 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为 )(00e )(t t r N t N -=, 此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为9 1006.3?,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3?=N ,02.0=r ,于是 ) 1961(02.09 e 1006.3)(-?=t t N . 这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改. 例2（逻辑Logistic 模型）马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地

常微分方程的实际应用

常微分方程的实际应用于萍摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用

Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal differential equation. Normal, we set up the maths matic model of the problem, solute the normal differentical equation make the use of the result to explain practical problems and make a forecast of some special character of physical process. Key: Normal differetial equation geometry mechanics electrothermal use

随机信号处理

随机信号处理大作业学院：电子工程学院、

马尔可夫过程概述摘要:叙述了随机过程中的某一种--马尔可夫过程的基本定义 ,特点，以及它的应用领域；通过对离散时间马尔可夫链进行仿真分析，掌握马尔可夫的特点。 1. 随机过程发展简述在当代科学与社会的广阔天地里，人们都可以看到一种叫作随机过程的数学模型：从银河亮度的起伏到星系空间的物质分布、从分子的布朗运动到原子的蜕变过程，从化学反应动力学到电话通讯理论、从谣言的传播到传染病的流行、从市场预测到密码破译，随机过程理论及其应用几乎无所不在。一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。 2. 马尔可夫过程发展 2.1 马尔可夫过程简介马尔科夫过程(MarKov Process)是一个典型的随机过程。设X(t)是一随机过程，当过程在时刻t0所处的状态为已知时，时刻t(t>t0)所处的状态与过程在t0时刻之前的状态无关，这个特性成为无后效性。无后效的随机过程称为马尔科夫过程。马尔科夫过程中的时同和状态既可以是连续的，又可以是离散的。我们称时间离散、状态离散的马尔科夫过程为马尔科夫链。马尔科夫链中，各个时刻的状态的转变由一个状态转移的概率矩阵控制。 2.2 马尔可夫过程的发展 20世纪50年代以前，研究马尔可夫过程的主要工具是微分方程和半群理论（即分析方法）；1936年前后就开始探讨马尔可夫过程的轨道性质，直到把微分方程和半群理论的分析方法同研究轨道性质的概率方法结合运用，才使这方面的研究工作进一步深化，并形成了对轨道分析必不可少的强马尔可夫性概念。1942年，伊藤清用他创立的随机积分和随机微分方程理论来研究一类特殊而重要的马尔可夫过程──扩散过程，开辟了研究马尔可夫过程的又一重要途径。出于扩大极限定理应用范围的目的，马尔科夫在20世纪初开始考虑相依随机变量序列的规律，并从中选出了最重要的一类加以研究。1906年他在《大数定律关于相依变量的扩展》一文中，第一次提到这种如同锁链般环环相扣的随机变量序列，其中某个变量各以多大

随机微分方程在数理金融中的应用硕士学位

摘要复杂数据主要表现在相依、非线性、维数高与不完全观测等，在股市、基因序列和经济等领域中经常出现。为解决巨型数据集合问题，数据挖掘的理论、方法和技术已应运而生。而针对诸如怎样同时检验成千上万个基因中哪些基因的表达水平有显著性差异之类的高维统计推断问题，以错误发现率为主要特征的非参数估计方法无疑为其提供了一个有效的解决途径。本文主要研究考察错误发现率的在各种参数模型和非参数模型下的控制检验方法，全文共分为四章。文章首先介绍了所选取课题的背景和意义，以及国内外在该方向的研究现状。在多重假设检验的背景下，给出了错误发现率的定义，提出利用p值进行假设检验，并在假设检验独立和相依的情形下对错误发现率的控制方法进行了探讨。在研究错误发现率的控制方法时，发现在处理多重假设检验问题时，核心的问题是如何估计真实零假设的个数，因此本文采用经验贝叶斯估计来估计它的值。在参数混合模型和非参数混合模型中研究真实零假设的估计问题是本文的核心内容。针对正态混合分布模型和Beta混合分布模型两种参数混合模型，文章采用矩估计方法和基于p值的最小二乘估计方法进行研究；在研究非参数混合模型时，分别介绍了最小二乘估计方法、Beta分布拟合模型和Beinstein多项式拟合模型的方法。文章的最后以Hedenfalk报告的一组乳腺癌患者的基因数据为例进行仿真研究，发现错误发现率为微阵列数据的多重假设检验提供了合适的错误控制指标。关键词：错误发现率；多重假设检验；p值；非参数估计；微阵列数据

Abstract Complex data always appear in the stock market, gene sequences, economic and other fields, which mainly show the characteristic of dependent, nonlinear, high dimension and incomplete observations. In order to solve the problem of huge data collection, the theories, methods and techniques of data mining are proposed. While how to examine the high-dimensional statistical inference problem, such as the significant differences of expression levels in thousands of genes, the non-parametric estimation of false discovery rate provide an effective solution. This paper mainly investigate the test method based on the false discovery rate of various parametric model and non-parametric model, which is divided into four chapters. Firstly, this paper introduce the background and significance of the topic, and the current studies in this direction at home and abroad. Under the background of multiple hypotheses testing, the paper describe the definition of the false discovery rate, propose using the p-value to test the hypothesis testing, and discuss the controlling method of the false discovery rate when the hypotheses testing is independent or dependent. When we investigate the controlling method of the false discovery rate and studied the multiple hypothesis testing problem, we find that the central problem is how to estimate the number of true null hypothesis, so this paper use the empirical Bayes estimation to estimate its value. Investigating the estimation of true null hypothesis in the mixing parametric model and non-parametric model is core of the dissertation. Aiming at the mixed normal distribution model and Beta mixture distribution model, This paper use the method of moment estimation and least squares estimation method based on the p-value to estimate its value; On studying the non-parametric mixture model, the paper introduce the least square estimation method, Beta distribution fitting model method and the Beinstein polynomial fitting model method. Finally, the paper conduct the simulation research based on a group of patients with breast cancer gene data by Hedenfalk, and find that the false discovery rate is able to provide a suitable error control targets for the multiple hypothesis testing of microarray data.

常微分方程在数学建模中的应用.

微分方程应用 1 引言常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具. 数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题. 因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用. 2 数学模型简介通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助．建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节． 3 常微分方程模型 3．1 常微分方程的简介

偏微分方程的应用

偏微分方程在生物学上的应用刘富冲pb06007143 1偏微分方程的发展偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，物理学中的许多基本方程本身就是偏微分方程。早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。在国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体，并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。比如在国际上有重大影响的美国的Courant研究所、法国的信息与自动化国立研究所等都集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体，在解决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用。 2偏微分方程的应用在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需要求解偏微分方程，为相应的工程设计提供必要的数据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。在很多的实际课题中，有不少课题(特别是国防课题)是不能或很难用工程试验的方法来进行研究的(一方面是危险系数大，另一方面是耗费大)，因此就需要尽可能地减少试验的次数或在试验前给出比较准确的预计。随着电子计算机的出现及计算技术的发展，电子计算机成为解决这些实际课题的重要工具。但是有效地利用电子计算机，必须具备如下先决条件：针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而这些能精确描述问题的模型大都是通过偏微分方程给出的。对相应的偏微分方程模型进行定性的研究。根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的求解方法。编制高效率的程序或建立相应的应用软件，利用电子计算机对实际问题进行模拟。因此，总体上来说，上述这些先决条件都属于偏微分方程应用的研究范围，这些问题解决的好坏直接影响到使用电子计算机所得结果的精确性及耗费的大小。如果解决得好，就会对整个问题的解决起到事半功倍的效果。到目前为止，偏微分方程已经在解决有关人口问题、传染病动力学、高速飞行、石油开发及城市交通等方面的实际课题中做出了重大的贡献。下面主要讲一下大家比较熟悉的人口问题及传染病动力学问题，详细阐述偏微分方程在解决实际问题中的应用。

常微分方程在高中物理中的应用

微分方程在高中物理中的应用高中阶段，我们经常会遇到一些需要定性分析的物理问题，其实如果我们应用高等数学的知识，可以把其中一些问题进行定量的分析。例如，质量为m 的物体从高度H 自由下落，所受阻力f 与速度v 成正比，g 为重力加速度这是我们平时常见的一类问题。但我们只知道速度V 最终会趋近于某一数值v0。下面我进行一下定量分析。根据题目所给信息，可列出动力学方程 mg-kv=ma ① a=dv/dt ② 结合①式可得mg-kv=mdv/dt 这里移项可得dt=mdv/(mg-kv)③ 两边同时积分便可的到 V=mg(ce*(-kt/m)+1)/k 又∵自由下落，可得t=0时v=.0 ∴v=mg(1-e*(-kt/m))/k ④ 由④式知，当t 趋近于正无穷时，e*(-kt/m)=0，此时v=mg/k ⑤ 若按照正常思路，当物体受力平衡时，mg=kv,此时也能得到⑤式的结论。而在高考中，更为常见的是在电磁场中的同类问题，我们不妨看一下下面这一道例题（2012·山东理综）如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端接有定值电阻，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B 。将质量为m 的导体棒由静止释放，当速度达到v 时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率为P ，导体棒最终以2v 的速度匀速运动。导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g ，下列选项正确的是 A ．P =2mg sin θ B ．P =3mg sin θ C ．当导体棒速度达到v /2时加速度为12 g sin θ D ．在速度达到2v 以后匀速运动的过程中，R 上产生的焦耳热等于拉力所做的功我们根据题目也可以列出动力学方程 Mgsin θ-B*2L*2V/R=ma ① a=dv/dt ② 同样可以解得v=(mgR sin θ/B*2L*2)(1-e*(-B*2L*2t/mR))③ 从③式可以看出当t 趋近于正无穷时，v=mgR sin θ/B*2L*2即B*2L*2v/R=mg sin θ转化而来。所以题目中所说当速度到达V 时开始匀速运动存在明显错误。应改为近似于做匀速直线运动。

常用的几个期权定价模型的基本原理及其对比分析

常用的几个期权定价模型的基本原理及其对比分析 (function() { var s = "_" + Math.random().toString(36).slice(2); document.write(''); (window.slotbydup = window.slotbydup || []).push({ id: "u3686515", container: s }); })(); [摘要] 期权是一类重要的金融衍生产品，它赋予持有者的是一种买权或卖权，

而并非义务，所以期权持有者可以选择行使权利，也可以放弃行权。那么，如何对期权定价才能对期权的发行者、持有者双方更加合理？于是就产生了期权的定价问题。在现代金融理论中，期权定价已经成为其重要的组成部分，关于对期权定价模型的研究成果也是层出不穷，文章主要介绍在连续时间下常用的三种期权定价模型：Black-Scholes模型、 Ornstein-Ulhenbeck过程模型以及跳跃-扩散模型，并对这三种模型作简要的对比分析。 [关键词] Black-Scholes期权定价模型；Ornstein-Ulhenbeck过程的期权定价模型；跳跃-扩散过程的期权定价模型；风险中性定价 doi ：10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2018. 23. 050 [中图分类号] F830.9 [文献标识码] A [文章编号] 1673 - 0194（2018）23- 0117- 04 1 Black-Scholes期权定价模型 1970年初，美国经济学家布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.Scholes）发现无支付红利的股票的衍生证券的价格必然满足一个微分方程，他们推导出了该方程的解析解，并得到了欧式看涨、看跌期权的价格。该理论被视为期权定价史上的丰碑，为此，斯科尔斯

数学建模——微分方程的应用

第八节数学建模——微分方程的应用举例微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程的实际应用，尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力. 分布图示 ★衰变问题 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题内容要点：一、衰变问题镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻t 的质量. 用x 表示该放射性物质在时刻t 的质量, 则 dt dx 表示x 在时刻t 的衰变速度, 于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为 .kx dt dx -= (8.1) 这是一个以x 为未知函数的一阶方程, 它就是放射性元素衰变的数学模型, 其中0>k 是比例常数, 称为衰变常数, 因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间t 增加时, 质量x 减少. 解方程(8.1)得通解.kt Ce x -=若已知当0t t =时, ,0x x =代入通解kt Ce x -=中可得,00kt e x C -= 则可得到方程(8.1)特解 ,)(00t t k e x x --= 它反映了某种放射性元素衰变的规律. 注: 物理学中, 我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期, 不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素( U 238)的半衰期约为50亿年;通常的镭( Ra 226)的半衰期是上述放射性物质的特征, 然而半衰期却不依赖于该物质的初始量, 一克Ra 226 衰变成半克所需要的时间与一吨Ra 226衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年, 正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳-14测验的基础.

二阶常微分方程的解法及其应用.

目录 1 引言 (1) 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1) 2.1 特征方程法 (1) 2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2) 2.1.2 特征根有重根的情形 (2) 2.2 常数变异法 (4) 2.3 拉普拉斯变化法 (5) 3 常微分方程的简单应用 (6) 3.1 特征方程法 (7) 3.2 常数变异法 (9) 3.3 拉普拉斯变化法 (10) 4 总结及意义 (11) 参考文献 (12)

二阶常微分方程的解法及其应用摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换

METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect. Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程

微分方程在经济学中的应用

第四节微分方程在经济学中的应用微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题．一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型，即以所研究的经济量为未知函数，时间t 为自变量的微分方程模型，然后求解微分方程，通过求得的解来解释相应的经济量的意义或规律，最后作出预测或决策，下面介绍微分方程在经济学中的几个简单应用．一、供需均衡的价格调整模型在完全竞争的市场条件下，商品的价格由市场的供求关系决定，或者说，某商品的供给量S 及需求量D 与该商品的价格有关，为简单起见，假设供给函数与需求函数分别为 S =a 1+b 1P , D =a -bP , 其中a 1,b 1,a ,b 均为常数，且b 1＞0,b ＞0；P 为实际价格．供需均衡的静态模型为 ?? ???=+=-=).()(,,11P S P D P b a S bP a D 显然，静态模型的均衡价格为 P e =1 1b b a a +-．对产量不能轻易扩大，其生产周期相对较长的情况下的商品，瓦尔拉（Ｗalras ）假设：超额需求［D (P )-S (P )］为正时，未被满足的买方愿出高价，供不应求的卖方将提价，因而价格上涨；反之，价格下跌，因此，t 时刻价格的变化率与超额需求D -S 成正比，即 t P d d =k (D -S )，于是瓦尔拉假设下的动态模型为 ??? ????-=+=-=)].()([), (),(11P S P D k t P t P b a S t bP a D d d 整理上述模型得 t P d d =λ(P e -P ), 其中λ=k (b +b 1)＞0,这个方程的通解为 P (t )=P e +C e -λt ．假设初始价格为P (0)=P 0,代入上式得，C =P 0-P e ,于是动态价格调整模型的解为 P (t )=P e +(P 0-P e )·e -λt ，由于λ＞0，故 lim ()t P t →+∞=P e ．这表明，随着时间的不断延续，实际价格P (t )将逐渐趋于均衡价格P e ．二、索洛(Solow)新古典经济增长模型

随机微分方程在图像恢复中的应用

随机微分方程在图像恢复中的应用图像在传送、保存、应用过程中受实际因素影响时，会出现图像不清晰的现象。但是在实际应用中，我们需要辨识度高和清晰程度高的图像，因此需要对不清晰图像恢复方法进行研究。在图像恢复模型中，偏微分方程的模型居多，利用费曼一卡茨公式可以建立偏微分方程与随机微分方程的关系，所以文章采取随机微分方程对图像进行恢复。标签：随机微分方程；热方程；灰度图像一、引言图像是指各种图形和影像的总称。在传送、保存、应用图像过程中受实际因素影响，就会出现图像不清晰的现象。但在实际生活中，人们希望能够得到高质量的图像，因此有必要对图像复原领域进行研究，从而在图像应用时得到高质量的图像。图像恢复包括很多方法，本文主要研究灰度图像的复原问题。虽然在图像复原领域偏微分方程模型应用广泛，但在图像复原中应用偏微分方程模型仍有很多弊端，本文利用费曼—卡茨公式在偏微分方程与随机微分方程之间建立关系，以解决相关问题。本文用随机微分方程的方法对噪声图像进行滤波，使图像满足人们的需要。二、噪声图像的数学模型定义u：D→R2是初始采集的灰度图像，u0：D→R2是带有高斯噪声的图像（即传输过程中得到的不清晰图像），可以这样表示：u0=u+η，其中η代表高斯白噪声。图像复原问题等价于已知u0，以此为条件复原初始采集的灰度图像u。用随机微分方程构造的模型为图像复原提供一个新思路。笔者利用费曼—卡茨公式在偏微分方程与随机微分方程之间建立关系，建立了随机微分方程模型。三、随机微分方程模型的热方程解法图像复原问题等价于对图像进行滤波，高斯滤波过程等价于求解热方程的初值解，利用费曼—卡茨公式构造图像复原模型，二维高斯函数与污染图像卷積的结果是图像复原之后的结果。定义X过程是反射型随机过程。可以用下式表示：

微分方程在物理中的应用

微分方程在大学物理中的应用一．质点运动学和牛顿运定律中的运用 1.质点运动：a=dV/dt “dV/dt”是“速度随时间的变化率”-----就是加速度。（微分、又称“速度V的导数”）写成表达式：a=dV/dt---------(1) X表示位移，“dX/dt”就是“位移随时间的变化率”-----就是速度。写成表达式：V=dX/dt---------(2) 把（1）代入(2)得：a=(d^2 X)/(dt^2)-------这就是“位移对时间”的“二阶导数”。实际上，(d^2 v)/(dt^2)就是“dv/dt （加速度）”对时间再次“求导”的结果。 d(dV/dt)/dt 就是把“dV/dt”再次对时间求导。-------也可以说成是“速度V对时间t的二阶导数”。典型运用：圆周运动向心加速度公式推导（微分思想） 2.牛顿第二定律：F=d p/dt=d(m v)/dt=md v/dt=ma 动量为p的物体，在合外力F的作用下，其动量随时间的变化率应当等于物体的合外力。典型运用：自由落体运动公式的推导 f=d(mv)/dt,得mg=mdv/dt,得g=dv/dt=ds^2/d^2t,求s t关系用右边的，把下面的分母乘过去，积分两次，就得到0.5gt^2=s; 例题：一物体悬挂在弹簧上做竖直振动，其加速度a=-ky，式中k为常量，y是以平衡位置为原点所测得的坐标。假设振动的物体在坐标y0处的速度为v0，试求速度v与坐标y的函数关系式。 3.简谐运动（单摆复摆问题）：弹簧振子的运动为例，

回复力：F= -kx 加速度：a=F/m=-kx/m 对于给定的弹簧振子有w^2=k/m 则有a=dv/dt=d^2 v/dt^2= -w^2x 其解为x=Acos(wt+h) 然后v=dx/dt,a=dv/dt推导出相应公式。(物理书上原文) 下面我们求一下a=dv/dt=d^2 v/dt^2= -w^2x的解。还有在动量守恒定律、能量守恒定律以及刚体转动中等各个反面的运用。

随机过程课程设计

《随机过程》课程设计（论文）题目: 连续马尔科夫过程的转移概率及应用学院：理学院专业：数学与应用数学班级：数学09-2班学生姓名：姜德月学生学号：2009026249 指导教师：蔡吉花 2011 年12 月20 日

目录课程设计任务书--------------------------------------------------------------- I 摘要----------------------------------------------------------------------- II 第1章绪论-------------------------------------------------------------- - 1 - 第2章连续时间马尔可夫链基本理论----------------------------------------- - 2 - 2.1定义.................................................................................................................................... - 2 - 2.2转移概率 ........................................................................................................................... - 2 -第3章柯尔莫哥洛夫微分方程----------------------------------------------- - 3 - 3.1跳跃强度 ........................................................................................................................... - 3 - 3.2 Q矩阵 ............................................................................................................................ - 4 - 3.3柯尔莫哥洛夫向后方程 .................................................................................................. - 4 - 3.4柯尔莫哥洛夫向前方程 .................................................................................................. - 5 -第4章马尔可夫过程研究的问题的分析--------------------------------------- - 5 - 4.1连续参数随机游动问题 .................................................................................................. - 5 -第5章计算结果及程序---------------------------------------------------- - 6 - 第6章结论和展望------------------------------------------------------- - 16 - 参考文献----------------------------------------------------------------- - 16 - 评阅书------------------------------------------------------------- - 17 -

文档之家

随机微分方程在数理金融中的应用

§8-5--微分方程应用举例

常微分方程在数学建模中的应用(免费版)

常微分方程的实际应用

随机信号处理

随机微分方程在数理金融中的应用硕士学位

常微分方程在数学建模中的应用.

偏微分方程的应用

常微分方程在高中物理中的应用

常用的几个期权定价模型的基本原理及其对比分析

数学建模——微分方程的应用

二阶常微分方程的解法及其应用.

微分方程在经济学中的应用

随机微分方程在图像恢复中的应用

最新常微分方程及其应用

微分方程在物理中的应用

随机过程课程设计