初中数学几何圆证明个性化教案
2.已知：如图，AB是⊙
∠E=18°，求∠C及∠
3.已知：如图，△ABC，试用直尺和圆规画出过
4.已知：如图，A，B是半圆是
(1)在CD上求作一点
(2)若CD=4cm，求AP
5.如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为
货箱从桥下经过，已知货箱长
利通过该桥?
在
7.已知：如图，△ABC
8.已知：如图，AB
9.已知：如图，△ABC
求证：FE=EH．
10.已知：如图，⊙
12.已知：如图，AB
AF交⊙O于M．求证：∠
13.已知：如图，半圆
求∠CAD的度数及弦
14.已知：如图，割线ABC
15.已知：如图，△ABC
16.已知：如图，P A切⊙O于
求⊙O的半径长．
17.已知：如图，⊙O是
半径r；(2)若AC=b，BC
18.已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠
长．
19.已知：如图，AB是⊙O上两点，且，过
长线于E点，交AB的延长线于
(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)试判断∠BCD与∠BAC
20.已知：如图，⊙O是Rt
21.已知：如图，AB为⊙O的直径，(1)求证：AT平分∠BAC；(2)
22.如图，工地放置的三根外径是
23.已知：如图，⊙
射线DO1交AC
24.已知：如图，⊙O1与⊙O
DB，连结EB，试判断
25.如图，点A，B在直线MN
速度自左向右运动，与此同时，
26.已知：如图，正八边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A (1)求A 1A 3的长；(2)求四边形A 1A 2A 3O
27.已知：如图，⊙O 切正方形．求二者的边长比
28.已知：如图，⊙O 的半径为A ′B ′和面积比S 内∶29.如图，△ABC 中，BC ＝4交AC 于F ，点P 是⊙A C ．94π8-
，
30．已知：如图，以线段
圆O2于D点．试比较与
31．已知：如图，扇形OAB．，＝l2．
32.如图，圆锥的轴截面是边长为
求在圆锥的侧面上从
教研部建议：
教研部签字：日期：年月日
08-圆有关的证明题专项练习 2、如图， AE 是△ ABC 外接圆⊙ O 的直径， AD 是△ ABC 的边 BC 上的高， EF ⊥BC ，F 为垂足。 （1）求证： BF=CD （2）若 CD=1， AD=3 ，BD=6 ，求⊙ O 的直径。 5、如图， AB 是⊙O 的直径， D 是AB 上一点， D 是弧 BC 的中 点， AD 、BC 交于点 E ，CF ⊥AB 于 F ，CF 交 AD 于G 。 （1）求证： AD =2CF ； 2）若 AD=4 3，BC =2 6，求⊙ O 的半径 6、如图， AB 为⊙ O 的直径，弦 CD ⊥AB 于点 H ，E 为AB 延长线上 1、如图，△ ABC 内接于⊙ O ， AD 是的边 BC 上的高， （1）求证：△ ABE ∽△ ADC ； （2）若 AB=2BE=4DC=8 ，求△ ADC 的面积 . AE 是⊙O 的直径，连 BE.
一点，CE交⊙O于F。
1）求证：BF 平分∠ DFE ； 2）若EF=DF=4 ，BE=5 ，CH=3 ，求⊙ O 的半径 7、如图，Rt △ ABC 内接于⊙ O， D 为弧AC 的中 点，DH ⊥AB 于点H，延长BC、HD 交于点E。 （1）求证：AC=2DH ； （2）连接AE，若DH=2 ，BC=3 ，求tan∠AEB 的 8、在Rt △ABC中，∠ACB=90o，D是AB边上一点，以 连结DE并延长，与BC的延长线交于点F． （1）求证：BD=BF； （2）若BC=6，AD=4，求S VECF。 BD为直径的⊙ O与边AC相切于点E， 9、如图，⊙ O中，直径DE⊥弦AB于H 点， C 为圆上一动 点，
如图;已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O 交AB于点D，过点D作⊙O 的切线DE交BC于点E． 求证：BE=CE 证明：连接CD ∵AC是直径 ∴∠ADC=90° ∵∠ACB=90°，ED是切线 ∴CE=DE ∴∠ECD=∠EDC ∵∠ECD+∠B=90°，∠EDC+∠BDE=90° ∴∠B=∠BDE ∴BE=DE ∴BE=CE 如图，半圆O的直径DE=10cm，△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，BC=10cm，半圆O 以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，D、E始终在直线BC上，设运动时间为t(s)，当t=0(s)时，半圆O在△ABC的左侧且OB=9cm。（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切； （2）当△ABC一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC的三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。 （1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切； 相切分两种情况，如图， ①左图：当t=0时，原图中OB=9，此时圆移动了OB-OE=9-5=4cm 则：t=4/2=2s； --------------- ②右图：设圆O与边AC的切点为F，此问不用三角函数是无法求出的==>∵∠C=30==>∴OC=OF/sinC=5/sin30=10=BC ==>O与B重合，此时圆移动的长即为OB的长，即9cm ==>t=9/2; =========
（2）如右图：由②得：∠AOE=90 ==>S阴=（90*π*5^2)/360=6.25π 不明之处请指出~~
经典题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB ∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴ FG EO =HG GO ∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴ CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15° ∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15° ∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD ∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD ∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60° ∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形
3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 证明:连接AC ，取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN= 2 1AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM= 2 1BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB ⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB 又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD ∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF ∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC ∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM= 2 1 ∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM 由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO
初中数学几何证明题技巧 几何证明题入门难，证明题难做，是许多初中生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验，谈谈自己的一些方法与大家一起分享。 一要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取。我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。 二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。 三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论（就像电脑一下，你一点击开始立刻弹出对应的菜单），然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。 四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有（1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换
O A B C D E 圆有关的证明题专项练习 1、如图，△ABC内接于⊙O，AD是的边BC上的 高，AE是⊙O的直径，连BE. （1）求证：△ABE∽△ADC； （2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC的面积. 2、如图，AE是△ABC外接圆⊙O的直径，AD是 △ABC的边BC上的高， EF⊥BC，F为垂足。 （1）求证：BF=CD （2）若CD=1，AD=3，BD=6，求⊙O的直径。 5、如图，AB是⊙O的直径，D是AB上一点，D 是弧BC的中点，AD、BC交于点E，CF⊥AB于F， CF交AD于G。 （1）求证：AD =2CF； （2）若AD=3 4，BC =6 2，求⊙O的半径 6、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H， E为AB延长线上一点，CE交⊙O于F。 （1）求证：BF平分∠DFE； （2）若EF=DF=4，BE=5，CH=3，求⊙O的半径 7、如图，Rt△ABC内接于⊙O，D为弧AC的中点， DH⊥AB于点H，延长BC、HD交于点E。 （1）求证：AC=2DH； （2）连接AE，若DH=2，BC=3，求tan∠AEB的 值 8、在Rt△ABC中，∠ACB=90o，D是AB边上一点， 以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并 延长，与BC的延长线交于点F． （1）求证：BD=BF； （2）若BC=6，AD=4，求ECF S。
9、如图，⊙O 中， 直径DE ⊥弦AB 于H 点，C 为圆上一动点， AC 与DE 相交于点F 。 (1)求证△AOG ∽△FAO 。 (2)若OA=4，OF=8，H 点为OD 的中点，求CGF S 。 10、如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ， 连接AD 并延长至F 点，使DF=AD,连接BC 、BF 。 （1）、求证：△CBE ∽△AFB 。 （2）、若∠C=30o，∠CEB=45o,CE=31+, 求ABF S . 11、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，D 为弧AC 的中点，连接BD ，交AC 于G,过D 作DE ⊥AB 于E 点， 交⊙O 于H 点，交AC 于F 点。 （1）、求证:FD=FG (2)、若AF ·FC=32,ED=6，求ADF S 。 12、如图：△AFC 中∠FAC=90°，以AF 上一点O 为圆心，OA 为半径作圆交FC 于D ，交CF 的延长线于点B 。 ⑴求证：△CDA ∽△CAB ⑵过A 作AE ∥CD 交⊙O 于E ，DE 交 AF 于M ，若CD=FD=2BF=4。 求A M 的长。 13、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，且AB=BC ，过C 点作CD ⊥AE 于D ，延长CD 交AB 于F （1）求证：AC=CF ； （2）若CF=2，BF=3，求ACB C ?的值. 14、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径， BC ∥AE ，过C 点作CD ⊥AE 于D ，延长CD 交AB 于F （1）求证：△ACF ～△ABC ； （2）若CF=2DF=2，AD=4，求⊙O 的直径. O B E D F A D F E O A
九年级圆强化训练 1.两条平行弦所夹的弧相等;两条相交弦被交点分成的线段成比例。 2.弦切角等于弦和切线所加的弧所对的圆周角。 如图直线AB 与⊙O 相切于点C ，其中 弦切角有 ，其中 = ； = 。 3.两圆的连心线垂直且平分两圆的公共弦。两圆的外（内）公切线相等。如图：已知⊙O 1 和⊙O 2相交于点A 、B ，直线MN 和直线PQ 是⊙O 1和⊙O 2的公切线，则 ⊥ 且 即 = ； = 。 1．（2006，益阳）如图所示，△ABC 为⊙O 的内接三角形，O 为圆心，OD ⊥AB ，垂足为 D ，O E ⊥AC ，垂足为E ，若DE=3，则BC=________． 2．（2007，贵州贵阳）如图所示，A ，B ，C 是⊙O 上三点，∠ACB=40°，则∠ABO=________． 3．已知：如图，PAB 交圆于A 、B ，PCD 交圆于C 、D ，弧BD 的度数为100°,弧AC 的度数为为40°,求∠P 的度数. A
4.已知:如图, ⊙O,AB、CD为直径，弦BE∥CD,求证:AC =CE 5.已知:如图,⊙O中,半径OC⊥直径AB,弦BE过OC中点D,若⊙O半径为4cm,求BE的长. 6.已知:如图,AB是⊙O直径,AC是⊙O的弦,D是弧AC中点,DE⊥AB于E,交AC于F,DB交AC于G,求证:AF=FG
7.已知:如图,AB是⊙O直径,AC是⊙O的弦,∠DAC=∠BAC,CD切⊙O于C,求证∠D=90°. 8.已知:如图,PA切⊙O于A,PBC为⊙O割线,∠APC的平分线交AB于D,交AC于 E.求证AE=AD. 9.已知:如图, △ABC为⊙O的内接三角形,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE交于H,延长AD交⊙O于F,求证:DF=DH. 10. 已知：如图，两同心圆O中，大圆的弦AB、AC切小圆于D、E，过A点作⊙O的切线FG。 求证：FG∥BC.
九年级圆 几何综合单元测试题（Word 版 含解析） 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 2=，AB BC CD 6===，动点P 在 射线BA 上，以BP 为半径的 P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、 PC ，设x BP =，PC y =. （1）求证：PE //DC ； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）联结PD ，当PDC B ∠=∠时，以D 为圆心半径为R 的D 与P 相交，求R 的取 值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）2436(09)y x x x =-+<<；（3）3605 R << 【解析】 【分析】 ()1根据梯形的性质得到B DCB ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到B PEB ∠∠=，根据 平行线的判定定理即可得到结论； ()2分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、.G 推出四边形ADGF 是矩形， //PH AF ，求得2BF FG GC ===，根据勾股定理得到 22226242AF AB BF =-=-=，根据平行线分线段成比例定理得到 223PH x = ，13BH x =，求得1 63 CH x =-，根据勾股定理即可得到结论； ()3作//EM PD 交DC 于.M 推出四边形PDME 是平行四边形.得到PE DM x ==，即 6MC x =-，根据相似三角形的性质得到1218 655 PD EC ==-=，根据相切两圆的性质即可得到结论． 【详解】 () 1证明：梯形ABCD ，AB CD =， B DCB ∠∠∴=， PB PE =， B PEB ∠∠∴=， DCB PEB ∠∠∴=，
初一下学期几何证明题练习1、如图，∠B=∠C，AB∥EF，试说明：∠BGF=∠C。（6 解：∵∠B=∠C ∴ AB∥CD（ ） 又∵ AB∥EF（） ∴ ∥（） ∴∠BGF=∠C（） 2、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，FG⊥AB于G，ED//BC，试说明 ∠1=∠2，以下是证明过程，请填空：（8分） 解：∵CD⊥AB，FG⊥AB ∴∠CDB=∠=90°( 垂直定义) ∴_____//_____ ( ∴∠2=∠3 ( 又∵DE//BC ∴∠=∠3 ( ∴∠1=∠2 ( ) 3、已知：如图，∠1+∠2=180°， 试判断AB、CD有何位置关系？并说明理由。（8分） 4、如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B = 30°，你能算出∠EAD、∠ DAC、∠C的度数吗？（7分） D C B A E D
5、如图，已知EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 o，求∠AGD。 解：∵EF∥AD（已知） ∴∠2= （） 又∵∠1=∠2（已知） ∴∠1=∠3（等量替换） ∴AB∥（） ∴∠BAC+ =180 o （） ∵∠BAC=70 o（已知）∴∠AGD= ° 6、如图，已知∠BED=∠B+∠D，试说明AB与CD的位置关系。 解：AB∥CD，理由如下： 过点E作∠BEF=∠B ∴AB∥EF（） ∵∠BED=∠B+∠D（已知） 且∠BED=∠BEF+∠FED ∴∠FED=∠D ∴CD∥EF（） ∴AB∥CD（）7、如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30 o， 求∠EAD、∠DAC、∠C的度数。（6分） 8、如图，EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE的理由。（6分）
初中数学 -圆习题及答案 1.已知AB为⊙ O的直径，BD 2CD，CE//AB切⊙O于C点，交AD延长线于E 点，若⊙ O半径为2cm，求AE的长. 2.如图，PC、PD为大⊙ O的弦，同时切小⊙ O于A、B两点，连AB，延长交大⊙ O于E。 （1）求证：CE BE AC PE ；（2）若PC=8，CD=12，求BE长. 3.如图，⊙ O1和⊙ O2交于A、B两点，小圆的圆心O1在大圆⊙ O2上，直线PEC切⊙ O1于点C，交⊙ O2于点P，E，直线PDF切⊙ O1于点D，交⊙ O2于点P，F，求证：AB∥EF. 4.如图，ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，O、I 分别为ABC 的外心和内心，求证：OI⊥ AK. 5、如图 1 和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点 P，?∠APM∠= CPM． （1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P在⊙ O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． （1）（2） 6、2.已知：如图等边△ABC内接于⊙ O，点P是劣弧PC上的一点（端点除外），延长BP 至D，使BD AP，连结CD． （1）若AP过圆心O ，如图①，请你判断△ PDC是什么三角形？并说明理由． （2）若AP不过圆心O ，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？
7. （1） 如图 OA 、OB 是⊙ O 的两条半径，且 OA ⊥OB ，点 C 是 OB 延长线上 任意一点：过点 C 作 CD 切⊙O 于点 D ，连结 AD 交 DC 于点 E ．求证： CD=CE （2） 若将图中的半径 OB 所在直线向上平行移动交 OA 于F ，交⊙ O 于 B '， 其他条件不变， 那么上述结论 CD=CE 还成立吗为什么 （3） 若将图中的半径 OB 所在直线向上平行移动到⊙ O 外的 CF ，点 E 是 DA 的延长线与 CF 的 交点，其他条件不变，那么上述结论 CD=CE 还成立吗为什么 8、如图，在⊙ O 中，AB 是直径， CD 是弦， AB ⊥CD 。 理由：过 O 作 OE 、OF 分别垂直于 AB 、CD ，垂足分别为 E 、 F ∵∠ APM=∠CPM 1）P 是优弧 CAD 上一点（不与 C 、 ∠COB ； ∠COB 有 么数量关系？请证明你的结论 9．如图，在平面直角坐标系中，⊙ C 与y 轴相切，且 C 点坐标为（1，0），直线 l 过点 A — 1，0），与⊙ C 相切于点 D ，求直线 l 的解析式 答案 5、解题思路： （1）要说明 AB=CD ，只要证明 AB 、 角相等， ?只要说明它们的一半相等． 上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的． 解：（ 1）AB=CD 对的圆
九年级数学几何图形圆 的精选练习题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
圆练习题 姓名： 一、精心选一选(本大题共10小题，每小题3分，共计30分) 1、下列命题：①长度相等的弧是等弧②任意三点确定一个圆③相等的圆心角所对的弦相等④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有（） A．0个B．1个 C．2个D．3个 2、同一平面内两圆的半径是R和r，圆心距是d，若以R、r、d为边长，能围成一个三角形，则这两个圆的位置关系是（） A．外离B．相切C．相交D．内含 3、如图1，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( ) A．35° ° C．110° ° 4、如图2，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM 的长的取值 范围（） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5 5、如图3，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB, ∠ AOC=84°,则∠E等于（） A．42 °B．28°C．21°D．20°A B C D
A A A B C C B 图6 l 图1 图 2 图3 6、如图4，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC 于点D ，AD=2cm ，AB=4cm ，AC=3cm ，则⊙O 的直径是（ ） A 、2cm B 、4cm C 、6cm D 、8cm 7、如图5，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，OA ＝3，OC ＝1，分别连结AC 、BD ，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 1 2π B. π C. 2π D. 4π 8、已知⊙O 1与⊙O 2外切于点A ，⊙O 1的半径R ＝2，⊙O 2的半径r ＝1， 若半径为4的⊙C 与⊙O 1、⊙O 2都相切，则满足条件的⊙C 有（ ） A 、2个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 9、设⊙O 的半径为2，圆心O 到直线l 的距离OP ＝m ，且m 使得关于x 的方程 012222=-+-m x x 有实数根，则直线l 与⊙O 的位置关系为（ ） A 、相离或相切 B 、相切或相交 C 、相离或相交 D 、无法确定 10、如图6,把直角△ABC 的斜边AC 放在定直线l 上，按 顺时针的方向 在直线l 上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2 的 位置，设AB=3，BC=1，则顶点A 运动到点A 2的位置时，点A 所经过的路线为( ) A 、（12 25 +23 ）π B 、（ 34 +23 ）π B A M O · 图
初中几何证明题 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600 ，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 求证：AP ＝AQ ．（初二） A P C D B A F G C E B O D N
F 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 经典题（三） 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二） 2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线 求证：AE ＝AF ．（初二） 3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 求证：PA ＝PF ．（初二） 4、如图，PC 切圆O 于 C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、 D ．求证：AB ＝ DC ，BC ＝AD ．（初三） 经典题（四） 1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，求：∠APB 的度数．（初二） 2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二） 4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二） D
初中数学所有几何证明定理 证明题的思路 很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。对于证明题，有三种思考方式： (1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。 (2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。 同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。 例如： 可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。 (3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。 初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。 证明题要用到哪些原理？
要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。 下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
数学九年级上册 圆 几何综合中考真题汇编[解析版] 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．如图，以A （0，3）为圆心的圆与x 轴相切于坐标原点O ，与y 轴相交于点B ，弦BD 的延长线交x 轴的负半轴于点E ，且∠BEO ＝60°，AD 的延长线交x 轴于点C ． （1）分别求点E 、C 的坐标； （2）求经过A 、C 两点，且以过E 而平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式； （3）设抛物线的对称轴与AC 的交点为M ，试判断以M 点为圆心，ME 为半径的圆与⊙A 的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）点C 的坐标为（－3，0）（2）2343333 y x x =++3）⊙M 与⊙A 外切 【解析】 试题分析：（1）已知了A 点的坐标，即可得出圆的半径和直径，可在直角三角形BOE 中，根据∠BEO 和OB 的长求出OE 的长进而可求出E 点的坐标，同理可在直角三角形OAC 中求出C 点的坐标； （2）已知了对称轴的解析式，可据此求出C 点关于对称轴对称的点的坐标，然后根据此点坐标以及C ，A 的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （3）两圆应该外切，由于直线DE ∥OB ，因此∠MED=∠ABD ，由于AB=AD ，那么 ∠ADB=∠ABD ，将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE ，即ME=MD ，因此两圆的圆心距AM=ME+AD ，即两圆的半径和，因此两圆外切. 试题解析：（1）在Rt△EOB 中，3 cot60232EO OB =??==， ∴点E 的坐标为（－2，0）． 在Rt△COA 中，tan tan60333OC OA CAO OA =?∠=??==， ∴点C 的坐标为（－3，0）． （2）∵点C 关于对称轴2x =-对称的点的坐标为F （－1，0）， 点C 与点F （－1，0）都在抛物线上． 设()()13y a x x =++，用(03A ，代入得 ()()30103a =++，
几何证明题分类汇编 一、证明两线段相等 1．如图3，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，EA AD ⊥，M 是AE 上一点， BAE MCE =∠∠，45MBE =o ∠． （1）求证：BE ME =． （2）若7AB =，求MC 的长． 2、（8分）如图11，一张矩形纸片ABCD ，其中AD=8cm ，AB=6cm ，先沿对角线BD 折叠，点C 落在点C ′的位置，BC ′交AD 于点G. （1）求证：AG=C ′G ； （2）如图12，再折叠一次，使点D 与点A 重合，的折痕EN ，EN 角AD 于M ，求EM 的长. 2、类题演练 3如图，分别以Rt△ABC 的直角 边AC 及斜边AB 向外 作等边 △ACD 、等边△ABE ．已知∠BAC =30o，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF ． （1）试说明AC =EF ； （2）求证：四边形ADFE 是平行四边形． 4如图，在△ABC 中，点P 是边AC 上的一个动点，过点P 作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． (1)求证：PE ＝PF ； (2)*当点P 在边AC 上运动时，四边形BCFE 可能是菱形吗？说明理由； 图3 A B C D E F 第20题图
A B C D M N E F P (3)*若在AC 边上存在点P ，使四边形AECF 是正方形，且 AP BC ＝3 2 ．求此时∠A 的大小． 二、证明两角相等、三角形相似及全等 1、（9分）AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合）， 点C 是BE 延长线上的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合。 （1）（5分）求证：△AHD ∽△CBD （2）（4分）连HB ，若CD=AB=2，求HD+HO 的值。 2、（本题8分）如图9，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE=BF ，EF 与BC 交于点G 。 （1）求证：△ABE≌△CBF ；（4分） （2）若∠ABE=50o，求∠EGC 的大小。（4分） 3、（本题7分）如图8，△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o，D 在AB 上． （1）求证：△AOC ≌△BOD ；（4分） （2）若AD ＝1，BD ＝2，求CD 的长．（3分） 2、类题演练 1、 (8分)如图，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，CE 与 AB 相交于F ． (1)求证：△CEB ≌△ADC ； (2)若AD ＝9cm ，DE ＝6cm ，求BE 及EF 的长． A B C D 图8 O A B D F E 图9 A O D B H E C
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2015年04月19日九年级数学组的初中数学组卷 (扫描二维码可查看试题解析) 一．解答题（共17小题） 1．（2014?辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长． 2．（2014?吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆 交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积． 3．（2014?天水）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD． （1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由． （2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．
初中几何证明题 经典题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 A P C D B A F G C E B O D
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
初中数学几何证明题解题方法--
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浅谈初中数学几何证明题解题方法 内容摘要：几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标组成。做几何证明题的一般步骤：审题，寻找证明的思路，书写证明过程 关键词：几何证明 条件 结论 .执因索果 执果索因 辅助线 初中学生正处于自觉形象思维向逻辑思维的过度阶段，几何证明，是学生逻辑思维的起步。这种思维方式学生刚接触，会遇到一些困难。许多学生在几何证明这里“跌倒了”，丧失了信心，以至于几何越学越糟。为此，我根据自己几年的数学教学实践，就初中数学中几何证明题的一般结构，解题思路进行初步探讨。 学好几何证明，起步要稳，要求学生在学习几何时要扎扎实实，一步一个脚印，在掌握好几何基础知识的同时，还要培养学生的逻辑思维能力。 一、几何证明题的一般结构 初中几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标两部分（即前提和结论）组成。已知条件是几何证明的前提，指题目中用文字和符号直接给出的明确条件，也包括所给图形中暗含的条件。求证指题目要求的经过推理最终得出的结论。已知条件是题目既定成立的、毋庸置疑而且必然正确的。求证是几何证明题的最终目标，就是根据题目给出的已知条件，利用数学中的公理、定理、性质，用合理的推理形式推导出的最后结果，而且只能出现在证明过程的最后。 例如：如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ． 求证：△ABC ≌△DCB ； 已知条件：文字给出的有：△ABC 和△DCB ，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M 图形给出的有：BC=CB,∠BMA 与∠CMD 是对顶角等等 求证目标是：△ABC ≌△DCB 注意，已知条件除了上面列出的，就没有其它的了，不可随意出现AM=DM ,BN=CN 等等 二、做几何证明题的一般步骤 （一）、审题 审题就是读题，这一步是解决几何证明题的关键，非常重要。许多学生读几何证明题时讲快，常常忽略了题目中蕴含的重要信息。和读其它类型的题有所不同，读几何证明题要求 B A M N
圆的证明 1．如图， AB是⊙ O的弦（非直径），C、D是 AB上两点，并且 OC=OD，求证： AC=BD． 2．已知：如图，在△ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙ O与 BC交于点 D，与 AC?交于点 E，求证：△ DEC为等腰三角形． 3．如图， AB是⊙ O的直径，弦AC与 AB成 30°角， CD与⊙ O切于 C，交 AB?的延长线于D，求证： AC=CD． 4．如图 20-12 ， BC为⊙ O的直径， AD⊥BC，垂足为 ? ? D，弧AB AF 求证： AE=BE． ， BF和 AD交于 E，
5．如图， AB是⊙ O的直径，以OA为直径的⊙ O1与⊙ O2的弦相交于D， DE⊥ OC，垂足为 E．（ 1）求证： AD=DC．（ 2）求证： DE是⊙ O1的切线． 6．如图，已知直线MN与以 AB为直径的半圆相切于点C，∠ A=28°．求∠ ACM的度数． 7．如图，在Rt △ ABC中，∠ C=90°， AC=5， BC=12，⊙ O的半径为3．若点 O沿 CA移动，当OC等于多少时，⊙O与 AB相切？
如图， PA 和 PB 分别与⊙ O 相切于 A ， B 两点，作直径AC ，并延长交PB 于点 D．连结 OP， CB ．（1）求证： OP∥ CB ； （2）若 PA＝ 12， DB ： DC ＝ 2： 1，求⊙ O 的半径． 如图，已知矩形 ABCD，以 A 为圆心， AD为半径的圆交AC、AB 于 M、E，CE?的延长线交⊙ A 于 F，CM=2，AB=4．（ 1）求⊙ A 的半径；（ 2）求 CE的长和△ AFC的面积． F B E A M C D 如图， BC是半圆 O的直径， EC是切线， C 是切点，割线 EDB交半圆 O于 D，A 是半圆 O上一点， AD=DC，EC=3， BD=2.5 （ 1）求 tan ∠ DCE的值；（ 2）求 AB的长． E D A B O C
九年级上册数学 圆 几何综合易错题（Word 版 含答案） 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ，且经过点（m ，9m ）,⊙E 过A 、B 、C 三点。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）求点E 的坐标； （3）过抛物线上一点P （点P 不与B 、C 重合）作PQ ⊥x 轴于点Q ，是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由 【答案】（1）y=x 2+2x-8（2）（-1，-72）（3）（-8，40），（-154，-1316），（-174，-2516 ） 【解析】 分析：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=，解这个方程可求出m 的值； （2）分别令y =0和x =0，求出OA ，OB ，O C 及AB 的长，过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ，列方过程求出a 的值，从而求出点E 的坐标； （3）设点P (a , a 2+2a -8)， 则228,2PQ a a BQ a =+-=-，然后分PBQ ∽CBO 时 和PBQ ∽BCO 时两种情况，列比例式求出a 的值，从而求出点P 的坐标. 详解：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+= 解得：121,0m m =-=（舍去） ∴228y x x =+-
（2）由（1）可得：228y x x =+-，当0y =时，124,2x x =-=; ∵点A 在点B 的左边 ∴42OA OB ，== ， ∴6AB OA OB =+=， 当0x =时，8y =-， ∴8OC = 过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ， , 则116322 AG AB ==?= ， 设，则， 在Rt AGE ?中，， 在中， ()222218CE EF CF a =+=+-， ∵AE CE = ， ∴()2 2918a a +=+- ， 解得：72 a = ， ∴712E ? ?-- ?? ?， ； （3）设点()2,28a a a P +-， 则2 28,2PQ a a BQ a =+-=-， a.当PBQ ?∽CBO ?时， PQ CO BQ OB =，即228822 a a a +-=-， 解得：10a =（舍去）；