当前位置：文档之家› 圆的标准方程

圆的标准方程

4.1.1 圆的标准方程教案

一、教材分析

《圆的标准方程》是人教A版必修2第4章第1节《圆的方程》的第1个课时.在此之前，学生已经学习了直线与方程，这为过渡到本课题起到铺垫的作用.同时，学好本课题为今后学习圆锥曲线及其方程奠定了基础，所以本课题在整个教材中起到承上启下的作用.

二、学情分析

在学习本课之前，学生在小学和初中阶段已经初步学习了圆的定义和相关的性质，以及直线在平面直角坐标系中的方程表示，这些都为我们学习简单的曲线——圆奠定了基础。考虑到本节课是从概念出发，学生之间学习的差异性相对较小，因此增加了习题的难度。

三、教学目标

1、知识与技能

●通过对圆的定义的理解，掌握圆的标准方程及其推导过程；

●根据圆心坐标、半径写出圆的标准方程；

●利用圆的标准方程解决简单的实际问题；

2、过程与方法

●通过对几何图形——圆，在坐标系中的研究，培养学生用代

数方法研究几何问题的能力；

●通过求解圆的标准方程，将几何图形代数化，强化对数形结

合思想的理解；

3、情感价值观

4、

●培养学生主动探究知识与合作交流的意识；

●通过代数方程研究几何图形----圆，使得几何特征得到“定

量化”的描述，体验数学的美感，激发学生的学习兴趣；

四、教学重难点

1.重点：

◆圆的标准方程的求法及其简单应用；

◆着重掌握圆的不同阶段概念，了解不同阶段概念的作用.

2.难点：

◆通过建立合适的平面直角坐标系，推导圆的标准方程；

◆根据数形结合的方法判断点与圆的位置关系；

五、教学方法

数学是的一门培养人的逻辑思维能力的重要学科.故，在学习过程中要了解知识的前因后果.为调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”教学法和讲解法并行，教师站在学生的思维角度上，引导学生更好地进入学习状态.

六、教学过程设计

1.新课引入：（首先给学生展示几

幅南昌之眼的图片）

师：同学们观察一下这组图片，它们美吗？

生：美.

师：这是被称为南昌之眼的摩天轮，坐落于江西省南昌市——赣江市民公园，建成于2006年，是当时最高的摩天轮.那么，同学们观察一下，这个摩天轮由哪些图形构成呢？

生：圆.（可能有其他回答，这里着重讲圆）

师：那么，同学们思考一下，这么美丽的摩天轮是怎么建立起来的呢？如果让大家来设计一个图纸，该怎么设计呢？

生：……（学生回答）

师：（教师总结）首先需要解决的一个问题就是怎样在一个平面上，也就是如何在平面直角坐标系上表示一个圆.这就是我们这节课要研究的问题——圆的标准方程.

2.概念学习，温故知新

（教师表述）在小学，我们描述性的认识了圆，对折几次后打开，在圆上发现折痕交于一点，正如我手中的这个模型.这个点叫做圆心，点到圆上的距离叫做半径.

初中阶段我们就已经初步了解了圆的有关知识，下面我们请一位同学来回答一下圆的定义.

生：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.定点为圆心，定长为半径.

师：（回答的非常好）我们学习了集合之后对圆的定义就可以作进一步的理解，即由点构成的集合.（分解要素：圆心和半径）

3.建立模型，求解方程

下面，我们将通过代数方程来研究几何图形——圆，使圆的几何特征得到定量化的描述.

现在，让我们试着求以P（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程. 首先建立一个直角坐标系，设点M为圆上任意一点，

那么，我们根据定义知道：任意点M在圆上的条件是，M点到圆心P 的距离等于圆的半径r，圆心为P的圆就是集合

{P||PM|=r}

那么由我们已经学过的两点间的距离公式，上述条件可以转化为方程表示，即：

将上式两边平方得：

(x-a)2+(y-b)2=r2（1）

根据上面的推导过程，圆上任意一点M 的坐标（x ，y ）适合方程（1）；反过来，如果平面上一点M 的坐标（x ，y ）适合方程（1），可得|MP|=r ，则点M 在圆上.

所以方程(1)是以P(a ，b)为圆心、r 为半径的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程. 显然，当圆心的位置和半径大小确定之后，圆就唯一确定了.

思考：

当圆心分别在原点、x 轴上和y 轴上时，圆的标准方程形式是什么样的呢？

教师讲解：

当圆心在原点即P(0，0)时：方程为 x 2+y 2=r 2

当圆心在x 轴上时：方程为222)(r y a x =+- )0(≠r

当圆心在y 轴上时：方程为222()x y b r +-= )0(≠r

注意：

圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所

以，只要a ，b ，r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备两个条件，即三个量．

确定a 、b 、r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决．

4.小试牛刀

例1.写出圆心为A （2，-3），半径长为5的圆的方程，并判断点M （5，-7）和点N （-√5 ，-1）是否在这个圆上.

解：

圆心为A （2，-3），半径为5的圆的标准方程是()222(3)25x y -++=

把点M （5，-7）的坐标带入方程

()222(3)25

x y -++=，左右两边相

等，点M 适合圆的方程，所以点M 在这个圆上；把点N （-√5 ，-1）的坐标代入方程()2

22(3)25x y -++=，左右两边不相等，点N 不

适合圆的方程，所以点N 不在这个圆上.

解题要求：根据圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．

5.探究：点与圆的位置关系

容易看出，如果点M （x ，y ）在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径r ，即

()2

22()x a y b r -+-> 如果点M （x ，y ）在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径r ，即

()2

22()x a y b r -+-< 6.能力提高

例2：△ABC 三个顶点的坐标分别为A （5,1），B （7,-3），C （2，-8），求它的外接圆的方程.

分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆.

解：设所求圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 因为A （5,1），B （7,-3），C （2，-8）都在圆上，所以它们的坐标都满足方程.于是

222

222(5)(1)(7)(3)(2)(8)a b r a b r a b r -+-=-+--=-+--=

解此方程组，得：

a=2,

b=-3

r=5

所以，△ABC 的外接圆方程是

()()2325x y -++=22

注意：要将已经学过的知识灵活运用、转化，从而解决问题

例3：已知圆心为C 的圆经过点A(1，1)和B （2，-2），且圆心C 在直线l :x-y+1=0上，求圆心C 的圆的标准方程.

分析:如图所示,确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C

的圆经过点A(1，1)和B （2，-2），

由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，

所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线

l ’上.又圆心C 在直线l 上，因此

圆心C 是直线l 与直线l ’的交点，

半径长等于|CA|或者|CB|.

解：因为A(1，1)，B （2，-2），所以线段AB 的中点D 的坐标为 31,22??- ???，直线AB 的斜率为

21321AB k --==--

因此线段AB 的垂直平分线l ’的方程是

13232y x ??+=- ???

，即 330x y --=

圆心C 的坐标就是方程组

330

10x y x y --=-+=

的解.

解此方程组，得

2x y =-=-

所以圆心C 的坐标是（-3，-2）.

圆心为C 的圆的半径长

||5r AC ===

所以圆心为C 的圆的标准方程是

(3)(2)=25.x y +++

七、板书设计

八、布置作业

1.完成课本P120-121的练习

2.思考：

+2410x y x y -++=表示什么图形？ 22+2460x y x y --+=表示什么图形？想想为什么呢？

高中数学圆的方程典型例题总结归纳(极力推荐)

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2 = ++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(2 2 ． ∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆42 2 =+y x O ：，求过点()42， P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42， P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴ 21422 =++-k k 解得4 3 = k

圆的标准方程和一般方程

§4-1 圆的标准方程和一般方程 1. 圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆的方程可表示为 ,称为圆的标准方程. 2. 圆的一般方程为 , 其中圆心是，半径长为 . 圆的一般方程的特点： ① x 2和y 2的系数相同，不等于0; ② 没有xy 这样的二次项; ③ 2240D E F +-> 3.求圆的方程常用待定系数法：大致步骤是: ①根据题意,选择适当的方程形式; ②根据条件列出关于a,b,c 或D,E,F 的方程组; ③解出a,b,c 或D,E,F 代入标准方程或一般方程. 另外,在求圆的方程时,要注意几何法的运用. 4. 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）当满足时,点在圆外; （2）当满足时,点在圆上; （3）当满足时,点在圆内.

1. 圆22(2)(3)2x y -++=的圆心和半径分别是( ）. A ．(2,3)-，1 B ．(2,3)-，3 C ． (2,3)- D ．(2,3)- 2. 方程224250x y x y m ++-+=表示圆的条件是 A. 114 m << B. 1m > C. 14 m < D. 1m < ( ) 3.若(2,1)P -为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）. A. 30x y --= B. 230x y +-= C. 10x y +-= D. 250x y --= 4. 一曲线是与定点O (0,0)，A (3,0)距离的比是12 的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程.

5. 求下列各圆的方程： (1).过点(2,0) -； A-，圆心在(3,2) (2).求经过三点(1,1) C-的圆的方程. B、(4,2) A-、(1,4) 6. 一个圆经过点(5,0) x y --=上，求此圆的 B-，圆心在直线3100 A与(2,1) 方程.

圆的标准方程

教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课问题 1：圆在我们的生活中无处不在，日出东方，车行天下，这些都是圆的具体表现形式.请同学们思考一个问题：车轮为何设计为圆形，而不是其他的形状？学生回答：若是方形，走起来颠簸，不舒服；不是圆形，转不起来. 老师点评：正是圆，可以让车轮上的每一点到轴心的距离相等，才保证了轮子转起来而不颠簸. 【设计意图】通过对问题的思考让学生体会圆的性质，回顾圆的定义. 【设计说明】通过实例引入问题，紧扣问题的本质提出矛盾问题，引发学生兴趣并自然切入圆的定义. 问题 2：圆是如何定义的？学生回答：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆．【设计意图】回顾圆的定义便于问题3的回答．【设计说明】回顾圆的定义，通过分析定义引导学生分析问题3. 问题3：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素——圆心（定位）和半径（定形）．【设计说明】教师引导，学生回答．问题4：在平面直角坐标系中，直线可以用一个二元一次方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？如果能，这个方程又有什么特征呢？【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题．【设计说明】教师指出：建立圆的方程正是我们本节课要探究的问题．并板书本节课题：圆的标准方程. 二、探究新知问题5：类比直线点斜式方程的推导方法，你能否总结出求曲线的方程的一般步骤？师生共同回顾和探究：教师引导学生回答如何求曲线的方程． (1)建立适当的直角坐标系，用(x ,y )表示曲线上任意点M 的坐标； (2)写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P (M )|}； (3)用坐标表示条件P (M )，列出方程f (x ,y )=0； (4)化方程f (x ,y )=0为最简形式； (5)说明化简后的方程就是所求曲线的方程．其中步骤(1)(3)(4)必不可少.下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．【设计意图】圆的标准方程的推导是学生第一次接触的曲线方程的推导问题，通过引导学生总结曲线方程的推导步骤，提高学生对求曲线方程问题的理解. 【设计说明】系统总结求曲线方程的步骤，帮助学生掌握求圆的标准方程的方法. 问题6：已知圆的圆心坐标为(,)A a b ，半径为r （其中a 、b 、r 都是常数，0r ），如何确定圆的方程？教师：对于这一问题而言？是否已经建立了坐标系？学生：已经建立了坐标系. 教师：设M(x,y)是圆上任意一点，根据圆的定义如何建立x ,y 满足的关系式？

直线与圆常见公式结论[精选.]

直线与圆常见公式结论 1、斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2、直线的五种方程（熟练掌握两点和截距式、一般式）（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 点法式和点向式在求直线方程时较直观. 3、两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠;②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠；11112222A B C l l A B C ?==与重合 ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4、到角公式和夹角公式 1l 到2l 的角公式 (1)2121 tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=, 12120A A B B +≠). 夹角公式 (1)2121 tan | |1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12 211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2 π. 当12121210k k A A B B =-+=或时，直线12l l ⊥，直线l 1到l 2的角及l 1及l 2的夹角都是2 π.

高中数学圆的方程含圆系典型题型归纳总结

高中数学圆的方程典型题型归纳总结类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种： ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交点的圆系方程此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。当时，得到两圆公共弦所在直线方程例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线与圆的交点的圆系方程为：，即 ………………….① 依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得又满足方程①，则故例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。解：圆和的公共弦方程为，即过直线与圆的交点的圆系方程为，即依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程

例3:求证：m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过一定点P ，并求P 点坐标。分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。解：由原方程得 m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，① 即???-==?? ?=-+=-+4y 9 x 0 5y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4）注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1，即l 恒过定点A （3，1）. ∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－ 2 1 ， ∴l 的方程为2x －y －5=0. 评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论类型二：直线与圆的位置关系例5、若直线m x y +=与曲线2 4x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围. 解：∵曲线24x y -= 表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是22<≤-m 或22=m . 变式练习：1.若直线y=x+k 与曲线x= 2 1y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________. 解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k=－2 例6 圆9)3()3(2 2=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9)3()3(2 2 =-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ．设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ．如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则14 3112 2 =++= m d ， ∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34 36 34332 2 1=+-?+?= d ，14 316 34332 2 2=+-?+?= d ． ∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解： ∵m ∈R ，∴ 得

圆的标准方程优秀教案

第四章圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程教材分析本节内容数学必修2 第四章第一节的起始课，是在学习了直线的有关知识后学习的，圆是学生比较熟悉的曲线，在初中就已学过圆的定义．这节课主要是根据圆的定义，推出圆的标准方程，并会求圆的标准方程．本节课的教学重点是圆的标准方程的理解、掌握；难点是会根据不同的已知条件，利用待定系数法，几何法求圆的标准方程．通过本节课的学习培养学生用坐标法研究几何问题的能力，使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解，增强学生的数学意识．课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解圆的标准方程的推导和应用．教学目标重点: 圆的标准方程的理解、掌握．难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．知识点：会求圆的标准方程. 能力点：根据不同的已知条件求圆的标准方程. 教育点：尝试用代数方法解决几何问题探究过程，体会数形结合、待定系数法的思想方法. 自主探究点：点与圆的位置关系的判断方法. 考试点：会求圆的标准方程. 易错易混点：不同的已知条件，如何恰当的求圆的标准方程. 拓展点：如何根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程．教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课问题 1：什么是圆？【设计意图】回顾圆的定义便于问题2的回答．【设计说明】学生回答．问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）．【设计说明】教师引导，学生回答．问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题．【设计说明】教师指出建立圆的方程正是我们本节课要探究的问题．二、探究新知

圆的标准方程

圆的标准方程教学目标: 掌握圆的标准方程，并根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的基本量a 、b 、r ．重点难点: 根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用待定系数法求圆的基本量a 、b 、r ．引入新课一、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？二、探索研究： 1．圆的标准方程的推导过程： 2．圆的标准方程：_________________________________________________________．例题剖析例1．求圆心是)32(- ， C ，且经过原点的圆的标准方程．例2．已知隧道的截面是半径为m 4的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为m 7.2，高为m 3的货车能不能驶入这个隧道？思考：假设货车的最大宽度为m a 那么货车要驶入该隧道，限高为多少？

例3．（1）已知圆的直径的两个端点是)21( -，A ，)87( ，B ．求该圆的标准方程．（2）已知圆的直径的两个端点是)(11y x A ，，)(22y x B ，．求该圆的标准方程．例4．求过点)11(- ，A ，)11( -，B ，且圆心C 在直线02=-+y x 上的圆的标准方程．巩固练习 1．圆C ：9)2()3(22=++-y x 的圆心坐标和半径分别为__________；__________． 2．圆心为)4,3(-，半径为5的圆的标准方程为． 3．圆心为)43(- ，且与直线0543=--y x 相切的圆的标准方程为． 4．以)24(- ，为圆心且过点)21( ，的圆的标准方程为． 5．若点)11( -，在圆25)2()(2 2=++-y a x 外，则实数a 的取值范围是． 6．求过点)012( ， P 且与y 轴切于原点的圆的标准方程．课堂小结圆的标准方程推导；根据圆的方程写出圆心坐标和半径；用代定系数法求圆的标准方程．

圆的方程知识点总结和典型例题

圆的方程知识点总结和经典例题 1．圆的定义及方程注意点 (1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程． (2)对于方程x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2 ＋E 2 －4F ＞0这一条件． 2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2 ＋(y －b )2 ＝r 2 的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2 ＋(y 0－b )2 ＞r 2 . (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2 ＋(y 0－b )2 ＝r 2 . (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2 ＋(y 0－b )2 ＜r 2 . 3．直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系的判断方法设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2 ＋B 2 ≠0)，圆：(x －a )2 ＋(y －b )2 ＝r 2(r >0)， d 为圆心(a ，b )到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.

相离 d >r Δ<0 2．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．（2）过一点的圆的切线方程的求法 1．当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程． 2．若点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在．（3）求弦长常用的三种方法 1．利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系r 2 ＝d 2 ＋? ?? ? ?l 22 解题． 2．利用交点坐标若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 3．利用弦长公式设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆的两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2 [ x 1＋x 2 2 －4x 1x 2]. 4. 圆与圆的位置关系（1）圆与圆位置关系的判断方法设圆O 1：(x －a 1)2 ＋(y －b 1)2 ＝r 2 1(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2 ＋(y －b 2)2 ＝r 2 2(r 2>0)．方法位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2 的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况

圆的标准方程练习题

第四章 4.1 4.1.1 A 级基础巩固一、选择题 1．圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是 ( ) A ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10 B ．(x ＋4)2＋(y －1)2＝10 C ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10 2．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3,2)满足 ( ) A ．是圆心 B ．在圆上 C ．在圆内 D ．在圆外 3．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标和半径分别为 ( ) A ．(－1,2)，2 B ．(1，－2)，2 C ．(－1,2)，4 D ．(1，－2)，4 4．(2016·锦州高一检测)若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是 ( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1 5．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝ ( ) A ．－4 3 B ．－34 C ．3 D ．2 6．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 ( A ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝0 二、填空题 7．以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是 . 8．圆心既在直线x －y ＝0上，又在直线x ＋y －4＝0上，且经过原点的圆的方程是三、解答题 9．圆过点A (1，－2)、B (－1,4)，求 (1)周长最小的圆的方程； (2)圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程． 10．已知圆N 的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝a 2(a >0). (1)若点M (6,9)在圆上，求a 的值； (2)已知点P (3,3)和点Q (5,3)，线段PQ (不含端点)与圆N 有且只有一个公共点，求a 的取值范围．

圆知识点总结及归纳

(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数都为 1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 2>r 2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2

方法一：方法二：（四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4内切 5内含（五）圆的参数方程（六）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：（1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0.

圆的切点弦方程的九种求法

圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。一、预备知识： 1、在标准方程 2 22)()r b y a x =-+-（下过圆上一点),00y x P （的切线方程为： 200))(())r b y b y a x a x =--+--（（；在一般方程02 2 =++++F Ey Dx y x （042 2>-+F E D ）下过圆上一点),00y x P （的切线方程为： 02 20 000=++++++F y y E x x D yy xx 。 2、两相交圆01112 2=++++F y E x D y x （0412 12 1>-+F E D ）与 022222=++++F y E x D y x （0422 22 2>-+F E D ）的公共弦所在的直线方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。 3、过圆02 2 =++++F Ey Dx y x （042 2>-+F E D ）外一点 ),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=112121||。 4、过圆02 2 =++++F Ey Dx y x （042 2>-+F E D ）外一点 ),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）； 0221 111=++++++F y y E x x D yy xx （在圆的一般方程下的形式）。二、题目已知圆04422 2=---+y x y x 外一点P （-4，-1），过点P 作圆的切线PA 、PB ，求过切点A 、B 的直线方程。三、解法解法一：用判别式法求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为k （当切线的斜率存在时），那么过点P （-4，-1）的切线方程为：)]4([)1(--=--x k y 即 014=-+-k y kx 由 ???=---+=-+-0 4420 142 2y x y x k y kx 消去y 并整理得 0)12416()268()1(2222=+-+--++k k x k k x k ① 令 0)12416)(1(4)268(2 2 2 2 =+-+---=?k k k k k ② 解②得 0=k 或8 15= k

直线和圆的方程知识点总结讲课稿

直线和圆的方程知识点总结

一、直线方程. 1. 直线的倾斜角 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 3. ⑴两条直线平行： 1l 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=?l . ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=?⊥k k l l 4. 直线的交角： 5. 过两直线? ??=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内） 6. 点到直线的距离： ⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A C By Ax d +++= . 注： 1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=. 2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段1212 PP PP PP λλ=u u u r u u u r 所成的比为即,其中P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).则 λλλλ++=++=1,121 21y y y x x x 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。 3. 直线的倾斜角（0°≤α＜180°）、斜率:αtan =k 4. 过两点1212222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=的直线的斜率公式：. 12()x x ≠

高中数学讲义第八章直线和圆的方程(超级详细)

高中数学复习讲义第八章直线和圆的方程

【方法点拨】 1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题． 2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 3．熟练运用待定系数法求圆的方程． 4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想． 6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识．第1课直线的方程【考点导读】理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程．高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考.

【基础练习】 1. 直线x cos α＋ 3y ＋2＝0 的倾斜角范围是50,,66πππ????????????? 2. 过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 10320-+=-=或x y x y 3.直线l 经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为42=-=-+或y x y x 4.无论k 取任何实数，直线()()()14232140k x k y k +--+-=必经过一定点P ，则P 的坐标为（2，2）【范例导析】例1.已知两点A （－1，2）、B （m ，3）（1）求直线AB 的斜率k ；（2）求直线AB 的方程；（3）已知实数m 1? ?∈???? ，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况. 解:（1）当m =－1时，直线AB 的斜率不存在．当m ≠－1时，1 1 k m = +，（2）当m =－1时，AB ：x =－1，当m ≠1时，AB ：()1 211 y x m -= ++. （3）①当m =－1时，2 π α=； ②当m ≠－1时， ∵( 1,1k m ?=∈-∞?+∞??+??

圆的方程题型总结含答案

圆的方程题型总结一、基础知识 1．圆的方程圆的标准方程为___________________；圆心_________，半径________. 圆的一般方程为___________ _________ ____；圆心________ ，半径__________. 二元二次方程2 2 0Ax Cy Dx Ey F 表示圆的条件为： (1)_______ _______； (2) _______ __ . 2.直线和圆的位置关系：直线0Ax By C ++=，圆2 2 2 ()()x a y b r -+-=，圆心到直线的距离为d. 则：（1）d=_________________；（2）当______________时，直线与圆相离；当______________时，直线与圆相切；当______________时，直线与圆相交；（3）弦长公式：____________________. 3. 两圆的位置关系圆1C :2 2 21 1 1x a y b r ；圆2C :2 2 22 2 2x a y b r 则有：两圆相离? _____________________；两圆外切 ?______________________；两圆相交?______________________；两圆内切?_____________________；两圆内含?_____________________.

二、题型总结：（一）圆的方程 1. ★2 2 310x y x y ++--=的圆心坐标，半径 . 2．★★点(1,2-a a )在圆x 2+y 2－2y －4=0的内部，则a 的取值范围是（） A ．－1所表示的曲线关于直线y x =对称，必有（） A ．E F = B ．D F = C ． D E = D ．,,D E F 两两不相等 4．★★★圆03222 2 2 =++-++a a ay ax y x 的圆心在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5. ★若直线34120x y 与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB 为直径的圆的方程是（） A. 2 2430x y x y B. 22430x y x y C. 2 2 434 0x y x y D. 2 2 438 0x y x y 6. ★★过圆2 2 4x y +=外一点()4,2P 作圆的两条切线,切点为,A B ,则ABP ?的外接圆方程是（） A. 42x y --2 2 ()+()=4 B. 2x y -2 2 +()=4 C. 42x y ++2 2 ()+()=5 D. 21x y -+2 2 ()+()=5 7. ★过点1,1A ,1,1B 且圆心在直线20x y 上的圆的方程（） A. 2 2 3 14x y B.2 2 3 1 4x y C. 22 1 1 1x y D. 2 2 1 1 1x y 8．★★圆2 2 2690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是（） A ．2 2 (7)(1)1x y +++= B ．2 2 (7)(2)1x y +++= C ． 2 2 (6)(2)1x y +++= D ．2 2 (6)(2)1x y ++-=