第九章 周期对称结构的静力分析 如果结构绕其轴旋转一个角度α，结构（包括材料常数）与旋转前完全相同，则将这种结构称为周期对称结构（循环对称结构）。符合这一条件的最小旋转角α称为旋转周期，从结构中任意取出夹角为α的部分都可以称为结构的基本扇区。由基本扇区绕其轴旋转复制N （＝απ/2，N 必为整数）份，则可得到整个完整的结构。
在ANSYS 中可以利用结构的周期对称性，在建立模型和求解时，只对一个基本扇区建模和分析，在后处理中再进行扩展，也可得到整个结构的结果。这样可以降低分析的规模，节省计算费用。
本章中介绍的实例依然是第八章的轮盘，区别是此处考虑了轮盘上的6个均压孔。
9．1 问题描述
某型压气机盘如图9.1所示，其截面图如图9.2所示。盘上6个均压孔均布。将叶片的引起的离心效果均匀施加于轮盘的边缘。
图9.1 带有均压孔的压气机盘
图9.2 压气机盘截面
图中所标各点坐标如表9.1所示。
表9.1 盘上各关键点坐标 点编号 1 2 3 4 5 6 7 8
X
226226 157 237.5229.2237.5126 138 Z
208.8258.7 258.7 220.3220.3208.8276.7276.7 点编号 9 10 11 12 13 14 15 16 17 X
102.5102.5 237.5 237.5135 243.85243.85229.2 162.5 Z 263 248.7 273.8 264.1248.7273.8254.8254.8 264.1
盘转速为11373转/分，盘材料TC4钛合金，其弹性模量为：1.15×10MPa ，泊松比
为0.30782，密度为4.48×10吨/立方毫米。
59?叶片数目为74个，叶片和其安装边总共产生的离心力等效为628232N （沿径向等效），这些力假定其均匀作用于轮盘边缘。
孔数目为6个，孔半径为10mm ，均布于轮盘径向200mm 的圆上。
位移约束施加于鼓桶上，为在鼓桶的上表面施加径向约束，在鼓桶的侧面施加轴向约束，为避免刚体位移，两个位置的周向约束均被固定。
9．2 建立模型
本实例中，首先生成第八章建立的盘截面模型，然后根据盘截面生成盘的三维实体模型，再根据布尔运算创建出盘上的均压孔，由于采用周期对称选项进行分析，所以只建立盘的六分之一即可。
本实例中的单位为应力单位MPa ，力单位为N ，长度为mm 。
在周期对称分析中，在建立模型后，划分网格之前，还需要指定周期对称分析类型选
项。
9．2．1 设定分析作业名和标题
在进行一个新的有限元分析时，通常需要修改数据库文件名，并在图形输出窗口中定义一个标题用来说明当前进行的工作内容。另外，对于不同的分析范畴（结构分析、热分析、流体分析、电磁场分析等）ANSYS6.1所用的主菜单的内容不尽相同，为此我们需要在分析开始时选定分析内容的范畴，以便ANSYS6.1显示出跟其相对应的菜单选项。
（1）选取菜单项Utility Menu >File >Change Jobname，将弹出Change Jobname（修改文件名）对话框，如图9.3所示。
图9.3 设定分析文件名
（2）在Enter new jobname（输入新文件名）文本框中输入文字“CH09”，为本分析实例的数据库文件名。
（3）单击按钮，完成文件名的修改。
（4）选取菜单项Utility Menu >File >Change Title，将弹出Change Title（修改标题）对话框，如图9.4所示。
图9.4 设定分析标题
（5）在Enter new title（输入新标题）文本框中输入文字“sstatic analysis of compressor structure with hole”，为本分析实例的标题名。
（6）单击按钮，完成对标题名的指定。
（7）选取菜单项Utility Menu>Plot>Replot，指定的标题“static analysis of compressor structure with hole”将显示在图形窗口的左下角。
（8）选取菜单项Main Menu >Preference，将弹出Preference of GUI Filtering（菜单过滤参数选择）对话框，选中Structural复选框，单击按钮确定。
9．2．2 定义单元类型
在进行有限元分析时，首先应根据分析问题的几何结构，分析类型和所分析的问题的
精度要求等，选定适合分析实例的有限元单元。本例中选用8节点六面体实体单元SOLID45。SOLID45不需要设定实常数。
（1）选取菜单项Main Menu >Preprocessor >Element Type >Add/Edit/Delete，将弹出Element Types（单元类型）定义对话框，如图9.5所示。
图9.7定义单元类型
（2）单击按钮，将弹出Library of Element Types（单元类型库）对话框,如图9.6所示。
图9.6 单元类型库对话框
（3）然后在左边的列表框中选择“Solid”，选择实体单元类型。
（4）单击右边的列表框右边的滚动条，选择“Brick 8node 45”，选择8节点六面体单元SOLID45。
（5）单击按钮，将SOLID45单元添加，并关闭单元类型库对话框，同时返回到第一步弹出的单元类型对话框。
（6）单击按钮，关闭单元类型对话框，结束单元类型的添加。
9．2．3 定义材料属性
本例中选用的单元类型不需定义实常数，故略过定义实常数这一步骤而直接定义材料属性。
考虑惯性力的静力分析中需要定义材料的弹性模量以及密度。具体步骤如下：
（1）选取菜单项Main Menu>Preprocessor>Material Props>Material Models，将弹出Define Material Model Behavior（定义材料模型）对话框，如图9.7所示。
图9.7 定义材料属性对话框
（2）依次双击Structural>Linear>Elastic>Isotropic，展开材料属性的树形结构。将弹出1号材料的弹性模量EX和泊松比PRXY的定义对话框，如图9.8所示。
图9.8 线性各向同性材料的弹性模量和泊松比
（3）在对话框的EX文本框中输入弹性模量为1.15e5，在PRXY文本框中输入泊松比为0.30782。
（4）单击按钮，关闭对话框，并返回到定义材料属性对话框，在定义材料属性会话框的左边一栏出现刚刚定义的参考号为1的材料属性。
（5）依次双击Structural>Density，弹出定义密度对话框，如图9.9所示。
图9.9 定义密度对话框
（6）在DENS文本框中输入密度数值“4.48e-9”，单位为吨/立方毫米。
（7）单击按钮，关闭对话框，并返回到定义材料属性对话框，在定义材料属性
会话框的左边一栏参考号为1的材料属性下方出现密度项。
（8）在Define Material Model Behavior对话框中，单击菜单Material >Exit，或者单击对话框右上角的按钮退出材料模型定义对话框，完成对材料模型的定义。
9．2．4 建立轮盘截面
本节将根据给出的点的坐标创建关键点，然后通过这些关键点创建出盘面模型，需要注意的是，在周期对称分析中，模型位于总体柱座标系下可以方便操作（本例中由于模型是根据点坐标值创建，通过这些点创立的模型将会位于总体柱坐标系下）。
（1）单击Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints>In Active CS，弹出Create Keypoint in Active Coordinate System（在激活坐标系中创建关键点）对话框，如图9.10所示。
图9.10 创建关键点对话框
（2）在Keypoint number（关键点编号）文本框中输入1。
（3）在X,Y,Z Location in active CS（关键点在激活坐标系中坐标值）文本框中依次输入关键点1的X，Z坐标值226和208.8。
（4）单击按钮创建关键点1，同时继续创建下一个关键点。
（5）重复2到4步，直到将表9.1中所列出的所有点创建完毕（将表中的点编号作为关键点编号），在创建最后一个关键点17时，单击按钮，关闭创建关键点对话框。
（6）单击菜单项Utility Menu>PlotCtrls>Numbering，弹出Plot Numbering Controls（编号显示控制）对话框，如图9.11所示。
图9.11 显示图元编号控制对话框
（7）单击Keypoint numbers（关键点编号）复选框使其选中。
（8）单击Line numbers（线编号）复选框使其选中。
（9）在Numbering shown with（编号显示形式）下拉列表中选择Numbers only（仅显示编号）。
（10）单击按钮，使设置生效。
（11）单击Utility Menu>PlotCtrls>Pan-Zoom-Rotate，弹出Pan-Zoom-Rotate对话框。
（12）单击Pan-Zoom-Rotate对话框上的按钮，改变图形窗口的视角。
（13）单击Pan-Zoom-Rotate对话框上的按钮，使所创建的图形充满图形窗口，如图9.12所示。
图9.12 创建的盘截面上的关键点
（14）单击菜单项Main Menu>Modeling>Create>Lines>Lines>Straight Line，弹出关键点选择对话框，要求选择要创建的直线的两个端点。
（15）用鼠标在图形窗口中点取关键点1和2（或者在选择对话框的文本框中输入“1,2”然后回车），创建出端点为关键点1，2的直线。
（16）同样，依次选取关键点2，3；1，6；6，4；4，5；5，16；16，15；15，14；14，11；11，12；12，17；8，7；7，9；9，10；10，13创建直线（每两个点创建一条线，以分号相隔）。
（17）单击按钮，关闭选择对话框。
（18）单击Utility Menu>Plot>Multi-Plots，在图形窗口显示所有图元，如图9.13所示。
图9.13 创建的线关键点
（19）单击Main Menu>Modeling>Create>Lines>Lines>Tangent to Line创建一条与已知线相切的线，弹出线选择对话框，要求选择与将要创建的线相切的线。
（20）选择图9.13中标识为L11的线，单击按钮，弹出点选择对话框，要求选择切点。
（21）选择关键点17，单击按钮，弹出点选择对话框，要求选择欲创建的线的另外一个端点。
（22）选择关键点8，单击按钮。弹出Line Tangent to Line（切线）创建对话框，如图9.14所示。
图9.14 创建与已知线的切线对话框
（23）单击按钮，创建出要求的切线，同时弹出线选择对话框，进行下一条切线的创建。
（24）选择线L2，单击按钮，弹出点选择对话框，要求选择切点。
（25）选择关键点3，单击按钮，弹出点选择对话框，要求选择欲创建的线的另外一个端点。
（26）选择关键点13，单击按钮。弹出如图9.14所示创建切线的对话框。
（27）单击按钮，创建出要求的切线，关闭对话框。
（28）单击菜单项Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Arbitrary>By Lines，弹出线选择对话框，要求选择围成面的边界线，如图9.15所示。
图9.15 通过边界线创建面选择对话框
（29）单击Loop前的单选按钮使其选中，表示将进行自动循环选择。
（30）选择所创建的任意一条边界线，ANSYS会自动选择其余与其首尾相接的线，直到所有选择的线能够组成一封闭区域为止。
（31）单击按钮，创建出轮盘截面。
（32）单击菜单项Utility Menu>PlotCtrls>Numbering，弹出Plot Numbering Controls对话框，单击Line numbers和Keypoint numbers的复选框，使其处于非选中状态，关闭线编号和关键点编号的显示。
（33）单击Utility Menu>Plot>Areas，在图形窗口显示面图元，如图9.16所示。
图9.16 创建的轮盘截面
9．2．5 对盘截面进行旋转生成实体
盘上有六个均压孔，因此盘的基本扇区应该为整个盘的六分之一，即60度。将上一节创建的截面绕其盘的轴（这里为总体Z轴）旋转60度即可生成盘的基本扇区。
（1）单击Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints>In Active CS，弹出Create Keypoint in Active Coordinate System对话框，如图9.10所示。
（2）创建如下关键点以构成盘的旋转轴：
关键点编号 18 19
X 0 0
Z 0 300 （3）单击Main Menu>Preprocessor>Modeling>Operate>Extrude>Areas>About Axis，弹出面选择对话框，要求选择欲旋转的面。
（4）选择9.2.4节定义的截面并单击按钮，弹出关键点选择对话框，要求选择两个关键点以定义旋转轴。
（5）依次选择关键点18，19（可以通过在选择对话框的文本框重输入“18,19”然后
回车），单击按钮，弹出Sweep Area about Axis（将面绕轴旋转）对话框，如图9.17
所示。
图9.17 绕轴旋转面创建体对话框
（6）在Arc length in degrees（旋转角度）文本框中输入“60”。
（7）单击按钮，ANSYS将选择的面旋转60度，创建出盘的基本扇区。
（8）单击Utility Menu>Plot>Volumes，显示体。
（9）单击Utility Menu>PlotCtrls>Pan-Zoom-Rotate，弹出Pan-Zoom-Rotate对话框。
（10）单击Pan-Zoom-Rotate对话框上的按钮，改变图形窗口的视角。
（11）单击Pan-Zoom-Rotate对话框上的按钮，使所创建的图形充满图形窗口，如图9.18所示。
图9.18 创建盘的扇区
（15）单击按钮，保存数据库。
9．2．6 创建均压孔
本节中将利用ANSYS的布尔运算的减运算创建出盘的均压孔。作为盘的一个基本扇区，盘上取出任意60度的部分均可，因此均压孔的位置在已经创建的盘扇区上可以随意放置，但为了图形的美观和习惯起见，将均压孔置于创建的盘扇区的中间（30度位置）。
（1）单击Utility Menu>WorkPlane>Offset WP by Increments，弹出Offset WP（工作平
面偏移）定对话框，如图9.19所示，可以设定工作平面的位置。
图9.19 移动工作平面对话框
（2）在XY,YZ,ZX Angles（转动角度）文本框中输入“30”然后回车，表示将工作平面在XY平面内绕Z轴旋转30度（也可以通过移动上方的滑动条使其数值为30然后单击
按钮实现）。
（3）单击按钮，关闭移动工作平面对话框。
（4）单击Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Cylinder>Solid Cylinder，弹出Solid Cylinder（圆柱体）创建对话框，如图9.20所示。
图9.20 创建圆柱体对话框
（5）在WP X（工作平面内X坐标）文本框中输入均压孔圆心的径向坐标值“200”。
（6）在WP Y文本框中输入0。
（7）在Radius（半径）文本框中输入均压孔半径“10”。
（8）在Depth（高度）文本框中输入将要创建的圆柱体的高度“300”，输入此数值是为了使创建的圆柱体能贯穿盘体以便执行减运算。
（9）单击按钮，ANSYS在指定位置创建出圆柱体，如图9.21所示。
图9.21 创建的圆柱体和盘体扇区
（10）单击Main Menu>Preprocessor>Modeling>Operate>Subtract>Volumes，弹出体选择对话框，要求选择欲从中减去一部分的体。
（11）选择截面扇区，单击按钮，又弹出体选择对话框，要求选择被减体中将要减掉的体。
（12）选择创建的圆柱体，并单击按钮，ANSYS进行布尔运算，从盘的基本扇区中减掉圆柱体，创建出均压孔，如图9.22所示。
图9.22 带有均压孔的基本扇区
（13）单击按钮，保存数据库。
9．2．7 对基本扇区进行分割
一般来说，直接对含有孔的体划分网格都比较困难，因此需要将其分割开来以便对其划分网格。本节中先将基本扇区沿周向切开，然后沿径向再将其切开。
9．2．7．1 沿周向分割基本扇区
本小节中首先创建两个圆弧面，然后用这两个圆弧面对基本扇区进行分割。
（1）单击Utility Menu>PlotCtrls>Pan-Zoom-Rotate，弹出Pan-Zoom-Rotate对话框。
（2）单击Pan-Zoom-Rotate对话框上的按钮，改变图形窗口的视角。
（3）单击Pan-Zoom-Rotate对话框上的按钮，使所创建的图形充满图形窗口
（4）单击Utility Menu>WorkPlane>Align WP with>Global Cartesian，使工作平面和总体笛卡儿坐标系对齐。
（5）单击Main Menu>Modeling>Create>Lines>Lines>Straight Line，弹出关键点选取对话框，要求选择直线的两个端点。
（6）在选择对话框的文本框中输入“18,19”然后回车，沿轮盘的轴创建一条直线。
（7）单击按钮，关闭对话框。
（8）单击Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Arcs>By Cent & Radius，弹出关键点选择对话框，要求选择要创建的圆弧的圆心点和圆弧上任一点以确定半径。
（9）在选择对话框的文本框中输入“0,0”然后回车，表示要将圆心定位在坐标原点。
（10）接着在对话框的文本框中输入“220”然后回车，表示将要创建的圆弧的半径为
220mm。回车后弹出Arc by Center & Radius（根据圆心和半径创建圆弧）对话框，如图9.23所示。
图9.23 创建圆弧对话框
（11）在Arc length in degrees（圆弧角度）文本框中输入“60”。
（12）单击按钮，ANSYS将创建出一段60度的圆弧线，同时弹出关键点选择对话框，要求继续创建下一段圆弧。
（13）在选择对话框的文本框中输入“0,0”然后回车，表示要将圆心定位在坐标原点。
（14）接着在对话框的文本框中输入“180”然后回车，表示将要创建的圆弧半径为180mm。回车后弹出Arc by Center & Radius对话框，如图9.23所示。
（15）在Arc length in degrees（圆弧角度）文本框中输入“60”。
（16）单击按钮，关闭对话框，创建出指定的圆弧线。
（17）单击Utility Menu>Select>Entities，弹出Select Entities对话框。如图9.24所示。
（18）在最上面的下拉列表中选择Lines（线）。
（19）在下面的下拉列表中选择Attached to（关联于）。
图9.24 选择实体对话框
（20）单击Areas前的单选按钮，使其选中，表示将要操作的是所有关联于面的线。
（21）单击Unselect前的单选按钮，使其选中，表示要从选择集中去除所有关联于面的线。
（22）单击按钮，将更改选择集，去除所有关联于面的线，则当前的选择集中的线只有第5步到第11步创建的两条圆弧线和一条轴线。
（23）单击 Menu>PlotCtrls>Numbering ，在弹Utility 出的对话框中打开线编号显示。
（24）单击
按钮，接受设定，关闭对话框。 （25）单击Utility Menu>Plot>Lines ，显示线。如图9.25所示。
图9.25 用来创建切割盘的面的线
（26）单击Main Menu>Preprocessor>Modeling>Operate>Extrude>Along Lines ，弹出选择对27）输入53，然后回车），单击话框，要求选择欲拉伸的线（拉伸出圆柱面）。
（点取图9.25中的线L53（或者在选择对话框的文本框中按钮，又弹出线选择对话框，要求选择拉伸路径线。
（28）选择轴线L52，然后单击按钮，ANSYS 将选定的线沿选择的路径拉伸成部分29）输入54，然后回车），单击的圆柱面。同时弹出选择对话框，要求继续操作。
（点取图9.25中的线L54（或者在选择对话框的文本框中按钮，又弹出线选择对话框，要求选择拉伸路径线。
（28）选择轴线L52，然后单击按钮，ANSYS 将选定的线沿选择的路径拉伸成部分的圆柱面。ering Controls 对话框，单击ct Entities 对话框。
Unsele
（29）单击Utility Menu>PlotCtrls>Numbering ，弹出的Plot Numb Line numbers 复选框使其处于非选中状态，关闭线编号显示。
（30）单击Utility Menu>Select>Everything ，选择所有的图元。
（31）单击Utility Menu>Select>Entities ，弹出Sele （32）在最上面的下拉列表中选择Areas （面）。
（33）在下面的下拉列表中选择Attached to （关联于）。
（34）单击Volumes 前的单选按钮，使其选中，表示将要操作的是所有关联于体的面。
（35）单击ct 前的单选按钮，使其选中，从选择集中去除所有关联于体的面。
（36）单击按钮，将更改选择集，去除所有关联于体的面，则当前的选择集中的面只有刚创建的两个部分圆柱面。
（37）单击Main Menu>Preprocessor>Modeling>Operate>Divide>Volume by Area ，弹出体选
求选择对话框，要择将被分割的体。
（38）单击按钮，选择盘扇区体，弹出面选择对话框，要求选择用来分割的面。
（39）单击按钮,选择当前选择集中的所有面，即两个部分圆柱面。ANSYS 进行布（41）单击Utility Menu>Plot>Volumes ，显示体，如图9.26所示。
尔运算，并将体切分开来。
（40）单击Utility Menu>Select>Everything ，选择所有的图元。
图9.26 沿周向分割后的基本扇区
9．ne>Offset WP by Increments ，弹出Offset WP （移动工作平面）对话框。如图9.27所示。
2．7．1 沿径向分割基本扇区
本小节中，将要用工作平面沿径向将沿周向分割后的基本扇区进一步分割。
（1）单击Utility Menu>WorkPla
图9.27 移动工作平面对话框
（2）将Degrees（角度）滑动条拖到最右边为90度，如图9.27所示。
（3）单击按钮，将工作平面绕X轴转动90度。
（4）在XY,YZ,ZX Angles（转动角度）文本框中输入“,,21”，然后回车，将工作平面绕Y轴（此处Y轴指的是工作平面的Y轴，为总体笛卡儿坐标系的Z轴）转动21度。
（5）单击Main Menu>Preprocessor>Modeling>Operate>Divide>Volu by WrkPlane，弹出体选择对话框，要求选择要用工作平面来分割的体。
（6）单击按钮，则所有的体会被工作平面分割开来。
（7）在XY,YZ,ZX Angles（转动角度）文本框中输入“,,9”，然后回车，将工作平面继续绕Y轴转动9度。
（8）单击Main Menu>Preprocessor>Modeling>Operate>Divide>Volu by WrkPlane，弹出体选择对话框，要求选择要用工作平面来分割的体。
（9）单击按钮，则所有的体会被工作平面分割开来。
（10）在XY,YZ,ZX Angles（转动角度）文本框中输入“,,9”，然后回车，将工作平面绕Y轴转动9度。
（11）单击Main Menu>Preprocessor>Modeling>Operate>Divide>Volu by WrkPlane，弹出体选择对话框，要求选择要用工作平面来分割的体。
（12）单击按钮，则所有的体会被工作平面分割开来。
（13）单击Main Menu>Preprocessor>Modeling>Delete>Line and below，弹出线选择对话框，要求选择欲删除的线。
（14
）单击
按钮，删除所有多余的线（此过程出现错误或者警告对话框，单击
对话框上按钮继续即可）
（15）单击Utility Menu>WorkPlane>Change Active CS to>Global cylindrical，将激活坐标系切换到总体柱坐标系下。
（16）单击Utility Menu>Select>Entities，弹出Select Entities对话框。
（17）在上面的下拉列表中选择Volumes（体）。
（18）在下面的下拉列表中选择By Location（通过位置选取）。
（19）单击X coordinate（X坐标）单选按钮使其选中，通过径向位置选取（当前坐标系为柱坐标系）。
（20）在范围文本框中输入“180,220”，选择径向位置180到220之间的所有体。
（21）单击From Full前的单选按钮使其选中。
（22）单击按钮，在选择集中保留符合指定条件的体。
（23）单击Utility Menu>Select>Comp/Assembly>Create Component，弹出Create Component（创建组件）对话框，如图9.28所示。
图9.28 创建组件对话框
（24）在Component name（组件名）文本框中输入“HOLEVol”。
（25）在Component is made of（组件元件类型）下拉列表中选择Volumes（体）。
（26）单击按钮，将当前选择集中的体定义为组件。
（27）单击Utility Menu>Select>Everything，选择所有。
（28）单击Utility Menu>Plot>Volumes，显示体，如图9.29所示。
图9.29 径向分割后的体
（29）单击按钮，保存数据库。
9．2．8 定义周期对称分析选项
要进行周期对称分析，需要生成周期对称边界条件。周期对称边界条件就是要求对称边界上的各个方向的位移完全一致。周期对称边界条件可以通过ANSYS提供的CYCLIC 宏自动生成，也可以通过定义耦合集来模拟对称边界条件。本章采用ANSYS提供的宏自动生成周期对称边界条件。
采用ANSYS的CYCLIC宏生成周期对称边界需要定义高低角度组件，即周期对称结构的对称边界。ANSYS要求模型的高低角度组件上的网格要对应，即其中一个组件连同其网格向另一个组件转动一个扇区角度，应该和另一个组件的网格应该完全重合。高低角度组件可以由ANSYS自动检测，也可以自己定义，本节中采用自定义的方式以便介绍CYCLIC宏的一些选项。结构的对称边界即高低角度组件不必要是平面，可以为任何形状。
本实例的周期对称分析选项设置的具体操作步骤如下：
（1）单击Utility Menu>Select>Entities，弹出Select Entities对话框。
（2）在上面的下拉列表中选择Areas（面）。
（3）在下面的下拉列表中选择By Location（通过位置选取）。
（4）单击Y coordinate（Y坐标）单选按钮使其选中，通过周向位置选取（当前坐标系为柱坐标系）。
（5）在范围文本框中输入“0”。
（6）单击From Full前的单选按钮使其选中。
（7）单击按钮。
函数之周期性与对称性的理解 首先请大家辨析一下这几个等式关系： 2 )2()()62 )2()(5) 2()()4)2)()30 )2()(20 )2()(1=++=+-++-=+==++=+-+x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f ）（）） 以上6个等式，其中1）、4）、5）是在讲对称性，2）、3）、6）是在讲述周期性。 在教学过程中，我们发现很多学生到高三了还无法自如地辨析，其实大家只需记住六字口诀就能加以辨析： “同周期、异对称” 1）、4）、5）中x 的系数相同，即为周期，2）、3）、6）中x 的系数相异，即为对称，这样我们就能迅速辨析哪些是在讲周期，哪些是对称。 那具体周期为多少？具体关于什么对称呢？这又是大家一个容易混淆的点。 一、下面先讲对称问题的理解，以1）为例： 0)2()(=+-+x f x f 我们要从本质上理解这个等式：令第一个括号里的1x x =，22x x =+-，则满足221=+x x ， 即横坐标的和为2，那就意味着两个横坐标的中点为1=x 。同样的，令1)(y x f =，2)2(y x f =+-，则满足021=+y y ，即这两个点的纵坐标和为零，那就意味着纵坐标互为相反数。那么如果现在我换种方式描述，我说两个点),(),(2211y x y x 与，满足221=+x x ，021=+y y ，那 我们就可以在平面直角坐标系中把这两个点的对称关系画出来了。由图1我们可以很直观的看出来这两个点关于（1,0）中心对称，这两个点都在y=f(x)上，从而整个 函数关于（1,0）中心对称。 同样的，我们分析4），2121,2y y x x ==+，在图像上表示对称关系如下：A 、B 两点关于
函数的周期性与对称性 1、函数的周期性 若 a 是非零常数，若对于函数 y ＝ f(x) 定义域内的任一变量 x 点有下列条件之一成立，则函数 y ＝f(x) 是周期函数，且 2|a| 是它的一个周期。 ①f(x ＋ a) ＝f(x －a) ②f(x ＋ a) ＝－ f(x) ③f(x ＋ a) ＝ 1/f(x) ④f(x ＋ a) ＝－ 1/f(x) 2、函数的对称性与周期性 性质 5 若函数 y＝f(x) 同时关于直线 x＝a与 x＝b轴对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且 T＝2|a －b| 性质 6、若函数 y＝ f(x) 同时关于点( a， 0)与点( b，0)中心对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且 T＝2|a －b| 性质 7、若函数 y＝f(x) 既关于点( a，0)中心对称，又关于直线 x＝b 轴对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且 T＝4|a －b| 3.函数y f (x) 图象本身的对称性(自身对称) 若f (x a) f (x b) ，则f ( x)具有周期性；若f (a x) f(b x)，则f(x)具有对称性：“ 内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、f(a x) f (b x) y f ( x)图象关于直线x(a x) (b x) a b对称22 推论 1：f (a x) f (a x) y f (x) 的图象关于直线x a对称 推论 2、f (x) f (2a x) y f (x) 的图象关于直线x a对称 推论 3、f ( x) f(2a x) y f ( x)的图象关于直线x a对称 ab 2、f(a x) f (b x) 2c y f ( x)的图象关于点(a b,c)对称 2 推论 1、f (a x) f (a x) 2b 推论 2、f (x) f (2a x) 2b 推论 3、f ( x) f(2a x) 2b 例题 分析： 1．设f (x) 是( , )上的奇函数，f (47.5) 等于 (A)0.5 ( B) 0.5 2、(山东)已知定义在R 上的奇函数 A ．－ 1 B． 0 y f (x)的图象关于点(a,b) 对称 y f (x) 的图象关于点(a,b) 对称 y f (x) 的图象关于点(a,b)对称 f (x 2) f (x)，当0 x 1时，f(x) x ，则 ( ) ( C)1.5 (D) 1.5 f (x)满足f (x 2) f(x)，则f(6) 的值为( ) C． 1 D．2 f (1) 2, f (x 1) f (x 6), 求f (10).
第九章 周期对称结构的静力分析 如果结构绕其轴旋转一个角度α，结构（包括材料常数）与旋转前完全相同，则将这种结构称为周期对称结构（循环对称结构）。符合这一条件的最小旋转角α称为旋转周期，从结构中任意取出夹角为α的部分都可以称为结构的基本扇区。由基本扇区绕其轴旋转复制N （＝απ/2，N 必为整数）份，则可得到整个完整的结构。 在ANSYS 中可以利用结构的周期对称性，在建立模型和求解时，只对一个基本扇区建模和分析，在后处理中再进行扩展，也可得到整个结构的结果。这样可以降低分析的规模，节省计算费用。 本章中介绍的实例依然是第八章的轮盘，区别是此处考虑了轮盘上的6个均压孔。 9．1 问题描述 某型压气机盘如图9.1所示，其截面图如图9.2所示。盘上6个均压孔均布。将叶片的引起的离心效果均匀施加于轮盘的边缘。 图9.1 带有均压孔的压气机盘
图9.2 压气机盘截面 图中所标各点坐标如表9.1所示。 表9.1 盘上各关键点坐标 点编号 1 2 3 4 5 6 7 8 X 226226 157 237.5229.2237.5126 138 Z 208.8258.7 258.7 220.3220.3208.8276.7276.7 点编号 9 10 11 12 13 14 15 16 17 X 102.5102.5 237.5 237.5135 243.85243.85229.2 162.5 Z 263 248.7 273.8 264.1248.7273.8254.8254.8 264.1 盘转速为11373转/分，盘材料TC4钛合金，其弹性模量为：1.15×10MPa ，泊松比 为0.30782，密度为4.48×10吨/立方毫米。 59?叶片数目为74个，叶片和其安装边总共产生的离心力等效为628232N （沿径向等效），这些力假定其均匀作用于轮盘边缘。 孔数目为6个，孔半径为10mm ，均布于轮盘径向200mm 的圆上。 位移约束施加于鼓桶上，为在鼓桶的上表面施加径向约束，在鼓桶的侧面施加轴向约束，为避免刚体位移，两个位置的周向约束均被固定。 9．2 建立模型 本实例中，首先生成第八章建立的盘截面模型，然后根据盘截面生成盘的三维实体模型，再根据布尔运算创建出盘上的均压孔，由于采用周期对称选项进行分析，所以只建立盘的六分之一即可。 本实例中的单位为应力单位MPa ，力单位为N ，长度为mm 。 在周期对称分析中，在建立模型后，划分网格之前，还需要指定周期对称分析类型选
函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）
第一章结构静力分析 1．1 结构分析概述 结构分析的定义：结构分析是有限元分析方法最常用的一个应用领域。结构这个术语是一个广义的概念，它包括土木工程结构，如桥梁和建筑物；汽车结构，如车身骨架；海洋结构，如船舶结构；航空结构，如飞机机身等；同时还包括机械零部件，如活塞，传动轴等等。 在ANSYS产品家族中有七种结构分析的类型。结构分析中计算得出的基本未知量（节点自由度）是位移，其他的一些未知量，如应变，应力，和反力可通过节点位移导出。 静力分析---用于求解静力载荷作用下结构的位移和应力等。静力分析包括线性和非线性分析。而非线性分析涉及塑性，应力刚化，大变形，大应变，超弹性，接触面和蠕变。 模态分析---用于计算结构的固有频率和模态。 谐波分析---用于确定结构在随时间正弦变化的载荷作用下的响应。 瞬态动力分析---用于计算结构在随时间任意变化的载荷作用下的响应，并且可计及上述提到的静力分析中所有的非线性性质。 谱分析---是模态分析的应用拓广，用于计算由于响应谱或PSD输入（随机振动）引起的应力和应变。 曲屈分析---用于计算曲屈载荷和确定曲屈模态。ANSYS可进行线性（特征值）和非线性曲屈分析。 显式动力分析---ANSYS/LS-DYNA可用于计算高度非线性动力学和复杂的接触问题。 此外，前面提到的七种分析类型还有如下特殊的分析应用： ●断裂力学 ●复合材料 ●疲劳分析 ●p-Method 结构分析所用的单元：绝大多数的ANSYS单元类型可用于结构分析，单元型 从简单的杆单元和梁单元一直到较为复杂的层合壳单元和大应变实体单元。 1．2 结构线性静力分析 静力分析的定义 静力分析计算在固定不变的载荷作用下结构的效应，它不考虑惯性和阻尼的影响，如结构受随时间变化载荷的情况。可是，静力分析可以计算那些固定不变的惯性载荷对结构的影响（如重力和离心力），以及那些可以近似为等价静力作用的随时间变化载荷（如通常在许多建筑规范中所定义的等价静力风载和地震载荷）。 静力分析中的载荷 静力分析用于计算由那些不包括惯性和阻尼效应的载荷作用于结构或部件上引起的位移，应力，应变和力。固定不变的载荷和响应是一种假定；即假定载荷和结构的响应随时间的变化非常缓慢。静力分析所施加的载荷包括： ●外部施加的作用力和压力 ●稳态的惯性力（如中力和离心力） ●位移载荷 ●温度载荷 线性静力分析和非线性静力分析 静力分析既可以是线性的也可以是非线性的。非线性静力分析包括所有的非线性类型：大变形，塑性，蠕变，应力刚化，接触（间隙）单元，超弹性单元等。本节主要讨论线性静力分析，非线性静力分析在下一节中介绍。
第二章构件的静力分析检测题 一， 填空题： 1.力的三要素指的是 ， ， 。 2.常见的约束类型有 ， ， 和 。 3.力矩是力对一点的矩，等于该点带力作用线上任一点 与 的矢量积。 4.两个大小相等方向相反的平行力组成的二力，称为 。 5.可以把作用在刚体上点A 的力F 平移到一点B ，但同时必须附加一个 ，其大小等于 。 6.若刚体处于平衡，则必须满足作用于刚体上的合力矢 ，合力偶矩 。 7.物体G=100N ，置于水平面上。物体与平面的滑动摩擦系数为，当物体受水平力Q 分别为10N ，30N ，40N 时，则摩擦力分别为 } ， 和 。 8.正在匀速行驶的气车，后轮是驱动轮，前轮是从动轮，则后轮所受摩擦力的方向是 ，前轮所受摩擦力的方向是 。 9.图示：在水平面上放置A ，B 两个物体，重量GA=100N ，GB=200N ，中间用一根绳联接，A ，B 两物体与地面的摩擦系数为，若以大小为F=30N 的拉力拉物体时，绳的拉力为 ，若F=50N 时，绳的拉力为 ，若F=60N 时绳的拉力为 。 10.作用力和反用力是作用在 物体上，大小 ，方向 。 二， 选择题： 1.图示：受力物体，F1=F2=F3，则该物体处于（ ）状态。 A.平衡 B.不平衡 C.既可能平衡也可能不平衡 2. 举重时，双手向上举杠铃，杠铃向下压手，但终归将杠铃举起， F3 F2
因此这二力的关系是：（ ） A.手举杠铃的力大于杠铃对手的压力 B.举力和压力等值，反向，共线属于平衡力 C.举力和压力等值，反向，共线，同时分别作用在人手和杠铃上，属于一对作用力和反作用力。 3.在平面中力矩不为零的条件是（ ） A. 作用力为0，力臂不为0 B. 作用力和力臂都不为0 C. — D. 作用力不为0，力臂为0 4.图示三种情况，轮的转动效果是（ ） A.相同 B.不相同 C.不一定相同 5.如图，同样的绳索吊同一重物，按A ，B ，C ）如图（ $ A B C 6.吊灯如图所示，已知灯重G ，悬绳AB=BC=2m ，BD=1m ，则悬绳所受的拉力为（ ） =T BC =G/2 B. T AB =T BC =G C. T AB =T BC =√3G < 7.小车受力情况如图，已知F 1=30N 、F 2=50N 、α=300，则其水平方向的合力为（ ） A.向前 B.向后 9.如图一重为G 的小球，用绳索AB 挂于墙上，AB 与墙的夹角为300，则绳AB 的拉力为（ ） … 、 A C A
一:有关周期性的讨论 在已知条件()()f a x f b x +=-或 ()()f x a f x b +=-中， (1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2 b a x +=。 (2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。 设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立 周期性规律 对称性规律 (1))()(a x f a x f +=- a T 2=? (1))()(x a f x a f -=+ a x =? (2))()(a x f x f += a T =? (2))()(x b f x a f -=+ 2 b a x += ? (3))()(x f a x f -=+ a T 2=? (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=? (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=? (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2 (b a +? (5))(1)(x f a x f - =+ a T 2=? (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ? (6)1 )(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=? (7) 1()()1() f x f x a f x -+=+ a T 2=? (8) 1()()1()f x f x a f x -+=- + a T 4=? (9) ) (1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=? (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=?
第12章周期对称结构的模态分析 ANSYS的周期对称分析支持Static（静力）分析和Modal（模态）分析。静力分析支持线性和大变形非线性；模态分析支持带有预应力的模态分析和不带有预应力的两种，关于带有预应力的模态分析本书第九章有专门讲述。本章只讲述不带有预应力的模态分析。在静力分析和模态分析这两种分析类型中，关于模型建立部分的要求是一致的，不同的是在进行模态分析时需要指定求解的节径数以及指定对于每个节径数的求解的模态阶数。对于每个节径，ANSYS均将其作为一个载荷步。ANSYS将周期对称边界条件施加于每一载荷步，并且每求解一个载荷步（即节径）后，都将构成周期对称边界条件的约束方程删除（保留任何用户自定义的约束方程）。在静力分析中ANSYS只求解零节径，而在模态分析中默认将求解全部节径。 本章中介绍的实例依然是第9章的轮盘，包括模型和边界条件。 12.1 问题描述 某型压气机盘，见9.1节的对其描述。要求查看其低阶频率结构和振动模态。 12.2 建立模型 本实例的模型建立过程可以参考第9章相关内容。需要注意的是在周期对称分析中，在建立几何模型后，划分网格之前，需要指定周期对称选项。 12.2.1 设定分析作业名和标题 在进行一个新的有限元分析时，通常需要修改数据库文件名（原因见第2章），并在图形输出窗口中定义一个标题用来说明当前进行的工作内容。另外，对于不同的分析范畴（结构分析、热分析、流体分析、电磁场分析等）ANSYS6.1所用的主菜单的内容不尽相同，为此我们需要在分析开始时选定分析内容的范畴，以便ANSYS6.1显示出跟其相对应的菜单选项。 1．选取菜单路径Utility Menu | File | Change Jobname，将弹出Change Jobname (修改文件名)对话框，如图12.1所示。
（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
函数的对称性和奇偶性函数 函数对称性、周期性基本知识 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+、 、(异号考虑对称) )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）
第二章构件的静力分析检测题 一， 填空题： 1.力的三要素指的是 ， ， 。 2.常见的约束类型有 ， ， 和 。 3.力矩是力对一点的矩，等于该点带力作用线上任一点 与 的矢量积。 4.两个大小相等方向相反的平行力组成的二力，称为 。 5.可以把作用在刚体上点A 的力F 平移到一点B ，但同时必须附加一个 ，其大小等于 。 6.若刚体处于平衡，则必须满足作用于刚体上的合力矢 ，合力偶矩 。 7.物体G=100N ，置于水平面上。物体与平面的滑动摩擦系数为，当物体受水平力Q 分别为10N ，30N ，40N 时，则摩擦力分别为 ， 和 。 8.正在匀速行驶的气车，后轮是驱动轮，前轮是从动轮，则后轮所受摩擦力的方向是 ，前轮所受摩擦力的方向是 。 9.图示：在水平面上放置A ，B 两个物体，重量GA=100N ，GB=200N ，中间用一根绳联接，A ，B 两物体与地面的摩擦系数为，若以大小为F=30N 的拉力拉物体时，绳的拉力为 ，若F=50N 时，绳的拉力为 ，若F=60N 时绳的拉力为 。 10.作用力和反用力是作用在 物体上，大小 ，方向 。 二， 选择题： 1.图示：受力物体，F1=F2=F3，则该物体处于（ ）状态。 A.平衡 B.不平衡 C.既可能平衡也可能不平衡 2. 举重时，双手向上举杠铃，杠铃向下压手，但终归将杠铃举起， F3 F2
因此这二力的关系是：（ ） A.手举杠铃的力大于杠铃对手的压力 B.举力和压力等值，反向，共线属于平衡力 C.举力和压力等值，反向，共线，同时分别作用在人手和杠铃上，属于一对作用力和反作用力。 3.在平面中力矩不为零的条件是（ ） A. 作用力为0，力臂不为0 B. 作用力和力臂都不为0 C. 作用力不为0，力臂为0 4.图示三种情况，轮的转动效果是（ ） A.相同 B.不相同 C.不一定相同 5.如图，同样的绳索吊同一重物，按A ，B ，C ）如图（ A B C 6.吊灯如图所示，已知灯重G ，悬绳AB=BC=2m ，BD=1m ，则悬绳所 受的拉力为（ ） =T BC =G/2 B. T AB =T BC =G C. T AB =T BC =√3G 7.小车受力情况如图，已知F 1=30N 、F 2=50N 、α=300 ，则其水平方向的合力为（ ） A.向前 B.向后9.如图一重为G 的小球，用绳索AB 挂于墙上，AB 与墙的夹角为300 ， 则绳AB 的拉力为（ ） A.0.5G C. 2√3/3G 10.如图一匀质正方体重量为G ，受水平力P 的作用，物体与地面的 T A C A
函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组 (一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性） 1、奇偶性:（1）奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0) ()(x f x f （2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 （1）函数的轴对称： 函数)(x f y 关于a x 对称)()(x a f x a f )()(x a f x a f 也可以写成)2() (x a f x f 或)2()(x a f x f 若写成： )()(x b f x a f ，则函数)(x f y 关于直线22)() (b a x b x a x 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y 上，通过)2()(x a f x f 可知，)2()(111x a f x f y ，即点)(),2(11x f y y x a 也在上，而点 ),(11y x 与点),2(11y x a 关于x=a 对称。得证。说明：关于a x 对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。∵1111(,)(,)a x y a x y 与关于x a 对称，∴函数)(x f y 关于a x 对称 )()(x a f x a f ∵1111(,)(2,)x y a x y 与关于x a 对称，∴函数)(x f y 关于a x 对称 )2()(x a f x f ∵1111(,)(2,)x y a x y 与关于x a 对称，∴函数)(x f y 关于a x 对称 )2()(x a f x f （2）函数的点对称： 函数)(x f y 关于点),(b a 对称b x a f x a f 2)()(
实验一 衍架的结构静力分析 结构静力分析是ANSYS 软件中最简单，应用最广泛的一种功能，它主要用于分析结构在 固定载荷（主要包括外部施加的作用力，稳态惯性力如重力和离心力，位移载荷和温度载荷等）作用下所引起的系统或部件的位移，应力，应变和力。一般情况下，结构静力分析适用于不考虑或惯性，阻尼以及动载荷等对结构响应的影响不大的场合，如温度，建筑规范中的等价静力风载和地震载荷等在结构中所引起的响应。 结构静力分析分为线性分析和非线性分析两类，由于非线性分析涉及大变形，塑性，蠕变和应力强化等内容，较为复杂，不适于作为入门教学。因此，本实训中只讨论ANSYS 的线性结构静力分析。 一、问题描述 图1所示为由9个杆件组成的衍架结构，两端分别在1，4点用铰链支承，3点受到一 个方向向下的力F y ,衍架的尺寸已在图中标出，单位： m 。试计算各杆件的受力。 其他已知参数如下: 弹性模量（也称扬式模量） E=206GPa ；泊松比μ=0.3； 作用力F y =-1000N ；杆件的 横截面积A=0.125m 2. 显然，该问题属于典型的衍架静力分析问题，通过理论求解 方法（如节点法或截面法）也可以很容易求出个杆件的受力，但这里为什么要用ANSYS 软件对其分析呢？ 二、实训目的 本实训的目的有二：一是使学生熟悉ANSYS8.0软件的用户界面，了解有限元分析的一 般过程；二是通过使用ANSYS 软件分析的结果和理论计算结果进行比较，以建立起对利用ANSYS 软件进行问题根系的信任度，为以后使用ANSYS 软件进行更复杂的结构分析打基础。 图1衍架结构简图
三、结果演示 通过使用ANSYS8.0软件对该衍架结构进行静力分析，其分析结果与理论计算结果如表 1所示。 表1 ANSYS 分析结果与理论计算结果的比较 比较结果表明，使用ANSYS 分析的结果与理论计算结果的误差不超过0.5%，因此， 利用ANSYS 软件分析来替代理论计算是完全可行的。 四、实训步骤 （一） ANSYS8.0的启动与设置 1． 启动。点击：开始>所有程序> ANSYS8.0> ANSYS ，即可进入ANSYS 图形用户主界面。如图2所示。其中，几个常用的部分有应用菜单，命令输入栏，主菜单，图形显示区和显示 图形显示区 主菜单 应用菜单 命令输入栏 显示调整工具栏 图2 用户主界面
专题：函数的周期性对称性 1、周期函数的定义 一般地，对于函数)(x f y =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f y =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 显然，若T 是函数的周期，则)0,(≠∈k z k kT 也是)(x f 的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。 说明：1、周期函数定义域必是无界的。 2、周期函数不一定都有最小正周期。 【可让学生举出反例，随后教师给出例子：函数()()f x C C =为常数】 推广：若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期； )2 ()2(T x f T x f -=+ ，则)(x f 周期为T ； ()f x 的周期为)(x f T ω?的周期为 ω T 。 2、常见周期函数的函数方程： （1）函数值之和定值型，即函数)()()(b a C x b f x a f ≠=+++ 对于定义域中任意x 满足)()()(b a C x b f x a f ≠=+++，则有)()]22([x f a b x f =-+，故函数)(x f 的周期是)(2a b T -= 特例：()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；
（2）两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型 若)()()(可正可负，C b a C x b f x a f ≠=+?+，则得 )]22()2[()2(a b a x f a x f -++=+，所以函数)(x f 的周期是)(2a b T -= （3）分式型，即函数)(x f 满足)() (1) (1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++= + 由)()(1)(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++= +得) 2(1 )2(b x f a x f +-= +，进而得 1)2()2(-=+?+b x f a x f ，由前面的结论得)(x f 的周期是)(4a b T -= 特例： ()() 1 f x a f x +=± ，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ) (11 )(x f a x f +- =+，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数. ) (1 1)(x f a x f - =+，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数. ) (11 )(x f a x f -= +，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数. 1() ()1() f x f x a f x ++= -，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 1 )(1 )()(+-= +x f x f a x f ，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 1 )(1 )()(-+= +x f x f a x f ，则()x f 是以a T 2=为周期的周期函数. 1() ()1() f x f x a f x -+= +，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. （4）递推型： )()()(a x f x f a x f --=+（或)2()()(a x f a x f x f ---=），则)(x f 的周期T = 6a （联 系数列）
在结构的静力分析中载荷与约束的施加方案对计算结果有较大的影响，甚至导致计算结果不可信，笔者在《结构设计CAE主业务流程》的博文中也提到这一点。那么到底如何施加载荷与约束呢？归根到底要遵循一个原则——尽量还原结构在实际中的真实约束和受力情况。本文着重介绍几种约束的施加方法与技巧，并通过具体例子来进一步说明。 1 销轴约束 销轴连接在结构中是很常见的一种形式，其约束根据具体的结构形式有所不同，下面以一个走行装置为例具体介绍一下。 走行装置是连接平动轨道与上部结构的，其约束应是轨道通过车轮对走行装置的约束，但是通常对于车轮只要验证其轮压满足要求即可，因此在模型中往往将车轮简化掉，因此对于走行装置的约束就变为销轴约束。 图1 某走行装置 图1 中1-10是与车轮相连接的轴孔，车轮行驶于轨道上，约束位置在10对轴孔处，如果把整个轴孔都约束则约束刚度太大，结果会导致圆孔周围应力过大，因此应简化为约束轴孔中心点，将中心点与轴孔边缘通过刚性单元连接，简化为点约束。首先y方向（竖直向上）是应该约束的（此处假设车轮及轴为刚体），其次由于轨道与轮缘的相互作用，z方向（侧向）也应该是约束的，然后由于走行装置在向下的压力下会产生沿x方向（运行方向）的位移，因此x方向约束应放开，但是如果10对轴孔中心x方向的约束全放开则会导致约束不全无法计算，因此应在1轴孔或10轴孔中心处施加x方向的约束，这样实现全自由度约束。 2 转动轨道约束 图2是一个翻车机模型，该结构通过电机驱动，托辊支撑，2个端环在轨道上转动来实现翻卸功能。
图2 翻车机 由于翻车机托辊支撑端环，由电机驱动不断地翻转卸车，造成其约束位置方向不断变化，针对一个具体翻转角度，翻车机端环在与托辊接触处（线接触）应约束沿翻车机端环径向，另外，由于翻车机在荷载作用下会产生沿翻车机轴向的位移，所以两端环中要约束一个端环的轴向自由度。 3 对称面约束 图3是某钢水罐模型，该模型关于y-z面对称，下面介绍一下该结构的约束处理。 图3 钢水罐 首先在1处由于受到钢水罐起吊装置的限制，其竖直方向y及水方向z无法变形，应施加z 方向及y方向的约束，而x方向是没有约束的，此时因缺少约束无法计算，应注意到该结构(包
第二章 构件的静力分析构件的静力分析是选择构件的材料、确定构件具体外形尺寸的基础。 一、工程力学的几个基本概念 1、刚体 指受力时不变形的物体。 实际中刚体并不存在，但如果物体的尺寸和运动范围都远大于其变形量，则可不考虑变形的影响，将其视为刚体，因此，刚体只是一个理想的力学模型。 2、平衡 平衡是指物体相对于地面保持静止或作均速直线运动。 3、平衡条件 作用在刚体上的力所应当满足的必要和充分的条件称为平衡条件。 二、力的基本性质 （一） 力和力系 1、力的定义 力是物体间的相互作用，这种作用使物体的运动状态和形状发生改变。 力使物体的运动状态发生改变的效应，称为力的外效应；使物体的形状发生改变的效应，称为力的内效应 2、力的三要素 力的大小、方向和作用点称为力的三要素。 力的任一要素的改变，都将改变其作用效果，因此，力是矢量，用黑体字母（如F）表示，对应的白体字母表示其大小，力的大小以牛顿（N）为单位。 3、力的图示法 力在图中用有向线段AB表示： 线段的长度代表其大小；线段所在 的直线为力的作用线，箭头代表力 的方向；线段的起点表示力的作用点。 4、力系 1）力系的概念
作用在物体上的力群称为力系 2）力系的等效 力系的等效是指两个力系对同一刚体的作用效果相同。等效的两个 力系可以互相代替。 3）合力与分力 若一个力与另一力系等效，则此力称为该力系的合力，力系中各力 称为此力的分力。 （二）力的基本性质 性质一（二力平衡原理） 作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这 两个力大小相等，方向相反，作用在同一直线上（即两力等值、反向、 共线）。 只受二个力的作用而保持平衡的刚体称为二力体。 性质二（力的平行四边形法则） 作用在物体上同一点的两个力，可以按平行四边形法则合成一个 合力。此合力也作用在该点，其大小和方向由这两力为边构成的平行四 边形的主对角线确定。 R＝F1＋F2 二力既然可以合成为一力，则一力也可以分解为二力。 推理：（三力平衡汇交定理） 当刚体受三个力作用而处于平衡时，若其中两个力的作用线汇 交于一点，则第三个力的作用线必交于同一点，且三个力的作用线在同 一平面内。 三力平衡定理在工程实践中，常用来确定结构物（例如三铰 拱）支座反力的作用线。 性质三（作用和反作用定律） 任意两个相互作用物体之间的作用力和反作用力同时存在。这 两个力大小相等，作用线相同而指向相反，分别作用在这两个物体上。 （注意和二力平衡的区别） 这个公理概括了自然界中物体间相互的作用力的关系，表明一 切力总是成对的出现的。有作用力就必有反作用力，它们彼此互为依存 条件，失去一方，他方也就不存在。但是应该注意作用力与反作用力是 分别作用在两个物体上的，决不能认为这两个力互成平衡。这与公理一
有关周期性的常见结论：),0(b a a ≠≠ 1、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有)()(x f a x f -=+，则a T 2=； 2、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有) (1)(x f a x f =+，则a T 2=； 3、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有)(1)(x f a x f - =+，则a T 2=； 4、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有) (1)(1)(x f x f a x f +-=+，则a T 2=； 5、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有)(1)(1)(x f x f a x f -+= +，则a T 4=； 6、 若)(x f 的图象关于a x =对称，且关于b x =对称，则||2b a T -=； 7、 若)(x f 的图象关于)0,(a 对称，且关于b x =对称，则||4b a T -=； 8、 若)(x f 的图象关于)0,(a 对称，且关于)0,(b 对称，则||2b a T -=； 有关对称性的常见结论： 1、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线a x =对称； 2、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有)()(x a f x f -=，则)(x f 的图象关于直线2 a x = 对称； 3、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2b a x +=对称； 4、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有0)()(=-++x a f x a f ，则)(x f 的图象关于点)0,(a 对称； 5、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有0)()(=-++x b f x a f ，则)(x f 的图象关于点)0,2 ( b a +对称； 6、 若)(x f 对定义域内的任意x 都有 c x b f x a f =-++)()(，则)(x f 的图象关于点)2,2(c b a +对称；
Workbench -Mechanical Introduction 第四章 静力结构分析
概要 Training Manual ?本章，将练习线性静力结构分析，模拟过程中包括： A.几何和单元 B.组件和接触类型 C.分析设置 D.环境，如载荷和约束 环境如载荷和约束 E.求解模型 F.结果和后处理 ?本节描述的应用一般都能在ANSYS DesignSpace Entra或更高版本中使用。 –尽管本章中讨论的一些选项可能需要更高级的许可，但都给了提示。
线性静态结构分析基础 Training Manual ?对于一个线性静态结构分析（Linear Static Analysis），位移{x}由下面的矩阵方程解出： []{}{}F K= x 假设： –[K] 是一个常量矩阵 [K]是个常量矩阵 ?假设是线弹性材料行为 ?使用小变形理论 可能包含些非线性边界条件 ?可能包含一些非线性边界条件 –{F}是静态加在模型上的 ?不考虑随时间变化的力 ?不包含惯性影响（质量、阻尼） ?记住关于线性静态结构分析的假设是很重要的。非线性静态分析和动态分析在后面章节讲解。
A. 几何模型 Training Manual ?在结构分析中，可能模拟各种类型的实体。 ?对于面实体，在Details of surface body中一定要指定厚度值。 ?线实体的截面和方向，在DesignModeler里进行定义，并自动导入到Simulation（模拟）中。
… 质量点 Training Manual ?在模型中添加一个质量点来模拟结构中没有明确建模的重量体： –质量点只能和面一起使用。 –它的位置可以通过下面任一种方法指定： ?用户自定义的坐标系中指定（x，y，z）坐标值 ?通过选择顶点/边/面指定位置 –质量点只受包括加速度、重力加速度和角加速度的影响。 –质量是与选择的面联系在一起的，并假设它们之间没有刚度。 –不存在转动惯性