近世代数教案
西南大学
数学与统计学院
张广祥
学时数：80（每周4学时）
使用教材：抽象代数——理论、问题与方法，科学出版社2005
教材使用说明：该教材共10章，本课程学习前6章，覆盖通用的传统教材（例如：张禾瑞《近世代数基础》）的所有内容，但本教材更强调抽象代数理论的应用和方法特点。本教材的后4章有一定难度和深度，可作为本科近世代数（二）续用。如果不再开设近世代数（二），则可以供有兴趣的学生自学、自读，进一步了解现代代数学更加前沿的内容，拓宽知识面。
教学方法：由于该教材首次在全年级使用，采用教研室集体备课的方式，每2周一次参加教学的教师集体研讨备课。
每节配有3—5题常规练习作业。每章提供适量的（3—4题）思考问题供学生独立思考，学生完成的思考题成绩可记入平时成绩。
整学期可安排1—2次相关讲座，介绍现代代数学的研究方法或研究成果。本学期已经准备讲座内容：群与Goldbach猜想。
教学手段：黑板板书与Powerpoint 课件相结合。
主要参考书：
1．张禾瑞,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社
2.刘绍学, 近世代数基础,(面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材) 高等教育出版社,1999
3.石生明, 近世代数初步, 高等教育出版社2002
4.B.L.Van der Waerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华
译,1964卷1,1976卷2,科学出版社
5. M.Kline, 古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出
版社2002
第二章数环与数域
本章教学目标：
1. 熟悉整数剩余类环的运算，了解整数剩余类环在数论研究中的作用。
2. 数环就是数系，熟悉各种不同形态的数环与数域；有限的、无限的；交换的、不交换的。
3. 学习整环的分式域、素域与扩域的理论。
4. 综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、Lagrange四平方和定理。
5. 本章通过若干数论定理的学习，使学生了解和熟悉环论的初等方法，为第3章与第5章学习系统的扩域理论奠定基础。
教学时数：共6节，8学时
2.1 整数剩余类环
复习引入：通过整数的整除性问题，了解引入整数剩余类环的必要性，一方面使学生知道同余类方法是数论的基本工具，另一方面整数剩余类环也是一类重要的数环。
内容要点：
1.整数剩余类环的定义及基本性质。
2.环同态定义、理想定义、环同态基本定理。
3.整数剩余类环是整数环的同态像。
讲授内容：
整数的整除性是整数最重要的性质，它是数论研究的一个重要的内容。整除性问题常常是数论中的困难问题。法国数学家费马（Pierre de Fermat，1601-1665）曾经认为形如22n+1的数都是素数，直到大约100年之后522+1的一个非平凡因子641才被数学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）发现，欧拉得到分解232+1=4294967297=641×6700417，可见整数的整除问题具有一定的难度。
研究整数整除性的一个重要工具是带余除法。对于两个整数a，b（b>0）存在整数q，r使a=qb+r 且0?r＜b。式中q称为商，r称为余数。在整除性问题中我们主要关心余数，而不关心商。因此有下面的同余概念。
定义1 假定m是一个正整数，两个整数a与b如果满足条件m︱a－b，则称a与b模m的同余，记为a≡b(m)。
由1.2节知模m同余是整数集Z上的一个等价关系，其商集记为Z m，其元素记为[a]，称之为模m的一个剩余类。定义Z m上的加法与乘法运算：
[a]+[b]=[ a+b]
[a]·[b]=[ab]
容易知道上面的加、乘运算的定义与剩余类中代表元的选法无关，即当[a]=[a1]，[ b]=[b1]时[a]+[b]=[ a1] + [b1]，[a]·[b]=[ a1]·[b1]。
定理2.1.1 Z m成为一个环。
该定理证明没有太多困难，仅仅是按定义作常规验证。证明留给读者作为练习。
Z m称为模m剩余类环，这是一个包含m个元素的有限环。我们也可以把它看成一个有限数系。借助环Z m常常可以简化整数中的计算问题，特别是整除性问题。
例Z2仅含两个元[0]与[1]，每个偶数与0同余，每个奇数与1同余。如果我们用[0]代表偶，[1]代表奇，则剩余类环Z2中的运算实际上表示了整数运算的奇偶性法则：
奇+奇=偶，奇+偶=奇，偶+偶=偶
奇·奇=奇，奇·偶=偶，偶·偶=偶
定义2 设R与S是两个环，映射?：R→S若满足条件：对每a，b∈R有?(a+b)=?(a)+?(b)，?(ab)=?(a)?(b)，则?称为环同态。若?是满映射，则?称为满同态；若?是单映射，则?称为单同态；若?是既单又满的环同态，则称?为环同构。
满同态记为?：R ~ S
环同构记为?：R ? S
定义3 两个域同态或同构是指它们作为环同态或同构。
定理2.1.2 定义映射?：Z→Z m使?(a)=[a]，则?是环同态。
证证明十分简单，略去。
为了进一步讨论整数剩余类环的性质，我们先证明一个整数方面的定理。
定理2.1.3 两个整数a、b互素的充分必要条件是存在整数s、t使sa+tb=1。
证如果条件sa+tb=1成立，则a、b互素，因为这时a，b的公因子d∣sa+tb=1，d=±1。
反过来假定a、b互素，不妨设a与b都是正整数。对a+b作归纳。由带余除法，存在整数q、r使a=qb+r 且0?r＜b。
如果r=0，则b|a，但因a、b互素，故b=1，当然存在整数s、t使sa+tb=1。如果r≠0，则b，r互素。由归纳存在整数s1，t1使s1b+t1r =1，于是t1a=t1qb＋t1r =t1qb ＋1－s1b。因此t1a＋(s1－t1q)b=1，定理得证。
定理2.1.4 若p是素数，则Zp是域。
证只要证明Zp中的非零元素集成为一个乘法群。设[a]≠[0]，由定理2.1.3存在整数s，t使sa＋tp=1，于是[s][a]=[1]，说明[s]是[a]在Zp中的逆元素，因而Zp中的全体非零元素集组成一个乘法群。
注：Zp是我们过去在代数中未遇到过的有限域。
像整数模n剩余类环一样，对于一般的环也可以作剩余类环。为此我们引入一个在环论研究中十分重要的定义，这个定义称为“理想”。
定义4 设R是一个环，A是R的一个子环，如果A满足下面条件：对每r∈R 有rA，Ar ? A，其中rA={ ra | a∈A }，Ar={ ar | a∈A }，则称A是R的理想。
如果A是R的理想，定义R上的一个二元关系a~b 当且仅当a-b∈A。容易检验~是R上的一个等价关系，商集合记为R= R/A。R的元记为[r]=r+A，定义R上的运算[a]+[b]=[a+b]，[a][b]=[ab]。这样R成为一个环，称之为模A剩余类环。
我们有下面的同态基本定理
定理2.1.5 （1）假定R与R是两个环，并有环同态?：R~R，则A={ r∈R | r=o}是R的理想，且有环同构R?R/A。
上面的?称为自然同态，记A=ker?，称之为同态?的核。
（2）反之，若A是R的理想，则有环同态R~R/A=R。
证（1）对每a、b∈A，?（a-b）=a-b=0，故a-b∈A，说明A是一个加群。进一步若r∈R，a∈A，则?（ra）=ra=0，ra∈A，同样ar∈A。因此A是R的理想。容易验证ψ：r→r+A是环同构R?R/A。
（2）容易知道映射?：R→R/A使?（r）=r是环同态。
思考问题4问定理2.1.2中环同态?：Z→Z m的同态核A=？
解答：同态核A=(m)={am | a∈Z}，因此由定理2.1.5 Z m≌Z/(m)。
练习作业
1. 设m是一个正整数，证明同余的性质
(1)若a≡b(m)，c=d(m)，则a±c≡b±d(m)
(2)若a≡b(m)，c=d(m)，则ac≡bd(m)
(3)若a≡b(m)，则ad≡bd(m)
(4)若ad≡bd(m)，且(d，m)=1，则a≡b(m)
2. Z是整数环，2Z=｛2a︱a∈Z｝在整数运算之下成为一个环，可以称它为偶
数环，?：a→2a是Z→2Z的一个映射，问?是不是环同构？
3. 设R是一个有单位元的环，a，b∈R，证明1-ab可逆当且仅当1-ba可逆。
4. 假定R是一个交换环，证明A={a∈R| 存在某个正整数n使a n=0}是R的一个理想。这个理想称为幂零元理想。
2.2 整环的分式域
复习引入：上节我们从整数环出发，构造整数模n剩余类环Z n，由同态基本定理，剩余类环Z n≌Z/(n)。这样，我们实际从一个无限数系得到一有限数系。有限数系Z n在数论研究中有重要价值。
数系发展的另一个方向是从整数系统构造出分数系统，既有理数系统。本节我们将把这样的数系扩充推广到一般的整环上。
内容要点：
1.证明整环嵌入分式域定理。
2.整环的分式域是包含这个整环的最小域。
3.了解一些常见整环分式域的实例。
讲解内容：
在数系发展的历史上，由整数系到有理数系的扩展是最简单、最容易被认识的一次，这种数系的扩展理论作为“比与比例论”是由古希腊数学家Eudoxus建立的，并被收入欧几里德(Eudid)《几何原本》的第五卷。
两个可公度的量a与b可以通过下面的方法来比较。选定一个(足够小的)公共单位量，使量a是单位量的整数倍，b也是单位量的整数倍。在这一观点之下，量a与b实际都可认为与一个整数对应。现在量a与b的比就是两个整数的比a/b。Eudoxus发现这种“比”可以进行运算，其运算法则是
(1)
b a bn an = (2)
bd bc ad d c b a ±=± (3) bd
ac d c b a =? 上面这种整数的“比例论”实际上就是有理数系的代数理论。Eudoxus 的比例论启发我们可以用类似的“比例论”方法把一个具有与整数环性质相当的环扩展成为一个域。由此我们有下面的整环的定义。
定义1 设R 是一个环，对R 的每两个非零元a 、b ，如果ab=0则a 称为R 的左零因子，b 称为R 的右零因子。当R 是交换环时零因子没有左、右的区别。
一个有单位元的交换环若没有零因子，则称为整环。
例 整数环当然是整环；域上的多项式环也是整环；Z n 是整环当且仅当n 是素数。
定义2 设R 是一个环，S 是R 的一个非空子集，如果S 在R 的加法与乘法运算之下也成为一个环，则S 称为R 的子环，我们说一个环S 1可以嵌入环R ，是指环S 1与R 的一个子环S 同构。
下面的定理与Eudoxus 的比例论相当。
定理2.2.1 每一个整环都可以嵌入一个域。
证 证明分为以下三步
(1)设已知的整环为R 。作集合A=｛(a ，b)∣a ，b ∈R ，b ≠0｝。定义A 上的关系(a ，b)～(c ，d)当且仅当ad=bc ，容易验证这是一个等价关系。
记F 为A 的等价类作成的集合，把F 的元素表为a b
，定义F 上的运算 a b +c d = ad bc bd +;a b .c ac d bd
= 容易验证上面的运算与等价类代表元的取法无关，即如果
11a b =a b ,11c d =c d 则 11a b +11c d =a b +c d , 11a b .11c d =a b .c d
. (2)验证F 在上面定义的运算之下成为一个域。首先F 成为一个加群，其零元
素是0b , -a b =a b -, F 对于乘法封闭,且F 中的非零元成为一个群,群的单位元是b b , 而且(a b )-1=b a 。分配律成立:a b (c d +s t )=a b (ct sd dt +)=( act asd bdt
+)= ac bd +as bt =a b .c d +a b .s t
, 因此F 是一个域。 (3)F 的子集R 1={ab b
|a,b ∈R,b ≠0}组成F 的一个子环，命?:R →R 1 使 ?(a)= ab b ,由于b 1≠0时11ab b =ab b ,故?是R 到R 1上的映射。若11ab b =ab b ，
则a 1b 1b=abb 1,于是(a 1－a)bb 1=0,但因R 是整环，没有零因子，故a 1=a ，说明?是一一映射。容易验证?是环同构，因此R 与域F 的一个子环同构。定理得证。
注 1. 定理2.2.1的证明不依赖R 有单位元这一条件，因此实际上我们证明了每个没有零因子的交换环都可以嵌入一个域。
2. 由整环R 所构造的域F ，其元素形如a b
, 因此F 称为R 的分式域。 3. 整数环的分式域是有理数域。
下面的定理说明分式域是包含一个环的最小域。
定理2.2.2 如果一个非零环R 含在一个域F 中，则F 含R 的分式域。
证 对于R 的元a ，b ，只要b ≠0，则分式元 a b
=ab -1∈F ，且分式元满足下列运算法则
a c
b d
=当且仅当ad=bc a c ad bc b d bd
++= (*) a b .c ac d bd
= 因此R 的分式域F 1 ={b
a | a ，
b ∈R ，b ≠0}是F 的子域。 注 环R 的分式域F 1由等式（*）决定，而等式（*）由R 的运算决定。因此同构的环，分式域也同构。
例 设F 是一个域，容易知道多项式环F[x]是一个整环，由定理2.2.1 F[x]有
分式域，记分式域为F(x)。由分式域的构造，F(x)含所有的分式
()
()
f x
g x
，其中f(x)，
g(x)∈F[x]且g(x)≠0。由定理2.2.2 F(x)是含多项式环F[x]的最小域。从另一个观点看问题，F(x)也是含域F同时又含一个不定元x的最小域，F(x)也称为域F的超越扩域。
思考问题5 问一个无零因子的交换环R与它的子环S在什么条件下有相同的分式域。
参考答案对α∈R记αS={αu | u∈S }。我们证明下面结论：无零因子交换环R与它的子环S有相同的分式域当且仅当对每α∈R都有αS?S≠{0}。
证明：充分性。如果对每0≠α∈R都有αS?S≠{0}，则存在0≠ a、b ∈S使a =α b。设R、S的分式域分别为F与L。于是在S的分式域L 中α= a / b∈L，这样R?L，F?L，因此F=L。
必要性。如果存在0≠α∈R使αS?S={0}，我们断言α?L。否则，如果α∈L，则α=a / b，a、b∈S，这样a = bα∈R，当然a≠0因此αS?S≠{0}，与假设矛盾。
练习作业
1.问一个域的分式域是什么？
2.求复整数环Z(i)={a+bi | a,b∈Z}的分式域。
3.求多项式环Z[x]的分式域。
4.偶数环2Z={2a | a∈Z }是一个无零因子的交换环，求偶数环的分式域。
5.*问一个无零因子的交换环R与它的子环S在什么条件下有相同的分式域。
2.3 素域与扩域
复习引入：在中学数学中，大家所熟悉的数域主要是有理数域、实数域与复数域，这三个数域的共同特点是：它们都包含有理数域作为它们的子域。那么，一般的域是否也有类似的性质呢？本节将回答这个问题。
内容要点：
1.无零因子环的特征。
2.素域与扩域的定义。
3.两类不同的素域。
4.域上的n次方程最多n个根。
讲解内容：
定义设K是一个域，如果K的非空子集F在K的加法与乘法运算之下也成为一个域，则F称为K的子域，而K称为F的扩域。
一个域如果不包含更小的子域，则称为素域。因为若干个子域的交集还是一个子域，因此素域是存在的而且也是唯一的。
为了研究素域，我们先证明没有零因子环的一个重要的性质。
定理2.3.1 设R是一个没有零因子的环，则R满足下面两个条件之一：
(1) 对每0≠a∈R及整数n , na=0，当且仅当n=0。这时称R的特征为0，记为char R=0。
(2)存在一个素数p使对每a∈R有pa=0。这时称R的特征为p，记为char R=p。
证(1)若存在某个非零元a∈R使每个非零整数n都有na≠0，我们要证R的任一个非零元b都有nb≠0。否则若nb=0，则(na)b=a(nb)=0。因R无零因子，且b ≠0，故na=0，与a的性质矛盾。说明这时char R=0。
(2)若char R≠0，则存在R的非零元a及非零整数n使na=0，假定n是满足这一性质的最小正整数，下证这时n必为素数。否则若n=st，0＜s，t＜n，则sa·ta=(sta)a=(na)a=0。因为R无零因子，故sa=0或ta=0，与n的最小性矛盾，故n=p是一个素数。
下证每b∈R都有pb=0。因为(pb)a=b(pa)=0，但a≠0，故pb=0。于是char R=p。
定理2.3.2 素域F只有以下两种：
(1)char F=0时F≌Q(有理数域)，
(2)char F=p时F≌Z p。
证设F是一个素数，e是F的单位元，则Ze=｛ne∣n∈Z?F｝是含于域F 中的子环。我们有下面两种可能的情形：
(1)char F=0，则ne=0当且仅当n=0。于是有环同构Ze≌Z。由定理2.2.2 F含Ze的分式域，而Ze的分式域与整数环Z的分式域Q同构，故F≌Q。
(2)char F=p，则pe=0。这时容易验证Ze≌Z p，而Ze的分式域F≌Z p。
注由定理2.3.2从同构的意义上说任何域都可以看成有理数域Q的扩域或者p元域Z p的扩域。
定理2.3.3 域上的n次多项式最多有n个根。
证若x=a是多项式f(x)的一个根，则利用多项式的带余除法，存在多项式q(x)及系数域中的元r使f(x)=q(x)(x－a)＋r ，但f(a)=0，故r=0，因此f(x)=g(x)(x －a)。若f(x)次数为n则q(x)的次数为n－1，由归纳q(x)最多n－1个根，因此f(x)最多n个根。
练习作业
1．方程x2＋1=0在有理数域中没有根，问在有限域Z5中有没有根，有几个根？
2．记F=Z2是含2个元素的域，证明多项式x2+1在多项式环F[x]中可约，而x2+x+1在多项式环F[x]中不可约。
3．假定F=Z2，α是F[x]中不可约多项式x2+x+1的一个根，证明F(α)={0，1，
α，1+α}是一个含4个元素的域。求多项式x2+x+1的另一个根。
4．假定F=Z2，求F[x]中所有3次不可约多项式。
2.4 素数的欧拉分解
复习引入：从1.1节思考问题1，我们已经知道素数p在复整数环Z(i)中存在非平凡分解当且仅当p=a2+b2，进一步的问题是：素数P能够写成2整数平方和的充分必要条件是什么？
本节将利用整数剩余类环的方法证明著名的欧拉定理：素数P能写成2整数平方和当且仅当p≡1(4)。
内容要点：证明“欧拉二平方和定理”，为此我们首先必须证明Fermat定理与Wilson定理，但是我们的方法是初等的、而且与前一节的上下文互相关联，我们尽可能避免采用纯数论的方法。提示学生在学习中注意到，抽象代数的方法比纯初等数论的方法具有一定的优势。
讲解内容：
高斯发现复整数环Z(i)={a+bi | a、b∈Z }具有与整数环Z十分类似的因子分解唯一性，这点我们将在第6章中加以证明。但是一个通常的整数在整数环中的因子分解与在复整数环中的分解很不一样。例如通常的素数2在复整数环中不再是素元，而存在非平凡分解2=(1＋i)(1－i)。5也一样，5作为通常的整数是素数，不存在非平凡分解，但5=(2＋i)(2－i)，5在复整数环中也不再是素元。下面我们要研究通常的素数p在复整数环中的因子分解问题。首先如果复整数α=a＋bi是通常素数p的因子，则α的共轭复数α也是p的因子。由于αα是实数，因而也是通常的整数，因此αα= p。而p=(a＋bi)(a－bi)的充分必要条件是x2＋y2=p有正整数解。现在问题转化为不定方程x2＋y2=p的可解性。为了研究这个数论问题，我
们先证明下面两个重要的数论定理。
定理2.4.1(Fermat) 设p是素数，a是整数，p?a，则a p－1≡1(p) (*)
证记b=a－1则a p≡(b＋1)p≡b p＋1≡(a－1)p＋1≡(a－2)p＋2≡…≡1p＋(a －1)≡a(p)，说明p︱a p－a=a(a p-1－1)。但p?a，故p︱a p-1－1即a p－1≡1(p)。
定理2.4.2(Wilson) 若p是素数，则(p－1)!＋1≡0(p)。
证由Fermat定理方程x p－1－1=0在域Z p中有p－1个根:[1]、[2]、…[p－1]。由定理2.3.3 方程x p－1－1 = 0中Z p只有这p-1个根，由根与系数的关系得(p－1)!≡－1(p)
注为了语言简便，在上面的证明过程中我们说在域Z p中解方程x p－1－1=0与求同余式x p－1－1≡0(p)的整数解是同一个意思。
定理2.4.3(Euler) 奇素数p在复整数环Z(i)中有非平凡因子当且仅当p≡1(4)。
证只要证明方程x2＋y2=p有正整数解当且仅当p≡1(4)。首先若x2＋y2=p 有正整数解，则其解x、y一奇一偶，奇数平方≡1(4)，而偶数平方≡0(4)，故这时p≡1(4)。
下面假定p≡1(4)。记a=
1
2
p-
!，由Wilson定理
a2≡(-1)
1
2
p-
(
1
2
p-
!)2≡[(p-1)(p-2)…(p-
1
2
p-
)]
1
2
p-
!≡(p-1)!≡-1(p)
因此a2＋1≡0(p)。
记b=[p]是不超过p的最大整数，于是(b＋1)2?p＋1。整数集｛x－ay︱0?x，y?b｝含(b＋1)2个元，故至少有两个模p同余，有x1－ay1≡x2－ay2。记x=x1－x2，y=y1－y2，则︱x︱,︱y︱?b且x≡ay(p)。因此x2＋y2≡(a2＋1)y2≡0(p)，但x2＋y2?2b2＜2p，因此x2＋y2=p有正整数解，定理得证。
欧拉定理实际上告诉我们一个素数能够表为两个整数的平方和的充分必要条件，我们还将在2.6节进一步证明每个正整数都能表为四个整数的平方和。为此，我们先在2.5节讨论一种性质与复数域十分类似的四元数除环。
练习作业
证明存在无限多个形如4k-1的素数。（提示：考虑模仿证明“素数无限多”的欧几里德方法。注意到这种方法难以直接应用于证明“存在无限多4k+1型素数”）
2.5 Hamilton四元数环
复习引入：复数域是最大的数域，现在我们提出下面的问题：从数域扩充的观点看复数域是否还存在另外意义之下的数系扩充呢？在高斯那个时代，数学家关注复数的合理性，同时也关注是否存在新的更大的数系包含复数系统。1843年爱尔兰数学家William R. Hamilton(1805—1865) 经过10年的艰辛探索，发现了新的数系，现在称为Hamilton四元数系。Hamilton四元数系在现代物理学中发挥重大作用。
内容要点：
1.四元数定义。
2.全体实四元数组成一个出环。
3.三个欧拉恒等式。
4.可除代数的Frobenius定理（只讲不证）。
讲解内容：
复数最初是为了求解形如x2＋1=0的代数方程而引入的，但是在漫长的时期
-的合法地位。直到1800年左右在高斯那个时代，中人们没有承认虚数单位i =1
数学家对复数作出了适当的几何解释，把复数与平面上的点对应。复数的几何解释使得复数更为自然，拓宽了复数的意义，增加了复数的应用价值。复数的几何意义无异于把复数看成二元数，这样便产生了一个自然的问题，就是是否存在类似的三元数。爱尔兰数学家William R. Hamilton(1805—1865)经过长期的研究发现
不存在三元数。在7.2节定理7.2.1与7.4节推论7.4.2，我们将从不同的角度对这种不存在性作严格的数学证明。但是进一步的研究使得Hamilton于1843年发现了四元数。
定义1 设R是实数集，定义集合H=｛a＋bi＋cj＋dk︱a,b,c,d∈R｝，该集合中的每个元素称为Hamilton四元数。用下面的方法定义四元数的加法与乘法运算。四元数的加法十分自然地定义为
(a1+b1i+c1j+d1k)+(a2+b2i+c2j+d2k)=(a1+a2)+(b1+b2)i+(c1+c2)j+(d1+d2)k
四元数的乘法由下面i，j，k的乘法再利用分配律定义到整个四元数集。
i2 = j2 =k2 =-1，ij =-ji=k，jk =--kj = i ，ki = -ik =j
容易知道在上面的定义之下，全体四元数成为一个环，这是一个不交换的环。进一步研究还会发现α=a+bi+cj+dk，与其共轭四元数α=a-bi-cj-dk相乘有αα=a2+b2+c2+d2, 因此只要α≠0,就可命β=(a2+b2+c2+d2)-1 α，则αβ=βα=1,说明四元数环的非零元素集成为一个乘群。
定义2 设R是一个环，如果R的非零元素集是一个乘群，则称R是一个除环。
定理2.5.1 四元数集H组成一个除环。
作为Hamilton四元数的一个应用，我们可以通过四元数发现和证明下面的欧拉恒等式。
定理2.5.2 下面等式中的字母都表实数。我们有欧拉恒等式:
(1)( a2+b2)(c2+d2)=(ac-bd) 2+(ad+bc) 2
(2)(a12+a22+a32+a42)(b12+b22+b32+b42)
=(a1b1+a2b2+a3b3+a4b4)2+(a1b2 - a2b1+a3b4 - a4b3)2
+(a1b3- a3b1+ a4b2 - a2b4)2 +(a1b4 - a4b1+ a2b3 - a3b2)2
证(1)记复数α=a+bi,β=c+di,则|α|2|β|2=|αβ|2,把α,β的表式代入即得第一个等式。
(2)记四元数α=a1+a2i+a3j+a4k,β=b1+b2i+b3j+b4k, 与复数的模得法则一样有
|α|2|β|2=|αβ|2 。
而 αβ= (a 1b 1-a 2b 2-a 3b 3-a 4b 4)+(a 1b 2+a 2b 1+a 3b 4-a 4b 3)i
+(a 1b 3+a 3b 1+a 4b 2-a 2b 4)j+(a 1b 4+a 4b 1+a 2b 3-a 3b 2)k
代入模等式得
(a 12+a 22+a 32+a 42)(b 12+b 22+b 32+b 42) =(a 1b 1-a 2b 2-a 3b 3-a 4b 4)2
+(a 1b 2+a 2b 1+a 3b 4-a 4b 3)2+(a 1b 3+a 3b 1+a 4b 2-a 2b 4) +(a 1b 4+a 4b 1+a 2b 3-a 3b 2)
用-b 1代b 1得等式(2)。
注 欧拉恒等式，作为一个恒等式它的证明本来只需采用简单的两边展开平方的方法进行被动的验证，但是直接验证的一个缺点是烦琐。另一方面更重要的缺点是，无法从证明的过程中了解怎样发现这样的恒等式。实际上，第7章中我们还将讨论一个更为复杂的八元欧拉恒等式，只有从代数结构的角度我们才能理解这些恒等式的由来。
推论2.5.3（Euler ） 正整数n 能表为两个整数的平方和当且仅当n 的每个模4余3的素因子p 都出现偶数次。
证 2当然能表为两个整数的平方和，由定理2.4.3奇素数p 若模4余1，则p 可表为二整数平方和，于是由定理2.5.2(1)，若在n 的标准分解式中模4余3的素数幂都是偶数次，则n 能表为二整数平方和。反之，若n 能表为二整数平方和，n 的素因子p 模4余3，假定在n 的标准分解式中p 的幂指数为奇，则n 有分解式n=a 2+b 2 =d 2(s 2+t 2)，其中a 、b 、d 、s 、t 都是整数，且s 2+t 2≡0(p)但（s ，p ）=1，于是存在u 使us ≡1(p)，因而(ut)2≡-1(p)。)(1)()1(1121
p ut p p ≡≡-=---，与p ≡
3(4)矛盾。因此若n 能表为二整数平方和，则n 的标准分解式中模4余3的素因子p 都出现偶数次，定理得证。
注 如果把整数环、有理数域、实数域、复数域看成一系列从小到大逐步扩充的数系，那末Hamilton 四元数除环则是由复数系所作的又一次扩充数系。把复数域看成一种2元数系，则四元数除环是一种4元数系。是否还存在其它的多元数系呢？我们将在第7章证明下面的定理，这个定理从一个特定的角度很好地回答了数系扩充的问题。
定理(Frobeuius 1878) 实数域R 上的可除代数只能是实数域、复数域或四元
数除环。
练习作业
设R是全体复数对（α，β）组成的二元复数集，定义R上的加法和乘法运算：(α，β)+(γ，δ)=(α+γ，β+δ)，(α，β)(γ，δ)=(αγ-βδ*，αδ+βγ*)
证明这样定义的环R与四元数除环同构。
2.6 Lagrange平方和定理
复习引入：欧拉定理2.5.5解决了正整数表为2平方和的充要条件，并不是每个正整数都能表为2平方和，那么，一个极有悬念的问题是：确定最小的n使每个正整数都能表为n个整数的平方和。1770年拉格朗日证明n=4，这是初等数论中最漂亮的定理。
内容要点：本节只证明一个定理：拉格朗日4平方和定理。证明从很大的程度上依赖与上节的4元欧拉恒等式。但是，因为4元欧拉平方和恒等式来源于Hamilton四元数的运算性质，因此我们认为拉格朗日4平方和定理虽然是一个数论定理，但它的证明更多地采用了环论方法：整数剩余类环与Hamilton四元数环的初等运算技巧。
讲解内容：
受勾股定理与勾股数的启发，人们对于将一个正整数表为平方和的问题特别感兴趣。1770年拉格朗日（https://www.doczj.com/doc/a75341200.html,grange，1736—1813）证明每个正整数能表为四个整数的平方和。在证明这一定理之前我们先证明下面引理。
引理2.6.1 设p是奇素数，则同余式x2+y2≡-1(p)有整数解。
证两组整数
(Ⅰ) 0, 12, 22, …, (12
p -)2 (Ⅱ) -1, - (12+1), - (22+1), …, - [(
12p -)2+1] 每组各含12
p -个数，且组内各数模p 互不同余，但两组合起来共p+1个数,因此必有两个数来自不同的组x 2与- (y 2+1),它们模p 同余,即x 2≡-(y 2+1) (p)，因此x 2+y 2≡-1(p)有整数解。
定理2.6.2(Lagrange) 每个正整数都可表为四个整数的平方和。
证 由定理2.5.2(2)只要证明每个素数p 能表为四个整数的平方和。2当然能表为四个整数的平方和，因此下面可以假定p 是奇素数。
由引理2.6.1 x 2+y 2+1≡0(p)有整数解,说明存在正整数n 使x 12+x 22+x 32+x 42=np 有整数解，假定n 是具有这一性质的最小正整数，下证n=1。
首先证明n 奇。否则若n 偶，则x 1，x 2，x 3，x 4的奇偶性只有下面三种可能：四偶，四奇，或二偶二奇。无论哪种情况都可作下面的变量代换
y 1=x 1+x 2， y 2=x 1 - x 2，y 3=x 3+x 4， y 4=x 3 - x 4
而使y 1， y 2，y 3，y 4全为偶数,且这时
y 12+ y 22+y 32+y 42=np
于是(12y )2+(22y )2+(32y )2+（2
4y ）2=4np , 与n 最小性矛盾。 如果n >1,则n ≥3。求u i 使得x i ≡u i （n ）且|ui| <
2n , 于是 u 12+u 22+u 32+u 42≡0（n ）, 而u 12+u 22+u 32+u 42 因此有 0< m < n 使u 12+u 22+u 32+u 42=mn 。 记Hamilton 四元数α= x 1+x 2i+x 3j+x 4k ，β= u 1+u 2i+u 3j+u 4k ，αβ=z 1+z 2i+z 3j+z 4k ， 则 γ =αβ 有|γ|2=|α|2|β|2=(np)(mn)=pmn 2 且 z 1≡x 1u 1+x 2u 2+x 3u 3+x 4u 4≡x 12+x 22+x 32+x 42≡0 (n) z 2 = x 2u 1- x 1u 2 + x 4u 3 - x 3u 4 ≡0 (n) z 3 = x 3u 1 - x 1u 3 + x 2u 4 - x 4u 2 ≡0 (n) z 4 = x 4u 1 - x 1u 4 + x 3u 2 - x 2u 3 ≡0 (n) 于是z i=t i n，n2(t12+t22+t32+t42)=|γ | 2=pmn2，t12+t22+t32+t42=mp， 与n最小性矛盾，定理得证。 练习作业 1.证明每个正整数都可表为x2+y2－z2的形式,其中x,y,z是整数。 2.*证明奇素数p能表为x2+2y2的形状，x，y是整数，当且仅当p≡1或3（8）。 （注：高斯证明了一个正奇数m能表为三个整数的平方和当且仅当m?7（8）） 近世代数教案 西南大学 数学与统计学院 张广祥 学时数：80（每周4学时） 使用教材：抽象代数——理论、问题与方法，科学出版社2005 教材使用说明：该教材共10章，本课程学习前6章，覆盖通用的传统教材（例如：张禾瑞《近世代数基础》）的所有内容，但本教材更强调抽象代数理论的应用和方法特点。本教材的后4章有一定难度和深度，可作为本科近世代数（二）续用。如果不再开设近世代数（二），则可以供有兴趣的学生自学、自读，进一步了解现代代数学更加前沿的内容，拓宽知识面。 教学方法：由于该教材首次在全年级使用，采用教研室集体备课的方式，每2周一次参加 教学的教师集体研讨备课。 每节配有3—5题常规练习作业。每章提供适量的（3—4题）思考问题供学生独立思考，学生完成的思考题成绩可记入平时成绩。 整学期可安排1—2次相关讲座，介绍现代代数学的研究方法或研究成果。本学期已经准备讲座内容：群与Goldbach猜想。 教学手段：黑板板书与Powerpoint 课件相结合。 主要参考书： 1．张禾瑞,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社 2.刘绍学, 近世代数基础,(面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材) 高等教育出版社,1999 3.石生明, 近世代数初步, 高等教育出版社2002 4.B.L.Van der Waerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社 5. M.Kline, 古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002 第二章数环与数域 本章教学目标： 1. 熟悉整数剩余类环的运算，了解整数剩余类环在数论研究中的作用。 2. 数环就是数系，熟悉各种不同形态的数环与数域；有限的、无限的；交换的、不交换的。 3. 学习整环的分式域、素域与扩域的理论。 4. 综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、Lagrange四平方和定理。 5. 本章通过若干数论定理的学习，使学生了解和熟悉环论的初等方法，为第3章与第5章学习系统的扩域理论奠定基础。 教学时数：共6节，8学时 2.1 整数剩余类环 复习引入：通过整数的整除性问题，了解引入整数剩余类环的必要性，一方面使学生知道 《抽象代数》课程教案 第一章 基本概念 教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。 教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。 教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。 教学措施：黑板板书与口授教学法。 教学时数：12学时。 教学过程： §1 集合 定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集 合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。 定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合， 习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。 3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之 《近世代数》课程教案 第一章 基本概念 教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。 教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。 教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。 教学措施：网络远程。 教学时数：8学时。 教学过程： §1 集合 定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集 合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。 定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合， 习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。 3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之 近世代数电子教案 第一章基本概念 在普通代数里，我们计算的对象是数，计算的方法是加、减、乘、除。数学渐渐进步，我们发现，可以对于若干不是数的事物，用类似普通计算的方法加以计算。这种例子我们在高等代数里已经看到很多，例如对于向量、矩阵、线性变换等就都可以进行运算。近世代数（抽象代数）的主要内容就是研究所谓代数系统，即带有运算的集合。近世代数在数学的其它分支和自然科学的许多部门里都有重要的应用。近二十多年来，它的一些成果更被直接应用于某些新兴的技术。 我们在高等代数里已经初步接融到的群、环、域是三个最基本的代数系统。在本书里我们要对这三个代数系统做略进一步的介绍。 在这一章里，我们先把常要用到的基本概念介绍一下。这些基本概念中的某一些，例如集合和影射，在高等代数里已经出现过。但是为了完整起见，我们不得不有所重复。 §1.1 集合 ●课时安排约1课时 ●教学内容(《近世代数》张禾瑞著) 集合的概念，元素，空集合，集合与集合之间的包含、交、并、积，子集的 概念 例题： 例1 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B={2} A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∩B=空集合 例2 A={1.2.3} B={2.4.6} 那么A∪B={1.2.3.4.6} A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∪B={1.2.3.4.5.6} 1 习题选讲P 4 ●教学难点 元素与集合的关系（属于）集合与集合的关系（包含） ●教学要求 掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念 2 ●布置作业P 4 ●教学辅导 精选习题：（侧重概念性、技巧性的基本问题） 1.B A,但B不是A的真子集，这个情况什么时候才能出现？ §1.2 映射 ●课时安排约1课时 ●教学内容(《近世代数》张禾瑞著) 映射，象，原象，映射相同的定义及映射的表示方法 数理与信息工程学院数学与应用数学专业（师范） 四年制本科教学指导计划 一、培养目标和基本规格 （一）培养目标 培养德、智、体、美全面发展，具有良好的科学素质，扎实的数学专业基础和现代教育技术，能适应基础教育改革发展需要，具有创新精神和实践能力的中等学校数学教师、教育科学研究人员及其它教育工作者。 （二）基本规格 掌握马列主义、毛泽东思想和邓小平理论的基础原理及“三个代表”重要思想，逐步树立科学的世界观和为人民服务的人生观，具有良好的职业道德，自觉为社会主义现代化建设服务的精神。 敬业爱岗，诚实守信，乐于奉献，遵纪守法，团结合作，为人师表，热爱教育事业。有良好的思想品德、社会公德和职业道德。有理想，有强烈的社会责任感。 毕业生应获得以下几方面的知识和能力： 1．具有扎实的数学基础，初步掌握数学科学的思想方法，其中包括数学建模、数学计算、解决实际问题的基本能力。 2．具有良好的使用计算机的能力，能够进行简单的程序编写，熟练掌握与专业课程相关的计算机应用知识（包括常用语言、工具及数学软件），能够对教学软件进行简单的二次开发。计算机应用能力应达到规定的等级要求。 3．具备良好的教师职业素养和从事数学教学的基本能力。熟悉教育法规，掌握并初步运用教育学、心理学基本理论以及数学教学理论。 4．了解近代数学的发展概貌及其在社会发展中的作用，了解数学科学的某些新发展，数学教学领域的一些最新研究成果和教学方法，了解相近专业的一般原理和知识；学习文理渗透的课程，获得广泛的人文和科学修养。 5．有较强的语言表达能力和班级管理能力。 6．掌握资料查询、文献检索及运用现代信息技术获取相关信息的基本方法，具有一定的科研能力。 7．掌握一种外国语，达到规定的等级要求。 二、学制 数学电子书（提供下载地址） 本帖来自: 数学中国作者: clanswer 日期: 2010-4-12 22:46 您是本帖第1289个浏览者 / A8 a" u& l, e' h( }" G4 ? 《中等数学》连载《高中奥数训练题》５９套.pdf 1-50界莫斯科数学竞赛（含详细答案，ＰＤＦ版）.pdf 20世纪数学经纬（张奠宙）.pdf 500个最新世界著名数学智力趣题.pdf 数学，确定性的丧失.chm IMO中的数论.pdf 抽屉原则与涂色问题.pdf 最优系统控制.pdf FOURIER分析与逼近论第一卷（上册）.pdf Fourier分析-河田龙夫.pdf (课件)图论讲义.pdf (课件)数值分析.pdf (课件)矩阵论.pdf N阶幻方的一种简易解法.pdf 奥林匹克数竞赛解迷（高中部分）（康纪权）.pdf 奥数教程初一年级第一版.pdf 奥数教程初二年级第一版.pdf 奥数教程初三年级第一版.pdf 奥数教程高一年级（第3版）.pdf 奥数教程高二年级（第3版）.pdf 奥数教程高三年级（第3版）.pdf 半群的S-系理论.pdf 不等式论文５０篇.pdf 不等式入门.pdf 不等式与区域.pdf 不等式与线性规划初步.pdf 不可思议的e.pdf 蔡国武___素数具有无穷多项的新证明方法.pdf 蔡国武___心算(速算)多个多位数相乘的统一速算算法设计.pdf 蔡国武猜想(未证明)___对任意方程ZN=X2+Y2存在正整数组解(X,Y)情况的猜想.pdf 测度论.pdf 测度论基础.pdf 测度论讲义.pdf 常微分方程.pdf 陈景润，邵品琮-世界数学名题欣赏丛书.pdf 陈省身文集.pdf 乘电梯·翻硬币·游迷宫·下象棋.pdf 抽象代数学卷1基本概念.pdf 抽象代数学卷2线性代数.pdf 近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：??????=6417352812345678σ，? ? ? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 《近世代数》课程教案 第一章基本概念 教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。 教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。 教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。 教学措施：网络远程。 教学时数：8学时。 教学过程： §1 集合 定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集 合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。 定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合， 习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。 3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之 《抽象代数》课程全册教案 第一章 基本概念 教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。 教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。 教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。 教学措施：黑板板书与口授教学法。 教学时数：12学时。 教学过程： §1 集合 定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集 合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。 定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合， 习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。 3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之 近世代数发展简史 根据课程教学安排，通过查阅近世代数发展历史的相关资料，了解了相关的知识，并对近世代数的知识结构和发展脉络有了更清楚的认识和理解，以下是我将对近世代数及其发展历史的认识。 一、近世代数的定义 代数学是以数、多项式、矩阵、变换和它们的运算，以及群、环、域、模等为研究对象的学科，而近世代数（又称抽象代数）是代数学研究的一个重要分支，主要研究群、环、域、模这四种抽象的代数结构，并深入研究了具有一定特性的群、环、域、模及其子结构、商结构、同态和同构、以及作为它们支柱的具体例子，它不仅在代数学中，而且在现代数学的理论与应用中都具有基本的重要性。 二、近世代数的发展 代数学的起源较早，在挪威数学家阿贝尔（Abel，N.H.）证明五次以上方程不能用根式求解的进程中就孕育着群的概念；1830年，年仅19岁的伽罗瓦（Galois，E.）彻底解决了代数方程的根式求解问题，从而引进数域的扩张、置换群、可解群等概念；后来，凯莱（Cayley，A.）在1854年的文章中给出有限抽象群；戴德金（Dedekind，J.W.R.）于1858年在代数数域中又引入有限交换群和有限群；克莱因（Klein，C.F.）于1872年建立了埃尔朗根纲领，这些都是抽象群产生的主要源泉。然而抽象群的公理系统直到1882年凯莱与韦伯（Weber，H.）在Math.Annalen的同一期分别给出有限群的公理定义，1893年韦伯又给出无限抽象群的定义。由于李（Lie，M.S.）对连续群和弗罗贝尼乌斯（Frobenius，F.G.）对群表示的系统研究，对群论发展产生了深刻的影响。同时，李在研究偏微分方程组解的分类时引入李代数的概念，然而，它的发展却是19世纪末和20世纪初，由基灵（Killing，W.K.J.）、外尔（Weyl，（C.H.）H.）和嘉当（Cartan）等人的卓越工作才建立了系统理论。 域这个名词虽是戴德金较早引入的，但域的公理系统却是迪克森（Dickson，L.E.）与亨廷顿（Huntington，E.V.）于19世纪初才独立给出。而域的系统发展是从1910年，施泰尼茨（Steinitz，E.）的著名论文“域的代数理论”开始的。同期，布尔（Boole，G.）研究人的思维规律，于1854年出版《思维规律的研究》，建立了逻辑代数，即布尔代数。但格论是在1933～1938年，经伯克霍夫（Birkhoff，G.D.）、坎托罗维奇（Канторович.П.В.）、奥尔（Ore，O.）等人的工作才确立了在代数学中的地位。另一方面，1843年，哈 韶关学院课程教学设计（2学时） 教学过程、内容（含教与学的方法） 第二章群论 有了前一章的准备工作以后，我们就来研究我们抽象代数中重要的代数系统——群. 群是一个只有一种代数运算的代数系统，我们知道，一个代数运算用什么符号来表示，是可以由我们选择的，可用o,也可用.群的代数运算普通为方便起见，不用o来表示，而用普通乘法的符号来表示，就是我们不写a b，而写ab.因此，我们就把一个群的代数运算叫做乘法.当然一个群的乘法一般不是普通的乘法.如向量空间的加法一样. §2.1 群的定义 群的定义有很多不同的种类，它的很多性质可以作为它的定义.荷兰数学家罗伦茨（1853-1928）曾举出了40个以上的群的定义.有的不用乘法而用除法来定义，常见的是我们书上的两种（或三种）. 一、群的第一定义 1. 定义 设G 是一个定义了叫做乘法的代数运算的非空集合，若： I ．G 对于这个乘法来说是封闭的； II ．结合律成立：,,,()()a b c G a bc ab c ?∈=有； III ．,a b G ?∈，方程ax b =和ya b =都在G 里有解. 则称G 对于这个乘法来说作成一个群. 注意：1．定义了叫做乘法的代数运算的非空集合G 称为一个群胚. 2．满足I ，II 的代数系统G 称为半群. 3．群是：一个集合，一种运算，三条公理. 2. 例 例1.{}G g =，乘法：gg g =，则G 对于这个乘法来说作成一个群.这是因为： Ⅰ. G 是闭的； Ⅱ. ()()g gg gg g g ==; Ⅲ. gx g = 有解，就是g y g g = 有解，就是g . 例2．整数加群：Z G =，乘法是普通加法，则G 对于普通加法来说作成一个群.这是因为： Ⅰ. 两个整数相加还是一个整数； Ⅱ. 整数相加适合结合律; Ⅲ. ,a b G ?∈方程ax b =和ya b =在G 中有整数解. 例3．G =，乘法是普通减法，则G 对于普通减法来说不作成群.因为：I ，III 成立，但II 不成立：3-(2-1)≠(3-2)-1. 《近世代数》课程教案 第一章 基本概念 教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。 教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。 教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。 教学措施：网络远程。 教学时数：8学时。 教学过程： §1 集合 定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集 合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。 定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合， 习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。 3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之 近世代数试卷 1.以下关系中，哪个是实数集的元间的等价关系？（ D ） A.关系～：a ～b ?a 2+b 2=1 B.关系～：a ～b ?a ≤b C.关系～：a ～b ?a =2b D.关系～：a ～b ?a =b 2.设A 是区间［0，1］上全体实函数组成的集合，规定： σ（ f （x ））=（x 2+1） f （x ）,?f （x ）∈A, 则σ是A 的（ A ） A.满变换 B.单变换 C.一一变换 D.不是A 的变换 3.在有理数集Ｑ上定义代数运算a οb =（a +b ）2，则这个代数运算（ ） A.既适合结合律又适合交换律 B.适合结合律但不适合交换律 C.不适合结合律但适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律 4.下列集合对所给运算作成群的是（ A ） A.全体实数对普通数的加法 B.全体实数对普通数的减法 C.全体实数对普通数的乘法 D.全体实数对普通数的除法 5.设? ?????∈???? ??=Z b a b a R ,00，那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是（ ） A.有单位元的可换环 B.无单位元的可换环 C.无单位元的非可换环 D.有单位元的非可换环 1.设A ={a ,b ,c ,d },则A 的一一变换共有______个.（ C ）4! A.4 B.16 C.24 D.64 2.设A ={所有实数x }，A 的代数运算a 。b =a +b +ab （ C ） A.既适合结合律又适合交换律 B.适合结合律但不适合交换律 C.不适合结合律但适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律 3.设A ={所有有理数x }，A 的代数运算是普通加法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是（ B ） 《近世代数》教学大纲 课程名称：近世代数 英文名称：Abstract Algebra 课程编号：0641008 学分：3 学时：54 先修课程：高等代数、初等数论 替代课程：无 适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科） （一）课程目的要求 本课程的目的是引导学生掌握近世代数的基本概念和基本理论，从而达到对近世代数的语言与理论有所了解的目的，帮助学生为进一步的学习和研究打好代数学方面的知识基础.主要是群、环、域的基本概念以及基本理论。在学习本课程中，要求学生掌握近世代数的基本概念、基本理论和方法，提高数学修养与技巧，以便能深入理解中学代数的内容和方法，为进一步学习其它学科创造条件。 （二）课程简介 近世代数是数学与应用数学专业必修课程，是现代数学的一个重要分支，是研究多种代数结构的一门学科。它的内容对中学代数教学有指导意义，它的思想方法已经渗透到数学的多个分支，它的结果已应用到众多学科领域，现在本课程已作为师范院校数学专业学生的必修课。 本课程的学习分为三个部分，第一部分学习近世代数的预备知识，包括集合、映射、代数运算及等价关系等基本概念。第二部分学习群的基本理论，主要包括群的定义和基本性质, 子群和商群理论, 群同态和同构定理, 置换群的基本理 论，有限群的Lagrange定理。第三部分学习环论的基础内容, 主要包括环, 子环, 商环的定义和基本性质, 环同态和同构定理, 素理想与极大理想，环上的多项式环的构造，扩域和有限域。 （三）教学方式 教学方式是以教师讲授为主，注重知识点之间的比较，运用类比方法；根据课堂教学情况，适当补充一些例题，以帮助学生课后巩固所学知识；适时给出思考题，培养学生的独立思考能力；对一章进行总结时，适当配备一些典型习题讲解, 以帮助学生理解和掌握抽象的概念和性质定理。 （四）教材和主要教学参考书 教材：《近世代数》（第二版），朱平天，李伯洪，邹园编，科学出版社, 2009年出版 主要教学参考书： 1.张禾瑞编:《近世代数基础》，人民教育出版社, 1984年版。 2.吴品三编:《近世代数》，人民教育出版社, 1983年版。 （五）考核方式及要求 考核成绩是综合平时作业及上课表现的成绩（10%），期中考试（20%）和期末考试（闭卷）成绩（70%）为学生的总成绩。 （六）教学大纲 第一章基本概念（6学时） 主要知识点： 1．集合的概念与运算 2．映射的定义与几种特殊映射的性质 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ= （1324），则 3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 10=+++n n a a a ααΛ。 第一章基本概念 (1) §2 映射 (1) §3 代数运算 (9) §8 同态 (9) §10等价关系与集合的分类 (16) 第一章基本概念 §2 映射 1.映射 定义A,B都是集合,?是一个法则.若对A中每一个元素x,在B中有唯一元素y与之对应,则称?是A到B的一个映射.记为?:x→y, 或y=?(x). y称为x在?下的像,x叫做y在?下的原像或逆像. 注意:(1)A中每一个元素都有唯一确定的像且像在B中. (2)A中不同元素的像可能不同、也可能相同. 例1设A是有理数集，B为实数集合,那么法则 ?:x→1 1 x-,即?(x)=1 1 x- 不是A到B的一个映射. 例2 设A,B都是有理数集,那么法则 ?:b a →a b +,即?(x)=1 1 x- 那么?不是A到B的一个映射. 例3设A={1,2,3},B={2,4,8,15},那么法则 ?:x→2x,即?(x)=2x 不是A到B的一个映射. 2.满射、单射和双射 例4设A={1,2,3},B={2,4,8,15},那么法则 ?:x→2x,即?(x)=2x 不是A到B的一个映射. 例5设A={1,2,3,4},B={2,4,6},那么法则?:1→2,2→4,3→6,4→6 是A到B的一个映射. 例6设A={1,2,3},B={2,4,6},那么法则 ?:x→2x,即?(x)=2x 是A到B的一个映射. 定义设?是A到B的映射, (i)若?b∈B,至少有一个a∈A,使得?(a)=b,则称?是A到B 的满射； (ii)若?a,b∈A,且a≠b,总有?(a)≠?(b),则称?是A到B的单射； (iii)若?既是A到B的满射,又是A到B的单射,则称?是A 到B的双射,双射也称为一一映射. 单射的判定:?是A到B的单射??a,b∈A,且?(a)=?(b)一定有a=b. 例7 设?(a)=2a,?a∈Z+,则?是Z到2Z+的双射. F?是数域F上的全体n阶方阵的集合,B={0,1, 例8设n n ...,n},r(A)表示矩阵A的秩,则?:A→r(A),即?(A)=r(A) 是 §1 集合的概念和表示方法 教材分析 1、集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多 重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用． 2、在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集 合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识． 3、这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然 后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子． 教学目标 1. 初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法． 2. 初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质． 3. 掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力． 重点：集合的基本概念与表示方法 难点：运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合。任务与分析 这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握． 教学设计 一、问题情境 1. 在初中，我们学过哪些集合？ 2. 在初中，我们用集合描述过什么？ 学生讨论得出：在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集． 《高等代数》课程教学总体安排 一、课程名称：高等代数 二、课程性质与类型：专业必修课，理论课 三、课程总学时及学分：150学时，学分 四、教学目的与要求： 教学目的：高等代数是数学与应用数学专业必修基础课，也是一门重要主干课程，是中学代数的提高，也是近代数学的基础。通过本课程的教学，使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，适当地了解代数的一些历史，一些背景，以加深对中学数学的理解，获得独立分析和解决有关的理论和实际问题的能力，并为进一步学习其他后继课程：近世代数、微分方程、泛函分析等，以及将来从事教学，科研及其他实际工作打下基础。 教学基本要求：基本掌握全书的基本概念；能独立处理书后的绝大部分习 题；通过本书抽象理论的学习，提高自学能力，数学思维，专业素质，以便阅读较深的文献。 五、教材及参考书目 教材：张禾瑞,郝炳新著，高等代数，高等教育出版社，2007年6月第四版，ISBN:7-04-021465-9， 主要参考书： [1] 北京大学数学系，高等代数，高等教育出版社，2003年7月第三版ISBN:7-04-011915-3 [2] 李师正等编，高等代数解题方法与技巧，高等教育出版社，2004 年2月版ISBN:7-04-012942-6 [3] 徐仲,陆全,张凯院，高等代数考研教案，西北工业大学出版社，2006年6月出版，ISBN:7-5612-2088-X 六、考核方式及成绩计算方法 期末进行闭卷考试，综合平时学习态度、课堂表现、平时作业确定学生学习成绩。具体计算方法为：学科成绩=期末考试成绩×90%+平时成绩×10% 七、课程教学日历 第一章基本概念 教学安排说明 章节题目：§1.5数环数域 学时分配：2学时。教学时数为2学时 本章教学目的与要求：掌握数环和数域概念，判别方法，理解有理数域的最小性。其它：本章以自学为主，只讲授第五节 课堂教学方案 §1.5数环数域 课程名称：§1.5数环数域 授课时数：2学时 授课类型:理论课 教学方法与手段：讲授法 教学目的与要求：掌握数环和数域概念，判别方法，理解有理数域的最小性。 教学重点、难点：数域的基本概念；判定数的集合是否是一个数域 教学内容 §5 数环和数域 关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的. 定义1 设S是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果S中任意两个数的和、差、积仍然是S中的数，那么S就称为一个数环. 显然整数集、全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数环。这四个数环分别用字母Z、Q、R、C来代表。 例1取定一个数a，{} =∈是一个数环 S na n Z 定义2 设F是一个数环，如果： （1）F含有一个不等于0的数 抽象代数教学大纲 (Abstract Algebra) 课程代码218.009.1编写时间2006年课程名称抽象代数 英文名称Abstract Algebra 学分数3周学时4 任课教师*杨劲根、姚慕生、 朱胜林、吴泉水 开课院系 ** 数学学 院 预修课程高等代数，数学分析 课程性质： 本课程是综合性大学数学系各专业本科生基础课程。 基本要求和教学目的： 主要学习基本的代数结构和代数方法。 课程基本内容简介： 1）正规子群和商群，理想和商环，向量空间的商空间的概念的正确理解；在等价类集合上定义代数结构的方法。 3）在群论中以循环群、置换群和线性群作为基本例子，讲述高阶交错群是单群的证明； 4）在环论中以整数环，多项式环和矩阵环作为基本例子； 5）群的内容不宜繁多，可考虑只包含 Sylow 定理，有限生成的 Abel 群的结构定理和合成群列的 Jordan-Holder 定理； 6）有限域的几条主要定理； 7）圆规直尺作图的不可能性和所需的关于域扩张的基础知识； 8）Galois 理论的基本定理和高次方程求解公式的不存在性。 教学方式： 课堂授课教材和教学参考资料 作者教材名称出版社出版年月 教材杨劲根近世代数讲义自编 参考资料 姚慕生抽象代数学复旦出版社2003.12冯克勤、李尚志、 查建国、章璞 近世代数引论中国科技大学 出版社 2002.3 Michael Artin Algebra Prentice Hall1991 教学内容安排： 一、群的基本知识（16学时） 定义和例子 2学时 子群 2学时 置换群 2学时 陪集 2学时 正规子群 2学时 交错群 1学时 群的同态 2学时 群的直积 1学时 群作用 2学时 二、环和域的基本知识（8学时）基本定义 2学时 理想和商环 2学时 环的同态 2学时 域的基本知识 2学时 三、多项式和有理函数（8学时）单变量多项式 1学时 带余除法 2学时 多变量多项式 2学时 因式分解 2学时 多项式函数 1学时近世代数教案 (2)
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