高考综合复习
专题十一三角函数式的化简与求值
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三角函数式化简与求值的理论依据—三角公式体系，主要由两个系列组成：三角函数坐标定义的推论系列；公式的推论系列
一、高考考点
以三角求值为重点，同时对三角式的化简具有较高要求，主要考查：
1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的―准确‖；运用同角公式的―灵活‖：正用、反用、变用。
2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用，主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题，不同某一小题）。
3、等价转化思想以及三角变换的基本技能。
二、知识要点
（一）三角函数坐标定义的推论
1、三角函数值的符号
2、特殊角的三角函数值
3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）
（1）课本中的公式：
（2）同角公式―全家福‖
①平方关系： .
②商数关系： .
③倒数关系：
4、诱导公式：
（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角
①k·360°＋（k∈Z），－，180°±，360°－（共性：偶数×90°±形式）的三角函数值，等于的同名函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号；
②90°±，270°±（共性：奇数×90°±）的三角函数值，等于的相应余函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号。
①②两类诱导公式的记忆：奇变偶不变，符号看象限。
（2）诱导公式的引申
；
；
.
（二）两角和与差的三角函数
1、两角和的三角函数两角差的三角函数
令＝
2、倍角公式
；
＝
＝；
3、倍角公式的推论
推论1（降幂公式）：
；
；
.
推论2（万能公式）：
；
.
推论3（半角公式）：
；
；
.
其中根号的符号由所在的象限决定.
三、经典例题
例1、填空：
（1）已知的取值范围为
（2）已知的取值范围为
分析：
（1）从已知条件分析与转化入手
①
又②
∴由①、②得，
∴应填
（2）首先致力于左右两边的靠拢：
左边＝①
右边＝②
∴由左边＝右边得
，
∴应填
点评：解本题，极易出现的错解是由①、②得
，这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训.
例2.化简或求值：
（1）
（2）
分析：
（1）注意到分母为单一的非特殊角的余弦，需设法在分子变换出cos20°.为此，将10°变为30°－20°后运用差角公式。
（2）对于含有清一色的两切值的三角式，除用―切化弦‖外，运用有关正切（或余切）的公式，常常会收到良好的效果.
解：
（1）原式＝
（2）
解法一（利用关于正切的倍角公式）：
注意到
∴
∴原式＝
＝
＝
＝
＝cot20°
解法二（利用掌握的典型关系式）：
注意到（证明从略）
∴原式＝
＝
＝
＝cot20°
点评：根据所用公式的特证，解法一从后向前变，解法二则从前向后推，这种灵活性值得借鉴.此外，在（1）中将10°变为特殊角30°与相关角20°的差，从角的这一关系式入手突破，是（1）求解成功的关键.
例3.
（1）已知，求
的值；
（2）已知
分析：
对于（1）注意到已知式的复杂性，考虑从化简与认识―已知‖切入，以明确未知目标的变形方向；
对于（2），注意到目标与已知的不甚亲密，考虑从认知和变形目标切入，以准确已知的延伸方向.
解：
（1）由已知得
∴
注意到
∴由已知得（至此，目标的变形方向明确）
于是有原式＝
＝
（2）由已知得原式＝
＝
＝①
（至此寻求的目标明确）
又∵
∴
∴②
于是②代入①得，原式＝ .
点评：（1）从化简认知―已知‖切入，（2）从化简认识―目标‖切入，具体情况具体分析，很好地体现了解题的灵活性.
例4.
（1）已知
（2）已知
（3）已知
（4）已知
分析：已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从―角的关系式‖入手切入或突破.上述角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.
解：
（1）注意到这里目标中的角与已知式中的角的关系式：（和差与倍半的综合关系）
∴
＝①
∵
∴
∴②
③
∴将②③代入①得
（2）注意到这里有关各角的关系式：
（和差与倍半的综合关系）
∴
＝①
∵
∴
∴
又②
∴③
∴将②③代入①得
于是有 .
（3）注意到这里有关各角之间的关系式
∴
∴①
∵
∴
又②
∴③
∴将②③代入①得，
故得
（4）
解法一（从寻找两角与的联系切入）：
由已知得：①
∵
∴②
③
此时注意到在内单调递增.
∴由①②③得
∴
于是得 .
解法二（从已知式的化简切入）
由已知得
④
∵
∴
∴由④得⑤
于是再由及⑤得 .
点评：
对于（1）（2），侧重和差与倍半关系导出有关角的等量关系；
对于（3），侧重特殊角来建立有关各角的关系式；
对于（4），既展示了三角条件求值的一般途径：已知三角函数值未知三角函数值；
又展示了三角条件求值的特殊途径：已知三角函数值有关角的量值未知三角函数值例5、
(1)设
（2）设
分析：（1）注意到未知式的复杂，考虑从化简和认知目标切入，以明确已知条件的延伸方向：
原式＝，故解题从求突破.
（2）在分析与变形目标中发现上，下面两式的联系：
原式＝，故解题从求突破.
解：
（1）原式＝①
∵∴
∴由得
∴②
∴③
④
于是将②③④代入①得原式＝
（2）原式＝
⑤
∵∴
∴由得
∴⑥
又注意到⑦
∴将⑥⑦代入⑤得，原式＝
点评：（1）（2）两题的条件与目标相似，此时解题可谓―仁者见仁，智者见智‖，不同的关注点，引出不同的切入点和突破口.
例6、
（1）已知，且
（2）已知
（3）已知
分析：不同的矛盾需用不同的方法来解决.
对于（1）着眼于目标，故从求
切入；
对于（2）着眼于目标，故从
求切入与突破；
对于（3），由已知导出的函数值，方向不明，此时注意到
，故转而考虑从寻觅的方程与求解入手.
解：
（1）∵，①
②
则①2＋②2得
∴③
又
此时注意到①中，
故得④
于是由③④得
因此有
点评1：本题容易引发的错解为由③得，因而有
，错解的根源在于解题中仅利用已知数据的绝对值，而未能利用已知数据的符号.事实上，三角条件求值的特色之一，是在求解过程中常常将已知数据的绝对值（或本身）与已知数据的符号分开（或重复）使用.本例的解答便是这一―分开使用‖的示范.
（2）①
由②
③
∴②2＋③2得
∴④
又③2－②2得
⑤
∴④代入⑤得⑥
于是将④⑤代入①得，原式＝
（3）由①
∴
又由②
∴将①②联立方程组，解得
∴
点评2：求解（2）（3）的共同之处，是首先认知目标，而后有的放矢地去求索，认知目标以明确寻求的方向，此为条件求值的基本原则；不过，当目标有不同的―面孔‖时，需仔细斟酌与选择追求的对象.
四、高考真题
（一）选择题
1、（江苏卷）若
B. C. D.
分析：由
∴
∴应选A.
2、（浙江卷）已知k<－4，则函数y＝cos2x＋k（cosx－1）的最小值是（）
A. 1
B. －1
C. 2k+1
D. –2k+1
分析：y＝2cos2x＋kcos x－k－1
＝2（cosx＋）2－（）
∵k<－4，∴－>1
又－1≤cos x≤1
∴当cosx＝1时，y取最小值1，故选A.
应选A.
（二）填空题
1、（全国卷II ）设
分析：注意到已知条件中的角与目标中的角之间的联系
由已知得
∴①
∴
∵②
又为第四象限角
∴由②得③
于是由①③得，
（三）解答题
1、化简
，并求函数f（x）的值域和最小正周期.
分析：欲求f（x）的值域和最小正周期，第一选择是将f（x）化为的形式.
解：
＝
＝
＝
＝
＝
＝4cos2x
即f（x）＝4cos2x（x∈R）
∴f（x）的最小正周期T=；
又－1≤cos2x≤1（x∈R）
∴f（x）的值域[－4，4]。
点评：本题从考查三角函数的诱导公式、和（差）角公式、以及三角函数的周期和值域切入，重点考查f（x）向一般形式的化归和转化能力.
2、已知函数f（x）＝
（1）求的值；
（2）设
分析：为便于计算或化简，在可能的情况下，以首先将f（x）化为的形式为上策.
解：运用倍角公式得
＝
＝
（1）
＝
＝
＝0
（2）
∴
∴
＝
＝
∵∴
∴
点评：若f（x）是形如的sinx，cosx的二次齐次式，
则一般要将f（x）化为的形式后求解.
3、已知
（1）求的值；
（2）求的值.
分析：已知的值，要求sinx，cos x或可用sinx，cos x表出的三角式的值，典
型解法之一是―配对‖解法，即先求的值，而后将上述两式联合，解出sinx，cos x 的值再作道理.而本题恰是为了解（2）作了铺垫.
解：
（1）对于①
由①式两边平方得
∴②
∵，∴cos x＞0，sinx＜0
∴sinx－cosx<0
∴由②得sinx－cosx＝－③
（2）将①③联立，解得
∴原式＝
点评：注意到由①2得，故这里只利用了已知数值的绝对值，对于比较
复杂的问题，还要注意利用这里的或的符号，据此来进行筛选或认定相关三角式的取值.对此，请大家参见本专题经典例题，以强化这一方面的认知.
4、条件求值系列：
g3.1049 三角函数的化简、求值与证明 一、知识回顾 1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。 二、基本训练 1、已知θ是第三象限角，且445 9 sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ ） A 、223 B 、223- C 、23 D 、23 - 2、函数23 232 y sin x cos x =--+的最小正周期 （ ） A 、2π B 、π C 、3π D 、4π 3、tan 70cos10(3tan 201)- 等于 （ ） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－2 4、已知46 sin 3cos (4)4m m m αα--=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 5、设1 0,sin cos 2 απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。 三、例题分析 例1、化简： 4221 2cos 2cos 2.2tan()sin () 44 x x x x ππ -+ -+ 例2、设3177cos(),45124 x x π ππ +=<< ，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。 例3、求证：sin(2)sin 2cos().sin sin αββ αβαα +-+=
2011突破难点 （十六）三角函数式的化简与求值 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. ●难点磁场 (★★★★★)已知 2 π ＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2 α的值_________. ●案例探究 ［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值. 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错. 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会. 解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° =2 1 (1－cos40°)+2 1 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+ 3sin20° (cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－2 1cos40°－4 1cos40°－ 43sin40°+43sin40°－2 3sin 220°
=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 4 1 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=2 1 ，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=4 1. ［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=2 1的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值. 命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目 知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错. 技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等. 解：由y =2(cos x －2a )2－22 42+-a a 及cos x ∈［－1，1］得： f (a )??? ????≥-<<-----≤)2( 41)22( 122 ) 2( 12a a a a a a ∵f (a )=21,∴1－4a = 21?a =8 1 ?［2,+∞) 故－22a －2a －1=2 1 ，解得：a =－1，此时， y =2(cos x +21)2+2 1 ，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5. ［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +3 π )－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期；
第七节三角函数的化简与求值 [选题明细表] 知识点、方法题号 三角函数式的化简15 三角函数的求值1,2,3,5,9,10,11,13 三角变换的综合应用4,6,7,8,12,14 一、选择题 1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α=,则cos 2α等于( B ) (A)(B)(C)-(D)- 解析:因为sin α=,所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×()2=.故选B. 2.设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为( A ) (A)(B)(C)(D) 解析:因为α为锐角,即0<α<, 所以<α+<+=. 因为cos(α+)=, 所以sin(α+)=.
所以sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+) =2×× =. cos(2α+)=2cos2(α+)-1=. 所以sin(2α+)=sin(2α+-) =sin(2α+)cos -cos(2α+)sin =×-× =. 故选A. 3.若α∈(,π),且3cos 2α=sin(-α),则sin 2α的值为( D ) (A)(B)-(C)(D)- 解析:cos 2α=sin(-2α) =sin[2(-α)] =2sin(-α)cos(-α), 代入原式,得6sin(-α)cos(-α)=sin(-α),
因为α∈(,π),所以cos(-α)=, 所以sin 2α=cos(-2α)=2cos2(-α)-1=-. 故选D. 4.函数y=的单调递增区间是( A ) (A)(2kπ-π,2kπ+)(k∈Z) (B)(2kπ-,2kπ+)(k∈Z) (C)(2kπ-,2kπ-)(k∈Z) (D)(kπ-,kπ+)(k∈Z) 解析:y== = = =tan(+), 当+∈(kπ-,kπ+),k∈Z时,函数为增函数, 此时x∈(2kπ-,2kπ+),k∈Z. 故选A.
【知识要点】 利用同角三角函数的基本关系式——平方关系、商数关系、倒数关系和两角和差倍半角公式来化简求值. 和差化积、积化和差公式： sin sin 2sin cos 22αβ αβαβ+-+= sin sin 2sin cos 22 αβαβαβ-+-= cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+= cos cos 2sin sin 22 αβαβαβ+--= 1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++- 1cos sin [sin()sin()]2 αβαβαβ=+-- 1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++- 1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=+-- 【典型例题】 例1求234cos cos cos cos 9999 π πππ的值. 例2化简下列各式： （1）2sin10cos 20sin 20?-?? （2）22sin sin cos sin cos tan 1x x x x x x +---（3）66441sin cos 1sin cos θθθθ---- 例3已知tan 2α=，求：（1） 4sin 2cos 5sin 3cos αααα -+；（2）223sin 3sin cos 2cos αααα+-.
例4已知sin()410πα- =，7cos 225α=，求sin α及tan()3πα+的值. 例5已知α为第二象限内的角，3sin 5α= ，β为第一象限内的角，5cos 13 β=，求tan （2α-β）的值. 【课堂练习】 1.若sin cos 2sin cos x x x x +=-，则sin cos x x =（ ）.
三角函数式的化简与求值 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. ●难点磁场 已知 2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=13 12,sin(α+β)=－53 ,求sin2α的值_________. ● 案例探究 ［例1］ 不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值. 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错. 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会. 解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° = 21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21 cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20° －sin60°sin20°) =1－ 21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－2 3sin 220° =1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°= 2 1 ，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y = 41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=4 1.
第三讲 一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧 1、网络
2、三角函数变换的方法总结 （1）变换函数名 对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。 【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。 练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。 2）变换角的形式 对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。 【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。练习已知，求的值
【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α ＋β）＝ 提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β） （3）以式代值 利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。 【例4】化简： （4）和积互化 积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。这往往用到倍、半角公式。 【例5】解三角方程：sin2x＋sin22x＝sin23x
高考 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的 重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场(★★★★★)已知 2 π ＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.● 案例探究［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体 会.解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°= 21 (1－cos40°)+2 1 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－2 1 cos40° +2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－ 21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－4 3 (1－ cos40°)= 4 1 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－ 3cos20°sin80°，则x +y =1+1－3sin60°=21 ，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100°= －2sin100°sin60°+3sin100°=0∴x =y =4 1 ，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° =41.［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座 等.解：由y =2(cos x －2 a )2－22 42+-a a 及cos x ∈［－1，1］得： f (a )?? ? ????≥-<<-----≤)2( 41)22( 122) 2( 12 a a a a a a ∵f (a )=21,∴1－4a =21?a =81?［2,+∞)故－ 22a －2a －1= 21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+2 1 ，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x + 3 π )－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值；(3)若当x ∈［12 π，127π ］时，f (x )的反函数
三角函数化简求值专题复习 高考要求 1、理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。 2、 掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式） 3、 能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 热点分析 1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强. 2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至20XX 年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题 3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解. 【例1】求值： ? +?? ??+?+?80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2. 解：原式的分子? ? ?+??+ ?=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2 ? ?+ ?=20cos 10cos 20sin 2?? +?=20cos 10cos 40sin 320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =? ? ?=??+?= ， 原式的分母＝ ? ? +?=??+?80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1 ()??+?+?=80sin 80cos 40cos 40cos ?? ?+?=80sin 20cos 60cos 240cos 310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =? ? ?=??+?= ， 所以，原式＝１． 【变式】1、求值 () ? +??+?+?10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2 解：()()2 5cos 25cos 45cos 225cos 250cos 40cos 25cos 21060cos 240cos 25cos 210sin 23 10cos 21240cos 25cos 210sin 310cos 40cos 2=? ??=??+?=??-?+?=? ?? ? ? ???+?+?=??+?+?=·原式 【变式】2、求00 20 210sin 21)140 cos 1140sin 3( ?- 。 分析：原式= 202020210sin 21 140cos 140sin 140sin 140cos 3? -
三角函数诱导公式专项练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（） A． B． C． D． 2．的值为（） A． B． C． D． 3．已知，则cos（60°–α）的值为 A． B． C． D．– 4．已知，且，则（）A． B． C． D． 5．已知sin(π－α)＝－，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为( ) A． B．－ C．± D． 6．已知，则=( ) A． B． C． D． 7．已知，，则（） A． B． C． D． 8．已知，则（） A． B． - C． D． - 9．如果，那么 A． - B． C． 1 D． -1 10．已知，则（） A． B． C． D． 11．化简的值是（）
A． B． C． D． 12．的值是（） A． B． C． D． 13．已知角的终边经过点，则的值等于 A． B． C． D． 14．已知，则（） A． B． C． D． 15．已知的值为（）A． B． C． D． 16．已知则（） A． B． C． D． 17．已知，且是第四象限角，则的值是( ) A． B． C． D． 18．已知sin＝，则cos＝( ) A． B． C．－ D．－ 19．已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝( ) A．－ B． C．± D．－k 20．＝( ) A． sin 2－cos 2 B． sin 2＋cos 2 C．±(sin 2－cos 2) D． cos 2－sin 2 21．的值为 A． B． C． D． 22．（） A． B． C． D．
专题12 三角函数的化简与求值 一、复习目标 1．掌握三角函数恒等变形的一般思路与方法； 2．能利用恒等变形进行三角函数式的化简与求值． 二、基础训练 1．=-15cot 15tan ( ) A ．2 B ．32+ C ．4 D ．32- 2．3,(2),2 P π απ=<<若 则化简P 可得 （ ） A ．2 cos α - B ．2 cos α C ．2 sin α- D ．2 sin α 3． 若α为锐角，且,3 1 )6sin(=- π α则=αcos ． 42 cos 1010)1cos 10170 --= ． 三、典型例题 1．（1）若等于则θ θ θ2sin 12cos ,21tan +- = （ ） A ．2- B ．2 1 - C ．3- D ．3 （2）若71cos = α，??? ??∈2,0πα，则??? ? ? +3cos πα=__________。 2．已知)3 tan(sin ,2572cos ,1027)4sin(π +αα=α=π-α及求
3．化简：2 2221sin sin cos cos cos 2cos 22 αβαβαβ?+?-? ． 4．已知1 0,sin cos 25 x x x π - <<+= ． （Ⅰ）的值求x x cos sin -； （Ⅱ）求2 23sin 2sin cos cos 2222tan cot x x x x x x -++的值．
四、课堂练习 1． 对任意的锐角βα，，下列不等关系中正确的是 （ ） A ．sin()sin sin αβαβ+>+ B ．sin()cos cos αβαβ+>+ C ．cos()sin sin αβαβ+<+ D ．cos()cos cos αβαβ+<+ 2． 已知,16 3,16π βπ α= = 则 =+?+)tan 1(tan 1βα）（ ． 3． 已知α为第二象限的角，53sin =α，β为第一象限的角，13 5 cos =β，求) 2tan(βα-的值． 五、巩固练习 1．已知=-=+= +)4 tan(,223)4tan(,52)tan(π βπαβα那么 （ ） A ．51 B ．41 C ．1813 D ．2213 2．若=+=-)232cos(,31)6sin(απ απ则 （ ） A ．97- B ．31- C ．31- D ．9 7 3．若βα，均是锐角，且2 sin cos(),ααβ=-则的关系是与βα （ ） A ．αβ> B ．αβ< C ．βα= D ．2 π αβ+> 4．函数x x x x f cos )cos 4sin 3()(-=的最小正周期为 ． 5．已知α为锐角，且2 2 sin sin cos 2cos 0,αααα--=则αtan = ，
４三角函数得化简、求值与证明日期:２０09年月日星期 ,能正确地运用三角公式进行三角函数式得化简与恒等式得证明、 用、 (１)常用方法:①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角;③三角公式得逆用等。(2)化简要求：①能求出值得应求出值； ②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 ２、三角函数得求值类型有三类:(1）给角求值:一般所给出得角都就就是非特殊角,要观察所给角与特殊角间得关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角得三角函数值问题;(２）给值求值:给出某些角得三角函数式得值,求另外一些角得三角函数值，解题得关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角得式子表示，求解时要注意角得范围得讨论；(３)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题,由所得得所求角得函数值结合所求角得范围及函数得单调性求得角。 3、三角等式得证明:(1)三角恒等式得证题思路就就是根据等式两端得特征,通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端得化“异”为“同”;(2）三角条件等式得证题思路就就是通过观察,发现已知条件与待证等式间得关系，采用代入法、消参法或 、三角函数得求值: ,化非特殊角为特殊角; ?2、正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角得三角函数值; ?3、一些常规技巧：“１”得代换、切割化弦、与积互化、异角化同角等、 1、三角函数式得化简: 三角函数式得化简常用方法就就是：异名函数化为同名三角函数,异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角得三角函数互化、 ?2、三角恒等式得证明: 三角恒等式包括有条件得恒等式与无条件得恒等式、①无条件得等式证明得基本方法就就是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端得“异”化为“同”;②有条件得:代入法、消去法、综合法、分析法等、 ( A) A、B、C、D、 2、函数得最小正周期( B) Ａ、B、C、D、 3、等于( Ｄ） A、1 B、2 C、－1 D、-２ ４、已知，则实数得取值范围就就是__[-1,]＿＿_。 _＿＿_。 ,(),则?( ) ???或 略解:由得或(舍)，∴,∴、 例2、已知,就就是第三象限角,求得值、 解：∵就就是第三象限角，∴（）, ∵,∴就就是第四象限角,∴, ?∴原式 221 cos(15)sin(15)sin(75)cos(75) 3αααα + =---=+-+=-、 例3、已知，求得值、
数学(第 二 轮)专 题 训 练 第九讲: 三角函数的化简与求值 学校 学号 班级 姓名 知能目标 1. 掌握同角的三角函数的基本关系式: 掌握正弦,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角 差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的在正弦，余弦,正切公式. 2. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明. 综合脉络 三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点. 提高三 角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能. 常 用的数学思想方法技巧如下: 1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之 间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题 获解.对角的变形如下: )2()2()(,2304560304515α -β-β+α=β-β+α=α=-=-= , )4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4 (24α-π -π=α+π 特别地, α+π4与α-π 4 为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高. 2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是 基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名. 3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常 数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=2 2 2 2 2 2 cot csc tan sec cos sin 1. 4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的 方法. 常用降幂公式有: 1cos sin ,2 2cos 1cos ,22cos 1sin 2222 =α+αα +=αα-= α 等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂 公式是相对而言的. 5. 公式变形式: 三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及变形式 的应用. 如: )tan tan 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β?αβ±α=β±αα α =α 等. (一) 典型例题讲解: 例1. (1)当2x 0π <<时，函数x 2sin x sin 8x 2cos 1)x (f 2++=的最小值为 ( ) A. 2 B. 32 C. 4 D. 34 (2) 已知=α=α cos ,32 tan 则 .
1. 已知3,1616 π παβ==,则(1tan )(1tan )αβ++（1+tanα）的值为 。 2. 已知5sin 5α=,10sin 10 β=,且,αβ为锐角，则αβ+的值是 。 3. 若cos 222sin() 4απα=--，则sin cos αα+的值为 。 4. 已知()4 3sin 2,,252π πααπ??-=∈ ???,则sin cos sin cos αα αα+-等于 。 5. 若23 5cos 2,3252x x π π=<<,则sin 2x 和tan 2x 的值分别是 。 6. sin50(13tan10)+=___________________。 7. 44sin 22.5cos 22.5-=______________________。 8. 化简22cos() cos()23cos 2tan ()cos ()sin() 2π θθπ ππθθθ+--=?-+?-___________。 9. 已知向量(c o s ,s i n )a b ααββ==，25 5a b -=, 若0,022π παβ<<-<<，且5 sin 13β=-,则sin α的值为_______。 10. 已知23cos ()5cos()12x x π π++-=，求226sin 4tan 3cos ()x x x π+--的值． 11. 已知方程sin(3)2cos(4)απαπ-=-，求) sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπ απαπ----+-的值。 12. 已知函数2()2sin cos 2cos f x a x x b x =+，且(0)8,()126f f π == （Ⅰ）求实数,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的值.
三角函数公式练习题（答案） 1．1．29 sin 6 π=（ ） A ．2- ．12- C ．12 D ．2 【答案】 【解析】C 试题分析：由题可知，2 165sin )654sin(629sin ==+=ππππ； 考点：任意角的三角函数 2．已知1027)4 (sin = -π α，25 7cos2=α，=αsin （ ） A ． 54 B ．54- C ．5 3- D ．53 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 ： 由 7 sin()sin cos 4105 πααα-=?-= ①， 2277cos2cos sin 2525 ααα= ?-= 所以()()7cos sin cos sin 25αααα-+=②，由①②可得1 cos sin 5 αα+=- ③， 由①③得，3 sin 5α= ，故选D 考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式 点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式 3．cos690=o （ ） A ． 21 B ．2 1- C ．23 D ．23- 【答案】C 【解析】 试题分析：由( )()cos 690cos 236030 cos 30cos30 =?-=-== o o o o o ，故选C 考点：本题考查三角函数的诱导公式 点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值 4．π3 16 tan 的值为 A.33- B.3 3 C.3 D.3- 【答案】 C 【解析】
试题分析tan π=tan（6π﹣）=﹣tan =． 考点：三角函数的求值，诱导公式． 点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值． 5．若2 02παβπ<<<<- ，1cos()43πα+=，3cos()42πβ-= cos()2β α+= A ． 33 B ．33- C ．935 D ．9 6 - 【答案】C ． 【解析】 试题分析：因为202παβπ<<<<- ，1cos()43πα+=，所以4 344π αππ< +<，且322)4 sin( = +απ ；又因为3cos()42πβ-=，且02 <<-βπ，所以2 244π βππ<-<，且36)24sin(= -βπ．又因为)24()4(2βπαπβα--+=+，所以) 2 4sin()4sin()24cos()4cos()]24()4cos[()2cos(β παπβπαπβπαπβ α-++-+=--+=+ 9 35363223331=?+?= ．故应选C ． 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式． 6．若角α的终边在第二象限且经过点(13)P -，则sin α等于 A ． 32 B ．32- C ．12- D ．1 2 【答案】A 【解析】 试题分析：由已知2 3sin 2,3,1== ?=∴= -=r y r y x α，故选A ． 考点：三角函数的概念． 7．sin70Cos370- sin830Cos530 的值为（ ） A ．21- B ．21 C ．2 3 D ．23- 【答案】A 【解析】 试题分析： sin70Cos370- sin830Cos530 ()() ο οοοοο3790sin 790cos 37cos 7sin ---=
2008高考数学专题训练 三角函数的化简与求值 学校 学号 班级 姓名 知能目标 1. 掌握同角的三角函数的基本关系式: 掌握正弦,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角 差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的在正弦，余弦,正切公式. 2. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明. 综合脉络 三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点. 提高三 角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能. 常 用的数学思想方法技巧如下: 1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之 间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题 获解.对角的变形如下: )2()2()(,2304560304515α -β-β+α=β-β+α=α=-=-= , )4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4 (24α-π -π=α+π 特别地, α+π4与α-π 4 为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高. 2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是 基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名. 3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常 数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=2 2 2 2 2 2 cot csc tan sec cos sin 1. 4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的 方法. 常用降幂公式有: 1cos sin ,2 2cos 1cos ,22cos 1sin 2222 =α+αα +=αα-= α 等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与 降幂公式是相对而言的. 5. 公式变形式: 三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及变形式 的应用. 如: )tan tan 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β?αβ±α=β±αα α =α 等. (一) 典型例题讲解: 例1. (1)当2x 0π <<时，函数x 2sin x sin 8x 2cos 1)x (f 2++=的最小值为 ( ) A. 2 B. 32 C. 4 D. 34
模块4——三角函数的化简、求值与证明 一、知识回顾 1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。 二、基本训练 A 组 1、已知θ是第三象限角，且4 4 59 sin cos θθ+= ，那么2sin θ等于 （ ） A 、 3 B 、3- C 、 23 D 、23 - 2 、函数2 22 y sin x x =--+的最小正周期 （ ） A 、2π B 、π C 、3π D 、4π 3 、tan 70cos10201)- 等于 （ ） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－2 4 、已知46 sin (4)4m m m αα-- = ≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 5、设1 0,sin cos 2 απαα<<+=，则cos 2α＝＿＿＿＿＿。 6、化简： 42 2 12cos 2cos 2.2tan( )sin ( ) 4 4 x x x x ππ-+ -+ 7、设3177cos(),45124x x π ππ+=<<，求2 sin 22sin 1tan x x x +-的值。 8、求证： sin(2) sin 2cos().sin sin αββαβα α +-+=
三角函数 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. ●难点磁场 (★★★★★)已知2 π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53 ,求sin2α的值 _________. ●案例探究 ［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值. 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错. 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会. 解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° = 21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21 cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20° －sin60°sin20°) =1－ 21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－2 3 sin 220° =1－43cos40°－43(1－cos40°)= 4 1 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°= 2 1 ，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y = 41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=4 1. ［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )= 2 1
三角化简求值测试题 1．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________. 2．已知π<θ<32π，则 12＋12 12＋1 2cos θ＝________. 3．计算：cos10°＋3sin10° 1－cos80°＝________. 4．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是__________________． 5．函数f (x )＝(sin 2x ＋1 2010sin 2x )(cos 2x ＋1 2010cos 2x )的最小值是________． 6．若tan(α＋β)＝2 5，tan(β－π 4)＝1 4，则tan(α＋π 4)＝_____. 7．若3sin α＋cos α＝0，则1 cos 2α＋sin2α的值为________． 8. 2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________． 9．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π 4)的值为_________． 10．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )的最小正周期为________． 11． 2cos5°－sin25° cos25°的值为________． 12．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________________. 13．已知1－cos2α sin αcos α＝1，tan(β－α)＝－1 3，则tan(β－2α)＝________. 14．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝6 2，则a 、b 、c 的大小关系是________. 15．已知角α∈(π 4，π 2)，且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0. (1)求tan(α＋π4)的值；(2)求cos(π 3－2α)的值． 16. 已知tan α＝2.求(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos 2(π－α) 1＋cos2α的值． 17．如图，点A ，B 交 18．△ABC 中，A ，1．若sin α＝35，α∈解析：由于α∈