当前位置:文档之家› 矩阵论

矩阵论

矩阵论
矩阵论

矩阵论

1.行列式的相关知识:

1.1定义:由2n 个数ij a (,1,2,...,)i j n =组成的一个n 阶行列式为

121

2

1211

12121222(...)

12 (1)

2

(1)

...n j j j

n

n

n n j j j n j j j n n nn

a a a a a a D a a a a a a τ=

=

-∑

即所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212...j j j n n a a a 的代数和,其中每一项的符合由排列

1

2

...n

j j j

的奇偶性决定。

n 阶行列式的展开原理:

定义

1.1.2在n 阶行列式D 中,任选k 行和 k 列(k n ≤),将其交

叉点上的2k 个元素按原来位置排成一个k 阶行列式M ,称为D 的一个k 阶子式。在D 中划去M 所在之k 行k 列后余下的2()n k -个元素按照原来位置排成的n-k 阶行列式M ',称为M 的余子式。

定义1.1.3

设D 的k 阶子式M 在D 中所在行列指标分别是12,,...,k i i i

12,,...,k

j j j ,则称

1212()()

(1)

k k i i i j j j A M ++++++'=-?

为M 的代数余子式,其中M '为M 的余子式。

定理1.1.1(拉普拉斯定理)设在行列式D 中任意取定k 行(11)k n ≤≤-,则由这k 行元素所组成的一切k 阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和等于和列式D 。

定理1.1.4(克莱姆法则):若线性方程组

11112211

2112222211

22n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b

+++=??

+++=??

??+++=? (1.1.7)

的系数行列式

11

121212221

2

0n n n n nn

a a a a a a D a a a =

则方程组(1.1.7)有唯一解,且/(1,2,)

i

i x D D i n == ,其中i D 是将D 中

第i 列换成(1.1.7)式右端的常数项12,,,n b b b 所得的行列式,即

1,11,111

112,12,2

2122,1

,1

i i n i i n i n i n i n

n n

nn

a a a

b a a a a b a D a a a b a -+-+-+=

(1,2,,)

i n =

该定理通常称为克莱姆法则。特别地,当0(1,2,,)i

b i n == 时,方程组

(1.1.7)又称为齐次线性方程组。若其系数行列式不为零,则由克莱姆法则知它必有唯一零解

行列式的降阶定理

定理1.6.1设A 和D 分别为n 阶及m 阶的方阵,则有

11,,A D C A B A A B

C

D D A B D C D --?-?=?-??当可逆时;当可逆时. 定理1.6.2设A ,B ,C ,D 皆为n 阶方阵,且满足AC=CA ,则

A B AD C B

C

D

=-

定义 1.2.4向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量

组的秩。

引理1.3.1若齐次线性方程组

1111221211222211

2200

n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??

+++=??

??+++=? 的系数矩阵

1112121

2221

2

n n

s s sn a a a a a a A a a a ??

?

?= ? ???

的秩r

定理1.3.2 n 阶方阵A 的行列式0A

=的充要条件rank(A)

定理1.1.3 矩阵A 的秩为r 的充要条件是A 中至少有一个r 阶子式

不为零,且其所有的r+1阶子式全为零。

定理1.3.4 设A ,B 是数域P 上的两个n 阶方阵,则AB

A B

=即矩

阵乘积的行列式等于它的因子行列式的乘积。

定义1.3.4 数域P 上的n 阶方阵A 称为非奇异的(可逆矩阵,满

秩矩阵),若0A

≠;否则称为奇异的(不可逆矩阵,不满秩矩阵)。

定理1.3.5设A 是数域P 上的n m ?矩阵,B 是数域P 上的m s ?矩阵,

{}()min (),()rank AB rank A rank B ≤

即乘积的秩不超过各因子的秩。

定理1.3.6 设A 是一个s n ?矩阵,如果P 是s 阶可逆方阵,Q 是n

阶可逆方阵,那么

()()()()rank A rank PA rank AQ rank PAQ ===

定义1.3.5设()ij

n n A a

?=是一个

n 阶方阵,A 的主对角元素 的和称为

A 的迹,并记之为()tr A ,即

1122()nn a tr A a a +++=

解的判别定理 定理1.4.1线性方程组

111122112112222211

22n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b

+++=??

+++=??

??+++=?

有解的充要条件为()()rank A rank B =。其中

11121212221

2n n sn s s A

a a a a a a a a a ??

? ?

? ? ?

??

=

1211121212221

2s

n n sn s s B

a a a

b a a a b a a a b ??

?

? ? ? ???

=

系数矩阵A 与增广矩阵B 的秩之间只有两种可能,即

()()rank A rank B = 或 ()1()r a n k A r a n k B

+=

定义1.4.1齐次线性方程组

1111221211222211

2200

n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??

+++=??

??+++=? (1.4.5) 的一组解12,,,r ηηη 称为方程组(1.4.5)的一个基础解系,若 1)12,,,r ηηη 线性无关;

2)方程组(1.4.5)的任何一个解都能用12,,,r ηηη 线性表示。

定理1.4.2若齐次线性方程组有非零解,则它的基础解系必存在,

且基础解系所含解的个数为n r -,其中r 为系数矩阵的秩。

矩阵的初等变换与初等矩阵

定义1.5.1数域P 上的矩阵的下列三种变换称为初等行变换:

1)以P 中非零的数乘矩阵的某一行; 2)把矩阵中某一行的倍数加到另一行; 3)互换矩阵中两行的位置。

同理定义初等列变换,统称为初等变换。

定义1.5.2单位矩阵E 经过一次初等变换后所得到的矩阵称为初等

矩阵。

定理1.5.1对一个n m ?矩阵A 作一次初等行变换,相当于对A 左乘

一个相应的n n ?初等矩阵。对A 作一次初等列变换,则相当于对A 右乘一个相应的m m ?初等矩阵。

定义1.5.3矩阵A 与B 称为等价的,若B 可由A 经过一系列初等变

换得到。

定理1.5.2初等变换不改变矩阵的秩。

推论1.5.1 n 阶方阵可逆的充要件是它与单位矩阵等价。 定理1.5.3 矩阵A 与B 等价的充要条件是有初等矩阵

11,,,,,s t

P P Q Q 使1112s s t A P P P BQ Q Q -=

推论1.5.3两个n m ?矩阵A 与B 等价的充要条件为存在n n ?可逆阵

P 与m m ?可逆阵Q ,使得A PBQ =

定义1.5.4数域P 上n 阶方阵A 与B 称为合同的,若数域P 上存在

可逆的n 阶方阵C ,使T B C AC = 合同必等价,等价不一定合同。

分块矩阵的秩

定理1.6.4设n 阶方阵{}1

2

,,,m

A diag A A A = 其中k

A 为k

n 阶方阵,且

12m n n n n +++= 。则1

()()m

i

i rank A rank A ==

定理1.6.5设A 和D 分别为n 阶和m 阶的方阵,则

11()(),()(),

A B rank A rank D CA B A rank C

D rank D rank A BD C D --?+-??=?

?+-???可逆时可逆时

定理1.6.8设A 与B 分别为s n ?和n m ?矩阵,则

()()()rank A rank B n rank AB +-≤

线性空间与线性变换

集合 映射 变换 线性空间 基 维数 坐标 (略)

定义2.2.2 设12,,,n εεε 与1

2

,,,n

εεε''' 是n 维线性空间V 的两个基,

1112121

22212

12121

2

(,,,)(,,,)(,,,)n n

n n n

n n nn a a a a a a A

a a a εεεεεεεεε??

? ?'''== ? ???

则矩阵A 称为由基12,,,n εεε 到12,,,n εεε''' 的过渡矩阵 还有坐标变换公式

111121122122221

2

n n n

n n nn n

x a a a x x a a a x x a a a x '??????

?

? ?'

? ? ?= ? ? ? ? ? ?

'??????

1

111

1211

221222212

n n

n n n nn n x a a a x x a a a x x a a a x -'?????? ? ? ?' ? ? ?= ? ? ? ? ? ?'?

???

??

定义2.2.2数域P 上的两个线性空间V 与V '称为同构的,如果由V 到

V '有一个双射σ

,且

1)()()()σαβσασβ+=+ 2)()()k k σασα=

其中,αβ是V 中任意向量,k 是P 中任意数。此时σ就称为V 与V '的一个同构映射。

定理2.2.1数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有

相同的维数。

子空间(略)

定理2.3.2两个向量组生成相同子空间的充要条件是它们等价。 定理2.3.31212dim (,,,)(,,,)r r L rank αααααα= (其中

12(,,,)r L ααα 是由12,,,r

ααα 生成的空间)

定理2.3.4设W 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个m 维子空间,

12,,,m ααα 是

W 的一个基,则这组基向量必定可扩充为线性空间V 的

基,即在V 中必定可找到n m -个向量12,,,m m n ααα++ ,使得12,,,n ααα 是V 的一个基。此定理通称为基的扩充定理。

定义2.3.2设1

V ,2

V 是线性空间V 的两个子空间,称

{}12121122|,,V V V V αααααα+==+∈∈

为1V 与2V 的和。易见子空间的“和”与集合的“并”两个概念是不同的。

定理2.3.5设1

V 与2

V 是线性空间V 的两个子空间,则它们的交与和也

是V 的两个子空间。

定理2.3.6设1

V 与2

V 是线性空间V 的两个子空间,则

121212dim()dim()dim()dim()

V V V V V V +=++

(维数的和等于和的维数加交的维数)

定义2.3.3设1

V 与2

V 是线性空间V 的两个子空间,如果和1

2V

V +中每

个向量α的分解式

121122,,V V ααααα=+∈∈

是唯一的,这个和就称为直和,记为12V V ⊕

定理2.3.7设1

V 与2

V 是线性空间V 的两个子空间,则以下论断等价:

1)12V V +是直和; 2)零向量的分解式唯一; 3){}120V V =

4)1212dim ()dim ()dim ()V V V V +=+

定理2.3.8设U 是线性空间V 的一个子空间,则一定存在一个子空

间W

V

?,使

V U W

=⊕

定义2.4.1线性空间V 的一个变换A 称为线性变换,如果对V 中任

意元素α,β和数域P 中任何数k ,都有

()()()

()()

k k αβαβαα+=+???=??A A A A A

线性变换的性质(略)

定理2.4.1设1

2,,,n ε

εε 为线性空间V 的一个基,12,,,n ααα 是V 中任

意n 个向量,则存在唯一的线性变换A ,使得

()()1,2,,i i i n εα== A

定义2.4.2设1

2,,,n ε

εε 是数域P

上n 维线性空间V 的一个基,A 是

V 中的线性变换,且基向量的像可以由这个基线性表示为

()()()11112121212122221122n n n n n n n nn n a a a a a a a a a εεεεεεεεεεεε=+++??

=+++??

??=+++?

A A A

用矩阵表示就是

()()()()()()121212,,,,,,,,,n n n A εεεεεεεεε== A A A A

其中,矩阵

11

12121

2221

2

n n

n n nn a a a a a a A a a a ??

?

?= ? ???

称A 为线性变换A 在基12,,,n εεε 下的矩阵。

定理2.4.3设线性变换A 在基1

2,,,n ε

εε 下的矩阵为

A ,向量ξ在基

12,,,n εεε 下的坐标为12(,,,)

n x x x T

,则()A ξ在基下12,,,n εεε 下的坐标

()12,,,n y y y T

可以按公式

1122n n y x y x

Y A AX

y x ???? ? ?

? ?=== ? ? ? ??

???

定理2.4.4设1

2,,,n ε

εε 与12,,,n

ηηη 为线性空间V 的两个基,A 为V

的线性变换,且

()()()()()()121212121212,,,,,,,,,,,,,,,,,,n n n n n n A B

X

εεεεεεηηηηηηηηηεεε=== A A

1

B X

AX

-=

定义2.5.1设A 是线性空间V 的一个线性变换,它的全体像所组成

的集合

(){}|V V =∈A A ξξ

称为A 的值域,用V A 表示。所有被A 变成零向量的向量所组成的集合

()(){

}1

00,V -==∈A

ξ|A ξξ

称为A 的核

称V A 的维数为A 的秩,()10-A 的维数则称为A 的零度。

定理2.5.1设A 是n 维线性空间V 的线性变换,1

2,,,n ε

εε 是V 的一

个基,A 在基12,,,n εεε 下的矩阵是A ,则 1)()()()()12,,,n V

L εεε= A A A A ;

2)A 的秩 = A 的秩; 3)A 的秩+A 的零度 = n

定义2.5.2设A 是数域P 上线性空间V 的线性变换,W 是V 的子空

间,若

(){}|W W W

=∈?A A ξξ

换句话说,W 中的向量在A 下的像仍在W 中,则称W 为V 的关于A 的不变子空间,简称为A —子空间。

定理2.5.2如果线性空间V 的子空间W 是由V 中的向量组1

2,,,s

α

αα 生成的,那么W 是A —子空间的充要条件为像()()()1

2,,,s ααα A A A 都属于W 。

维数公式设1

V ,2

V 是线性空间V 的两个子空间,

1

2V V 和12V V +分别为

1V 与2V 的交与和,A

是V 的任意一个线性变换,则有

第一维数公式

121212dim dim dim ()dim ()V V V V V V +=++

第二维数公式

()1

dim()dim(0)dim i i i V V V -+= A A

(1,2

)i = 第三维数公式

()1

dim()dim(0)dim V V -+=A A

定义3.1.1设A 是数域P 上线性空间V 的线性变换,若存在P 中的

数λ和V 中的非零向量ξ,使得

()λ=A ξ

ξ

则称λ为A 的特征值,ξ为A 的属于特征值λ的一个特征向量。

定义3.1.2设A 是数域P 上的一个n 阶矩阵,

λ是数域P 上的一个参数,E 是n 阶单位矩阵,则矩阵E A λ-的行列式

11

12

12122

21

2

n n

n n nn a a a a a a E A a a a λλλλ---??

?

?---??-=

???

?

---??

称为A 的特征多项式,它是数域P 上的一个n 次多项式,相应地称

0E A λ-=

为A 的特征方程。

定义3.1.3设A 是n 阶方阵,若存在多项式

()1

01s

s s

a a a ?λλλ

-=+++

使()0A ?=,则称()A ?为A 的一个零化多项式。

定理3.1.1设A 是数域P 上的一个n 阶方阵,且

()f E A

λλ=-

是A 的特征多项式,则

1

1122()()(1)0n

n n

nn f A A a a a A

A E -=-+++++-=

即()f λ是A 的一个零化多项式。

定义3.1.4设A 是数域P 上的一个n 阶方阵,()A

?λ是A 的首项系数

为1且次数最低的零化多项式,则称()A ?λ为A 的最小多项式。

定理3.1.2数域P 上的n 阶方阵A 的最小多项式整除A 的任一零化

多项式。

推论3.1.1方阵A 的最小多项式唯一。

推论3.1.2数域P 上n 阶方阵A 的最小多项式的根是A 的特征值;

反之亦然。

定理3.2.1设A 是n 维线性空间V 的线性变换,A 的矩阵可以在V

的某个基下成为对角矩阵的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。

定理3.2.2属于不同特征值的特征向量是线性无关的。 定理3.2.3如果1

2

,,,s λλ

λ 是线性变换A

的不同的特征值,则不同特

征值的特征向量也是线性无关的。

定义3.2.1设A ,B 为n 阶方阵,若存在可逆矩阵X ,使得1

B X

AX

-=,

则称A 相似于B ,记做A B

定理3.2.4两个对角矩阵相似的充要条件为对角线上的元素相同,

只是排列顺序不同。

定理3.2.5线性变换在不同基下所对应的矩阵相似;反之,若两个

矩阵相似,则它们分别可以看做是同一线性变换在两个不同基下的矩阵。

定义3.2.2设f 是定义在矩阵空间n n

P ?上的函数,若对n n

P ?中的任意

两个相似矩阵A 与B ,总有()()f A f B =,则称f 为相似不变量。

定理3.2.6矩阵的行列式是相似不变量。 定理3.2.7矩阵的迹是相似不变量。 定理3.2.8矩阵的秩是相似不变量。 定理3.2.9矩阵的特征多项式是相似不变量。

定义4.1.1

若尔当标准形:1m A A ??

?

? ???

,其中 01

,1,,1i

i

i i A i m λλλ?? ?

?== ? ??

?

叫做若尔当块。

定义4.1.2设()()1,2,,;1,2,,ij

a i m j n λ== 为数域P 上的多项式,以

()ij a λ为元素的m n ?矩阵

()()()

()()()()

()()()11121212221

2n n m m m n a a a a a a A a a a λλλλλλλλλλ??

?

?

= ?

?

???

称为λ矩阵或多项式矩阵。这样矩阵的全体记为[]

m n

P λ?。

定义4.1.3如果()A λ经过有限次初等变换后变成()B λ,则称()A λ与

()B λ相抵,记为()()A B λλ

定理4.1.1设()[]m n

A P λλ?∈且()()rank A r λ=,则()A λ相抵于如下对角

形,称为()A λ的史密斯(smith )标准形。

()()

()

()

120

0r d d A d λλλλ?? ? ? ?

?

? ? ? ? ??

?

其中r n ≤,()(1,2,,)i d i r λ= 是首项系数为1的多项式,且()1i d λ-能整除()i d λ记为记为()()()1|i i d d λλ-

定义4.1.4 λ矩阵()A λ最后化成的史密斯标准形,其对角线的元素

()()()12,,,r d d d λλλ 称为()A λ的不变因子。

定义4.1.5设()A λ的秩为r ,对于正整数()1k k r ≤≤,()A λ中必有非

零的k 阶子式,把()A λ中全部k 阶子式的最大公因式称为()A λ的k 阶行列式因子,,记为()k D λ。

定理4.1.2相抵的λ矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子。 定理4.1.3 λ矩阵()A λ的史密斯标准形是唯一的。

定理4.1.4设()()[],m n

A B P λλλ?∈,则()A λ与()B λ相抵的充要条件是

它们有相同的行列式因子,或者它们有相同的不变因子。

定义4.1.5

()()()12,,,r d d d λλλ 的所有因式的全体叫()A λ的初等因

子。

定理4.1.5 设()()[],m n

A B P λλλ?∈,则()A λ与()B λ相抵的充要条件是

它们有相同的秩和相同的初等因子。

定理4.1.6 矩阵A B 的充要条件是它们相应的特征矩阵

I A I B

λλ--

即两个矩阵的相拟的充要条件是它们的特征矩阵相抵。

定理4.1.7相拟矩阵有相同的最小多项式。

定理4.1.8 n 阶矩阵A 的最小多项式等于它的特征矩阵()I A λ-中的

第n 个不变因子()n d λ

推论1 若矩阵A 的特征值互异,则它的最小多项式就是特征多项式。

在复数域 上,求n 阶矩阵A 的若当标准形的步骤如下: 第一步:求特征矩阵()I A λ-的初等因子组,设为

()

()

()

1

2

12,,,s

m m m s λλλλλλ--- 且12s m m m n +++=

第二步:写出每个初等因子()()1,2,,i

m i

i s λλ-= 对应的若当块

()

1

1

1i i

i i

i i i

i m m J λλλλλ??? ? ? ?= ? ? ??

?

(1,2,,i s = 第三步:写出以这些若当块构成的若当标准形

1122()

()

()s s J J J J λλλ?? ?

?= ? ?

?

?

定义5.1.1设V 是实数域 上的线性空间,对于V 中任意两个向量 x ,

y ,如能给定某各规则使x 与 y 对应着一个实数,记为(,)x y ,并且满足以下条件: 1)(,)(,)x y y x = 2)(,)(,)(,)x y z x z y z +=+ 3)(,)(,)kx y k x y =

4)(,)0x x ≥,当且仅当0x =时,(,)0x y =。 则称该实数(,)x y 是向量x 与 y 的内积。

如此定义了内积的实线性空间V 叫做欧几里得空间(Euclid ),简称欧氏空间(或实内积空间)。

定义5.1.2

x 的长度或模,记为x 。长度

等于1的向量叫做单位向量。零向量的长度为0

定义5.1.3非零向量 x 与 y 的夹角

,x y

规定为

(,),arccos

,0,x y x y x y x y

π

=≤≤

这个定义在形式上与解析几何中夹角的定义是完全一致的。

定义5.1.4设V 是一个n 维欧氏空间,1

2

,,,n e e

e 是

V 的一个基,若

在V 的内积下,让

(,)ij i j a e e =

(,1,2,,)i j n =

则称()ij

n n A a

?=为基12,,,n e e e 的度量矩阵。

定理5.1.1设1

2

,,,n e e

e 与12,,,n εεε 为欧氏空间

V 的两个基,它们的

度理矩阵分别为A ,B ,且

1212(,,,)(,,,)n n e e e C

εεε=

则T B C AC =

即不同基的度量矩阵是合同的。

定度5.2.1设 x , y 为欧氏空间的两个向量,如果(,)0x y =,则说 x 与

y 正交,记为x y ⊥。

定理5.2.1如果向量x 与 y 正交,则有

2

2

2

x y

x

y

+=+

定义5.2.2欧氏空间中一组非零向量,如果它们两两正交,则称其

为一个正交向量组。

定理5.2.2如果1

2

,,,m x x

x 是一组两两正交的非零向量,则它们必是

线性无关的。

定义5.2.3在n 维欧氏空间中,由n 个向量组成的正交向量组称为

正交基;由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

定义5.2.4从一组线性无关的向量出发,必可构造出一组相同个数

的两两正交的向量,并且还可使每个新向量的长度(模)等于是(即单位向量)。这种做法叫做线性无知向量组的正交规范化,常用的方法是如下的施密特方法。

施密特正交化方法:设1

2

,,,m

x x

x 是一组线性无关的向量。施密物

正交规范化步骤是先把化们正交化,具体步骤为: 第一步:取11y x '=作为正交向量组中的第一个向量。 第二步:令22211y x k y ''=+

其中

212111(,)(,)

x y k y y '=-

''这样就得到两个正交

向量。 第三步:又令33312321y x k y k y '''=++,再由正交条件32(,)0y y ''=及31(,)0y y ''=来

决定出31k ,32k :

32312

2(,)(,)x y k y y '=-

'',

313211(,)(,)

x y k y y '=-

''

到此我们已做出3个两两正交的向量。 第四步:如此继续进行,一般式是

1122,11(,),1,2,,1,(,)m

m m m m m m m m m i m i m i m i y x k y k y k y x y k i m y y ------''''=++++??

'?

=-=-?''?

直到m n =。这样得到的一组向量12,,,n y y y ''' 显然是两两正交的。 第五步:再单位化,即以i y '除以它的模i y ',就得到所要求的下载交规范化的向量组了。

定理5.2.3一组基为标准正交基的充要条件是它的度量矩阵为单位

矩阵。

定义5.2.5 n 阶实数矩阵A 称为正交矩阵,如果T

A

A E =

定义5.2.6欧氏空间V 的线性变换A 称为正交变换,如果它保持向

量的内积不变,即对任意的,V αβ∈,都有

()(),()(,)αβαβ=A A

定理5.2.4欧氏空间的线性变换是正交变换的充要条件是,它对于

标准正交基的矩阵是正交矩阵。

推论 正交矩阵是非奇异的,正交矩阵的逆阵还是正交矩阵,两个

正交矩阵的乘积还是正交矩阵。

定义5.3.1设1

2

,V V 是欧氏空间V 中的两个子空间,若对任意的

12,V V αβ∈∈,恒有

(,)0

αβ=

则称1V 与2V 正交,记作12V V ⊥。若某个确定的向量α,对任意的2V β∈,恒有(,)0αβ=,则称α与2V 正交,记作2

V α

定理5.3.1设1

2

,V V 是欧氏空间V 中的两个子空间,且1

2V

V ⊥,则

1){}120V V =

2)1212dim ()dim ()dim ()V V V V +=+

定理5.3.2设子空间1

2

,,,s V V

V 两两正交,则 12s V V V +++

是直和。

定义5.3.2子空间2

V 称为子空间1

V 的一个正交补,如果1

2V

V ⊥,且

12V V V

+=。

定理5.3.3欧氏空间V 的每一个子空间1

V 都有唯一的正交补。 定理5.4.1设A 为实对称矩阵,则A 的特征值皆为实数。 定义5.4.1设A 是欧氏空间V 的一个线性变换,且对V 中任意两个

向量,αβ,都有

()()(),,()αβαβ=A A

成立,则称A 为V 中一个对称变换。

定理5.4.2欧氏空间的线性变换是实对称变换的充要条件是,它对

于标准正交基的矩阵是实对称矩阵。

定理5.4.3实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的。 定理5.4.4设A 为一个n 阶实对称矩阵,则存在n 阶正交矩阵T ,使

1

T

T AT T

AT

-=

成为对角矩阵。

定义5.5.1设V 是复数域 上的线性空间,对于V 中的任意两个向

量 x 和 y ,按某规则有一复数(,)x y 与之对应,它满足下列四个条件: 1)交换律:(,)(,)x y y x =,这里(,)y x 是(,)y x 的共轭复数; 2)分配律:(,)(,)(,)x y z x y x z +=+; 3)齐次性:(,)(,)()kx y k x y k =?∈ ;

4)非负性:(,)0x x ≥,当且仅当0x =时,实数(,)0x x =

则称(,)x y 为向量 x 与 y 的内积,而称V 为酉空间(或复内积空间)。 酉空间的一些结论: 1)(,)(,)x uy u x y =。 2)(,)

x y x y

结构动力学心得汇总

结构动力学学习总结

通过对本课程的学习,感受颇深。我谈一下自己对这门课的理解: 一.结构动力学的基本概念和研究内容 随着经济的飞速发展,工程界对结构系统进行动力分析的要求日益提高。我国是个多地震的国家,保证多荷载作用下结构的安全、经济适用,是我们结构工程专业人员的基本任务。结构动力学研究结构系统在动力荷载作用下的位移和应力的分析原理和计算方法。它是振动力学的理论和方法在一些复杂工程问题中的综合应用和发展,是以改善结构系统在动力环境中的安全和可靠性为目的的。高老师讲课认真负责,结合实例,提高了教学效率,也便于我们学生寻找事物的内在联系。这门课的主要内容包括运动方程的建立、单自

由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、随机振动、结构抗震计算及结构动力学的前沿研究课题。既有线性系统的计算,又有非线性系统的计算;既有确定性荷载作用下结构动力影响的计算,又有随机荷载作用下结构动力影响的随机振动问题;阻尼理论既有粘性阻尼计算,又有滞变阻尼、摩擦阻尼的计算,对结构工程最为突出的地震影响。 二.动力分析及荷载计算 1.动力计算的特点 动力荷载或动荷载是指荷载的大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。如果从荷载本身性质来看,绝大多数实际荷载都应属于动荷载。但是,如果荷载随时间变化得很慢,荷载对结构产生的影响与

静荷载相比相差甚微,这种荷载计算下的结构计算问题仍可以简化为静荷载作用下的结构计算问题。如果荷载不仅随时间变化,而且变化很快,荷载对结构产生的影响与静荷载相比相差较大,这种荷载作用下的结构计算问题就属于动力计算问题。 荷载变化的快与慢是相对与结构的固有周期而言的,确定一种随时间变化的荷载是否为动荷载,须将其本身的特征和结构的动力特性结合起来考虑才能决定。 在结构动力计算中,由于荷载时时间的函数,结构的影响也应是时间的函数。另外,结构中的内力不仅要平衡动力荷载,而且要平衡由于结构的变形加速度所引起的惯性力。结构的动力方程中除了动力荷载和弹簧力之外,还要引入因其质量产生的惯性力和耗散能量的阻尼力。而

2016矩阵论试题

第 1 页 共 6 页 (A 卷) 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题,违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式:闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷(A ) 适用专业:2016级硕士研究生 考试日期:2017.1.09 时间:120 分钟 共 8页 一、填空选择题(每小题3分,共30分) 1-5题为填空题: 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ,则1||||A =。 2. 设线性变换1T ,2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ,B ,则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3.在3R 中,基T )2,1,3(1--=α,T )1,1,1(2-=α,T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β, T )3,2,1(2=β,T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ,则 5432333A A A A A -++-= . 5.??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题: 6.设A 是正规矩阵,则下列说法不正确的是 ( ). (A) A 一定可以对角化; (B )?=H A A A 的特征值全为实数; (C) 若E AA H =,则 1=A ; (D )?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7.设矩阵A 的谱半径1)(

现代控制理论心得

现代控制理论课程心得 摘要:从经典控制论发展到现代控制论,是人类对控制技术认识上的一次飞跃。现代控制论是用状态空间方法表示,概念抽象,不易掌握。对于《现代控制理论》这门课程,本人选择了最为感兴趣的几个知识点进行分析,并谈一下对于学习这么课程的一点心得体会。 关键词:现代控制理论;学习策略;学习方法; 学习心得在现代科学技术飞速发展中,伴随着学科的高度分化和高度综合, 各学科之间相互交叉、相互渗透,出现了横向科学。作为跨接于自然科学和社 会科学的具有横向科学特点的现代控制理论已成为我国理工科大学高年级的主要课程。从经典控制论发展到现代控制论,是人类对控制技术认识上的一次 飞跃。经典控制论限于处理单变量的线性定常问题,在数学上可归结为单变 量的常系数微分方程问题。现代控制论面向多变量控制系统的问题,它是以 矩阵论和线性空间理论作为主要数学工具,并用计算机来实现。现代控制论 来源于工程实际,具有明显的工程技术特点,但它又属于系统论范畴。系统 论的特点是在数学描述的基础上,充分利用现有的强有力的数学工具,对系 统进行分析和综合。系统特性的度量,即表现为状态;系统状态的变化,即为动态过程。状态和过程在自然界、社会和思维中普遍存在。现代控制论是在 引入状态和状态空间的概念基础上发展起来的。状态和状态空间早在古典动力学中得到了广泛的应用。在5O年代Mesarovic教授曾提出“结构不确定性原理” ,指出经典理论对于多变量系统不能确切描述系统的内在结构。后来采用 状态变量的描述方法,才完全表达出系统的动力学性质。6O年代初,卡尔曼(Kalman) 从外界输入对状态的控制能力以及输出对状态的反映能力这两方面提出能控制性和能观性的概念。这些概念深入揭示了系统的内在特性。实际上,现代控制论中所研究的许多基本问题,诸如最优控制和最佳估计等,都是以能能控性和能观性作为“解”的存在条件的。现代控制理论是一门工程理论性强的 课程,在自学这门课程时,深感概念抽象,不易掌握;学完之后,从工程实际抽象出一个控制论方面的课题很难,如何用现代控制论的基本原理去解决生产实际问题则更困难,这是一个比较突出的矛盾。对现代控制理论来说,首先遇到的问题是将实际系统抽象为数学模型,有了数学模型,才能有效地去研究系统的各个方面。许多机电系统、经济系统、管理系统常可近似概括为线。

2016矩阵论复习题

矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3.设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=,试证明S 是3R 的子空间,并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设33:R R T →是线性变换, ()()321323213212,,2,,x x x x x x x x x x x T -++-+= 求T 的零空间)(T N 和像空间)(T R 的基和维数. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++= 1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的像空间的基与维数.

矩阵论课程教学大纲

《矩阵论》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号: xxxxx 课程中文名称:矩阵论 课程英文名称:Matrix Theory 课程性质:学位课 考核方式:考试 开课专业:工科各专业 开课学期:1 总学时:36学时 总学分: 2学分 二、课程目的和任务 矩阵论是线性代数的后继课程。在线性代数的基础上,进一步介绍线性空间与线性变换、欧氏空间与酉空间以及在此空间上的线性变换,深刻地揭示有限维空间上的线性变换的本质与思想。为了拓展高等数学的分析领域,通过引入向量范数和矩阵范数在有限维空间上构建了矩阵分析理论。 从应用的角度,矩阵代数是数值分析的重要基础,矩阵分析是研究线性动力系统的重要工具。为了矩阵理论的实用性,对于矩阵代数与分析的计算问题,利用Matlab计算软件实现快捷的计算分析。 三、教学基本要求(含素质教育与创新能力培养的要求) 通过本课程的学习,使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上,进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。 本课程还要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论,会证明简单的一些命题和结论,从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法,如各种标准型、矩阵函数等,为今后在相关专业中实际应用打好基础。 四、教学内容与学时分配 (一) 线性空间与线性变换 8学时 1. 理解线性空间的概念,掌握基变换与坐标变换的公式;

2. 掌握子空间与维数定理,了解线性空间同构的含义; 3. 理解线性变换的概念,掌握线性变换的矩阵表示。 (二) 内积空间 6学时 1. 理解内积空间的概念,掌握正交基及子空间的正交关系; 2. 了解内积空间的同构的含义,掌握判断正交变换的方法; 3. 理解酉空间的概念,会判定一个空间是否为酉空间 4. 掌握酉空间与实内积空间的异同; 5. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质。 (三) 矩阵的对角化与若当标准形 6学时 1. 掌握矩阵相似对角化的判别方法; 2. 理解埃尔米特二次型的含义; 3. 会求史密斯标准形; 4. 会求若当标准型。 (四) 矩阵分解4学时 1. 会求矩阵的三角分解和UR分解; 2. 会求矩阵的满秩分解和单纯矩阵的谱分解; 3. 了解矩阵的奇异值和极分解。 (五) 向量与矩阵的重要数字特征4学时 1. 理解向量范数、矩阵范数; 2. 有限维线性空间上向量范数的等价性; 3. 向量范数与矩阵范数的相容性。 (六) 矩阵分析 4学时 1. 理解向量和矩阵的极限的概念; 2. 掌握矩阵幂级数收敛的判定方法; 3. 理解矩阵的克罗内克积; 4. 会求矩阵的微分与积分。 (七) 矩阵函数 4学时 1. 理解矩阵多项式的概念; 2. 掌握由解析函数确定的矩阵函数; 3. 掌握矩阵函数的计算方法。 五、教学方法及手段(含现代化教学手段) 本课程的所有授课内容,均使用多媒体教学方式,教案采用PowerPoint编写,教师使

学习矩阵的心得

矩阵理论学习报告 矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1801年德国数学家高斯把一个线性变换的全部系数作为一个整体。1844年,德国数学家爱森斯坦讨论了“变换”(矩阵)及其乘积。1850年,英国数学家西尔维斯特首先使用矩阵一词。1858年,英国数学家凯莱发表《关于矩阵理论的研究报告》。他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究,并在这个主题上首先发表了一系列文章,因而被认为是矩阵论的创立者,他给出了现在通用的一系列定义,如两矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、两矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、两个矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等。并且凯莱还注意到矩阵的乘法是可结合的,但一般不可交换,且m*n矩阵只能用n*k矩阵去右乘。1854年,法国数学家埃米尔特使用了“正交矩阵”这一术语,但他的正式定义直到1878年才由德国数学家费罗贝尼乌斯发表。1879年,费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此,矩阵的体系基本上建立起来了。 通过这次在朱善华老师的课程上我了解了很多获益匪浅,我通过矩阵的学习,系统地掌握了矩阵的基本理论和基本方法,进一步深化和提高矩阵的理论知识,掌握各种矩阵分解的计算方法,了解矩阵的各种应用,其主要内容包括矩阵的基本理论,矩阵特征值和特征向量的计算,矩阵分解及其应用,矩阵的概念,了解单位阵、对角距阵、三角矩阵、零矩阵、数量矩阵、对角距阵等。这些内容与方法是许多应用学科的重要工具。矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。我通过学习得知,矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具。从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的,而矩阵本身所具有的性质是依赖于元素的。在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反。矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决。 认识总是随着时间和已有知识的积累在不断修正,我对矩阵论的认识也大致如此。从一开始的认为只能解线性方程,到如今发现它的几乎无所不能,我想我收获到的不仅仅是这种简单的知识,更是一种世界观,那就是对所有的事物都不要轻易地下定论。同时,当我们知道的越多,就会发现未知的东西越多。作为一门已经发展了一百多年的学科,我对矩阵论的认识只是沧海一粟,唯有终身学习,不断探索,才可能真正领悟到其中之真谛,我亦将为此付诸行动。 控制理论与控制工程 肖雪峰

矩阵论武汉理工大学研究生考试试题科学硕士

武汉理工大学研究生考试试题(2010) 课程 矩阵论 (共6题,答题时不必抄题,标明题目序号) 一,填空题(15分) 1、已知矩阵A 的初级因子为223 ,(1),,(1)λλ-λλ-,则其最小多项式为 2、设线性变换T 在基123,,εεε的矩阵为A ,由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为P ,向量β在基123,,εεε下的坐标为x ,则像()T β在基123,,ααα下的坐标 3、已知矩阵123411102101,,,00113311A A A A -????????==== ? ? ? ?--???????? ,则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 4、已知0100001000011 000A ?? ? ?= ? ???,则1068A A A -+= 5、已知向量(1,2,0,)T i α=--,21i =-,则其范数 1α= ;2α= ;∞α= ; 二,(20)设1112112121220a a V A a a a a ??????==-=?? ?????? ?为22?R 的子集合, 1、证明:V 是22?R 的线性子空间; 2、求V 的维数与一组基; 3、对于任意的1112111221222122,a a b b A B a a b b ????== ? ????? V ∈,定义 2222212112121111234),(b a b a b a b a B A +++= 证明:),(B A 是V 的一个内积; 4、求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 三、(15分)设{} 23210[](),0,1,2i F t f t a t a t a a R i ==++∈=为所有次数小于3的实系数 多项式所成的线性空间,对于任意的22103()[]f t a t a t a F t =++∈,定义:

心得体会 有关学数学的心得3篇

有关学数学的心得3篇 数学思想方法是数学知识的精髓。中学阶段进行数学思想方法的教学是21世纪学校培养具有创新精神与实践能力的人才的重要手段。下面是xxx为大家准备的有关学数学的心得,希望大家喜欢! 有关学数学的心得范文1 提升小学数学教师学科素养心得体会 有效教学是一线教师普遍关注的战略性问题。随着新一轮基础教育课程改革的不断深入,新《课标》教材的实施,特别是有效教学的不断尝试和实践,对教师的专业素养提出了更高要求,实践经验告诉我们,教师的专业素养的高低直接影响到有效教学的质量。我的学习后的体会如下: 1、要清晰了解数学教材呈现的知识结构。作为一名小学数学教师,至少要对小学六年所有的数学知识以及每一年级学生要达到怎样的水平有清晰的了解。只有这样,我们才能不仅仅局限在自己经常任教的那一个或几个年级,而能用发展的眼光看待自己的教学,为学生的进一步学习打下扎实的基础。而且,只有对所教的学科知识体系有了深入的了解,才能设身处地地用学生的眼光看待教材,使自己的教学真正切合学生的实际需要,促进学生的有效发展。 2、要广泛地阅读小学数学教育教学书刊。读书是提高人素养的一个重要方法,作为一名新形势下的小学数学教师应该多搜集和阅读有关的小学数学教育教学方面的书刊。如课程论、小学数学教学论、

小学教育论、小学数学教育、小学数学教师等广大教师会有很大帮助的。也许我们会觉得有的专业知识离我们太远,看不懂或听不懂。其实,看得多了自然也就理解了。所以,就应该积极主动地去探索未知的知识。 3、要研究一些教学案例。案例是一种理论与实践,培养研究者反思案例是和团队合作能力的研究方法,普通性重于特殊性之中,并通过特殊性表现出来的。案例具有典型性和具体意义。通过对一些案例的分析,可以提高了我的教学能力。所以请教师们要留意教学案例,研究教学案例。 4、要积极参加各科培训活动。职前教育是我们教育教学的重要基础,但我们要不断的学习,特别是参加培养学习。对于培训机构或者是学科开展的一些培训活动。如新课程培训、校本研究培训、网络研究培训、教材培训等,以提升我们的专业素养。 有关学数学的心得范文2 《工程数学》读书心得 《工程数学》矩阵论部分的课程已经结束,很高兴能够得到信息系主任朱老师的悉心讲授与耐心指导。 应用矩阵的理论和方法解决工程技术和社会经济领域中的实际问题以越来越普遍,矩阵论已经成为最有实用价值的数学分支之一。作为一个工科学生来说,矩阵论变的尤为重要,许多线性或非线性的问题都要用到矩阵论的知识,象我们的专业基础课《弹性力学》、《有限元》。

矩阵论答案

习题 一 1.(1)因 cos sin sin cos nx nx nx nx ?? ? ? -?? cos sin sin cos x x x x ????-??= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++?? ??-++?? ,故由归纳法知 cos sin sin cos n nx nx A nx nx ?? =??-?? 。 (2)直接计算得4 A E =-,故设4(0,1,2,3)n k r r =+=,则4(1)n k r k r A A A A ==-,即只需算出23,A A 即可。 (3)记J=0 1 0 1 1 0 ?????? ?????????? ,则 , 112211111 () n n n n n n n n n n n n n n i i n i n n i n n n a C a C a C a C a C a A aE J C a J a C a a -----=-????????=+==?? ???????? n ∑。 2.设11 22 (1,0),0 a A P P a A E λλ-??===?? ?? 则由得 2 1112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,不可能。 而由2 112222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1i PB P -, 其中P 为任意满秩矩阵,而 1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -??????===?????? --?????? 。 注:2 A E =-无实解,n A E =的讨论雷同。 3.设A 为已给矩阵,由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ,即把X 看作2 n 个未知数时线 性方程AX -XA=0有2 n 个线性无关的解,由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵,

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二

习题二 1.化下列矩阵为Smith 标准型: (1)222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; (2)2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; (3)2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解:(1)对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? , 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ; (2)矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为

2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??; (3)对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中,可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子: (1) 21 0021002λλλ--????--????-??; (2)100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ;

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题三

习题三 1.证明下列问题: (1)若矩阵序列{}m A 收敛于A ,则{}T m A 收敛于T A ,{} m A 收敛于A ; (2)若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛,则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明:(1)设矩阵 ,,2,1,)() (Λ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1Λ=m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(,,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ,即对任意的n j i ,,2,1,Λ=,有 ij m ij m a a =∞ →) (lim , 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ,ij m ij m a a =∞ →)(lim ,n j i ,,2,1,Λ=, 故{} T m A 收敛于T A ,{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ΛΛ,,,,21m S S S , 其中m m m A c A c c S +++=Λ10.

若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛,设其和为S ,即 S A c m m m =∑∞ =0 ,或S S m m =∞ →lim , 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ,故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛,且其和为T S , 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ,且{} 1-m A ,1 -A 都存在,证明: (1)A A m m =∞ →lim ;(2){}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明:设矩阵 ,,2,1,)() (Λ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ,即对任意的n j i ,,2,1,Λ=,有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21Λ,有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1Λ=, 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a ΛΛΛ2121)()(2)(1) ()1(lim τ = ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a ΛΛΛ21212121) ()1(τ , 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A ΛΛΛ2121) ()(2)(1)()1(τ,

矩阵论试题

2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷 (17级专业硕士) 专业 学号 姓名 得分 一.判断题(每小题3分,共15分) 1.线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零, 即ker A =0。( ) 2.实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个 线性空间。( ) 3.设A 是n 阶方阵,则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分 必要条件是A 的谱半径1)(

4. 设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间,求导算子D 在基12,,,,1-n x x x 以及基12)! 1(1,,!21, ,1--n x n x x 下的矩阵分别为 , 。 5.设A 是复数域上的正规矩阵,则A 满足: ,并 写出常用的三类正规矩阵 。 三.计算题(每小题12分,共48分) 1.在3R 中,试用镜像变换(Householder 变换)将向量T )2,2,1(-=α 变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量,写出变换矩阵。 。

矩阵论复习大纲

第一章 1 线性空间概念(封闭性) 2线性空间的基与维数 (教材P3例6) 3坐标概念、及求解(教材P3例8) 4 坐标在不同基下的过渡矩阵及坐标变换 5 子空间、列空间、和空间概念,维数定理以及求法(例1);直和, 直和补空间 6 内积空间概念,标准正交基及标准正交化过程 7 线性变换概念、线性变换的矩阵(概念:教材P22定义1.13,性 质:教材P22定理1.13),计算、过渡矩阵以及不同基下的矩阵(例2, 3) 8 不变子空间,正交变换,酉交变化 例1 设112{,}W L αα=,212{,}W L ββ=,其中T )0121(1=α, T )1111(1-=α,T )1012(1-=β,T )7311(1-=β,求12W W +与 12W W ?的维数,并求出12W W ? 解 [][][]2121212121,,,,ββααββααL L L W W =++=+ ()????? ????????→??? ????????---==71 1022-203-5-30 121 -17110 30111112 121 1,,,2121行变换 ββααA B =???? ?????????????????000 310040101-0 0100 00 31007110121 -1

得r(A)=r(B)=3,dim(W 1+W 2)=3. 又因为dim W 1=2, dim W 2=2,由维数定理 dim (W 1 W 2)= dim W 1+ dim W 2-dim (W 1+W 2)=4-3=1 设,,4433221121ββααααx x x x W W +=+=∈ 化为齐次线性方程组0),,,(142121=--?X ββαα.即0711******* 121211=???? ? ?????------X 解得 ()(){}. 4,3,2,5,4,3,2,54,,3,4,21214321T T k W W k k k k x k x k x k x -==-=+-==-==-=αααα 即 例2 设3R 上线性变换T 为 ,)2())((3132321213T T x x x x x x x x x x T +-++= 求T 在基 T T T ) 111(,)110(,)101(321-===ααα 下的矩阵B. 解 在自然基321,,e e e 下,线性变换T 的坐标关系式为: , 10111012123213132321???? ??????????? ?-=????????+-++=x x x x x x x x x x Y 根据由变换的坐标式 Y=AX 得T 在自然基下矩阵 , 101110121??? ? ????-

一位金融专业的学长的心得与个人经验

把数学学好。金融学到高处就是数学,没强大的数学功底就没法在金融界发展了。数学分析,高等代数(矩阵论有时间也最好读读),概率(这个超级重要,以后你就明白了),数理统计(要踏踏实实学会几种经典统计分析软件中的至少一种),随机过程(重中之重,学之前需要有一定基础)等等。 ------------------------------------------------------------------------ 多读些国外经典教材(宏微观就免了吧……),投资学、固定收益证券、金融市场、期货、衍生品 还有一些制度经济学方面的。在大学就是读书的最好时间,等你工作了就很难有时间也很难有那份心去读书了。少放些时间在网络、游戏、学生活动和谈情说爱上。金融系的学生既然是最高的分数进来的,就一定要有成为国家栋梁的远大抱负和切实努力! 3.安排的课程实际上很轻松,老师讲授的水平也是参差不齐,考试更是害人不浅。我想大家都明白,金融系的考试基本都是给个范围会去背背就完事了,只要你脑子好使,即使你一个学期没上过课也不会担心挂掉。这其实是危害巨大的。在学校学习真的是为了你自己,你根本不应该去care分数得了多少,而是应当问你自己的内心,你对这门学问究竟了解了多少,掌握了多少?我一直认为,如果你的兴趣不在这里,那最好不要因为听说金融以后工资高而盲目地读金融,请你去自己喜欢的专业读你喜欢的课程。因为人就活一辈子,你必须为了自己而去选择生活的每一步。如果你现在选择了你没什么兴趣的专业,就算以后你会有些丰厚的收入,但你会不快乐一辈子,明白吗?一定要想明白自己的追求和生命中对自己最重要的东西究竟是什么,切记! -------------------------------------------------------------------------------- 说远了,拉回来。如果你凑巧真的喜欢学习金融这门学问(据我所知,只有大约20%的金融学学生真的热爱这门学科,所以用了凑巧这一词),那么,大学里对你更重要的不是课堂,而是自己读书。首先,至少开学最初的五周,请你不要翘课,每节你选的课都去认认真真地听。之后选出其中的比较次的课以后直接翘掉,也不要睡懒觉或浪费这个时间,去读书!你问我读什么书?我告诉你,你如果能把数学的那些书和主要的专业国外经典教材认认真真地读完并且读懂,就一定会花你至少两年的时间。所以不要去想时间还大把可以浪费,可以再BBS上多灌点水升点经验值或者和男女朋友打情骂俏,一定要塌下心来读书!大学的感情和玩乐在毕业后一年之内绝对全部烟消云散,而唯有你读过的书,从中领悟的思考方式,以及眼界和心态,会影响你今后一生!读书不要好高骛远,要首先用必要的一段时间去了解你要面对的这门学科是多么博大精深,然后给自己拟出一份至少一年的学习计划。怎么拟?把书买来或借来,看着你面前那堆积如山花了大把银子的书你就知道该去干什么了。学习必须从最基础的着手,吃透了基础再往上走一层。经典巨著只要肯出钱谁都能从书店买回来,但为什么牛人总是少数?原因就在于绝大部分人买书回来之后就已经实现了满足感,而很少有人真正去细细研读。 数学,先把数分、高代、概率、数理统计用半年到一年的时间吃透,第二年在此基础上读随机过程、矩阵论。然后以后该看什么就要取决于你了。在这个时候你已经明白了自己还需要些什么方面的知识,可以缩小范围,深入钻研,书并不是读得越多越好的,关键在专。飞利浦什么都做,什么都做不精。IBM只做大机器,做的让全世界都只能赞。 -------------------------------------------------------------------------------- 金融方面,最开始首先把经济学基础学好了。

矩阵论知识点

矩阵论知识点 第一章:矩阵的相似变换 1. 特征值,特征向量 特殊的:Hermite矩阵的特征值,特征向量 2. 相似对角化 充要条件:(1)(2)(3)(4) 3. Jordan标准形 计算:求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形的方法: 特征向量法,初等变换法,初等因子法 4. Hamilton-Cayley定理 应用:待定系数法求解矩阵函数值 计算:最小多项式 5. 向量的内积 6. 酉相似下的标准形 特殊的:A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。

第二章:范数理论 1. 向量的范数 计算:1,2,∞范数 2. 矩阵的范数 计算:1,2,∞,∞m , F 范数,谱半径 3. 谱半径、条件数 第三章:矩阵分析 1. 矩阵序列 2. 矩阵级数 特别的:矩阵幂级数 计算:判别矩阵幂级数敛散性,计算收敛的幂级数的和 3. 矩阵函数 计算:矩阵函数值,At e ,Jordan 矩阵的函数值 4. 矩阵的微分和积分 计算:函数矩阵,数量函数对向量的导数 如,dt dA(t),dt dA(t),?? ???==)()(X R AX X X X X f T T T αα等 5. 应用 计算:求解一阶常系数线性微分方程组

1. 矩阵的三角分解 计算:Crout 分解,Doolittle 分解,Choleskey 分解 2. 矩阵的QR 分解 计算:Householder 矩阵,Givens 矩阵, 矩阵的QR 分解或者把向量化为与1e 同方向 3. 矩阵的满秩分解 计算:满秩分解,奇异值分解 4. 矩阵的奇异值分解 第五章:特征值的估计与表示 1. 特征值界的估计 计算:模的上界,实部、虚部的上界 2. 特征值的包含区域 计算:Gerschgorin 定理隔离矩阵的特征值 3. Hermite 矩阵特征值的表示 计算:矩阵的Rayleigh 商的极值 4. 广义特征值问题 计算:BX AX λ=转化为一般特征值问题

2016矩阵论试题A20170109 (1)

第 1 页 共 4 页 (A 卷) 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题,违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式:闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷(A ) 适用专业:2016级硕士研究生 考试日期:2017.1.09 时间:120 分钟 共 8页 一、填空选择题(每小题3分,共30分) 1-5题为填空题: 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ,则______||||1=A 。 2. 设线性变换1T ,2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ,B ,则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3.在3R 中,基T )2,1,3(1--=α,T )1,1,1(2-=α,T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β, T )3,2,1(2=β,T )1,0,2(3=β的过度矩阵为_______=A 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ,则 _______ 3332345=-++-A A A A A . 5.??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 1)(2A 的Smith 标准形为 _________ 6-10题为单项选择题: 6.设A 是正规矩阵,则下列说法不正确的是 ( ). (A) A 一定可以对角化; (B )?=H A A A 的特征值全为实数; (C) 若E AA H =,则 1=A ; (D )?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7.设矩阵A 的谱半径1)(

现代控制理论课程学习心得.

现代控制理论基础课程总结 学院:__机械与车辆学院_ 学号:____2120120536___ 姓名:_____王文硕______ 专业:___交通运输工程__ 《现代控制理论》学习心得 摘要:从经典控制论发展到现代控制论,是人类对控制技术认识上的一次飞跃。现代控制论是用状态空间方法表示,概念抽象,不易掌握。对于《现代控制理论》这门课程,本人选择了最为感兴趣的几个知识点进行分析,并谈一下对于学习这么课程的一点心得体会。 关键词:现代控制理论;学习策略;学习方法;学习心得 在现代科学技术飞速发展中,伴随着学科的高度分化和高度综合,各学科之间相互交叉、相互渗透,出现了横向科学。作为跨接于自然科学和社会科学的具有横向科学特点的现代控制理论已成为我国理工科大学高年级的选修课和研究生的学位课。 从经典控制论发展到现代控制论,是人类对控制技术认识上的一次飞跃。经典控制论限于处理单变量的线性定常问题,在数学上可归结为单变量的常系数微分方程问题。现代控制论面向多变量控制系统的问题,它是以矩阵论和线性空间理论作为主要数学工具,并用计算机来实现。现代控制论来源于工程实际,具有明显的工程技术特点,但它又属于系统论范畴。系统论的特点是在数学描述的基础上,充分利用现有的强有力的数学工具,对系统进行分析和综合。系统特性的度量,即表现为状态;系统状态的变化,即为动态过程。状态和过程在自然界、社会和思维中普遍存在。现代控制论是在引入状态和状态空间的概念基础上发展起来的。状态和状态空间早在古典动力学中得到了广泛的应用。在5O年代Mesarovic教授曾提出“结构不确定

性原理”,指出经典理论对于多变量系统不能确切描述系统的内在结构。后来采用状态变量的描述方法,才完全表达出系统的动力学性质。6O年代初,卡尔曼(Kalman从外界输入对状态的控制能力以及输出对状态的反映能力这两方面提出能控制性和能观性的概念。这些概念深入揭示了系统的内在特性。实际上,现代控制论中所研究的许多基本问题,诸如最优控制和最佳估计等,都是以能能控性和能观性作为“解”的存在条件的。 现代控制理论是一门工程理论性强的课程,在自学这门课程时,深感概念抽象,不易掌握;学完之后,从工程实际抽象出一个控制论方面的课题很难,如何用现代控制论的基本原理去解决生产实际问题则更困难,这是一个比较突出的矛盾。 对现代控制理论来说,首先遇到的问题是将实际系统抽象为数学模型,有了数学模型,才能有效地去研究系统的各个方面。许多机电系统、经济系统、管理系统常可近似概括为线 性系统。线性系统和力学中质点系统一样,是一个理想模型,理想模型是研究复杂事物的主要方法,是对客观事物及其变化过程的一种近似反映。现代控制论从自然和社会现象中抽象出的理想模型,用状态空间方法表示,再作理论上的探讨。 线性系统理论是一门严谨的科学。抽象严谨是其本质的属性,一旦体会到数学抽象的丰富含义,再不会感到枯燥乏味。线性系统理论是建立在线性空间的基础上的,它大量使用矩阵论中深奥的内容,比如线性变换、子空间等,是分析中最常用的核心的内容,要深入理解,才能体会其物理意义。比如,状态空间分解就是一种数学分析方法。在控制论中把实际系统按能控性和能观性化分成四个子空间,它们有着确切的物理概念。线性变换的核心思想在于:线性系统的基本性质(如能控性、能观性、极点、传递函数等在线性变换下都不改变,从而可将系统化为特定形式,使问题的研究变得简单而透彻。 在学习现代控制理论教材时,发现不少“引而未发”的问题。由于作者有丰富的教学经验与学术造诣,能深入浅出阐述问题,发人深省。因此,通过自己反复阅读教材,就能理解这些内容。比如,在探讨线性系统的传递函数的零极点相消时,如果潜伏着

上海交大研究生矩阵理论答案

n k r n n 1 2 习题 一 1.( 1)因 cosnx sin nx sin nx cosnx cosx sin x sin x = cosx cos(n sin(n 1)x 1)x sin( n cos(n 1)x 1)x ,故由归纳法知 cosnx sin nx A 。 sin nx cosnx ( 2)直接计算得 A 4 E ,故设 n 4 k r (r 0,1,2,3) ,则 A n A 4 k A r ( 1) A , 即 只需算出 A 2, A 3 即可。 0 1 0 1 ( 3 )记 J= ,则 , 1 0 n 1 n 1 2 n 2 n a C n a C n a C n a n C 1 a n 1 C n 1a A n (aE J ) n n C i a i J n i i 0 n n a n 。 C 1a n 1 a n 2. 设 A P 1 a 2 P 1(a 1,0),则由A 2 E 得 a 1时, 1 1 1 1 0 1 2 1 2 1 0 2 不可能。 1 而由 a 1 0时, 2 1 知 1 所以所求矩阵为 PB P 1 , 其中 P 为任意满秩矩阵,而 i i 2 2 2 1 0 1 0 1 0 B 1 , B 2 , B 3 。 0 1 0 1 1 注: A 2 E 无实解, A n E 的讨论雷同。 3. 设 A 为已给矩阵,由条件对任意 n 阶方阵 X 有 AX=XA ,即把 X 看作 n 2 个未知数时线 性方程 AX XA=0 有 n 2 个线性无关的解, 由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵, 1

相关主题
相关文档 最新文档