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82466792
第5题图
东莞市2014届高三第二次模拟考试
数学(文科)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.设集合2{|1},{|1}M x x P x x =>=>,则下列关系中正确的是 A .M ∪P=P B .M=P C .M ∪P=M D .M∩P=P
2.复数
1
1i +的虚部是 A .12- B .12 C .1
2
i D .1
3.对于非零向量,a b ,“a b ∥”是“0a b +=”成立的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
4.已知函数()y f x =的图象与ln y x =的图象关于直线y x =对称,则()2f = A .1 B .e C .2
e D .()ln 1e -
5.如图是2010年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上, 七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一 个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为 A .4.84 B .0.8 C .1.6 D .3.2
6.已知,m n 是两条直线,,αβ是两个平面,给出下列命题:①若,n n αβ⊥⊥,则 //αβ;
②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等,则//αβ;③若,n m 为异面直线
,//,,//n n m m αββα??,则//αβ.其中正确命题的个数
A .3个
B .2个
C .1个
D .0个
7.已知实数x ,y 满足??
?
??
≥--≥-≥0
2200y x y x y ,则11+-=x y ω的取值范围是( )
A .??
???
?-3
1,1
B .???
??
?-
31,21 C .),2
1
[+∞-
D .)1,21[-
第15题图
8.已知双曲线22
21x y a
-=()0a >的右焦点与抛物线28y x =焦点重合,则此双曲线
的渐近线方程是
A .5y x =±
B .55y x =±
C .3y x =±
D .33
y x =± 9.若224m n
+<,则点(),m n 必在
A .直线20x y +-=的左下方
B .直线20x y +-=的右上方
C .直线220x y +-=的右上方
D .直线220x y +-=的左下方
10.如图所示,,,A B C 是圆O 上的三个点,CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ,若OC xOA yOB =+,则
A .01x y <+<
B .1x y +>
C .1x y +<-
D .10x y -<+< 二、填空题:(本大共4小题,每小题5分,满分30分 )
11.函数3
39y x x =-+的极小值是 . 12.已知数列{}n a 是等差数列,3410118
a a a =+=,,
则首项1a = .
13.已知ABC ?的内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ,且2a =,3b =,4cos 5
B =. 则sin A 的值为 .
★(请考生在以下两个小题中任选一题作答,全答的以第一小题计分)
14.(坐标系与参数方程选做题)直线0
3cos 2301sin 230
x t y t ?=+?=-+? (t 为参数)的倾斜角是 . 15.(几何证明选讲选做题)如图,O 的割线PAB
交
O 于,A B 两点,割线PCD 经过圆心O ,已知6PA =, 22
3
AB =
,12PO =,则O 的半径是__ .
第10题图
D
O
A
C
B
三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本题满分12分)
已知函数()2sin 22cos2,f x x x x R =+∈. (1)求38
f π
??
???
的值; (2) 求()f x 的最大值和最小正周期; (3) 若3282
f απ??
-=
???,α是第二象限的角,求sin 2α.
17.(本小题满分12分)
一工厂生产甲, 乙, 丙三种样式的杯子,每种样式均有500m l 和700ml 两种型号,某天的产量如右表(单位:个):
按样式分层抽样的方法在这个月生产
的杯子中抽取100个,其中有甲样式 杯子25个. (1)求z 的值;
(2)用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本,从这个样本中任取 2个杯子,求至少有1个500ml 杯子的概率.
18.(本小题满分14分)
如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE ∥AB ,2AD AC DE AB ====2,且F 是CD 的中点.3AF =.
(1)求证:AF ∥平面BCE ; (2)求证:平面BCE ⊥平面CDE ;
(3)求此多面体的体积
型号 甲样式 乙样式 丙样式 500ml 2000 z 3000 700ml
3000
4500
5000
19.(本小题满分14分) 已知函数213
(),{},22
n f x x x a =
+n 数列的前n 项和为S 点(,)(n n S n N *∈)均在函数 ()y f x =的图象上。
(1)求数列{}n a 的通项公式n a ; (2)令11,n n n n n
a a c a a ++=+证明:121222n c c n <++<+n …+c .
20.(本小题满分14分)
已知函数3
2
()2f x x ax x =--+.(a R ∈). (1)当1=a 时,求函数)(x f 的极值; (2)若对x R ?∈,有4
'()||3
f x x ≥-成立,求实数a 的取值范围.
21.(本小题满分14分)
如图,已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3
2
,以椭圆C 的左顶点T 为
圆心作圆T :2
2
2
(2)(0)x y r r ++=>,设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N . (1)求椭圆C 的方程;
(2)求TM TN ?的最小值,并求此时圆T 的方程;
(3)设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点,且直线,MP NP 分别与x 轴交于点
,R S ,O 为坐标原点,求证:OR OS ?为定值.
参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
A
A
B
C
D
B
D
D
A
C
二、填空题:(本大共4小题,每小题5分,满分30分 )
题号 11 12
13
14
15 答案
7
3-
25
50
8
三、解答题(本大题共6小题,满分80分。)
17. ( 本小题满分12分)
解: (1).设该厂本月生产的乙样式的杯子为n 个,在丙样式的杯子中抽取x 个,由题意得,
,8000
500025x
=,所以x=40. -----------2分
则100-40-25=35,所以,
,35
500025n
=n=7000, 故z =2500 --5分
共10个,其中至少有1个500ml 杯子的基本事件有7个基本事件:
(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),所以从中任取2个,至少有1个500ml 杯子的概率为710
. --12分
18. ( 本小题满分14分)
解:(Ⅰ)取CE 中点P ,连结FP 、BP ,∵F 为CD 的中点, ∴FP ∥DE ,且FP=.2
1
DE 又AB ∥DE ,且AB=
.2
1
DE ∴AB ∥FP ,且AB=FP , ∴ABPF 为平行四边形,∴AF ∥BP . …3分
又∵AF ?平面BCE ,BP ? 平面BCE, ∴AF ∥平面BCE …………5分 (Ⅱ)∵32AF CD =∴=,所以△ACD 为正三角形,∴AF ⊥CD
∵AB ⊥平面ACD ,DE//A B ∴DE ⊥平面ACD 又AF ?平面ACD ∴DE ⊥AF 又AF ⊥CD ,CD∩DE=D
∴AF ⊥平面CDE 又BP ∥AF ∴BP ⊥平面CDE 又∵BP ?平面BCE ∴平面BCE ⊥平面CDE …10分 (III)此多面体是一个以C 为定点,以四边形ABED 为底边的四棱锥,
(12)2
32
ABED S +?=
=, ABDE ADC ⊥∴面面等边三角形AD 边上的高就是四棱锥的高
1
3333
C ABDE V -=??= …………14分
19.( 本小题满分14分)
解:(1)213
(,)()22n n n S f x S n n ∴=+点在的图象上,
…………2分 当121n n n n a S S n -≥=-=+时,;当1112n a S ===时,,适合上式, 1()n a n n N *∴=+∈ ……………6分
(2)证明:由111212
22,2121n n n n n a a n n n n c a a n n n n ++++++=
+=+>?=++++ 122,n n c c c c n ∴+++
+> …………………………9分
又2
11121221+-++=+++++=
n n n n n n c n 12111111
2[()()()]233412
n c c c n n n ∴+++=+-+-++-++……12分
11122222
n n n =+-<++
121
222
n n c c c n ∴<+++<+成立 …………………………………14分
20.( 本小题满分14分)
解:(1)当1=a 时,32()2f x x x x =--+
2
'()321
f x x x =--=(1)(31)x x -+, ---2分 令'()0f x =,解得121
,13
x x =-=. 当'()0f x >时,得1x >或13
x <-; 当'()0f x <时,得1
13
x -
<<. 当x 变化时,'()f x ,()f x 的变化情况如下表:
x
1(,)3
-∞-
13
- 1(,1)3
- 1 (1,)+∞
'()f x
+ 0 -
0 + ()f x
单调递增
极大
单调递减
极小
单调递增
------4分
∴当13x =-时,函数()f x 有极大值,15
()=()2
,327
f x f -=极大------5分
当1x =时函数()f x 有极小值,()(1)1f x f ==极小--------6分 (2)∵2'()321f x x ax =--,∴对x R ?∈,4
'()||3
f x x ≥-
成立, 即2
4
321||3
x ax x --≥-
对x R ?∈成立,---7分 ①当0x >时,有2
13(21)03
x a x -++≥,
即1
2133a x x
+≤+,对(0,)x ?∈+∞恒成立,----------------------------
∵11
323233x x x x
+
≥?=,当且仅当13x =时等号成立,
∴212a +≤1
2
a ?≤-------11分 ②当0x <时,有2
13(12)03
x a x +-+≥,
即1
123||3||
a x x -≤+
,对(,0)x ?∈-∞恒成立, ∵11
3||23||23||3||
x x x x +
≥?=,当且仅当13x =-时等号成立,
∴1
1222
a a -≤?≥-
---------13分
故椭圆C 的方程为2
214
x y += .…………3分 (2)点M 与点N 关于x 轴对称,设),(11y x M ,),(11y x N -, 不妨设01>y . 由于点M 在椭圆C 上,所以4
12
12
1
x
y -=. (*)……………………………4分
③当0x =时,a R ∈
综上得实数a 的取值范围为11[,]22
-.----------14分
21.( 本小题满分14分)
由已知(2,0)T -,则),2(11y x TM +=,),2(11y x TN -+=,
2
1
211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+?+=?∴
344
5)41()2(12
12
121++=--+=x x x x 215811()4555x =+-≥-.……6分
由于221<<-x ,故当5
8
1-
=x 时,TM TN ?取得最小值为15-.
由(*)式,531=y ,故83(,)55M -,又点M 在圆T 上,代入圆的方程得到2
1325
r =.
故圆T 的方程为:22
13(2)25
x y ++=. …………………………………………8分