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2014东莞二模文科数学试题及答案 2

78

82466792

第5题图

东莞市2014届高三第二次模拟考试

数学(文科)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1.设集合2{|1},{|1}M x x P x x =>=>,则下列关系中正确的是 A .M ∪P=P B .M=P C .M ∪P=M D .M∩P=P

2.复数

1

1i +的虚部是 A .12- B .12 C .1

2

i D .1

3.对于非零向量,a b ,“a b ∥”是“0a b +=”成立的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件

4.已知函数()y f x =的图象与ln y x =的图象关于直线y x =对称,则()2f = A .1 B .e C .2

e D .()ln 1e -

5.如图是2010年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上, 七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一 个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为 A .4.84 B .0.8 C .1.6 D .3.2

6.已知,m n 是两条直线,,αβ是两个平面,给出下列命题:①若,n n αβ⊥⊥,则 //αβ;

②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等,则//αβ;③若,n m 为异面直线

,//,,//n n m m αββα??,则//αβ.其中正确命题的个数

A .3个

B .2个

C .1个

D .0个

7.已知实数x ,y 满足??

?

??

≥--≥-≥0

2200y x y x y ,则11+-=x y ω的取值范围是( )

A .??

???

?-3

1,1

B .???

??

?-

31,21 C .),2

1

[+∞-

D .)1,21[-

第15题图

8.已知双曲线22

21x y a

-=()0a >的右焦点与抛物线28y x =焦点重合,则此双曲线

的渐近线方程是

A .5y x =±

B .55y x =±

C .3y x =±

D .33

y x =± 9.若224m n

+<,则点(),m n 必在

A .直线20x y +-=的左下方

B .直线20x y +-=的右上方

C .直线220x y +-=的右上方

D .直线220x y +-=的左下方

10.如图所示,,,A B C 是圆O 上的三个点,CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ,若OC xOA yOB =+,则

A .01x y <+<

B .1x y +>

C .1x y +<-

D .10x y -<+< 二、填空题:(本大共4小题,每小题5分,满分30分 )

11.函数3

39y x x =-+的极小值是 . 12.已知数列{}n a 是等差数列,3410118

a a a =+=,,

则首项1a = .

13.已知ABC ?的内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ,且2a =,3b =,4cos 5

B =. 则sin A 的值为 .

★(请考生在以下两个小题中任选一题作答,全答的以第一小题计分)

14.(坐标系与参数方程选做题)直线0

3cos 2301sin 230

x t y t ?=+?=-+? (t 为参数)的倾斜角是 . 15.(几何证明选讲选做题)如图,O 的割线PAB

O 于,A B 两点,割线PCD 经过圆心O ,已知6PA =, 22

3

AB =

,12PO =,则O 的半径是__ .

第10题图

D

O

A

C

B

三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本题满分12分)

已知函数()2sin 22cos2,f x x x x R =+∈. (1)求38

f π

??

???

的值; (2) 求()f x 的最大值和最小正周期; (3) 若3282

f απ??

-=

???,α是第二象限的角,求sin 2α.

17.(本小题满分12分)

一工厂生产甲, 乙, 丙三种样式的杯子,每种样式均有500m l 和700ml 两种型号,某天的产量如右表(单位:个):

按样式分层抽样的方法在这个月生产

的杯子中抽取100个,其中有甲样式 杯子25个. (1)求z 的值;

(2)用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本,从这个样本中任取 2个杯子,求至少有1个500ml 杯子的概率.

18.(本小题满分14分)

如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE ∥AB ,2AD AC DE AB ====2,且F 是CD 的中点.3AF =.

(1)求证:AF ∥平面BCE ; (2)求证:平面BCE ⊥平面CDE ;

(3)求此多面体的体积

型号 甲样式 乙样式 丙样式 500ml 2000 z 3000 700ml

3000

4500

5000

19.(本小题满分14分) 已知函数213

(),{},22

n f x x x a =

+n 数列的前n 项和为S 点(,)(n n S n N *∈)均在函数 ()y f x =的图象上。

(1)求数列{}n a 的通项公式n a ; (2)令11,n n n n n

a a c a a ++=+证明:121222n c c n <++<+n …+c .

20.(本小题满分14分)

已知函数3

2

()2f x x ax x =--+.(a R ∈). (1)当1=a 时,求函数)(x f 的极值; (2)若对x R ?∈,有4

'()||3

f x x ≥-成立,求实数a 的取值范围.

21.(本小题满分14分)

如图,已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3

2

,以椭圆C 的左顶点T 为

圆心作圆T :2

2

2

(2)(0)x y r r ++=>,设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N . (1)求椭圆C 的方程;

(2)求TM TN ?的最小值,并求此时圆T 的方程;

(3)设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点,且直线,MP NP 分别与x 轴交于点

,R S ,O 为坐标原点,求证:OR OS ?为定值.

参考答案

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

A

A

B

C

D

B

D

D

A

C

二、填空题:(本大共4小题,每小题5分,满分30分 )

题号 11 12

13

14

15 答案

7

3-

25

50

8

三、解答题(本大题共6小题,满分80分。)

17. ( 本小题满分12分)

解: (1).设该厂本月生产的乙样式的杯子为n 个,在丙样式的杯子中抽取x 个,由题意得,

,8000

500025x

=,所以x=40. -----------2分

则100-40-25=35,所以,

,35

500025n

=n=7000, 故z =2500 --5分

共10个,其中至少有1个500ml 杯子的基本事件有7个基本事件:

(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),所以从中任取2个,至少有1个500ml 杯子的概率为710

. --12分

18. ( 本小题满分14分)

解:(Ⅰ)取CE 中点P ,连结FP 、BP ,∵F 为CD 的中点, ∴FP ∥DE ,且FP=.2

1

DE 又AB ∥DE ,且AB=

.2

1

DE ∴AB ∥FP ,且AB=FP , ∴ABPF 为平行四边形,∴AF ∥BP . …3分

又∵AF ?平面BCE ,BP ? 平面BCE, ∴AF ∥平面BCE …………5分 (Ⅱ)∵32AF CD =∴=,所以△ACD 为正三角形,∴AF ⊥CD

∵AB ⊥平面ACD ,DE//A B ∴DE ⊥平面ACD 又AF ?平面ACD ∴DE ⊥AF 又AF ⊥CD ,CD∩DE=D

∴AF ⊥平面CDE 又BP ∥AF ∴BP ⊥平面CDE 又∵BP ?平面BCE ∴平面BCE ⊥平面CDE …10分 (III)此多面体是一个以C 为定点,以四边形ABED 为底边的四棱锥,

(12)2

32

ABED S +?=

=, ABDE ADC ⊥∴面面等边三角形AD 边上的高就是四棱锥的高

1

3333

C ABDE V -=??= …………14分

19.( 本小题满分14分)

解:(1)213

(,)()22n n n S f x S n n ∴=+点在的图象上,

…………2分 当121n n n n a S S n -≥=-=+时,;当1112n a S ===时,,适合上式, 1()n a n n N *∴=+∈ ……………6分

(2)证明:由111212

22,2121n n n n n a a n n n n c a a n n n n ++++++=

+=+>?=++++ 122,n n c c c c n ∴+++

+> …………………………9分

又2

11121221+-++=+++++=

n n n n n n c n 12111111

2[()()()]233412

n c c c n n n ∴+++=+-+-++-++……12分

11122222

n n n =+-<++

121

222

n n c c c n ∴<+++<+成立 …………………………………14分

20.( 本小题满分14分)

解:(1)当1=a 时,32()2f x x x x =--+

2

'()321

f x x x =--=(1)(31)x x -+, ---2分 令'()0f x =,解得121

,13

x x =-=. 当'()0f x >时,得1x >或13

x <-; 当'()0f x <时,得1

13

x -

<<. 当x 变化时,'()f x ,()f x 的变化情况如下表:

x

1(,)3

-∞-

13

- 1(,1)3

- 1 (1,)+∞

'()f x

+ 0 -

0 + ()f x

单调递增

极大

单调递减

极小

单调递增

------4分

∴当13x =-时,函数()f x 有极大值,15

()=()2

,327

f x f -=极大------5分

当1x =时函数()f x 有极小值,()(1)1f x f ==极小--------6分 (2)∵2'()321f x x ax =--,∴对x R ?∈,4

'()||3

f x x ≥-

成立, 即2

4

321||3

x ax x --≥-

对x R ?∈成立,---7分 ①当0x >时,有2

13(21)03

x a x -++≥,

即1

2133a x x

+≤+,对(0,)x ?∈+∞恒成立,----------------------------

∵11

323233x x x x

+

≥?=,当且仅当13x =时等号成立,

∴212a +≤1

2

a ?≤-------11分 ②当0x <时,有2

13(12)03

x a x +-+≥,

即1

123||3||

a x x -≤+

,对(,0)x ?∈-∞恒成立, ∵11

3||23||23||3||

x x x x +

≥?=,当且仅当13x =-时等号成立,

∴1

1222

a a -≤?≥-

---------13分

故椭圆C 的方程为2

214

x y += .…………3分 (2)点M 与点N 关于x 轴对称,设),(11y x M ,),(11y x N -, 不妨设01>y . 由于点M 在椭圆C 上,所以4

12

12

1

x

y -=. (*)……………………………4分

③当0x =时,a R ∈

综上得实数a 的取值范围为11[,]22

-.----------14分

21.( 本小题满分14分)

由已知(2,0)T -,则),2(11y x TM +=,),2(11y x TN -+=,

2

1

211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+?+=?∴

344

5)41()2(12

12

121++=--+=x x x x 215811()4555x =+-≥-.……6分

由于221<<-x ,故当5

8

1-

=x 时,TM TN ?取得最小值为15-.

由(*)式,531=y ,故83(,)55M -,又点M 在圆T 上,代入圆的方程得到2

1325

r =.

故圆T 的方程为:22

13(2)25

x y ++=. …………………………………………8分

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