1.2 标量场及其梯度 1.2.1 标量场的概念 定义：在区域V 内的某种物理系统，其特性可以用标量函数?(r ，t )来描述。对于 V 中任意一点r ，若?(r ，t )有确定值与之对应，就称这个标量函数?(r ，t )是定义于V 上 的标量场。 由定义可知标量场有两个特点：①具有单值性；②占有一个空间。 标量场有两种：恒稳标量场?(r )，时变标量场?(r , t )表示。 标量场?(r , t ) 在某时刻空间的分布可用等值面予以形象描绘。它是该时刻?(r )为同一值所有点构成的空间曲面。在直角坐标中?(r )的等值面方程 ?(x,y,z ) = C (1.2.1) 其中C 为常数。 绘制等值面的原则：应使相邻等值面的值差保持为定值。等值面与平面相交所得的截迹线——等值线，一系列等值面（线）的疏密程度能定性反映标量场的变化情况，不同值的等值面（线）不能相交。 1.2.2 标量场的梯度 （1）对于定义在V 中连续、可微的标量场?(x,y,z )，考察它在(x,y,z )点邻域内沿某一方向的变化情况，如图所示。由 (x ,y ,z ) 点到 (x+dx ，y+dy ，z+dz ) 点的微分位移用线元矢 量表示 d l = d x e x +d y e y +d z e z （1.2.2） 标量场的相应微增量 z z f y y f x x f f d d d d ??+??+??= , z +d z )
(1.2.3) 改写上式为 ()z y x z y x z y x z f y f x f f e e e e e e d d d )(d ++???+??+??= l e e e d )(???+??+??=z y x z f y f x f 括号内的矢量称为标量场?(x,y,z )在点(x,y,z )的梯度，记作f ? ) (z y x z f y f x f f e e e ??+??+??=? （1.2.4） 于是，标量场微增量可写为 l d d ??=f f （1.2.5） （2）讨论： ① 上式的表达形式与坐标系无关，它是标量场梯度的定义式。 ② 梯度是矢量，它有的大小和方向。 θcos d d d l f f f ?=??=l ，在d l 为定长的条件下，当θ=0即d l 的取向与f ?的 方向一致时，d ?才具有最大值d ?|max =l f d ?，或是max max l f l f f d d d d == ?。可见梯度 的模是标量场f (x,y,z ) 在点 (x,y,z ) 的最大变化率，梯度的方向是获得这个最大变化率应沿着的方向。 ③ d l 的取向与f ?的方向不一致时，因l l f f f e l d d d ??=??=，有 l l f f l f )(?=??=??e （1.2.6） 称为标量场?(x ,y ,z ) 在点 (x,y,z ) 沿任意矢量l 方向的方向导数。?(x,y,z )在x 、y 、z 方向上的方向导数就是f ?的相应坐标分量，有
梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。这里假设读者已经了解了三者的定义。它们的符号分别记作如下： 从符号中可以获得这样的信息： ①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。这里φ称为势函数； ②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下 的； ③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。 这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式 (1) 其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先给出梯度、散度和旋度的计算式： (2) ( 3) (4) 旋度公式略显复杂。这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。 I.梯度的散度： 根据麦克斯韦方程有：
而 (5) 则电势的梯度的散度为 这是一个三维空间上的标量函数，常记作 (6) 称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。事实上因为定义 所以有 当然，这只是一种记忆方式。 当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程 当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即 这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。 II.散度的梯度：
1、标量场定义及图示 对于区域V 内的任意一点r，若有某种物理量的一个确定的数值或标量 函数?(r)与之对应，我们就称这个标 量函数?(r)是定义于V 内的标量场。 o r f (r) V 标量场有两种： 与时间无关的恒稳标量场，用?(r) 表示； 与时间有关的时变标量场，用?(r,t )表示。§1.2标量场及其梯度
等值线 标量场的图示--等值线(面)。 const z y x f )( ,,在某一高度上沿什么方向高度变化最快？ 作图原则： 1）等值线(面)不能相交， 2）相邻等值线（面）差值为常数。
2、梯度 点位移导致?的改变(x ,y ,z ) (x +d x ,y +d y ,z +d z ) ?+d??d l y z x o 线元矢量： d l =d x e x +d y e y +d z e z (1)梯度的导出 右图中，由(x,y,z ) 点到邻近的(x +dx,y +dy,z +dz )点的微分位移d l 将导致场函数有一微分增量d f
标量场的相应微增量d ?则为： z z f y y f x x f f d d d d ??+??+??=l e e e d )(d ???+??+??=z y x z f y f x f f )(z y x z f y f x f f gradf e e e ??+??+??=?=标量场?(x,y,z )在(x,y,z )点的梯度(gradient ) 定义为： l d d ??=f f 因此? ??+??+??=)(d z y x z f y f x f f e e e （d x e x +d y e y +d z e z ）(x ,y ,z ) (x +d x ,y +d y ,z +d z )?+d??d l 梯度定义式 （梯度定义式）
矢量场标量场散度梯度 旋度的理解 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
1.梯度 gradient 设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。 在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。 在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。 梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。 在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量 (δf/x)*i+(δf/y)*j 这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y) 类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)] 2.散度 气象学中指：
散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。表示辐合、辐散的物理量为散度。 微积分学→多元微积分→多元函数积分中： 设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内一有向曲面，n 是∑在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场 A 通过曲面∑向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A 的散度，记作 div A，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。上述式子中的δ为偏微分（partial derivative）符号。 3旋度 表示曲线、流体等旋转程度的量 4.矢量和标量场 假设有一个三维空间，显然空间的每一个点都能用坐标（x, y, z）唯一地标识出来。假如给空间的每一个点都赋予一个数字，那么整个空间就充满了数字。此时，这个充满数字的三维空间在数学上就叫做“场”。上述的场叫做标量场，因为单纯的一个数字叫做“标量(scalar)”。如果我们给空间的每一个点都赋予一个矢量(vector)，即一个既有大小，又有方向的东西，那么整个空间就变成充满了矢量，这个空间就叫做矢量场。
1.梯度gradient 设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。 在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。 在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量 (δf/x)*i+(δf/y)*j 这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y) 类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)] 2.散度 气象学中指： 散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。表示辐合、辐散的物理量为散度。 微积分学→多元微积分→多元函数积分中： 设某量场由A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中P、Q、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内一有向曲面，n 是∑在点(x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场A 通过曲面∑向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A 的散度，记作div A，即div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。 上述式子中的δ为偏微分（partial derivative）符号。 3旋度 表示曲线、流体等旋转程度的量 4.矢量和标量场 假设有一个三维空间，显然空间的每一个点都能用坐标（x, y, z）唯一地标识出来。假如给空间的每一个点都赋予一个数字，那么整个空间就充满了数字。此时，这个充满数字的三维空间在数学上就叫做“场”。 上述的场叫做标量场，因为单纯的一个数字叫做“标量(scalar)”。如果我们给空间的每一个点都赋予一个矢量(vector)，即一个既有大小，又有方向的东西，那么整个空间就变成充满了矢量，这个空间就叫做矢量场。 矢量场中的每一点都对应于一个矢量，而矢量能够根据规则进行各种运算，例如加、减和乘等（数学上没有矢量的除法）。
梯度、散度和旋度——定义及公式 1 哈密顿算子（Hamiltion Operator ） 哈密顿算子本身没有含义，只有作用于后面的量才有实际意义；它是一个微分算子，符号为?。 三维坐标系下，有 =i j k x y z ????++???r r r 或者 (,,)x y z ????=??? 其中,,i j k r r r 分别为xyz 方向上的单位矢量。 2 梯度（Gradient ） 2.1 梯度的定义 梯度是哈密顿算子直接作用于函数f 的结果（f 可以是标量和向量）。 (,,)f f f f f f grad f f i j k x y z x y z ??????=?=++=??????r r r 标量场的梯度是向量，标量场中某一点的梯度指向标量场增长最快的地方，梯度的长度是最大变化率。 2.2 梯度的性质 ?c=0 ?(RS)= ?R+?S 21()(),0R S R R S S S S ?=?-?≠ [()]()f S f S S '?=? 其中，C 为常数，R 、S 为两个标量场，f 为一连续可微函数。
3 散度（Divergence ） 散度是哈密顿算子与矢量函数f 点积的结果，是一个标量。设矢量函数 =(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++r r r r 则散度表示为： (,,)(,,)y x z x y z f f f div f f f f f x y z x y z ??????=?==++??????r r g g 散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处散开来程度的量。它可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。 当0div f >r ，该点有散发通量的正源（发散源）； 当0div f 梯度、散度和旋度 (2011-09-12 20:36:08) 转载▼ 标签： 分类：电子技术 旋度 散度 梯度 矢量场 拉普拉斯算子 波动方程 梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。这里假设读者已经了解了三者的定义。它们的符号分别记作如下： 从符号中可以获得这样的信息： ①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。这里φ称为势函数； ②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下 的； ③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。 这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式 (1) 其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先给出梯度、散度和旋度的计算式： (2) ( 3) (4)旋度公式略显复杂。这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。 I.梯度的散度： 根据麦克斯韦方程有： 而 (5)则电势的梯度的散度为 这是一个三维空间上的标量函数，常记作 (6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。事实上因为定义 所以有 当然，这只是一种记忆方式。 当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程 当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即 这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。 II.散度的梯度： 散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。在半导体中，载流子分布的不均匀会导致扩散电流。 散度的梯度这个概念其实不常用，因为计算复杂，但在后面讲用它来推导一个矢量恒等式。 III.梯度的旋度： 对于梯度的旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有 由于势函数在空间一点的领域内往往是有二阶连续混合偏导数的，因此上式的结果为0.所以说梯度的旋度为零，它的物理意义也是很明确的。 比如一个人从海平面爬到一座山上，无论它是从山的陡坡爬上去还是从缓坡爬上去，亦或者坐直升机上去，重力对他所做的功总是相等的，即力场的做工只与位移有关，而与路径无关，这样的场称为保守场，而保守场是无旋场。再比如绘有等高线的地图，如果某点只有一个一根等高线穿过，那么该点有一个确定的相对高度。如果该点有两条或以上的等高线穿过，则这个点处在悬崖边上，这个点处是不可微，也就没有求梯度的意义。 IV.旋度的散度： 求旋度的散度也是将(4)式代入(3)式即可。若令 (7)梯度
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