2006年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n
n n n -→∞
+??
=
???
（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x
f x '=，()21f =，则()2____.
f '''=
（3）设函数()f u 可微,且()102
f '=
,则()22
4z f x y =-在点(1,2)处的全微分()
1,2d _____.z
=
（4）设矩阵2112A ??
=
?-??
，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .
（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则
{}{}max ,1P X Y ≤=_______.
（6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2
x
n f x e x X X X -=
-∞<<+∞ 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2
S ，则2____.ES =
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则
(A) 0d y y <
(C) d 0y y ?<<. (D) d 0y y
（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22
lim
1h f h h
→=，则
(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在
(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ]
（9）若级数
1n
n a
∞
=∑收敛，则级数
(A)
1n
n a
∞
=∑收敛 . （B ）
1(1)
n
n n a ∞
=-∑收敛.
(C)
11
n n n a a ∞
+=∑收敛. (D)
1
1
2n n n a a ∞
+=+∑收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常
数，则该方程的通解是
（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.
（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ] （11）设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.
(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ?矩阵，下列选项正确的是
(A) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.
(D) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. [ ] （13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2
列得C ，记110010001P ??
?
= ? ???
，则
（Ａ）1
C P AP -=. （Ｂ）1
C PAP -=.
（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）T
C PAP =. ［ ］
（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布2
22(,)N μσ，且
{}{}1211P X P Y μμ-<>-<
则必有 (A) 12σσ< (B) 12σσ>
(C)
12μμ< (D) 12μμ> [ ]
三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）
设()1sin
,,0,01arctan x
y y y
f x y x y xy x
π-=
->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞
=；
(Ⅱ) ()0
lim x g x +
→. （16）（本题满分7分）
计算二重积分
d D
x y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.
（17）（本题满分10分）
证明：当0a b π<<<时，
sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.
（18）（本题满分8分）
在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.
(Ⅰ) 求L 的方程；
(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为8
3
时，确定a 的值. （19）（本题满分10分）
求幂级数()()1
21
1
121n n n x n n -+∞
=--∑的收敛域及和函数()s x .
（20）（本题满分13分）
设
4
维向量组()()()T
T
T
1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+
()T
44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求
其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
（21）（本题满分13分）
设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T
T
121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.
(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ；
（Ⅲ）求A 及6
32A E ?
?- ??
?，其中E 为3阶单位矩阵.
（22）（本题满分13分）
设随机变量X 的概率密度为
()1
,1021
,024
0,X x f x x ?-<
其他，
令()2
,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.
(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ； (Ⅱ)Cov(,)X Y ；
(Ⅲ)1,42F ??
-
???
. （23）（本题满分13分） 设总体X 的概率密度为
(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<
=-≤
其他,
其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数. （Ⅰ）求θ的矩估计； （Ⅱ）求θ的最大似然估计
2006年考研数学（三）真题解析
二、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim 1.n
n n n -→∞
+??
=
???
【分析】将其对数恒等化ln e
N
N =求解.
【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim e
e
n
n
n n n n n n n n n n -→∞-++????
- ? ???
??
→∞
→∞
+??
== ???
，
而数列{}(1)n -有界，1lim ln 0n n n →∞+??= ???
，所以1lim(1)ln 0n
n n n →∞
+??-= ???
. 故 ()101lim e 1n
n n n -→∞
+??
==
???
.
（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()
e f x f x '=，()21f =，则()322e .f '''=
【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，()()
e f x f x '=，两边对x 求导得
()()
()2e
()e f x f x f x f x '''==，
两边再对x 求导得 ()
()23()2e
()2e f x f x f x f x ''''==，又()21f =，
故 ()
323(2)2e 2e f f '''==.
（3）设函数()f u 可微,且()102
f '=
,则()22
4z f x y =-在点(1,2)处的全微分()
1,2d 4d 2d .z
x y =-
【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为
22(1,2)
(1,2)
(4)84z f x y x
x
?'=-?=?，
()
22(1,2)
(1,2)
(4)22z f x y y y
?'=-?-=-?，
所以 ()()()
1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y x
y
????=+
=-?
?????
.
方法二：对()
22
4z f x y =-微分得
()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--， 故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-.
（4）设矩阵2112A ??
=
?-??
，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B 2 .
【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.
【详解】 由题设，有
()2B A E E -= 于是有 4B A E -=，而11
211
A E -=
=-，所以2B =.
（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则
{}{}max ,1P X Y ≤=
19
. 【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，X Y 与具有相同的概率密度
1
,3
()30,x f x ?≤≤?=??? 0 其他
.
则 {}{}
{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤
{}()
2
12
011
1d 39
P X x ??=≤== ????.
【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：
则 {}{}
{}1max ,11,19
S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2
x
n f x e x X X X -=
-∞<<+∞ 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2
S ，则2 2.ES = 【分析】利用样本方差的性质2
ES DX =即可. 【详解】因为
()d e d 02
x
x EX xf x x x +∞
+∞
--∞
-∞
===?
?
， 22
2
220
00
()d e d e d e 2e d 2
x
x x
x x EX x f x x x x x x x x +∞
+∞+∞+∞
---+∞
--∞
-∞
====-+?
?
??
2e
2e d 2e 2x x x
x x +∞
-+∞
--+∞=-+=-=?，
所以 ()2
2202DX EX EX =-=-=，又因2
S 是DX 的无偏估计量，
所以 2
2ES DX ==.
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则
(A) 0d y y <
(C) d 0y y ?<<. (D) d 0y y
[ Ａ ]
【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.
【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线
()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ?>时，
00d ()d ()0y y f x x f x x ''?>==?>，故应选(Ａ).
（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22
lim
1h f h h
→=，则
(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在 (C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ C ] 【分析】从()22
lim 1h f h h
→=入手计算(0)f ，利用导数的左右导数定义判定(0),(0)
f f -+''的存在性. 【详解】由()22
lim
1h f h h
→=知，()20
lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续，则
()2
(0)lim ()lim 0x h f f x f h
→→===.
令2
t h =，则()()22
(0)
1lim
lim (0)h t f h f t f f h t
+
+→→-'===.
所以(0)f +'存在，故本题选（C ）. （9）若级数
1n
n a
∞
=∑收敛，则级数
(A)
1n
n a
∞
=∑收敛 . （B ）
1
(1)
n
n n a ∞
=-∑收敛.
(C)
11
n n n a a ∞
+=∑收敛. (D)
1
1
2n n n a a ∞
+=+∑收敛. [ Ｄ ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由
1
n n a ∞
=∑收敛知11
n n a ∞
+=∑收敛，所以级数1
1
2n n n a a ∞
+=+∑
收敛，故应选(Ｄ). 或利用排除法： 取1
(1)n
n a n
=-，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；
取(1)
n
n a =-.故（Ｄ）项正确. （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常
数，则该方程的通解是
（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.
（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ Ｂ ] 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.
【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解，所以它的通解是 []12()()Y C y x y x =-，故原方程的通解为
[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-，故应选(Ｂ).
【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：
*y y Y =+.
其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解.
（11）设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.
(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ Ｄ ] 【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλ?=+在000(,,)x y λ（0λ是对应
00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.
【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλ?=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则
000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ?'=??'=??， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0
x x y y f x y x y f x y x y λ?λ??''+=??''+=?? .
消去0λ，得
00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ??''''-=,
整理得 000000001
(,)(,)(,)(,)
x y x y f x y f x y x y x y ??'''=
'.（因为(,)0y x y ?'≠）
， 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.
（12）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ?矩阵，下列选项正确的是
(C) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关. (D) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.
(D) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. [ A ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα= ，则12(,,,)s A A A AB ααα= .
所以，若向量组12,,,s ααα 线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组
12,,,s A A A ααα 也线性相关，故应选(Ａ).
（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2
列得C ，记110010001P ?? ?
= ? ???
，则
（Ａ）1
C P AP -=. （Ｂ）1
C PAP -=.
（Ｃ）T
C P AP =. （Ｄ）T
C PAP =. ［ Ｂ ］
【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.
【详解】由题设可得
1101101
10110
10,0100100
1000
10010010
01B A C B A --??????
?
?
? ? ? ?
=== ? ? ? ? ? ? ? ??
????
??
?
， 而 1110010001P --??
?= ? ???
，则有1
C PAP -=.故应选（Ｂ）.
（14）设随机变量X 服从正态分布2
11(,)N μσ，Y 服从正态分布2
22(,)N μσ，且
{}{}
1211P X P Y μμ-<>-< 则必有 (B) 12σσ< (B) 12σσ>
(C)
12μμ< (D) 12μμ> [ A ]
【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】 由题设可得
12112
211X Y P P μμσσσσ?-??-?<>
则 12112121σσ????Φ->Φ- ? ?????，即1211σσ????
Φ>Φ ? ?????
.
其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数，则
1
2
1
1
σσ>
，即12σσ<.
故选(A).
三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）
设()1sin
,,0,01arctan x
y y y
f x y x y xy x
π-=
->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞
=；
(Ⅱ) ()0
lim x g x +
→. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解，此问中含
,0∞
?∞∞
型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含∞-∞未定式极限.
【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞?
?- ?
?==-+ ?
???
sin 11111lim 1
arctan arctan y x y
x
y x x x x y ππ→∞?
? ? ?-
?
?-=-=-
? ?+ ? ? ??
?
. (Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x x
ππ+++
→→→--+??
=-= ??? （通分） 222220001
12arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x x
ππππ+++
→→→-+-+-+++====
（16）（本题满分7分）
计算二重积分
d D
x y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.
【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可. 【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一
次函数，“先x 后y ”积分较容易，所以
10
d d y
D
x y y x =??
()3
112
22
002122d d 339
y y xy y y y y
=--==??
（17）（本题满分10分）
证明：当0a b π<<<时，
sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.
【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.
【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<， 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=.
又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>
时），
故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即
sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.
（18）（本题满分8分）
在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.
(Ⅰ) 求L 的方程；
(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为
8
3
时，确定a 的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图
形的面积，确定参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =，则由题设可得 y y ax x '-
=，这是一阶线性微分方程，其中1
(),()P x Q x ax x
=-=，代入通解公式得
()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -????=+=+=+ ???
?， 又(1)0f =，所以C a =-.
故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.
(Ⅱ) L 与直线y ax =（>0a ）所围成平面图形如右图所
示. 所以
()2
2
0d D ax ax ax x ??=--?
?? ()22
0482d 33
a x x x a =-==?，
故2a =.
（19）（本题满分10分）
求幂级数()()
1
21
1121n n n x n n -+∞
=--∑的收敛域及和函数()s x .
【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结
合已知函数的幂级数展开式计算和函数.
【详解】记121
(1)()(21)
n n n x u x n n -+-=-，则
23
21121
(1)()(1)(21)
lim lim (1)()(21)
n n n n n n n n
x u x n n x
x u x n n ++-+→∞→∞-++==--
.
所以当2
1,1x x <<即时，所给幂级数收敛；当1x >时，所给幂级数发散；
当1x =±时，所给幂级数为1(1)(1),
(21)(21)
n n
n n n n -----，均收敛， 故所给幂级数的收敛域为[]1,1-
在()1,1-内，()
12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n n
n n x x s x x xs x n n n n -+-∞
∞
==--===--∑∑，
而 121122112
11
(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞
∞
--==-'''==-=-+∑∑， 所以 1112
01
()(0)()d d arctan 1x
x
s x s s t t t x t ''''-===+??
，又1(0)0s '=，
于是 1()arctan s x x '=.同理 1110
0()(0)()d arctan d x
x
s x s s t t t t '-=
=?
?
()20
201arctan d arctan ln 112x
x t t t
t x x x t =-=-++?
， 又 1(0)0s =，所以 ()2
11()arctan ln 12
s x x x x =-+.
故 ()
22
()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.
由于所给幂级数在1x =±处都收敛，且()
22
()2arctan ln 1s x x x x x =-+在
1x =± 处都连续，所以()s x 在1x =±成立，即
()
22
()2arctan ln 1s x x x x x =-+，[]1,1x ∈-.
（20）（本题满分13分）
设
4
维向量组()()()T
T
T
1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+
()T
44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求
其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ；用初等变换求极大线性无关组. 【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ，则
312341234
(10)12341234a a A a a a a
++==+++.
于是当0,010A a a ===-即或时，1234,,,αααα线性相关.
当0a =时，显然1α是一个极大线性无关组，且2131412,3,4αααααα===； 当10a =-时，
1α 2α 3α 4α
9234183412741236A -?? ?-
?= ?- ?-??
， 由于此时A 有三阶非零行列式9
23
1
8340001
2
7
--=-≠-，所以123,,ααα为极大线性无关组，且123441230αααααααα+++==---，即.
（21）（本题满分13分）
设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T
T
121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.
(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T
Q AQ =Λ；
（Ⅲ）求A 及6
32A E ?
?- ??
?，其中E 为3阶单位矩阵.
【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应
的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ；由T
Q A Q =Λ可
得到A 和6
32A E ?
?- ??
?.
【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以
1311331131A ?????? ? ? ?
== ? ? ? ? ? ???????
，
则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T (1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.
又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=?=?，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.
(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交. 取 11βα=，
()()21221111012,3120,61112αββαβββ??
-
?
-????
?- ? ?=-
=--= ? ? ? ? ? ?
-???? ?
??
. 再将12,,αββ单位化，得
1212312,,0ββαηηηαββ?? ?====== ? ? ? ?
? ? ??? ?
??
， 令 []123,,Q ηηη=，则1T Q Q -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得
T
300Q AQ ??
??==Λ??
????. （Ⅲ）由(Ⅱ)知 T
300Q AQ ??
??==Λ??
????
，所以
T
3111
00111
0111
A Q Q
??
?
?
????
?
? ?=Λ==
?
? ?
? ?
?
????
? ?
?
?
??
?
.
6
66
T T T
333
222
Q A E Q Q A E Q Q AQ E
??
??????
-=-=-
? ? ?
??
??????
??
6
6
66
6
3
3
2
2
3
333
222
33
22
E
??
??
??
?? ?
?
??
???
?
??
??
? ?
????
?
??
? ?
=-==
? ?
?
??
? ?
????
?
??
? ?
??
??
???
?
?
?? ?
??
?? ?
??
??
，则
666
T
333
222
A E Q EQ E
??????
-==
? ? ?
??????
.
（22）（本题满分13分）
设随机变量X的概率密度为
()
1
,10
2
1
,02
4
0,
X
x
f x x
?
-<<
?
?
?
=≤<
?
?
?
??
其他
，
令()
2,,
Y X F x y
=为二维随机变量(,)
X Y的分布函数.
(Ⅰ) 求Y的概率密度()
Y
f y；
(Ⅱ) Cov(,)
X Y；
(Ⅲ)
1
,4
2
F
??
-
?
??
.
【分析】求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.
【详解】（I）设Y的分布函数为()
Y
F y，即2
()()()
Y
F y P Y y P X y
=≤=≤，则1)当0
y<时，()0
Y
F y=；
2) 当01y ≤<时，
(
2
()()Y F y P X y P X =<=<<
0d 4x x =
+=?
3) 当14y ≤<
时，(
2
()()1Y F y P X y P X =<=-<<
1011d d 242
x x -=+=?. 4) 当4y ≥，()1Y F y =. 所以
01()(
),140,Y Y y f y F y y <
其他. （II ） 22232Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-，
而 0
2101d d 244x x EX x x -=+=??，22
022
105d d 246
x x EX x x -=+=??， 33
23
107d d 248
x x EX x x -=+=??， 所以 7152
Cov(,)8463
X Y =-?=. (Ⅲ) 1,42F ??-
???211,4,422P X Y P X X ????
=≤-≤=≤-≤ ? ?????
11,22222P X X P X ???
?=≤--≤≤=-≤≤- ? ?????
1
2111d 24
x -
-==?
. （23）（本题满分13分）
设总体X 的概率密度为
(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<
=-≤
其他,
其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本
值12,...,n x x x 中小于1的个数.
（Ⅰ）求θ的矩估计； （Ⅱ）求θ的最大似然估计
【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算.
【详解】（Ⅰ）因为()12
1
3
(;)d d 1d 2
EX xf x x x x x x θθθθ+∞
-∞
=
=+-=
-?
??， 令 3
2X θ-=，可得θ的矩估计为 32
X θ=- .
（Ⅱ）记似然函数为()L θ，则
()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=???-?-??-=- 个
个
. 两边取对数得
ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--，
令
d ln ()0d 1L N n N
θθθθ-=-=-，解得N n
θ= 为θ的最大似然估计.
2xx 5年考研数学（三）真题解析：经济应用考点 来源：文都教育 考研数学三主要是针对经济和管理类的考生，对这类考生而言，数学在经济中的应用是一个常考点，尤其是微分学在经济中的应用考题，在近些年频频出现在试卷中，有时还以一个大题的形式出现，占xx 分之多，在刚刚结束的2xx 5年考研数学（三）的考题中就有这么一道解答题（第xx 题）。下面文都老师对今年的经济应用考题做些分析，供已经考过和准备2xx 6年考数学（三）的同学参考。 在分析之前，我们先简单回顾一下微分学在经济应用中的主要知识点。 边际函数：边际函数是指一个经济变量对另一个经济变量的变化率。若Q 代表某产品的需求量，P 代表商品的价格，C 代表生产成本，R 代表收入，L 代表利润，则边际需求dQ MQ dP =，边际成本dC MC dQ =、边际收入dR MR dQ =，边际利润dL ML MR MC dQ ==-. 弹性函数：弹性函数是指一个经济变量对另一个经济变量的相对变化率。变量y 对变量x 的弹性为//Ey dy y x dy Ex dx x y dx ==?，如收益对需求的弹性ER Q dR EQ R dQ =?，而R QP =，故有1()1ER dP Q dP P Q EQ P dQ P dQ =+=+?；需求对价格的弹性EQ P dQ EP Q dP =?，通常在表示上弹性取正值，而Q 一般是P 的单调减函数，0dQ dP <，所以一般表示EQ P dQ EP Q dP =-?. 2xx 5年考研数学（三）第（xx ）题： （本题满分xx 分）为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，p 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性（η>0）. （Ⅰ）证明定价模型为11MC p η =-； （Ⅱ）若该商品的成本函数为2()1600,C Q Q =+需求函数为40,Q p =-试由（Ⅰ）中的定价模型确定此商品的价格。 解析：（I ）总收益为R Qp =，总成本()C C Q =，利润L R C =-，要使利润最大化，则 0dL dR dC dR dC MC dQ dQ dQ dQ dQ =-=?==，dR dp p Q MC dQ dQ =+= (1)
考研讲义数三经济部分
第十三章 微积分在经济学中的经济应用 (数 三） 《考试要求》 1. 掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。 2. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。 3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。 4. 会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。 一、.极限及级数在经济学中的应用 (一)复利： 设某银行年利率为r ，初始存款为0 A 元， （1）一年支付一次利息（称为年复利），则 t 年后在银行的存款余额为()t 1t A A r =+; （2）若一年支付n 次，则t 年后在银行的存 款余额为0 (1) r nt A A t n =+; （3）由于 lim [(1)]n r rt rt r e n n +=→∞ ，所以当每年支付次
数趋于无穷时，t 年后得到的存款余额为0 rt t A A e =， 称为t 年后按连续复利计算得到的存款余额。 (二)将来值与现值： 上述结论中，称t A 是0A 的将来值，而0A 是t A 的现值。现值与将来值的关系为： 0 (1)t t A A r =+ ? 0(1)t t A A r -=+ 或 0(1)t t A A r =+ ?0(1)t t A A r -=+ 例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清, 年利率 为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？ 例2（08）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能
高等数学不用看的部分： 第5页映射；第17页到第20页双曲正弦双曲余弦双曲正切及相应的反函数可以不记；第107页由参数方程所确定的函 数的导数；第119页微分在近似方程中的应用记住几个公式4，5,6还有120页的近似公式即可，不用看例题；第140 页泰勒公式的证明可以不看，例题中的几个公式一定要记住，比如正弦公式等；第169页第七节；第178页第八节；第 213页第四节；第218页第五节；第280页平行截面面积为已知的立体体积；第282页平面曲线的弧长；第287页第三 节；第316页第五节；在第七章微分方程中建议大家只要会解方程即可，凡是书上涉及到物理之类的例题不看跳过例如 第301页的例2例3例4；第八章；第90页第六节；第101页第七节；第157页第三节；165页第四节；第十一章；第 261页定理6；第278页第四节；第285页第五节；第302页第七节；第316第八节 线性代数不用看的部分： 第102页第五节 概率论与数理统计要考的部分 ：第一二三四五章；第六章第135页抽样分布；第7章第一节点估计和第二节最大似然估计 注意：数学课本和习题中标注星号的为不考内容，在上面的内容中我并没有标出。上述内容是根据文都发放的教材编的。 《高等数学》目录与2010数三大纲对照的重点计划用时（天） 标记及内容要求： ★─大纲中要求“掌握”和“会”的内容以及对学习高数特别重要的内容，应当重点加强， 对其概念、性质、结论及使用方法熟知，对重要定理、公式会推导。要大量做题。 ☆─大纲中要求“理解”和“了解”的内容以及对学习高数比较重要的内容，要看懂定理、公式的推导，知道其概念、性质和方法，能使用其结论●─大纲中没有明确要求，但对做题和以后的学习有帮助。要能看懂，了解其思路和结论。 ▲─超出大纲要求。 第一章函数与极限 第一节映射与函数（☆集合、影射，★其余） 第二节数列的极限（☆） 第三节函数的极限（☆） 第四节无穷小与无穷大（★） 第五节极限运算法则（★） 第六节极限存在准则（★） 第七节无穷小的比较（★） 第八节函数的连续性与间断点（★） 第九节连续函数的运算与初等函数的连续性（★） 第十节闭区间上连续函数的性质（★） 总习题 第二章导数与微分 第一节导数概念（★） 第二节函数的求导法则（★） 第三节高阶导数（★） 第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率（★） 第五节函数的微分（★） 总习题二 第三章微分中值定理与导数的应用 第一节微分中值定理（★罗尔，★拉格朗日，☆柯西） 第二节洛必达法则（★） 第三节泰勒公式（☆）
第十三章微积分在经济学中的经济应用（数三） 《考试要求》 1.掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。 2.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。 3.掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。 4.会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。 一、.极限及级数在经济学中的应用 （一復利： 设某银行年利率为r,初始存款为A o元， t （1）一年支付一次利息（称为年复利），则t年后在银行的存款余额为A t A o 1 r （2）若一年支付n次，则t年后在银行的存款余额为A A o（1 -）nt t n n （3）由于lim [（1 -）r ]rt，所以当每年支付次数趋于无穷时，t年后得到的存款n n 余额为A t Ae" 称为t年后按连续复利计算得到的存款余额。 （二）将来值与现值： 上述结论中，称A t是A o的将来值，而A o是A t的现值。现值与将来值的关系为： A t A o（1 r）t A o A t（1 r）t或A A o（1 r）t A o A t（1 r）t 例1现购买一栋别墅价值300万元，若首付50万元，以后分期付款,每年付款数目相 同,1o年付清， 年利率为6%,按连续复利计算，问每年应付款多少？
例2（08）设银行存款的年利率为r 0.05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元, 并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元？
经济学中的常用函数 需求函数：Q Q(P),通常Q Q(P)是P的减函数； 供给函 Q Q(P),通常Q Q(P)是P的增函数； 数： 成本函数：C(Q) C o C i(Q),其中C o C(0)为固定成本，C i(Q)为可变成本; 收益函数：R PQ; 利润函数：L(Q) R(Q) C(Q). 例 1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为p1 和p2 , 销售量分别为q1 和q2 , 需求函数分别为q1 24 02p1 , q2 10 0.05p2 , 总成本函数为C 35 40(q1 q2) , 试问：厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大？最大的总利润为多少？
《附件3》----2018届管理类考研数学基础班课程讲义 导论 一、管理类联考数学考试大纲 管理类专业学位联考(MBA,MPA,MPAc等)综合能力考试数学部分要求考生具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力. 综合能力考试中的数学部分(75分)主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力，以及分析问题和解决问题的能力，通过问题求解(15小题，每小题3分，共45分)和条件充分性判断(10小题，每小题3分，共30分)两种形式来测试. 数学部分试题涉及的数学知识范围有： (一)算术 1．整数 (1)整数及其运算(2)整除、公倍数、公约数(3)奇数、偶数(4)质数、 合数 2. 分数、小数、百分数 3．比与比例 4．数轴与绝对值 (二)代数 1．整式 (1)整式及其运算(2)整式的因式与因式分解 2．分式及其运算 3．函数 (1)集合(2)一元二次函数及其图像(3)指数函数、对数函数 4．代数方程 (1)一元一次方程(2)一元二次方程(3)二元一次方程组 5．不等式 (1)不等式的性质(2)均值不等式(3)不等式求解：一元一次不等 式(组)，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式. 6. 数列、等差数列、等比数列 (三)几何 1．平面图形 (1)三角形(2)四边形(矩形、平行四边形、梯形) (3)圆与扇形 2．空间几何体 (1)长方体(2)柱体(3)球体 3．平面解析几何 (1)平面直角坐标系(2)直线方程与圆的方程(3)两点间距离公式与点到直线的
距离公式 (四)数据分析 1. 计数原理 (1)加法原理、乘法原理 (2)排列与排列数 (3)组合与组合数 2．数据描述 (1)平均值 (2)方差与标准差 (3)数据的图表表示：直方图，饼图，数表 3．概率 (1)事件及其简单运算 (2)加法公式 (3)乘法公式 (4)古典概型 (5)伯努利概型 二、数学基础两种考查题型 数学基础共25道题，满分75分,有两种考查题型： 第一种是问题求解，1-15题,每道小题3分,共45分； 第二种是条件充分性判断，16-20题,每道小题3分,共30分. 两种考查形式说明如下： 1. 问题求解题型说明 联考中的问题求解题型是我们大家非常熟悉的一般选择题，即要求考生从5个所列选项(A)、(B)、(C)、(D)、(E)中选择一个符合题干要求的选项，该题型属于单项选择题，有且只有一个正确答案. 该题型有直接解法(根据题干条件推出结论)和间接解法(由结论判断题干是否成立)两种解题方法. 下面举例说明： 【范例1】(200901)方程214x x -+=的根是( ). (A)5x =-或1x = (B)5x =或1x =- (C)3x =或53x =- (D)3x =-或5 3x = (E) 不存在 【答案】C 2. 条件充分性判断题型说明
第十三章 微积分在经济学中的经济应用 (数三） 《考试要求》 1. 掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。 2. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。 3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。 4. 会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。 一、.极限及级数在经济学中的应用 (一)复利： 设某银行年利率为r ，初始存款为0A 元， （1）一年支付一次利息（称为年复利），则t 年后在银行的存款余额为()t 01t A A r =+; （2）若一年支付n 次，则t 年后在银行的存款余额为0(1)r nt A A t n =+; （3）由于lim [(1)]n r rt rt r e n n +=→∞ ，所以当每年支付次数趋于无穷时，t 年后得到的存款 余额为0rt t A A e =， 称为t 年后按连续复利计算得到的存款余额。 (二)将来值与现值： 上述结论中，称t A 是0A 的将来值，而0A 是t A 的现值。现值与将来值的关系为： 0(1)t t A A r =+ ?0(1)t t A A r -=+ 或 0(1)t t A A r =+ ?0(1)t t A A r -=+ 例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清, 年利率 为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？
r ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款例2（08）设银行存款的年利率为0.05 A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？ 、
2020考研数学复习资料：数一数二数三有何 区别? 考研复习的路上总会遇上许多复习问题，今天就帮助各位考研党整理一下比较常见的复习问题，下面为你精心准备了“2020考研数学复习资料：数一数二数三有何区别?”，持续关注本站将可以持续获取的考试资讯！ 2020考研数学复习资料：数一数二数三有何区别? 硕士研究生入学统考数学试卷一共分为3种：针对工科类的为数学一、数学二;针对经济学和管理学类的为数学三，难度要求依次从高到低。 从卷种上来看分为数学一、数学二、数学三。 从考试内容上来看，涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计。 从试卷结构上来看，设有三种题型：选择题(8道共32分)、填空题(6道共24分)、解答题(9道共94分)。 其中数一与数三在题目类型的分布上是一致的，1-4、9-12、15-19属于高等数学的题目，5-6、13、20-21属于线性代数的题目，7-8、14、22-23属于概率论与数理统计的题目;而数学二不同，1-6、9-13、15-21均是高等数学的题目，7-8、14、22-23为线性代数的题目。 ?区别 数一的适用范围和考试内容：
1.工学门类中的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、冶金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、网络工程、电子信息工程、计算机科学与技术、土木工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等20个一级学科中所有的二级学科、专业。 2.授工学学位的管理科学与工程一级学科。 考研数学一是考研数学中难度最大，范围最广的。数学一的考试科目包括高等数学、线性代数、概率统计三科。其中高等数学占比百分之五十六;线性代数占比百分之二十二;概率统计占比百分之二十二。 数二的适用范围： 工学门类中的纺织科学与工程、轻工技术与工程、农业工程、林业工程、食品科学与工程等5个一级学科中所有的二级学科、专业。 考研数学二是考研数学中考试范围最小，但是高等数学占比最高的。考研数学二的考试科目包括高等数学和线性代数其中高等数学占比百分之七十八;线性代数占比百分之二十二。不考概率和统计。 数三的适用范围： 1.经济学门类的各一级学科。 2.管理学门类中的工商管理、农林经济管理一级学科。 3.授管理学学位的管理科学与工程一级学科。
高等数学不用看的部分： 上册 Z1第5页映射； 第17页到第20页双曲正弦双曲余弦双曲正切及相应的反函数可以不记； Z2第107页由参数方程所确定的函数的导数； 第119页微分在近似方程中的应用记住几个公式4，5，6还有120页的近似公式即可，不用看例题； Z3第140页泰勒公式的证明可以不看，例题中的几个公式一定要记住，比如正弦公式等； 第169页第七节； 第178页第八节； Z4第213页第四节； Z5第218页第五节； Z6第280页平行截面面积为已知的立体体积； 第282页平面曲线的弧长； 第287页第三节； Z7第316页第五节；在第七章微分方程中建议大家只要会解方程即可，凡是书上涉及到物理之类的例题不看跳过例如第301页的例2例3例4； 下册 Z8全部 Z9第90页第六节； 第101页第七节； Z10第157页第三节； 165页第四节； Z11全部 Z12第261页定理6； 第278页第四节； 第285页第五节； 第302页第七节； 第316第八节 线性代数不用看的部分： 第102页第五节 概率论与数理统计要考的部分 第一二三四五章； 第六章第135页抽样分布； 第七章第7章第一节点估计和第二节最大似然估计 注意：数学课本和习题中标注星号的为不考内容
《高等数学》 标记及内容要求： ★─大纲中要求“掌握”和“会”的内容以及对学习高数特别重要的内容，应当重点加强， 对其概念、性质、结论及使用方法熟知，对重要定理、公式会推导。要大量做题。 ☆─大纲中要求“理解”和“了解”的内容以及对学习高数比较重要的内容，要看懂定理、公式的推导，知道其概念、性质和方法，能使用其结论做题。要大量做题。 ●─大纲中没有明确要求，但对做题和以后的学习有帮助。要能看懂，了解其思路和结论。 ▲─超出大纲要求。 第一章函数与极限 第一节映射与函数（☆集合、影射，★其余） 第二节数列的极限（☆） 第三节函数的极限（☆） 第四节无穷小与无穷大（★） 第五节极限运算法则（★） 第六节极限存在准则（★） 第七节无穷小的比较（★） 第八节函数的连续性与间断点（★） 第九节连续函数的运算与初等函数的连续性（★） 第十节闭区间上连续函数的性质（★） 总习题 第二章导数与微分 第一节导数概念（★） 第二节函数的求导法则（★） 第三节高阶导数（★） 第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率（★） 第五节函数的微分（★） 总习题二 第三章微分中值定理与导数的应用 第一节微分中值定理（★罗尔，★拉格朗日，☆柯西） 第二节洛必达法则（★） 第三节泰勒公式（☆） 第四节函数的单调性与曲线的凹凸性（★） 第五节函数的极值与最大值最小值（★） 第六节函数图形的描绘（★）
2011考研数学三大纲 --经济类
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三考试科目：微积分．线性代数．概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟． 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试． 三、试卷内容结构 微积分 56％ 线性代数 22% 概率论与数理统计 22％ 四、试卷题型结构 试卷题型结构为： 单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分 填空题 6小题，每题4分，共24分 解答题（包括证明题） 9小题，共94分 微积分 一、函数、极限、连续 考试内容
函数的概念及表示法 函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性 复合函 数．反函数．分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限： 0sin lim 1x x x →= 1lim 1x x e x →∞??+= ??? 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念． 6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系． 8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．
2011考研数学三大纲--经济类[1]
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三考试科目：微积分．线性代数．概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟． 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试． 三、试卷内容结构 微积分 56％ 线性代数 22% 概率论与数理统计 22％ 四、试卷题型结构 试卷题型结构为： 单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分 填空题 6小题，每题4分，共24分 解答题（包括证明题） 9小题，共94分 微积分 一、函数、极限、连续 考试内容
函数的概念及表示法 函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性 复合函 数．反函数．分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限： 0sin lim 1x x x →= 1lim 1x x e x →∞??+= ??? 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念． 6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系． 8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．
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第十三章 微积分在经济学中的经济应用 (数三） 《考试要求》 1. 掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。 2. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。 3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。 4. 会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。 一、.极限及级数在经济学中的应用 (一)复利： 设某银行年利率为r ，初始存款为0A 元， （1）一年支付一次利息（称为年复利），则t 年后在银行的存款余额为()t 01t A A r =+; （2）若一年支付n 次，则t 年后在银行的存款余额为0(1)r nt A A t n =+; （3）由于lim [(1)]n r rt rt r e n n +=→∞ ，所以当每年支付次数趋于无穷时，t 年后得到的存款 余额为0rt t A A e =， 称为t 年后按连续复利计算得到的存款余额。 (二)将来值与现值：
上述结论中，称t A 是0A 的将来值，而0A 是t A 的现值。现值与将来值的关系为： 0(1)t t A A r =+ ?0(1)t t A A r -=+ 或 0(1)t t A A r =+ ?0(1)t t A A r -=+ 例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清, 年利率 为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？ 例2（08）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？ 、 二. 经济学中的常用函数 需求函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的减函数； 供给函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的增函数； 成本函数：01()()C Q C C Q =+, 其中0(0)C C =为固定成本, 1()C Q 为可变成本； 收益函数：R PQ =; 利润函数：()()()L Q R Q C Q =-. 例 1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为1p 和2p , 销售量分别为1q 和2q , 需求函数分别为112402q p =-, 22100.05q p =-, 总成本函数为
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学 三 考试科目：微积分．线性代数．概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟． 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试． 三、试卷内容结构 微积分 56％ 线性代数 22% 概率论与数理统计 22％ 四、试卷题型结构 试卷题型结构为： 单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分填空题 6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分 微积分 一、函数、极限、连续
考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性复合函数．反函数．分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念． 6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系． 8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点
第十三章 微积分在经济学中的经济使用 (数三） 《测试要求》 1. 掌握导数的经济意义（含边际和弹性的概念）。 2. 了解差分和差分方程及其通解和特解等概念。 3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。 4. 会使用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济使用问题。 一、.极限及级数在经济学中的使用 (一)复利： 设某银行年利率为r ，初始存款为0A 元， （1）一年支付一次利息（称为年复利），则t 年后在银行的存款余额为()t 01t A A r =+; （2）若一年支付n 次，则t 年后在银行的存款余额为0(1)r nt A A t n =+; （3）由于lim [(1)]n r rt rt r e n n +=→∞ ，所以当每年支付次数趋于无穷时，t 年后得到的存款 余额为0rt t A A e =， 称为t 年后按连续复利计算得到的存款余额。 (二)将来值和现值： 上述结论中，称t A 是0A 的将来值，而0A 是t A 的现值。现值和将来值的关系为： 0(1)t t A A r =+ ?0(1)t t A A r -=+ 或 0(1)t t A A r =+ ?0(1)t t A A r -=+ 例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清, 年利率 为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？ 例2（08）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？ 、
高等数学》目录与2010数三大纲对照的重点计划用时（天） 标记及内容要求： ★─大纲中要求“掌握”和“会”的内容以及对学习高数特别重要的内容，应当重点加强， 对其概念、性质、结论及使用方法熟知，对重要定理、公式会推导。要大量做题。 ☆─大纲中要求“理解”和“了解”的内容以及对学习高数比较重要的内容，要看懂定理、公式的推导，知道其概念、性质和方法，能使用其结论做题。要大量做题。 ●─大纲中没有明确要求，但对做题和以后的学习有帮助。要能看懂，了解其思路和结论。▲─超出大纲要求。 第一章函数与极限 第一节映射与函数（☆集合、影射，★其余） 第二节数列的极限（☆） 第三节函数的极限（☆） 第四节无穷小与无穷大（★） 第五节极限运算法则（★） 第六节极限存在准则（★） 第七节无穷小的比较（★） 第八节函数的连续性与间断点（★） 第九节连续函数的运算与初等函数的连续性（★） 第十节闭区间上连续函数的性质（★） 总习题 第二章导数与微分 第一节导数概念（★） 第二节函数的求导法则（★） 第三节高阶导数（★） 第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率（★） 第五节函数的微分（★） 总习题二 第三章微分中值定理与导数的应用 第一节微分中值定理（★罗尔，★拉格朗日，☆柯西） 第二节洛必达法则（★） 第三节泰勒公式（☆） 第四节函数的单调性与曲线的凹凸性（★） 第五节函数的极值与最大值最小值（★） 第六节函数图形的描绘（★） 第七节曲率(●) 第八节方程的近似解(●) 总习题三（★注意渐近线） 第四章不定积分 第一节不定积分的概念与性质（★） 第二节换元积分法（★） 第三节分部积分法（★） 第四节有理函数的积分（★）
2015考研数学(三)真题解析：概率部分 来源：文都教育 ()()().P AB P A P B ≤2015考研数学在上午落下帷幕，今年考题整体难度降低。许多题目出现在平时的讲义、测试卷及练习题中。下面老师对概率部分的考点的进行整体分析。概率部分今年秉承以往的风格，重点考查基本知识点，题目很常规。 （2015数三选择题7题）若A ,B 为任意两个随机事件，则（ ） （A ） （B ）()()().P AB P A P B ≥ （C ）()P AB ≤ ()().2P A P B + （D ）()P AB ≥()().2 P A P B + 答案：C 解析：)()()()(AB P B P A P B A P -+=+， 因为)()(AB P B A P ≥+， 所以)()()()(AB P AB P B P A P ≥-+， 故2 )()()(B P A P AB P +≤，应选)(C ． 考点说明：主要考查概率第一章的基本公式，也可以通过排除法求解． （2015数三选择题８题）设总体X ~B （m ,θ），12,,,n X X X 为来自该总体的简单随机样本，X 为样本均值，则21()n i i E X X =??-=?????? ∑ （ ） （A ）()()11m n θθ-- （B ）()()11m n θθ-- （C ）()()1(1)1m n θθ--- （D ）()1mn θθ- 答案：B 解析： 样本方差∑=--=n i i X X n S 122 )(11，因为)1(2θθ-==m DX ES ， 即)1(])(11[12θθ-=--∑=m X X n E n i i ，故)1()1(])([1 2θθ--=-∑=n m X X E m i i ， 应选)(B ． 考点说明：主要考查的是概率第六章基本统计量的运算公式，只要熟记公式，就可轻易解答． （2015数三填空题14题）设二维随机变量（X ，Y ）服从正态分布N （1,0;1,1;0），则