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2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，
()
=-+1
13
i i i
(A) 1- (B) 1 (C) i - (D) i
（2）设变量y x ,满足约束条件??
?
??≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 （3）设函数()R x x x f ∈??
?
??
-
=,22sin π，则()x f 是 (A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数
(C) 最小正周期为2
π的奇函数 (D) 最小正周期为2
π
的偶函数
（4）设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是
(A) βαβα⊥⊥,//,b a (B) βαβα//,,⊥⊥b a (C) βαβα//,,⊥?b a (D) βαβα⊥?,//,b a
（5）设椭圆()111
2
2
2
2>=-+
m m y
m
x 上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，
则P 点到右准线的距离为 (A) 6 (B) 2 (C)
2
1 (D)
7
72
（6）设集合{}{}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是
(A) 13-<<-a (B) 13-≤≤-a (C) 3-≤a 或1-≥a (D) 3-a
（7）设函数()()1011<≤-
=
x x
x f 的反函数为()x f
1
-，则
(A) ()x f 1
-在其定义域上是增函数且最大值为1 (B) ()x f 1
-在其定义域上是减函数且最小值为0 (C) ()x f 1
-在其定义域上是减函数且最大值为1 (D) ()x f
1
-在其定义域上是增函数且最小值为0
（8）已知函数()???≥-<+-=0
1
01x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是
(A) {
}
121|-≤≤-x x (B) {}1|≤x x
(C) {
}12|-≤
x x (D) {
}
1212|-≤
≤--x x
（9）已知函数()x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令
??? ?
?
=??? ??=??? ??=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则
(A) c a b << (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a <<
（10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 (A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种
第Ⅱ卷
注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上
3．本卷共12小题，共100分。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.） （11）5
2?
??? ?
?-x x 的二项展开式中2
x 的系数是 （用数字作答）. （12）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为π34，则该正方体的表面积为 .
（13）已知圆C 的圆心与抛物线x y 42
=的焦点关于直线x y =对称，直线0
234=--y x
与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ,则圆C 的方程为 .
（14）如图，在平行四边形ABCD 中，()()2,3,2,1-==BD AC ，
则=?AC AD .
（15）已知数列{}n a 中，()*3
1,11
11N n a a a n n n ∈=
-=++，则=∞
→n n a lim
.
（16）设1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的[]a a x 2,∈，都有],[2a a y ∈满足方程
c y x a
a =+log
log
，这时，a 的取值的集合为 .
三、解答题（本题共6道大题，满分76分） （17）（本小题满分12分） 已知??
?
??3∈=???
??
-
4,2,1024cos πππx x . （Ⅰ）求x sin 的值； （Ⅱ）求??
?
??
+
32sin πx 的值.
（18）（本小题满分12分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为2
1与p ，且乙投球2次
均未命中的概率为
16
1.
（Ⅰ）求乙投球的命中率p ；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形.
已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB .
（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；
（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小.
（20）（本小题满分12分） 已知函数()()0≠++
=x b x
a x x f ，其中R
b a ∈,.
（Ⅰ）若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处的切线方程为13+=x y ，求函数()x f 的解析式； （Ⅱ）讨论函数()x f 的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的??????∈
2,21a ，不等式()10≤x f 在?
?
?
???1,41上恒成立，求b 的取值范围.
（21）（本小题满分14分）
已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是()0,31-F ，一条渐近线的方程是025=-y x . （Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）若以()0≠k k 为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2
81，求k 的取值范围.
（22）（本小题满分14分）
在数列{}n a 与{}n b 中，4,111==b a ，数列{}n a 的前n 项和n S 满足
()031
=+-+n n S n nS
, 12+n a 为n b 与1+n b 的等比中项，*N n ∈.
（Ⅰ）求22,b a 的值；
（II ）求数列{a n }与{b n }的通项公式； （III ）设T n =(-1)1
a b 1+(-1)
2
a b 2+……+(-1)
n
a
b n ，n *
∈N 证明|T n |<2n 2, n ≥3
参考答案
一、选择题：
(1) A （2） D (3) B (4) C (5) B (6) A (7) D (8) C
(9) A
(10) B
二、填空题： (11) 40 (12) 24
(13) x 2+(y-1)2=10
(14) 3
(15)
6
7 (16) {2}
三、解答题： （17）
解：（Ⅰ）解法一：因为??
?
??∈43,
2ππ
x ，所以??? ??∈-2,44πππx ，于是
10274cos 14sin 2=
??
? ??
--=
??? ??
-ππx x 5
42210
22210
274sin 4cos 4cos 4sin 44sin sin =?
+
?
=??? ??-+??? ??-=?
??? ??+??? ?
?-=ππππππx x x x
解法二：由题设得
10
2sin 2
2cos 2
2=
+
x x ，即51sin cos =
+x x
又sin 2x+cos 2x=1，从而25sin 2x-5sinx-12=0，解得sinx=
5
4或sinx=5
3-
因为?
?
?
??∈43,2ππx ，所以54sin =x （Ⅱ）解：因为???
??∈43,2ππx ，故5
3541sin
1cos 2
2
-
=?
??
??--=--=x x
25
71cos
22cos ,25
24cos sin 22sin 2
-=-=-
==x x x x x
所以50
3
7243
sin 2cos 3cos
2sin 32sin +-=+=???
?
?
+
πππx x x
（18）
解：
（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B 由题意得
()()()16
1112
2
=
-=-p B P
解得4
3=
p 或
4
5（舍去），所以乙投球的命中率为
4
3
（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知()()
()()
4
1,43,2
1,21=
=
=
=B P B P A P A P
ξ可能的取值为0，1，2，3，故
()()()
32
14121
02
=
???
???=?==B B P A P P ξ ()()()()()()
32
721414324121
12
1
2=???+???
???=+?==A
P B P B P C B B P A P P ξ
()()()32
94321
32
=
???
???=?==B B P A P P ξ ()()()()32
1531012=
=-=-=-==ξξξξP P P P
ξ的分布列为
ξ的数学期望232
9332
15232
7132
10=?
+?
+?
+?=ξE
（19）
解：（Ⅰ）证明：在PAD ?中，由题设22,2==PD PA ，AD=2可得 2
2
2
PD AD
PA
=+，于是PA AD
⊥。在矩形ABCD 中，AB AD ⊥.又A AB PA = ，
所以⊥AD 平面PAB .
（Ⅱ）解：由题设，AD BC //，所以PCB ∠（或其补角）是异面直线PC 与AD 所成的角. 在PAB ?中，由余弦定理得
由（Ⅰ）知⊥AD 平面PAB ，?PB 平面PAB ，
所以PB AD ⊥，因而PB BC ⊥，于是PBC ?是直角三角形，
7
cos 22
2
=
??-+=
PAB AB PA AB PA PB
故2
7tan =
=
BC
PB PCB
所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为2
7arctan
.
（Ⅲ）解：过点P 做AB PH ⊥于H ，过点H 做BD HE ⊥于E ，连结PE
因为⊥AD 平面PAB ，?PH 平面PAB ，所以PH AD ⊥.又A AB AD = ， 因而⊥PH 平面ABCD ，故HE 为PE 在平面ABCD 内的射影.由三垂线定理可知， PE BD ⊥，从而PEH ∠是二面角A BD P --的平面角。 由题设可得，
13
4,13,2,160
cos ,360
sin 2
2
=
?=
=
+==-==?==?=BH BD
AD HE AD
AB
BD AH AB BH PA AH PA PH
于是在PHE Rt ?中，439tan =
=
HE
PH PEH
所以二面角A BD P --的大小为4
39arctan ．
（20）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：2
()1a f x x
'=-
，由导数的几何意义得(2)3f '=，于是8a =-．
由切点(2,(2))P f 在直线31y x =+上可得27b -+=，解得9b =． 所以函数()f x 的解析式为8()9f x x x
=-+．
（Ⅱ）解：2
()1a f x x
'=-
．
当0a ≤时，显然()0f x '>（0x ≠）．这时()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞内是增函数． 当0a >时，令()0f x '=
，解得x = 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
所以()f x
在(,-∞
，)+∞
内是增函数，在(0)，(0,a )内是减函数．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，()f x 在1
[,1]4
上的最大值为1
()4
f 与(1)f 中的较大者，对于任意
的1
[,2]2a ∈，不等式0(1)f x ≤在1
[,1]4上恒成立，当且仅当10(11(4)10)f f ≤≤?????，即3944
9a b a
b ≤
-≤-?
????
，对任意的1
[,2]2
a ∈成立．
从而得74
b ≤
，所以满足条件的b 的取值范围是(7
,]4
-∞．
（21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．
（Ⅰ）解：设双曲线C 的方程为
222
2
1x y a
b
-
=（0,0a b >>）
．由题设得
2292a b b a
?+=??=??，解得22
4
5
a b ?=??=??，所以双曲线C 的方程为22
145x y -=． （Ⅱ）解：设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．点11(,)M x y ，22(,)N x y 的坐标满足方
程组2214
5y kx m x y =+??
?-=?
?
将①式代入②式，得
2
2
()
14
5
x
kx m +-
=，整理得222
(54)84200k x km x m ----=．
此方程有两个不等实根，于是2504k -≠，且222
(8)4(54)(420)0km k m ?=-+-+>． 整理得 22
540m k +->． ③ 由根与系数的关系可知线段M N 的中点坐标00(,)x y 满足
12
02
42
54x x km x k
+=
=
-，002
554m y kx m k =+=
-．
从而线段M N 的垂直平分线的方程为2
2
514()5454m km y x k
k
k
-=-
---．
此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为2
9(
,0)54km k
-，2
9(0,
)54m k
-．由题设可得
2
2
1
9981|||
|254542
km
m k
k
?=
--．整理得2
22
(54)
||
k m k -=
，0k ≠．
将上式代入③式得
2
2
2(54)
540||
k k k -+->，整理得22
(45)(4||5)0k k k --->，0k ≠．
解得0||2
k <<
或5||4
k >．
所以k 的取值范围是55
,)(0)(,)4
2
24
(∞-
+--
∞ ． （22）本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前n 项和公式、等比数列的概念、等比
中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分
（Ⅰ）解：由题设有12140a a a +-=，11a =，解得23a =．由题设又有122
24b b a =，
14b =，解得29b =．
（Ⅱ）解法一：由题设1(3)0n n nS n S +-+=，11a =，14b =，及23a =，29b =，进一步可得36a =，316b =，410a =，425b =，猜想(1)2
n n n a +=，2
(1)n b n =+，*n N ∈．
先证(1)2
n n n a +=
，*n N ∈．
当1n =时，1(1112
)
a ?=
+，等式成立．当2n ≥时用数学归纳法证明如下：
（1）当2n =时，2(2212
)
a ?=
+，等式成立．
（2）假设n k =时等式成立，即(1)
2
k k k a +=，2k ≥．
由题设，1(3)k k kS k S +=+
1(1)(2)
k
k k S k S --=+ ①的两边分别减去②的两边，整理得1(2)k k ka k a +=+，从而
122(1)(1)[(1)1]
22
k k k k k k k k a a k
k +++++++=
=
?=． 这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2
n n n a +=对任何
的2n ≥成立．
综上所述，等式(1)2
n n n a +=
对任何的*n N ∈都成立
再用数学归纳法证明2(1)n b n =+，*n N ∈． （1）当1n =时，21(11)b =+，等式成立．
（2）假设当n k =时等式成立，即2(1)k b k =+，那么
2
22
2
112
4(1)(2)
[(1)1](1)
k k k
a k k
b k b k ++++=
=
=+++．
这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式2(1)n b n =+对任何的
*
n N ∈都成立．
解法二：由题设1(3)n n nS n S +=+ ①
1(1)(2)n n n S
n S --=+ ②
①的两边分别减去②的两边，整理得1(2)n n na n a +=+，2n ≥．所以 3224a a =， 4335a a =， ……
1
(1)(1)n
n n a n a --=+，3n ≥． 将以上各式左右两端分别相乘，得2(1)!(1)!6
n n n a a +-=，
由（Ⅰ）并化简得2(1)(1)6
2
n n n n n a a ++=
=
，3n ≥．
上式对1,2n =也成立．
由题设有2114n n n b b a ++=，所以22
1(2)(1)n n b b n n +=++，即
12
2
1(1)
(2)
n n b b n n +?
=++，*
n N ∈．
令2
(1)
n n b x n =
+，则11n n x x +=，即11n n
x x +=
．由11x =得1n x =，1n ≥．所以
2
1(1)
n b n =+，
即2
(1)n b n =+，1n ≥．
解法三：由题设有1(3)n n nS n S +=+，*
n N ∈，所以
214S S =，
3225S S =， ……
1(1)(2)n
n n S n S --=+，2n ≥．
将以上各式左右两端分别相乘，得12(1)145(2)n n S n S ???-=???+ ，化简得
13
(1)(2)
(1)(2)
26
n n n n n n n S a ++=
=
?++，3n ≥．
由（Ⅰ），上式对1,2n =也成立．所以1(1)2
n n n n n a S S -+=-=，2n ≥．
上式对1n =时也成立．
以下同解法二，可得2(1)n b n =+，1n ≥．
（Ⅲ）证明：12(1)
22
2
122
(1(1)23(1)(1))(1)n
a a n n n a n
b T b n b ++=-+-+-=--++-+ ．
当4n k =，*k N ∈时，
2
2
2
2
2
2
2
2
(42)2(41)(3454)(41)n k k k k T ----=--+++++- ．
注意到2222(42)(41)(4)(41)324k k k k k ----+++=-，故
(1)
(12)4324322
n T k k k k k +?+++-=?
-=
2
2
4(44)4(4)343k k k k k n n ?==-++=+．
当41n k =-，*
k N ∈时，
22224(41)(1)3(1)(2(4))3n k k k n n n T n =?-+=+++-+=+ 当42n k =-，*
k N ∈时，
2222
24(41)(4)(43(2)()3)333n k k k n n n k n T ?-+-=+=-=-+--+．
当43n k =-，*
k N ∈时，
2222
4(41)(41)3(3)(4)(23)3n k k n n T k n n ?-++-=+-+++=--=．
所以2
2*
3,4333,
42,,
413,4n n n k n n n k T k n n k n n n N k
--=-??---=-?=?
=-??+=∈?
．
从而3n ≥时，有22
2
132,5,9,13,3312,
6,10,14,||12,
3,7,11,312,
4,8,12,n n n n n T n
n
n n n n n ?+<=??
?++
<=?=??<=???+<
=?
总之，当3n ≥时有2
||2n T n
<，即2
||2n T n <．
2021年全国高校自主招生数学模拟试卷十五 含答案 一．选择题(每小题5分，共30分) 1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx=0}，N={(x ，y )|x 2+y 2 ≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ） (A )4 (B )5 (C )8 (D )9 2．已知f (x )=a sin x +b 3 x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（ ） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值 3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ） （A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）27 4．若直线x =π 4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的 弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( ) (A ) π4 (B ) π3 (C ) π 2 (D )π 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则sin C －A 2 +cos C +A 2 的值是( ) (A )1 (B ) 12 (C ) 1 3 (D )-1 6．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( ) 二、填空题（每小题5分，共30分） 1．二次方程(1-i )x 2 +(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条 (A) (B) (C) (D)
自主招生试题选讲(清华、北大、交大等) 清华大学、上海交通大学、中国科学技术大学、南京大学、西安交通大学五所顶尖大学自主招生上强强联手，掀开了国内高招史上的新篇章 自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难 度，试题灵活，毫无规律可寻，但各个学校有自己命题风 格。一般说来，各高校对后续性的知识点：如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。 应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占60-70% 2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围 3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。 几个热点问题 方程的根的问题： 1.已知函数，且没有实数根．那么是否有实数根？并证明你的结 论．（08交大） 2.设，试证明对任意实数： （1）方程总有相同实根； （2）存在，恒有．（07交大） 3.（06交大）设 （05复旦）在实数范围内求方程：的实数根． 5.（05交大）的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数， 求a,b,c的值． 6. 解方程：．求方程（n重根）的解．(09交大) 凸函数问题 1. (2009复旦) 如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x，y都满足 ，则称这个函数时下凸函数，下列函数 （1）（2） （3）（） （4） 中是下凸函数的有-------------------。 A．(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 2. （06复旦）设x1,x2∈（0，），且x1≠x2，下列不等式中成立的是：(1)
（tanx1+tanx2）>tan; (2) （tanx1+tanx2）
甘肃省天祝县第一中学高三数学试卷（理） 第I 卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。本题满分60分。 1、已知z ＝i (1＋i )（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 2、若集合{}|(21)0A x x x =->，{})1(log 3x y x B -==，则A B =（ ） A 、φ B.1,12?? ??? C 、()1,0,12?? -∞ ??? D 、1,12?? ??? 3、函数()34x f x x =+的零点所在的区间是 （ ） A 、（一2，一1） B 、（一1，0） C 、（0，1） D 、（1，2） 4、对于数列｛a n ｝，“),2,1(1 =>+n a a n n ”是“｛a n ｝为递增数列”的( ) A 、必要不充分条件 B 、充分不必要条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 5、设O 为坐标原点，点M 坐标为()2,1，若(,)N x y 满足不等式组：430 21201x y x y x -+≤??+-≤??≥?， 则OM ON 的最大值为 （ ） A 、12 B 、8 C 、6 D 、4 6、如果过曲线x x y -=4上点P 处的切线平行于直线23+=x y 那么点P 的坐标为 ( ) A 、()1,0 B 、()0,1- C 、()0,1 D 、()1,0- 7、若9 21ax x ? ?- ??? 的展开式中常数项为84，其展开式中各项系数之和为（ ）． A 、1- B 、0 C 、1 D 、29 8、从如图所示的长方形区域内任取一个点( )y x M ,， 则点M 取自阴影部分的概率为（ ） A 、12 B 、 13 C 、33 D 、 3 2 9、为得到函数cos(2)3 y x =+ π 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像 （ ） A 、 向右平移 56π个长度单位 B 、 向左平移56π 个长度单位 C 、 向右平移512π个长度单位 D 、 向左平移512π 个长度单位 10、某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相 同的牌照号码共有（ ） A 、24 2610A A 个 B 、242610A 个 C 、()2 142610C 个 D 、()2 142610 C A 个 11、在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ．若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A =（ ） A 、30o B 、60o C 、120o D 、150o 12、已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为 （ ） A 、 22136x y -= B 、22145x y -= C 、22163x y -= D 、22 154 x y -= 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。本题满分20分。 13、已知程序框图如右，则输出的i = ． 14、如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是3 8则=a __ ． 15. 若直线220ax by +-=(,(0,))a b ∈+∞平分圆224260x y x y +---=，则 12 a b +的最小值是 ． 16．函数)(x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数．例如，函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数．下列命题： ① 函数)()(2R x x x f ∈=是单函数； 侧视图 a 23 俯视图正视图开始 1S =结束 3 i =100? S ≥i 输出2 i i =+*S S i =是 否 x y O 1 3 2 3x y =
云南省曲靖市高三上学期月考数学试卷（理科）（三） 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题；共24分) 1. （2分）已知全集 ,设函数的定义域为集合A,函数的值域为集合B,则（） A . [1,2) B . [1,2] C . (1,2) D . (1,2] 2. （2分） (2018高二下·抚顺期末) 复数的共轭复数是（） A . B . C . D . 3. （2分）在等比数列｛an｝中,a1<0,若对正整数n都有an B . C . D . 5. （2分） (2016高二上·翔安期中) 命题“若a＞﹣3，则a＞0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 6. （2分） (2016高二上·山东开学考) 如图，该程序运行后输出的结果为（） A . 1 B . 2 C . 4 7. （2分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的体积为（） A . B . C . D . 8. （2分） (2016高一下·河南期末) 已知空间四边形ABCD中，M、G分别为BC、CD的中点，则 + （） 等于（） A . B . C . D . 9. （2分）在正三棱锥中，、分别是、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是（） B . C . D . 10. （2分）已知函数f（x）= ，若关于x的不等式f（x2﹣2x+2）＜f（1﹣a2x2）的解集中有且仅有三个整数，则实数a的取值范围是（） A . [﹣，﹣）∪（， ] B . （， ] C . [﹣，﹣）∪（， ] D . [﹣，﹣）∪（， ] 11. （2分）(2018·凯里模拟) 已知抛物线的焦点是椭圆（）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于、两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为（） A . B . C . D . 12. （2分） (2015高二下·九江期中) 已知直线y=﹣x+m是曲线y=x2﹣3lnx的一条切线，则m的值为（） A . 0 B . 2 2019数学试题 考试时间 100分钟 满分100分 说明：（1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！ （2）请在背面的答题纸上作答。另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！ 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）。每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0分。 1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图．图中A 点表 示十月的平均最高气温约为15C o ，B 点表示四月的平均最低气温约为5C o ．下面叙述不 正确的是 A ．各月的平均最低气温都在0C o 以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均气温高于20C o 的月份有5个 2．上图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为 A ．1x <-或5x > B ．5x > C ．15x -<< D ．无法确定 第2题 20C o 15C o 10C o 5C o A 十月 四月 三月 二月 一月十二月 十一月 九月 八月 七月 六月 五月 B 平均最低气温 平均最高气温 3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ． 115 B ． 815 C ．18 D ． 130 4．在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-，则ABC ?的面积为 A B C D 5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积．．． （表面面积，也叫全面积）为 A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 参考公式：圆锥侧面积S rl π=，圆柱侧面积2S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长． 6．如下图，在ABC ?中，AB AC =，D 为BC 的中点， BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =， 则AE = A B C D 7．ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =，2c =，2cos 3 A =，则b = A B C ．2 D ．3 8．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短．．路径条数为 A ．9 B ．12 C ．18 D ．24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图 黄州区一中高三理科数学综合测试题（十二） 命题：杨安胜 审题：高三数学组 考试时间：-11-20 第I 卷（选择题 共50分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设，且， ，，设，则（ ） A. B. C. D. 以上均不对 2．已知函数()f x 是奇函数，当0,()(01)x x f x a a a >=>≠时且，且12 (log 4)3,f =- 则a 的值为（ ） A ．3 B ．3 C ．9 D ． 3 2 3．如右图，在ABC ?中，||||BA BC =，延长CB 到D ，使 ,AC AD AD AB AC λμ⊥=+若，则λμ-的值是（ ） A ．1 B ．3 C ．-1 D ．2 4．若0a 2≠=b ，，且，则向量与的夹角为( ) A 30° B 60° C 120° D 150° 5．等差数列{}n a 中，386,16,n a a S ==是数列{}n a 的前n 项和，若12 11 1n n T S S S = +++ ，则952 T 最接近的整数是 （ ） A ．5 B ．4 C ．2 D ．1 6．已知函数3 2 2 ()23f x x ax ax a =+-+，且在()f x 图象上点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距小于0，则a 的取值范围是 （ ） A ．（-1，1） B ．2 (,1)3 C ．2(,1)3 - D ．2(1,)3 - 7．将函数2()1cos 22sin ()6 f x x x π =+--的图象向左平移(0)m m >个单位后所得的图象 关于y 轴对称，则m 的最小值为 （ ） A ． 6 π B ． 12π C ． 3 π D ． 2 π 8．已知定义域为R 的函数满足，且的导函数，则的解集为（ ） {}{}{} Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x M ∈-==∈+==∈==,13,,13,,3M a ∈N b ∈P c ∈c b a d +-=M d ∈N d ∈P d ∈b a c +=a c ⊥a b )(x f 1)1(=f )(x f ()2 1 < 'x f 2 1 2)(+< x x f 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2 一．选择题（36分，每小题6分） 1、 函数f(x)=)32(log 22 1--x x 的单调递增区间是 (A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x 2-2x-3>0?x<-1或x>3，令f(x)=u 2 1log , u= x 2-2x-3，故选A 2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解：B 3、 函数f(x)= 22 1x x x -- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解：A 4、 直线134=+y x 椭圆 19 162 2=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解：设P 1(4cos α,3sin α) (0<α<2 π )，即点P 1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P 1AOB 的面积S 。 S=11 O BP O AP S S ??+=ααcos 432 1 sin 3421??+??=6(sin α+cos α)=)4sin(26πα+ ∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6 ∴626)(max 1-=?AB P S ∵626-<3 ∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，故选B 5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的 每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有 (A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 49 99C 解：不妨设b 1 2019届云南师大附中高三上学期月考三理科数学试卷 【含答案及解析】 姓名___________ 班级____________ 分数__________ 一、选择题 1. 已知全集为R，集合A={x|x≥0}，B={x|x 2 ﹣6x+8≤0}，则A∩ ? R B=（） A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}________ C．{x|0≤x＜2或x＞4}________ D．{x|0＜x≤2或x≥4} 2. 设复数z满足（1+2i）z=5i，则复数z为（） A．2+i________ B．﹣2+i________ C．2﹣i________ D．﹣2﹣i 3. 在等比数列{a n }中，a 1 =8，a 4 =a 3 a 5 ，则a 7 =（） A．________ B．________ C．________ D． 4. 若椭圆 + =1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣ =1的渐近线方程为（） A．y=± x________ B．y=± x________ C．y=± x________ D．y=±x 5. 下列有关命题的说法错误的是（） A．若“p ∨ q” 为假命题，则p，q均为假命题 B．“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件 C．“sinx= ”的必要不充分条件是“x= ” D．若命题p：? x 0 ∈ R，x 0 2 ≥0，则命题￢p：? x ∈ R，x 2 ＜0 6. 执行如图所示的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的M等于（） A．________ B．________ C．________ D． 7. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（） A．________ B．________ C．2+ ________ D．3+ 8. 已知△ ABC 和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（） A．2________ B．3________ C．4________ D．5 9. 已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ ABC 和△ DB C 所在平面相互垂直，AB=3，AC= ，BC=CD=BD=2 ，则球O的表面积为（） 高三数学第一次月考试卷（集合、函数） 班级： 学号： 姓名： . 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、如果C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C 是全集。则有( ) A. C=R ∪I B. R ∩I=｛0｝ C. R ∩I=φ D. ＣcR=C ∩I 2、已知{1,3,5,7,9}I A B == ,{3,7}A B = ,{9}A B = ,则A B = （ ） A 、{1,3,7} B 、{1,5} C 、{3,7,9} D 、{3,7} 3、满足｛a ，b ｝UM=｛a ，b ，c ，d ｝的所有集合M 的个数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4、若命题P ：x ∈A B ，则 P 是（ ） A. x ?A B B. x ?A 或x ?B C. x ?A 且x ?B D. x ∈A B 5、用反证法证明：“若m ∈Z 且m 为奇数，则()1122 m m --± 均为奇数”，其假设正确的( ) A. 都是偶数 B. 都不是奇数 C. 不都是奇数 D. 都不是偶数 6、命题P:若 a.b ∈R ，则a b +>1是a b +>1的充分而不必要条件：命题q: 函数 y = (][),13,-∞-+∞ .则 （ ） A.“ p 或q ”为假 B. “p 且q ”为真 C. p 真q 假 D. p 假q 真 7、 已知01a <<，则方程|| |log |x a a x =的实根个数是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、1个或2个或3个 8、已知0log 2log 2a b <<，则a ，b 的关系是 ( ) 9、 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，1()()3 x f x =，那么1 (9)f --的 值为( ) A 、2 B 、-2 C 、3 D 、-3 10、设0.3log 4a =，4log 3b =，2 0.3c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） 全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一．集合与命题 (2) 二．不等式 (9) 三．函数 (20) 四．数列 (27) 五．矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计 (31) 六．排列组合，二项式定理，概率统计（续）复数 (35) 七．复数 (39) 八．三角 (42) 近年来自主招生数学试卷解读 第一讲集合与命题 第一部分近年来自主招生数学试卷解读 一、各学校考试题型分析： 交大： 题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单； 考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项 式定理、解析几何和立体几何 复旦： 题型：试题类型全部为选择题（四选一）； 全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）； 试题难度：基本相当于高考； 考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等； 考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等 同济： 题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：基本上相当于高考； 考试知识点分布：常规高考内容 二、试题特点分析： 1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。 关键步骤提示： 2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。 关键步骤提示： ()()() 42432 22342(2)(2)(1)(2)(1) f a x x a x x x x x x a x x x =--++-=+-+++-1 1 1 (,),(,),(,)n n n i i i i i i i i i i i d u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质， 2015年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβ ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F 高三数学月考试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1、 设集合{}{}{}5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A U ，则()=?B C A U ( ) A ．{}2 B ．{}3,2 C ．{}3 D ．{}3,1 2、 函数)1(12<+=x y x 的反函数是 ( ) A ．()()3,1)1(log 2∈-=x x y B ．()()3,1log 12∈+-=x x y C ．(]()3,1)1(log 2∈-=x x y D ．(]()3,1log 12∈+-=x x y 3、 如果)()(x f x f -=+π且)()(x f x f =-，则)(x f 可以是 ( ) A ．x 2sin B ．x cos C ．x sin D ．x sin 4、βα、是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是 ( ) A ．m,n 是α内的两条直线，且ββ//,//n m B ．βα、都垂直于平面γ C ．α内不共线三点到β的距离相等 D ．m,n 是两条异面直线,αββα//,//,,n m n m 且?? 5、已知数列{}n a 的前n 项和(){}n n n a a R a a S 则,0,1≠∈-= ( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列 C ．或者是等差数列、或者是等比数列 D ．等差、等比数列都不是 6、已知实数a 满足21< 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥 P ?ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A ?PB ?C 的平面角的余弦值为（ ） A. 7 1 B. 7 1- C. 2 1 D. 2 1- 2. 设实数a 使得不等式|2x ?a |+|3x ?2a |≥a 2 对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]3 1,31[- B. ]21,21[- C. ]3 1,41[- D. [?3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全 相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 81 52 B. 81 59 C. 81 60 D. 81 61 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x ?c )=1对任意实数x 恒 成立，则 a c b cos 的值等于（ ） A. 2 1- B. 21 C. ?1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是 （ ） 6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (?3，0)，B (1，?1)，C (0，3)，D (?1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。 8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=?+?，则与的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心， 3 3 2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。 10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d ， b 1=d 2 ，且3 212 3 2221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。 11. 已知函数)45 41(2)cos()sin()(≤≤+-= x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方 格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） D P 洛阳一高—下期高三年级2月月考 数 学 试 卷（理科） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分。 第I 卷（选择题 共60分） 注意事项： 1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。 3、考试结束，将第II 卷和答题卡一并交回。 一、选择题（每题5分） 1、已知集合M=，N= ，则 A 、 B 、 C 、 D 、 2、若p 、q 为简单命题，则“p 且q 为假”是“p 或q 为假”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 3、向量和的夹角平分线上的单位向量是 A 、向量和 B 、 C 、 D 、 4、y=的单调增函区间是 A 、 B 、 C 、 D 、 以上 5、若，则常数a 、b 的值为 A 、 2 ， 4 B 、2， 4 C 、2， 4 D 、2，4 6、已知、是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，给出下列命题 ①若，则 ②, ∥，n ∥则∥ ③如果，，是异面直线，那么n 与相交 ④若，n ∥m 且，则n ∥且n ∥ 其中正确的命题： 3 | 0(1)x x x ??≥??-?? {}2|31,y y x x R =+∈M N ?=?{}|1x x ≥{}|1x x >{} |10x x x ≥<或a b a b ||a b a b ++||||a b a b +|||||||||| a b b a b a a b ?+?+2sin( 2)3 x π -511[,]1212k k ππππ++517 [,]1212k k ππππ++[,]36k k ππππ-+5 [,]1212k k ππππ-+k z ∈21lim()111x a b x x →-=------αβm α⊥m β?αβ⊥m α?n α?m ββαβm α?n α?,m n αm αβ?=n α?n β?αβ 湖南省长沙市宁乡二中届高三第一次月考 数学试卷 时量：120分钟 总分150分 一 选择题（每小题只有一个正确答案，选对计5分） 1．设全集U={－2，－1，0，1，2}，A={－2，－1，0}，B={0，1，2}，则（U A ）∩B= （ ） A ．{0} B ．{－2，－1} C ．{1，2} D ．{0，1，2} 2. 一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 （ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ） A ．3 x y -= B ．x y sin = C ．x y = D ．x y )2 1 (= 4 ． 条 件 甲 ： “ 1>a ”是条件乙：“a a >”的 （ ） A ．既不充分也不必要条件 B ．充要条件 C ．充分不必要条件 D ．必要不充分条件 5. 不 等 式 21 ≥-x x 的解集为 ( ) A.)0,1[- B.),1[∞+- C.]1,(--∞ D.),0(]1,(∞+--∞ 6. 图 中 的 图 象 所 表 示 的 函 数 的 解 析 式 为 ( ) (A)|1|2 3 -= x y (0≤x ≤2) (B) |1|23 23--=x y (0≤x ≤2) (C) |1|2 3 --=x y (0≤x ≤2) (D) |1|1--=x y (0≤x ≤2) 7.如果()f x 为偶函数，且导数()f x 存在，则()0f '的值为 （ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．-1 8. 设,a b R ∈，集合{1,,}{0, ,}b a b a b a +=，则 b a -= （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 9. 已知3 2 ()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为 ( ) A ．12a -<< B ．36a -<< C ．1a <-或2a > D ．3a <-或6a > 10. 已知3 2 2 ()3(1)1f x kx k x k =+--+在区间(0,4)上是减函数,则k 的范围是（ ） A ．1 3 k < B ．103k <≤ C ．1 03 k ≤< D ．1 3 k ≤ 二 填空题（每小题5分） 11. 曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的方程为______________． 12. 函数552 3--+=x x x y 的单调递增区间是__________________． 13．若函数)1(+x f 的定义域为[0，1]，则函数)13(-x f 的定义域为____________． 14. 已知2 (2)443f x x x +=++（x ∈R ），则函数)(x f 的最小值为____________． 15. 给出下列四个命题： ①函数x y a =（0a >且1a ≠）与函数log x a y a =（0a >且1a ≠）的定义域相同； ②函数3 y x =与3x y =的值域相同；③函数11 221 x y =+-与2(12)2x x y x +=?都是奇函数；④ 函数2 (1)y x =-与1 2x y -=在区间[0,)+∞上都是增函数，其中正确命题的序号是 _____________。（把你认为正确的命题序号都填上） 三 解答题（本大题共6小题，共75分） 16 （本小题满分12分 ）设全集U=R, 集合A=｛x | x 2 - x -6<0｝, B=｛x || x |= y +2, y ∈A ｝, 求C U B ； (C U A)∩(C U B) 上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（每小题５分，共50分) １．设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数，且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ． 4．设扇形的周长为６,则其面积的最大值为 . 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?= . ６.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为 . ７ . 设 函 数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = ． 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =，则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分，共50分) １1.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 1２.设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像． １３．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案: 高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B = （A ）{1}（B ）{1 2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 （A ）(31) -，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8 （4）圆 22 28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43- （B ）3 4- （C ）3（D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 （6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π （7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π 12个单位长度，则评议后图象的对称轴为 （A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π 12 (k ∈Z) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，高中自主招生数学试题
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