注意事项
1．每名同学完成3个题目（每部分选择一个）；
2．只需要电子版，以自己的“学号+名字”命名；
3．第16周周五上午上交，发送至sxjm@https://www.doczj.com/doc/a04427821.html,；(逾期课程无成绩，后果自负)。
4．本课程内容讲解已经结束，第16周周五是课程考核时间(无需到教室).
（初等模型）
1．以下是一个数学游戏：
（1）甲先说一个不超过6的正整数，乙往上加一个不超过6的正整数，甲再往上加一个正整数，...，如此继续下去。规定谁先加到50谁就获胜，问甲、乙各应怎样做？
（2）如将6改为n，将50改为N，问题又当如何回答？
2．甲乙两人约定中午12：00至1：00之间在市中心某地见面，但两人讲好到达后只等待对方10分钟，求这两人能相遇的概率。
3．某人由A处到位于某河流同侧的B处去，途中需要去河边取些水，问此人应如何走才能使走的总路程最少？
4．敏感问题的调查
5．地面是球面的一部分，（直径约为12.72×10公里），显然，如果高层建筑的墙是完全垂直于地面的则它们之间必不会平行。设一建筑物高为400米，地面面积为2500平方米，问顶面面积比地面面积大多少？
6．建一模型说明当你在雨中行走又想少淋雨时，应当如下做：(1)若你行走的方向是顺风且雨的夹角至少为，你应以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相对于你是垂直下落的（2）在其他情况下，你都应以最快的速度行走。
7．消防队员救火时不应离失火的房屋太近，以免发生危险。请建模分析并求出消防队员既安全又能发挥效应的最佳位置。
8．已知在气体中音速V与气压P、气体的密度ρ有关，试求它们之间的关系。
9．风车的功率P与风速v、叶面的顶风面积S及空气的密度ρ有关，试求它们之间的关系。(微分方程模型）
1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？
2．从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4
（1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）
（2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？
3．一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？
4．容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。
5．一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？
6．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求
1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？
7．某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落伞打开后的空气阻力约为0.6
试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。
8．1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。
9．证明对数螺线r=A上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常数，
（）
10．实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为0.005。现有一包裹从离地150米高的飞机上落下，（1）求其落地时的速度（2）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹的速度会随高度而任意增大吗？
11．生态学家估计人的内禀增长率约为0.029，已知1961年世界人口数为30.6亿（3.06×
）而当时的人口增长率则为0.02。试根据Logistic模型计算：（1）世界人口数的上限
约为多少（2）何时将是世界人口增长最快的时候？
12．早期肿瘤的体积增长满足Malthus模型（=λV，其中λ为常数），（1）求肿瘤的
增倍时间σ。根据统计资料，一般有σ(7,465)（单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于70天而小于465天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故σ是确定肿瘤性质的重要参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式
D =
13．正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为10μm，重约0.001μg.，（1）当患者被查出患有癌症时，通常直径已有1cm以上（即已增大1000倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有30σ天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一（2）手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法。射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行的治疗方
案（医生认为当体内癌细胞数小于个时即可凭借体内免疫系统杀灭。
14．设药物吸收系数（k为药物的分解系数），对口服或肌注治疗求体内药物浓度
的峰值（峰浓度）级达峰时间。
15．医生给病人开药时需告诉病人服药的剂量和两次服药的间隔时间，服用的剂量过大会产生副作用甚至危险，服用的剂量过小又达不到治疗的目的，例如，为有效杀死病菌，体内药物浓度应达到A,试分析这一问题并设计出一种病人服药的方法。
16．在法国著名的Lascaux洞穴中保留着古代人类遗留下来的壁画。从洞穴中取出的木炭在1950年做过检测，测得碳14的衰减系数为每克每分钟0.97个，已知碳14的半衰期为5568年，试求这些壁画的年龄（精确到百年）。
17．2000年在美国伊利诺斯中部发现了一块古化石骨头，经测定其碳14仅为原有量的14%，试计算该动物大约生活在什么时候。
18．1956年我国在西北某地发现了一处新石器时代的古墓，从该墓中发掘到的文物的
每克每分钟衰减数为3.06个，试确定该古墓的年代。
19．实验测得一克镭在一年中会衰变掉0.44毫克，据此你能推算出镭的半衰期吗？20．根据化学知识，溶液中两种物质起反应生成新物质时，反应速度与当前两物质剩余量的乘积成正比。设初始时刻溶液中两种物质的数量分别为A和B，两物质反应的质量之比为a : b，求t时刻溶液中生成物的数量x(t)。
21．牛顿发现在温差不太大的情况下，物体冷却的速度与温差成正比。现设正常体温为36.5
，法医在测量某受害者尸体时测得体温约为32度，一小时后再次测量，测的体温约为30.5
度，试推测该受害者的受害时间。
22．已知铀238的半衰期为4.51? 10 年，已测出某颜料每克白铅中铀238的分解数为100个/每分钟，试计算：
（1）每克白铅中有多少铀238分子
（2）铀在这种白铅中所占的百分比有多大？
23．人们普遍认为新产品的畅销期为x(t)位于0.2K至0.8K之间，试求新产品畅销期的持续时间长度。
24．某人每天由饮食获取2500大卡的热量，其中新陈代谢约需1200大卡，每公斤体重约需运动消耗16大卡，其余热量则转化为脂肪，每公斤脂肪相当于10000大卡，求此人体重的增长公式及极限体重。
25．由于各级火箭的质量不同，应当是不同的。请对三级火箭求出最优设计。
26．在2003年上半年Sars（非典型性肺炎）流行期间，我国政府采取了严格的隔离政策，试建一模型研究这一问题。
27．医生发现，麻疹有以下明显特征：（1）潜伏期大约为1/2周，在潜伏期内的孩子从表面上看完全是正常的，但他（她）却会把疾病传染给别的孩子，一旦患病症状出现，孩子就会被隔离且病愈后具有免疫能力（2）麻疹发病有周期性现象，一般来讲会隔年较严重一些。考虑这两个特征并选用适当的参数建模，使结果大致有1/2周的潜伏期及大约两年的周期性。28．人工肾的功能大体如下：它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通。人工肾里流动着某种液体，流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物通过薄膜渗透到人工肾中流动的液体里，试建立模型来描写这一现象。
29．自治系统平衡点的稳定性也可利用等斜线来讨论。例如，对（3.23）曲线
和可以证明：任一轨线都必垂直地穿过f的等斜线而水平地穿过g的等斜线。
利用这一点画出P-P模型平衡点周围的轨线。
30．是某一捕食系统的数学模型，其中。研究此捕
食系统，证明：不管开始时食饵
多么丰富，捕食种群最终必将绝灭。
31．大鱼只吃小鱼、小鱼只吃虾米，试建模研究这一捕食系统。在求解你的模型时也许你会遇到困难，建议对模型中的参数取定几组值，用数值解方法处理，并研究结果关于参数取值的敏感性。
32．香烟的过滤嘴有多大作用？与使用的材料和长度关系如何？请自己建模分析这一问题，（清华大学姜启源教授的―数学模型‖书第二版上有这一模型，建模后读者可以将你建立的模型与那里给出的模型作一比较，看看你自己的模型建得如何）。
（逻辑模型）
1．设p为任一正整数且p不是某数的完全平方，证明p的平方根必为无理数
2．证明自然数中有无穷多个素数
3．证明每两个相邻的奇素数之和必可表示为3个大于1的整数的乘积，例如3+5=2×2×2，7+11=2×3×3等。
4．一条直线将平面划分成两部分,两条直线最多能将平面划分成4部分，……，n条直线最多可将平面划分成多少部分？请证明你的猜测。
5．证明在7阶两色完全图中必存在4个3阶单色完全图
6．9名学者参加一次国际会议，他们发现：（1）任意3人中至少有两人可以用同一语言交谈（2）每人会讲的语言至多为3种，（注意：并非他们只会将三种语言）证明他们中至少有3人可用同一语言交谈。
7．将一个正九边形连接成完全图，用两种颜色对此完全图的顶点着色。证明：不论怎样着色，总可以从此完全图中找到两个全等三角形，他们的顶点是由同一种颜料着色的。
8．举例证明：存在只含两个三阶单色完全图的6阶双色完全图。
9．证明：在7阶双色完全图中至少存在4个三阶单色完全图。
10．举例证明：存在只含4个三阶单色完全图的7阶双色完全图。
11．给九个定点的完全图用红蓝两种颜色对边着色，如果所含的任意三角形中至少含有一条红边，证明：必可找到四个顶点，他们之间的连线均为红边，（即其中必含有一个用红边连成的4阶完全图）。
12．在一次9个人的聚会中，发现其中任意三人至少有两人相识，证明从这9人中必可找出4人，他们是两两相识的。
13．某教室中共有9排椅子，每排均有7把，学生恰好坐满教室。现教师要求每一学生都必须与其前、后、左、右的同学之一交换座位。请你给出一种交换方法或证明老师的要求是无法实现的。
14．有一个8×8格的正方形迷宫，任意相邻的两格间都有门相通，考虑以下问题：（1）项从最左下的格子进入迷宫，不重复地进入每一格子一次，最后由最右上方的格子走出迷宫，问这一想法能否实现。（2）仍从最下格进入迷宫，想进入每一格子一次最后从某格走出迷宫，这一想法在什么情况下是可以实现的？
15．画出两个网络，根据这两个网络可以构造出两个不同的10阶完美长方形（不能相似）16．设f(n)是正整数n的函数，其值为非负整数且：（1）f( m + n )–f(m)–f(n) = 0或1 （2）f(2) = 0, f(3) > 0, f(9999) = 3333
求f(2002)
17．令f(x)=，你会发现f(1) = 13，f(2) = 17，f(3) = 23，f(4) = 31，……，所
有计算结果都是素数。据此猜测：对一切正整数n，f(n)均为素数。这一猜测对吗？请研究这一问题，并给出你的结果。
18．请按德.拉.鲁拜尔法则作出一个7阶的魔方
19．证明n阶魔方的行和、列和等均为，例如，你上题求得的7阶魔方的行
和等应为175。
20．研究为什么可以用德.拉.鲁拜尔法则来构造奇数阶的魔方是十分有趣的，你愿意试一下吗？（提示：方法之一是研究其中的对称性，你不妨可以用定义、定理、推论的方法来逐步证明。方法之二是将所有的数都减去1，然后利用n进制来表示所有的数，仔细观察一下，你就会找到原因了）
21．设计出一种调整方法，利用图11.10中的4个3阶魔方构造出一个6阶魔方。得出你的6阶魔方后，总结一下你获得成功的原因，或许你还能想出别的办法来。
22．计算例7中的城2、城3各应负担多少费用。
23．某公司场地如交给甲经营预计年获利为10万元，交给乙经营预计年获利为50万元，交给丙经营预计获利为60万元，如交给甲乙丙共同经营预计获利为100万元。试用Shapley 公式计算，在甲乙丙共同经营时各方应分配到的利益。
24．若只有两名候选人，证明简单多数规则满足Arrow的公理1-5
25．举例说明简单多数规则和Borda数规则不能满足Arrow的所有公理。
26．议会有100个席位，分别为4个党派所拥有，党派A、B、C、D各拥有的席位数为40、30、20和10席。设法律规定提案被通过至少需达到2/3多数赞成，试用Shapley的公式计算各党派在议会中的权重，（设同党派议员投票一致）。
27．设某议会的席位由三个党派所拥有，法律规定赞成票达到半数时提案即被通过。试证明：（1）只要有一个党派的席位达到总席位的一半，则其余两个党派在议会中事实上根本不起作用。（2）若三个党派所拥有的席位数均未达到一半，则三个党派在议会中所起的作用完全相同，（不论它拥有多少席位）。
28．设某实验可能出现n种结果，则每次实验提供的平均信息量为熵。证明：如将实验设计成出现每种结果的概率相等（均为1/n），则能使每次实验提供的平均信息量最大（离散实验的最大熵原理）。
29．猜数是最古老的数学游戏之一，有各种各样的玩法。下面的猜数游戏比较简单：甲先想好一个不超过三位（0—999之一）的数字让乙猜。在猜数时甲可以随便改变自己想好的数，但不能与此前已经回答过的问题相矛盾。乙可提问题，但甲只回答是或者不是。（1）试计算乙最少要提问几次，才能讲出甲的数字。（2）设计一个使乙能通过最少次数提问而讲出甲想的数字的提问方法。
30．在例16伪币鉴定的实验中，第二次测试是最关键的一步，请考虑一下我们为什么要这样设计测试。我们有这样的把握，如果用这种方法也无法保证在三次测试里一定鉴定出伪币，则不可能有方法保证在三次测试后一定找到伪币。你知道原因吗？
31．举例证明：对多种商品的情况，按—定义的物价指数均不可能同时满足公理
系统的要求。
32．举一实例说明Laspeyres公式不满足公理（7）。
33．关于物价指数的8条公理不是互相独立的，证明（1）（2）（3）可推出（4），（2）（3）（7）可推出（5）。