[学习要求]

1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．

2．会用导数求某定义域上函数的最值．

[学法指导]

弄清极值与最值的区别是学好本节的关键．

函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；

而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较.

1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值

函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在______处或________处取得．

2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：

(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的______；

(2)将函数y＝f(x)的各极值与________的函数值f(a)，f(b)比较，

其中最大的一个是______，最小的一个是______．

探究点一求函数的最值

问题1如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？

问题2观察问题1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？

[来源:Z*xx*http://www.doczj.com/doc/a393f6a1dd36a32d737581a9.html]

问题3函数的极值和最值有什么区别和联系？

问题4怎样求一个函数在闭区间上的最值？

例1求下列函数的最值：

(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]； (2)f(x)＝1

2x＋sin x，x∈[0,2π]．

跟踪训练1求下列函数的最值：

(1)f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，x∈[－3,1]； (2)f(x)＝e x(3－x2)，x∈[2,5]．

探究点二含参数的函数的最值问题

例2已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．

(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．

(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．

x k b 1 . c o m

w w w .x k b 1.c o m

跟踪训练2已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．x k b 1 . c o m

探究点三函数最值的应用

问题函数最值和“恒成立”问题有什么联系？

例3已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.

若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围．

跟踪训练3设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)

求c的取值范围．

[达标检测]

1．函数y＝f(x)在[a，b]上()

A．极大值一定比极小值大 B．极大值一定是最大值xkb1

C．最大值一定是极大值 D．最大值一定大于极小值

2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1) ()

A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值