华北水利水电学院
求一元函数的导数（或高阶导数）的方法
课程名称：高等数学（2）
专业班级：地理信息系统
成员组成：李松青201101014
张心愿201101011
联系方式：李松青131********
2012年5月24日摘要：在当今数学分析的诸多方面，导数是研究函数性质的强有力工具。大家对于导数
的求解问题还是比较笼统的，因此，本文系统的介绍了几种常见一元函数的导数及高阶导数的求解技巧和方法，即运用定义、基本初等函数导数表、求导法则等对初等函数、复合函数、分段函数等进行求导，并通过一些典型的例题加以阐释。
关键词：一元函数的导数高阶导数求导法则
Ask a yuan of the derivative of a function ( or a derivative of higher order ) method
Abstract: in the mathematical analysis of many aspects, derivative function is to examine the nature of the powerful tool. The derivative problem is quite general, therefore, this paper introduces several common unary function derivative and derivative of higher order solution techniques and methods, by definition, basic elementary function derivative table, rule of elementary function, composite function, partition function, derivative, and through some typical examples to illustrate.
Key words: unary function derivative derivative of higher order derivation rule.
1 引言：一元函数的类型是多种多样的，它们的求导也对应了许多不同的解法。基本初等函数及初等函数的导数，可以由定义，基本初等函数导数表或求导法则解出；由复合函数的求导法则，进而可推出幂指函数、反函数、隐函数、由参数式决定的函数等的求导方法。高阶导数及n阶导数也可由类似的方法求解，而泰勒公式则是较为新颖的解法技巧。通过对这些方法的总结，希望对同学们掌握这方面的知识有所帮助。
2 研究问题及成果
2.1 按定义求导
(1)利用定义求函数y=f(x)在x
处导数的步骤：
①求函数的增量Δy=f(x
0+Δx)-f(x
)
②求平均变化率
③取极限。
2.2 基本初等函数导数表
1．0)'(=c . 2.)0a (ax )'x (1
a a
≠=-.
3.x x e e =)'(.
4.)1,0)((ln )'(≠>=a a a a a x x .
5.)0(1)'(ln >=x x
x .
6.)0,1,0(ln 1)'(log
>≠>=
x a a a
x x a
.
7.x x cos )'(sin =. 8.x x sin )'(cos -=. 9.x x 2
cos
1)'(tan =
. 10.x
x 2
sin 1
)'(cot -
=.
2.3求导法则
1.导数的四则运算法则：
法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即
'')'(v u v u ±=±
法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数
乘以第二个函数的导数，即'')'(uv v u uv +=
法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即
'
2
''(0)u u v uv v v v -??=≠ ???
例1. 求2(23)(32)y x x =+-的导数．
解： )'23)(32()23()'32('22-++-+=x x x x y
3)32()23(42
?+++=x x x 98182
+-=x x
例2.求y =
332
++x x 在点x =3处的导数.
解：y ′=(
3
32++x x )′2
2
2
2)
3()3)(3()3()3(+'
++-+'+=
x x x x x
2
2
2
2
2
2
)3(36)
3()
3(23++--=
++-+=
x x x x x x x
∴y ′|x =3=
6
1
144
24)
33(33632
2
2-
=-=++?--
2．复合函数求导法
复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==?????
例：求sin y x =的导数．
解 函数sin y x =可以看作由函数sin y x =与u x
=
复合而成．因此
1cos (sin )()cos 2
2
x
y u x u
x x '''===.
对于复合函数的分解比较熟悉后,就不必再写出中间变量。
3.初等函数求导法
利用基本初等函数导数表，导数的四则运算法则及复合函数求导法可求任意函数的导数。应用复合函数求导的关键是，恰当的选取中间变量，将所给函数分解成基本初等函数的复合或四则运算。
4.由复合函数求导法导出的求导法则 （1）幂指函数求导法 例：求y=（tanx ）的导数。 方法一：指数求导法。 解：y ′=（e ）′
=e ·（sinx ·lntanx ）′ =（tanx ）［（sinx ）′+lntanx+sinx （lntanx ）′］ =（tanx ）［cosx ·lntanx+secx ］
方法二：对数求导法。 解：将等式两边同时取对数 lny=sinx ·lntanx
将等式两边同时对x 求导
y ′=（sinx ）′lntanx+sinx （lntanx ）′ 即y ′=ycosx ·lntanx+sinx ·cotx ·secx
=（tanx ）·［cosx ·lntanx+secx ］
方法三：“幂+指”求导法。
解：1.把y=（tanx ）看作幂函数求导
y ′=sinx ·（tanx ）·（tanx ）′=（tanx ）·secx 2.把y=（tanx ）看作指数函数求导
y ′=（tanx ）·lntanx ·（sinx ）′=（tanx ）·lntanx ·cosx ∴幂指函数的导数为： y ′=（tanx ）·secx+（tanx ）·lntanx ·cosx =（tanx ）·［cosx ·lntanx+secx ］
（2）反函数求导法
如果单调连续函数()x y ?=在点 y 处可导,而且()0y ?'=那么它的反函数
()y f x =在对应的点x 处可导,且有 ()()
1
f x y ?'=
'或
1dy dx dx
dy
=
。
例：求()0,1x y a a a =>≠的导数。
解 x y a =是log a x y =的反函数，且log a x y =在()0,+∞内单调、可导，又
10ln dx dy
y a
=
≠,所以 1ln ln x y y a a a dx dy
'=
==,即 ()ln x x
a a a '=.
特别地， 有()x x e e '=。
（3
）变限积分求导
（4）隐函数求导法
设方程(,)
F x y =所确定的隐函数为()
y
f x =，求导数 d d y x
．
解法：把方程(,)
F x y =所确定的隐函数()
y
f x =代入原方得[,
()]0
F x f x ≡,
把这个恒等式的两端对x 求导,所得的结果也必然相等,但应注意,左端[,()]
F x f x 是将()
y
f x =
代入(,)F x y 后所得的结果,所以,当方程(,)
F x y =的两端对x 求导
时,要记住y 是x 的函数,然后用复合函数求导法则去求导,这样,便可得到欲求的导数．
例： 求由方程 0x y xy e e -+=所确定的隐函数的导数
dy dx
．
解 把方程0x y xy e e -+=的两端对x 求导,记住y 是x 的函数,得
0x y
y xy e e y ''+-+=,由上式解出y ',便得隐函数的导数为
e
(e
0)
e
x
y
y
y
y x x -'=
+≠+.
（5）参数式求导法
设参数方程()
()
x t y t ?ψ=??
=?确定y 与x 之间的函数关系,则称此函数关系所表示的函
数为由参数方程所确定的函数．
对于参数方程所确定的函数的求导,通常也并不需要首先由参数方程消去参数t 化为y 与x 之间的直接函数关系后再求导．
如果函数()(),x t y t ?ψ==都可导,且()0t ?'≠,又()x t ?=具有单调连续的反函数()1t x ?-=,则参数方程确定的函数可以看成()y t ψ=与()1t x ?-=复合而成的函数.
根据复合函数与反函数的求导法则,有
d d d d 11
()()
.
d d d d d ()
()
d y y t y t t x
x
t x
t t t t
ψ???''====
''
例： 求摆线 (sin ),
(1cos )
x a t t y a t =-??
=-?(0≤t ≤2 π)
(1) 在任何点的切线斜率;(2) 在 2
t π=处的切线方程．
解 (1) 摆线在任意点的切线斜率为
d sin cot
d (cos )
y a t t x
a t ==-12
,
(2) 当π
2t
=
时,摆线上对应点为π1,2
a a ????- ? ??
?
??
,在此点的切线斜率为 ππ2
2
d cot
1d 2
t t y t x
====,
于是,切线方程为π12y a x a ??
-=-- ?
??
,即 π22y
x a ?
?=+- ?
?
?.
5.分段函数求导法
例 :求函数 的导数
分析：当 时因为 存在，所以应当用导数定义求 ，当
时，
的关系式是初等函数 ，可以按各种求导法同求它的导数．
解：当
时，
当
时，
说明：如果一个函数 在点
连续，则有
，但如果我们不
能断定
的导数
是否在点
连续，不能认为
2.4高阶导数及n 阶导数的求法
如果函数()
y
f x =
的导数()
y f x ''=
仍是x 的可导函数,就称()
y f x ''=
的导数为函数
()
y f x =
的二阶导数,记作 y '',f ''或 2
2d d y x
, 即 ()()
y y f x ''''''=
=或
2
2
d d d d d d y y x x x
??
=
???
. 类似地,二阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数,……,一般地,函数
()
f x 的1
n
-阶导数的导数叫做 n 阶导数.
分别记作(4)
()
(4)
()
,,...,;(),...,(),...,()n n y y
y
f x f
x f
x '''''', 或 3434d d d ,,...,d d d n
n
y y y x x x
.
且有()(1)[]n n y y -'=,或
()
d d d d d d n
n n
n y y x x
x --??
= ?
??
11,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数. 方法一：归纳法
例： 求s in y x
=与co s y
x
=的n 阶导数．
解 s in y
x
=,
πcos sin ,
2ππππcos sin sin 2,2222ππcos 2sin 3,
22y x x y x x x y x x ?
?'==+ ??
??????
?
''=+=++=+?
? ? ???????
???
?'''=+?=+? ? ????
? 依此类推,可得 ()πsin 2n y x n ?
?=+? ?
?
?,
即 ()
π(sin
)
sin 2n x x n ?
?=+? ?
?
?.
用类似的方法,可得 ()
π(cos )cos 2n x x n ?
?=+? ?
?
?.
方法二：莱布尼茨公式
()()
()
()
∑=-=
n
k k k n k
n
n v
u
C
uv 0
例：x
e
x y 22=，求()20y . 解：设x
e
u
2=，2
x
v
=，则()()202122，，， ==k e u x
k k ，
x
v 2='，2=''v ，()()20430
，，， ==k v k ，代入莱布尼茨公式，得
()
(
)(
)
202220x
e
x y
=
2
2
!
2192022
202
218
219
2
220
??+
??+?=x
x
x
e
x e x
e
()
95
202
2
220
++=x x
e
x
方法三:泰勒公式（幂级数）法
泰勒展开式(幂级数展开法)：
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...
3 结束语：研究一元函数的导数或高阶导数的求法问题，不仅可以对各类函数的解法有
系统的认识和概括，并且可以在已有知识的基础上，发掘出新的解法技巧；可以有效地培养学生的创新思维能力和数学技能，并使同学们养成善于全面分析问题的能力。
参考文献
[1]吴赣昌.微积分[M]大学数学立体化教材，2009.7
[2]王锡华.复合函数求导法[J]湖南教育学院学报，1999
[3]数学分析华东师范大学数学系高等教育出版社2001
分工情况
第一部分：2.1-2.2由李松青完成
第二部分：2.3-2.4由张心愿完成