专题七 数学思想方法 第18讲 分类讨论思想
1. 若A ＝{x|x 2－1＝0，x ∈R }，B ＝{x|mx ＝1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的值是________.
2.函数f(x)＝?
????
x 2＋2x －3，x ≤0，
－2＋lnx ，x>0的零点个数为________．
3.若log a 2
3<1，则实数a 的取值范围为________．
4.数列1，x ，x 2，…，x n －
1，…的前n 项和S n ＝________.
5.双曲线x 2m －y 2n ＝1的离心率为2，则m
n
的值为________．
6.函数f(x)＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m 的取值范围为________．
7.若函数f(x)＝log a (x 3－ax)(a>0，a ≠1)在区间????－1
2，0内单调递增，则a 的取值范围是________．
8.已知函数f(x)＝?
????
x 2＋1，x ≥0
1，x<0，则满足不等式f(1－x 2)>f(2x)的x 的范围是________．9.
已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和．当S m 、S n 、S l 成等差数
列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k 、a n ＋k 、a l ＋k 也成等差数列．
10.已知函数f(x)＝ax 3－3
2x 2＋1(x ∈R )，其中a>0.若在区间????－12，12上，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围．
第19讲 函数与方程思想
1. 已知函数f(x)＝log a [x 2－(2a)2]对任意x ∈????12，＋∞都有意义，则实数a 的取值范围是________．
2.方程sin2x ＝cosx 在区间(0,2π)内解的个数是________．
3.已知f(x)＝log 2(x －2)，若实数m ，n 满足f(m)＋f(2n)＝3，则m ＋n 的最小值是________.
4. 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则
OP →·FP →的最大值为________．
5.已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －2)2＋(y －4)2＝1，由圆外一点P(a ，b)作两圆的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，满足PA ＝PB ，则实数a ，b 满足的等量关系是________．
6.已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2－2x ＋|a ＋1|＋|a|＝0有实根，则a 的取值范围是________．
7.设曲线y ＝x n ＋
1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lgx n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________.
8.已知抛物线y 2＝2x ，点P(a,0)(a ∈R )，点Q(x ，y)为抛物线上任意一点，当且仅当点Q 为抛物线的顶点时|PQ|取最小值，则实数a 的取值范围是________．
9. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝12，S12>0，S13<0.
(1) 求公差d的取值范围；
(2) 指出S1、S2、S3、…、S12中哪一个最大，并说明理由．
10.已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝1
2ax
2＋bx(a≠0)．
(1) 若a＝－2时，函数h(x)＝f(x)－g(x)在其定义域内是增函数，求实数b的取值范围；
(2) 在(1)的结论下，设φ(x)＝e2x＋be x，x∈[0，ln2]，求函数φ(x)的最小值；
(3) 设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x 轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．
第20讲 数形结合思想
1. 有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数学，物理，化学小组的人数分别为28,25,15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，则同时参加数理化小组的人数有________人．
2.已知点P(x ，y)满足x 2＋y 2≤1，则点P(x ，y)落在区域|x|＋|y|≤1内的概率为________．
3. 若定义在R 上的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f ????13＝2，则不等式f(log 1
8x)>2的解集为________．
4.当α∈????
π4，π2时，则α，tanα，sinα，cosα的大小关系为________．
5.若复数z ＝x ＋yi ，(x ，y ∈R )满足|z －1－i|＝1，则y
x ＋1的取值范围是________．
6.已知数列{a n }是等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，S 5S 8，则下列四个结论中，正确的有________(填上所有正确结论的序号)．
①d<0；②a 7＝0；③S 9>S 5；④S 6与S 7均为S n 的最大值．
7.函数f(x)＝sinx ＋2|sinx|，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有2个不同的交点，则实数k 的取值范围是________．
8. 在中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠DAB ＝60°，点M 为AB 的中点，点P 在BC 与CD 上运动(包括端点)，则AP →·DM →的取值范围是________．
(第8题)
9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f(x)＝e x (x>0)的图象上的动点，该图象
在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，求t的最大值．
10.已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．
第21讲 转化与化归思想
1. 设a 、b ∈R ，a 2＋b 2＝1，则a ＋b 的最小值是________．
2. 设函数f(x)(x ∈R )为奇函数，f(1)＝1
2，f(x ＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝________.
3. 以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是________．
4. 函数f(x)＝cos2x －23sinxcosx 的最小正周期为________．
5. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，且S n T n ＝3n ＋2n ＋1，则a 6
b 6
＝
________.
6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B 在椭圆
x 2
25＋y 2
9＝1上，则sinA ＋sinC sinB
＝________.
7. 设a ，b ，c>0且a(a ＋b ＋c)＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值是________．
8. 已知函数f(x)＝2x 2＋(4－m)x ＋4－m ，g(x)＝mx.若对于任一实数x ，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是________．
9. 设a ≥0，f(x)＝x －1－ln 2x ＋2alnx(x>0)．
(1) 令F(x)＝xf ′(x)，讨论F(x)在(0，＋∞)内的单调性并求极值； (2) 求证：当x>1时，恒有x>ln 2x －2alnx ＋1.
10.设函数f(x)＝x －1
x
－alnx(a ∈R )．
(1) 讨论f(x)的单调性；
(2) 若f(x)有两个极值点x 1和x 2，记过点A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得k ＝2－a ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．
滚动练习(七)
1. 已知集合A ＝{3，m 2}，B ＝{－1,3,2m －1}．若，则实数m 的值为________.
2.双曲线x 2
－y 2
4
＝1的渐近线方程为________．
3.若复数z ＝1－mi(i 为虚数单位，m ∈R )，z 2＝－2i ，则复数z 的虚部为________．
4.若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 11＝22π
3，则tana 6的值为________．
5.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5上的概率为________．
6. 执行右边的程序框图，若P ＝15，则输出的n ＝________.
(第6题)
7.函数f(x)＝x －2lnx 的单调递增区间为________.
8.已知函数f(x)＝?????
log 2x (x>0)，3x (x ≤0)，
则f ????f ????14的值是________.
9.设向量a ＝(cosα，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)，其中0<α<β<π.若|2a ＋b|＝|a －2b|，则β－α＝________.
10.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1、F 2，且它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若PF 1＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的离心率的取值范围是________．
11.在锐角三角形ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且tanA －tanB ＝
3
3
(1＋tanA·tanB)．
(1) 若c2＝a2＋b2－ab，求A、B、C的大小；
(2) 已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，求|3m－2n|的取值范围．
12. 如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC, AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
(第12题)
(1) 求证：DM∥平面APC;
(2) 求证：平面ABC⊥平面APC；
(3) 若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D—BCM的体积．
13.某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售40天全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场的销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图1、图2、图3所示，其中图1中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图2中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)．
(1) 分别写出国内市场的日销售量f(t)、国外市场的日销售量g(t)与第一批产品A的上市时间的关系式；
(2) 每一批产品A上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少？
图1
图2
图3
(第13题)
14.平面直角坐标系xOy 中，已知⊙M 经过点F 1(0，－c)，F 2(0，c)，A(3c,0)三点，其中c ＞0.
(1) 求⊙M 的标准方程(用含c 的式子表示)；
(2) 已知椭圆y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a>b>0)(其中a 2－b 2＝
c 2)的左、右顶点分别为D 、B ，⊙M 与x
轴的两个交点分别为A 、C ，且A 点在B 点右侧，C 点在D 点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A 、B 、M 、O 、C 、D(O 为坐标原点)依次均匀分布在x 轴上，问直线MF 1与直线DF 2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
专题七 数学思想方法 第18讲 分类讨论思想
1. －1,0,1 解析：分m ＝0，m ≠0两种情况写出集合B.
2. 2 解析：分别讨论，令f(x)＝0，得x ＝－3和x ＝e 2.
3. 0＜a ＜2
3
或a ＞1 解析：分0＜a ＜1和a ＞1两种情况讨论．
4. S n ＝????
?
n ，x ＝1，1－x n 1－x ，x ≠1， 解析：分x ＝1和x ≠1两种情况讨论，利用等比数列求和公
式．
5. 3或1
3
解析：分焦点在x 轴和y 轴上两种情况．
6. (－∞，1] 解析：m ＝0符合题意；由于f(0)＝1，m ＜0也符合题意； m ＞0时，则?????
－m －32m ＞0，
(m －3)2－4m ≥0，
∴ 0＜m ≤1.综上m ≤1.
7. ????34，1 解析：当0＜a ＜1时，函数y ＝x 3－ax 在????－1
2，0上单调减， ∴ y ′(x)＝3x 2－a ≤0对x ∈????－12，0恒成立，从而3
4
≤a ＜1； 当a ＞1时，函数y ＝x 3－ax 在????－12，0上单调增；而y ′(x)＝3x 2－a ≥0对x ∈????－12，0不恒成立，故a 的取值范围是????
34，1.
8. (－1，2－1) 解析：分x ＜－1，－1≤x ＜0,0≤x ≤1，x ＞1四种情况．
9. 证明：若q ＝1，则{a n }的每项a n ＝a ，此时a m ＋k 、a n ＋k 、a l ＋k 显然成等差数列． 若q ≠1，由S m 、S n 、S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，即a (q m －1)q －1＋a (q l －1)q －1＝2a (q n －1)
q －1.
整理得q m ＋q l ＝2q n .
因此，a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1(q m ＋q l )＝2aq n ＋k －
1＝2a n ＋k .
所以，a m ＋k 、a n ＋k 、a l ＋k 也成等差数列．
10. 解：f ′(x)＝3ax 2－3x ＝3x(ax －1)．令f ′(x)＝0，解得x ＝0或x ＝1
a .
以下分两种情况讨论：
(1) 若0＜a ≤2，则1a ≥1
2
.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
当x ∈????－12，1
2时，f(x)＞0等价于???
f ???
?－1
2＞0，f ????12＞0，即???
5－a
8
＞0，5＋a 8＞0.
解不等式组得－5 (2) 若a>2，则0＜1a ＜1 2.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表： 当x ∈????－12，1 2时，f(x)＞0等价于??? f ??? ?－1 2＞0，f ????1a ＞0，即??? 5－a 8 ＞0，1－1 2a 2 ＞0. 解不等式组得 22＜a ＜5或a ＜－2 2 .因此2 第19讲 函数与方程思想 1. ????0，14 解析：x 2－(2a)2＞0对x ∈????12，＋∞恒成立，又由题知，a ＞0，a ≠1，????122－(2a)2＞0，∴ 0＜a ＜1 4 . 2. 4 解析：sin2x ＝cosx 即cosx ＝0或sinx ＝12，在x ∈(0,2π)内x ＝π2，3π2，π6，5π 6共4 个解． 3. 7 解析：由f(m)＋f(2n)＝3，得log 2(m －2)＋log 2(2n －2)＝3，解得m ＝2(n ＋1) n －1.m ＋n ＝n ＋2(n ＋1)n －1＝3＋(n －1)＋4n －1 ≥7，当且仅当n ＝3时取等号． 4. 6 解析：设P(x ，y)，F(－1,0)，OP →＝(x ，y)，FP →＝(x ＋1，y)，OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2；又x 24＋y 23＝1，∴ y 2＝3－34 x 2，x ∈[－2,2]，OP →·FP →＝????12x ＋12 ＋2∈[2,6]． 5. a ＋2b －5＝0 解析：PA ＝PB ，则PA 2＝PB 2，PA 2＝PO 2－1，PB 2＝PC 2－1； ∴ a 2＋b 2＝(a －2)2＋(b －4)2，整理得a ＋2b －5＝0. 6. [－1,0] 解析：方程x 2－2x ＋|a ＋1|＋|a|＝0可化为|a ＋1|＋|a|＝－x 2＋2x ，函数f(x)＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，∴ |a ＋1|＋|a|≤1，解得－1≤a ≤0.(本题也可用判别式来解决) 7. －2 解析：y ′＝(n ＋1)x n ，切线斜率为n ＋1，切线方程为y ＝(n ＋1)x －n ，x n ＝n n ＋1 ，a n ＝lg n n ＋1 ，a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg(x 1x 2x 3…x 99)＝lg 12×23×…×99100＝lg 1 100＝－2. 8. a ≤1 解析：PQ ＝(x －a )2＋y 2＝(x －a ＋1)2＋2a －1，则－a ＋1≥0，即a ≤1. 9. 解：(1) 由a 3＝12得：a 1＝12－2d.∵ S 12＝12a 1＋66d ＝144＋42d ＞0，S 13＝13a 1＋78d ＝156＋52d<0，∴ －24 7 (2) S n ＝na 1＋ n (n －1)2d ＝12 dn 2＋????12－5 2d n. ∵ d<0，S n 是关于n 的二次函数，对称轴方程为x ＝52－12 d . 又 －247 2 ，∴ 当n ＝6时，S n 最大即S 6最大． 另外，本题也可利用等差数列的性质来解决．S 12＞0，S 13＜0，即a 6＋a 72×12＞0，2a 14 2×13 ＜0，∴ a 6＞0，a 7<0，∴ S 6最大． 10. 解：(1) 依题意：h(x)＝lnx ＋x 2－bx.∵ h(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴ h ′(x)＝1 x ＋ 2x －b ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴ b ≤1x ＋2x.∵ x ＞0，∴ 1x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝ 2 2时取等号．∴ b 的取值范围是(－∞，22]． (2) 设t ＝e x ，则函数化为y ＝t 2 ＋bt ，t ∈[1,2]．∵ y ＝????t ＋b 22－b 2 4 ， ∴ 当－b 2≤1，即－2≤b ≤22时，函数y 在[1,2]上为增函数，当t ＝1时，y min ＝b ＋1； 当1＜－b 2＜2，即－4＜b ＜－2，t ＝－b 2时，y min ＝－b 2 4 ； 当－b 2 ≥2，即b ≤－4时，函数y 在[1,2]上是减函数，∴ t ＝2，y min ＝4＋2b. 综上所述：φ(x)min ＝????? b ＋1，－2≤b ≤22，－b 2 4，－4＜b ＜－2， 4＋2b ，b ≤－4. (3) 设点P 、Q 的坐标是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且0＜x 1＜x 2. 则点M 、N 的横坐标为x ＝x 1＋x 2 2 . C 1在点M 处的切线斜率为k 1＝1x x ＝x 1＋x 22＝2 x 1＋x 2 . C 2在点N 处的切线斜率为k 2＝ax ＋bx ＝x 1＋x 22＝a (x 1＋x 2) 2＋b. 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则k 1＝k 2， 即 2 x 1＋x 2 ＝a (x 1＋x 2)2＋b. 则2(x 2－x 1)x 1＋x 2 ＝a (x 22－x 2 1)2＋b(x 2－x 1)＝????a 2x 22＋bx 2－????a 2x 21＋bx 1 ＝y 2－y 1＝lnx 2－lnx 1＝ln x 2x 1，∴ ln x 2x 1＝2(x 2－x 1)x 1＋x 2 ＝2 ??? ?x 2x 1－11＋x 2x 1 . 设u ＝x 2 x 1＞1，则lnu ＝2(u －1)1＋u ，u ＞1 ， 令r(u)＝lnu －2(u －1)1＋u ，u ＞1，则r ′(u)＝1u －4(u ＋1)2＝(u －1)2u (u ＋1)2， ∵ u ＞1，∴ r ′(u)＞0，∴ r(u)在[1，＋∞)上单调递增，故r(u)＞r(1)＝0， 则lnu ＞2(u －1) u ＋1 ，与 矛盾！ 故不存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行． 第20讲 数形结合思想 1. 1 解析：利用韦恩图可以解决． 2. 2 π 解析：这是一道几何概率题，P ＝d 的测度D 的测度＝边长为2的正方形面积半径为1的圆的面积. 3. ???? ??x0＜x ＜12或x ＞2 解析：f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(log 1 8x)＞2 即f ????????log 18x ＞f ????13，亦即????log 18x ＞13，即log 18x ＞13或log 18x ＜－13，解得0＜x ＜12 或x ＞2. 4. cosα＜sinα＜α＜tanα 解析：画三角函数线，利用单位圆． 5. ????0，43 解析：点z(x ，y)在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上动点，y x ＋1看成是圆上的点与点(－1,0)连线的斜率． 6. ①②④ 7. (1,3) 解析：由f(x)＝sinx ＋2|sinx|，x ∈[0,2π]，得f(x)＝? ???? 3sinx ，x ∈[0，π]， －sinx ，x ∈(π，2π]，画 出函数的图象可得1＜k ＜3. 8. ????－1 2，1 解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，M(1,0)，B(2,0)，D ????12，32，C ??? ?52，3 2. 设P(x ，y)，12≤x ≤52，则AP →·DM →＝1 2x －32y. P 在DC 上时，y ＝ 32，则AP →·DM →＝12x －34 ∈???? －12，12； P 在BC 上时，BC 所在直线方程为y ＝3(x －2)，AP →·DM → ＝3－x ，x ∈????2，52，AP →·DM →＝3－x ∈???? 12，1. 综上AP →·DM → 的取值范围是??? ?－12，1. 9. 解：设P(x 0，ex 0)，则l ：y －ex 0＝ex 0(x －x 0)，∴ M(0，(1－x 0)ex 0)． 过点P 作l 的垂线方程为：y －ex 0＝－e －x 0(x －x 0)，∴ N(0，ex 0＋x 0e －x 0)． ∴ t ＝12[(1－x 0)ex 0＋ex 0＋x 0e －x 0]＝ex 0＋1 2 x 0(e －x 0－ex 0)， ∴ t ′＝1 2(ex 0＋e －x 0)(1－x 0)，∴ t 在(0,1)上单调增，在(1，＋∞)上单调减， ∴ 当x 0＝1时，t max ＝1 2??? ?e ＋1e . 10. 解：若a ＝0，f(x)＝2x －3，显然在[－1,1]上没有零点， 所以a ≠0. 令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a 2＋24a ＋4＝0，解得a ＝－3±7 2 . ① 当a ＝－3－7 2时，函数y ＝f(x)在[－1,1]上恰有一个零点； ② 当f(－1)·f(1)＝(a －1)(a －5)＜0，即1＜a ＜5时， y ＝ f(x)在[－1,1] 上也恰有一个零点，如图1； 图1 图2 图3 ③ 当y ＝f(x)在[－1,1]上有两个零点时， 如图2或图3，则 ????? a ＜0， Δ＝8a 2 ＋24a ＋4＞0，－1＜－12a ＜1，f (1)≤0，f (－1)≤0， 或????? a ＞0， Δ＝8a 2 ＋24a ＋4＞0， －1＜－1 2a ＜1， f (1)≥0，f (－1)≥0. 解得a ≥5或a ＜－3－7 2 . 综上所求：实数a 的取值范围是a ＞1或a ≤－3－7 2 . 第21讲 转化与化归思想 1. －2 解析：利用a 2＋b 22≥ ????a ＋b 22 可得到，也可以用圆的性质来处理． 2. 52 3. (x －2)2＋(y ＋1)2＝25 2 4. π 5. 3512 解析：a 6b 6＝S 11 T 11 . 6. 5 4 解析：点A 、C 是椭圆的两个焦点，sinA ＋sinC sinB ＝BA ＋BC AC ＝2a 2c ＝a c ＝54. 7. 2(3－1) 解析：由a(a ＋b ＋c)＋bc ＝4－23，得(a ＋b)(a ＋c)＝4－2 3. 2a ＋b ＋c ＝(a ＋b)＋(a ＋c)≥2(a ＋b )(a ＋c )＝2(3－1)2＝23－2. 8. (－∞，4) 解析：由f(x)＝2x 2＋(4－m)x ＋4－m ，得Δ＝m 2－16<0，故m ∈(－4,4)， f(x)＞0恒成立；若m ≥4，x ∈(0，＋∞)时，g(x)＞0恒成立，但f(0)≤0，故m ≥4不成立；若m ≤－4，x ∈(－∞，0)时，g(x)＞0恒成立，而x ≥0时，函数f(x)单调增，f(0)＞0恒成立．综上实数m 的取值范围是m ＜4. 9. (1) 解：根据求导法则有f ′(x)＝1－2lnx x ＋2a x ，x ＞0， 故F(x)＝xf ′(x)＝x －2lnx ＋2a ，x ＞0， 于是F ′(x)＝1－2x ＝x －2 x ，x ＞0， 故知F(x)在(0,2)内是减函数，在(2，＋∞)内是增函数， 所以，在x ＝2处取得极小值F(2)＝2－2ln2＋2a.无极大值． (2) 证明：由a ≥0知，F(x)的极小值F(2)＝2－2ln2＋2a ＞0. 于是由上表知，对一切x ∈(0，＋∞)，恒有F(x)＝xf ′(x)＞0. 从而当x ＞0时，恒有f ′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)内单调增加． 所以当x ＞1时，f(x)＞f(1)＝0，即x －1－ln 2x ＋2alnx ＞0， 故当x ＞1时，恒有x ＞ln 2x －2alnx ＋1. 10. 解：(1) f(x)的定义域为(0，＋∞)． f ′(x)＝1＋1x 2－a x ＝x 2 －ax ＋1 x 2 . 令g(x)＝x 2－ax ＋1，其判别式Δ＝a 2－4. ① 当|a|≤2时，Δ≤0，f ′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ② 当a ＜－2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上，f ′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ③ 当a ＞2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－4 2 . 当0＜x ＜x 1时，f ′(x)＞0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x)＜0；当x ＞x 2时，f ′(x)＞0，故f(x) 分别在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减． (2) 由(1)知，a ＞2. 因为f(x 1)－f(x 2)＝(x 1－x 2)＋ x 1－x 2 x 1x 2 －a(lnx 1－lnx 2)， 所以k ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝1＋1 x 1x 2－a·lnx 1－lnx 2x 1－x 2. 又由(1)知，x 1x 2＝1.于是k ＝2－a·lnx 1－lnx 2 x 1－x 2 若存在a ，使得k ＝2－a ，则lnx 1－lnx 2x 1－x 2 ＝1，即lnx 1－lnx 2＝x 1－x 2，亦即x 2－1 x 2－2lnx 2 ＝0(x 2＞1)．(*) 再由(1)知，函数h(t)＝t －1t －2lnt 在(0，＋∞)上单调递增，而x 2＞1，所以x 2－1 x 2 －2lnx 2 ＞1－1 1 －2ln1＝0.这与(*)式矛盾． 故不存在a ，使得k ＝2－a. 滚动练习(七) 1. 1 解析：m 2＝2m －＝1. 2. y ＝±2x 3. －1 解析：由z 2＝－2i ，得(1－m 2 )－2mi ＝－2i ，∴ ????? 1－m 2 ＝0，－2m ＝－2 ＝1. 4. －3 解析：S 11＝22π3＝a 1＋a 112×11＝11a 6，a 6＝2π 3，tana 6＝－ 3. 5. 19 解析：这是一道典型的古典概率题，P ＝436＝1 9. 6. 5 7. (2，＋∞) 解析：函数f(x)＝x －2lnx 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1－2 x ＞0，x ＞2， 故函数单调递增区间为(2，＋∞)． 8. 19 解析：f ????14＝log 214 ＝－2，f ????f ???14＝3－2＝19. 9. π 2 解析：|a|＝|b|＝1，∴ |2a ＋b|＝|a －2b|得(2a ＋b )2＝(a －2b )2， ∴ a·b ＝0，即cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，亦即cos(β－α)＝0.又0＜β－α＜π， ∴ β－α＝π2 . 10. ????13，25 解析：PF 2＝2c ，c 5－c ∈(1,2)，52＜c ＜103，椭圆的离心率e ＝c 5＋c ＝1－55＋c ∈???? 13，25. 11. 解：由已知，得tanA －tanB 1＋tanA·tanB ＝33，∴ tan(A －B)＝3 3. ∵ 0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，∴ －π2＜A －B ＜π2，∴ A －B ＝π 6. (1) 由已知，得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴ C ＝π 3 . 由????? A ＋ B ＋ C ＝π， A － B ＝π6， C ＝π3， 解得A ＝5π12，B ＝π4，∴ A ＝5π12，B ＝π4，C ＝π 3 . (2) (3m －2n )2＝9m 2＋4n 2－12m·n ＝13－12(sinAcosB ＋cosAsinB) ＝13－12sin(A ＋B)＝13－12sin ????2B ＋π6. ∵ △ABC 为锐角三角形，A －B ＝π 6， ∴ C ＝π－A －B<π2，A ＝π6＋B<π 2 . ∴ π6＜B ＜π3，π2＜2B ＋π6＜5π6. ∴ sin ? ???2B ＋π6∈????1 2，1. ∴ |3m －2n|2＝13－12sin ? ???2B ＋π 6∈(1,7)． ∴ |3m －2n|的取值范围是(1，7)． 12. (1) 证明：由已知得，MD 是△ABP 的中位线， ∴ MD ∥AP. ∵ 面APC ，面APC ， ∴ MD ∥面APC. (2) 证明：∵ △PMB 为正三角形，D 为PB 的中点， ∴ MD ⊥PB ，∴ AP ⊥PB. 又∵ AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，∴ AP ⊥面PBC ， ∵ 面PBC ，∴ AP ⊥BC. 又∵ BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，∴ BC ⊥面APC. ∵ 面ABC ，∴ 平面ABC ⊥平面APC. (3) 解：由题意可知，MD ⊥面PBC ， ∴ MD 是三棱锥D —BCM 的高．△PMB 为正三角形， ∴ BP ＝BM ＝10. 易知BC ⊥PC ，CP ＝102－42＝221， S △BCD ＝12S △BCP ＝221，h ＝MD ＝32BP ＝3 2×10＝5 3. ∴ V M —DBC ＝1 3 Sh ＝107. 13. 解：(1) f(t)＝? ???? 2t (0≤t ≤30)， －6t ＋240(30＜t ≤40)， g(t)＝－3 20 t 2＋6t(0≤t ≤40)． (2) 设每件产品A 的销售利润为q(t)， 则q(t)＝? ??? ? 3t (0≤t ≤20)，60(20＜t ≤40). 从而这家公司的日销售利润Q(t)的解析式为： Q(t)＝????? －9 20 t 3＋24t 2(0≤t ≤20)，－9t 2＋480t (20＜t ≤30)， －9t 2 ＋14 400(30＜t ≤40). ① 当0≤t ≤20时，Q ′(t)＝－27 20t 2＋48t ＝t (20×48－27t )20≥0， ∴ Q(t)在区间[0,20]上单调递增， 此时Q max (t)＝Q(20)＝6 000. 第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． 2.已知α∈? ????0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，那么sin α＝________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A ＋π4＝7210，A ∈? ?? ??π4，π，则sin A ＝________． 4.若函数f (x )＝2sin ? ????2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________． 5.已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)的部分图象如图所示，那 么φ＝________． (第5题) 6.已知sin ? ????α＋π3＝1213，那么cos ? ?? ??π6－α＝________． 7.在距离塔底分别为80m ，160m ，240m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3. (1) 求cos ? ????α＋π6的值； (2) 求cos ? ????2α＋π12的值． B 组 能力提升 1.计算：3cos10°－1 sin170°＝________． 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ? ????π3－x ＝f ? ????π3＋x ，若函数g (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ? ?? ??π3的值是________． 3.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为? ????π2，0，且f ? ?? ? ?π4＝1 2 ，那么ω的最小值为________． 4.已知函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π5(ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论： ①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在? ????0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是???? ??125，2910. 其中正确的结论是________．(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2) 求函数y ＝??????f ? ????x ＋π122＋??????f ? ????x ＋π42 的值域． 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π 6)(M >0，ω>0)的大致图象如图所示， 其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π. (1) 求M ，ω的值； 计数原理与二项式定理 A组——大题保分练 1．设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足：A不是B的子集,且B也不是A的子集． (1)若M＝{a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数； (2)若M＝{a1,a2,a3,…,a n},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数． 解：(1)110. (2)集合M有2n个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n(2n－1)个． 当A?B,并设B中含有k(1≤k≤n,k∈N*)个元素, 则满足A?B的有序集合对(A,B)有n∑ k＝1C k n(2k－1)＝ n ∑ k＝0 C k n2k－ n ∑ k＝0 C k n＝3n－2n个． 同理,满足B?A的有序集合对(A,B)有3n－2n个． 故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n－1)－2(3n－2n)＝4n＋2n－2×3n. 2．记1,2,…,n满足下列性质T的排列a1,a2,…,a n的个数为f(n)(n≥2,n∈ N*)．性质T：排列a1,a2,…,a n中有且只有一个a i ＞a i＋1 (i∈{1,2,…,n－1})． (1)求f(3)； (2)求f(n)． 解：(1)当n＝3时,1,2,3的所有排列有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2), (3,2,1),其中满足仅存在一个i∈{1,2,3},使得a i＞a i＋1的排列有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1), (3,1,2),所以f(3)＝4. (2)在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,a n)中, 若a i＝n(1≤i≤n－1),从n－1个数1,2,3,…,n－1中选i－1个数按从小到大的顺序排列为a1,a2,…,a i－1,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个数为C i－1 n－1. 若a n＝n,则满足题意的排列个数为f(n－1)． 综上,f(n)＝f(n－1)＋n－1 ∑ i＝1 C i－1 n－1＝f(n－1)＋2n－1－1. 第 1 页 共 28 页 2021年江苏省高考数学二轮解答题专项复习：数列 1．在数列{a n }中a 1＝1，且3a n +1＝a n +13n （n ∈N +）． （1）求证：数列{3n ?a n }为等差数列； （2）求数列{a n }的前n 项和S n ． 【解答】解：（1）证明：由a 1＝1，3a n +1＝a n + 13n ，可得3n +1a n +1＝3n a n +1， 即3n +1a n +1﹣3n a n ＝1， 可得数列{3n ?a n }是以3为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）可得3n ?a n ＝3+n ﹣1＝n +2， 则a n ＝（n +2）?（13）n ， 可得前n 项和S n ＝3?13+4?（13）2+5?（13）3+…+（n +2）?（13 ）n ， 13S n ＝3?（13）2+4?（13）3+5?（13）4+…+（n +2）?（13 ）n +1， 两式相减可得23S n ＝1+（13）2+（13）3+…+（13）n ﹣（n +2）? （13）n +1 ＝1+19(1?13n?1)1?13 ?（n +2）?（13）n +1， 化简可得S n =74?2n+74?（13 ）n ． 2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n ＝（n +1）a n （n ∈N ）且a 1＝2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝（a n ﹣1）2a n ．求数列{b n }的前n 项和T n ． 【解答】解：（1）由题意，2S n ＝（n +1）a n ，n ∈N *． 则2S n +1＝（n +2）a n +1，n ∈N *． 两式相减，得2a n +1＝（n +2）a n +1﹣（n +1）a n ， 整理，得 na n +1＝（n +1）a n ． 即a n+1n+1= a n n ，n ∈N *． ∴数列{a n n }为常数列． ∴a n n =a 11=2， ∴数列{a n }的通项公式为：a n ＝2n ． 2014年江苏高考数学试题 数学Ⅰ试题 参考公式: 圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． . 1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =I ． 【答案】{13}-， 2．已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ． 【答案】21 3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】5 4．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是 ． 【答案】13 5．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ??=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3 π 的交点，则?的值是 ． 【答案】 6 π 6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】24 7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+， 则6a 的值是 ． 【答案】4 8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且 1294S S =，则12V V 的值是 ． 【答案】32 9．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ． 255 10．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】20?? ??? 11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x =+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在 点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ． 【答案】3- 12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，， 32CP PD AP BP =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则AB AD ?u u u r u u u r 的 值是 ． 【答案】22 13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21 ()22 f x x x =-+．若函 数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】() 102 ， 14．若ABC ?的内角满足sin 22sin A B C =，则cos C 的最小值是 ． 62-二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．． 作答, 解答时应写出文字 综合仿真练(一) 1．已知集合A ＝{0,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，则A ∩B ＝________. 解析：因为集合A ＝{0,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，所以A ∩B ＝{0,3}． 答案：{0,3} 2．已知x ＞0，若(x －i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝________. 解析：因为x ＞0，(x －i)2＝x 2－1－2x i 是纯虚数(其中i 为虚数单位)， 所以x 2－1＝0且－2x ≠0，解得x ＝1. 答案：1 3．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________． 解析：由题意知????? x >0，1－2log 6x ≥0，解得0 高三数学应用题专题 1. 经销商用一辆J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km 的水果批发市场．据测算，J 型卡车满载行驶时，每100 km 所消耗的燃油量u(L)与速度v(km/h)的关系近似地满 足u ＝? ??100v ＋23，0 微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法” 例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λDC →，则 AE →·A F → 的最小值为 ________． (例1) 变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π 3，点M 是边AB 的中点， 点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN → ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________． 变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________． 处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： 切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的． 1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F → ＝________． 2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F →＝________． 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE → ＝33 32 ，则AB 的长为________． (第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________． 5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC → ⊥AB → ，则实数m n ＝________． 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13 AC →，则|BQ → |的最小值是________． 7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12 PC → ，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC → ，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________． (第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE → ＝λBA →＋μBD → (λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________． 9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1， 动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD → (m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n 的最小值为________． 10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC → 且AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝3. (1) 求AB →·AC →的值； (2) 求λ＋μ的值． 常考问题9 等差数列、等比数列 (建议用时：50分钟) 1．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12 ＋a 13＝________. 解析 a 1＋a 2＋a 3＝15?3a 2＝15?a 2＝5，a 1a 2a 3＝80?(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝80，将a 2＝5代入，得d ＝3(舍去d ＝－3)，从而a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋30)＝105. 答案 105 2．(2013·泰州期中)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 3＋a 7＝3，a 2a 8＝2，则a 13 a 11 ＝________. 解析 根据等比数列的性质建立方程组求解．因为数列{a n }是递增等比数列，所以a 2a 8＝a 3a 7＝2，又a 3＋a 7＝3，且a 3＜a 7，解得a 3＝1，a 7＝2，所以q 4＝2，故a 13 a 11 ＝q 2＝ 2. 答案 2 3．(2013·南京二模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6 ＝13，则S 6 S 7 ＝________. 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13?a 1＝2d ，所以S 6 S 7＝ 6a 1＋15d 7a 1＋21d ＝27 35. 答案 27 35 4．数列{a n }为正项等比数列，若a 2＝1，且a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N *，n ≥2)，则此数列的前4项和S 4＝________. 解析 设{a n }的公比为q (q ＞0)，当n ＝2时，a 2＋a 3＝6a 1，从而1＋q ＝6 q ，∴q ＝2或q ＝－3(舍去)，a 1＝12，代入可有S 4＝12×(1－24)1－2 ＝15 2. 三角函数 【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式; 理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2 x+cos 2 x=1, sin tan cos x x x =. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2π,2 π )内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解 ,,A ω?对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测】 从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ω?=+的性质、 三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等. 预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现. 【要点梳理】 1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式. 2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二; 江苏高考数学专题复习专题一函数与导数1 第1课时函数的图象与性质1 第2课时导数及其应用5 第3课时函数与方程8 第4课时函数与导数的综合应用10 专题二三角函数与平面向量14 第1课时三角函数的图象与性质14 第2课时平面向量、解三角形17 第3课时三角函数与向量的综合问题21 专题三不等式25 第1课时基本不等式及其应用25 第2课时不等式的解法与三个“二次”的关系29 专题四数列31 第1课时等差、等比数列31 第2课时数列的求和34 第3课时数列的综合应用38 专题五立体几何42 第1课时平行与垂直42 第2课时面积与体积47 专题六平面解析几何52 第1课时直线与圆52 第2课时圆锥曲线56 第3课时圆锥曲线的定点、定值问题60 第4课时圆锥曲线的范围问题64 专题七应用题67 专题八理科选修72 第1课时空间向量72 第2课时离散型随机变量的概率分布76 第3课时二项式定理80 第4课时数学归纳法84 专题九思想方法88 第1课时函数与方程思想88 第2课时数形结合思想92 第3课时分类讨论思想95 第4课时等价转化思想98 专题一 函数与导数 考情分析 函数与导数问题在高考中通常有两个小题和一个大题，主要考点有：一是函数的性质及其应用；二是分段函数的求值问题；三是函数图象的应用；四是方程根与函数零点转化问题；五是导数的几何意义及应用.函数与导数问题属中等难度以上，对考生的理解能力、计算能力、数学思想等方面要求较高. 第1课时 函数的图象与性质 考点展示 1.(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2 的定义域是________. 2.(2016·江苏)设f ()x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)－1，1上，f ()x ＝?????x ＋a ，－1≤x <0? ????? 25－x ，0≤x <1，其中a ∈R ，若f ? ????－52＝f ? ????92，则f ()5a 的值是________. 3.(17苏北三市三调)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和 C 分别在函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y 3＝log a x (a >1)的图象上，则实数a 的值为________. 第3题图 4.(17无锡一调)已知f ()x ＝? ??2x －3，x >0 g ()x ，x <0是奇函数，则f ()g ()－2＝________. 5.(17无锡一调)若函数f ()x 在[]m ，n ()m 2014江苏高考数学试题及参考答案 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。 1．已知集合{2,1,3,4}A =--，{1,2,3}B =-，则A B =______． 【解析】{1,3}- 2．已知复数2(52i)z =-(i 是虚数单位)，则z 的实部为______． 【解析】21 2 254i 20i 2120i z =+-=- 3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是______． 【解析】5 4．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是______． 【解析】1 3 当且仅当两数为1,6或2,3时乘积为6，有2种情况， 从这4个数中任取两个数有24C 6=种，故概率为 1 3 5．已知函数cos y x =与sin(2)y x ?=+(0π)?≤<，它们的图象有一个横坐标为π 3 的交点，则? 的值是________． 【解析】π 6 由题意，ππ1sin(2)cos 332?? +==，∵0π?≤<，∴2π2π5π 333?≤+< 当且仅当2π5π36?+= ，π 6 ?=时等式成立 6．某种树木的底部周长的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有______株树木的 底部周长小于100cm ． (第6题) /cm (第3题) 【解析】24 ∵60(0.150.25)24?+= 7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值为_____． 【解析】4 设公比为q (0)q >，则由8642a a a =+得26 6622a a q a q =+，解得22q =，故4624a a q == 8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12,S S ，体积分别为12,V V ，若它们的侧面积相等，且 1294 S S =， 则 1 2 V V 的值是________． 【解析】 32 设两圆柱底面半径为12,r r ，两圆柱的高为12,h h 则1232r r =，∵两圆柱侧面积相等，∴11222π12πr h r h =，1223h h =，则11122232 V S h V S h == 9．在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为_______． ∵圆心(2,1)-到直线230x y +-= 的距离d = = ∴直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++= 截得的弦长为 10．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范 围是_______． 【解析】?? ? ??? 若0m ≥，对称轴02m x =-≤，2(1)230f m m m +=+<，解得3 02 m -<<，舍去； 当0m <时，2 m m <- ，()f x 在[,1]x m m ∈+上的最大值只可能在x m =和1x m =+处取到 因此2 2 ()210 (1)230 f m m f m m m ?=- 第2讲函数的应用 考情解读(1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式出现．(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题． 1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点． (2)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点： ①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点． (4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函数模型 解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答. 热点一函数的零点 例1(1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________． (2)(2014·辽宁改编)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝??? cos πx ，x ∈[0，1 2 ]， 2x －1，x ∈(1 2 ，＋∞)，则不等式 f (x －1)≤1 2 的解集为________． 思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 答案 (1)1 (2)[14，23]∪[43，7 4 ] 解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点． 因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0， 所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增， 且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0， 所以有1个零点． (2)先画出y 轴右边的图象，如图所示． ∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称，∴可画出y 轴左边的图象，再画直线y ＝1 2.设与曲线交 于点A ，B ，C ，D ，先分别求出A ，B 两点的横坐标． 令cos πx ＝12，∵x ∈[0，1 2]， ∴πx ＝π3，∴x ＝1 3 . 令2x －1＝12，∴x ＝34，∴x A ＝13，x B ＝34 . 根据对称性可知直线y ＝12与曲线另外两个交点的横坐标为x C ＝－34，x D ＝－1 3. ∵f (x －1)≤12，则在直线y ＝1 2上及其下方的图象满足， ∴13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－1 3， ∴43≤x ≤74或14≤x ≤23 . 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同 江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题10 数__列(Ⅱ) 回顾2008～2012年的高考题，数列是每一年必考的内容之一.其中在填空题中，会出现等差、等比数列的基本量的求解问题.在解答题中主要考查等差、等比数列的性质论证问题，只有2009年难度为中档题，其余四年皆为难题. 预测在2013年的高考题中，数列的考查变化不大： 1填空题依然是考查等差、等比数列的基本性质. 2在解答题中，依然是考查等差、等比数列的综合问题，可能会涉及恒等关系论证和不等关系的论证. 1．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________. 解析：S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，a 1＋a 100＝9 10 ， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25 . a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝50 2 (a 1＋a 99)＝502×25 ＝10. 答案：10 2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________. 解析：由已知得a 4＝a 2＋a 2＝－12，a 8＝a 4＋a 4＝－24，a 10＝a 8＋a 2＝－30. 答案：－30 3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝ S 1＋S 2＋…＋S n n ，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理 想数”，已知数列a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2 004，那么数列12，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为________． 解析：根据理想数的意义有， 2 004＝500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 500， ∴501×12＋500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 501 ＝ 501×12＋2 004×500 501 ＝2 012. 答案：2 012 4．函数y ＝x 2 (x >0)的图象在点(a k ，a 2 k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数， a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________. 解析：函数y ＝x 2 (x >0)在点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)．令y ＝0得a 2 ＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)，令y ＝0得a 3＝4；依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21. 答案：21 5．将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 高考数学二轮专题复习 数学思想方法 【考纲解读】 1.熟练掌握函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想. 2.能够对所学知识进行分类或归纳,能应用数学思想方法分析和解决问题,系统地把握知识间的内在联系. 【考点预测】 1.函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点，也是高考的一个热点。对函数试题的设计仍然会围绕几个基本初等函数和函数的性质、图象、应用考查函数知识；与方程、不等式、解析几何等内容相结合，考查函数知识的综合应用；在函数知识考查的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的考查。 2.预测在今年的高考中,数形结合与分类讨论思想仍是考查的一个热点，数形结合的考查方式常以数学式、数学概念的几何意义、函数图象、解析几何等为载体综合考查,分类讨论思想的考查重点为含有参数的函数性质问题、与等比数列的前n 项和有关的计算推证问题、直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等。 3.预测在今年的高考中,运用化归与转化思想解题的途径主要有：借助函数、方程（组）、辅助命题、等价变换、特殊的式与数的结构、几何特征进行转化,其方法有:正反转化、数形转化、语义转化、等与不等、抽象问题与具体问题化归，一般问题与特殊问题化归，正向思维与逆向思维化归。 【要点梳理】 1.函数与方程思想：我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n 项和的公式，都可以看成n 的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 2.数形结合的思想:是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择与填空题时发挥着奇特功效.具体操作时,应注意以下几点:(1)准确画图,注意函数的定义域;(2)用图象法讨论方程的解的个数. 3．与分类讨论有关的知识点有：直线的斜率分为存在和不存在两种情形、等比数列中的公比1q =和1q ≠、由参数的变化引起的分类讨论、由图形的不确定性引起的分类讨论、指对函数的底数a 分为1a >和01a <<两种情形等。分类的原则是：不重复、不遗漏、分层次讨论。分类讨论的一般流程是：明确讨论的对象、选择分类的标准、逐类进行讨论、归纳整合。 4．转化与化归常用的方法有：直接转化法、换元法、数形结合法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法等。 【考点在线】 考点一 函数与方程思想 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f -1 (x)的单调性、 奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐 填空题专练(一) 1.(2018南京高三学情调研)若集合P={-1,0,1,2},Q={0,2,3},则P∩Q= . 2.(2018江苏南京高三期中)若复数z满足z(1-i)=2i,其中i是虚数单位,则复数z= . 3.(2017无锡普通高中高三期末)某高中共有学生2 800人,其中高一年级960人,高三年级900人,现采用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生的人数为. 4.(2017江苏泰州姜堰模拟)甲、乙两名同学下棋,若甲获胜的概率为0.3,甲、乙下成和棋的概率为0.4,则乙获胜的概率为. 5.(2018江苏南京高三上学期期中)下面是一个算法的伪代码.如果输出的y值是30,那么输入的x值是. ,8a6+2a4=a2,则{a n}的前6项和S6的值为________. 6.(2019江苏高三模拟)在等差数列{a n}中,若a5=1 2 7.(2018南京第一学期期末调研)已知角α的终边经过点P(12,5),则sin(π+α)+cos(-α) 的值 是. 8.(2018江苏泰州姜堰高三上学期期中)曲线y=2x-ln x在点(1,2)处的切线方程是. 9.(2018江苏溧水中学月考)已知直线l:y=ax+2和A(1,4),B(3,1)两点,当直线l 与线段AB 有公共点时,实数a 的取值范围为 . 10.(2017徐州王杰中学高三月考)在三棱锥S-ABC 中,平面SAB,平面SBC,平面SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形,且AB=BC=CA=2,则三棱锥S-ABC 的表面积是 . 11.(2018江苏南京调研)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2 a +y 2 b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点,直线AF 2与椭圆的另一个交点为C,若AF 2??????? =2F 2C ?????? ,则该椭圆的离心率为 . 12.(2018南京高三学情调研)已知函数f (x)={2x 2,x ≤0,-3|x -1|+3,x >0.若存在唯一的整数x,使得f (x )-a x >0成 立,则实数a 的取值范围为 . 13.在△ABC 中,D 是BC 的中点,AD=8,BC=20,则AB ????? ·AC ????? 的值为 . 14.(2019江苏高三下学期期初联考)已知实数x,y,z 满足x+y+z=0,xyz=-3,则|x|+|y|+|z|的最小值是 . 答案精解精析 1.答案 {0,2} 解析 本题考查交集.集合P ∩Q={0,2}. 2.答案 -1+i 江苏省高考数学综合专题1－集合及其应用部分 高考命题规律： 从考查内容上，高考命题仍以考查概念和计算为主，考查两个集合的交集与并集、补集。 形式上以填空题为主。 从能力要求上看，注重基础知识和基本技能的教材，要求具备数形结合的思想意识，会借助Venn 图、数轴等工具解决集合问题。 知识的综合联系上看，本考点会纵横关系数学各个方面的知识体系，如不等式的解集与不等关系，方程与曲线，函数的图象性质，三角函数等。 重难点： 集合的三个基本特征：确定性，互异性，无序性。 集合中三种语言的互化是解决集合问题的关键，即：文字语言、符号语言、图象语言的互化。 方法技巧： 一、数形结合：把题设条件有效转化成图形或图象类型，利用几何的直观性，以“形”助“数” ，形象、直观、方便快捷。特别是韦恩图法、数轴法、函数图象法。 二、补集思想：对正面求解困难的问题，则可考虑先求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略。具体地说，就是将研究的对象的全体视为全集，求了使问题反面成立的集合A ，则A 的补集即所求结论。 【2011年考题精选】 1。（2011江苏）已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则_______,=?B A . 2．（2011安徽科）设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则满足S A ?且?≠?B S 的集合S 为__________个. 3. （2011北京理科）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是____ 4. （2011广东理科）已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ?的元素个数为 ______ 5. （2011江西理科）若集合}02|{},3121|{≤-=≤+≤-=x x x B x x A ,则B A ?= _____ 6. （2011山东理科）设集合 M ={x|x 2+x-6<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =_______ 7. （2011湖北理科）已知{}21|log ,1,|,2U y y x x P y y x x ? ?==>==>??? ?,则U C P =____ 8. （2011上海理科）若全集U R =，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤，则U C A = 【2010年考题精选】2020版高考数学二轮复习专题汇编全集
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