2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一答案
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,
(1) (2) 又(0)(1)0F F ==，所以当[0,1]x ∈时，()0F x ≥，从而()()g x f x ≥. 故选(D).
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(3) 设()f x 是连续函数，则
110
(,)y
dy f x y dx -=??
( )
(A) 11
010(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy --+??
?
1
10
x
-?
20
=?π
(4) 1a (-
?π
π 2
2
34()
422223
a b b =+?-?+π 22
32(4)3
a b b =+-+ππ
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223
2
(2)43a b ??=+--+??ππ
当0,2a b ==时，积分最小.
(5) (6) =B 【解析】13
2312
301k l k l ++= ? ???
ααααααα.
)? 记()1323A k l =++αααα，()123B =ααα，A . 若123,,ααα线性无关，则
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()()()2r A r BC r C ===，故()0.3P A B -=线性无关.
()P B A -= 举反例. 令30=α，则12,αα线性无关，但此时123,,ααα却线性相关.
. (7) ()(P A P AB - 则 则P (8)
2(f x 【解析】 用特殊值法. 不妨设12
,(0,1)X X N ，相互独立.
2
2
2
1222
1())2y y y Y f y ---==，1
(0,1)Y N .
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2121()2Y X X =
+，212212111()(()())0,()(()())242
E Y E X E X D Y D X D X =+==+=. 12121
()()0,()1()2
E Y E Y D Y D Y ===>=.
故选(D).
二、填空题：9
14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. (9) 曲面2
2
(1sin )(1sin )z x y y x =-+-在点(1,0,1)处的切平面方程为__________. 【答案】21x y z --=
【解析】由于2
2
(1sin )(1sin )z x y y x =-+-，所以
2
2(1sin )cos x z x y x y '=--?，(1,0)2x z '=； 2
cos 2(1sin )y z x y y x '=-+-，(1
,0)1y z '=-. 所以，曲面在点(1,0,1)处的法向量为{2,1,1}n =--. 故切平面方程为2(1)(1)(0)(1)0x y z -+----=，即
21x y z --=.
(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________.
【答案】1
【解析】由于()f x '2(1)x =-，[0,2]x ∈，所以2
()(1)f x x C =-+，[0,2]x ∈.
又()f x 为奇函数，(0)0f =，代入表达式得1C =-，故
2()(1)1f x x =--，[0,2]x ∈.
()f x 是以4为周期的奇函数，故
2(7)(18)(1)(1)[(11)1]1f f f f =-+=-=-=---=.
(11) 微分方程(ln ln )0xy y x y '+-=满足条件3
(1)y e =的解为y =__________.
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【答案】21(0)x y xe x +=>
【解析】(ln ln )0xy y x y '+-=ln()y y y x x
'?=
. (12) 方向，则曲线积分
L
zdx ydz +=?
__________.
【解析】由斯托克斯公式，得
L
zdx ydz ∑
+=?
??
xy
D =
??其中(13) 设二次型()2
2
123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围
_________.
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【答案】[]2,2-
【解析】配方法：()()()2
2
222
123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+
由于二次型负惯性指数为1，所以2
40a -≥，故22a -≤≤.
(14)
(15)(【解析】221122(e 1)(e 1)lim lim 11ln(1)t t x x t t t t x x x x
→+∞→+∞----????????=+?
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12
lim [(e 1)]x
x x x →+∞
=--
12000e 1e 11lim lim lim 222
t t t x
t t t t t t t t +++=→→→---====. (16)(
(17)((0f 【解析】由()
cos ,
x
z f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x f e y e y f e y e y x y
''=?=?-??
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22(cos )cos cos (cos )cos x x x x x z
f e y e y e y f e y e y x
?'''=??+??，
2(cos )sin sin (cos )cos x x x x x
z f e y e y e y f e y e y ?'''=?-?-+?- 【解析】∑非闭，补1∑：平面1z =，被22
z x y =+所截有限部分下侧，由Gauss 公式，有
1
33+(1)(1)(1)x dydz y dzdx z dxdy ∑∑-
-+-+-??
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22
3(1)3(1)1x y dV Ω
??=-+-+????? 223()667x y dV xdV ydV dV Ω
Ω
Ω
Ω
=+--+????????????
1
376
∑+∑∴-
=?
+?
??
1
4∑+∑=??
π
1
1
(1)z dxdy ∑∑=-???? I ∑+∴=
-???(19)(1
n
n =n n →∞
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cos cos 2sin
sin 022
sin 0
2
n n n n n n n n n a b a b
a a
b a b
+-=-=->-∴<
又4n
-<证明：由(I )n a = 01110
10010213100131410013141→-→--- ? ? ? ?------????
, (I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T
=-ξ
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(II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1T
T
T
e e e ===
1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,T T
x k k k k k =+--=--+-+ξ 2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,T
T
x k k k k k =+--=--+-+ξ 3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,T
T
x k k k k k =+-=--++ξ
1
23123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----?? ?-+-++
?∴= ?-+-++ ? ???
（123,,k k k 为任意常数）
(21)(本题满分11分)
证明n 阶矩阵111111111?? ? ? ? ???与00100200n ??
? ?
? ???
相似. 【解析】已知()1111A ?? ? ?= ? ???，()12
00
1B n ?? ?
? ? ???
=，
则A 的特征值为n ，0(1n -重).
A 属于n =λ的特征向量为(1,1,
,1)T ；()1r A =，故0Ax =基础解系有1n -个线性无关
的解向量，即A 属于0=λ有1n -个线性无关的特征向量，故A 相似于对角阵
0=0n ??
? ?Λ ? ??
?
. B 的特征值为n ，0(1n -重)，同理B 属于0=λ有1n -个线性无关的特征向量，故B 相
似于对角阵Λ.
由相似关系的传递性，A 相似于B . (22)(本题满分11分)
设随机变量X 的概率分布为{}{}1
12,2
P X P X ====
在给定X i =的条件下，随机变量
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Y 服从均匀分布()0,,(1,2)U i i =.
（I ）求Y 的分布函数()Y F y ； （II ）求EY .
?
120131
()=()d 44
Y E Y f y y y dy y dy +∞-∞
=+?
??
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=
31113(41)42424
?+?-= (23)(本题满分11 分)
2
x -?
?θ零.X ）求()E X ，}
a -≥θε2
222
2()(;)x x
E X x f x dx x e
dx -
+∞
+∞
-∞
==?
?
θ
θθ
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2
2
2
220
[2]x x x x de
x e
e
xdx -
-
-
+∞
+∞+∞=-=--??
?θ
θ
θ
2
2x x
-
+∞
θ
2
444
2()(;)x x
E X x f x dx x e
dx -
+∞
+∞
-∞
==?
?
θ
θθ
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2
2
2
4430
[4]x x x x de
x e
e
x dx -
-
-
+∞
+∞+∞=-=--???θ
θ
θ
2
3x -
+∞
θ