加军按：答案有不少错误。
期望与方差
1.某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．
2.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为4
3
，某班3名同学商定明天分别
就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列．
3.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ 的分布列．
4.一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．
5.（2012年高考（安徽理））某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A 类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有n m +道
试题,其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题,以X 表示两次调题工作完成后,试题库中A 类试题的数量. (Ⅰ)求2X n =+的概率;
(Ⅱ)设m n =,求X 的分布列和均值(数学期望).
6.（2012年高考（天津理））现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率:
(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: (Ⅲ)用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=||X Y ξ-,求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.
本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=?==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2=?==ξP ；类似地，
0009.09.01.0)4(3=?==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以41.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为：
解：由题：??? ??43,3~B ξ，所以3,2,1,0,4143)(33=?
?
?
????? ??==-k C k P k
k k ξ，分布列为
说明：n 次独立重复实验
中，以事件发生的次数ξ为随机变量．
解：随机变量ξ 的取值为3，4，5．
当ξ ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他二球的编号只能是1，2，故有
;10
1
C C )3(3523===ξ P
当ξ ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他二球只能在编号为1，
2，3的3球中取2个，故有
;10
3
C C )4(3523===ξ P
当ξ ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他二球只能在编号为1，2，3，4的4球中取2个，故有
.5
3
106C C )5(3523====ξ P
因此，ξ 的分布列为
解：以ξ 表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则ξ 是一个随机变量，由题设ξ 可能取的数值是0，1，2，3．
当ξ ＝0时，即第一次就取到合格品，其概率为
;750.012
3
)0(==
=ξ P 当ξ ＝1时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为
;204.011
9
123)1(≈?=
=ξ P 当ξ ＝2时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为
;041.011
9
112123)2(≈??=
=ξ P 当ξ ＝3时，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为
.005.09
9
101112123)3(≈???=
=ξ P 所以ξ 的分布列为
说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量ξ的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列．
【解析】(I)2X n =+表示两次调题均为A 类型试题,概率为1
2n n m n m n +?
+++ (Ⅱ)m n =时,每次调用的是A 类型试题的概率为1
2
p =
随机变量X 可取,1,2n n n ++
21()(1)P X n p ==-=
,1(1)2(1)P X n p p =+=-=,21(2)4
P X n p =+==
(1)(2)1424
EX n n n n =?++?++?=+
答:(Ⅰ)2X n =+的概率为1
2
n n m n m n +?+++ (Ⅱ)求X 的均值为1n +
1. 【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相
互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为1
3
,去参加乙游戏的概率
为2
3
.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件(0,1,2,3,4)i A i =,则4412()()()33
i i i
i P A C -=.
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为222
24128()()()3327
P A C ==. (2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件B ,
则34B A A =?,由于3A 与4A 互斥,故
3344
34441211()()()()()()3339
P B P A P A C C =+=+=
所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1
9
.
(3)ξ的所有可能的取值为0,2,4,由于1A 与3A 互斥,0A 与4A 互斥,故
2130484017(0)(),(2)()(),(4)()()278181
P P A P P A P A P P A P A ξξξ===
==+===+= 所以ξ的分布列为
ξ
2 4
p
8
27
4081
1781
随机变量ξ的数学期望84017148
024********
E ξ=?+?+?=.
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案） （2015年-2018年共11套） 函数与导数小题（共23小题） 一、函数奇偶性与周期性 1.（2015年1卷13）若函数f （x ） =ln(x x +为偶函数，则a= 【解析】由题知ln(y x = 是奇函数，所以ln(ln(x x ++- =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.考点：函数的奇偶性 2.（2018年2卷11）已知是定义域为的奇函数，满足 ．若 ， 则 A. B. 0 C. 2 D. 50 解：因为是定义域为 的奇函数，且 ， 所以, 因此， 因为 ，所以， ，从而 ，选C. 3.（2016年2卷12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1 x y x += 与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，?，()m m x y ，，则()1 m i i i x y =+=∑（ ） （A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01， 对称，而11 1x y x x +==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +，∴()1 1 1 022 m m m i i i i i i i m x y x y m ===+=+=+? =∑∑∑，故选B ． 二、函数、方程与不等式 4.（2015年2卷5）设函数211log (2),1, ()2,1,x x x f x x -+-
三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ）
基本初等函数I 1.(2009年广东卷文)若函数()y f x =是函数1x y a a a =>≠（0，且）的反函数， 且(2)1f =，则()f x = ( ) A ．x 2log B ．x 21 C ．x 2 1log D ．22-x 答案 A 解析 函数1x y a a a =>≠（0，且）的反函数是()log a f x x =,又(2)1f =,即 log 21a =, 所以,2a =,故2()log f x x =,选A. 2.（2009北京文）为了得到函数3 lg 10 x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有 点 （ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案 C 解析 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的 考查. 3.（2009天津卷文）设3.02 13 1)2 1(,3log ,2log ===c b a ，则 ( )
A a
专题29 离散型随机变量的分布列、期望与方差（解析版） 易错点1：二项式展开式的通项公式、n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率与二项分布的分布列三者易记混； 通项公式：1r n r r r n T C a b -+= （它是第ｒ＋１项而不是第ｒ项）； 事件A 发生k 次的概率：()(1)k k n k n n P k C p p -=-； ()=,0,1,2,3,01,1k k n k n p k C p q k n p p q 且ξ-==<<+=； 易错点2：混淆二项分布和超几何分布的期望和方差； 题组一 1．(2018全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)(6)P X P X =<=，则p = A ．0．7 B ．0．6 C ．0．4 D ．0．3 【解析】由题意，X~B(10,p),所以DX=10×p×(1-p)=2.4,p=0.4或0.6，又(4)(6)P X P X =<=，即()()644466101011C p p C p p -<-，得1,0.62 p p >=所以 2.（2017新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则DX = ． 【解析】由题意，X~B(100,0.02),所以DX=100×0.02×(1-0.02)=1.96 题组二 3．（2019全国I 理21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析 （2015-2019年共14套） 三角函数（共20小题） 一、三角恒等变换（6题） 1.（2015年1卷2） =（） （A）（B）（C）（D） 2.（2018年3卷4）若，则 A. B. C. D. 3.（2016年3卷7）若 3 tan 4 α=，则2 cos2sin2 αα +=（） (A)64 25 (B) 48 25 (C) 1 (D) 16 25 4.（2016年2卷9）若 π3 cos 45 α ?? -= ? ?? ，则sin2α=（） （A）7 25 （B） 1 5 （C） 1 5 -（D） 7 25 - 5.（2018年2卷15）已知，，则__________． 6.（2019年2卷10）已知a∈（0，π 2 ），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（） A. 1 5 3 o o o o sin20cos10cos160sin10 - 2 - 2 1 2 - 1 2
二、三角函数性质（11题） 1.（2017年3卷6）设函数π ()cos()3 f x x =+，则下列结论错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π- B ．()y f x =的图像关于直线8π 3 x = 对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x = D ．()f x 在π (,π)2 单调递减 2.（2017年2卷14）函数()23 sin 3cos 4 f x x x =+-（0, 2x π?? ∈???? ）的最大值是 ． 3．（2015年1卷8）函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ） （A ）（B ） （C ） （D ） 4.（2018年3卷15）15. 函数 在 的零点个数为________． 5.（2019年2卷9）下列函数中，以 2π为周期且在区间(4π，2 π )单调递增的是 A. f (x )=│cos 2x │ B. f (x )=│sin 2x │ C. f (x )=cos│x │ D. f (x )= sin│x │ 6.（2018年2卷10）若 在 是减函数，则的最大值是（ ） A. B. C. D. ()f x cos()x ω?+()f x 13(,),44k k k Z ππ- +∈13 (2,2),44 k k k Z ππ-+∈13(,),44k k k Z - +∈13 (2,2),44 k k k Z -+∈
几种常见题型的解法 一、从分类问题角度求概率 例2（日本高考题）袋内有9个白球和3个红球，从袋中任意地顺次取出三个球（取出的球不再放回），求第三次取出的球是白球的概率。 二、从不等式大小比较的角度看概率 例3 “幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设“Yes ”与“No ”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标？ 三、从“至多”、“至少”的角度看概率. 例4、有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各取一件进行检验。（I ）求恰有一件不合格的概率；（II ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）。 四、从“或”、“且”的角度看概率 例5甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或被乙解出的概率为0.92。 （1）求该题被乙独立解出的概率； （2）求解出该题的人数 的数学期望和方差。 相关练习 1.（山东卷7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （A ） 51 1 （B ） 681（C ）3061 （D ）408 1 2.（福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为4 5,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 A. 16 625 B. 96625 C. 192 625 D. 256 625 3.（辽宁卷7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ． 13 B ． 12 C ． 23 D ． 34 4.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 2 1 与p ，且乙投球2
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题七 函数的性质（学生版） 一．选择题（共21小题） 1．（2017?北京）已知函数1 ()3()3 x x f x =-，则()(f x ) A ．是偶函数，且在R 上是增函数 B ．是奇函数，且在R 上是增函数 C ．是偶函数，且在R 上是减函数 D ．是奇函数，且在R 上是减函数 2．（2012?天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．cos2y x =，x R ∈ B ．2log ||y x =，x R ∈且0x ≠ C ．,2 x x e e y x R --=∈ D ．31y x =+，x R ∈ 3．（2017?天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若21 (log )5 a f =-，2(log 4.1) b f =， 0.8(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．c a b << 4．（2015?天津）已知定义在R 上的函数||()21(x m f x m -=-为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．c b a << 5．（2013?天津）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，)+∞上单调递增，若实数a 满足212 (log )(log )2f a f a f +…（1），则a 的取值范围是( ) A ．1[,2]2 B ．[1，2] C ．1 (0,)2 D ．(0，2] 6．（2009?山东）已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-且在区间[0，2]上是增函数，则( ) A ．(25)(80)(11)f f f -<< B ．(80)(11)(25)f f f <<- C ．(11)(80)(25)f f f <<- D ．(25)(11)(80)f f f -<< 7．（2009?陕西）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，2(x ∈-∞，120]()x x ≠，有2121()(()())0x x f x f x -->．则当*n N ∈时，有( ) A ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+ B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+
正态分布的数学期望与方差 正态分布： 密度函数为：分布函数为 的分布称为正态分布，记为N(a, σ2). 密度函数为： 或者 称为n元正态分布。其中B是n阶正定对称矩阵，a是任意实值行向量。 称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。 （1）验证是概率函数（正值且积分为1） （2）基本性质： （3）二元正态分布： 其中， 二元正态分布的边际分布仍是正态分布： 二元正态分布的条件分布仍是正态分布：
即（其均值是x的线性函数） 其中r可证明是二元正态分布的相关系数。 （4）矩，对标准正态随机变量，有 （5）正态分布的特征函数 多元正态分布 （1）验证其符合概率函数要求（应用B为正定矩阵，L为非奇异阵，然后进行向量线性变换） （2）n元正态分布结论 a) 其特征函数为： b) 的任一子向量,m≤n 也服从正态分布，分布为其中，为保留B 的第，…行及列所得的m阶矩阵。 表明：多元正态分布的边际分布还是正态分布 c) a,B分别是随机向量的数学期望及协方差矩阵，即 表明：n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定 d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关 e) 若，为的子向量，其中是，的协方差矩阵，则是，相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。则相互独立的充要条件为＝0 f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合服
从一元正态分布 表明：可以通过一元分布来研究多元正态分布 g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵，则服从m元正态分布 表明：正态变量在线性变换下还是正态变量，这个性质简称正态变量的线性变换不变性 推论：服从n元正态分布N(a,b)，则存在一个正交变化U，使得是一个具有独立正态分布分量的随机向量，他的数学期望为Ua，而他的方差分量是B的特征值。 条件分布 若服从n元正态分布N(a,b)，，则在给定下，的分布还是正态分布，其条件数学期望： (称为关于的回归) 其条件方差为： （与无关）
期望与方差 1.某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列． 2.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为 4 3 ，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列． 3.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ 的分布列． 4.一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．
5.（2012年高考（安徽理））某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A 类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有n m +道 试题,其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题,以X 表示两次调题工作完成后,试题库中A 类试题的数量. (Ⅰ)求2X n =+的概率; (Ⅱ)设m n =,求X 的分布列和均值(数学期望). 6.（2012年高考（天津理））现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率: (Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: (Ⅲ)用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=||X Y ξ-,求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.
高考题历年三角函数题型总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．
知识就是力量
本文为自本人珍藏
版权所有 仅供参考
12.2
离散型随机变量的期望值和方差
●知识梳理 1.期望：若离散型随机变量ξ ，当ξ =xi 的概率为 P（ξ =xi）=Pi（i=1，2，…，n，…） ， 则称 Eξ =∑xi pi 为ξ 的数学期望，反映了ξ 的平均值. 2.方差：称 Dξ =∑（xi－Eξ ）2pi 为随机变量ξ 的均方差，简称方差. D? 叫标准差， 反映了ξ 的离散程度. 3.性质： （1）E（aξ +b）=aEξ +b，D（aξ +b）=a2Dξ （a、b 为常数）. （2）若ξ ～B（n，p） ，则 Eξ =np，Dξ =npq（q=1－p）. ●点击双基 1.设投掷 1 颗骰子的点数为ξ ，则 A.Eξ =3.5，Dξ =3.52 C.Eξ =3.5，Dξ =3.5 解析：ξ 可以取 1，2，3，4，5，6. P（ξ =1）=P（ξ =2）=P（ξ =3）=P（ξ =4）=P（ξ =5）=P（ξ =6）= ∴Eξ =1× B.Eξ =3.5，Dξ = D.Eξ =3.5，Dξ =
35 12 35 16
1 ， 6
1 1 1 1 1 1 +2× +3× +4× +5× +6× =3.5， 6 6 6 6 6 6 2 2 2 Dξ =［ （1－3.5） +（2－3.5） +（3－3.5） +（4－3.5）2+（5－3.5）2+（6－3.5）2］ 1 17.5 35 = = . 6 6 12 答案：B 2.设导弹发射的事故率为 0.01，若发射 10 次，其出事故的次数为ξ ，则下列结论正确 的是 A.Eξ =0.1 B.Dξ =0.1
× C.P（ξ =k）=0.01k·0.9910
－k
k D.P（ξ =k）=C 10 ·0.99k·0.0110
－k
解析：ξ ～B（n，p） ，Eξ =10×0.01=0.1. 答案：A 3.已知ξ ～B（n，p） ，且 Eξ =7，Dξ =6，则 p 等于 A.
1 7
B.
1 6
C.
1 5 1 . 7
D.
1 4
解析：Eξ =np=7，Dξ =np（1－p）=6，所以 p=
答案：A 4.一牧场有 10 头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为 0.02.设发 病的牛的头数为ξ ，则 Dξ 等于 A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804
三角函数历年高考题汇编 一.选择题 1、（2009）函数22cos 14y x π? ? =- - ??? 是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2 π 的奇函数 D ．最小正周期为 2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2 π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为 2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得 图象的函数解析式是( ). A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π + +=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(1)cos f x x x =+的最小正周期为 A ．2π B ． 32 π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3 π中心对称，那么φ 的最小值为 A.6 π B. 4 π C. 3 π D. 2π
7.（2008海南、宁夏文科卷）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 32 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数πsin 23y x ??=- ?? ?在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 二.填空题 1.（2009宁夏海南卷文）已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则 712f π?? = ??? 。 2.（2009年上海卷）函数2 2cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ . 3.（2009辽宁卷文）已知函数()sin()(0)f x x ω?ω=+>的图象如图所示,则ω ＝
专题十一 概率与统计 第三十五讲离散型随机变量的分布列、期望与方差 2019年 1.（2019天津理16）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率. 2．（2019全国I 理21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =L 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =L ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=． (i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =L 为等比数列； (ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性． 3.（2019北京理17） 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月A ,B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机
温馨提示： 此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word 文档返回原板块。 考点7 指数函数、对数函数、幂函数 一、选择题 1. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ6）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ5）相同 函数)0)(11(log )(2>+=x x x f 的反函数()1=f x -（ ） A. ()1021x x >- B.()1021 x x ≠- C.()21x x R -∈ D.()210x x -> 【解题指南】首先令)11(log 2x y +=求出x ，然后将y x ,互换，利用反函数的定义域为原函数的值域求解. 【解析】选A.由)11(log 2x y +=，0>x ，得函数的值域为0>y ，又x y 112+=，解得121-=y x ，所以()1=f x -121-x )0(>x 2.(2013·北京高考理科·T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称,则f(x)= ( ) +1 +1 【解题指南】把上述变换过程逆过来,求出y=e x 关于y 轴对称的函数,再向左平移1个单位长度得到f(x). 【解析】选D.与y=e x 关于y 轴对称的函数应该是y=e -x ,于是f(x)可由y=e -x 向左平移1个单位长度得到,所以f(x)=e -(x+1)=e -x-1. 3.（2013·广东高考文科·Ｔ2）函数lg(1)()1x f x x += -的定义域是（ ）
A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞ 【解题指南】函数的定义域有两方面的要求：分母不为零，真数大于零，据此列不等式即可获解. 【解析】选C. 解不等式10,10x x +>-≠可得1,1x x >-≠是定义域满足的条件. 4.（2013·山东高考文科·Ｔ5）函数()123 x f x x =-+（ ） A.(-3，0] B.(-3，1] C.(,3)(3,0]-∞-- D.(,3)(3,1]-∞-- 【解题指南】定义域的求法:偶次根式为非负数，分母不为0. 【解析】选A. ???>+≥-03021x x ，解得03≤<-x . 5.（2013·陕西高考文科·Ｔ3）设a, b, c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 ( ) A ． ·log log log a c c b a b = B. b a b c c a log log log =? C. c b bc a a a log log )(log ?= D. ()log g og o l l a a a b b c c +=+ 【解题指南】a, b,c ≠1，掌握对数两个公式: a b b y x xy c c a a a a log log log ,log log log =+= 并灵活转换即可得解. 【解析】选B.对选项A: b a b a b b c c a c c a log log log log log log = ?=?,显然与第二个公式不符，所以为假。对选项B:
均值、方差和协方差的定义和基本性质 1 数学期望（均值）的定义和性质 定义：设离散型随机变量X 的分布律为 {}, 1,2,k k P X x p k === 若级数 1k k k x p ∞=∑ 绝对收敛，则称级数1k k k x p ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即 ()1k k k E X x p ∞==∑。 设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分 ()xf x dx ∞?∞? 绝对收敛，则称积分 ()xf x dx ∞?∞?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即 ()()E X xf x dx ∞ ?∞=? 数学期望简称期望，又称为均值。 性质：下面给出数学期望的几个重要的性质 （1）设C 是常数，则有()E C C =； （2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =； （3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推 广至任意有限个随机变量之和的情况； （4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。 2 方差的定义和性质 定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X ?????存在，则称(){}2E X E X ?????为X
的方差，记为()D X 或()Var X ，即 性质：下面给出方差的几个重要性质 （1）设C 是常数，则有()0D C =； （2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有 ()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=； （3）设X 和Y 是两个随机变量，则有 ()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++?? 特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。 3 协方差的定义和性质 定义：量()(){} E X E X Y E Y ??????????称为随机变量X 与Y 的协方差。记为(),Cov X Y ，即 ()()(){},Cov X Y E X E X Y E Y =?????????? 性质：下面给出协方差的几个重要性质 （1）()(),,Cov X Y Cov Y X = （2）()(),Cov X X D X = （3）()()()(),Cov X Y E XY E X E Y =? （4）()(),,,,Cov aX bY abCov X Y a b =是常数 （5）()()()1212,,,Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+ 参考文献 [1]概率论与数理统计（第四版），浙江大学
函数历年高考题 一、选择题 1、(2002年)下列函数中为偶函数的是①()2 f x x =+②(] 2 (),1,1 f x x x =∈- ③()0 f x=④()() ()11 f x x x =-+⑤2 ()2 f x x x =-⑥()cos f x x =（） A、②③④ B、③④⑤ C、②④⑥ D、③④⑥ 2、（2003年）已知一次函数y kx b =+的图像关于原点对称，则二次函数2 y ax bx c =++ 的图像（） A、关于x轴对称 B、关于y轴对称 C、关于直线y x =对称 D 、关于原点对称3、（2003年）老师给出一个函数() y f x =，三个学生甲、乙、丙各指出这个函数的一个性质，甲：这个函数是一个一元二次函数；乙：对于x∈R，都有()() 11 f x f x +=-；丙：函数在[] 1,0 -单调递增且有最大值4和最小值2 -；丁同学依次得出以下结论，其中正确的是（）A、解析式为()2 212 y x =-+B、对称轴是1 x=-C、最大值为6 D、值域为[) 6,+∞ 4、（2004年）下列函数在其定义域既是奇函数又是增函数的是（） A、 1 2 y x =B、2x y=C、3 y x =D、sin y x = 5、（2004年）函数2 y ax bx c =++和2 y ax =+在同一坐标系下的图像可能为（） A、B C、D、
6、（2005年）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A 、 2 x y x =与y=x B 、 y x =与 C 、22x y x =与y=log D 、0y x =与y=1 7、（2005年）奇函数()y f x =在[]1,2上是增函数且有最大值3，则()y f x =在[]2,1--上是（ ）A 、增函数且有最小值3- B 、增函数且有最大值3- C 、减函数且有最小值3- D 、减函数且有最大值3- 8、（2007年）已知[)() 21,0,f ()3,,0x x x x x ?++?=?--??∈∞∈∞，则()2f f -????等于（ ） A 、5 B 、26 C 、2 D 、2- 9、（2007 年）函数y = 的定义域为（ ） A 、()0,+∞ B 、(][),31,--+∞∪∞ C 、()3,1- D 、()(),31,--+∞∪∞ 10、（2008年）下列函数为同一函数的是（ ） A 、()f x x = ( )g x = B 、 ()f x x = ( )g x = C 、 ()sin f x x = ()()sin g x x =+π D 、()f x x = ()ln x g x =e 11、（2009年）如果()()2 0f x ax bx c a =++≠是偶函数，那么()3 2 g x ax bx cx =+- 是（ ）A 、偶函数 B 、 奇函数 C 、 非奇非偶函数 D 、即是奇函数又是偶函数 12、（2010 年）函数y = + ） A 、[)1,3 B 、[]1,3 C 、[)1,+∞ D 、(],3-∞ 13、（2010年）已知()()() 22log ,0,9,,0x x f x x x ∈+∞??=? +∈-∞?? ，则(f f ??=??（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 14、（2010年）已知()1 31 x f x m = ++是奇函数，则()1f -的值为（ ） A 、12- B 、54 C 、14- D 、14 15、（2011年）已知偶函数()f x 在[0,]π上是增函数，令a =()f π-，b =()2 f π - ， c =21 (log )4 f ，则a ，b ，c 之间的关系是（ ） A a >c >b B a >b >c C c >a >b D b >a >c 16、（2012年）偶函数)(x f y =在]5,3[上是增函数，且有最大值7，则在]3,5[--上
12.2
离散型随机变量的期望值和方差
一、知识梳理 1.期望：若离散型随机变量ξ ，当ξ =xi 的概率为 P（ξ =xi）=Pi（i=1，2，…，n，…） ， 则称 Eξ =∑xi pi 为ξ 的数学期望，反映了ξ 的平均值. 期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ 由ξ 的分布列唯一确定. 2.方差：称 Dξ =∑（xi－Eξ ）2pi 为随机变量ξ 的均方差，简称方差.
D?
叫标准差，反
映了ξ 的离散程度. 3.性质： （1）E（aξ +b）=aEξ +b，D（aξ +b）=a2Dξ （a、b 为常数）. （2）二项分布的期望与方差：若ξ ～B（n，p） ，则 Eξ =np，Dξ =npq（q=1－p）. Dξ 表示ξ 对 Eξ 的平均偏离程度，Dξ 越大表示平均偏离程度越大，说明ξ 的取值越分 散. 二、例题剖析 【例 1】 设ξ 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求 Eξ 、Dξ .
ξ P －1
1 2
0 1－2q
1 q2
拓展提高
既要会由分布列求 Eξ 、Dξ ，也要会由 Eξ 、Dξ 求分布列，进行逆向思维.如：若ξ 是 离散型随机变量，P（ξ =x1）=
3 5 2 5 7 5
，P（ξ =x2）=
，且 x1
6 25
.求ξ
的分布列. 解：依题意ξ 只取 2 个值 x1 与 x2，于是有 Eξ = Dξ =
3 5 3 5
x1+
2 5
x2=
2 5
7 5
，
6 25
x12+
x22－Eξ 2=
.
从而得方程组 ?
?3 x1 ? 2 x 2 ? 7 , ? ?3 x1 ?
2
? 2x2
2
? 11 .
【例 2】 人寿保险中（某一年龄段） 在一年的保险期内， ， 每个被保险人需交纳保费 a 元， 被保险人意外死亡则保险公司赔付 3 万元，出现非意外死亡则赔付 1 万元.经统计此年龄段一 年内意外死亡的概率是 p1，非意外死亡的概率为 p2，则 a 需满足什么条件，保险公司才可能 盈利? 【例 3】 把 4 个球随机地投入 4 个盒子中去，设ξ 表示空盒子的个数，求 Eξ 、Dξ .
特别提示
求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.ξ =2 时，此时有两种情况：①有 2 个空盒 子，每个盒子投 2 个球；②1 个盒子投 3 个球，另 1 个盒子投 1 个球. 【例 4】 若随机变量 A 在一次试验中发生的概率为 p（0
的最大值.
【例 5】 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为 1 的球 1 个，号数为 2 的球 2 个， 号数为 3 的球 3 个，…，号数为 n 的球 n 个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ ，求ξ
1
三角函数题型分类总结 一． 三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有： a) 常数代换法：如：αα22cos sin 1+= b) 配角方法：ββαα-+=)(,()βαβαα-++=)(2,2 2 β αβ αα-+ += ,2 2 β αβ αβ-- += 1、sin330?= tan690° = o 585sin = 2、（1）(10全国Ⅰ) α是第四象限角，12 cos 13 α= ，则sin α=__________ （2）（11北京文）若4 sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . (3) α是第三象限角，2 1)sin(= -πα，则αcos = )25cos(απ+= 3、(1) (09陕西) 已知sin ,5 α= 则44sin cos αα-= . (2)（12全国文）设(0,)2 π α∈，若3sin 5α= )4 π α+= . （3）（08福建）已知3( ,),sin ,25 π απα∈=则tan()4π α+= 4. (1)(10福建) sin15cos75cos15sin105+o o o o = (2)（11陕西）cos 43cos77sin 43cos167o o o o += 。 （3）sin163sin 223sin 253sin313+=o o o o 。 5.(1) 若sin θ＋cos θ＝ 1 5 ，则sin 2θ= （2）已知3 sin()45 x π-=，则sin 2x 的值为 (3) 若2tan =α ,则 α αα αcos sin cos sin -+= 6. （10北京）若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 7．（09浙江） 已知cos( )2 2π ?+= ，且||2 π ?<，则tan ?＝ 8. 若 cos 2πsin 4αα=? ?- ? ? ?cos sin αα+= 9.（09重庆文）下列关系式中正确的是 （ ） A ．0 sin11cos10sin168<< B ．0 sin168sin11cos10<< C ．0 sin11sin168cos10<< D ．0 sin168cos10sin11<<