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浙江省嘉兴市2019-2020学年下学期高二年级期末检测数学试卷

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参考公式:

若事件A ,B 互斥,则()()()P A B P A P B +=+. 若事件A ,B 相互独立,则()()()P A B P A P B ?=?.

若事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率

()()

()C 10,1,2,,n k

k k

n n P k p p k n -=-=???.

台体的体积公式()

121

3

V S S h =,其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高.

体的体积公式V Sh =,其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高. 锥体的体积公式1

3

V Sh =

,其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. 球的表面积公式24πS R =. 球的体积公式3

4π3

V R =

,其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷

一、选择题

1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}1,3A =,集合{}3,4,5B =,则集合

()U

A B ?=( )

A .{}3

B .{}2,6

C .{}1,3,4,5

D .{}1,2,4,5,6

2.已知复数()()1i a i -+为纯虚数(i 为虚数单位),则实数a 的值为( ) A .1-

B .0

C .1

D .2

3.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()ln 1f x x =+,则()1f -=( )

A .ln 2-

B .1-

C .0

D .1

4.已知物体位移S (单位:米)和时间t (单位:秒)满足:3

21S t t =-+,则该物

体在1t =时刻的瞬时速度为( )

A .1米/秒

B .2米/秒

C .3米/秒

D .4米/秒

5.用数学归纳法证明212322n n n +++???=+(n *

∈N )的过程中,从n k =到

1n k =+时,左边需增加的代数式是( )

A .21k +

B .22k +

C .42k +

D .43k +

6.在ABC △中,2CD DB =,AE ED =,则下列向量与BE 相等是( ) A .

51

63AB AC - B .51

63AB AC -+ C .

21

36

AB AC -

D .21

36

AB AC -

+ 7.已知()0,2a ∈,随机变量ξ的分布列如下:

则()D ξ的最大值为( ) A .2

B .1

C .

23

D .

13

8.某高一学生将来准备报考医学专业.该同学已有两所心仪大学A ,B ,其中A 大学报考医学专业时要求同时..选考物理和.化学,B 大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门.若该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有( )

A .21种

B .23种

C .25种

D .27种

9.已知数列{}n a 中,1a a =,2

12n n a a +=-,当3n ≥时,n a 为定值,则实数a 的不

同的值有( )

A .5个

B .5个

C .6个

D .7个

10.设a ,b ∈R ,且0b ≠,函数()f x x a bx =--.若函数()()y f f x =有且仅

有两个零点,则( )

A .0a <,01b <<

B .0a <,10b -<<

C .0a >,01b <<

D .0A >,10b -<<

第Ⅱ卷

二、填空题

11.已知复数2

1z i

=

+(其中i 为虚数单位),则z =______;z =______. 12.从1,2,3,4,5这五个数字中任取4个数组成无重复数字的四位数,则这样的四

位数共有______个;其中奇数有______个.

13.设

()

5

234501234521x a a x a x a x a x a x -=+++++,则2a =______;

12345a a a a a ++++=______.

14.袋子里有7个大小相同的小球,其中2个红球,5个白球,从中随机取出2个小球,则取出的都是红球的概率为______;若ξ表示取出的红球的个数,则()E ξ=______.

15.已知ABC △中,π2C =

,M 是BC 的中点,且π3

AMC ∠=,则sin MAB ∠=______.

16.已知同1a =,向量b 满足4a b a b -++=,则b 的最小值为______. 17.若不等式224ln x x ax b x -≤++≤对任意的[]1,x e ∈恒成立,则实数b 的最大值为______.

三、解答题

18.已知函数()()2

πsin 24cos 6f x x x x ??=-+∈ ??

?

R . (Ⅰ)求π6f ??

???

的值; (Ⅱ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间.

19.如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,//AB CD ,AB BC ⊥,

且1AB =,2PA AD DC ===,E 是PD 的中点.

(Ⅰ)求证://AE 平面PBC ;

(Ⅱ)求直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值.

20.已知等差数列{}n a 中,11a =,且22a +,3a ,54a -成等比数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)若数列{}n b 满足

3

1

212321n n n

b b b b a a a a +++???+=-,求数列{}n b 的前n 项和n T . 21.如图,已知抛物线C :2

4x y =的焦点为F ,设点()()2

2,1A t t t >为抛物线上一

点,过点A 作抛物线C 的切线交其准线于点E .

(Ⅰ)求点E 的坐标(用t 表示);

(Ⅱ)直线AF 交抛物线C 于点B (异于点A ),直线EF 交抛物线C 于M ,E 两点(点N 在E ,F 之间),连结AM ,BN ,记FAM △,FBN △的面积分别为1S ,2S ,求

1

2

S S 的最小值. 22.已知函数()e 1x

f x x

=-,()()()221g x ax a e x a =-++--∈R .(e 2.71828=???为自然对数的底数.)

(Ⅰ)求()f x 的值域;

(Ⅱ)设()()()h x xf x g x =+,若()h x 在区间()0,1有零点,求实数a 的取值范围.

【试题答案】

一、选择题

1.B ;2.A ;3.B ;4.A ;5.D ; 6.D ;7.C ;8.C ;9.D ;10.B .

9.提示:由题可知,若要满足3n ≥时,n a 恒为定值,则只需满足2

332a a -=,故31

a =-或32a =.当31a =-时,解得21a =±,从而解得:11a =±

,或1a =32a =时,解得22a =±,从而解得:12a =±,或10a =;故1a 的不同取值有7个.所以选D .

10.提示:由题意知:方程f (f (x )=0有两个根令t =f (x ),则f (t )=0. 由题意知:方程()()0f

f x =有两个根.令()t f x =,则()0f t =.即t a bt -=时,

方程x a bx t -=+要有两个根.

①当0

a b >??

>?时,由图可知,方程有1个或4个根;

②当0

a b >??

③当0

a b

>?时,由图可知,方程有0个或1个根;

④当0

a b

直线y bt =与直线y t a =-+的交点横坐标11

a

t b =+, 直线y bt =和直线y t a =-的交点横坐标21

a

t b -=-, 直线y bx t =+经过点(),0a 时,t ab =-, 由题可知:

11

a a

ab b b -<-<

+-

,即112b -<<时,符合题意.

综上所述:0

1a b

?-<

二、填空题

11.1i +;2

12.120;72

13.40-;2

14.

1

21;47

15.

21

16

.3

17.2

16.提示:方法一:由平行四边形性质可得:(

)

2

22

2a b a b a b

++-=+,

由基本不等式可得:()2

2

2

a b a b a b a b

++-++-≥

()()

2

2

2

2

22

a b a b a b ++-+≥

,即(

)

2

2

4212

b

+≤≥,∴3b ≥(等号可取). 方法二:如图,124PF PF +=,∴b 终点P 在以1F ,2F 焦点的椭圆22

143

x y +=上运动,易知b 的最小值即为短半轴长3.

方法三:坐标法.

17.提示:22

24ln x x ax b x x -+-≤+≤-,利用图象,易得如图切线方程为

32y x =-+,∴max 2b =.

三、解答题

18.解:(1)()311cos 233

sin 2cos 24sin 2cos 22222x f x x x x x +=

-+?=++

π3sin 223x ?

?=++ ??

?,

∴π273sin π2632f ????

=+=

? ?

????

. (2)2π

π2

T ==. ∵πππ2π22π232k x k -

+≤+≤+,k ∈Z ,∴5π

πππ1212

k x k -+≤≤+,k ∈Z , ∴()f x 的单调增区间为:5πππ,π1212k k ??

-

++????

,k ∈Z .

19.解:(1)取PC 中点F ,连结EF ,BF .

∵E 是PD 的中点,∴//EF CD 且1

2

EF CD =

, ∵//AB CD 且2CD AB =,∴//AB EF 且AB EF =, ∴四边形ABFE 为平行四边形,∴//AE BF ,

∵BF ?平面PBC ,AC ?平面PBC ,∴//AE 平面PBC . (2)方法一:取CD 中点M ,连AM ,MP ,易知AM CD ⊥, ∵PA ⊥平面ABCD ,∴PA CD ⊥,∴CD ⊥平面PAM ,

∵CD ?面PCD ,∴面PCD ⊥面PAM ,过A 作AH PM ⊥,连HD ,∴AH ⊥面

PCD ,

∴ADH ∠即为直线AD 与平面PCD 所成角,

∵2PA AD ==,∴3AM =,7MP =, 在PAM △

中,由等面积法知:23221

77

AH ?=

=, ∴21

sin 7

AH ADH AD ∠=

=. 方法二:如图建立空间直角坐标系,易知()1,3,0D -,()

1,3,0C ,()0,0,2P , ∴()1,3,0AD =-,()2,0,0CD =-,()

1,3,2PD =--, 设平面PCD 的法向量(),,n x y z =,

∴00

n CD n PD ??=???=???20

320x x y z -=???

-+-=??,取()

0,2,3n =, 设直线AD 与平面PCD 所成角为θ,则

2321

sin cos ,772

n AD n AD n AD

θ?==

=

=??.

20.解:(1)∵()()2

25324a a a +-=,∴()()()2

1112442a d a d a d +++-=+,

∵11a =,∴()()()2

34321d d d +-=+,解得2d =,∴21n a n =-. (2)①当2n ≥时,

3

1212321n n n

b b b b a a a a +++???+=-, 133112*********

21n n n b b

b b b b b a a a a a a a ---+++???++++???+=-, 两式相减得

11222n n n n

n

b a --=-=;

②当1n =时,

11

1211

b a =-=满足上式,∴()121n n n

b n a -=≥. 由(1)可知,21n a n =-,∴()1

2112n n b n -=-.

∴()0

1

2

1

123252212

n n T n -=?+?+?+???+- ①

()1232123252212n n T n =?+?+?+???+- ②

①-②得,(

)()

121

12222

21n

n n T n --=+?++???+--

()()12121221212

n n n --=+?

---()3223n n =-?-.

∴()2323n

n T n =-?+. 21.解析:(I )由214y x =

求导,1

2

y x '=,∴2x t

y t ='=.

∴点()

22,A t t 处的切线方程为:2

y tx t =-,准线方程:1y =-,∴点1,1E t t

?

?-- ??

?

(Ⅱ)∵()0,1F ,()2

2,A t t ,∴AF l :21

12t y x t

-=+,

联立221124t y x t

x y

?-=+???=?

,得()2

2

2140t x x t ---=,∴221,B t t ??- ???,易知EF l :2

211

t

y x t =-

+-, 联立222114t y x t x y

?=-+?

-??=?

,得228401t x x t +-=-,即()()2121011t t x x t t +-????+-= ???-+????,

∴()211

M t x t +=-

-,()

211N t x t -=+,由上知1AF EF k k ?=-,即AF EF ⊥,

2

2

1

2

1

1 2

11

2

A M

B N

AF

MF x x

S t

t

S x x t

BF NF

?+

??

==?=? ?

-

??

?

,设()

10

t m m

-=>,

则()

22

2

2

1

2

12

322317122

1

S t

t m

S t m

+

????

=?=++≥+=+

? ?

-

????

当且仅当2

m=,即21

t=+时,1

2

S

S

取到最小值17122

+.

22.解:(Ⅰ)()

()

2

1e x

x

f x

x

-

'=,当()0

f x>时,1

x>;当()0

f x

'<时,1

x<且0

x≠,

∴()

f x在区间(),0

-∞,()

0,1单调递减,()

1,+∞单调递增.

又∵()1

f x e

=-,由图可知()

f x的值域为()[)

,11,

e

-∞--+∞.(2)()()

211

x

h x e ax a e x

=-++--,()()

21

x

h x e ax a e

'=-++-,()2

x

h x e a

''=-,

∵()

0,1

x∈,∴()

1,

x

e e

∈.

①当21

a≤,即

1

2

a≤时,()0

h x

''>,∴()

h x

'在()

0,1单调递增,又∵()020

h a e

'=+-<,()110

h a

'=->,∴存在()

1

0,1

x∈,使得()10

h x

'=,∴()

h x在区间()1

0,x单调递减,(),1x单调递增.

又∵()00h =,()10h =,∴当()0,1x ∈时,()0h x <.故()h x 在区间()0,1内无零点.

②当2a e ≥,即2

e

a ≥

时,()0h x ''<,∴()h x '在()0,1单调递减, 又∵()020h a e '=+->,()110h a '=-<,∴存在()20,1x ∈,使得()20h x '=, ∴()h x 在区间()20,x 单调递增,()2,1x 单调递减.

又∵()00h =,()10h =,∴当()0,1x ∈时,()0h x >.故()h x 在区间()0,1内无零点.

③当12a e <<,即

122

e

a <<时,令()0h x ''>,解得ln 2x a >,令()0h x ''<,解得ln 2x a <,

∴()h x '在区间()0,ln 2a 单调递减,()ln 2,1a 单调递增, ∴()()min ln 232ln 21h x h a a a a e ''==-+-, 令()32ln 21t a a a a e =-+-,1,22e a ??

∈ ???

,则()12ln 2t a a '=-, 当()0t a '>时,解得2e a <;当()0t a '<时,解得2

e

a >; ∴()t x 在区间12e ?

??单调递增,2e e ?????

单调递减.

∴()max 10e

t

x t e e ??

==+-< ?

???

,∴()()min ln 20h x h a ''=<.

由图可知,只有满足()()020

110

h a e h a '=+->???'=->??,即21e a -<<时,()h x 在()0,1有零点.

综上所述,21e a -<<.

(2)解法二:令()0h x =可得()2

11

x e e x a x x

+--=-. 令()()211

x e e x F x x x +--=-,则()()

()()

222231121x x x e e x x F x x x

-++-+-'=-, 令()()

()2231121x p x x x e e x x =-++-+-,()()

222x p x x x e e '=--+,

()()23x p x x x e ''=+-,易知,当()0,1x ∈时,()0p x ''<,

∴()p x '在区间()0,1单调递减,

又∵()10p '=,∴当()0,1x ∈时,()0p x '>,∴()p x 在区间()0,1单调递增, 又∵()00p =,∴当()0,1x ∈时,()0p x >,即()0F x '>, ∴()F x 在区间()0,1单调递增,

又()()2000111lim lim

lim 221x x x x x e e x e e

F x e x x x →→→+--+-===---, ()()2111111lim lim lim 121

x x x x x e e x e e F x x x x →→→+--+-===--, ∴21e a -<<.

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