浙江省嘉兴市2019-2020学年下学期高二年级期末检测数学试卷
参考公式:
若事件A ,B 互斥,则()()()P A B P A P B +=+. 若事件A ,B 相互独立,则()()()P A B P A P B ?=?.
若事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
()()
()C 10,1,2,,n k
k k
n n P k p p k n -=-=???.
台体的体积公式()
121
3
V S S h =,其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高.
体的体积公式V Sh =,其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高. 锥体的体积公式1
3
V Sh =
,其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. 球的表面积公式24πS R =. 球的体积公式3
4π3
V R =
,其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷
一、选择题
1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}1,3A =,集合{}3,4,5B =,则集合
()U
A B ?=( )
A .{}3
B .{}2,6
C .{}1,3,4,5
D .{}1,2,4,5,6
2.已知复数()()1i a i -+为纯虚数(i 为虚数单位),则实数a 的值为( ) A .1-
B .0
C .1
D .2
3.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()ln 1f x x =+,则()1f -=( )
A .ln 2-
B .1-
C .0
D .1
4.已知物体位移S (单位:米)和时间t (单位:秒)满足:3
21S t t =-+,则该物
体在1t =时刻的瞬时速度为( )
A .1米/秒
B .2米/秒
C .3米/秒
D .4米/秒
5.用数学归纳法证明212322n n n +++???=+(n *
∈N )的过程中,从n k =到
1n k =+时,左边需增加的代数式是( )
A .21k +
B .22k +
C .42k +
D .43k +
6.在ABC △中,2CD DB =,AE ED =,则下列向量与BE 相等是( ) A .
51
63AB AC - B .51
63AB AC -+ C .
21
36
AB AC -
D .21
36
AB AC -
+ 7.已知()0,2a ∈,随机变量ξ的分布列如下:
则()D ξ的最大值为( ) A .2
B .1
C .
23
D .
13
8.某高一学生将来准备报考医学专业.该同学已有两所心仪大学A ,B ,其中A 大学报考医学专业时要求同时..选考物理和.化学,B 大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门.若该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有( )
A .21种
B .23种
C .25种
D .27种
9.已知数列{}n a 中,1a a =,2
12n n a a +=-,当3n ≥时,n a 为定值,则实数a 的不
同的值有( )
A .5个
B .5个
C .6个
D .7个
10.设a ,b ∈R ,且0b ≠,函数()f x x a bx =--.若函数()()y f f x =有且仅
有两个零点,则( )
A .0a <,01b <<
B .0a <,10b -<<
C .0a >,01b <<
D .0A >,10b -<<
第Ⅱ卷
二、填空题
11.已知复数2
1z i
=
+(其中i 为虚数单位),则z =______;z =______. 12.从1,2,3,4,5这五个数字中任取4个数组成无重复数字的四位数,则这样的四
位数共有______个;其中奇数有______个.
13.设
()
5
234501234521x a a x a x a x a x a x -=+++++,则2a =______;
12345a a a a a ++++=______.
14.袋子里有7个大小相同的小球,其中2个红球,5个白球,从中随机取出2个小球,则取出的都是红球的概率为______;若ξ表示取出的红球的个数,则()E ξ=______.
15.已知ABC △中,π2C =
,M 是BC 的中点,且π3
AMC ∠=,则sin MAB ∠=______.
16.已知同1a =,向量b 满足4a b a b -++=,则b 的最小值为______. 17.若不等式224ln x x ax b x -≤++≤对任意的[]1,x e ∈恒成立,则实数b 的最大值为______.
三、解答题
18.已知函数()()2
πsin 24cos 6f x x x x ??=-+∈ ??
?
R . (Ⅰ)求π6f ??
???
的值; (Ⅱ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间.
19.如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,//AB CD ,AB BC ⊥,
且1AB =,2PA AD DC ===,E 是PD 的中点.
(Ⅰ)求证://AE 平面PBC ;
(Ⅱ)求直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值.
20.已知等差数列{}n a 中,11a =,且22a +,3a ,54a -成等比数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)若数列{}n b 满足
3
1
212321n n n
b b b b a a a a +++???+=-,求数列{}n b 的前n 项和n T . 21.如图,已知抛物线C :2
4x y =的焦点为F ,设点()()2
2,1A t t t >为抛物线上一
点,过点A 作抛物线C 的切线交其准线于点E .
(Ⅰ)求点E 的坐标(用t 表示);
(Ⅱ)直线AF 交抛物线C 于点B (异于点A ),直线EF 交抛物线C 于M ,E 两点(点N 在E ,F 之间),连结AM ,BN ,记FAM △,FBN △的面积分别为1S ,2S ,求
1
2
S S 的最小值. 22.已知函数()e 1x
f x x
=-,()()()221g x ax a e x a =-++--∈R .(e 2.71828=???为自然对数的底数.)
(Ⅰ)求()f x 的值域;
(Ⅱ)设()()()h x xf x g x =+,若()h x 在区间()0,1有零点,求实数a 的取值范围.
【试题答案】
一、选择题
1.B ;2.A ;3.B ;4.A ;5.D ; 6.D ;7.C ;8.C ;9.D ;10.B .
9.提示:由题可知,若要满足3n ≥时,n a 恒为定值,则只需满足2
332a a -=,故31
a =-或32a =.当31a =-时,解得21a =±,从而解得:11a =±
,或1a =32a =时,解得22a =±,从而解得:12a =±,或10a =;故1a 的不同取值有7个.所以选D .
10.提示:由题意知:方程f (f (x )=0有两个根令t =f (x ),则f (t )=0. 由题意知:方程()()0f
f x =有两个根.令()t f x =,则()0f t =.即t a bt -=时,
方程x a bx t -=+要有两个根.
①当0
a b >??
>?时,由图可知,方程有1个或4个根;
②当0
a b >??
③当0
a b ?
>?时,由图可知,方程有0个或1个根;
④当0
a b ?
直线y bt =与直线y t a =-+的交点横坐标11
a
t b =+, 直线y bt =和直线y t a =-的交点横坐标21
a
t b -=-, 直线y bx t =+经过点(),0a 时,t ab =-, 由题可知:
11
a a
ab b b -<-<
+-
,即112b -<<时,符合题意.
综上所述:0
1a b ?
?-<?()()y f f x =有两个零点.故选B .
二、填空题
11.1i +;2
12.120;72
13.40-;2
14.
1
21;47
15.
21
16
.3
17.2
16.提示:方法一:由平行四边形性质可得:(
)
2
22
2a b a b a b
++-=+,
由基本不等式可得:()2
2
2
a b a b a b a b
++-++-≥
,
∴
()()
2
2
2
2
22
a b a b a b ++-+≥
,即(
)
2
2
4212
b
+≤≥,∴3b ≥(等号可取). 方法二:如图,124PF PF +=,∴b 终点P 在以1F ,2F 焦点的椭圆22
143
x y +=上运动,易知b 的最小值即为短半轴长3.
方法三:坐标法.
17.提示:22
24ln x x ax b x x -+-≤+≤-,利用图象,易得如图切线方程为
32y x =-+,∴max 2b =.
三、解答题
18.解:(1)()311cos 233
sin 2cos 24sin 2cos 22222x f x x x x x +=
-+?=++
π3sin 223x ?
?=++ ??
?,
∴π273sin π2632f ????
=+=
? ?
????
. (2)2π
π2
T ==. ∵πππ2π22π232k x k -
+≤+≤+,k ∈Z ,∴5π
πππ1212
k x k -+≤≤+,k ∈Z , ∴()f x 的单调增区间为:5πππ,π1212k k ??
-
++????
,k ∈Z .
19.解:(1)取PC 中点F ,连结EF ,BF .
∵E 是PD 的中点,∴//EF CD 且1
2
EF CD =
, ∵//AB CD 且2CD AB =,∴//AB EF 且AB EF =, ∴四边形ABFE 为平行四边形,∴//AE BF ,
∵BF ?平面PBC ,AC ?平面PBC ,∴//AE 平面PBC . (2)方法一:取CD 中点M ,连AM ,MP ,易知AM CD ⊥, ∵PA ⊥平面ABCD ,∴PA CD ⊥,∴CD ⊥平面PAM ,
∵CD ?面PCD ,∴面PCD ⊥面PAM ,过A 作AH PM ⊥,连HD ,∴AH ⊥面
PCD ,
∴ADH ∠即为直线AD 与平面PCD 所成角,
∵2PA AD ==,∴3AM =,7MP =, 在PAM △
中,由等面积法知:23221
77
AH ?=
=, ∴21
sin 7
AH ADH AD ∠=
=. 方法二:如图建立空间直角坐标系,易知()1,3,0D -,()
1,3,0C ,()0,0,2P , ∴()1,3,0AD =-,()2,0,0CD =-,()
1,3,2PD =--, 设平面PCD 的法向量(),,n x y z =,
∴00
n CD n PD ??=???=???20
320x x y z -=???
-+-=??,取()
0,2,3n =, 设直线AD 与平面PCD 所成角为θ,则
2321
sin cos ,772
n AD n AD n AD
θ?==
=
=??.
20.解:(1)∵()()2
25324a a a +-=,∴()()()2
1112442a d a d a d +++-=+,
∵11a =,∴()()()2
34321d d d +-=+,解得2d =,∴21n a n =-. (2)①当2n ≥时,
3
1212321n n n
b b b b a a a a +++???+=-, 133112*********
21n n n b b
b b b b b a a a a a a a ---+++???++++???+=-, 两式相减得
11222n n n n
n
b a --=-=;
②当1n =时,
11
1211
b a =-=满足上式,∴()121n n n
b n a -=≥. 由(1)可知,21n a n =-,∴()1
2112n n b n -=-.
∴()0
1
2
1
123252212
n n T n -=?+?+?+???+- ①
()1232123252212n n T n =?+?+?+???+- ②
①-②得,(
)()
121
12222
21n
n n T n --=+?++???+--
()()12121221212
n n n --=+?
---()3223n n =-?-.
∴()2323n
n T n =-?+. 21.解析:(I )由214y x =
求导,1
2
y x '=,∴2x t
y t ='=.
∴点()
22,A t t 处的切线方程为:2
y tx t =-,准线方程:1y =-,∴点1,1E t t
?
?-- ??
?
.
(Ⅱ)∵()0,1F ,()2
2,A t t ,∴AF l :21
12t y x t
-=+,
联立221124t y x t
x y
?-=+???=?
,得()2
2
2140t x x t ---=,∴221,B t t ??- ???,易知EF l :2
211
t
y x t =-
+-, 联立222114t y x t x y
?=-+?
-??=?
,得228401t x x t +-=-,即()()2121011t t x x t t +-????+-= ???-+????,
∴()211
M t x t +=-
-,()
211N t x t -=+,由上知1AF EF k k ?=-,即AF EF ⊥,
∴
2
2
1
2
1
1 2
11
2
A M
B N
AF
MF x x
S t
t
S x x t
BF NF
?+
??
==?=? ?
-
??
?
,设()
10
t m m
-=>,
则()
22
2
2
1
2
12
322317122
1
S t
t m
S t m
+
????
=?=++≥+=+
? ?
-
????
,
当且仅当2
m=,即21
t=+时,1
2
S
S
取到最小值17122
+.
22.解:(Ⅰ)()
()
2
1e x
x
f x
x
-
'=,当()0
f x>时,1
x>;当()0
f x
'<时,1
x<且0
x≠,
∴()
f x在区间(),0
-∞,()
0,1单调递减,()
1,+∞单调递增.
又∵()1
f x e
=-,由图可知()
f x的值域为()[)
,11,
e
-∞--+∞.(2)()()
211
x
h x e ax a e x
=-++--,()()
21
x
h x e ax a e
'=-++-,()2
x
h x e a
''=-,
∵()
0,1
x∈,∴()
1,
x
e e
∈.
①当21
a≤,即
1
2
a≤时,()0
h x
''>,∴()
h x
'在()
0,1单调递增,又∵()020
h a e
'=+-<,()110
h a
'=->,∴存在()
1
0,1
x∈,使得()10
h x
'=,∴()
h x在区间()1
0,x单调递减,(),1x单调递增.
又∵()00h =,()10h =,∴当()0,1x ∈时,()0h x <.故()h x 在区间()0,1内无零点.
②当2a e ≥,即2
e
a ≥
时,()0h x ''<,∴()h x '在()0,1单调递减, 又∵()020h a e '=+->,()110h a '=-<,∴存在()20,1x ∈,使得()20h x '=, ∴()h x 在区间()20,x 单调递增,()2,1x 单调递减.
又∵()00h =,()10h =,∴当()0,1x ∈时,()0h x >.故()h x 在区间()0,1内无零点.
③当12a e <<,即
122
e
a <<时,令()0h x ''>,解得ln 2x a >,令()0h x ''<,解得ln 2x a <,
∴()h x '在区间()0,ln 2a 单调递减,()ln 2,1a 单调递增, ∴()()min ln 232ln 21h x h a a a a e ''==-+-, 令()32ln 21t a a a a e =-+-,1,22e a ??
∈ ???
,则()12ln 2t a a '=-, 当()0t a '>时,解得2e a <;当()0t a '<时,解得2
e
a >; ∴()t x 在区间12e ?
??单调递增,2e e ?????
单调递减.
∴()max 10e
t
x t e e ??
==+-< ?
???
,∴()()min ln 20h x h a ''=<.
由图可知,只有满足()()020
110
h a e h a '=+->???'=->??,即21e a -<<时,()h x 在()0,1有零点.
综上所述,21e a -<<.
(2)解法二:令()0h x =可得()2
11
x e e x a x x
+--=-. 令()()211
x e e x F x x x +--=-,则()()
()()
222231121x x x e e x x F x x x
-++-+-'=-, 令()()
()2231121x p x x x e e x x =-++-+-,()()
222x p x x x e e '=--+,
()()23x p x x x e ''=+-,易知,当()0,1x ∈时,()0p x ''<,
∴()p x '在区间()0,1单调递减,
又∵()10p '=,∴当()0,1x ∈时,()0p x '>,∴()p x 在区间()0,1单调递增, 又∵()00p =,∴当()0,1x ∈时,()0p x >,即()0F x '>, ∴()F x 在区间()0,1单调递增,
又()()2000111lim lim
lim 221x x x x x e e x e e
F x e x x x →→→+--+-===---, ()()2111111lim lim lim 121
x x x x x e e x e e F x x x x →→→+--+-===--, ∴21e a -<<.