第一章 1.3 1.3.2
A 级 基础巩固
一、选择题
1．如果三个球的半径之比是1
∶
2
∶
3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的导学号 09024188( B )
A ．5
9倍
B ．9
5倍
C ．2倍
D ．3倍
[解析] 设小球半径为1，则大球的表面积S 大＝36π，S 小＋S 中＝20π，36π20π＝9
5．
2
．
若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为
导学号 09024189( A )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] 设两球的半径分别为R 、r (R >r )，则由题意得???
??
4π3R3＋4π3r3＝12π
2πR＋2πr＝6π
，解得?????
R ＝2
r ＝1
.故R －r ＝1．
3．一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是导学号 09024190( A ) A ．6π
6
B ．π2
C ．2π2
D ．3π2π
[解析] 由6a 2
＝4πR 2
得a
R
＝
2π3，∴V1V2＝a343
πR3＝34π?
??
???2π33
＝6π
6．
4．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是导学号 09024191( C ) A ．π3
B ．π4
C ．π2
D ．π
[解析] 设正方体的棱长为a ，球半径为R ，则3a 2
＝4R 2
，∴a 2
＝4
3
R 2
球的表面积S 1＝4πR 2
，正方体的表面积 S 2＝6a 2
＝6×4
3R 2
＝8R 2
，∴S 1∶S 2＝π
2
．
5．正方体的内切球与其外接球的体积之比为导学号 09024192( C ) A ．1∶3 B ．1∶3 C ．1∶3
3
D ．1∶9
[解析] 设正方体的棱长为a ，则它的内切球的半径为1
2a ，它的外接球的半径为3
2a ，故所求体积之比为1∶3
3．
6．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r 、R ，则球的表面积为导学号 09024193( C ) A ．4π(r ＋R )2 B ．4πr 2R 2 C ．4πRr
D ．π(R ＋r )2
[解析] 解法一：如图，设球的半径为r 1，则在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC ＝R ＋r .由勾股定理得4r 21＝(R ＋r )2－(R －r )2，解得r 1＝
Rr .故球的表面积为D 球＝4πr 21＝4πRr ．
解法二：如图，设球心为O ，球的半径为r 1，连接OA 、OB ，则在Rt △AOB 中，OF 是斜边AB 上的高．由相似三角形的性质得OF 2＝BF ·AF ＝Rr ，即r 21＝Rr ，故r 1＝
Rr ，故球的表面积为S 球＝4πRr ．
二、填空题
7．(2017·天津理，10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为__9π
2
__.导学号 09024194
[解析] 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18 ∴a ＝
3．
设球的半径为R ，则由题意知2R ＝
a2＋a2＋a2＝3