中考专题：几何探究题
24．昌平【探究】如图1，在△ABC 中， D 是AB 边的中点，AE ⊥BC 于点E ，BF ⊥AC 于
点F ，AE ，BF 相交于点M ，连接DE ，DF . 则DE ，DF 的数量关系为 . 【拓展】如图2，在△ A B C 中 ，C B = C A ，点 D 是AB 边的 中点 ，点M 在 △ A B C 的内部 ，且 ∠MBC =∠MAC . 过点M 作ME ⊥BC 于点E ，MF ⊥AC 于点F ，连接DE ，DF . 求证：DE =DF ； 【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB =CA ”变为“C B ≠CA ”，其他条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.
A
D
B
E C
M
F
A
D B
E
C
M
F M
A
B
C
D
F
E
图3
图2
图1
24.朝阳 已知∠ABC =90°，D 是直线AB 上的点，AD =BC ．
（1）如图1，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF =BD ，连接DC 、DF 、CF ，判断△CDF 的形状并证明；
（2）如图2，E 是直线BC 上的一点，直线AE 、CD 相交于点P ，且∠APD =45°，求证BD =CE ．
P
E
C A
B
D
图 2
F C
A B
D
图1
25. 已知：E是线段AC上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点D，使得∠EDB=
∠EAB，联结AD.
（1）若直线EF与线段AB相交于点P，当∠EAB=60°时，如图1，求证：ED =AD+BD；
（2）若直线EF与线段AB相交于点P，当∠EAB= α（0o﹤α﹤90o）时，如图2，请你直接写出线段ED、AD、BD之间的数量关系（用含α的式子表示）；
（3）若直线EF与线段AB不相交，当∠EAB=90°时，如图3，请你补全图形，写出线段ED、AD、BD之间的数量关系，并证明你的结论.
E
Q
P D
C B
A
24东城．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由；
（3）在整个运动过程中，设AP为x，BD为y，求y关于x的函数关系式，并求出当△BDQ 为等腰三角形时BD的值．
24. （房山）边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M，BC边交DG于点N. （1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数；（3）如图3，设MBN
的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.
24丰台.如图1，在ABC △中，90ACB ∠=°，2BC =，∠A=30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连结EF ．
（1）线段BE 与AF 的位置关系是________， AF
BE =
________．
（2）如图2，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<
），连结AF ，BE ，（1）
中的结论是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，当C E F △绕点C 顺时针旋转α时（01
80α<<
），延长FC 交AB 于点D ，
如果623AD =-，求旋转角α的度数．
24．海淀在ABC △中，90ABC ∠= ，D 为平面内一动点，AD a =，AC b =，其中a ，b 为常数，且a b <.将ABD △沿射线BC 方向平移，得到FCE △，点A 、B 、D 的对应点分别为点F 、C 、E .连接BE .
（1）如图1，若D 在ABC △内部，请在图1中画出FCE △；
（2）在（1）的条件下，若AD BE ⊥，求BE 的长（用含, a b 的式子表示）；
（3）若=BAC α∠，当线段BE 的长度最大时，则BAD ∠的大小为__________；当线段
BE 的长度最小时，则BAD ∠的大小为_______________（用含α的式子表示）.
图1 备用图
D
αF
E C B A
图3
图2
αF
E C B A
F E C B A
图1 A
B C
D
A
B C D
E
D
M
B
C
A
E
D
M
B
C
A
M
B
C
A
图2
图1
E D
C B
A
A
B
C
24.门头沟 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角
三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME
（1）如图24-1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是
（2）如图24-2所示，若AB ≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关
系？请给出证明过程；
（3） 在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧．．作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图24-3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．
24.平谷（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，E 为BC 上一点，且CE =AB ，
BE =CD ，连结AE 、DE 、AD ，则△ADE 的形状是_________________________. (2)如图2，在90ABC A ?∠=?中，，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，连结BE 、CD ，两线交于点P ．
①当BD=AC ，CE=AD 时，在图中补全图形，猜想BPD ∠的度数并给予证明． ②当3BD CE
AC AD
==时， BPD ∠的度数____________________．
图24-1
图24-2
图24-3
24．石景山将△ABC 绕点A 顺时针旋转α得到△ADE ，DE 的延长线与BC 相交于点 F ，连接AF ．
（1）如图1，若BAC ∠=α=?60，BF DF 2=，请直接写出AF 与BF 的数量 关系；
（2）如图2，若BAC ∠＜α=?60，BF DF 3=，猜想线段AF 与BF 的数量关 系，并证明你的猜想；
（3）如图3，若BAC ∠＜α，mBF DF =（m 为常数），请直接写出BF
AF
的值 （用含α、m 的式子表示）． 解：
24．顺义在△ABC 中， A B = AC ，∠A =30?，将线段 B C 绕点 B 逆时针旋转 60?得到线段 B D ，
再将线段BD 平移到EF ，使点E 在AB 上，点F 在AC 上． （1）如图 1，直接写出 ∠ABD 和∠CFE 的度数；
（2）在图1中证明： A E =CF ； （3）如图2，连接 C E ，判断△CEF 的形状并加以证明．
图1 图2 图3
A
B C D
E F F E
D
C
B A
F E
D
C B A
图2
图1
A B
C
D
E
F F E D
C
B
A
23通州．已知：△ABD 和△CBD 关于直线BD 对称（点A 的对称点是点C ），点E 、F 分别是线段BC 和线段BD 上的点，且点F 在线段EC 的垂直平分线上，连接AF 、AE ，AE 交BD 于点G ．
（1）如图l ，求证：∠EAF ＝∠ABD ；
（2）如图2，当AB ＝AD 时，M 是线段AG 上一点，连接BM 、ED 、MF ，MF 的延长
线交ED 于点N ，∠MBF ＝
12∠BAF ，AF ＝2
3
AD ，请你判断线段FM 和FN 之间的数量关系，并证明你的判断是正确的．
24西城．在△ABC ，∠BAC 为锐角，AB >AC ， AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．
（1）如图1，若△ABC 是等腰直角三角形，直接写出线段AC ，CD ，AB 之间的数量关系；
（2）BC 的垂直平分线交AD 延长线于点E ，交BC 于点F ．
①如图2，若∠ABE =60°，判断AC ，CE ，AB 之间有怎样的数量关系并
加以证明；
②如图3，若
3AC AB AE +=，求∠BAC 的度数．
G
F
C
B
D A
E
N
G F
C
D
B
A E
M
图1
图2
24．昌平【探究】DE =DF . ……1分
【拓展】如图2，连接CD .
∵在△ A B C 中 ，C B = C A ，∴∠CAB =∠CBA . ∵∠MBC =∠MAC , ∴∠MAB =∠MBA . …… 2分 ∴AM =BM .
∵点 D 是 边 AB 的 中点 ，∴点M 在CD 上. … 3分
∴CM 平分∠FCE .∴∠FCD =∠ECD .
∵ME ⊥BC 于E ，MF ⊥AC 于F ，∴MF =ME .又∵CM =CM ,
∴△CMF ≌△CME .∴CF =CE . ∵CD =CD ，∴△CFD ≌△CED .∴DE =DF . … 4分
【推广】 DE =DF .
如图3，作AM 的中点G ,BM 的中点H .
∵点 D 是 边 AB 的 中点 ，∴1//,.2
DG BM DG BM =
同理可得：1
//,.2
DH AM DH AM =
∵ME ⊥BC 于E ，H 是BM 的中点，∴在Rt △BEM 中， 1
.2
HE BM BH =
= ∴DG =HE . ……………… 5分
同理可得：.DH FG =∵DG //BM ,DH //GM , ∴四边形DHMG 是平行四边形.∴∠DGM =∠DHM . ∵∠MGF =2∠MAC , ∠MHE =2∠MBC ,又∵∠MBC =∠MAC , ∴∠MGF =∠MHE .∴∠DGM +∠MGF =∠DHM +∠MHE .
∴∠DGF =∠DHE .… 6分∴△DHE ≌△FGD .∴DE =DF . …………… 7分
24.朝阳 解：（1）△CDF 是等腰直角三角形 ．………………1分 证明：∵∠ABC =90°，AF ⊥AB ， ∴∠FAD =∠DBC ．
∵AD =BC ，AF =BD ，∴△FAD ≌△DBC ．∴FD =DC ．………2分 ∠1=∠2．∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°．即∠CDF =90°． ……3分
∴△CDF 是等腰直角三角形．
（2）过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF =BD ，连接DF 、CF ．……4分
图2
F M
C
E B
D A
图3
H G
F M C
E B D A 31
2F A
B D
E
Q
P
D
C
A
∵∠ABC =90°，AF ⊥AB ， ∴∠FAD =∠DBC ． ∵AD =BC ，AF =BD ，∴△FAD ≌△DBC ．
∴FD =DC ，∠1=∠2．∵∠1+∠3=90°， ∴∠2+∠3=90°．即∠CDF =90°． ∴△CDF 是等腰直角三角形．………5分 ∴∠FCD =∠APD =45°．∴FC ∥AE ． ∵∠ABC =90°，AF ⊥AB ，∴AF ∥CE ．
∴四边形AFCE 是平行四边形． ∴AF =CE ∴BD =CE ．…6分
25. 大兴（1）证明：作∠D AH =∠EAB 交D E 于点H . ……………1分 ∴∠D AB =∠HAE . ∵∠EAB =∠EDB ，∠APE =∠BPD ， ∴∠ABD =∠AEH .∵又AB =AE ，
∴△ABD ≌△AEH . ………………2分 ∴BD =EH ，AD =AH .∵∠D AH =∠EAB =60°，
∴△ADH 是等边三角形.∴AD =HD .∵ED = HD +EH ∴ED =AD +BD .
(2) BD AD ED +=2
sin 2α （3）ED=B D －2AD
(3) 作∠D AH =∠EAB 交DE 于点H .
∴∠DAB =∠HAE .∵∠EDB =∠EAB =90°， ∴∠ABD +∠1=∠AEH +∠2 =90°.
∵∠1=∠2∴∠ABD =∠AEH .∵又AB =AE ，∴△ABD ≌△AEH . ∴BD =EH ，AD =AH .∵∠DAH =∠EAB =90°，
∴△ADH 是等腰直角三角形.∴2AD =HD .∵ED =EH-HD ∴AD BD ED 2-=
24．东城解：（1）∵ ∠ACB =90°，AC =BC =4，设AP 为x ，
∴PC =4-x ，CQ =4+x .∵∠BQD =30°，∴3CQ PC =.∴43(4)x x +=-.
解得843x =-.…………2分
（2）当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度不会改变．理由如下：
作QF ⊥AB ，交直线AB 的延长线于点F ， 又∵PE ⊥AB 于E ，∴∠DFQ =∠AEP =90°，
1
32F
P
E
C
A
B D
∵点P ，Q 做匀速运动且速度相同，∴AP =BQ . ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴可证 PE =QF =AE =BF . ∵∠PDE =∠QDF ，∴△PDE ≌△QDF .
∴DE =DF .∴DE =AB .又∵AC =BC =4，∴42AB =.∴22DE =. ∴当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度不会改变．…………5分 （3）∵AP =x ，∴22AE x =
．∵AB AE DE BD =++，∵242222
x y =++． 即 2
222
y x =-
+（0＜x ＜4）．当△BDQ 为等腰三角形时，x =y ． ∴424x =-．即BD 的值为424-．
24.房山（1）
∵A 点第一次落在DF 上时停止旋转∴DA 旋转了045.
∴DA 在旋转过程中所扫过的面积为
24523602
ππ
?=.........2分 （2）∵MN ∥AC ，
∴45BMN BAC ∠=∠=?,45BNM BCA ∠=∠=?.
∴BMN BNM ∠=∠.∴BM BN =.又∵BA BC =，∴AM CN =. 又∵DA DC =,DAM DCN ∠=∠,∴DAM DCN ???.
∴ADM CDN ∠=∠.∴1
(90452
ADM ∠=?-?)=22.5?.
∴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形ABCD 旋转的度数为
45?-22.5?=22.5? ...................5分
(3)证明：
延长BA 交DE 轴于H 点，则045ADE ADM ∠=-∠，
000904545CDN ADM ADM ∠=--∠=-∠， ∴ADE CDN ∠=∠.
又∵DA DC =，0001809090DAH DCN ∠=-==∠.
∴DAH DCN ???. ∴,DH DN AH CN ==. 又∵045MDE MDN ∠=∠=,DM DM =,
∴DMH DMN ???. ∴MN MH AM AH ==+.
∴MN AM CN =+，∴4p MN BN BM AM CN BN BM AB BC =++=+++=+=.
∴在旋转正方形ABCD 的过程中，p 值无变化
24.解：丰台
（1）互相垂直；3………………………………………………2分 （2）答：（1）中结论仍然成立.…………………………………3分 证明：∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，
∴EC=12BC ，FC=12AC ∴
1
2
EC FC BC AC == ∵BCE ACF α∠=∠=BEC ∴?∽AFC ?
1
3tan 30
AF AC BE BC ∴=== … 12∠=∠ 延长BE 交AC 于点O ，交AF 于点M
∵∠BOC=∠AOM ，∠1=∠2 ∴∠BCO=∠AMO=90°∴BE ⊥AF ……5分 （3）∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°∴AB=4，∠B=60° 过点D 作DH ⊥BC 于H
∴DB=4(623)232--=- ∴31BH =-，33DH =- 又∵2(31)33CH =--=- ∴CH=BH ……………6分
∴∠HCD=45 ∴∠DCA=45 18045135α∴=-=
……7分
24.解海淀:
（1）
…………………2分
（2）连接BF .
∵将ABD △沿射线BC 方向平移，得到FCE △，∴AD ∥EF , AD =EF ；AB ∥FC , AB =FC .
∵∠ABC=90°，∴四边形ABCF 为矩形.
∴AC =BF . ………3分
∵AD BE ⊥,∴EF BE ⊥. ………4分
∵AD a =，AC b =，∴EF a =，BF b =.
∴22
BE b a =-. ……………5分
（3）180α?-； α . ……………………7分
24. 门头沟（1）MD =ME ……………1分
（2）如图，作DF ⊥AB ，EG ⊥AC ，垂足分别为F 、G ．
O M
F
E
C
B
A
α
2
1
D
H
F
E
C
B
A
α
E
F
A
B C
D
E
F
D
C
B
A
E D
M
B C
A P
F
E D A B C
因为DF 、EG 分别是等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形 ACE 斜边上的高，
所以F 、G 分别是AB 、AC 的中点．
又∵M 是BC 的中点，所以MF 、MG 是△ABC 的中位线． ∴12
MF AC =
，1
2MG AB =，MF //AC ，MG //AB ．
∴∠BFM ＝∠BAC ，∠MGC ＝∠BAC ．
∴∠BFM ＝∠MGC ．所以∠DFM ＝∠MGE ．……………2分 ∵DF 、EG 分别是直角三角形ABD 和直角三角形ACE 斜边上的中线，
∴12EG AC =
，1
2
DF AB =． ∴MF ＝EG ，DF ＝NG ． ……3分
∴△DFM ≌△MGE ．
∴DM ＝ME ． 4分 ∠FMD=∠GEM
∴∠DME =∠FMD+∠FMG+∠GME=∠GEM+∠MGC +∠GME
∵EG ⊥AC ∴∠EGC=900∵∠GEM+∠MGC +
∠GME+∠EGC=1800∴∠DME=900 （3）作图正确得一分 ……………6分
△MDE 是等腰直角三角形． ……………7分
24.平谷（1）等腰直角三角形 ------------------------------1分 （2） 45°. -------------------------------2分 证明：过B 点作FB ⊥AB ,且FB=AD . ∴90FBD A ∠=∠=?, ∵BD=AC ，∴△FBD ≌△DAC.∴∠FDB=∠DCA ，ED=DC ∵∠DCA+∠CDA=90?，∴∠FDB +∠CDA=90?， ∴∠CDF=90?，∴∠FCD=∠CFD =45?． ∵AD =CE ，∴BF =CE
∵90FBD A ∠=∠=?，∴180FBD A ∠+∠=?. ∴BF ∥EC .
∴四边形BECF 是平行四边形．∴BE ∥FC .∴45BPD FCD ∠=∠=?.---------6分 （3）60?． ----------------7
24. 石景山解：（1）BF AF =; ……………1分 （2）解：猜想：BF AF 2=.
证明：在DF 上截取BF DG =，连接AG （如图）. 由旋转得AB AD =， ADG ∠＝ABF ∠.
∴△ADG ≌△ABF .∴AF AG =，DAG ∠＝BAF ∠.
∴ GAF GAB BAF ∠=∠+∠∴60GAB DAG DAB =∠+∠=∠=?. ∴△GAF 是等边三角形.
又∵BF DF 3=.∴BF BF DF DG DF GF AF 2=-=-==.…5分 （3）
BF
AF 2
sin
21
α-=
m ． ……………7分
图1
F E D
C
B
A G 图2
A
B
C
D E F
24．（1）∠ABD= 15 °，∠CFE= 45 °．……………………………………… 2分
（2）证明：连结CD 、DF ．
∵线段 B C 绕点 B 逆时针旋转 60?得到线段 B D ，∴BD = BC ，∠CBD =60?． ∴△BCD 是等边三角形．∴CD = BD ．
∵线段BD 平移到EF ，∴EF ∥BD ，EF = BD ． ∴四边形BDFE 是平行四边形，EF = CD ．……… 3分 ∵AB = AC ，∠A =30?，∴∠ABC =∠ACB =75?． ∴∠ABD =∠ABC -∠CBD =15?=∠ACD ． ∴∠DFE =∠ABD =15?，∠AEF =∠ABD =15?． ∴∠AEF =∠ ACD =15?．………………… 4分 ∵∠CFE =∠A+∠AEF =30?+15?=45?，
∴∠CFD =∠CFE -∠DFE =45?-15?=30?．∴∠A =∠CFD =30?． …… 5分 ∴△AEF ≌△FCD （AAS ）．∴A E =CF ． …………… 6分
（3）解：△CEF 是等腰直角三角形．
证明：过点E 作EG ⊥CF 于G ， ∵∠CFE =45?，∴∠FEG =45?．∴EG =FG ．
∵∠A =30?，∠AGE =90?，∴12EG AE =．
∵A E =CF ，∴1
2EG CF =．∴12
FG CF =．
∴G 为CF 的中点．∴EG 为CF 的垂直平分线．
∴EF =EC ．∴∠CEF =2∠FEG=90?．
∴△CEF 是等腰直角三角形．……… 8分
23．通州证明：（1）如图1，连接FE 、FC
∵点F 在线段EC 的垂直平分线上∴FE =FC ∴∠FEC =∠FCE ∵△ABD 和△CBD 关于直线BD 对称（点A 的对称点是点C ） ∴AB =CB ，∠ABD =∠CBD ∵在△ABF 与△CBF 中
AB ＝CB
∠ABD ＝∠CBD
BF ＝BF
∴△ABF ≌△CBF （SAS ）∴∠BAF =∠FCE ，FA =FC [来
∴FE =FA ，∠FEC =∠BAF ∴∠EAF =∠AEF [来
∵∠FEC +∠BEF =180°∴∠BAF +∠BEF =180° ∵∠BAF +∠BEF +∠AFE +∠ABE =360°
∴∠AFE +∠ABE =∠AFE +∠ABD +∠CBD =180°
又∵∠AFE +∠EAF +∠AEF =180°∴∠EAF +∠AEF =∠ABD +∠CBD ∵∠ABD ＝∠CBD, ∠EAF =∠AEF ∴∠EAF =∠ABD …..(3分) （2）FM =72
FN 证明： 由(1)可知∠EAF =∠ABD
又∵∠AFB =∠GFA ∴△AFG ∽△BFA ∴∠AGF =∠BAF
又∵∠MBF =12∠BAF ．∴∠MBF =12
∠AGF
G F
C
B D A E N G F D B A E
M
又∵∠AGF =∠MBG +∠BMG ∴∠MBG =∠BMG ∴BG =MG
∵AB =AD ∴∠ADB =∠ABD =∠EAF
又∵∠FGA =∠AGD ∴△AGF ∽△DGA GF AG AF
AG GD AD ∴
==
∵AF =23AD 2
3
GF AG AG GD ∴
== 设GF =2a AG =3a ．∴GD =92a ∴FD =5
2
a
∵∠CBD =∠ABD ∠ABD =∠ADB ∴∠CBD =∠ADB
∴BE //AD ∴
BG EG GD AG =2
3
EG AG BG GD ∴== 设EG =2k ∴BG =MG =3k
过点F 作FQ //ED 交AE 于Q ∴5
4
252===a a FD GF QE GQ ∴QE GQ 54=
∴GQ =
49EG =89k MQ =3k +89k =359k ∵FQ //ED 72
MF MQ FN QE ∴
==∴FM =7
2FN 24西城．解：（1）AB=AC+CD ； 1分 （2）①AB=AC+CE ； 2分
证明：在线段AB 上截取AH=AC ，连接EH ． ∵AD 平分∠BAC ∴12∠=∠．
又∵AE=AE ，∴△ACE ≌△AHE ． ∴CE=HE ． 3分 EF 垂直平分BC ，∴CE=BE ．4分
又∠ABE =60°，∴△EHB 是等边三角形．∴BH=HE ．∴AB=AH+HB=AC+CE ．5分[来
②在线段AB 上截取AH=AC ，连接EH ，作EM ⊥AB 于点M ． 易证△ACE ≌△AHE ，∴CE=HE ．
∴△EHB 是等腰三角形．∴HM=BM ．∴AC+AB=AH+AB=AM-HM+AM+MB=2AM ．
∵3AC AB AE +=，∴3
2
AM AE =
． 在Rt △AEM 中，3
cos 2
AM EAM AE ∠=
=
，∴∠EAB =30°．∴∠CAB =2∠EAB =60°
H
E
F
D
C
B
A D M H
F
E
C
A
B