第四章 因式分解
第一节 因式分解
【学习目标】
（1）了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.
（2）通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养观察能力和语言概括能力. （3）通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，了解事物间的因果联系. 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合． 【学习重难点】
重点： 1.理解因式分解的意义.
2.识别分解因式与整式乘法的关系.
难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系. 【学习过程】
模块一 预习反馈 一．学习准备
1．因式分解是：把 的形式。
2．请同学们阅读教材，预习过程中请注意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号；
⑵完成你力所能及的随堂练习和习题； 二．教材精读：
1、整式乘法
公式类：()()a b a b +-= 2()a b += 2
()a b -= (1)单?单：34a ab = (2) 单?多：(35)a a b -=
(3) 多?多：(3)(2)x y x y -+= (4) 混合乘：(1)(1)a a a +-=
2、把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式
如：⑴22a b -=()()a b a b +- ⑵22
2a ab b ++=2()a b +
⑶ 222a ab b -+=2()a b - ⑷2
35a ab -=(35)a a b -
⑸3
a a -=(1)(1)a a a +-
定义解析：（1）等式左边必须是
（2）分解因式的结果必须是以 的形式表示；
（3）分解因式必须分解到每个因式都有不能分解为止。
3、分解因式与整式乘法的关系是： 模块二 合作探究
探究一：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？ （1）2
2
111x x x x x x ????-
=+- ????
??? （2）()22
2424ab ac a b c +=+ （3）2
4814(2)1x x x x --=-- （4）222()ax ay a x y -=-
（5）2224(2)a ab b a b -+=- （6）2
(3)(3)9x x x +-=- 解:
（7）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A 、29)3)(3(x x x -=+-
B 、))((2233n mn m n m n m ++-=-
C 、)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y
D 、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242 探究二：连一连：
9x 2－4y 2 a （a ＋1）2 4a 2－8ab ＋4 b 2
－3a （a ＋2）
－3 a 2－6a 4（a －b ）2
a 3＋2 a 2
＋a （3x ＋2y ）（3x －2y ） 模块三 形成提升
1． 下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）.
A ．a （a －b ）＝a 2－ab ；
B ．a 2
－2a ＋1＝a （a －2）＋1 C ．x 2
－x ＝x （x －1）； D ．x 2
－y
y ?1
＝（x ＋y 1）（x －y 1）
2.连一连：
a 2－1 (a +1)(a －1)
a 2+6a +9 (3a +1)(3a －1) a 2－4a +4 a (a －
b ) 9a 2－1 (a +3)2 a 2－ab (a －2)2
模块四 小结反思
一．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
二．本课典型：识别分解因式。
三．我的困惑：请写出来：
课外拓展思维训练： 分解因式：
1.若分解因式x 2
+mx-15=(x+3)(x+n),则m 、n 的值是多少？
2．把下列各式分解因式正确的是（ ）
A ．x y 2－x 2y ＝x （y 2－xy ）；
B ．9xyz －6 x 2y 2
＝3xyz （3－2xy ） C ．3 a 2
x －6bx ＋3x ＝3x （a 2
－2b ）； D ．
21x y 2
＋21x 2y ＝2
1xy （x ＋y ）
第四章因式分解
第二节提公因式法（一）
【学习目标】
（1）经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式（单项式式）；（2）会用提取公因式法进行因式分解（单项式式）．
（3）通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强直觉思维，培养观察能力；进一步发展类比思想；
【学习方法】．自主探究与小组合作交流相结合．
【学习重难点】
重点: 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.
难点：让学生识别多项式的公因式.
【学习过程】
模块一预习反馈
一．学习准备：
1．请同学们阅读教材的内容，并完成书后习题
2．预习过程中请注意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号；
⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；
二．教材精读：
1、一个多项式中各项都含有的因式，叫做这个多项式各项的．
2、公因式是各项系数的与各项都含有的字母的的积
多项式ma+mb+mc都含有的相同因式是，
多项式3x2－6xy+x都含有的相同因式是。
3、如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做
4.提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？
模块二合作探究
探究一：找出下列多项式的公因式：
（1）3x+6 （2）7x2－21x
（3）8a3b2－12ab3c+abc （4）－24x3－12x2+28x.
探究二：分解因式：
（1）3x+6; （2）7x2－21x;
（3）8a3b2－12ab3c+abc （4）－24x3－12x2+28x.
互相交流，总结出找公因式的一般步骤：
首先：
其次：
探究三：用提公因式法分解因式： （1）c b a c ab b a 2
3
3
2
3
6128+-
（2）)(6)(4)(8a x c x a b a x a ---+-
（3）5335y x y x +-
1）c b a c ab b a 2
3
3
2
3
6128+-
（2）)(6)(4)(8a x c x a b a x a ---+-
（3）5
3
3
5
y x y x +-
模块三 形成提升 1．填空
（1）3x 2-27ax=3x （ ）； （2）12a 2b+8ab 2
=（ ）（3a+2b ）；
（3）25m 2+15mn-5m=5m （ ）； （4）4a 2
-6ab+2a=（ ）（2a-3b+1）。 2．将下列多项式进行分解因式：
（1）8x –72 （2）a 2b –5ab （3）4m 3–8m 2
（4）a 2b –2ab 2+ab （5）–48mn –24m 2n 3 （6）–2x 2y +4xy 2
–2xy
模块四 小结反思
一．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
二．本课典型：提取公因式法进行因式分解
三．我的困惑：请写出来： 课外拓展思维训练：分解因式：（1）x
n+1
-5x n (2)-8x
2m+1y
m+2
+28x m+1y 2m+4
第四章因式分解
第二节提公因式法（二）
【学习目标】：
（1）进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法.
（2）培养学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力．
（3）从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展类比思想．【学习方法】．自主探究与小组合作交流相结合．
【学习重难点】重点：能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式.
难点：准确找出公因式，并能正确进行分解因式.
【学习过程】
模块一
一．学习准备：
1．请同学们阅读教材的内容，并完成书后习题
2．预习过程中请注意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号；
⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；
二．教材精读：
1、一个多项式中各项都含有的因式，叫做这个多项式各项的．
（1）–2x2y+4xy2–2xy的公因式：
（2）a（x–3）+2b（x–3）的公因式：
2、如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做
模块二合作探究
探究一：把下列各式分解因式：
（1）x（a+b）+y（a+b）（2）3a（x－y）－（x－y）
探究二：
1．在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：
（1）2–a= （a–2）（2）y–x= （x–y）
（3）b+a= （a+b）（4）（b–a）2= （a–b）2
（5）–m–n= （m+n）（6）–s2+t2= （s2–t2）
2．把下列各式分解因式：
（1）a（x–y）+b（y–x）（2）2（y－x）2+3（x－y）
（3）6（p+q）2－12（q+p）（4）a（m－2）+b（2－m）
（5）3（m–n）3–6（n–m）2（6）mn（m－n）－m（n－m）2
模块三 形成提升 1、填一填：
（1）3+a = （a+3） （2）1–x = （x –1）
（3）（m –n ）2= （n –m ）2 （4）–m 2+2n 2= （m 2–2n 2
）
2、把（x －y ）2
－（y －x ）分解因式为（ ） A ．（x －y ）（x －y －1） B ．（y －x ）（x －y －1） C ．（y －x ）（y －x －1） D ．（y －x ）（y －x ＋1） 3、下列各个分解因式中正确的是（ ）
A ．10ab 2c ＋6ac 2＋2ac ＝2ac （5b 2
＋3c ）
B ．（a －b ）3－（b －a ）2＝（a －b ）2
（a －b ＋1）
C ．x （b ＋c －a ）－y （a －b －c ）－a ＋b －c ＝（b ＋c －a ）（x ＋y －1）
D ．（a －2b ）（3a ＋b ）－5（2b －a ）2
＝（a －2b ）（11b －2a ）
4、观察下列各式: ①2a ＋b 和a ＋b ，②5m （a －b ）和－a ＋b ，③3（a ＋b ）和－a －b ，
④x 2－y 2和x 2+y 2
。其中有公因式的是（ ） A ．①② B.②③ C ．③④ D ．①④ 5、把下列各式因式分解：
（1）x （a+b ）+y （a+b ） （2）3a （x –y ）–（x –y ）
（3）6（p+q ）2
–12（q+p ） （4）a （m –2）+b （2–m ）
（5）2（y –x ）2+3（x –y ） （6）mn （m –n ）–m （n –m ）2
模块四 小结反思
一．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
二．本课典型：提公因式法分解因式。
三．我的困惑：请写出来：
课外拓展思维训练：分解因式：
1.分解因式:x （a-b ）2n +y （b-a ）2n+1
=_______________________.
2.△ABC 的三边满足a 4+b 2c 2-a 2c 2-b 4
=0，则△ABC 的形状是__________. 3.若A y x y x y x ?-=+--)(2
2
，则A =_____
第四章 因式分解
第三节 运 用 公 式 法（一）
【学习目标】
（1）了解运用公式法分解因式的意义； （2）会用平方差公式进行因式分解；
（3）了解提公因式法是分解因式，首先考虑方法，再考虑用平方差公式分解因式．
（4）在引导学生逆用乘法公式的过程中，发展学生的观察能力培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法． 【学习方法】．自主探究与小组合作交流相结合． 【学习重难点】
重点：让学生掌握运用平方差公式分解因式.
难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.
【学习过程】
模块一 预习反馈 一．学习准备：
1．请同学们阅读教材的内容，并完成书后习题
2．预习过程中请注意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号；
⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；
二．教材精读：
1、平方差公式：a 2–b 2
= 填空： （1）（x+3）（x –3） = （2）（4x+y ）（4x –y ）= ； （3）（1+2x ）（1–2x ）= ；（4）（3m +2n ）（3m –2n ）= ．
2、把（a +b ）（a －b ）=a 2－b 2反过来就是a 2－b 2
=
a 2－
b 2= 中左边是两个数的 ，右边是这两个数的 与这两个数的 的 。
根据上面式子填空：
（1）9m 2–4n 2= ； （2）16x 2–y 2
= ；
（3）x 2–9= ； （4）1–4x 2
= ． 模块二 合作探究
探究一：把下列各式因式分解：
（1） x 2－16 （2）25–16x 2
（3）9a 2
–241b （4） 9 m 2－4n 2
探究二：将下列各式因式分解：
（1）9（x –y ）2–（x +y ）2 （2）2x 3–8x （3）3x 3
y –12xy （4）a 4-81
模块三 形成提升 1、判断正误：
（1）x 2+y 2
=（x+y ）(x –y ) ( )
（2）–x 2+y 2
=–（x +y ）(x –y ) ( )
（3）x 2–y 2
=（x+y ）(x –y ) ( )
（4）–x 2–y 2
=–（x+y ）(x –y ) ( ) 2、下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）
A.-a 2+b 2
B.-x 2-y 2
C.49x 2y 2-z 2
D.16m 4-25n 2
3、分解因式3x 2-3x 4
的结果是（ ）
A.3(x+y 2)(x-y 2)
B.3(x+y 2)(x+y)(x-y)
C.3(x-y 2)2
D.3(x-y)2(x+y) 2
4、把下列各式因式分解：
（1）4–m 2 （2）9m 2–4n 2
（3）a 2b 2－m 2 （4）(m －a )2－(n ＋b )2
（5）
（6）－16x 4
+81y 4
5、分解多项式:
（1）16x 2y 2z 2-9; （2）a 2b 2－m 2
（2）81(a+b)2-4(a-b)2 （4）（m －a ）2－（n +b ）2
模块四 小结反思
一．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
二．本课典型：平方差公式分解因式。
三．我的困惑：请写出来： 课外拓展思维训练：
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A 、22)(b a -+
B 、mn m 2052
- C 、2
2y x -- D 、92
+-x
2.分解因式：
1.2
224)1(a a -+ 2. x 3- x
第四章 因式分解
第三节 运 用 公 式 法（二）
【学习目标】
（1）会用完全平方公式进行因式分解；
（2）清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．
（3）通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，感受事物间的因果联系． 【学习方法】．自主探究与小组合作交流相结合． 【学习重难点】
重点： 会用完全平方公式进行因式分解 难点： 对完全平方公式的运用能力． 【学习过程】
模块一 预习反馈 一．学习准备：
1．请同学们阅读教材57页～58页的内容，并完成书后习题 2．预习过程中请注意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号；
⑵完成你力所能及的随堂练习和习题；
二．教材精读：
1、分解因式学了哪些方法?
2、填空： （1）（a+b ）（a-b ） = ；
（2）（a+b ）2
= ；
（3）（a –b ）2
= ； 根据上面式子填空：
（1）a 2–b 2
= ；
（2）a 2–2ab+b 2
= ；
（3）a 2+2ab+b 2
= ； 结论：形如 与 的式子称为完全平方式．由分解因式与整式
乘法关系可以看出：如果 ，那么 ，这种分解因式的方法叫运用公式法。 模块二 合作探究
探究一： 观察下列哪些式子是完全平方式？如果是，请将它们进行因式分解．
（1）x 2–4y 2 （2）x 2+4xy –4y 2 （3）4m 2–6mn+9n 2
（4）m 2+9n 2+6mn （5）x 2–x+ （6）251056+-x x
4
1
探究二：把下列各式因式分解： （1）a 2
b+b 3
－2ab 2
（2） ；
（3） （4）
（5）
（6）（m 2
-2m ）2
-2(m 2
-2m)+1
模块三 形成提升
1．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．m 2
－mn+n 2
B ．（a+b ）2
－4ab C ．x 2
－2x+
4
1 D ．x 2
+2x －1 2．若a+b=4，则a 2
+2ab+b 2
的值是（ ）
A ．8
B ．16
C ．2
D ．4 3.如果
是一个完全平方式，那么k 的值是__________；
4．下列各式不是完全平方式的是（ ）
A ．x 2
+4x+1 B ．x 2
－2xy+y 2
C ．x 2y 2
+2xy+1 D ．m 2
－mn+4
1n 2
5.把下列各式因式分解：
（1）x 2
–4x+4 （2）9a 2
+6ab+b 2
（3）m 2
–9
1
32+m （4）3ax 2+6axy+3ay 2
（5）–x 2
–4y 2
+4xy （6）
()()1682
++++n m n m
模块四 小结反思
一．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 二．本课典型：完全平方公式进行因式分解。
三．我的困惑：请写出来：
课外拓展思维训练：1.若x 2
+2(m-3)x+16是完全平方式，则m=___________.
2.若a 2+2a+b 2
-6b+10=0， 则a=___________，b=___________.
试说明：无论x 、y 为何值，353091242
2
+++-y y x x 的值恒为正。
第四章 因式分解
第四节 十 字 相 乘 法
【学习目标】
1、会用十字相乘法进行二次三项式的因式分解；
2、通过自己的不断尝试，培养耐心和信心，同时在尝试中提高观察能力。 【学习重难点】重点：能熟练应用十字相乘法进行的二次三项的因式解。
难点：准确地找出二次三项式中的常数项分解的两个因数与多项式中的一次
项的系数存在的关系，并能区分他们之间的符号关系。 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合． 模块一 预习反馈 一．学习准备：
(一)、解答下列两题，观察各式的特点并回答它们存在的关系
1.（1）(x+2)(x+3)＝ （2）(x －2)(x －3)＝ （3）(x －2)(x+3)＝ （4）(x+2)(x －3)＝
(5)（x+a ）(x+b)=x 2
+( )x+
2.（1）x 2+5x+6＝( )( ) （2）x 2
－5x+6=( )( )
（3）x 2+x －6=( )( ) （4）x 2
－x －6=( )( ) （二）十字相乘法 步骤：（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况； （2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数； （3）将原多项式分解成))((q x p x ++的形式。
关键：乘积等于常数项的两个因数，它们的和是一次项系数
二次项、常数项分解竖直写，符号决定常数式，交叉相乘验中项，横向写出两因式
例如：x 2
+7x+12 = (x+3)(x+4)
模块二 合作探究
探究一：1.在横线上填+ ，－ 符号
(1) x 2+4x+3=(x 3)(x 1); (2) x 2
－2x －3=(x 3)(x 1);
(3) y 2－9y+20=(y 4)(y 5); (4) t 2
+10t －56=(t 4)(t 14)
(5) m 2+5m+4=(m 4)(m 1) (6) y 2
－2y －15=(y 3)(y 5)
归纳总结：用十字相乘法把二次项系数是“1”的二次三项式分解因式时,
(1).当常数项是正数时，常数项分解的两个因数的符号是（ ）,且这两个因数的符号 与一次项的系数的符号（ ）。
(2).当常数项是负数时， 常数项分解的两个因数的符号是（ ），其中（ ）的因数符号与一次项系数的符号相同。
（3）对于常数项分解的两个因数，还要看看它们的（ ）是否等于一次项的（ ）。 探究二：用十字相乘法分解因式
（1）a 2+7a+10 （2） y 2
－7y+12
（3） x 2+x －20 （4） x 2－3xy+2y 2
探究三：因式分解:
（1） 2x 2－7x+3 (2) 2x 2+5xy+3y
2
模块三 形成提升
1.因式分解成（x －1）(x+2)的多项式是（ ）
A.x 2－x －2
B. x 2+x+2
C. x 2+x －2
D. x 2－x+2
2.若多项式x 2
－7x+6=(x+a)(x+b)则a=_____，b=_____。
3. (1)x 2+4x+_____=(x+3)(x+1)； (2)x 2
+____x －3=(x －3)(x+1)；
4.因式分解：
(1) m 2+7m －18 (2)x 2-9x+18 （3）3y 2+7y -6 (4)x 2
－7x+10
(5)x 2+2x －15 (6)12x 2－13x+3 (7)18x 2－21xy+5y 2
模块四 小结反思
一．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 二．本课典型：十字相乘法进行二次三项式的因式分解。 三．我的困惑：请写出来：
课外拓展思维训练：
1.若(x 2+y 2)(x 2+y 2-1)=12， 则x 2+y 2
=___________. 2.已知：02,02
2
=-+≠b ab a ab ，那么
b
a b
a +-22的值为_____________.
3.若)5)(3(+-x x 是q px x ++2
的因式，则p 为（ ） A 、－15 B 、－2 C 、8 D 、2 4.多项式2,12,2
2
2
3
--+++x x x x x x 的公因式是___________.
第四章 因式分解
回顾与思考
【学习目标】
1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式.
2.通过因式分解综合练习,提高观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.
【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合． 【学习过程】 典型问题分析
问题一：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A ．bx ax b a x -=-)(
B ．2
22)1)(1(1y x x y x ++-=+-
C ．)1)(1(12
-+=-x x x D ．c b a x c bx ax ++=++)( 问题二：把下列各式分解因式
(1) 235a ab - （2）3a(2x-y)-6b(y-2x) （3）16a 2－9b 2
（4）（x 2+4）2－（x +3）2 （5）－4a 2－9b 2+12ab （6）x 3
-x
（7）（x +y ）2+25－10（x +y ） （8）a 3-2a 2
+a
问题三：把下列各式因式分解：
（1）x 3y 2–4x （2）2（y －x ）2+3（x －y ） （3）a 3+2a 2
+a
（4）（x –y ）2–4（x +y ）2 （5）（x +y ）2–14（x+y ）+49 （6）1272
++x x
问题四：如果多项式100x 2–kxy +49y 2
是一个完全平方式，求k 的值；
问题五：⑴已知x +y =1，求222
1
21y xy x ++的值． ⑵已知5,3a b ab -==，求代数式32232a b a b ab -+的值.
课外拓展思维训练：
1.（1）22)34()43)(62()3(y x x y y x y x -+-+++
（2）2762
4--a a
2.解答题 设n 为正整数，且64n
-7n
能被57整除，证明：21
278
+++n n 是57的倍数.
北师大版八年级上册数学整理总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根
北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的 平方，即2 22c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+，那 么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 22c b a =+的三个正整数a ，b ， c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组 勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 （4）构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为 10。求直角三角形的两直角边。 解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知： ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。 中考突破 （1）中考典题 例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得 得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ 思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。 解：在Rt △ACB 中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2 ∵BD=0.5，∴CD=2 ∴EC=1.5 答：梯子顶端下滑了0.5米。 点拨：要考虑梯子的长度不变。 例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。 思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD ，似乎不 解：连结AC ，在Rt △ADC 中， 在△ABC 中，AB2=1521 答：这块地的面积是216平方米。 点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。 第二章 实数 基本知识回顾 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 得要领，连结，求出即可。AC S S ABC ACD ??-
因式分解 1、选择题 1、代数式a3b2－ａ2b3, a3b4＋ａ4b3,a4b2－ａ2b4的公因式是（） A、a3b2 B、a2b2 C、a2b3 D、a3b3 2、用提提公因式法分解因式5a(x－y)－10b·(x－y)，提出的公因式应当为（） A、5a－10b B、5a＋10b C 、5(x－ｙ) D、y－ｘ 3、把－8m3＋12m2＋4m分解因式，结果是（） A、－4m(2m2－3m) B、－4m(2m2＋3m－１) C、－4m(2m2－3m－１) D、－2m(4m2－6m＋２) 4、把多项式－2x4－4x2分解因式，其结果是（） A、2(－ｘ4－2x2) B、－2(x4＋2x2) C、－ｘ2(2x2＋4) D、－2x2(x2＋2) 5、（－2）1998＋（－2）1999等于（） A、－２1998 B、２1998 C、－２1999 D、21999 6、把16－ｘ4分解因式，其结果是（） A、(2－x)4 B、(4＋ｘ2)( 4－ｘ2) C、(4＋ｘ2)(2＋x)(2－x) D、(2＋x)3(2－x) 7、把ａ4－2a2b2＋ｂ4分解因式，结果是（） A、ａ2(a2－2b2)＋ｂ4 B、(a2－ｂ2)2 C、(a－b)4 D、(a＋ b)2(a－b)2 8、把多项式2x2－2x＋分解因式，其结果是（） A、(2x－)2 B、2(x－)2 C、(x－)2 D、 (x－１)2 9、若9a2＋6(k－3)a＋1是完全平方式，则 k的值是（） A、±4 B、±2 C、3 D、4或2 10、－（2x－y）(2x＋ｙ)是下列哪个多项式分解因式的结果（） A、4x2－ｙ2 B、4x2＋ｙ2 C、－4x2－ｙ2 D、－4x2＋ｙ2 11、用分组分解法把分解因式，正确的分组方法是：（）
《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版） 第一章 勾股定理 1、勾股定理-----已知直角三角形，得边的关系 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理-----由边的关系，判断直角三角形 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1）、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的 平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果2 b c a +=，那么a,b,c 就是一组勾股数. 如：（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2 2 2,1,1n n n -+ 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面 积…… （3）判定三角形形状： 222a b c +> 锐角三角形，222a b c +=直角三角形，222a b c +<钝角三角形 判定直角三角形 a..找最长边； b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系； c.确定形状 第二章 实数 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。
北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
学生做题前请先回答以下问题 问题1：因式分解的定义是什么？里面有几个关键词，分别是什么？ 问题2：因式分解有几种方法，分别是什么？ 问题3：提公因式法需要注意哪些要点？ 问题4：当利用公式法分解因式时：两项通常考虑_________，三项通常考虑___________；并且需要注意两点：①___________；②____________． 问题5：当多项式的项数比较多时常考虑__________法． 问题6：因式分解的口诀是什么？分别是什么意思？ 问题7：是因式分解吗？为什么？ 因式分解的四种方法（北师版） 一、单选题(共20道，每道5分) 1.下列选项中，从左到右的变形是分解因式的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式的定义 2.将分解因式时，应提取的公因式是( ) A.a2 B.a
C.ax D.ay 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法 3.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法 4.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法 5.下列选项中，能用完全平方公式分解因式的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法 6.下列选项中，能用公式法分解因式的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法 7.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法 8.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
八年级上册数学试题卷 期末考试一 一、选择题（本大题共6小题，每小3分，共18分） 1.下列四组数据中，不能．．作为直角三角形的三边长是（ ） A ．6，8，10 B ．7，24，25 C ．2，5，7 D ．9，12，15 2. 在算式( (的中填上运算符号，使结果最大的运算符号是（ ） A ．加号 B ．减号 C ．乘号 D ．除号 3.下列数据是2013年3月7日6点公布的中国六大城市的空气污染指数情况： 则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A ．164和163 B ．163和164 C ．105和163 D ．105和164 4.下列各式中计算正确的是（ ） A ．9)9(2-=- B ．525±= C ．1)1(33 -=- D ．2)2(2-=- 5.右图中点P 的坐标可能是（ ） A ．(-5,3) B ．(4,3) C ．(5,-3) D ．(-5,-3) 6.一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下 列结论①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中， 正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题（本大题共8小题，每小3分，共24分） 7. 9的平方根是 . 8. 函数y=x -1中，自变量x 的取值范围是 . 9.万安县某单位组织34人分别到井冈山和兴国进行革命传统教育，到井冈山的人数是 到兴国的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x 人，到 兴国的人数为y 人，请列出满足题意的方程组 . 10.一个一次函数的图象交y 轴于负半轴，且y 随x 的增大而减小，请写出满足条件的 一个函数表达式： . b 第6题
最新北师大版八年级数学上册知识点总结 第一章 勾股定理 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即222 a b c +=。 2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。 3．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222 a b c +=，那么这个三角形是直角 三角形。满足222 a b c +=的三个正整数称为勾股数。 第二章 实数 1．平方根和算术平方根的概念及其性质： （1）概念：如果2 x a =，那么x 是a 的平方根，记作： a （2）性质：①当a ≥0≥0；当a ＝a a =。 2．立方根的概念及其性质： （1）概念：若3 x a =，那么x 是a （2a =；②3 a = 3．实数的概念及其分类： （1）概念：实数是有理数和无理数的统称； （2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。 4．与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。 5 （a ≥0，b ≥0） a ≥0，b ＞0）。 第三章 1．平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。 2．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这点定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过旋转，图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度；任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等。 3．作平移图与旋转图。 第四章 四边形性质的探索 1．多边形的分类： 2．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别： （1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相=b a b =
1.）3a3b2c－12a2b2c2＋9ab2c3 2.）16x2－81 3.）xy＋6－2x－3y 4.）x2(x－y)＋y2(y－x) 5.）2x2－(a－2b)x－ab 6.）a4－9a2b2 7.）x3＋3x2－4 8.）ab(x2－y2)＋xy(a2－b2) 9.）(x＋y)(a－b－c)＋(x－y)(b＋c－a) 10.）a2－a－b2－b 11.）(3a－b)2－4(3a－b)(a＋3b)＋4(a＋3b)212.）(a＋3) 2－6(a＋3) 13.）(x＋1) 2(x＋2)－(x＋1)(x＋2) 214．）16x2－81 15.）9x2－30x＋25 16.）x2－7x－30
17.) x(x＋2)－x 18.) x2－4x－ax＋4a 19.) 25x2－49 20.) 36x2－60x＋25 21.) 4x2＋12x＋9 22.) x2－9x＋18 23.) 2x2－5x－3 24.) 12x2－50x＋8 25.) 3x2－6x 26.) 49x2－25 27.) 6x2－13x＋5 28.) x2＋2－3x 29.) 12x2－23x－24 30.) (x＋6)(x－6)－(x－6) 31.) 3(x＋2)(x－5)－(x＋2)(x－3) 32.) 9x2＋42x＋49
33.) x4－2x3－35x 34.) 3x6－3x2 35.）x2－25 36.）x2－20x＋100 37.）x2＋4x＋3 38.）4x2－12x＋5 39.）3ax2－6ax 40.）(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4) 41.）2ax2－3x＋2ax－3 42.）9x2－66x＋121 43.）8－2x244.）x2－x＋14 45.）9x2－30x＋25 46.）－20x2＋9x＋20 47.）12x2－29x＋15 48.）36x2＋39x＋9
因式分解 4.1 因式分解 PPT ---8页 1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解. 例如，a3－a ＝ a (a ＋1)(a －1)， am ＋bm ＋cm ＝m(a ＋b ＋c)，x2＋2x ＋l ＝(x ＋1)2都是因式分解。因式分解也可称为分解因式. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( ) A ．a2＋1＝a(a ＋ 1 a ) B ．(x ＋1)(x －1)＝x2－1 C ．a2＋a －5＝(a －2)(a ＋3)＋1 D ．x2y ＋xy2＝xy(x ＋y) 2、整式乘法与因式分解的关系： 整式乘法与因式分解：一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形． 即：多项式 整式乘积． 即：几个整式相乘 一个多项式 因式分解整式乘法垐垐垎噲垐垐整式乘法因式分解垐垐垎噲垐垐
4.2.1 公因式----PPT 1、公因式的定义：（3页） 一个多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式. 2、怎样确定多项式各项的公因式？（6页） 系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； 字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂； 习题：指出下列多项式各项的公因式： (1)3a2y－3ya＋6y；(2) 4 9 xy3－ 8 27x3y2； (3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3； (4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b. 3、找准公因式要“五看”，即： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项的系数的最大公约数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的次数：各相同字母的指数取次数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看作整体， 不要拆开； 五看首项符号，若多项式中首项是“－”，一般情况下公因式符号为负．(4)－24x3＋12x2－28x＝－( 24x3－12x2＋28x) ＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)＝－4x(6x2－3x＋7).
八年级上册 第一章 勾股定理 一、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 二、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 三、勾股数 满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数组有：（3，4，5）；（5，12， 13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）
)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数?????????????????--???---) ()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、 ??? ? ?? ????? ??实数第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算
第四章因式分解 4.1 分解因式 备课时间：2015年11月授课时间：2015年11月 教学目标: 知识与技能：经历探索因式分解方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与因式分解）。 过程与方法：了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。 情感态度与价值观：感受整式乘法在解决问题中的作用。 教学重难点： 探索因式分解方法的过程，了解因式分解的意义。 教学过程： 创设情景，导出问题： 首先教师进行章首导图教学，指出本章将要学习和探索的对象.教师进行情景的多媒体演示。 章首图力图通过一幅形象的图画——对开的两量列车和有对比性的两个式子，向大家展现了本章要学习的主要内容，并渗透本章的重要思想方法——类比思想，让学生体会因式分解与整式乘法之间的互逆关系。 993-99能被100整除吗？你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？ 探索交流，概括概念： 想一想：993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。 小明是这样做的：
（1）小明在判断993-99能否被100整除时是怎么做的？ （2）993-99还能被哪些正整数整除。 答案：（1）小明将993-99通过分解因数的方法，说明993-99是100的倍数，故993-99能被100整除。 （2）还能被98，99，49，11等正整数整除。 归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积。 议一议：现在你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？ 鼓励学生类比数的分解将a3-a分解。 做一做：计算下列各式： （1）（m+4）（m-4）= ; （2）（y-3）2= ； （3）3x（x-1）= ； （4）m（a+b+c）= . 根据上面的算式填空： （1）3x2-3x=（）（） （2）m2-16=（）（）
数学试题 一、选择题： 1．4的平方根是（ A ） A ．2± B ．2 C ． D 2.在平面直角坐标系中，点P （3，-2）在（ D ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.下列实数2 1 - , 0, π , 4 , 31 , 5中是无理数的有（ B ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．在下列四组数中，不是勾股数的是（ B ） A ．7,24,25 B ．3,5,7 C ．8,15, 17 D ．9,40,41 5．下列计算正确的是（ A ） A ．632= ? B ．532=+ C ．5315= D ．235=- 6．如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以 数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时 针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的 点A 处，则点A 表示的数是（ B ） A ．3 2 B C D .4.1 7．点（2，6）关于x 轴的对称点坐标为（ A ） A .（2，－6） B . （－2，－6） C . （－2，6） D . （6，2） 8．已知直角三角形中一条直角边长为12cm ，周长为30cm ，则这个三角形的面积是（B ）A ．2 20cm B ．2 30cm C ．2 60cm D ．2 75cm 9 -（ D ） A B ．2 C ． D ． 10．已知平面内的一点P ，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则点 P 的坐标是（ C ） A ．（-1，1）或（1，-1） B ．（1，-1） C ．（ ， ） D ）
11．实数b a ,在数轴上的位置如图所示， 则 ()a b a ++2 的化简结果为（ B ） A ．2a b + B ．b - C ．b D ．2a b - 12．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中' ' ' 9,5,6AB BB B C ===，在线段AB 的 三等分点E （靠近点A ）处有一只蚂蚁，'' B C 中点F 处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（ A ） A ．10 B ．106 C ．5+35 D ．6+34 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将答案填 在题后的横线上. 13．在平面直角坐标系中，点(),2P a a -在x 轴上，则a = 2 14．比较大小：23 < 52 （填“＞”或“＜”或“=” ） 15．x 为无理数21的小数部分，则x = 214- （结果保留根号） 16．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪， 拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 5 17．在平面直角坐标系中，等边ABC ?的顶点(6,0)A -，(2,0)B ，则顶点C 的坐标 为 (2,43),(2,43)--- 第12题图 第16题图 第11题图
2011-2012八年级上册数学试题 一、选择题:(本题共10小题,每小题2分,共20分。) 试试自己的能力，可别猜哦！ （下列各小题都给出了四个选项，其中只有唯一的一项是符合题目要求的，请把符合要求选项前面的字母填写在Ⅱ卷上指定的位置．） 1、下列各式中计算正确的是（ ） A 、9)9(2-=- B 、525±= C 、1)1(33-=- D 、2)2(2 -=- 2、根据下列表述，能确定位置的是（ ） A 、某电影院2排 B 、大桥南路 C 、北偏东30° D 、东经118°，北纬40° 3、给出下列5种图形：①平行四边形、②菱形、③正五边形、④正六边形、⑤等腰梯形．其中既是轴对称又是中心对称的图形有（ ）． A 、2种 B 、3种 C 、4种 D 、5种 4、 下列四点中，在函数y=3x+2的图象上的点是（ ） A 、（－1，1） B 、（－1，－1） C 、（2，0） D 、（0，－1.5） 5、把△ABC 各点的横坐标都乘以－1，纵坐标都乘以－1，符合上述要求的图是（ ） 6、某中学科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正 多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（ ） A 、正方形 B 、正六边形 C 、正八边形 D 、正十二边形 7、下列命题正确的是（ ） A 、正方形既是矩形，又是菱形 B 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C 、一个多边形的内角相等，则它的边一定都相等 D 、矩形的对角线一定互相垂直 8、已知正比例函数kx y =（0≠k ）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数k x y +=的图象大致是（ ） x y x y x y x y O O O O D y x C B A O C y x C B A O B y x C B A O A y x C B A O
学生做题前请先回答以下问题 问题1：提公因式法需要注意哪些要点？ 问题2：当利用公式法分解因式时：两项通常考虑_________，三项通常考虑___________；并且需要注意两点：①___________；②____________． 问题3：当多项式的项数比较多时常考虑__________法． 问题4：因式分解的口诀是什么？分别是什么意思？ 问题5：是因式分解吗？为什么？ 因式分解的四种基本方法（北师版） 一、单选题(共9道，每道11分) 1.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法 2.下列选项中，能用公式法分解因式的是( ) A. B. C. D.
答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法 3.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法 4.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法 5.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法 6.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法 7.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法 8.下列分解因式正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理（直角三角形的判定条件） 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形， 且最长边所对的角是直角。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
第二章 实 数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算术平方根和立方根
北师大版八年级数学上册教案 第一章勾股定理 §1.1 探索勾股定理（一） 教学目标： 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。 重点难点： 重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。 难点：勾股定理的发现 教学过程 一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 出示投影1 （章前的图文p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。 出示投影2 （书中的P2 图1—2）并回答： 1、观察图1-2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。 正方形C中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
2、你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问： 3、图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？ 学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？ 二、做一做 出示投影3（书中P3图1—4）提问： 1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？ 2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系? 3、从图1—1，1—2，1—3，1|—4中你发现什么？ 学生讨论、交流形成共识后，教师总结： 以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。 三、议一议 1、图1—1、1— 2、1— 3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ 2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 在同学的交流基础上，老师板书： 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理” 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c 那么
可编辑 北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 22c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+， 那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 22c b a =+的三个正整数a ，b ， c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一 组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 （4）构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。求直角三角形的两直角边。 解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知： ()()341009161002510042 2 2 2 2 2 x x x x x x +=+===，，， ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。 中考突破 （1）中考典题 例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶 端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ A A E C （1） （2） 思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。 解 ： 在 Rt △ ACB 中 ， AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2 ∵BD=0.5，∴CD=2 在中，Rt ECD EC ED CD ?22222252225=-=-=.. ∴EC=1.5 ∴=-=-=AE AC EC 215 05.. 答：梯子顶端下滑了0.5米。 点拨：要考虑梯子的长度不变。 例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。
北师大版八年级数学上期末复习提纲 姓名 第一章 勾股定理 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即2 22a b c +=。 2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。 3．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足2 22a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。满足222a b c +=的三个正 整数称为勾股数。 第二章 实数 1．平方根和算术平方根的概念及其性质： （1）概念：如果2 x a =，那么x 是a 的平方根，记作： 叫做a 的算术平方根。 （2）性质：①当a ≥0 0；当a ＝a a =。 2．立方根的概念及其性质： （1）概念：若3 x a =，那么x 是a ；（2 a =； ② 3 a = 3．实数的概念及其分类： （1）概念：实数是有理数和无理数的统称； （2）分类：按定义分为有理数和无理数；有理数可分为整数和分数；实数按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。 4．与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。 5．算术平方根的运算律： )0,0(≥≥=?b a ab b a （a ≥0，b ≥0）； （a ≥0，b ＞0）。 第三章 图形的平移与旋转 1．平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位 置；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。 2．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这点定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过旋转，图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度；任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等。 3．作平移图与旋转图。 第四章 四边形性质的探索 1．多边形的分类： 2．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别： （1）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 （2）菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。=实数 无理数(无限不循环小数) 有理数 正分数 负分数 正整数 负整数 (有限或无限循环性数) 整数 分数 正无理数 负无理数
2016八年级数学上册知识点总结(北师大版) 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= —b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|= -a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。