对数哈密顿方法及其应用 天体力学数值方法作为天体力学的重要领域之一在辛算法的提出后得到长足发展,辛算法保持哈密顿系统辛结构且计算过程中系统没有能量和角动量的长期误差累积。辛算法适用于哈密顿系统的长期定性演化研究同时也具有数值精度不高、显辛算法要求固定步长的不足。 通常积分计算天体紧密交汇问题或大偏心率轨道运动都需缩短步长来克服天体受引力过大而剧增的加速度,直接变步长将丢失辛算法保持辛结构的优势,考虑时间变换的思路,原时间变量取变步长而新的时间变量仍为固定步长,则既能调节步长又能保持辛算法固有优势。本文的主要内容为构造针对不同哈密顿系统的对数哈密顿算法及论证其在具有更高的数值精度和保证获得有效的混沌判别结果方面的优势。 针对不同的哈密顿系统结构构造不同形式的时间变换辛算法。对于可分解为分别只含状态量广义动量和广义坐标的动能部分和势能部分的哈密顿函数,可构造取时间变换函数为形式不同但等价的两个函数得到显式对数哈密顿方法,其中时间变换作用于哈密顿函数,本文构造了由三个二阶蛙跳算子构成的显式对数哈密顿Yoshida四阶方法。 对于动能部分具有广义动量和广义坐标的交叉项而势能部分仅含位置变量的系统构造显隐式混合对数哈密顿方法,对于动能部分应用隐式中点法。而对于更一般的系统则构造隐式对数哈密顿方法。 隐式方法具有更广泛的应用但也由于算法构造中包括迭代需耗费更多的计算机时间降低计算效率。本文详细论证了显式对数哈密顿方法在应用于牛顿圆型限制性三体问题及相对论圆型限制性三体问题时较于非时间变换辛算法更具数
值精度优势。 且在前一系统的精度优势独立于轨道偏心率的变化。对于后一系统这一现象未能发生但数值精度也明显优越于常规辛算法。 特别对于高偏心率轨道,非时间变换算法得到的虚假的混沌判别指标,如Lyapunov指标和快速Lyapunov指数(FLI)。而通过对数哈密顿方法则可获得可靠地定性分析结果,彻底地解决后牛顿圆型限制性三体问题的高偏心率轨道Lyapunov指数的过度估计和FLI快速增大的问题。 在得到论证后本文应用对数哈密顿方法讨论了动力学参数两主天体间距离的变化对动力学系统有序和混沌转化的影响。本文通过数值模拟验证了对数哈密顿方法具有更高的数值精度及可得到可靠的定性研究成果的优势。 适用于定性研究和定量计算高偏心率问题,为天体力学研究开拓了新思路。在实际的天体紧密交汇处的动力学演化提供反映动力学实质的积分工具。
第5章哈密顿原理 如前所述，力学的变分原理的实质是：将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判别准则以区分真实运动和可能的运动。哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间的位形轨迹加以比较，而哈密顿作用量S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函，从而得到对真实运动来讲，哈密顿作用量的变分等于零。 将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系，开拓了应用前景；由动力学普遍方程对时间积分，导出一个重要的力学变分原理——哈密顿原理，提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则；对于有限过程，提供了一种动力学问题的直接近似解法。 5.1 哈密顿正则方程 哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是2n 个一阶常微分方程组。我们知道，对于一个质点系统，在建立拉格朗日方程后，重要的问题是研究这个微分方程组的积分，但是求解往往是很困难的。哈密顿正则方程的重要性在于它将n 个二阶微分方程变换为2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了有利条件。若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用，则哈密顿正则方程对分析力学中的积分理论起着基础的和推动的作用。哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性研究中，并不需要求解微分方程组，而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方法求解。 5.1.1 正则方程的建立 对于主动力均有势的k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为 ),,2,1(0d d k j q L q L t j j ==??-???? ???? (5-1) 引入广义动量 ),,2,1(k j q L p j j =??= (5-2) 代入式(5-1)，有 ),,2,1(k j q L p j j =??= (5-3) 设拉格朗日函数L 满足条件 0det 2≠??? ? ? ????k j q q L 于是，可由式(5-2)反解出 ),,2,1(),,,,,,(11k j t p p q q f q k k j j == (5-4) 式(5-3)和式(5-4)就把方程(5-1)由k 个二阶微分方程化为2k 个一阶微分方程，其中方程 组(5-4)并非正则形式。引入哈密顿函数
1哈密顿原理
牛顿质点动力学 1 牛顿第二定律 dt d p f 从三个方面来应用： 全局性研究：对称性、守恒律、稳定性； 局部研究：平均值、动量定理、动能定理； 瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性； 2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题； 3 从动力学观点上升到能量的观点。 哈密顿原理、保守力及其势 4 五大类典型模型 概括： 一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）； 哈密顿原理的文字表述如下： 保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具有稳定值，即对于真实运动来讲，主函数的变分等于0。 二种建模方法：动力学方法、能量法； 三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部） 求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时）；
四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）； 五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模式） 哈密顿原理、对称性和稳定性 1.拉格朗日函数和哈密顿量 拉格朗日函数L 对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量),,(t q q L i i &来描述，其中i q 是广义坐标，=i q &dt dq i /是广义速度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有φθ,两个，其中?θcos sin R x =，θ?θcos ,sin sin R z b R y ==；一般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。 在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势能之差；U T L -= 哈密顿量H 物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述，在保守力作用下，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和
简单的论述哈密顿原理 摘要：证明力积分变量与变分无关的情况下积分运算与变分运算次序的可交换性，从不同角度论述了哈密顿原理的含义。 关键词：哈密顿原理，拉格朗日函数，变分，拉格朗日方程 1.引言 哈密顿原理是分析力学中几个重要原理之一，但它不是一个独立原理，它可已从其他原理推导出来，因而可以从不同角度说明它的物理含义。一般理论力学教材都是在拉格朗日方程两边同时乘以虚位移求所有自由度下的虚功之和，然后再求从位形1即(到位形2，即(之间或时间至 之间的作用量得出，最后变换成，并没有说明最后一步为 什么要那样做，也没有说明那样做的意义。本文先证明当积分变量与变分无关的条件下积分运算与变分运算次序的可交换性，然后再从不同角度论述哈密顿原理的意义。 2.理论 2.1变分运算与积分运算次序的可交换性 假定变量由一个或一组函数的选取而确定，则变量称 为函数的泛函，记作［］。泛函由n个函数的形式确定，是函数的“函数”。泛函与函数的概念略有不同，函数中的变量是可以变化的数值，而对于泛函处于自变量地位的是形式可以变化的函数。下面举例说明，如图1中有，两个固定点，连接两个固定点之间的曲线的长度由下式确定，即
显然，依赖于函数的选取，若函数的形式发生变化，则曲线的形状随 之变化，曲线的长度也随之变化。长度就是的 泛函。 下面证明变分运算与积分运算顺序的可交 换性，该泛函只依赖一个函数，即 自变量为的函数表示为。函数的变分是函数的微变量，它与函数的微分有本质有本质的不同，函数的微分，粗略的讲，它是由自变量的变化引起的。而函数的变分不是因为自变量的变化，它是来自函数形式的变化引起，这种由于函数形式变化造成的函数的变化称为函数的变分，记作。与函数临近但形 式与不同的函数有许多。 假设这些函数可以表示为如下的形式： 其中是非常小的参数，是任意给定的可微函数，因时，函 数形式的变化决定于上式的第二项。因此函数的变分写成 引入（2）式的记法（1）可记为 被积函数的形式是已知的，积分的上下限是固定的。当函数 的形式上发生变化时，泛函就会发生变化，这种由于函数形式的变化引起泛函的变化就为泛函的变分，记作。现将被积函数
1.哈密顿函数 拉氏方程是关于广义坐标的二阶微分方程组，Hamilton 正则方程是它的一种等价形式，是广义坐标和广义动量的一阶微分方程组，它适用于具有完整理想约束的保守系统。 引入广义动量p T q L q p q q q q q q t j j j j s s ===???? (,,...,; , ,..., ;)1212， 拉氏方程可表为：dp dt L q j j =?? 将广义速度表为广义坐标和广义动量的函数： (,,...,;,,...,;) (,,...,;,,...,;) (,,...,;,,...,;)q q q q q p p p t h p q L H q q q p p p t p q q q q p p p t L j j s s j j s s j j s s ==-∴=-∑∑121212121212 称H 为哈密顿函数，它与广义能量的唯一差别是它在数学形式上需表为广义坐标和广义动量的函数。 2.正则方程 分别将哈密顿函数对广义坐标和广义动量求偏微分，有 ????????????????????????????H q p q q L q q q L q p L q q q L q dp dt p H p q p q p L q q p q p L q q p j i i j i s i i j i s j i i i j i s j j j j j i i j i s i i j i s j i i i j i =--=--=-=-=+-=+-======∑∑∑∑∑ ( ) ( ) 11111112s j j j j j q q H p p H q j s ∑===-????? ??= (,,...,)???? 3.第一积分 如H 中不显含某个广义坐标，则相应的广义动量守恒； 如H 中不显含时间，则广义能量H 守恒。 4.解题步骤 Hamilton 方程可用于解决理想完整保守系的动力学问题。 1)确定系统自由度并选定广义坐标。 2)求出系统动能与势能，进而求出哈密顿函数H T T V =-+20（用广义坐标和广义动量表示） 3)将哈密顿函数代入正则方程，解出系统运动微分方程并求解。
1.哈密顿函数H(x,y)=1/2y^2—1/2x^2+1/4x^4的轨线图（等势面） >>clear;[X,Y]=meshgrid(-2:.1:2);Z=Y.*Y/2-X.*X/2+X.^4/4;mesh(X,Y,Z);hold off;hold on;contour3(X,Y,Z);hold off 2.V函数V（x,y）=1/2(8x^2+4xy+y^2)的等高线图及微分方程x’=y,y’=--2x-3y的轨线图。>>clear;[X,Y]=meshgrid(-10:.1:10);Z=(8*X.*X+4*X.*Y+Y.*Y)/2;hold on;contour(X,Y,Z,[0.2 1 3 8 15 25 40 80 200 500 1000]);axis([-10 10 -10 10]);hold off;[T,X]=ode45('fexa6',[0 20],[-10;10]);hold on;plot(X(:,1),X(:,2),'-r');hold off;[T,X]=ode45('fexa6',[0 20],[-8;-10]);hold on;plot(X(:,1),X(:,2),'-g');hold off;[T,X]=ode45('fexa6',[0 20],[8;10]);hold on;plot(X(:,1),X(:,2),'-r');hold off;[T,X]=ode45('fexa6',[0 20],[8;-10]);hold on;plot(X(:,1),X(:,2),'-g');hold off;% - - -fexa6.m- - - - - - - - - - - - - - - - - -;function dx=fexa6(t,x); dx=[x(2);-2*x(1)-3*x(2)];% - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
汉密尔顿函数 考虑如下系统： ()()()[]t t u t x f t x ,,= (1) 式中()n R t x ∈;()r R t u ∈ ()()[]t t u t x f ,,——n 维连续可微的矢量函数。 设给定[]f t t t ,0∈，初始状态为()00x t x =， 终端状态() f t x 自由。性能泛函为 ()()[]∫=f t t t t t u t x L J 0d ,, (2) 寻求最优控制()t u ，将系统从初始状态()00x t x =,转移到终端状态() f t x ，并使性能泛函J 取极值。将状态方程式(1)写成约束方程形式 ()()[]()0,,=?t x t t u t x f (3) 应用拉格朗日乘子法，构造增广泛函 ()()[]()()()[]()[]{} ∫?+=′f t t T t t x t t u t x f t t t u t x L J 0d ,,,, λ 式中λ(t)——待定的n 维拉格朗日乘子矢量。定义纯量函数 [][][]t u x f t u x L t u x H T ,,,,,,,λλ+= (4) 称[]t u x H ,,,λ为哈密尔顿函数。则： []{} ∫?=′f t t T t x t u x H J 0d ,,, λλ (5) 或[]∫= ′f t t t t u x x H J 0d ,,,,λ (6) 其中： [][][][]()()[]()()()[](){}t x t t u t x f t t t u t x L x t u x f t u x L x t u x H t u x x H T T T T ?+=?+=?=,,,,,,,,,,,,,,,λλλλλλ (7) 对式(5)右边第二项作分部积分，得： f f f t t T t t T t t T x t x t x 0 00d d λλλ?=?∫∫ 将上式代入式(5)，得 []{} f f t t T t t T x t x t u x H J 00d ,,,λλλ?+=′∫ (8)