探索性问题的常见类型及其求解策略
在近几年的高考试题中，有关探索性问题频频出现，涉及代数、三角、几何，成为高考的热点之一。正因如此，初等数学中有关探索性问题也就成为大家研究的热点。多年来笔者对此也做了一些探讨。
探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。
探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明：
一、条件追溯型
这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。
例1．（2002年上海10）设函数)(,2sin )(t x f x x f +=若是偶函数，则t 的一个可能值是 。
分析与解答：∵是偶又)().22sin()(2sin )(t x f t x t x t x f ++=+=+函数 ∴ )22sin()22sin()()(t x t x t x f t x f +-=++-=+即。由此可得
)(2)22(222222Z k k t x t x k t x t x ∈++--=+++-=+πππ或∴)(4
1
2Z k k t ∈+=
π 评注：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力．
二、结论探索型
这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。
例2． （2004年上海文12）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组。（写出所有符合要求的组号）。 ①S 1与S 2；②a 2与S 3；③a 1与a n ；④q 与a n .
其中n 为大于1的整数，S n 为{}n a 的前n 项和。 分析与解答：（1）由S 1和S 2，可知a 1和a 2。由
q a a =1
2
可得公比q ，故能确定数列是该数列的“基本量”。
（2）由a 2与S 3，设其公比为q ，首项为a 1，可得
211132
112,,q a q a a S q
a a q a a ++==
= ∴q a a q
a S 222
3++=
∴0)(23222=+-+a q S a q a
满足条件的q 可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列{}n a 的基本量。
（3）由a 1与a n ，可得1
111,a a q q a a n
n n n =
=--，当n 为奇数时，q 可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量。
（4）由q 与a n ，由1
111,--==n n
n n q
a a q a a 可得，故数列{}n a 能够确定，是数列{}n a 的一个基本量。 故应填①、④
评注：数学需要解题，但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略。本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义。如何能够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，
而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解． 例3（2002上海）．规定()()
11!
m x x x x m C m --+=
，其中x R ∈，m 是正整数，且
1x C =，这是组合数m n C （n ，m 是正整数，且m n ≤）的一种推广． （Ⅰ）求5
15C -的值；
（Ⅱ）组合数的两个性质：①m n m n n C C -=；②11m m m n n n C C C -++=
是否都能推广到（x R ∈，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
（Ⅲ）我们知道，组合数m n C 是正整数．那么，对于m x C ，x R ∈，m 是正整数，
是否也有同样的结论？你能举出一些m x C R ∈成立的例子吗？ 分析与解答：（Ⅰ）()()()5
15151619116285!
C ----=
=- ．
（Ⅱ）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定
义．从这个角度很快可以看出：性质①不能推广．例如当x =
但1无意义．
性质②如果能够推广，那么,它的推广形式应该是：11m m m
x x x C C C -++=，其中
x R ∈，m 是正整数．
类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论．事实上，
当1m =时，101
11x x x C C x C ++=+=．当
2m ≥时， ()()()()()()()()()()()
111112!1!
121 11!121 !
m m x x m x x x x m x x x m C C m m x x x m x m m m x x x m x m C -+--+--++=
+
---+-+??
=+
?-??--++=
=
由此，可以知道，性质②能够推广．
（Ⅲ）从m x C 的定义不难知道，当x Z ?且0m ≠时，m x C Z ∈不成立，下面，我
们将着眼点放在x Z ∈的情形．
先从熟悉的问题入手．当x m ≥时，m x C 就是组合数，故m
x C Z ∈．
当x Z ?且x m <时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（m x C ，x Z
?且x m <）与已知的结论m
n C Z ∈相联系？
一方面再一次考察定义：()()
11!
m x x x x m C m --+= ；另一方面，可以从具体的
问题入手．
由（Ⅰ）的计算过程不难知道：55
1519C C -=-．另外，我们可以通过其他例子发现类似的结论．因此，将5
15C -转化为519C 可能是问题解决的途径．
事实上，当0x <时，
()()()()()()()1111111!!
m m m
m
x
x m x x x m x m x x C C m m -+---+-+--+-==-=- ．
①若1x m m -+-≥，即1x ≤-，则1m x m C -+-为组合数，故m
x C Z ∈．
②若1x m m -+-<，即0x m ≤<时，无法通过上述方法得出结论，此时，由具
体的计算不难发现：43C ＝0……，可以猜想，此时0m
x C Z =∈．
这个结论不难验证．事实上，当0x m ≤<时，在,1,,1x x x m --+ 这m 个连续
的整数中，必存在某个数为0．所以，0m x C Z =∈．
综上，对于x Z ∈且m 为正整数，均有m
x C Z ∈．
评注：类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”的思维跳跃．在开放题
的教学中，引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养学生的创新思维能力，又有利于提高 学生举一反三、触类旁通的应变灵活性．
三条件重组型
这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。应该说此类问题是真正意义
上的创新思维和创造力。
例4 （1999年全国）α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外 的两条不同的直线，给出四个论断：
①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α
以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 。
分析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证。
分析与解答：依题意可得以下四个命题：
(1)m ⊥n ， α⊥β， n ⊥β? m ⊥α；(2)m ⊥n ， α⊥β， m ⊥α?n ⊥β； (3)m ⊥α， n ⊥β， m ⊥α? α⊥β；(4)α⊥β，n ⊥β，m ⊥α?m ⊥n 。 不难发现，命题(3)、(4)为真命题，而命题(1)、(2)为假命题。故填上命题(3)或(4)。
例5． （2004年北京）已知三个不等式：0,0,0>->->b
d
a c ad bc a
b （其中
a ，
b ，
c ，
d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
分析与解答：若0,0,0>-=
->->ab
ad
bc b d a c ad bc ab 则 ∴00,0>-?>->b
d
a c ad bc ab
若0,0,0>->->ab
ad
bc b d a c ab 则
0,0,00
,0,00
0,0,0>?>->->∴>->->->-?>->>-∴ab b d
a c ad bc a
b ab
ad
bc b d a c ad bc ad bc b
d
a c a
b ad b
c 即则若即 故三个命题均为真命题，选D 。 四、存在判断型
这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。解决这类问题的基本策略是：通常假
定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。 其中反证法在解题中起着重要的作用。
例6、（2004年福建）已知[]11)(3
24)(3
2，R x x ax x x f -∈-
+=在区间上是增函数。 （1）求实数a 的值组成的集合A ；
（2）设关于x 的方程331
2)(x x x f +=的两个非常零实根为x 1、x 2，试问：是
否存在实数m ，使得不等式2121x x tm m -≥++对任意[]1,1-∈∈t A a 及恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由。
分析与解答：（1）2224)(x ax x f -+='， ∴f(x)在[－1，1]上是增函数，
[]恒成立对1,10)(-∈≥'∴x x f
即x 2－ax －2≤0,对x ∈[－1，1]恒成立 ① 设2)(2--=ax x x ?
021)1(.
021)1(≤-+=-≤--=∴a a ??
11≤≤-∴a
[]{}
110)1(10)1(11,1≤≤-=∴='-==-'=-∈a a A f ，a f ，a ，x 时以及当时只有当对
（2）[]02)1(,02)1(1,11.
38,11.84)(022,0
8,
020.3
12324222122212
212212
12122332≤-+=≥--=--∈∈-≥++≤+=-∴≤≤-+=-+=-=--∴>+=?=--=+=-
+m m g m m g ，t A a x x tm m a x x a a x x x x x x ，
ax x x x a ax x ，x x x x ax x 恒成立及对任意要使不等式又的两非零实根是方程或得由
∴m ≥2或m ≤－2.
所以，存在实数m ，使不等式
[]1,11212-∈∈-≥++t A a x x tm m 及对任意
}{2,2-≤≥m m m ，或其取值范围是
恒成立 评注：“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行。“不存在”就是没有，找不到。这类问题常用反证法加以认证。“是否存在”的问题，结论有两种：如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由。这类问题常用“肯定顺推”。
例7、(2003年天津) 已知常数a>0，向量c=（0，a ），i=（1，0），经过原点O 以c+λi 为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.
分析与解答：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值.
∵i=(1,0),c=(0,a), ∴).2,1(2),,(a c i a i c λλλλ-=-=+
因此，直线OP 和AP 的方程分别为λy=ax 和y －a=－2λax .消去参数λ，得
点P （x,y ）的坐标满足方程y (y －a)=－2a 2x 2
,整理得,1)2()2(812
2
2
=-+a a
y x ①
因为a>0，所以得：
（i ）当a=22
时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ；
（ii ）当0 2,2 121(2a a -和 )2,2121(2a a F -- 为合乎题意的两个定点； （iii ）当a>22时，方程①表示椭圆，焦点E ()) 21 2 1,0(2-+a a 和F (2121 , 0(2--a a ））为合乎题意的两个定点. 评注：假设存在，按常规方法去求解，但要注意对a 进行讨论。 五、规律探究型 这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论。解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高。在数列问题研究中，经常是据数列的前几项所提供的信息作大胆的猜测，然后用数学归纳法证明，限于篇幅这样的例子不在列举。 下面来看： 例8、（2002年全国理）已知函数2 2 (),1x f x x =+那么 ___________. 111 (1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++= 分析与解答：考察函数可发现左式构成规律：1 ()()1 f x f x +=，于是立得结论 为7 2 。若直接代入费力又费时。 评注：本题要求学生在陌生的问题情境中能自主探索，提取相关信息，获得规 律，从而解决问题。 例9、（2001年上海）在棱长为a 的正方体''''OABC O A B C -中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF 。 （1）求证：'';A F C E ⊥ （2）当三棱锥'B BEF -的体积取得最大值时， 求二面角'B EF B --的大小（结果用反三角函数表示） 分析与解答：如图(2)：（1）中E 、F 虽在棱上运动，但始终体现出直线''A F C E ⊥的一个不变关系，而''C F A O ⊥不变，故只要去证'C F OF ⊥即可达到目的。（2）中寻求的是E 、F 在变化过程中二面角'B EF B --的最值状态，易看到该三棱锥的高一定，因此，只要底面面积最大即可。考察E 、F 在变化过程中当E 由A 向B 运动时，BEF ?的面积先由小渐大到一定值后又渐小，因此，在E 为AB 的中点时该三棱锥的体积取得最大值，从而解决问题。 O' C' B' C B A A' F E 图 评注：本题要求学生能让动态的量静止下来观察探究其特殊位置下的极值情况或一些恒成立的情况；让静止的量运动起来，观察探究其取值情况，并渗透极限思想。这是这类问题求解常用的方法之一。本题如果把（1）问改为'A F 与'C E 的位置关系如何？并证明你的结论则更好。 六、实验操作型 这类问题的基本特征是：给出一定的条件要求设计一种方案。解决这类问题的基本策略是：需要借助逆向思考动手实踐。 例10、（2002年全国文）已知四个面都是直角三角形的三棱锥，其中三个面展开后构成一直角梯形ABCD 。如图(3)所示， ,,2,,.AD AB AD DC AB a BC CD a ⊥⊥=== 请你在图中设计一种虚线，沿虚线翻折可成原来的三棱锥（指三棱锥的三个面）；求这个三棱锥外接球的体积。 分析与解答：本题是考查线面的垂直，直角三角形的性质和球的体积公式等知识。需大胆猜测：虚线之交点应是某边的中点，然后动手实踐，加以检验。 如图(4)，取AD 的中点E ，连EC ，EB ，沿EC ，EB 折起，使A 与D 重合。接下来通过证明得BEC ?为直角三角形即可（略）（2）略。 评注：该高考题在当年考后受一致好评，它要求考生有一定的动手能力和大胆的猜测能力。 例11、某自来水厂要制作容积为5002 m 的无盖长方体水箱。现有三种不同规格的金属制箱材料（单位m ）：（1）1919;(2)3010;(3)2512???请你选择其中的一种规格并设计出相应的制作方案（要求用料最省，简便易行） 分析与解答：“用料最省”等价于“无盖水箱表面积最小”。因此先确定该水箱的尺寸使其表面积最小，然后根据尺寸选择材料。 设无盖水箱的长、宽、高分别为,,a b c ，则其体积：3 500V abc m ==表面积： 22S bc ca ab =++， C D A B E 图3 C D A B 图4 这样问题可以转化为：已知：,,a b c 为正数，500abc =。求：22bc ca ab ++的 最小值及相应,,a b c 的值。 由均值不等式知22bc ca ab ++≥300==，当且仅当 22bc ca ab ==，即10,5a b c ===时，22bc ca ab ++2300m =最小。这表明将无盖 水箱设计为10105??时，用料最省。 如何选择材料并设计制作方案？我们可逆向思考，先将无盖水箱分解(展开)，我们不难发现制作10105??的无盖长方体水箱需一个1010?的正方形及4个105?的长方形；而用一个3010?的长方形材料，我们只要割四次易得1010?正方形一个及105?正方形4个。故选择3010?的材料，不但用料最省而且简便易行。 评注：本题又是实际应用问题中的问题，解答时除了考虑前面提及的方法外，还需考虑实际意义及可行性。 总之，解决探索性问题，较少现成的套路和常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合应用。它对学生的观察、联想、类比、猜想、抽象、概括等方面的能力有较高的要求。 思维能力训练 1、（2004浙江）若n x x )2(3 +展开式中存在常数项，则n 的值可以是 A 、8 B 、9 C 、10 D 、12 2、（2004浙江）若)()(x g z f 和都是定义的实数集R 上的函数，且方程 0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．． 是 A 、512-+x x B 、512++x x C 、512-x D 、5 1 2+x 3、（2004北京）如果a ，b ，c 满足0,<< A 、ac ab > B 、0)(>-a b c C 、22ab cb > D 、0)(<-c a ac 4、（2004上海）某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下 若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是 A 、计算机行业好于化工行业 B 、建筑行业好于物流行业 C 、机械行业最紧张 D 、营销行业比贸易行业紧张 5 、三棱锥中，互相垂直的棱最多有（ ）对。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6（2000年全国高考试题）如图，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1和面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是_____________（要求把可能的图形的序号都填上） 7、（2002上海春季高考）设曲线1C 和2C 的方程分别为()1,0F x y =和 ()2,0F x y =，则点()12,P a b C C ??的一个充分条件为_____________________． 8、（2004全国）已知a 、b 为不垂直的异面直线，a 是一个平面，则a 、b 在a 上的射影有可能是（ ） ①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点 在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号） 9 、已知数列{}n a （n 为正整数）是首项为a 1，公比为q 的等比数列。 （1）求和：3 3 4233132031223122021,C a C a C a C a C a C a C a -+-+-； （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以认证； （3）设{}n n a S q 是等比数列,1≠的前n 的和，求 n n n n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-++-+- 10、（2004湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B （Ⅰ）求实数k 的取值范围 （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由 11、（2000年上海）已知复数01(0), z mi m z x yi =->=+ , w x y i ''=+和 , , , x y x y ''其中均为实数， i 为虚数单位，且对于任意复数0,, ||2||z w z z w z =?=有． （Ⅰ）试求m 的值，并分别写出x '和y '用x 、y 表示的关系式； （Ⅱ）将(x 、y )作为点P 的坐标，(x '、y ')作为点Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ，当点P 在直线1+=x y 上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程； （Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由 第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． 2.已知α∈? ????0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，那么sin α＝________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A ＋π4＝7210，A ∈? ?? ??π4，π，则sin A ＝________． 4.若函数f (x )＝2sin ? ????2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________． 5.已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)的部分图象如图所示，那 么φ＝________． (第5题) 6.已知sin ? ????α＋π3＝1213，那么cos ? ?? ??π6－α＝________． 7.在距离塔底分别为80m ，160m ，240m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3. (1) 求cos ? ????α＋π6的值； (2) 求cos ? ????2α＋π12的值． B 组 能力提升 1.计算：3cos10°－1 sin170°＝________． 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ? ????π3－x ＝f ? ????π3＋x ，若函数g (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ? ?? ??π3的值是________． 3.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为? ????π2，0，且f ? ?? ? ?π4＝1 2 ，那么ω的最小值为________． 4.已知函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π5(ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论： ①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在? ????0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是???? ??125，2910. 其中正确的结论是________．(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2) 求函数y ＝??????f ? ????x ＋π122＋??????f ? ????x ＋π42 的值域． 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π 6)(M >0，ω>0)的大致图象如图所示， 其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π. (1) 求M ，ω的值； 计数原理与二项式定理 A组——大题保分练 1．设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足：A不是B的子集,且B也不是A的子集． (1)若M＝{a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数； (2)若M＝{a1,a2,a3,…,a n},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数． 解：(1)110. (2)集合M有2n个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n(2n－1)个． 当A?B,并设B中含有k(1≤k≤n,k∈N*)个元素, 则满足A?B的有序集合对(A,B)有n∑ k＝1C k n(2k－1)＝ n ∑ k＝0 C k n2k－ n ∑ k＝0 C k n＝3n－2n个． 同理,满足B?A的有序集合对(A,B)有3n－2n个． 故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n－1)－2(3n－2n)＝4n＋2n－2×3n. 2．记1,2,…,n满足下列性质T的排列a1,a2,…,a n的个数为f(n)(n≥2,n∈ N*)．性质T：排列a1,a2,…,a n中有且只有一个a i ＞a i＋1 (i∈{1,2,…,n－1})． (1)求f(3)； (2)求f(n)． 解：(1)当n＝3时,1,2,3的所有排列有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2), (3,2,1),其中满足仅存在一个i∈{1,2,3},使得a i＞a i＋1的排列有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1), (3,1,2),所以f(3)＝4. (2)在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,a n)中, 若a i＝n(1≤i≤n－1),从n－1个数1,2,3,…,n－1中选i－1个数按从小到大的顺序排列为a1,a2,…,a i－1,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个数为C i－1 n－1. 若a n＝n,则满足题意的排列个数为f(n－1)． 综上,f(n)＝f(n－1)＋n－1 ∑ i＝1 C i－1 n－1＝f(n－1)＋2n－1－1. 高三数学备考措施 Final revision on November 26, 2020 高三数学备考措施要想学好数学，少走弯路，提高学习效果，关键是讲究学习方法。掌握好的学习方 法，对于高三学生来说，尤其重要。新一届的高三复习已开始，数学学科高考的宗旨是测试学生数学基础知识、基本技能、基本数学思想方法，考查逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力。数学命题仍将继续做好“以知识立意为主”向“以能力立意”的转化。建议高三学生在复习中注意以下几点。 三个阶段狠抓基础复习 高三数学复习一般分为三个阶段。从现在起至下学期的三月份，为基础知识复习阶段。从明年3月下旬至4月下旬为专题复习与提高能力阶段。从明年5月至考前为针对自己的薄弱环节，针对高考新型题目的冲刺阶段。三个阶段各有不同的具体要求，尤以目前的第一阶段，即基础复习阶段更为重要。所以高三学生必须对第一轮基础复习予以高度的重视。 一、做好基础知识的疏理、基本解题思路的归纳、基本数学思想方法的培养。 第一轮复习，要扎扎实实，不要盲目攀高，欲速则不达。要把书本上的常规题型做好，所谓做好就是要用最少的时间把题目做对。部分同学在第一轮复习时对基础题不屑一顾，认为这是“小菜一碟”，只是把心思放在一些能力题上。结果常在一些“不该错的地方错了”，应引以为戒，及时调整学习策略和学习方法。 数学的基本概念、定义、公式，数学知识点的联系，基本的数学解题思路与方法，是第一轮复习的重中之重。例如函数部分，就必须掌握函数的概念，建立函数关系式，掌握定义域、值域与最值、奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，学会利用图像即数形结合。如求值域与最值有几种方法，重点是利用二次函数，利用基本不等式，利用函数的单调性等，必须在自己的头脑中有一个清晰的思路与网络。在掌握基本知识点的基础上，必须对基本的解题思路与方法作小结与归纳。上课时要把老师解题的方法，主要是数学思维方法学到手。每个学生必须对数学基本题的要求及应答方法、技巧做到心中有数。 二、抓住自己基础知识方面的薄弱环节，做到有针对性复习。 每个学生在数学学习上的问题有共同点，更有不同点，一节复习课，老师所解决的是共同点，而你自己的个别问题需通过自己的思考，与同学们的讨论，向老师求问得以解决，我们提倡高三学生多问老师，要敢于问。每个学生必须了解自己掌握了什么，还有哪些问题没有解决，要明确只有把漏洞一一补上才能提高。复习的过程，实质就是解决问题的过程，问题解决了，复习的效果就出来了。 在第一轮复习阶段，还必须养成良好的解题习惯，如仔细阅读题目，看清数字，规范解题格式，部分同学(尤其是脑子比较好的同学)，自己感觉很好，平时做题只是写个答案，不注重解题过程，书写不规范，在正规考试中即使答案对了，由于过程不完整被扣分较多。部分同学平时学习过程中自信心不足，做作业时免不了互相对答案，也不认真找出错误原因并加以改正。这些同学到了考场上常会出现心理性错误，导致“会而不对”，或是为了保证正确率，反复验算，浪费很多时间，影响整体得分。这些问题都很难在短时间得以解决，必须在平时下功夫努力改正。“会而不对”是高三数学学习的大忌，常见的有审题失误、计算错误等，平时都以为是粗心，其实这是一种不良的学习习惯，必须在第一轮复习中逐步克服，否则，后患无穷。可结合平时解题中存在的具体问题，逐题找出原因，看其是行为习惯方面的原因，还是知识方面的缺陷，再有针对性加以解决。必要时作些记录，也就是错题本，每位学生必备 2019年高考数学第二轮备考指导及复习建 议 首先，我们应当明确为什么要进行高考第二轮复习？也就是高考数学复习通常要分三轮（有的还是分四轮）完成，对于第二轮的目的和意义是什么呢？第一轮复习的目的是 将我们学过的基础知识梳理和归纳，在这个过程当中主要以两个方面作为参考。第一个是以教材为基本内容，第二个以教学大纲以及当年的考试说明，作为我们参考的依据，然后做到尽量不遗漏知识，因为这也是作为我们二轮三轮复习的基础。 对于高三数学第二轮复习来说，要达到三个目的：一是从全面基础复习转入重点复习，对各重点、难点进行提炼和把握；二是将第一轮复习过的基础知识运用到实战考题中去，将已经把握的知识转化为实际解题能力；三是要把握各题型的特点和规律，把握解题方法，初步形成应试技巧。 高三数学第二轮的复习，是在第一轮复习的基础上，对高考知识点进行巩固和强化，是考生数学能力和学习成绩大幅度提高的关键阶段，我们学校此阶段的复习指导思想是：巩固、完善、综合、提高。就大多数同学而言，巩固，即巩固第一轮单元复习的成果，把巩固三基(基础知识、基本方法、基本技能)放在首位，强化知识的系统与记忆；完善，就是通过此轮复习，查漏补缺，进一步建立数学思想、知识规律、方法 运用等体系并不断总结完善；综合，就是在课堂做题与课外训练上，减少单一知识点的试题，增强知识点之间的衔接，增强试题的综合性和灵活性；提高，就是进一步培养和提高对数学问题的阅读与概括能力、分析问题和解决问题的能力。因此，高三数学第二轮的复习，对于课堂听讲并适当作笔记，课外训练、自主领悟并总结等都有较高要求，有“二轮看水平”的说法！是最“实际”的一个阶段。 要求学生就是“四个看与四个度”：一看对近几年高考常考题型的作答是否熟练，是否准确把握了考试要求的“度”--《考试说明》中“了解、理解、掌握”三个递进的层次，明确“考什么”“怎么考”；二看在课堂上是否紧跟老师的思维并适当作笔记，把握好听、记、练的“度”；三看知识的串连、练习的针对性是否强，能否使模糊的知识清晰起来，缺漏的板块填补起来，杂乱的方法梳理起来，孤立的知识联系起来，形成系统化、条理化的知识框架，控制好试题难易的“度”；四看练习或检测与高考是否对路，哪些内容应稍微拔高，哪些内容只需不降低，主次适宜，重在基础知识的灵活运用和常用数学思想方法的掌握，注重适时反馈的“度”。在高考一轮复习即将结束、二轮复习即将开始这样一个承上启下的阶段，时间紧，任务重，往往是有40天左右时间（我们学校是3月中旬到4月底）。如何做到有条不紊地复习呢？现结合我最近的学习及多年的做法谈下面几点意见，供同行们参考。 文登一中高三数学备考方案 （一）指导思想 以加强双基教学为主线，以提高学生综合能力为目标，结合考点，紧扣教材，加强学生对知识的理解、联系、应用，同时结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力及应试能力。 （二）复习要求 一、深入研究教材和《考试说明》，务必明确考试方向 高考考试说明是高考法定的命题文件，而教材是命题的主要资源，也是数学复习之本。 对于课本的研究应主要从三个方面人手：准确掌握课本中出现的基本知识(主要概念、公式、法则)；基本知识产生的过程以及其蕴涵的研究方法和所运用的数学思想；用好教材中的例、习题，并注意延伸和拓展。特别注意从课本例题中引导学生学习解题规范。 特别应该重视的是教材中基本概念的深刻化理解。正确理解和应用数学概念，是数学高考考查的重点之一。因此，在复习时，基本训练一定要以课本中一些例题和习题为素材，不断总结规律，回归概念。对知识要进行分类、整理、综合加工，从而形成一个有序的知识体系。 如代数中的“四个二次”（二次三项式，一元二次方程，一元二次不等式，二次函数时），以二次方程为基础、二次函数为主线，通过联系解析几何、三角函数、带参数的不等式等典型重要问题，建构知识，发展能力。 研究《考试说明》就要深入了解考试性质、考试要求、考试内容、考试形式与试卷结构、题型示例等五部分内容，探知命题走向。另外，还要研究近几年山东高考试题并关注教研中心对高考试题的评价报告等。进一步明确数学科试题的命题范围，知识要求、能力要求和个性品质要求等。 二、整体把握高中数学课程，突出重点知识及其联系 《考试说明》指出：对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点。对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体。注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面。从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度。 复习过程中，做到整体把握高中三年的数学课程，整体计划一轮、二轮复习计划，重点内容要注意反复训练，有联系的内容要注意交叉和整合不同的知识板块，切勿按教材顺序照本宣科。如导数与函数、方程、不等式的整合，三角与向量的整合等。阶段性测试也要从学科的整体高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题。 三、重视对数学思想方法的理解和掌握，注重通性通法 《考试说明》强调：对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的 2019年高考数学二轮复习五大技巧 对于高考数学二轮复习，有哪些问题需要注意呢?小编为大家整理了2019年高考数学二轮复习策略，帮助考生制定高考二轮复习计划，提高高考数学成绩。 1、重点知识，落实到位 函数、导数、数列、向量、不等式、直线与平面的位置关系、直线与圆锥曲线、概率、数学思想方法等，这些既是高中数学教学的重要内容，又是高考的重点，而且常考常新，经久不衰。因此，在复习备考中，一定要围绕上述重点内容作重点复习，保证复习时间、狠下功夫、下足力气、练习到位、反思到位、效果到位。并将这些板块知识有机结合，形成知识链、方法群。如聚集立体几何与其他知识的整合，就包括它与方程、函数、三角、向量、排列组合、概率、解析几何等的整合，善于将已经完成过的题目做一次清理，整理出的解题通法和一般的策略，“在知识网络交汇点设计试题”是近几年高考命题改革反复强调的重要理念之一，在复习备考的过程中，要打破数学章节界限，把握好知识间的纵横联系与融合，形成有序的网络化知识体系。 2、新增内容，注重辐射 新增内容是新课程的活力和精髓，是近、现代数学在高中的渗透，且占整个高中教学内容的40%左右，而高考这部分内容的分值，远远超出其在教学中所占的比例。试题加大了对新教材中增加的线性规划、向量、概率、导数等知识的考查力度，对新增内容一一作了考查，分值达50多分，并保持了将概率内容作为应用题的格局。因此，复习 中要强化新增知识的学习，特别是新增数学知识与其它知识的结合。向量在解题中的作用明显加强，用导数做工具研究函数的单调性和证明不等式问题，导数亦成为高考解答题目的必考内容之一。 3、思想方法，重在体验 数学思想方法作为数学的精髓，历来是高考数学考查的重中之重。“突出方法永远是高考试题的特点”，这就要求我们在复习备考中应重视“通法”，重点抓方法渗透。 首先，我们应充分地重视数学思想方法的总结提炼，尽管数学思想方法的掌握是一个潜移默化的过程，但是我们认为，遵循“揭示—渗透”的原则，在复习备考中采取一些措施，对于数学思想方法以及数学基本方法的掌握是可以起到促进作用的，例如，在复习一些重点知识时，可以通过重新揭示其发生过程，适时渗透数学思想方法。 其次，要真正地重视“通法”，切实淡化“特技”，我们不应过分地追求特殊方法和特殊技巧，不必将力气花在钻偏题、怪题和过于繁琐、运算量太大的题目上，而应将主要精力放在基本方法的灵活运用和提高学生的思维层次上，另外，在复习中，还应充分重视解题回顾，借助于解题之后的反思、总结、引申和提炼来深化知识的理解和方法的领悟。 4、综合能力，强化训练 近年来高考数学试题，在加强基础知识考查的同时，突出能力立意。以能力立意，就是从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，对知识的考查倾向于理解和应用，特别是知识的综合 高三数学二轮复习计划 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高三理科数学二轮复习计划 高三数学一轮复习一般以知识，技能方法的逐点扫描和梳理为主，通过一轮复习，学生大都掌握基本概念、性质、定理及一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平提高学生综合能力的关键时期，对讲练检测要求较高。所以制订高三数学二轮复习计划如下。 根据本学期的复习任务，将本学期的备考工作划分为以下四个阶段： 第一阶段(专题复习)：从2018年2月22日～2018年4月30日完成以主干知识为主的专题复习 第二阶段(选择填空演练)：从2018年3月1日～2018年5月20日完成以选择填空为主的专项训练 第三阶段(综合训练)：从2018年5月～2018年5月26完成以训练能力为主的综合训练 第四阶段(自由复习和强化训练)：从2018年5月27日～2018年6月6日。 高三数学二轮复习计划 第一阶段：专题复习 (一)目标与任务： 强化高中数学主干知识的复习，形成良好的知识网络。强化考点，突出重点，归纳题型，培养能力。 根据高考试卷中解答题的设置规律，本阶段的复习任务主要包括以下七个知识专题： 专题一：集合、函数、导数与不等式。此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。 专题二：数列、推理与证明。数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。 专题三：三角函数、平面向量和解三角形。平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。平面向量具有几何与代数形式的双重性，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。 专题四：立体几何。注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。 专题五：解析几何。直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融综合性、开放性、探索性为一体;二是向量关系的引入、三 微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法” 例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λDC →，则 AE →·A F → 的最小值为 ________． (例1) 变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π 3，点M 是边AB 的中点， 点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN → ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________． 变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________． 处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： 切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的． 1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F → ＝________． 2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F →＝________． 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE → ＝33 32 ，则AB 的长为________． (第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________． 5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC → ⊥AB → ，则实数m n ＝________． 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13 AC →，则|BQ → |的最小值是________． 7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12 PC → ，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC → ，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________． (第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE → ＝λBA →＋μBD → (λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________． 9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1， 动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD → (m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n 的最小值为________． 10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC → 且AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝3. (1) 求AB →·AC →的值； (2) 求λ＋μ的值． 第2讲圆锥曲线的方程与性质(小题) 热点一圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)． (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M. 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值． 例1(1)(2019·梅州质检)已知双曲线C：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)一个焦点为F(2,0)，且F到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为________． 答案x2 3－y 2＝1 解析根据题意，双曲线C的中心为原点，点F(2,0)是双曲线C的一个焦点，即双曲线的焦点在x轴上，且c＝2， 双曲线C：x2 a2－y2 b2 ＝1(a>0，b>0)， 其渐近线方程为y＝±b a x，即ay±bx＝0， 又点F 到渐近线的距离为1，则有|－b ×2|a 2 ＋b 2 ＝1， 解得b ＝1，则a 2＝c 2－b 2＝3， 所以双曲线的方程为x 23 －y 2 ＝1. (2)(2019·南充模拟)P 是双曲线x 23－y 2 4＝1的右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点， 则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为( ) A. 3 B ．2 C.7 D ．3 答案 A 解析 如图所示F 1(－7，0)，F 2(7，0)， 设内切圆与x 轴的切点是点H ，与PF 1，PF 2的切点分别为M ，N ， 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23， 由圆的切线长定理知，|PM |＝|PN |，|F 1M |＝|F 1H |，|F 2N |＝|F 2H |， 故|MF 1|－|NF 2|＝23， 即|HF 1|－|HF 2|＝23， 设内切圆的圆心横坐标为x ，即点H 的横坐标为x ， 故(x ＋7)－(7－x )＝23， ∴x ＝ 3. 跟踪演练1 (1)(2019·银川质检)已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，定点A (0,22)，过点P 作 2019年高考数学第二轮复习策略与重点 ?数学第二轮复习阶段是考生综合能力与应试技巧提高的阶段。在这一阶段，老师将以“数学思想方法”、解题策略和应试技巧为主线。老师的讲解，不再重视知识结构的先后次序。首先，着重提高考生采用“配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论、数学模型”等方法解决数学问题的能力。其次，考生要注意用一些解题的特殊方法，特殊技巧，以提高解题速度和应对策略。要在这一阶段得到提高，应做到以下几点： 首先，要加强基础知识的回顾与内化。由于第一轮复习时间比较长，范围也比较广，前面复习过的内容容易遗忘，而临考前的强化训练，对遗忘的基本概念，基本思维方法又不能全部覆盖，加上一模的试题起点不会很高，这就要求同学们课后要抽出时间多看课本，回顾基本概念、性质、法则、公式、公理、定理；回顾基本的数学方法与数学思想；回顾疑点，查漏补缺；回顾老师教学时或自己学习时总结出来的正确结论，联想结论的生成过程与用法；回顾已往做错的题目的正确解法以及典型题目，以达到内化基础知识和基本联系的目的。 其次，要紧跟老师的复习思路与步骤。课堂上要认真听讲，力图当堂课内容当堂课消化；认真完成老师布置的习题，同时要重视课本中的典型习题。做练习时，遇到不会的或拿不准的题目要打上记号。不管对错都要留下自己的思路，等老师讲评时心中就有数了，起码能够知道当时解题时的思维偏差在何处，对偶尔做对的题目也不会轻易放过，还能够检测出在哪些地方复习不到位，哪些地方有疏忽或漏洞。 另外，在做题过程中，还要注意几点：1、不片面追求解题技巧，如果基础不好，则不要过多做难题，而要把常用的解法掌握熟练。2、提高准确率，优化解题方法，提高解题质量，这关系考试的成败。 第一轮复习重在基础，指导思想是全面、系统、灵活，在抓好单元知识、夯实“三基”的基础上，注意知识的完整性，系统性，初步建立明晰的知识网络。 第二轮复习则是在第一轮的基础上，对高考知识进行巩固和强化，数学能力及学习成绩大幅度提高的阶段。指导思想是巩固、完善、综合、提高。巩固，即巩固第一轮学习成果，强化知识系统的记忆；完善是通过专题复习，查漏补缺，进一步完善强化知识体系；综合，是减少单一知识的训练，增强知识的连接点，增强题目的综合性和灵活性；提高是培养、提高思维能力，概括能力以及分析问题解决问题的能力。针对第二轮复习的特点，同学们需注意以下几个方面： 1.加强复习的计划性。由于第二轮复习的前后跨越性比较大，这就要求同学们要事先回顾基础知识，回顾第一轮中的相关内容，抓住复习的主动权，以适应大跨度带来的不适应。 2.提高听课的效率。深刻体会老师对问题的分析过程，密切注意老师解决问题时的“突破口，切入点”，及时修正自己的不到之处，在纠正中强化提高。 3.加强基础知识的灵活运用。要做到这一点，至关重要的是加强理论的内化，通过第二轮的复习，进一步有意识地强化对书本上定义、定理、公式、法则的理解，对这些东西理解水平的高低决定了你能否灵 江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题10 数__列(Ⅱ) 回顾2008～2012年的高考题，数列是每一年必考的内容之一.其中在填空题中，会出现等差、等比数列的基本量的求解问题.在解答题中主要考查等差、等比数列的性质论证问题，只有2009年难度为中档题，其余四年皆为难题. 预测在2013年的高考题中，数列的考查变化不大： 1填空题依然是考查等差、等比数列的基本性质. 2在解答题中，依然是考查等差、等比数列的综合问题，可能会涉及恒等关系论证和不等关系的论证. 1．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________. 解析：S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，a 1＋a 100＝9 10 ， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25 . a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝50 2 (a 1＋a 99)＝502×25 ＝10. 答案：10 2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________. 解析：由已知得a 4＝a 2＋a 2＝－12，a 8＝a 4＋a 4＝－24，a 10＝a 8＋a 2＝－30. 答案：－30 3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝ S 1＋S 2＋…＋S n n ，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理 想数”，已知数列a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2 004，那么数列12，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为________． 解析：根据理想数的意义有， 2 004＝500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 500， ∴501×12＋500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 501 ＝ 501×12＋2 004×500 501 ＝2 012. 答案：2 012 4．函数y ＝x 2 (x >0)的图象在点(a k ，a 2 k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数， a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________. 解析：函数y ＝x 2 (x >0)在点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)．令y ＝0得a 2 ＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)，令y ＝0得a 3＝4；依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21. 答案：21 5．将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共23题，共150分，共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，B ＝{ x |x －1<0}，则A ∩B ＝ A ．(－∞，1） B ．(－2，1） C ．(－3，－1） D ．(3，＋∞） 2．设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知AB ＝(2,3），AC ＝(3，t ），BC ＝1，则AB BC ?＝ A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： 121 223 ()()M M M R r R r r R +=++． 设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中3453 2 333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A B 2 1 2M R M C 2 3 1 3M R M D 2 3 1 3M R M 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 6．若a >b ，则 A ．ln(a ?b ）>0 B ．3a <3b C ．a 3?b 3>0 D ．│a │>│b │ 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 江苏南通市2018届高三数学第二次调研 试卷（含答案） 南通市2018届高三第二次调研测试 数学Ⅰ 参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合，则▲． 2．已知复数，其中为虚数单位．若为纯虚数，则实数a 的值为▲． 3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间上，其频率分布直方图如图所示， 则成绩不低于60分的人数为▲． 4．如图是一个算法流程图，则输出的的值为▲． 5．在长为12cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32cm2的概率为▲． 6．在中，已知，则的长为▲． 7．在平面直角坐标系中，已知双曲线与双曲线有公共的 渐近线，且经过点 ，则双曲线的焦距为▲． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知角的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点 ，，则的值为▲． 9．设等比数列的前n项和为．若成等差数列，且，则的值为▲． 10．已知均为正数，且，则的最小值为▲． 11．在平面直角坐标系xOy中，若动圆上的点都在不等 式组表示的平面区域 内，则面积最大的圆的标准方程为▲． 12．设函数（其中为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数 的取值范围是▲． 13．在平面四边形中，已知，则的值为▲． 14．已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，设向量，，． （1）若，求的值； 华侨中学高三数学（理科）第二轮复习专题：数形结合思想教学地点：一中集美分校高三（4）班 授课教师：华侨中学王磊 2016.03.24 【思想方法概述】 数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数的值域（最值）及求变量的取值围等．对这类容的选择题、填空题，数形结合特别有效．从2015年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”．预测2016年高考中，仍然会沿用以往的命题思路，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法．复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系． 以形助数(数题形解)借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的关系， 把形转化为数，即以形作为手段，数作为目的的解 决数学问题的数学思想． 数形结合思想通过“以 形助数，以数辅形”，使 复杂问题简单化，抽象问 题具体化，能够变抽象思 维为形象思维，有助于把 握数学问题的本质，它是 数学的规律性与灵活性 的有机结合．[来源:学&科&网Z&X&X&K][来源:学_科_网] 以数辅形(形题数解)[来源:][来 源:https://www.doczj.com/doc/a81525068.html,][来源:Z*xx*https://www.doczj.com/doc/a81525068.html,][来源:][来源:https://www.doczj.com/doc/a81525068.html,]借助于数的精确性和规性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的的解决问题的数学思想．[来源:https://www.doczj.com/doc/a81525068.html,] 以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则： （1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应． （2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错． （3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点 思维导图教学设计 教学目的： 一、知识与技能 1、学生通过学习后了解什么叫思维导图，它对学习有什么帮助 2、学生通过学习会用思维导图这种方法学习。 3、会画思维导图，会把学习内容以思维导图形式展示出来，以 便帮助学习。 二、过程与方法 1、学生通过学习，查阅资料了解思维导图以及它对帮助学习的 意义，教师做适当引导。 2、通过师生共同画一张思维导图，从而让学生学会画思维导图。 三、情感态度与价值观 1、通过学习，让学生感受到枯燥的知识也能用美丽的图画展显 出来，从中感受发现新大陆般的愉悦感。 2、通过画图方式来学习，学生从中感受图像的美。 四、教学重点 1、什么叫思维导图。 2、会用思维导图这种方法学习 五、教学难点 把学习内容以思维导图形式展示出来。 六、教学用具 1、多媒体设备、展示台。 2、多媒体网络。 七、教学过程 （一）什么叫思维导图？它对学习有什么帮助？学生通过手上资料，也通过网络查阅资料了解思维导图及其对帮助学习的作用。 心智图（Mind Map），又称脑图、心智地图、脑力激荡图、思维导图、灵感触发图、概念地图、树状图、树枝图或思维地图，是一种图像式思维的工具以及一种利用图像式思考辅助工具来表达思维的工具。心智图是使用一个中央关键词或想法引起形象化的构造和分类的想法; 它用一个中央关键词或想法以辐射线形连接所有的代表字词、想法、任务或其它关联项目的图解方式。 思维导图是有效的思维模式，应用于记忆、学习、思考等的思维“地图”，利于人脑的扩散思维的展开。作用有:成倍提高学习效率，更快地学习新知识与复习整合旧知识;激发联想与创意;形成系统的学习和思维的习惯。思维导图是一个类似爱因斯坦，丘吉尔，达芬奇，巴克明斯特·富勒，马克吐温，迪斯尼和大多数的人认为有“伟大的大脑”人使用过的笔记系统。比如最近人们发现了牛顿300年前画的思维导图。它基于你的大脑是如何以及为什么去工作的最新研究，由英国人东尼.伯赞发明的一种发散思维导图方式。现在2.5亿人正在使用思维导图，从跨国集团到5岁的孩童，从父母到政府领袖。为什么我要使用思维导图？任何你需要澄清你的思想，组织信息，清晰地沟通或者吸收信息时候，思维导图都可以帮助你。思维导图不会让你偏离那些你曾经使用过的 宾阳中学2018届高三数学备课组第二轮复习计划 为使二轮复习有序进行，使我们的复习工作卓有成效并最终赢得胜利，在校、年级领导指导下，结合年级2018届高考备考整体方案的基础上，经数学基组研究，制定本工作计划。 一、成员： 韦胜华（基组长）、黎锦勇、文育球、韦振、施平凡、候微、张善军、蓝文斌、陈卫庆、黄凤宾、李雪凤、韦衍凤、梁建祥、卢焕荣、黄恩端、林祟标。 本届高三学生由于高一、高二赶课较快，训练量较少，所以基础相对薄弱，数学的五大能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力都较差，处理常规问题的通解通法未能落实到位，常见的数学思想还未形成。 二、努力目标及指导思想： 1、承上启下，使知识系统化、条理化，促进灵活应用。 2、强化基础夯实，重点突出，难点分解，各个击破，综合提高。 三、时间安排：2018年1月下旬至4月中旬。 四、方法与措施： （一）重视《考试大纲》（以2018年为准）与《考试说明》（参照2017年的考试说明）的学习，这两本书是高考命题的依据，是回答考什么、考多难、怎样考这3个问题的具体规定和解说。 （二）重视课本的示范作用，虽然2018年高考是全新的命题模式，但教材的示范作用绝不能低估。 （三）注重主干知识的复习，对于支撑学科知识体系的重点知识，要占有较大的比例，构成数学试题的主体。 （四）注重数学思想方法的复习。在复习基础知识的同时，要进一步强化基本数学思想和方法的复习，只有这样，在高考中才能灵活运用和综合运用所学的知识。 （五）注重数学能力的提高，数学能力包括空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。 （六）注重数学新题型的练习。以高考试题为代表，构建新题型。 宾阳中学2018届高三理科数学备课组第二轮复习计划第1页（共2页） 第19讲函数与方程思想 考试说明指出：“高考把函数与方程的思想作为思想方法的重点来考查，使用填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查．” 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决． 函数和方程的思想简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系，对函数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题，一般情况下，凡是涉及未知数问题都可能用到函数与方程的思想． 函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解． 由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考要考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视． 1. 设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 2.函数f(x)＝ax－a＋1存在零点x0，且x0∈[0,2]，则实数a的取值范围是________． 3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为2，3，6，则该长方体的外接球体积为________． 4.关于x的方程sin2x＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是________． 【例1】若a，b为正数，且ab＝a＋b＋3，求a＋b的取值范围．2020版高考数学二轮复习专题汇编全集
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