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理科一轮复习之平面向量与复数

理科一轮复习——平面向量与复数

一、选择题

1．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x 、y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( ) A ．－2＋i

B ．2＋I

C ．1－2i

D ．1＋2i

解析：由题意得，x i ＋1＝y ＋2i ，故x ＝2，y ＝1，即x ＋y i ＝2＋i.答案：B

2．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB

＋μAC ，则λ＋μ的值为( )

A.1

B.13

C.1

D ．1

解析：∵M 为边BC 上任意一点，∴可设AM ＝x AB

＋y AC (x ＋y ＝1)．∴N 为AM 中点，

∴AN ＝12

AM ＝12

x AB ＋12

y AC ＝λAB ＋μAC .∴λ＋μ＝12

(x ＋y )＝1

.答案：A

3．设i 是虚数单位，复数1＋a i

2－i 为纯虚数，则实数a 为( )

A ．2

B ．－2

C ．－1

D.12

解析：法一：1＋a i 2－i ＝ 1＋a i 2＋i 2－i 2＋i ＝2－a ＋ 2a ＋1 i

5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2；[来源:Z|xx|https://www.doczj.com/doc/a01499028.html,]

法二：1＋a i 2－i ＝i a －i

2－i

为纯虚数，所以a ＝2.答案：A

4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC ＋BA ＝2BP

，则( )

A ．P 、A 、

B 三点共线 B ．P 、A 、

C 三点共线 C ．P 、B 、C 三点共线

D ．以上均不正确

解析：∵BC ＋BA ＝2BP ，∴BC －BP ＝BP －BA .即 PC ＝AP

，∴P 、A 、C 三点共线．答案：B

5．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA |＝|OB |＝|OC |，NA ＋NB ＋NC

＝0，则点O ，N 依次是△ABC

的( )

A ．重心外心

B ．重心内心

C ．外心重心

D ．外心内心

解析：由|OA |＝|OB |＝|OC |知，O 为△ABC 的外心；NA ＋NB ＋NC

＝0，知，N 为△ABC 的重心．答案：C

6．已知a ，b 是不共线的向量，AB

＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )

A ．λ＋μ＝2

B ．λ－μ＝1

C ．λμ＝－1

D ．λμ＝1

解析：∵AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，且A 、B 、C 三点共线．∴存在实数m ，使AB

＝m AC ，即

λa ＋b ＝m (a ＋μb )∴?

λ＝m

1＝m μ，∴λμ＝1.答案：D

7．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π

B.π6

C.π

D.3π4

解析：2a ＋b ＝(3,3)，a －b ＝(0,3)，则cos 〈2a ＋b ，a －b 〉＝ 2a ＋b · a －b |2a ＋b |·|a －b |＝932×3＝22，故夹角为π

答案：C

8．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( ) A.2－1

B ．1

C. 2

D ．2

解析：由已知条件，向量a ，b ，c 都是单位向量可以求出，a 2

＝1，b 2

＝1，c 2

＝1，由a ·b ＝0，及(a －c )(b －c )≤0，可以知道，(a ＋b )·c ≥c 2

＝1，因为|a ＋b －c |2

＝a 2

＋b 2

＋c 2

＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，

所以有|a ＋b －c |2

＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1，故|a ＋b －c |≤1.答案：B 9．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

p 1：|a ＋b |>1?θ∈[0，

2π

3) p 2：|a ＋b |>1?θ∈(2π

，π] p 3：|a －b |>1?θ∈[0，π3

)

p 4：|a －b |>1?θ∈(

，π]其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4

B ．p 1，p 3

C ．p 2，p 3

D ．p 2，p 4

解析：由|a ＋b |>1可得：a 2

＋2a ·b ＋b 2

>1，∵|a |＝1，

|b |＝1，∴a ·b >－12.故θ∈[0，2π3)．当θ∈[0，2π3)时，a ·b >－12，|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2

>1，即|a ＋b |>1；

由|a －b |>1可得：a 2－2a ·b ＋b 2

>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b <12.故θ∈(π3

，π]，反之也成立．答案：A

10．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2

＋a ·b x 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为( )

A ．(0，π

)

B ．(π

，π]

C ．(π

，π]

D ．(π3，2π3

]

解析：f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·bx 在R 上有极值，即f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有两个不同的实数解，故Δ＝|a |

－4a·b ＞0?cos 〈a ，b 〉＜12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈(π

，π]．答案：C

11．已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若AB ＝λAE

(λ＞0)，AC ＝μAF (μ＞0)，则1λ

＋4

的最小值是( )

A ．9

B.72

C ．5

D.92

解析：由题意得，AB ＋AC ＝2AD ＝λAE ＋μAF ?AD ＝λ2

AE ＋μ2

，又D 、E 、F 在同一条直线上，

可得λ2＋μ2＝1.所以1λ＋4μ＝(λ2＋μ2)(1λ＋4μ)＝52＋2λμ＋μ2λ≥52＋2＝9

，当且仅当2λ＝μ时取等号．答案：D

12．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．

解析：设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2

＋y 2

＝20，解得x ＝4，y ＝2(舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)

13 ．（2012辽宁理）已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是

（）

A ．a ∥b

B ．a ⊥b

C ．{0,1,3}

D ．a +b =a -b

【答案】B 【解析一】由|a +b |=|a -b |,平方可得a ?b =0, 所以a ⊥b ,故选B

【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a +b |=|a -b |,所以该平行四边形为矩形,所以a ⊥b ,故选B

【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题.解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解.

14．（2012天津理）已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP AB λ ,=(1)AQ AC λ-

,R λ∈,若

BQ CP ?- ,则=λ

（）

A ．

B ．

± C ．

110

± D ．

322

-± 【答案】A 【命题意图】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量

定理及其数量积的综合运用. 【解析】∵=BQ AQ AB - =(1)AC AB λ-- ,=CP AP AC -

=AB AC λ- , 又

∵3=2

BQ CP ?- ,且

||=||=2AB AC ,0<,>=60AB AC ,0=||||cos60=2AB AC AB AC ?? ,∴3

[(1)]()=2

AC AB AB AC λλ---- ,22

23||+(1)+(1)||=2AB AB AC AC λλλλ--?- ,所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---,解得1=2λ.

15 ．（2012广东理）对任意两个非零的平面向量α和β,定义??=?αβ

αβββ

,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与

b 的夹角0,4πθ??

∈ ???,且 a b 和 b a 都在集合2n n Z ??∈????

中,则= a b （）

A ．

B ．1

C ．

D ．

【解析】C;因为||cos cos 1||

b a b b a a a a θθ?==≤

,且a b 和b a 都在集合|2n n Z ??∈????中,所以

12b a = ,||12cos ||b a θ= ,所以2||cos 2cos 2||a a b b θθ==<

,且22cos 1a b θ=> ,所以12a b << ,故有

a b = ,选C.

【另解】C;1||cos 2||k a a b b θ== ,2||cos 2||

k b b a a θ==

,两式相乘得2

12cos 4k k θ=,因为0,4πθ??∈ ???,12,k k 均为

正整数,于是122cos 122

k k θ<=<,所以1224k k <<,所以123k k =,而0a b ≥> ,所以123,1k k ==,于是

a b = ,选C.

16.（2010天津文）如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，3BC = BD ，1

AD = ，则AC AD ? =

（A ）23 （B ）32 （C ）3

3 （D ）3

【答案】D

C B A

P Q

【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。

||||cos ||cos ||sin AC AD AC AD DAC AC DAC AC BAC ?=?=?= ∠∠∠sin B 3BC ==

17. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，11) ,

分别是

的中线，若，且

与

的夹角为120°，则

（）

[解析] 4. 由已知可得：, 所以,所以

, 选C.

18. (2014广西桂林中学高三2月月考，6) 若，则向量与的夹角为（）

(A) (B) (C) (D)

[解析] 11. 设向量与的夹角为，因为，所以，由，所

以，所以，所以.

19. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 10) 已知，是两个互相垂直的单位向量，且，则对

任意的正实数，

的最小值是（）

A. 2

C. 4

[解析] 16. 是互相垂直的单位向量，设，，，由，，即，

，，

，，，当且仅当时取等号，，故的最小值为.

20．（湖南省嘉禾一中2011届高三上学期1月高考押题卷）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线

段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a =

，BD b =

，则AF =

（）

A ．1142a b +

B ．2133a b +

C ．1124a b +

D ．

1233a b + 答案 B. 21．已知向量p ＝a |a |＋b

|b |

，其中a 、b 均为非零向量，则|p |的取值范围是( )

A ．[0，2]

B ．[0,1]

C ．(0,2]

D ．[0,2]

解析：选D

a |a |与b

|b |

均为单位向量，当它们同向时，|p |取得最值2，当它们反向时，|p |取得最小值0.故|p |∈[0,2]． 22．(教材习题改编)复数2＋i

1－2i 的共轭复数是( )

A ．i

B ．－I

C.35

D ．－35

解析：选B ∵2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5i

＝i ，∴其共轭复数为－i.

23．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1

的值等于________．

解析：AB ＝(a －2，－2)，AC ＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1

＋

b ＝12.答案：12

24．在△ABC 中，CA ＝a ，CB ＝b ，M 是CB 的中点，N 是AB 的中点，且CN 、AM 交于点P ，则AP

＝_______(用

a ，

b 表示)．

解析：如图所示，AP ＝AC ＋CP ＝－CA ＋23

CN ＝－CA ＋23

×12

(CA ＋CB )＝－CA ＋13

CA ＋13

CB ＝－

CA ＋13

CB ＝－23

a ＋13

b .答案：－23

a ＋13

25. (2011·陕西高考)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝}2|1

||{<-i

x x i 为虚数单位，则M ∩N 为( )

A ．(0,1)

B ．(0,1]

C ．[0,1)

D ．[0,1]

[解析] 对于集合M ，函数y ＝|cos2x |，其值域为[0,1]，所以M ＝[0,1]．根据复数模的计算方法得不等式 x 2＋1＜

2，即x 2＜1，所以N ＝(－1,1)，则M ∩N ＝[0,1)．正确选项为C.[答案] C

26．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )[来源:学科网ZXXK] A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i

【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由z ·z i ＋2＝2z ，得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，由

复数相等的条件得????? a 2＋b 2

＝2b ，2＝2a ，得?????

a ＝1，

b ＝1，

∴z ＝1＋i.[来源:https://www.doczj.com/doc/a01499028.html,]【答案】 A

27．已知O 是△ABC 所在平面上一点，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →

，则O 是△ABC 的( ) A ．内心 B ．重心 C ．外心 D ．垂心

【解析】 OA →·OB →＝OB →·OC →?OB →·(OA →－OC →)＝0，∴OB →·CA →＝0?OB ⊥AC .同理：OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，

∴O 是△ABC 的垂心．【答案】 D

28．(2014·广州调研)已知点A (－2,0)，B (0,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

【解析】 P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(－x ，－y )，则P A →·PB →＝(－2－x )(－x )＋y 2＝x 2，∴y 2＝－2x .【答案】 D 29．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →

|，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等腰直角三角形

【解析】 ∵|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，∴|CB →|＝|AB →＋AC →|，∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →

|， ∴AB →·AC →＝0，即AB →⊥AC →，从而△ABC 是直角三角形．【答案】 B

30．已知三个向量a ，b ，c 两两所夹的角都为120°，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则向量a ＋b 与向量c 的夹角θ的值为( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

【解析】 ∵(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ＝1×3×co s 120°＋2×3×cos 120°＝－92，

|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝12＋2×1×2×cos 120°＋22＝3， ∴cos θ＝(a ＋b )·c |a ＋b |·|c |＝－9

23×3

＝－3

2，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°.【答案】 D

31．(2014·青岛调研)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →

成立，则m ＝( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【解析】如图所示，由MA →＋MB →＋MC →

＝0知，点M 为△ABC 的重心，

设点D 为边BC 的中点，则由向量加法可知：AB →＋AC →＝AH →＝2AD →

由重心性质，AM →＝23AD →，则AD →＝32

AM →，所以AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →

，因此m ＝3.【答案】 B

32．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →

＋λ? ????AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点：①△ABC 的外心；②△AB C 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心．

【解】如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC →|AC →|

，则AM →，AN →

都是单位向量，

∴|AM →|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC .∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →

， ∴AP →＝λAQ →

(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．二、填空题

33．（2012上海理）在平行四边形ABCD 中,∠A=3π

, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别

是边BC 、CD 上的点,且满足

|||||||CD CN BC BM =

,则

AN AM ?的取值范围是_________ . [解析] 如图建系,则A (0,0),B (2,0),D (2

3),C (25,

3).

设

t CD CN BC BM ==|

|||||∈[0,1],则t BM =||,t CN 2||=, 所以

M (2+

t ,

3t ),N (

5-2t ,

3),故

AN AM ?=(2+

t )(

5-2t )+

3t ?

3=)(6)1(5222t f t t t =++-=+--,

因为t ∈[0,1],所以f (t )递减,( AN AM ?)max = f (0)=5,(AN AM ?)min = f (1)=2.

[评注] 当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M 在B (N 在C )和M 在C (N 在D ),而本案恰是在这两点处取得

最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了! 34．设a 是实数，且a

1＋i ＋1＋i 2是实数，则a ＝________.

解析：

1＋i

＋1＋i 2＝a －a i 2＋1＋i 2＝(a ＋1)＋(1－a )i 2为实数，故1－a ＝0，即a ＝1.答案：1

35．已知定义在复数集C 上的函数满足f (x )＝????

1＋x 3

(x ∈R )，????

x 1＋i (x ?R )，则f (f (1－i))等于________．

解析：由已知得f (1－i)＝??

????1－i 1＋i ＝????

??－2i 2＝|－i|＝1，故f (1)＝1＋13＝2，即f (f (1－i))＝2.答案：2

36.【2012?延吉市质检理14】已知：1,3,0,OA OB OA OB ==?=

点C 在AOB ∠内,且30,AOC ∠=?设

(,),OC mOA nOB m n R =+∈ 则m

= ．

【答案】3【解析】因为1,3,0,O A O B

O A O B ==?=

点C 在AOB ∠内,且30,AOC ∠=?设(,),OC mOA nOB m n R =+∈ 根据共线成比例得

,3330tan 3

0==n m 所以3=n m 37．(2012·湖北高考)若3＋b i

1－i

＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.

解析：由3＋b i 1－i ＝(3＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )

＝3－b ＋(3＋b )i 2＝a ＋b i ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b

2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3.答案3

38.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →

的值是________．

2 由AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →)＝2得|DF →|＝1，再由AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)易求．

y A

C D M

39．已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则CP →·(BA →－BC →

)的最大值为________．

【解析】以C 为原点，建立平面直角坐标系如图，设P 点坐标为(x ，y )且0≤y ≤3,0≤x ≤4.

则CP →·(BA →－BC →)＝CP →·CA →＝(x ，y )·(0,3)＝3y ，当y ＝3时，取得最大值9. 【答案】 9

40．已知复数x 2

－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数x 的取值范围是________．解析：∵x 为实数，∴x 2

－6x ＋5和x －2都是实数．

由题意，得???

x 2

－6x ＋5＜0，x －2＜0，

解得???

1＜x ＜5，

x ＜2，

即1＜x ＜2.故x 的取值范围是(1,2)．答案：(1,2)

41．复数2＋i

1－2i

的共轭复数是________．

解析：2＋i 1－2i ＝ 2＋i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝5i

5＝i ，所以其共轭复数为－i.答案：－i

三、解答题

43.△ABC 中，AD ＝23

AB ，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N .设AB

＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示

向量AE 、BC 、DE 、DN 、AM 、AN

解： ?

???

DE ∥BC

，

AD ＝23 AB ? AE ＝23AC ＝23b ，

BC ＝AC －AB ＝b －a .由△ADE ∽△ABC ，得DE ＝23

＝23

(b －a )．

又AM 是△ABC 的中线，DE ∥BC ，得DN ＝12

DE ＝13

(b －a )．又AM ＝12

(AB ＋AC )＝1

(a ＋b )．[来源:学科网]

???△ADN ∽△ABM

AD ＝23 AB ? AN

＝23AM ＝13(a ＋b )．

44．已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝5

，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25可得

????

1·y －2·x ＝0

x 2

＋y 2

＝20，∴?

x ＝2y ＝4或?

x ＝－2

y ＝－4，∴c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．

(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2

＋3a ·b －2b 2

＝0.∴2|a |2

＋3a ·b －2|b |2

＝0. ∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，∴a ·b ＝－52.∴cos θ＝a ·b

|a ||b |

＝

－5

25·

＝－1.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.

45．设a ＝(1＋cos x,1＋sin x )，b ＝(1,0)，c ＝(1,2)．

(1)求证：(a －b )⊥(a －c )；(2)求|a |的最大值，并求此时x 的值．解：(1)证明：a －b ＝(cos x,1＋sin x )，a －c ＝(cos x ，sin x －1)，

(a －b )·(a －c )＝(cos x,1＋sin x )·(cos x ，sin x －1)＝cos 2

x ＋sin 2

x －1＝0.∴(a －b )⊥(a －c )． (2)|a |＝ 1＋cos x 2

＋ 1＋sin x 2

＝ 3＋2 sin x ＋cos x ＝

3＋22sin x ＋π

≤ 3＋22＝2＋1.

当sin(x ＋π4)＝1，即x ＝π

4＋2k π(k ∈Z)时，|a |有最大值2＋1.

46．设两个非零向量a 与b 不共线，

(1)若AB

＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线．

(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．

(1)∵AB

＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，

∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )，＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB

. ∴AB 、BD

共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．

(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，

∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. 47．设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．

(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . (1)由a 与b －2c 垂直，a ·(b －2c )＝a ·b －2a ·c ＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2. (2)b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)

|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β，最大值为32，所以|b ＋c |的最大值为4 2.

(3)由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β，即4cos α·4cos β－sin αsin β＝0，所以a ∥b .

48．在△ABC 中，已知2AB ·AC ＝3|AB |·|AC |＝3|BC |2，求角A ，B ，C 的大小．

解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，

∵由2AB ·AC ＝3|AB |·|AC |得2bc cos A ＝3bc ，

∴cos A ＝32，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π

.由3|AB |·|AC |＝3|BC |2得bc ＝3a 2，

由正弦定理得sin C ·sin B ＝3sin 2A ＝

，∴sin C ·sin ????5π6－C ＝3

4，即sin C ·????12cos C ＋32sin C ＝34

，∴2sin C ·cos C ＋23sin 2C ＝3，∴sin 2C －3cos 2C ＝0，

∴sin ????2C －π3＝0，由A ＝π6知0

3＝π，即C ＝π6或C ＝2π3.故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3

49．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a

＋(2a －5)i ，若z －1＋z 2是实数，求实数a 的值．

解：z －

1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a

＋(2a －5)i

＝????3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i.∵z －1＋z 2是实数，

∴a 2＋2a －15＝0.解得a ＝－5或a ＝3.∵分母a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3. 50．实数m 分别取什么数值时？复数z ＝(m 2

＋5m ＋6)＋(m 2

－2m －15)i (1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数； (3)对应的点在x 轴上方．解：(1)根据复数相等的充要条件得

???? m 2

＋5m ＋6＝2，m 2

－2m －15＝－12.解之得m ＝－1.

(2)根据共轭复数的定义得

?????

m 2

＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.

解之得m ＝1.[来源:Z,xx,https://www.doczj.com/doc/a01499028.html,]

(3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2

－2m －15＞0，解之得m ＜－3或m ＞5.

51．计算：－23＋i 1＋23i ＋(21＋i )2012＋ 4－8i 2

－－4＋8i 2

11－7i

.[来源:学*科*网]

解：原式＝－23＋i 1－23i 12＋ 23 2

＋[2 1＋i 2]1006＋ 4－8i 2

－ 4－8i 2

11－7i ＝13i 13＋(1i )1006＋0＝i ＋(－i)1006

＝i ＋i 2

＝i －1＝－1＋i.

52．已知P 为△ABC 内一点，且3AP ＋4BP ＋5CP ＝0.延长AP 交BC 于点D ，若AB

＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AP 、AD .

解：∵BP ＝AP －AB ＝AP －a ，CP ＝AP －AC ＝AP

－b ，

又3AP ＋4BP ＋5CP ＝0，∴3AP ＋4(AP －a )＋5(AP

－b )＝0，

化简，得AP ＝13

a ＋512

b .设AD ＝t AP (t ∈R)，则AD ＝13

ta ＋5

tb .①

又设BD ＝k BC (k ∈R)，由BC ＝AC －AB

＝b －a ，得 BD ＝k (b －a )．而AD ＝AB ＋BD ＝a ＋BD ， ∴AD

＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋kb .②

由①②，得13t ＝1－k ，512t ＝k 解得t ＝4

代入①，有AD ＝49

a ＋5

b .[来源:学科网]

53．(2013·江苏高考)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；

(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．【解】 (1)证明由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，

所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .

(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，

所以?????

cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，

由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.

人教A版数学必修四第二章平面向量导学案

第二章平面向量 1.向量和差作图全攻略两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握. 一、向量a 、b 共线例1.如图，已知共线向量a 、b ，求作a ＋b . (1)a 、b 同向； (2)a 、b 反向，且|a |＞|b |； (3)a 、b 反向，且|a |＜|b |. 作法.在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →＝a ，AB →＝b ，OB → ＝a ＋b ，具体作法是：当a 与b 方向相同时，a ＋b 与a 、b 的方向相同，长度为|a |＋|b |；当a 与b 方向相反时，a ＋b 与a 、b 中长度长的向量方向相同，长度为||a |－|b ||.为了直观，将三个向量中绝对值最大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移，然后分别标上a ，b ，a ＋b .作图如下：例2.如图，已知共线向量a 、b ，求作a －b . (1)a 、b 同向，且|a |＞|b |； (2)a 、b 同向，且|a |＜|b |； (3)a 、b 反向. 作法.在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA → ＝a －b .事实上a －b 可看作是a ＋(－ b )，按照这个理解和a ＋b 的作图方法不难作出a －b ，作图如下：二、向量a 、b 不共线如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.

例3.如图，已知向量a 、b . 求作：(1)a ＋b ；(2)a －b . 作法1.(应用三角形法则) (1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O . 第一步：作OA → ＝a ，方法是将一个三角板的直角边与a 重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O ，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取|OA →|＝|a |，并使OA → 与a 同向. 第二步：同第一步方法作出AB →＝b ，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB → 作成与b 的方向相反.) 第三步：作OB →，即连接OB ，在B 处打上箭头，OB → 即为a ＋b . 作图如下： (2)第一步：在平面上a ，b 位置之外任取一点O ；第二步：依照前面方法过O 作OA →＝a ，OB → ＝b ；第三步：连接AB ，在A 处加上箭头，向量BA → 即为a －b . 作图如下：点评.向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”. 作法2.(应用平行四边形法则) 在平面上任取一点A ，以点A 为起点作AB → ＝a ， AD → ＝b ，以AB ，AD 为邻边作?ABCD ，则AC →＝a ＋b ，DB → ＝a －b .作图如下：

复数、平面向量与算法(教师版)

高考微点二复数、平面向量与算法牢记概念公式，避免卡壳 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )概念 (1)分类：当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数. (2)z 的共轭复数z －＝a －b i. (3)z 的模|z |＝a 2＋b 2. 2.复数的四则运算法则 (a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ； (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋ d 2 i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0). 3.平面向量的有关运算 (1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b a ＝λb . 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b ＝0|a ＋b |＝|a －b |. (2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1 ）2. (4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 2 2. 4.算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构；(2)条件结构；(3)循环结构. 活用结论规律，快速抢分 1.复数的几个常用结论 (1)(1±i)2＝±2i ； (2) 1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ； (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i. 2.复数加减法可按向量的三角形、平行四边形法则进行运算. 3.z ·z －＝|z |2 ＝|z － |2. 4.三点共线的判定

高中数学第二章平面向量章末小结导学案无答案新人教A版必修

第二章平面向量章末小结【本章知识体系】 - 1 -

2 【题型归纳】专题一、平面向量的概念及运算包含向量的有关概念、加法、减法、数乘。向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算。利用向量证明三点共线时，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． 1、1.AB →＋AC →－BC →＋BA →化简后等于( ) A ．3A B → B.AB → C.BA → D.CA → 2、在平行四边形ABCD 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，则下列运算正确的是( ) A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0 B ．a －b ＋c －d ＝0 C ．a ＋b －c －d ＝0 D ．a －b －c ＋d ＝0 3、已知圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB →＝3AD →，E 、F 为另一直径的两个端点，则DE →·DF →＝( ) A ．－3 B ．－4 C ．－8 D ．－6 4、如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则在以a ， b 为基底时，AC →可表示为________，在以a ， c 为基底时，AC →可表示为 ________． 5、下列说法正确的是( ) A ．两个单位向量的数量积为1 B ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝c C ．AB →＝OA →－OB → D ．若b⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a ·b 专题二、平面向量的坐标表示及坐标运算向量的坐标表示及运算强化了向量的代数意义。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，解题过程中，常利用向量相等，则其坐标相同这一原则。 6、已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 7、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则d ＝( ) A ．(2,6) B ．(－2,6) C ．(2，－6) D ．(－2，－6) 8、已知a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，c 满足a ·c ＝0，且|a |＝|c |，b ·c >0，则c ＝________. 专题三、平面向量的基本定理平面向量的基本定理解决了所有向量之间的相互关系，为我们研究向量提供了依据。 9、已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( ) A.43a ＋23b B.23a ＋43 b C.23a －43b D ．－23a ＋43 b

第六章平面向量与复数

第六章平面向量与复数 , 第32课向量的概念与线性运算激活思维 1. (必修4P 67练习4改编)化简：AB →＋CD →＋DA →＋BC → ＝________． 2. (必修4P 62习题5改编)判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a|＝|b |，则a ＝b ；③若|a|>|b|，则a>b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确的个数是________． 3. (必修4P 57习题2改编)对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”成立的________条件． (第4题) 4. (必修4P 60例1改编)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF → ＝________． 5. (必修4P 68习题10改编)在△ABC 中，若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC → |，则△ABC 的形状是________．知识梳理 1. 向量的有关概念向量：既有大小又有方向的量叫作向量．向量的大小叫向量的________(或模)． 2. 几个特殊的向量 (1) 零向量：____________，记作____，其方向是任意的． (2) 单位向量：________________________． (3) 平行向量：________________________，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线． (4) 相等向量：________________________． (5) 相反向量：________________________． 3. 向量的加法 (1) 运用平行四边形法则时，将两个已知向量平移到公共起点，和向量是____________的对角线所对应的向量． (2) 运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以____________为起点，即由第一个向量的起点指向____________的向量为和向量． 4. 向量的减法将两个已知向量平移到公共起点，差向量是________的终点指向________的终点的向量．注意方向指向被减向量．

第五章 5.4平面向量及复数

§5.4复数最新考纲考情考向分析 1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法及其几何意义.能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示. 4.能进行复数代数形式的四则运算. 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，突出考查运算能力与数形结合思想.一般以选择题、填空题的形式出现，难度为低档. 1.复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C＝{a＋b i|a，b∈R}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位). (2)分类：满足条件(a，b为实数) 复数的分类a＋b i为实数?b＝0

(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ). (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R ). (5)模：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R ). 2.复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ → ＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系. 3.复数的运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R . (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→ ，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.

【人教A版】2020高中数学必修四导学案：第二章平面向量_含答案

第二章平面向量 1 向量和差作图全攻略两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握. 一、向量a 、b 共线例1 如图，已知共线向量a 、b ，求作a ＋b . (1)a 、b 同向； (2)a 、b 反向，且|a |＞|b |； (3)a 、b 反向，且|a |＜|b |. 作法在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →＝a ，AB →＝b ，OB → ＝a ＋b ，具体作法是：当 a 与 b 方向相同时，a ＋b 与a 、b 的方向相同，长度为|a |＋|b |；当a 与b 方向相反时，a ＋b 与a 、b 中长度长的向量方向相同，长度为||a |－|b ||.为了直观，将三个向量中绝对值最大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移，然后分别标上a ，b ，a ＋b .作图如下：例2 如图，已知共线向量a 、b ，求作a －b . (1)a 、b 同向，且|a |＞|b |； (2)a 、b 同向，且|a |＜|b |； (3)a 、b 反向. 作法在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA → ＝a －b .事实上a －b 可看作是a ＋(－ b )，按照这个理解和a ＋b 的作图方法不难作出a －b ，作图如下：二、向量a 、b 不共线如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.

例3 如图，已知向量a 、b . 求作：(1)a ＋b ；(2)a －b . 作法1 (应用三角形法则) (1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O . 第一步：作OA → ＝a ，方法是将一个三角板的直角边与a 重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O ，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取|OA →|＝|a |，并使OA → 与a 同向. 第二步：同第一步方法作出AB →＝b ，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB → 作成与b 的方向相反.) 第三步：作OB →，即连接OB ，在B 处打上箭头，OB → 即为a ＋b . 作图如下： (2)第一步：在平面上a ，b 位置之外任取一点O ；第二步：依照前面方法过O 作OA →＝a ，OB → ＝b ；第三步：连接AB ，在A 处加上箭头，向量BA → 即为a －b . 作图如下：点评向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”. 作法2 (应用平行四边形法则) 在平面上任取一点A ，以点A 为起点作AB → ＝a ， AD → ＝b ，以AB ，AD 为邻边作?ABCD ，则AC →＝a ＋b ，DB → ＝a －b .作图如下：

2018版高中数学平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案新人教A版必修4含解析

2.1平面向量的实际背景及基本概念【学习目标！1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念. ET问题导学-------------------------- 知识点一向量的概念思考i在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向思考2两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？答案数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小梳理向量与数量（1）向量：既有大小，又有方向的量叫做向量（2）数量：只有大小，没有方向的量称为数量. 知识点二向量的表示方法思考1向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？答案可以用一条有向线段表示. 思考2 0的模长是多少？ 0有方向吗？答案 0的模长为0,方向任意. 思考3单位向量的模长是多少？答案单位向量的模长为1个单位长度. 梳理（1）向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段, 它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示. 以A为起点、B为终点的有向线段记作X B ⑵向量的字母表示：向量可以用字母a, b , c，…表示（印刷用黑体a, b, c,书写时用 b , c). ⑶向量AB勺大小，也就是向量AB勺长度（或称模），即有向线段AB勺长度，记作|AB.长度为 0的向量叫做零向量，记作 0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量 . 知识点三相等向量与共线向量

人教A版高中数学《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案

2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案【学习目标】 1．了解平面向量基本定理； 2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法； 3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【导入新课】复习引入： 1．实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa .（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时，λa 与a 方向相同；λ<0时，λa 与a 方向相反；λ=0时，λa =0. 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λ b . 3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 新授课阶段一、平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量. 二、平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为

基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 yj xi a += (1) 1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 ),(y x a = (2) 2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 三、平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， b a -),(2121y y x x --=.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=，即 b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=. （2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=. 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB =OB -OA =( x 2，y 2) -(x 1，y 1)= (x 2- x 1，y 2- y 1). （3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即 ),(y x a λλλ=.

第06练-平面向量与复数(解析版)

第06练-平面向量与复数一、单选题 1．已知复数2a i i +-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2 B ．2 C ．1 2 D ．-1 【答案】C 【解析】 2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以2121 0,0552 a a a -+=≠∴=，选C. 2．设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i 【答案】B 【解析】【分析】利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足 21i i z =-，∴ ()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．虚数()2++x yi ，,x y R ∈，当此虚数的模为1时，y x 取值范围为（） A ．???? B ．???? ?? ???? U C ．?? D ．)( ??? 【答案】B 【解析】【分析】虚数()2++x yi ，得0y ≠，根据模长公式可得2 2 (2)1,0x y y ++=≠， y x 表示圆上点（去掉与x 轴交

点）与坐标原点的连线的斜率，当连线为圆的切线时为最大和最小值，即可求出结论. 【详解】虚数()2++x yi ，得0y ≠，虚数()2(,)x yi x y R ++∈的模为1， 2222(2)1,(2)1,0x y x y y ∴++=++=≠， y x ∴表示圆上的点（去掉与x 轴交点）与坐标原点的连线斜率， 0y x ∴≠，当过原点的直线与22(2)1x y ++=相切时， y x 取得最值，如下图所示，圆心C ，切点分别为,A B ， 3tan tan 3 BOC AOC ∠=∠= ，切线,OA OB 的斜率分别为33 ,33 - ，所以30y x - ≤<或30y x <≤ . 故选:B. 【点睛】本题以虚数的模的背景，考查斜率的几何意义和直线与圆的位置关系，要注意虚数条件，不要忽略，属于中档题. 4．设复数11i z i =+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP uuu v ，OQ uuu v （O 为原点），则OP OQ ?=u u u v u u u v （） A ．1 2 - B ．0

第五章 5.2平面向量及复数

§5.2平面向量基本定理及坐标表示最新考纲考情考向分析 1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性.一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.

1.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. 其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标表示 (1)向量及向量的模的坐标表示 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB → |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)平面向量的坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋ b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1). 3.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线?x 1y 2－x 2y 1＝0.

高考数学专题练习：平面向量与复数

高考数学专题练习：平面向量与复数 1．已知向量a ＝(－1,2),b ＝(3,m ),m ∈R ,则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得a ＋b ＝(2,2＋m ),由a ∥(a ＋b ),得－1×(2＋m )＝2×2,解得m ＝－6,则m ＝－6时,a ＝(－1,2),a ＋b ＝(2,－4),所以a ∥(a ＋b ),则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件,故选A. 答案：A 2．在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,已知AD ＝4,BC ＝6,若CD →＝mBA →＋nBC →(m ,n ∈R ),则m n ＝( ) A ．－3 B ．－13 C.13 D ．3 解析：过点A 作AE ∥CD ,交BC 于点E ,则BE ＝2,CE ＝4,所以mBA →＋nBC →＝CD →＝EA →＝EB →＋BA →＝－26BC →＋BA →＝－13BC →＋BA →,所以m n ＝1－13 ＝－3. 答案：A 3．已知向量a ＝(x ,3),b ＝(x ,－3),若(2a ＋b )⊥b ,则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 解析：因为(2a ＋b )⊥b ,所以(2a ＋b )·b ＝0,即(3x ,3)·(x ,－3)＝3x 2－3＝0,解得x ＝±1,所以a ＝(±1,3),|a |＝ ±12＋32＝2,故选D. 答案：D 4．已知向量a ＝(m,1),b ＝(m ,－1),且|a ＋b |＝|a －b |,则|a |＝( ) A ．1 B.62 C. 2 D ．4 解析：∵a ＝(m,1),b ＝(m ,－1),∴a ＋b ＝(2m,0),a －b ＝(0,2),又|a ＋b |＝|a －b |,∴|2m |＝2,∴m ＝

2.3.1-2.3.2平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示导学案

2.3.1-2.3.2平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示一、【温故互查】 1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？_______________________________________ 2．怎样理解向量的数乘运算λa （1）模：|λa |= ______；（2）方向：λ>0时λa 与a 方向_______；λ<0时λa 与a 方向_______；λ=0时λa =0 3. 向量共线定理：__________________________________________________________ 二、【设问导读】探究（一）：平面向量的基本定理探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ，请你作出向量b =31e +22e 、c =1e -22e . 探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e 来表示向量b ,c 那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示呢? 结论：由上述过程可以发现,平面内任一向量______________________________________ 2、λ1，λ2是被a ，1e ，2e 的数量 3、基底不唯一,关键是不共线; 4、由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解; 5、基底给定时,分解形式唯一. 6、λ1 =0时；λ2=0时；λ1=0、λ2=0时。平面向量的基本定理的实质：向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的。这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，科选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归。【练1】如图平行四边形ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b 表示MA ，MB ，MC 和MD 探究（二）：平面向量的坐标表示探究3：平面中的任意两个非零向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？ 1、非零向量a 、b 的夹角的定义： _________________________________ 。当 =0o 时，a 、b 当 =90o 时，a 、b 记做当 =180o 时，a 、b 2、两非零向量的夹角的范围：在区间[0°,180°]内. 探究4：阅读课本：p95下半页内容，回答问题（1）、对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？ 1、正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。 2、在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数表示， 3、每一个向量可否也用一对实数来表示？（2）、向量的坐标表示的定义：分别选取与x 轴、y 轴方向相同的向量i r ，j r 作为，对于任一向量a r ，a xi y j r r r ，（,x y R ），实数对(,)x y 叫，记作其中x 叫， y 叫。说明：（1）对于a r ，有且仅有一对实数(,)x y 与之对应；（2）相等的向量的坐标；（3）i r （，），j r （，），0(0,0) r ；（4）直角坐标系中点A 、向量OA u u u r 、有序数（x,y ）有什么关系？从原点引出的向量OA u u u r 的坐标(,)x y 就是。平面向量的坐标表示及其意义：在平面直角体系中，每一个向量可用一个有序实数对唯一表示，可以把几何问题代数化，把向量问题转化为数量问题【练3】如图，用基底i ，j 分别表示向量a 、b 、c 、d ,并求出它们的坐标. 三、当堂检测 1、下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 2.已知向量a ＝1e -22e ，b ＝21e +2e ，其中1e 、2e 不共线，则a +b 与c ＝61e -22e 的关系（） A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定 3.设1e 与2e 是两个不共线向量, a =31e +42e ,b =-21e +52e ,若实数λ、μ满足λa +μb =51e -2e ,求λ、μ的值. 4．已知梯形ABCD 中，||2||AB DC u u u r u u u r ，M ，N 分别是DC 、AB 的中点，若AB u u u r 1e r ，2AD e u u u r r ，用1e r ，2e r 表示DC u u u r 、BC uuu r 、MN u u u u r ． 5．设G 是ABC 的重心.若CA a u u u r r ，CB b u u u r r ，试用a r ，b r 表示向量AG u u u r .；平面向量的基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个__________,那么对于这一平面内的任意向量a ,__________ λ1、λ2,使________________. 注意：1 、1e 、2e 必须是的向量，叫做。 D M A B C a b 1e 2e A M D C N B

高中数学讲义第四章平面向量与复数(超级详细)

高中数学复习讲义第四章平面向量与复数【知识图解】 Ⅰ.平面向量知识结构表 Ⅱ.复数的知识结构表【方法点拨】由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。 1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用. 2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决. 4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.

第1课向量的概念及基本运算【考点导读】 1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题：①若=a b ，则=a b ；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形为平行四边形的充要条件；③若,==a b b c ，则=a c ；④=a b 的充要条件是=a b 且//a b ；⑤若//a b ， //b c ，则//a c 。其中，正确命题材的序号是②③ 2. 化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r 得0 3.在四边形ABCD 中，=a +2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为梯形 4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则OP u u u r ＝21 33 +a b ， OQ u u u r ＝12 33+a b (用a 、b 表示) 【范例导析】例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ，求证：2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r . 分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ，由EA AB EB +=u u u r u u u r u u u r 和EF FB EB +=u u u r u u u r u u u r 可得，EA AB EF FB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r （1）由ED DC EC +=u u u r u u u r u u u r 和EF FC EC +=u u u r u u u r u u u r 可得，ED DC EF FC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r （2）（1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED +=u u u r u u u r r ，0FB FC +=u u u r u u u r r ，代入（3）式得，2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r 点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形. 例1

平面向量的概念学案

必修4第二章平面向量 2．1．1 向量的概念与几何表示【内容分析】向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，它也是解决一些数学问题的工具.向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。向量与代数、三角、几何均有密切的联系与交汇，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在数学和物理学科中具有广泛的应用和极其重要的地位，也是高考的必考点. 【学习目标】 1.通过物理学中力的分析等实例，知道向量的实际背景，能能举例说明向量的概念； 2.会用几何法表示向量，掌握向量的模，能举例说出零向量、单位向量、平行向量概念的含义； 3.通过对向量的学习，使同学们初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别，掌握对向量与数量的识别能力，培养同学们认识客观事物与数学本质的能力. 【学习重点】理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、平行向量的概念，会用几何法表示向量. 【难点提示】平面向量概念的理解以及平行向量、相等向量的区别和联系. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材7479P 结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】一、学习准备 1.请同学们回顾一下，从小学到现在你们学过或知道哪些度量单位、度量方法？ 2.我们见过的线段的长度、物体的重量、水的温度、任意角的弧度等有哪些特点？ 3.思考：如图2.1.1-1，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，请问猫能否追到老鼠吗？为什么？ 4.生活中还存在着与长度、温度不同特征的“量”吗？图2.1.1-2中的AB 属于什么“两”呢？这就是本节课要研究的问题！二、学习探究 1.向量的物理背景与概念阅读探究请同学们结合“学习准备”的问题，仔细阅读课本P72-74页，可知在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等. 还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、弹力、速度以及上面图2.1.1-2的AB 等量，它们有怎样的特点呢？ A B C D 图2.1.1-1

平面向量、复数w

平面向量一、向量 1、即有大小又有方向的量叫向量 2、O 方向是任意的 3、单位向量a =1 4、平行向量?共线向量 ?//,a b a b ? 方向相同或相反。（注意//o a ） 5、相反向量,a a - 6、相等向量——方向相同，长度相等。注：//,////a b b c a c ?/ （当b o = 不成立）。二、向量的运算 1．加法（1）平行四边形法则（共起点、对角线）（2）三角形法则（首尾相连，起点到终点） 122311n n n A A A A A A A A -+++= 2．减法，共起点，终点指向被减数向量 3．实数与向量的积（1）a λ 仍是一个向量|||||| 0000a a a a a a a λλλλλλλλ=?? >??

①a b b a ?=? ②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ③()a b c a c b a +?=?+? 但 ()()a b c a b c ??≠?? a b a c b c ?=??=/ ()0a b a o b o ?=?==/ 或（可能a ⊥b ） (4)cos ||||a b a b θ?==? (5) ||||||a b a b ?≤? 三、平面向量的基本定理 12,e e 不共线，在平面内任一向量a ，有且仅有唯一12,R λλ∈，使1122a e e λλ=+ 。当12,e e 为i ，j 时，12(,)λλ即为直角坐标四、平面向量的坐标运算 1. 11222121(,)(,)(,)A x y B x y AB x x y y =-- 则 2. 1212(,)a b x x y y ±=±± 3. 1212a b x x y y ?=+ 4. 12120a b x x y y ⊥?+= 5. 1221//0a b x y x y ?-= ?=λ（)R ∈λ cos θ= 7. a b 在五、定比分点公式 AP AP PB PB λλ=?= 000,1P P P A P λλλλ>??

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