2018年高三二轮复习讲练测之讲案【苏教版数学】
专题一 集合与简易逻辑
考向一 集合的运算
1.讲高考
（1）考纲要求
理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的述语和符号，能正确地表示一些较简单的集合． （2）命题规律
集合的概念与运算是历年来必考内容之一，题型主要以填空题（在正卷中）或解答题（在附加卷中）的形式出现，集合在高考中主要考查三方面内容：一是考查集合的概念、集合间的关系；二是考查集合的运算和集合语言的运用,常以集合为载体考查不等式、解析几何等知识；三是以创新题型的形式考查考生分析、解决集合问题的能力.
另外，集合往往被用来做考察其他知识的载体，如与数学归纳法整合放置在附加题中，也可以与数列整合，放置在压轴题的位置．预测2018年的高考将会继续保持稳定，坚持考查集合运算，命题难度较为基础．试题类型一般是一道填空题，有时与方程、不等式综合考查．
【例1】【江苏省常熟市2018届高三上学期期中考试数学试题】已知集合{}12345U =，，，，， {}13A =，，
{}23B =，，则()U A B ?=e__________．
【答案】{}1
【解析】∵{}12345U =，，，，， {}23B =，，∴{}1,4,5U B =e，又{}13A =，,∴()
{}1U A B ?=e 【考点定位】本题考查集合的运算，子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度. 【名师点睛】考查集合的关系，涉及集合的相等.集合的交集运算，子集等概念，是送分题.
【例2】【江苏省启东中学2018届高三上学期第二次月考数学试题】已知集合{}|0 2 A x x =<≤
，集合
{}|1 2 B x x =-<<，则A B ?=_____．．
【答案】(]
1,2-
【考点定位】集合的基本运算.
【名师点睛】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.
2.讲基础
集合的概念、运算和性质
(1)集合的表示法：列举法，描述法，图示法． (2)集合的运算：
①交集：A ∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B }． ②并集：A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}． ③补集：U C A ＝{x|x ∈U ，且x ?A}． (3)集合的关系：子集，真子集，集合相等． (4)需要特别注意的运算性质和结论． ①A ∪?＝A ，A ∩?＝?； ②A ∩(U C A )＝?，A ∪(U C A )＝U. A ∩B ＝A ?A ?B ，A ∪B ＝A ?B ?A.
3.讲典例
【例1】【2017-2018第一学期江苏省东台安丰中学高三数学第一次月考试卷（文）】已知函数
()2214f x x x =+-的值域为A ，函数()()ln f x x a =+的定义域为B ．
（1）若A B φ?=，求实数a 的取值范围； （2）A B A ?=，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）5a ≤- （2）0a >
【解析】∵()2
2
42122525x x x -++=--+≤，∴()05f x ≤≤，函数的值域为[]0,5，故[]
0,5A =。
由0x a +>得x a >-，所以函数的定义域为(),a -+∞，故(),B a =-+∞。
（1）∵A B ?=?，∴5a -≥，解得5a ≤-。故实数a 的取值范围为(]
,5-∞-。 （2）∵A B A ?=，∴A B ?，∴0a -<，解得0a >。 故实数a 的取值范围为()0,+∞。学#科网 考点：集合的运算
【趁热打铁】已知集合全集U R =，2{|()lg(2)}A x f x x x ==-，{|55}B x x =-<<，()U C A B ＝ ．
【答案】{|02}x x ≤≤
【解析】∵{|20}A x x x =><或，∴{|02}U C A x x =≤≤，∴()U C A B {|02}x x =≤≤．
【例2】设集合2
{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =
【答案】[]0,1
【解析】{}
{}2
0,1x x x M ===，{}{}
lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1M N = ．
【考点定位】1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．
【名师点晴】本题主要考查的是一元二次方程、对数不等式和集合的并集运算，属于容易题．解题时要看清楚是求“ ”还是求“ ”和要注意对数的真数大于0，否则很容易出现错误． 【趁热打铁】记函数()()1lg 3f x x x =
-+-的定义域为集合M ，
函数()2
23g x x x =-+的值域为集合N ．
（1）求M N ?；
（2）设集合{}| P x x m =<，若()M N P ??，求实数m 的取值范围．
【答案】[)23M N ?-，；（2）3m ≥.
4.讲方法
在进行集合的交、并、补运算中可依据元素的不同属性采用不同的方法求解,常用到的技巧有:
(1)若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解； (2)若已知的集合是点集,用数形结合法求解； (3)若已知的集合是抽象集合,用Venn 图求解；
(4)注意转化关系(U C A)∩B=B ?B ?U C A,A ∪B=B ?A ?B,
U C (A ∩B )=(U C A )∪(U C B ), U C (A ∪B )=(U C A )∩(U C B )等.
注意两个问题:
(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．
(2)对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可以借助数轴、韦恩(Venn)图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解．
5.讲易错
【题目】已知集合A={x|x 2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m -1},若A ∪B=A,求实数m 的取值范围. 错解:∵x 2-3x-10≤0,∴-2≤x≤5,∴A={x|-2≤x≤5}.由A ∪B=A 知B ?A,∴即-3≤m≤3.
∴m 的取值范围是-3≤m≤3. 【错因】忽视空集而致误
【正解】∵A ∪B=A,∴B ?A.∵A={x|x 2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}, ①若B=φ,则m+1>2m-1,即m<2,故m<2时,A ∪B=A; ②若B≠φ,如图所示,
则m+1≤2m -1,即m≥2.由B ?A 得解得-3≤m≤3.又∵m≥2,∴2≤m≤3.
由①②知,当m≤3时,A ∪B=A.
反思提高：造成本题失误的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质.当题目中出现A ?B,A∩B=A,A ∪B=B 时,注意对A 进行分类讨论,即分为A=φ和A≠φ两种情况讨论. 误区警示：1．认清集合元素的属性及元素所代表的意义． 2．注意集合中的限制条件(如x ∈Z )．
[来源:https://www.doczj.com/doc/ae1027063.html,]
考向二 简易逻辑
1.讲高考
（1）考纲要求
①理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义和判定. ②学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力. （2）命题规律
常用逻辑用语的考查一般以一个填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，考查充要条件或命题的真假判断等，难度一般不大．
【例1】【江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校2018届高三12月联考数学试题】已知
2:,:230p x a q x x ≥--≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是____．
【答案】3a ≥
【考点定位】不等式解法与充分条件、必要条件.
【名师点睛】本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将含参数的一元二次不等式解法、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题
【例2】【苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校2018届高三12月联考数学试题】已知命题
:,sin p x R x x ?∈>，则p 的否定为__________．
[来源:学#科#网Z#X#X#K]
【答案】,sin x R x x ?∈≤
【解析】否命题是把原命题中的结论加以否定，同时把全称量词与存在量词相互转化，故
p ?:,sin x R x x ?∈≤．学@科网
【考点定位】本题主要考查全称命题的否定
【名师点睛】全称命题的否定与特称命题的否定是高考考查的重点，对特称命题的否定，将存在换成任意，后边变为其否定形式，注意全称命题与特称命题否定的书写，是常规题，很好考查了学生对双基的掌握程度.
2.讲基础
(1)四种命题
①用p 、q 表示一个命题的条件和结论，?p 和?q 分别表示条件和结论的否定，那么若原命题：若p 则q ；则逆命题：若q 则p ；否命题：若?p 则?q ；逆否命题：若?q 则?p . ②四种命题的真假关系
原命题与其逆否命题同真同真；原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假． (2)充要条件
[来源学+科+网Z+X+X+K]
①若p ?q ，则p 是q 成立的充分条件，q 是p 成立的必要条件．[来源学。科。网]
②若p ?q 且q ?/ p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件． ③若p ?q ，则p 是q 的充分必要条件． (3)简单的逻辑联结词“且”、“或”、“非”
用逻辑联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作“p ∧q ”； 用逻辑联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作“p ∨q ”； 对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作“?p ”． (4)全称量词与存在量词 ①全称命题p ：?x ∈M ，p (x )． 它的否定?p ：?x 0∈M ，?p (x 0)．
②特称命题(存在性命题)p ：?x 0∈M ，p (x 0)． 它的否定?p ：?x ∈M ，?p (x ).
3.讲典例
【例1】 “1x >”是“12
log (2)0x +<”的 条件. （在“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充
要”、“既不充分也不必要”中选填） 【答案】充分不必要
【考点定位】充分必要条件.
【名师点睛】本题把充分必要条件与对数不等式结合在一起，既考查了对数函数的性质，又考查了充分必要条件的判断，从本题可知我们可能用集合的观点看充分条件、必要条件：A ＝{x|x 满足条件p}，B ＝{x|x 满足条件q}，(1)如果A ?B ，那么p 是q 的充分不必要条件；(2)如果B ?A ，那么p 是q 的必要不充分条件；(3)如果A ＝B ，那么p 是q 的充要条件；(4)如果A B ?≠，且B A ?≠，那么p 是q 的既不充分也不必要条件．本题易错点在于解对数不等式时没有考虑对数的定义域.