《两条直线垂直的条件》
一、教材分析：
教材：人教版普通高中课程标准实验教科书B版，必修（二）第二章第二节第三部分内容
平面解析几何初步这一章，主要内容是用代数形式研究平面上最基本、最简单的几何图形——直线和圆。通过这一章的学习，既能为进一步学习解析几何的圆锥曲线、线性规划、以及导数、微分等做好知识上的必要准备，又能为今后灵活运用解析几何的基本思想方法打好坚实的基础。
本节课是在学习了直线的四种基本形式（斜截式、点斜式，两点式和一般式）的基础上，进一步探究如何利用直线方程的系数判定两条直线的垂直关系。它既是直线方程概念的深化利用，也是后续研究直线与圆的位置关系的重要基础，并在会考说明中，有具体的考察题目。
用直线方程判定两条直线的位置关系，体现了用代数方法研究几何问题的思想，这是贯穿于本章乃至整个解析几何体系的一种思想方法。
综上所述：我将本节课的教学目标定为：
①知识与技能：根据两条直线的斜截式和一般式，判定两条直线垂直
②过程与方法：类比两条直线平行条件的研究方法，学生自我探究，生成知识结构并应用解题
③情感态度价值观：培养用代数方法研究几何问题的思想，感受坐标法对沟通代数与几何、数与形之间联系的重要作用。
教学重点为：根据两条直线方程，判定两条直线垂直。
二、教法分析：
课前：数学知识相互联系十分紧密。研究新的问题，必须有熟练应用的知识基础作保证，而我们的学生经常会在这一环节中出现问题，因此，在教学之前，需要做好相应的知识铺垫，避免课堂上出现断档，保持课堂的流畅性。因此我设计了课前学案。
课中：通过阅读教参，发现两条直线垂直的条件，以及前一节课的两直线平行条件，都可以从代数和几何两个方向加以证明，其中代数方法着重培养学生的代数思维和计算推理能力，几何方法更加直观，学生容易理解和建构数与形之间的关系，而且几何方法中涉及的直线的斜率，是今后学习导函数的重要基础，学生一定要理解斜率的作用。
效果：设计了课堂检测，对学生的学习程度进行随堂的检测。
三、学法分析：
通过对期中考试的两个典型题目的分析得出，学生在计算推理方面容易出现问题，而简单几何证明相对好理解一些。但之前已经说明了，代数和几何方法所体现的思想方法各有不同，不能兼顾，如何取舍呢？我将前一节课平行条件的证明，和本节课垂直条件的证明过程，进行对比，发现平行条件的代数正法，较为容易，并且几何法初中研究过，因此平行条件的证明选择代数法，几
何法作为回顾和铺垫，而本节课的垂直条件证明，则选择几何法，提升课堂效率，避免难点。
教学难点为：探究两条直线垂直的条件。
四、教学过程分析：
1.教学流程：
五、课后反思
1.注重前后的联系，螺旋上升
①涉及的知识，提前复习
②涉及的方法，提前铺垫
③多种解题方式，适时的体现
2.注重技能的落实，少说多做不怕题容易，就怕做不对
两条直线垂直的条件
教学设计
彭帅
高中数学
两条直线垂直的条件
教学设计
彭帅
高中数学
《探索直线平行的条件》教案 教学目标 知识与技能 1．熟练识别同位角、内错角、同旁内角． 2．会用同位角相等或内错角相等或同旁内角互补判定两条直线平行． 过程与方法 通过学生操作一观察一猜想一探索平行线条件的过程，激发学生积极参与的兴趣，掌握平行线的识别方法，调动学生学习几何的积极性，培养合情说理的能力．情感、态度与价值观 激发学生积极参与的兴趣，体会数学中的操作一观察一猜想一探索的思想方法及其运用，让学生认识事物之间是普遍联系和相互转化的． 重点难点 重点 1．实例操作、探索直线平行的条件． 2．用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补判定两条直线平行． 难点 探索直线平行的条件． 教学设计 —、创设情境 如右图，3根木条相交成∠1，∠2，固定木条b、c，转动木条a． 提问：在木条a的转动过程中，木条的位置关系发生了什么变化？∠2与∠1的大小关系发生了什么变化？当∠2与∠1的大小满足什么关系时，木条a与b平行？ 二、合作探究 1．认识同位角 [画一画]两条直线AB、CD与直线相交，交点分别为E、F． 如图．
则称直线AB、CD被直线EF所截，直线EF为截线． [说一说]两条直线AB、CD被直线EF所截可得8个角，即所谓“三线八角”，这八个角中对顶角、邻补角各有哪些？ 学生回答． 如上图，在两条直线AB、CD被第三条直线JEF所截而成的8个角中，像∠1与∠5这样的一对角称为同位角． [想一想]图中还有没有其他的同位角？ 2．认识同位角的注意点 看两个角是不是同位角：（1)看它们是不是在一条直线的同侧；（2)看截它们的两条直线是什么，这两个角是不是在截它们的直线的同旁．也就是说，是否满足“F”型．3．同位角的作用 通过操作实践，我们得到这样一个基本的事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行． 比如：直线a、b被直线c所截，如图． （1)∠1，∠2有怎样的位置关系？ （2)若∠1=∠2，那么直线有何位置关系 结论：（1)∠1与∠2是一对同位角． （2）a//b． 推理：因为∠1=∠2，根据“同位角相等，两直线平行” 所以a//b． 4．认识内错角与同旁内角
《垂直与平行》教学设计 四年级数学教案 教学目标： 1、帮助学生初步理解同一平面内两条直线的特殊位置关系；即垂直与平行，初步认识平行线和垂线。 2、培养学生的空间观念，空间想象能力。 3、在分析、比较、综合的观察与思维中渗透分类的思想方法。 教学重点:正确理解“相交”、“互相平行”、“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。 教学难点：正确理解“在同一平面内”，“永不相交”等概念的本质属性。 学具教具：课件、纸，彩笔，直尺，量角器，三角尺等。 教学过程：（课件1课前播放音乐） 一、画图感知 复习导入：前面我们已经学习了直线，知道了直线的特点，（谁能说一说直线有什么特点？没有端点，可以无限延伸）今天我们继续一起来学习有关直线的知识。 1、动手画一画 师：（出示一张白纸）我们把这张白纸看成一个平面，闭上你们的小眼睛，想象一下，这个平面变大了，又变大了，变得无限大，在这无限大的平面上出现
了一条直线，又出现了一条直线，睁开你们的眼睛，把你刚才想象的两条直线用直尺、彩色笔画在纸上。（学生动手画，出示课件2）指名学生到黑板上画。 2，学生展示作品 画完的同学举起来互相看看，你们画的两条直线的位置关系相同吗？ 同学们的想象可真丰富，想出了这么多不同的画法，请同学们讨论一下黑板上这几组直线，按照位置关系我们可以把它们分为几类？ 3，学生讨论分类： 分为两类：相交，不相交 分为三类：相交，不相交，快要相交 分为四类：相交，不相交，相交成直角，快要相交 ………………………………… 板书：相交：（）（）( )( ) 成直角：（）垂直 不相交：( ) 平行 同学们讨论得真认真，这节课我们就一起来学习在同一平面内直线的两种特殊位置关系。（出示课件3）揭示课题：垂直与平行板书：垂直与平行 二揭示概念：互相垂直，互相平行 1．揭示互相垂直的概念 在同一平面上两条直线相交形成了什么呢？（角）
第五课时 ●课题 §6.4 如果两条直线平行 ●教学目标 （一）教学知识点 1.平行线的性质定理的证明. 2.证明的一般步骤. （二）能力训练要求 1.经历探索平行线的性质定理的证明.培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力. 2.结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论.并能总结归纳出证明的一般步骤. （三）情感与价值观要求 通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，熟悉综合法证明的格式.进而激发学生学习的积极主动性. ●教学重点 证明的步骤和格式. ●教学难点 理解命题、分清其条件和结论.正确对照命题画出图形.写出已知、求证. ●教学方法 尝试指导、引导发现与讨论相结合. ●教具准备 投影片六张 第一张：议一议（记作投影片§6.4 A） 第二张：想一想（记作投影片§6.4 B） 第三张：符号语言（记作投影片§6.4 C） 第四张：命题（记作投影片§6.4 D） 第五张：证明的一般步骤（记作投影片§6.4 E） 第六张：练习（记作投影片§6.4 F） ●教学过程 Ⅰ.巧设现实情境，引入新课 ［师］上节课我们通过推理得证了平行线的判定定理，知道它们的条件是角的大小关系.其结论是两直线平行.如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换之后得到的命题是真命题吗？ 这节课我们就来研究“如果两条直线平行”. Ⅱ.讲授新课 ［师］在前一节课中，我们知道：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”这个真命题是公理，这一公理可以简单说成： 两直线平行，同位角相等. 错角相等. ［生乙］还可以证明：两条直线平行，同旁内角互补. ［师］很好.下面大家来想一想：（出示投影片§6.4 B）
垂直与平行教案 Vertical and parallel teaching plan
垂直与平行教案 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是小学生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 ［教学内容］人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》四年级上册64～65页的内容。 ［教学目标］ 1．引导学生通过观察、讨论感知生活中的垂直与平行的现象。 2．帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识垂线和平行线。 3．培养学生的空间观念及空间想象能力，引导学生树立合作探究的学习意识，培养学生将数学知识应用到生活的能力。 ［教学重点］正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。 ［教学难点］相交现象的正确理解（尤其是对看似不相交而实际上是相交现象的理解）。 ［教具、学具准备］课件，白纸，水彩笔，尺子，三角板，量角器，小棒。
［教学过程］ 一、画图感知，研究两条直线的位置关系 导入：前面我们已经学习了直线，知道了直线的特点，今天咱们继续学习直线的有关知识。 （一）学生想象在无限大的平面上两条直线的位置关系 师：老师这儿有一张纸，如果把这个面儿无限扩大，闭上眼睛，想象一下，它是什么样子的？在这个无限大的平面上，出现了一条直线，又出现一条直线。想一想，这两条直线的位置关系是怎样的？会有哪几种不同的情况？（学生想象） （二）学生画出同一平面内两条直线的各种位置关系 师：每个同学手中都有这样的白纸，现在咱们就把它当成一个无限大的平面，把你刚才的想法画下来。注意，一张白纸上只画一种情况。开始吧。（学生试画，教师巡视） 二、观察分类，了解平行与垂直的特征 （一）展示各种情况 师：画完了吗？在小组中交流一下，看看你们组谁的想法与众不同？（小组交流） 师：哪个小组愿意上来把你们的想法展示给大家看看？ （小组展示，将画好的图贴到黑板上） 师：仔细观察，你们画的跟他们一样吗？如果不一样，可以上来补充！（学生补充不同情况）
3.1.2两条直线平行与垂直的判定 ●三维目标 1．知识与技能 (1)让学生掌握直线与直线的位置关系． (2)让学生掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法． 2．过程与方法 (1)利用“两直线平行，倾斜角相等”这一性质，推出两直线平行的判定方法． (2)利用两直线垂直时倾斜角的关系，得到两直线垂直的判定方法． 3．情感、态度与价值观 (1)通过本节课的学习让学生感受几何与代数有着密切的联系，对解析几何有了感性的认识． (2)通过这节课的学习，培养学生用“联系”的观点看问题，提高学习数学的兴趣． (3)通过课堂上的启发教学，培养学生勇于探索、创新的精神． ●重点难点 重点：根据直线的斜率判定两条直线平行与垂直． 难点：两条直线垂直判定条件的探究与证明． 重难点突破：以初中学习的平面内两直线平行和垂直关系为切入点，利用数形结合的思想，导出直线倾斜角间的关系，再通过直线的倾斜角同斜率的关系，猜想得出两条直线平行和垂直判定的方式．为了更好的理解两直线垂直的条件，老师可利用几何画板直观演示，验证当两条直线的斜率之积为－1时，它们是相互垂直的即可． ●教学建议 本节课是在学习直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系．核心内容是两条直线平行与垂直的判定．结合本节知识的特点，建议采用引导发现法，先从学生已有的知识经验出发，采用数形结合的思想，把两条直线平行与垂直的几何关系代数化，由于学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯，故教学过程中，教师应采取循序渐进的原则，注意到直线的倾斜角同斜率的关系，在几何关系代数化的过程中，注意向学生渗透分类讨论思想． ●教学流程 创设问题情境，引出问题：直线的平行与垂直同其斜率间分别存在什么关系？?引导学生回忆初中几何知识，先建立倾斜角同平行与垂直间的关系.?
《探索直线平行的条件》（二）教学设计 陂西中学张雅玲 一、教材分析： 本节课是北师大版七年级数学下册，第二章第二节第2课时的内容，这节既是本章的重点，也是本册几何学习的基础和重点内容之一，几何图形在人们生活空间大量存在，平行线在现实生活中更是随处可见，同时也是构成同一平面内两条直线的基本位置关系，为此探索直线平行的条件，并能进行简单说理，将直观图形与推理相结合，利用平行相关结论，解决一些生活实际问题是学习的重点，也为今后几何学习奠定基础。 二、教材整合与处理： 《探索直线平行的条件》安排了两课时，我在教学这节课时，稍作调整，第一课时重点认识了三线入角，引导学生观察、分析同位角、内错角、同旁内角的位置关系。在较复杂（不规则）图形中辨别这些角的特征，并归纳出识别它们的简单方法（如用类似字母“F”、“Z”、“U”或汉字“工”识别这些角），为第二课时教学作好铺垫，在教学第二课时前，作好学生的预习准备，利用学具实践操作，P63做一做，∠1与∠2有怎样的大小关系时，两木条会平行，结合自己已有的知识或经验，工人师傅怎样钉木条，使两木条a∥b？你能用哪些方法说明：内错角相等，（同位角）或同旁内角互补，两直线平行？动手摆一摆，做一做，量一量，你会发现什么等等，为第二课时教学扫除障碍，为此第二课时的思路是这样的： 在教学时，我采用“先学后教，当堂训练”及“探究式”的综合教学
风格，在学生预习的基础上，将学习目标设置一系列的问题中，再通过学生的自主学习，交流探讨，分析归纳，动手操作等活动完成本节课的学习目标，老师在各个环节适时点拨、指导，最后综合点评学生的学习效果。 根据课标要求，结合本节课的重点、难点及设计思路，确定目标如下：三、学习目标； 知识目标：理解和掌握两条直线平行的条件，并能利用直线平行的条件解决一些实际问题。 能力目标：经历观察、操作、想象、讨论交流等活动，进一步发展空间观念，推埋能力和有条理的表达能力。 情感目标：渗透多角度思考问题的思想，通过本节课的学习，培养学生自主、合作、共同探索的精神。 教学重点：掌握平行线的条件，能准确识别同位角、内错角和同旁内角在图中的位置。 教学难点：能正确根据同位角、内错角相等，及同旁内角互补来判断两直线平行。 创新点：将学习目标设置为一系列的问题来，让学生在自主学习、合作探究中完成，让学生成为学习的主人，激发了学生学习的主动性和热情。
人教版三年级数学基于标准的《垂直与平 行》教学设计 教材版本：《义务教育课程标准实验教科书数学》人教版 教学内容：四年级上册 学习目标： 1.通过自主操作，动手摆一摆，画一画，小组内观察、交流两条直线的位置情况，借助分类活动，初步认识两条直线的位置关系。 2.结合校园生活实际，理解平行与垂直的含义及特点，会正确读、写和判断互相平行和互相垂直的位置关系。 评价方案: 1.动手摆一摆两支铅笔的位置情况，借助铅笔、尺子在纸上画一画，小组内互相交流成果并进行分类，完成目标1的检测。 2.结合校园生活实际图，说一说存在哪些互相平行与垂直的位置关系，用字母表达式写出来，读一读，检测目标2。 教具学具准备： 尺子，三角板，量角器、纸片，小棒，课件 教学过程： 一、创设情景生成问题（播放课件及音乐下课了） 下课铃响了，同学们就像放飞的小鸟，争先恐后的向外冲去。
可是，当王磊经过常爽的座位边时，一不小心把常爽的文具弄到了地上。于是，王磊迅速地收拾掉在地上的文具时，忽然，一个问题引起了他的思考：两支铅笔落在地上，可能会形成哪些图形呢？ 请同学们用手中的小棒代替铅笔随意抛抛看，会出现哪些情形？观察后，并用直线代表铅笔，用彩笔在纸上画出小棒的位置情况。老师待会选取画的好粘贴在黑板上！ 二、探究新知解决问题 1、师：同学们都画好了吗？画好的同学小组内交流一下，讨论交流会出现几种情况呢？ 要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励
第二章平行线与相交线2探索直线平行的条件（第2课时） 一、教学目标 知识与技能：会识别由“三线八角”构成的内错角和同旁内角。过程与方法：经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论，并能解决 一些问题。 情感与态度：经历观察、操作、想象、图利、交流等活动，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，进一步发展 空间想象、推理能力和有条理表达的能力.使学生 在参与探索、交流的数学活动中，进一步体验数学 与实际生活的密切联系。 二、教学重难点 教学重点：两条直线平行的条件. 教学难点：选择各种角判断两条直线是否平行. 三、教学方法 教法：引导学生利用类比方法探索两条直线平行的的其他条件，并引导学生动手实验进行合作探究. 学法：通过复习回顾，利用类比方法，动手实践、观察、发现由内错角之间的关系和同旁内角之间的关系来判断两直线是否平行.学会思考问题并与同学进行交流. 四、教学过程 1.立足基础，温故知新 1.1通过以下问题带领学生在复习“三线八角”基本图形和同位角的基础上，进一步学习内错角和同旁内角。 问题1：如图，直线a，b被直线c所截，数一数图中有几个角（不含平角）？ c a b 问题2：写出图中的所有同位角，并用自己的语言说明什么样的角是同位角？ 引导学生从角与截线与被截线的位置关系的角度来描述同位角。问题3：它们具备什么关系能够判断直线a∥b？你的依据是什么？ 问题4：图中∠3与∠5，∠4与∠6这样位置关系的角有什么特点？∠3与∠6，∠4与∠5这样位置关系的角呢？说说你的理由。
由此引导学生概括得出内错角与同旁内角的概念。 1.2．巩固练习1：课本随堂练习1： 观察右图并填空：（1）∠1与 是同位角； （2）∠5与 是同旁内角； （3）∠2与 是内错角。 练习2：如图，直线AB ，CD 被EF 所截，构成了八个角， 你能找出哪些角是同位角、内错角、同旁内角吗？ 2.创设情境，提出问题 2.1给出实际问题：小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否 平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB （如图所示）。小明只有 一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是 否平行，你知道他是怎样做的吗？ 2．2 画板上下边缘是否平行能利用同位角来判断吗？如果不能，是否可以利用其他角来判断？请你先自主探索，再与同伴交流。 3.大胆探究，各抒己见 依次完成以下几个步骤，引导学生从实践到理论探索直线平行的条件 3.1课本议一议：（1）内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？ a n m b 3 4 5 2 1 4 1 2 3 5 6 7 8 Ｄ Ｃ Ｂ E Ａ F
平行与垂直 教材概述： 《垂直与平行》是人教版义务教育课程标准实验教科书四年级上册第四单元第一课时的教学内容。它是在学生学习了直线与角的认识的基础上安排的教学内容，是认识平行四边形和梯形以及以后学习几何学的基础，更是培养学生空间观念的基础载体。 学情分析： 学生通过对直线与角的认识的学习，有了一定的空间想像能力，且垂直与平行这些几何图形在我们的日常生活中应用广泛，学生对其已有许多表象认识。但是，由于学生生活的局限性和空间观念及空间想象能力不够丰富，故而其对垂直与平行中所研究的同一个平面内两条直线位置的相互关系，还未能建立表象，不能完全理解"同一平面"与"永不相交"的本质。为此，需要教师帮助他们解决。 教学策略分析：。 1、设计理念：解决“抽象”这一难点的最佳方法莫过于动手操作，我想只有贴近学生生活的才是最易被学生接受的，只有学生亲自动手得来的才是真正理解不易遗忘的。结合我校校本教研提出的“在合作中体验学习的快乐”的先进理念，我在本课的设计中主要体现的是“摸一摸——想一想——画一画——练—练——折一折”的三维教学理念，意图放缓坡度，让学生在潜移默化的学习之中对本知识点做到既能意会又可言传。 2、教法设计：我在教学中主要设计了“画一画”和“分一分”两个操作性学习环节，让学生通过动手操作、动笔描绘、动眼观察、动脑思考、动口阐述五个层面的梯度性学习，系统深入地掌握知识，以拉近知识与学生的距离。 3、学法设计：在“扔小棒”活动中，主要是体现开放性动脑想象的学习方法，让学生有空间把可能出现的情况全面的展现出来，为准确地提取和掌握知识点做好充分的准备；在“分一分”活动中，主要是体现多元性思考的学习方法，让学生理解知识，并培养概括总结的能力；在学习概念性知识的时候，主要是体现抓住重要词语进行理解的学习方法，让学生通过交流全面掌握所学的知识。 教学目标： 1、初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线特殊的两种位置关系，会初步辨析垂线和平行线。 2、通过观察、分类、比较、举例等环节，认识垂线和平行线，感知生活中垂直与平行的现象。 3、引导学生具有自主思考、合作探究的学习意识，体会到垂直与平行的应用和美感，激发学生学习数学的兴趣。 教学重点： 正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”“平行线”“垂线”等概念，发展学生的空间想象能力。 教学难点： 正确判断同一平面内两条直线之间的位置关系。 教学过程： 一、情境引入，感知“同一平面”。 1. 复习直线的性质特点：没有端点，可以（向两端）无限延长。 2、感知“同一平面”。 下面请同学们拿出你手中的一张纸，平放在桌上，用手摸一摸，感知一下，它是（平的），我们就说你摸的这个面是一个平面。这张纸（也就是这个平面）可以无限放大，所以直线可
第二章平行线与相交线 2.2探索直线平行的条件（第2课时） 一、教学目标： 1．会识别由“三线八角”构成的内错角合同旁内角。 2．经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论，并能解决一些问题。 3．经历观察、操作、想象、图利、交流等活动，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力。 4．使学生在参与探索、交流的数学活动中，进一步体验数学与实际生活的密切联系。 二、教学重点： 教学难点： 第一环节：立足基础，温故知新 1．通过以下问题带领学生在复习“三线八角”基本图形和同位角的基础上，进一步学习内错角和同旁内角。 问题1：如图，直线a，b被直线c所截，数一数图中有几个角（不含平角）？ 问题2：写出图中的所有同位角，并用自己的语言说明什么样的角是同位角？ 引导学生从角与截线与被截线的位置关系的角度来描述同位角。 问题3：它们具备什么关系能够判断直线a∥b？你的依据是什么？ 问题4：图中∠3与∠5，∠4与∠6这样位置关系的角有什么特点？∠3与∠6，∠4与 ∠5这样位置关系的角呢？说说你的理由。 由此引导学生概括得出内错角与同旁内角的概念。 2．巩固练习1：课本随堂练习1： 观察右图并填空：（1）∠1与是同位角； （2）∠5与是同旁内角； a n m b 3 4 5 2 1 c a b
（3）∠2与是内错角。 练习2：如图，直线AB，CD被EF所截，构成了八个角， 你能找出哪些角是同位角、内错角、同旁内角吗？ 第二环节：创设情境，提出问题 活动内容： 1．给出实际问题：小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否 平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB（如图所示）。小明只有 一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是 否平行，你知道他是怎样做的吗？ 2．画板上下边缘是否平行能利用同位角来判断吗？如果不能，是否可以利用其他角来判断？请你先自主探索，再与同伴交流。 第三环节：大胆探究，各抒己见 活动内容：依次完成以下几个步骤，引导学生从实践到理论探索直线平行的条件1．课本议一议：（1）内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？ （2）同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？ 请你先独立思考，采用你认为适当的方式来说明理由，然后再与同学交流。 2．观察课件中的三线八角，内错角的变化和同旁内角的变化，得出结论： 内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。 3．挑战自我：你能结合图形用推理的方式来说明以上两个结论成立的理由吗？ 如图，直线a，b被直线c所截， a b c 1 3 2 4 1 2 3 5 6 7 8 ＤＣ Ｂ E Ａ F
《垂直与平行》 教学内容： 义务教育课程标准实验教科书《数学》（四年级上册） 教学目标： 1 、引导学生通过观察、讨论感知生活中的垂直与平行的现象。 2 、帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识垂线和平行线。 3 、学生的空间观念及空间想象能力得到培养，引导学生树立合作探究的学习意识。 教学重点： 正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。 教学难点： 相交现象的正确理解。（尤其是对看似不相交而实际上是相交现象的理解） 教学过程： 一、复习导入，引入直线关系 师：同学们，今天老师带来了一个老朋友，他叫什么名字？（出示课件）为什么是直线，不是线段呢？（指名回答直线的特点）我们可以想象一下，直线和孙悟空的什么宝贝特别像啊（出示图片）这个图片好不好看？你们以后也能画出来这么好看的图片。不过，这需要我们有很强的想象力，大家想不想锻炼锻炼自己的想象力？ 二、画图感知，研究两条直线的位置关系 师：我们把探究单当做一个平面，拿出我们的右手，抚摸一下探究单，请大家闭上眼睛，我们一起来想象：这个面变大了，变得跟课桌一样大，变得比黑板还要大，变得无限大，在这个无限大的平面上，跑来了一条直线，又来了一条直线。这两条直线是什么样子的？请同学们睁开眼睛把它们画在纸上。 学生画图：把他们所想象的同一平面内两条直线画下来。 三、观察分类，了解平行与垂直的特征 1、展示各种情况。 师：老师刚才也想象了一种画面，我们一起来看一下。这两条直线有什么特点？（指名回答）哦，他们交叉了，我们就把这样交叉的两条直线叫做相交，他们交叉的点叫做交点。
下面这两条直线有没有相交？他们有没有交点？我们延长一下看一看。哦，他们没有相交，是不是永远也不相交？我们就可以把它们叫做“永不相交”。老师收集了几张有代表性的作品，我们一起来欣赏一下。如果你的作品和他的差不多，就请点点头告诉老师，好吗？（展示学生作品）……同学们的想象力真丰富！创作出这么多不同的作品。 请看大屏幕，同学们的作品大致就是这样的。（多媒体出示） ⑴（2）⑶（4） （5）（6）（7）（8） 2、进行分类 师：能给它们分分类吗？ 生：能。 师：在小组中交流交流。 小组活动：分一分，说一说。 ⑴这些图形可以分成几类？⑵为什么这样分？ 请各小组讨论后完成探究单。 （小组讨论、交流） ①小组汇报分类情况。（学生汇报时，当学生说交叉时，师指出：交叉在数学上叫相交） 学生可能会出现以下几种情况： A．相交：1、4、6；不相交：2、3、5； B．相交：1、2、4、6；不相交：3、5； C．相交：1、4、6；快要相交：2；不相交：3、5； ②引导学生分类。 师：大家刚才把这些图形根据它们是否相交进行了分类。只是对2号图形有不同的看法，认为2号图形是相交的同学来说一说理由。（请一生说，师再课件演示） 生：因为直线是可以无限延长的，延长后它们就相交了。
3. 两条直线平行与垂直的判定 一、选择题 1、下列说法正确的有（ ）(注：两直线可以重合) ①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1=k 2； ③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行。 " A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、直线l 1、l 2的斜率是方程x 2－3x －1=0的两根，则l 1与l 2的位置关系是（ ） A 、平行 B 、重合 C 、相交但不垂直 D 、垂直 3、给定三点A （1，0）、B （－1，0）、C （1，2），则过A 点且与直线BC 垂直的直线经过点（ ） A 、（0，1） B 、（0，0） C 、（－1，0） D 、（0，－1） 4、已知直线x+my +6=0和(m －2)x+3y +2 m =0互相平行，则实数m 的取值为（ ） A ．—1或3 B ．—1 C ．—3 D ．1或—3 5、两条直线mx+y －n =0和x+my +1=0互相平行的条件是（ ） 】 A m=1 B m=±1 C ? ??-≠=11n m D ???≠-=???-≠=1111n m n m 或 6、直线l 1:ax+y=3;l 2:x+by －c=0，则ab=1是l 1||l 2的（ ） A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 7、与直线2x +3y －6=0关于点)1,1(-对称的直线方程是（ ） A ．2x +3y +8=0 B ．2x +3y +7=0 C ．3x －2y －12=0 D ．3x －2y +2=0 8、已知P(a,b )与Q(b －1,a +1)(a≠b －1)是轴对称的两点，那么对称轴方程是（ ） ￥
第二章平行线与相交线 2探索直线平行的条件（第1课时） 课时安排说明: 平行线与相交线构成了同一平面内两条直线的基本位置关系。在七年级上册学生已经直观认识了角、平行与垂直，积累了初步的数学活动经验的基础上，本章将进一步探索平行线、相交线的有关事实。教材通过设置观察、操作等探索活动，按照“先探索直线平行的条件、再探索平行线的特征”的顺序呈现有关内容，在带领学生探索性质和解决问题的过程中，以直观认识为基础训练学生进行简单的说理，以加深对平行的理解，并学会借助平行解决一些简单的实际问题，进一步发展学生的空间观念。所以，本章及本节内容无论是在知识、数学思想方法还是对学生能力的培养方面都是非常重要的。 本节“探索直线平行的条件”共分两课时完成，第一课时探索得出判别直线平行的条件一，并初步认识“三线八角”中的同位角，第二课时在进一步认识“三线八角”中的内错角和同旁内角的同时，探索得出判别直线平行的条件二、三。本单元教学设计时将遵循教科书编写思路，在探索直线平行条件的过程中自然引入“三线八角”，使该知识的学习成为解决问题的需要，而不是孤立地处理这些内容。 一、学生起点分析： 学生的知识技能基础：学生在七年级上册《平面图形及其位置关系》一章中，已经结合丰富的现实情景，直观认识了两条直线的平行关系，了解了平行线的定义，会借助方格纸、利用直尺、三角板用多种方法画平行线，经历了在操作活动中探索图形性质的过程，初步掌握了平行线的有关性质，并用自己的语言加以描述，初步具有了有条理地思考与表达的能力，为本章的深入学习奠定了基础。学生的活动经验基础：在七年级上册《平面图形及其位置关系》一章中，教材为学生提供了大量生动有趣的现实情境，通过观察、测量、画图、模型操作、拼摆、图案设计等活动，使学生在活动中自觉体会平面图形的性质及位置关系，获得了初步的数学活动经验和体验。同时在活动中也培养了学生良好的情感态
复习引入： 直线名称 已知条件 直线方程 使用范围 示意图 点斜式 k y x P ),,(111 )(11x x k y y -=- 存在k 斜截式 b k ， b kx y += 存在k 两点式 ) ,(11y x （),22y x 1 21 121x x x x y y y y --= -- 2121,y y x x ≠≠ 截距式 b a , 1=+b y a x 0,0≠≠ b a 一般式 A 、 B 、 C R ∈ 0=++C By Ax 022≠+B A 1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 2．斜率存在时两直线的平行与垂直． 设直线1l 和2l 的斜率为1k 和2k ，它们的方程分别是： 1l ：11b x k y +=； 2l ：22b x k y +=． 两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特 征王新敞 ⑴两条直线平行(不重合)的情形． 如图，从位置关系、倾斜角、斜率的定义、正切函数的性质分析，得以下结论： 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如 果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ?1k =2k 且21b b ≠ 王新敞 要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立． 例1 两条直线1l ：0742=+-y x ， 2l ：052=+-y x ．求证：1l ∥2l 例2 求过点)4,1(-A 且与直线0532=++y x 平行的直线方程．（两种方法） 注意： ①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握； ②解法二是常常采用的解题技巧。一般地，直线0=++C By Ax 中系数A 、B l 2l 1 α2 α1 x O y
《垂直与平行》 教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》四年级上册64～65页的内容。 教学目标：知识与技能： 1.结合具体情境，通过动手操作，了解同一平面内两条直线的两种位置关系。 2、知道“互相平行”“互相垂直”“垂线”、“垂足”的含义。 3、能正确判断互相垂直和互相平行。 过程与方法： 1．培养学生周密思考的习惯，渗透数学推理。 2、在分析、比较、综合的观察与思维中渗透分类的思想方法。 情感、态度与价值观： 1、学以致用的习惯。 2、体会数学的应用与美感。 教学重点：正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”的含义，发展学生的空间想象能力。 教学过程： 课前谈话： 师：知道什么是关系吗？如我和你们是师生关系。 生：?? 师：人和人之间存在关系，数学中也有关系。 今天我们要研究数学中的一种特殊关系。 一、谜语导入 1、认识“同一平面” 师出示一个用纸折成的长方体纸筒。每个面上各写了一个字（无始无终）师：每个字在相同的面吗？然后展开长方体， 师：现在四个字在几个平面上？ 生：同一平面上。 猜谜语 师：用“无始无终”打一个我们学过的图形。 生：直线。师：为什么是直线？生：因为直线没有端点，可以向两边无线延长。师：今天我们就来研究同一平面内两条直线的位置关系。 二、探究与归纳 1、明确任务主动探究课件出示学习任务：把纸看着平面，用两种不同颜色的笔画两条直线；看看，同一平面内的两条直线的位置是怎样的？ 2、学生动手画出同一平面内两条直线，师提醒孩子：还有其他画法吗？画好的同学看看小组内同学画的，交流交流。 3、展示各种情况，进行分类 师：画完了吗？哪位同学愿意上来把你的想法展示给大家看看？（个人展示，将画好的图拿上来交流）师：仔细观察，你画的跟他一样吗？有不一样的，可以上来补充。师：同学们的想象力可真丰富，画出来这么多种情况。你能把他们分分类吗？为了叙述方便，我们可以先给这些作品编上号。出示7组直线，①②③④⑤⑥⑦师：你能根据直线的位置关系把这七组直线分类吗？ 生1：①和④交叉了分为一类②③⑤⑥⑦没有交叉分为一类。 （1）认识相交师：刚才老师听到一个词“交叉”，两条直线“交叉”了，
7.1探索直线平行的条件（1） 教学目标1．引导学生探索、理解、掌握直线平行的条件——同位角相等，并能在数学图形及实际生活中正确识别平行线； 2．经历探索两直线平行的条件的活动过程，提高对图形的认识、分析能力；体会说理的必要性，会进行简单的说理——根据图形中的已知条件，通过简单说理或推理，得出欲求结果． 教学重点理解平行线的识别方法——同位角相等，两直线平行． 教学难点会进行简单的说理． 教学过程（教师）学生活动设计思路新课引入——情景导入： 欣赏图片，发现生活中的平行线，回顾平行线的定义和表示方法。回答相关问题。 通过图片，让学生发 现生活中的平行线，激发 学生的求知欲。 探索活动： 介绍“三线八角”中被截直线，截线的定义，从而得出同位角的定义，并让学生找出其他的同位 角，并把它们从图形中分离出来，画出草图，发现同位角的结构特征。 熟悉同位角的定 义，找出图中所有的同 位角，探索发现所有的 同位角都是F型的。 在判别“同位角”时，要 注意“两同”： 1、在被截直线的同侧（左 右）； 2、在截线的同旁（上下）
练习： 1.如图，∠1和∠2是同位角的是（） 2.指出下图中用数字标出的角，哪些是同位角？ 观察、思考、感悟． 巩固同位角的概念， 尤其明确同位角是哪两条 直线被哪条直线所截形成 的，为后面探索直线平行 的条件做知识储备。 3.∠1与∠是同位角.它们是直线、被直 线截成的同位角。 ∠2与∠是同位角，它们是由直线、被直 线截成的同位角. ∠3与∠是同位角，它们是直线、被直线 截成的同位角. 观察、思考、感悟． 巩固同位角的概念， 尤其明确同位角是哪两条 直线被哪条直线所截形成 的，为后面探索直线平行 的条件做知识储备。
垂直与平行 教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》四年级上册64～65页的内容。教学目标： 1．引导学生通过观察、讨论感知生活中的垂直与平行的现象。 2．帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识垂线和平行线。 3．培养学生的空间观念及空间想象能力，引导学生树立合作探究的学习意识。 4、在分析、比较、综合的观察与思维中渗透分类的思想方法。 教学重点： 正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。 教学难点：相交现象的正确理解（尤其是对看似不相交而实际上是相交现象的理解） 教学过程： 一、画图感知，研究两条直线的位置关系 同学们，前面我们认识的直线，知道了直线的特点是可以向两端无限延伸，这节课咱们继续研究和直线有关的知识！ 首先老师向学生出示一个魔方，说怎么玩？生：把相同颜色的方块转到同一个平面上。然后老师又拿出一张白纸，我们把这张白纸看成一个平面，闭上眼睛想象在这个平面上出现了一条直线，又出现了一条直线，你想象的这两条直线是什么样儿呢？睁开眼睛!把他们用直尺和彩色笔画在纸上！（生画直线，师巡视） 二、观察分类，了解平行的特征 师：好多同学都已经画完坐端正了，你们都画完了吗？好！刚才老师收集了几幅作品，我们贴黑板上吧！ 师：你们看，同学们的想象真丰富，我们在同一个平面内想象两条直线，竟然出现了这么多不同的样子，真不简单！ 师：仔细看看，能不能给他们分分类呢？好！为了大家叙述起来方便，咱们给他们编上号，一起来吧！ 师：下面请你把分类的情况写在练习本上，用序号表示（小组合作完成）（开始吧！）师：都分好了吗?谁愿意到前面来分给大家看看！给大家说说你分的理由！ 1、教学相交 师：这个同学把黑板上的分成了两类！对于这样的分发你有没有不同的想法？ 这个同学的观点认为4号是交叉的，你们认为呢？为什么？谁能再说说理由？大家说能再画长一些吗？（能）
《两条直线平行与垂直的判定》的说课稿 江川县第二中学：杨雪芳 课题：§ 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 教材：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）必修（2）第三章第一节第二部分的内容 课时：1课时 下面，我从教材分析、学情分析、教学目标及教学重难点设计、课堂结构设计、教学过程设计及教学评价设计六个方面对本节课的思考进行简单说明。 一、教材分析 直线与方程是平面解析几何初步的第一章，主要内容是用坐标法研究平面上最基本、最简单的几何图形——直线。学习本章，既能为进一步学习解析几何的圆、圆锥曲线、线性规划、以及导数、微分等做好知识上的必要准备，又能为今后灵活运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。 本节课是在学生学习了直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系。核心内容是两条直线平行与垂直的判定。它既是直线斜率概念的深化和简单应用，也是后续内容学习的重要基础。因此，我认为本节课的教学重点为：根据两条直线斜率判定两条直线平行与垂直。 用斜率判定两条直线的位置关系，体现了用代数方法研究几何问题的思想，这是贯穿于本节乃至本章内容始终的一种思想方法，它是解析几何研究问题的基本思想，本质还是数形结合。因此体会数形结合的数学思想也是本节课的教学任务之一。 二、学情分析： 在初中数学中，学生已学习过两条直线平行与垂直的判定。对两条直线平行与垂直的几何判断方法并不陌生，并且具备了一些初步推理能力。但用两条直线的斜率判定两条直线平行与垂直，是用代数方法研究几何问题，学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯。要学好本节内容，学生还需具备三角函数的有关知识，但此前学生并没有这方面的知识储备。尤其是对诱导公式 的认识是有一定困难的。因而要导出两条直线垂直的斜率条件，学生会感到困难。因此，我确定本节课的教学难点为：探究两条直线斜率与两条直线垂直的关系。 三、教学目标、重难点的确定 《课程标准》指出本节课的学习目标是：能根据斜率判定两条直线平行或垂直。根据《课标》要求和本节教学内容，结合学生的实际，我把本节课的教学目标确定为： （一）知识技能 1.掌握两条直线平行与垂直的条件。
《探索直线平行的条件》教学设计 一、教学分析 1. 教学地位与作用： 本节课是苏科版七年级下册第七章《平面图形的认识（二）》的第一节课，是在直观认识了平行的基础上进一步研究平行线，并探索直线平行的条件，它不仅为本章后继学习平行线的性质做好准备，而且也为今后学习“平行四边形”的知识内容做好铺垫。 2. 教学对象的分析 （1）学生的认知分析：通过上学期的学习，学生对于两条直线的平行关系有了初步的认识，但这个认识仅仅处于对生活中存在的平行现象的感知层面，对于如何判断两条直线平行缺乏相关的知识。 （2）学生的学情分析：该年龄段的学生学习悟性高，对新事物容易产生兴趣，探索欲望强烈，但数学活动经验较少，合作能力有待提高。 3. 教法、学法分析 教法：以直观演示、实验观察法为主，以讲练结合为辅的教学方法。 学法：学生通过观察、操作、思考、交流等数学活动来构建与此相关的知识与方法。 4. 教学环境的分析 针对初一学生的年龄特点和心理特征，以及他们的知识水平，本节课我设计了“看一看、做一做、找一找、想一想、说一说”五个操作活动。让学生始终处于主动的学习状态，借助图片、动画、几何画板等多媒体演示，让学生在实践中思考，思考后归纳总结的过程中培养其空间观念、推理能力和有条理表达的能力，所以我选择在多媒体教室进行教学。 二、教学目标 （一）知识与能力目标： 1. 会识别同位角，掌握用同位角判断直线平行的方法。
2. 掌握直线平行的条件，并能解决实际问题。 （二）过程与方法目标： 经历“观察、操作—猜想、探索—说理”的认知过程，形成判定直线平行的方法，发展空间观念和有条理的表达能力。 （三）情感态度与价值观目标： 让学生体验数学活动中的探索与创造，并获得成功的喜悦；在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论与交流，从中获益。 三、教学重点与难点 （一）教学重点 1．在操作、观察的基础上总结出直线平行的条件，并能初步运用结论进行直线平行的判定。 2．培养学生的动手能力、观察能力。 3．培养学生学习数学的兴趣和热爱生活的情感。 （二）教学难点 1．利用“同位角相等两直线平行”解决具体情境中的一些简单的问题。掌握同位角的概念。 2．培养学生的探究问题的能力以及与人合作交流的能力。 3．培养学生合作学习的意识和研究探索的精神。 四、教学过程及评价 （一）教学流程图
垂直与平行教案 ［教学内容］人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》四年级上册64～65页的内容。 ［教学目标］ 1．引导学生通过观察、讨论感知生活中的垂直与平行的现象。 2．帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识垂线和平行线。 3．培养学生的空间观念及空间想象能力，引导学生树立合作探究的学习意识，培养学生将数学知识应用到生活的能力。 ［教学重点］正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。 ［教学难点］相交现象的正确理解（尤其是对看似不相交而实际上是相交现象的理解）。 ［教具、学具准备］课件，白纸，水彩笔，尺子，三角板，量角器，小棒。 ［教学过程］ 一、画图感知，研究两条直线的位置关系 导入：前面我们已经学习了直线，知道了直线的特点，今天咱们继续学习直线的有关知识。 （一）学生想象在无限大的平面上两条直线的位置关系 师：老师这儿有一张纸，如果把这个面儿无限扩大，闭上眼睛，想象一下，它是什么样子的？在这个无限大的平面上，出现了一条直
线，又出现一条直线。想一想，这两条直线的位置关系是怎样的？会有哪几种不同的情况？（学生想象） （二）学生画出同一平面内两条直线的各种位置关系 师：每个同学手中都有这样的白纸，现在咱们就把它当成一个无限大的平面，把你刚才的想法画下来。注意，一张白纸上只画一种情况。开始吧。（学生试画，教师巡视） 二、观察分类，了解平行与垂直的特征 （一）展示各种情况 师：画完了吗？在小组中交流一下，看看你们组谁的想法与众不同？（小组交流） 师：哪个小组愿意上来把你们的想法展示给大家看看？ （小组展示，将画好的图贴到黑板上） 师：仔细观察，你们画的跟他们一样吗？如果不一样，可以上来补充！（学生补充不同情况） 123456 （二）进行分类 师：同学们的想象力可真丰富，画出来这么多种情况。能把它们分分类吗？在小组中交流交流。（小组讨论、交流） 1．小组汇报分类情况。 预案： a．分为两类：交*的一类，不交*的一类；