任意角的三角比
一、本章知识结构图
二、本章复习策略：
1、重视基本概念的理解和基础知识间的联系，让学生形成有效的知识体系。
2、掌握基本方法、基本技能的熟练应用。公式和定理的推导及正用、逆用、变用、巧用。提高三角变换的能力。
三、任意角的三角比考纲要求
从知识结构图中可以看出，任意角的三角比的定义是三角学最本源的概念，任意角三角比的定义是支撑三角恒等变形和三角函数的支柱！要善于从定义出发解决问题。如：平面上点的三角表示式(cos ,sin )P r r αα用处很多。其具体考纲要求如下：
四、考点聚焦
1、 弧度制：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度。
1弧度=180π??
?
??
，1=180π
弧度 2、 弧长公式和扇形面积公式：211
,22
l r S lr r αα==
=（其中α为弧度制的角） 3、任意角
（1）角：一条射线绕着它的端点，由初始位置（始边）旋转到最终位置（终边）就形
成了一个角。
角分正角（逆时针旋转所成）、负角（顺时针旋转所成）、零角（不旋转）。 坐标角（角的终边落在坐标轴上）、象限角（角的终边落在某个象限） （2）与角α终边相同的角的集合可表示为：
{}360,k k z ββα=+∈或{}2,k k z ββπα=+∈
（3）终边在x 轴上的角的集合为 {}
,k k z ααπ
=∈ ，终边在y 轴上的角的集合为
,2k k z πααπ??=+∈????，终边在坐标轴上的角的集合为,2k k z παα??
=∈????
。
4．任意角的三角比（锐角三角比是任意角三角比的特例，反之，任意角三角比是锐角三角比的拓展。） （1）定义：设α是一个任意角，其终边上任意一点(,)P x y （异于原点），它到原点的
距离是(0)r r >则
sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x r r
r r x y x y
αααααα=
===== （2）三角比的符号
（3）三角比的有界性 （4）三角函数线：在单位圆中经常用有向线段表示三角比的值，例如在右图中：MP 、OM 、AT 分别称为POA ∠的正弦线、余弦线和正切线.
相关结论：若(0,)2
π
α∈,则sin tan ααα<<.
五、例题精析 例1、（1）若sin cos 0θθ?>，则θ在 （ ） (A) 第一、四象限 (B) 第一、三象限 (C) 第一、二象限期 （D ）第二、四象限 （2）若角α是第二象限角，则2α是哪个象限角？α2是哪个象限角？3
α
是哪个象限角？
（3）若α是第二象限角，用|cos
|cos
2
2
α
α
=-，则
2
α
是 （ ）
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 （D ）第四象限 例2、若θ角的终边与
85π角的终边相同，则在[]0,2π上终边与4
θ
的角终边相同的角为 例3、（1）若223
cos 3m m
α-=-，求m 的取值范围。
（2）若α为第三象限的角，且223
cos 3m m
α-=-，求m 的取值范围。
例4、一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
例5、已知角α终边上一点()P y ，且sin 4
y α=，求cos α和tan α的值．
例6、已知 0cos ,0sin ><αα，且2tan -=α，求ααcos ,sin 的值。
变式训练：已知 0cos ,0sin ><αα，且a =αtan ，求ααcos ,sin 的值。 例7、求满足下列条件的角的取值范围。
(1)2
3sin >θ； (2)1sin ,cos 22θθ<>且。
例8、点O 是坐标原点，角α的终边上有一点M ，且2OM =，角β的终边上有一点N ，且4ON =，又P 为MN 的中点，求以OP 为终边的角θ的正切值。（用α、β的三角比来表示）
例1、（1）若s i n c o s 0θθ?>，则θ在 （ B ）
(A) 第一、四象限 (B) 第一、三象限 (C) 第一、二象限期 （D ）第二、四象限
（2）若角α是第二象限角，则
2α是哪个象限角？α2是哪个象限角？3
α
是哪个象限角？ （一、三象限） （三、四象限） （一、二、四象限） （3）若α是第二象限角，用|cos
|cos
2
2
α
α
=-，则
2
α
是 （ C ） (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 （D ）第四象限 例2、若θ角的终边与
85π角的终边相同，则在[]0,2π上终边与4
θ
的角终边相同的角为 29719,,,510510ππππ??
????
。
例3、（1）若223
cos 3m m
α-=-，求m 的取值范围。
[]132,0,22m ??
∈-?????
（2）若α为第三象限的角，且223
cos 3m m
α-=-，求m 的取值范围。
12m ???∈? ? ? ????
例4、一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？（2α=，S 最大=25）
例5、已知角α终边上一点()P y ，且sin 4
y α=
，求cos α和tan α的值．
0y =时 cos 1,tan 0αα=-=；0y ≠ c o s ,t a n αα==
例6、已知 0cos ,0sin ><αα，且2tan -=α，求ααcos ,sin 的值。
sin αα==
变式训练：已知 0cos ,0sin ><αα，且a =αtan ，求ααcos ,sin 的值。
sin αα==
例7、求满足下列条件的角的取值范围。
(1)2
3sin >
θ； (2)1sin ,cos 2θθ<>且。
（1）2(2,2)()3
3
k k k Z π
π
ππ+
+
∈； （2）(2,2)()46
k k k Z π
π
ππ-+∈
例8、点O 是坐标原点，角α的终边上有一点M ，且2OM =，角β的终边上有一点N ，且4ON =，又P 为MN 的中点，求以OP 为终边的角θ的正切值。（用α、β的三角比来表示）
sin 2sin tan cos 2cos αβ
θαβ
+=
+