1 设函数2 2(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值，试求常 数a ，并确定极值的类型． 2 求函数2 2 z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小 值． 3（04研） 设(,)z z x y =是由2 226102180x xy y yz z -+--+=确定的函 数，求(,)z z x y =的极值点和极值． 4 求函数23 u xy z =在条件x y z a ++=（其中,,,a x y z R + ∈）下的条 件极值．
1 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值，试求常数a ，并确定极值的类型． 分析 这是二元函数求极值的反问题， 即知道(,)f x y 取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题． 解 因为(,)f x y 在(,)x y 处的偏导数均存在，因此点(1,1)-必为驻点， 则有 2(1,1) (1,1) (1,1)(1,1) 40220f x a y x f xy y ----??=++=??????=+=???， 因此有410a ++=，即5a =-． 因为 22 (1,1) 4f A x -?==?，2(1,1) (1,1) 22f B y x y --?= ==-??， 22 (1,1)(1,1) 22f C x y --?===?， 2242(2)40AC B ?=-=?--=>，40A =>， 所以，函数(,)f x y 在(1,1)-处取得极小值． 2 求函数22z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值． 分析 这是多元函数求最值的问题．只需要求出函数在区域内可能的极值点及在区域边界上的最大值和最小值点，比较其函数值即可． 解 由 20z x y x ?=-=?，20z y x y ?=-=?解得0x =，0y =，且(0,0)0z =． 在边界1,0,0x y x y +=≥≥上， 22()313(1)133z x y xy x x x x =+-=--=-+， 它在[0,1]上最大值和最小值分别为1和 1 4 ； 同理，在边界1,0,0x y x y +=-≤≤上有相同的结果． 在边界1,0,0x y x y -=-≤≥上， 22()1(1)1z x y xy x x x x =-+=++=++，
第九章 多元函数微分法及其应用各种知识点计算一览 1、求函数的定义域：略 2、求函数的表达式：略。如：已知(,)f x y xy +，求(,)f x y 3、计算函数的极限：可以用一元函数极限的知识以及使用两边夹定理。 4、证明多元函数极限不存在：通常是取两条不同的路径，计算出函数在这两条路径上的极限不等即可。也可设,y kx y kx ==2 等，证明极限值和k 有关。 如：,(,),xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? 22 22220 00 5、讨论分界函数在分解点的连续性：只需按照连续的定义，lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=0 00。 6、计算函数(,)z f x y =的偏导数：只需将其中一个变量看作常数，对另一个变量求导。 7、计算分界函数在分界点的偏导数：一般需用偏导数的定义做。 (,)(,) lim x x x x y y f x x y f x y z x =?→=+?-=?00 00000 (,)(,) lim x x y y y y f x y y f x y z y =?→=+?-=?00 00000 8、复合函数求偏导数口诀：分叉相加、分段相乘、单路全导、多路偏导。 9、隐函数求偏导数：(,)x y F dy F x y dx F =? =-0或y x F dy dx F =- (,,),y x z z F F z z F x y z x F y F ??=? =-=-??0或y x F dy dx F =- （假设(,)z f x y =）(,,,)(,,,)F x y u v G x y u v =?? =? 0方程组两边分别对,x y 求偏导数，再用消元法求解即可。（假设(,),(,)u u x y v v x y == 10、全微分的计算：(,)x y z f x y dz z dx z dy =?=+ (,,)x y z u f x y z du u dx u dy u dz =?=++ (,)z f x y =全微分存在的判断方法一：,x y z z 存在且连续
第九章多元函数微分法及其应用 【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法； 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社
第九章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念 1、平面点集，n维空间 2、多元函数的极限（注意书上的P61页考察函数） 求极限：x→0 sinx~x、tanx~x、arctanx~x、arcsinx~x...... 3、多元函数的连续性：①注意任意方向都要趋向该点极限（证明函数的极限存在于不存在） ②在D上有界，有最大、最小值 第二节偏导数 1、定义（可表示为曲线在点M0（X0，Y0，Z0）处的切线对X轴\Y 轴的倾角即tanα=?z／?x......） 2、偏导的符号不可拆P68 例5 3、偏导数的几何意义 4、偏导数与连续的关系无关（考察函数） 5、高级偏导数（注意运算） 第三节全微分 1、全增量：Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) 可表示为：Δz=AΔx+BΔy+o(ρ） 2、全微分：dz= AΔx+BΔy 3、全微分存在条件：limn→∞（?z?dz）/ρ=0 4、可微的充分和必要条件
连续偏导数存在 可微 5、全微分的计算（求偏导时可代值简化） f(x,y ,z)对x,y,z求全微分 df=?f/?xdx+?f/?ydy+?f/?zdz 例题：P81 第四节多元复合函数的求导法则 1、定义P78 2、求导法则（同路相乘，不同路相加）对谁求偏导，将其他变量看为常数求，注意a．x．和x．a．的不同 3、抽象函数的偏导数 方法：P82同求导法则，将?f/?x写成f 1..... 第五节隐函数的求导公式 1、隐函数存在定理P86 P87有连续偏导数 2、隐函数求导法则：dy/dx= ?Fy/Fx 3、形式：设f（x，y，z）具有连续的偏导数，g（x，y）由f=f(x,y)=0由其确定，证明.......（令函数g（）=....=0。，再根据情况求偏导）不
第九章 多元函数微分法及其应用
【教学目标与要求】
1、 理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。
2、 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
3、 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，
了解全微分形式的不变性。
4、 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
5、掌握多元复合函数偏导数的求法。
6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
8、了解二元函数的二阶泰勒公式。
9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极
值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大
值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
【教学重点】
1、 二元函数的极限与连续性；
2、 函数的偏导数和全微分；
3、 方向导数与梯度的概念及其计算；
4、 多元复合函数偏导数；
5、 隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法；
6、 曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；
【教学难点】
1、 二元函数的极限与连续性的概念；
2、全微分形式的不变性；
3、复合函数偏导数的求法；
4、二元函数的二阶泰勒公式；
5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；
6、 拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。
【教学课时分配】 (18 学时)
第 1 次课 §１ 第 2 次课 §2
第 3 次课 §3
第 4 次课 §4
第 5 次课 §5
第 6 次课
§6
第 7 次课 §7
第 8 次课 §8
第 9 次课
习题课
【参考书】
[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.
[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.
[3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社
第九章 多元函数微分法及其应用 一、填空题 1.若22(,)tan x f x y x y xy y =+-,则(,)f tx ty =222222tan (,)x t x t y t xy t f x y y +-=. 2.若()0)x f y y =>,则()f x =. 3.函数arcsin y z x =的定义域为{(,)|||10}y x y x x ≤≠且. 4. 1 sin 00lim(1)xy x y xy →→+=e . 5.若2xy z e yx =+,则 z y ?=?2xy xe x +. 6.若23(,)5f x y x y =,则(0,1)x f =3(0,1)10|0xy =. 7.若222ln(1)u x y z =+++,则du = 2222()xdx ydy zdz x y z ++++. 8.设y x z e =,则dz =21y y x x y e dx e dy x x -+. 9.已知sin()x z y e =+,而3y x =,则dz dx =23(3)cos()x x x e x e ++. 10. 已知2x y z e -=,而3sin ,x t y t ==,则 dz dt =3sin 22(cos 6).t t e t t -- 11.设)1ln(22y x z ++=,则===21y x dz 1233 dx dy +. 12. 设v u z 2=,而y x v y x u sin ,cos ==,则=??x z 223cos sin x y y , =??y z 322cos (cos 2sin )x y y y -. 13.若(,)z f x y =在区域D 上的两个混合偏导数22,z z x y y x ?????? 连续 ，则在D 上22z z x y y x ??=????. 14.函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微的 必要 条件是(,)z f x y =在点00(,)x y 处
高等数学A(2)复习题 第九章 多元函数微分法及其应用 一、填空题 1、设函数)ln(),(22y x x y x f --=，其中0>>y x ，则=-+),(y x y x f 2、数141 2222-++--=y x y x z 的定义域是 . 3、设函数f x y x y xy x y (,)=+-+-32231，则一阶偏导数(3,2)y f '= . 4、设函数xy e y x z +=2，则 =??)2,1(y z . 5、设函数)32ln(),(x y x y x f += ，则偏导数=')0,1(y f . 6、设函数(,,),x z f x y f y =可微，则偏导数z y ?=? . 7、设函数)ln(2xy y z =，则=)2,1(y z ?? . 8、设函数y z (sin x)=,则偏导数y z ??= . 10、设函数2(,)cos()z f x y x y ==，则二元偏导数值(1,)2 xx f π= . 11、设2ln ,z u v =而,32,x u v x y y = =-， 则y z ??= 12、设函数y x e z 2-=，而t x sin =，3t y =，则 =dt dz . 13、设函数222),(y x y x f +=，则 =+),('),('y x f y x f y x . 14、设函数(,)f x y =(1,2)x f '= . 15、设函数)32ln(),(x y x y x f + = ，则(1,0)y f = . 16、已知方程ln x x y z =确定隐函数(,)z z x y =，则z x ?=? . 17、已知由方程0323=+-y xz z 确定隐函数),(y x f z =，则 z x ?=? ． 18、设函数sin()2xy z =，则全微分=dz . 19、设函数z x y x e y =--322，则全微分dz = . 20、设函数)ln(2xy z =，则=dz . 21设 )sin(xy z =可微， 则全微分=dz . 22、设函数 xy e z =，则全微分dz ＝ . 23、设函数xy z xe =，则全微分dz = . 24、设函数)cos(2y x z =，则=dz .
第九章 多元函数微分法及其应用 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数 y x z ???2 ， x y z ???2 连续 ，则在D 上， x y z y x z ???= ???2 2 。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 必要 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 2．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 0→→ (2)1 1lim 0-+→→xy xy y x 解：原式???? ? ??=→→y xy xy y x sin lim 00 解：原式)11)(11()11(lim 0 -+++++=→→xy xy xy xy y x 001=?= ( ) 211lim =++=→→xy y x (3)2 2 2 2 2 2 0)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 解：原式?? ??? ? ? ? ?+???? ? ??++=→→2 2222 222 22 00422 sin 2lim y x y x y x y x y x +∞=???? ? ?+= →→220011lim 21 y x y x 3．设()xy x z ln =，求 y x z ???23 及 2 3 y x z ??? 解： ()()1ln ln +=? +=??xy xy y x xy x z x xy y x z 122 = = ??， 02 3 =???y x z ，
y xy x y x z 12 = = ???， 2 2 3 1y y x z - =??? 4．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z = 解： 2 2222 2 2 11 y x y y x y x x x y x x y x z +-=???? ??-+=??? ????? ?? ??+= ?? 类似地 2 2 2 11y x x x y y x y x z +=??? ????? ? ? ??+= ?? (2)()xy z ln = 解： xy x x y x y x x x z ln 211ln ln 121ln ln = ?+= +??=?? 同理可证得： xy y y z ln 21= ?? (3)3 2 z xy e u = 解：()3 23 2 323 2 z xy z xy e z y z xy x e x z = ??=?? ()3 22 3 3 2 2z xy z xy e xyz z xy y e y u =??=?? ()3 2 3 222 32 3z xy z xy e z xy z xy z e z u =??=?? 5．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。 解：() u t v u t uv u u z sin cos 2 2 -=+??=??， () u v u t u v v v z 2c o s 2 =+??=??， u t z cos =?? 依复合函数求导法则，全导数为 dt dt t z dt dv v z dt du u z dt dz ???+???+???= ()1c o s 12s i n 2?+?+-=u t uv e u t v t ()t t t t e t e t e e t t c o s ln 2sin ln 2++ -=
第九章 多元函数微分法的应用 在高数上册中，我们讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数. 但在许多实际应用问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系. 由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题. 本章将在一元函数微积分学的基础上，进一步讨论多元函数的微积分学. 讨论中将以二元函数为主要对象，这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数. 第一节 空间曲线的切线与法平面 教学目的： 1、理解空间曲线的切线与法平面的概念； 2、掌握空间曲线的切线与法平面的计算 教学重点：空间曲线的切线与法平面的计算 教学难点：空间曲线的切线与法平面的计算 教学内容： 设曲线Γ的参数方程为 )(),(),(t z z t y y t x x === 其中[,]t a b ?，(),(),()x t y t z t 在区间[,]a b 上可导。 曲线Γ在点0P 处的切线方程为 .) ()()(00 0000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 切线的方向向量000('(),'(),'())x t y t z t 称为曲线在点0P 的切向量. 过点0P 且与切线垂直的平面称为曲线Γ在点0P 处的法平面. 曲线的切向量就是法平面的法向量，因此法平面的方程为 0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x 如果曲线Γ的方程为 ? ??==0),,(0 ),,(z y x G z y x F 的情形； 曲线Γ在点0P 处的切线方程为 00 00 (,)(,)(,)(,)(,)(,)P P P x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---= =抖?抖?
第九章多元函数微分法及其应用 一、基本要求及重点、难点 1. 基本要求 (1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。 (2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。 (3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件 和充分条件。 (4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。 (5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 (6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。 (7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。 (8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉 格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 2. 重点及难点 （1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。 （2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。。 二、内容概述 多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。 1.多元函数的极限和连续 (1)基本概念 1)点集和区域。 2)多元函数的定义、定义域。 3)二元函数的极限、连续。 (2)基本定理 1)多元初等函数在其定义域内是连续的。 2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值 M和最小值m之间的任何值。 2.多元函数微分法 (1)基本概念
偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。 (2) 计算方法 1) 偏导数：),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数 x x x z =??，就是一元函数 ),(0y x f z =在0x x =处的导数；对y 的偏导数 x x x z =??（同理）。 2) `全微分：),(y x f z =的全微分dy y z dx x z dz ??+??= 3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同 条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。 A. 设),(v u f z =，)(),(t v t u ψ?==，则全导数dt dv v z dt du u z dt dz ??+ ??=。 B. 设),(v u f z =，),(),,(y x v y x u ψ?== 则： x v v z x u u z x z ????+ ????=??，y v v z y u u z y z ????+????=??。 4) 隐函数求导法则： A. 设函数)(x f y =由隐函数0),(=y x F 确定，则 y x F F dx dy -=。 B. 设函数),(y x f z =由隐函数0),,(=z y x F 确定，则 z x F F dx dz -=，z y F F dy dz - =。 C. 设函数)(),(x g z x f y ==由隐函数方程组?? ?==0 ),,(0 ),,(z y x G z y x F 确定，从 ???? ?='+'+='+'+0)()(0 )()(x g G x f G G x g F x f F F z y x z y x ，求出导数)(),(x g x f ''。 (3) 多元函数连续、可导、可微的关系 (4) 基本定理
第九章多元函数积分学 （三重积分、第一类曲线积分与第一类曲面积分、点函数的性质及其应用） 1、三重积分的引入： 三重积分的概念是从求三维立体的质量而引入的，问题的关键点是同一个立体的不同质点处的密度并不均匀，密度函数是一个三元函数。（了解三重积分的来源有助于真正的掌握它的应用哦） 问题的解决方法是经典的四部曲，分割，取近似，求和，取极限。 2、三重积分的计算： （1）作图,由于三重积分是体积的质量，自然我们要先将积质量的基准区域找出来，作图的功力要大家慢慢练习好好体会了，苏老师的复习小帮手上写得很清楚了。 （2）计算 三重积分主要有四种计算方法（平面坐标系下的投影法及平面截割法、柱面坐标系转换、球 面坐标系转换），接下来我们一一归纳之…… 投影区域较简单 两个变量的函数，且化成累次积分后容易计算出积分的值。 σ是x一型区域： 若xy
()z y x f ,,仅是 z 的表达式或是常数()()dxdy z g dz dv z g D d c =???
Oxy平面上的投影区域是圆域或圆域的一部分（或被积函数中含有面坐标系下的计算。（另外两个坐标平面同样适用） 在柱面坐标系下，一般总是先积z，后积
若立体V是由以原点为心的球面围成的立体或是由以原点为球心的球面与以原点为顶点的维面围成的主x+）。此时用球面坐标系下的计算。 体，（或被积函数中含有2y 最后积θ，而且在大多数情况下，ρ 因子哦。
3、 第一类曲线积分概念的引入： 第一类曲线积分是一直曲线的线密度函数，来求解曲线的质量，当线密度函数恒为常数1时，积分的结果就是我们在微积分一当中遇到过的解曲线弧长的问题。关建是把曲线Γ表示成参数方程，并且找出参数的区间 []βα,即可化成t 的一元函数定积分。 总结看来共有五种类型：设平面第一类曲线积分为 ()?Γ ds y x f , （1）若()()., , :βα≤≤?? ?==Γt t y y t x x 则()()()()()().,,,22??'+'=Γβα dt t y t x t y t x f ds y x f （2）若(),,: b x a x y ≤≤=Γ?则()()()()??'+=Γ b a dx x x x f ds y x f .1,,2?? （3）若(),,:d y c y x ≤≤=Γψ则()()()()? ?'+=Γ d c dy y y y f ds y x f .1,,2ψψ （4）若(),,:βθαθ≤≤=Γr r 即()().,sin ,cos βθαθθθθ≤≤==r y r x 则 ()()()()()()?? '+=Γ β α θθθθθθθ.sin ,cos ,22d r r r r f ds y x f (5)另外也可以表示为r 的函数，但是这种方法不常用 以上各种转化的目标是将积分最终转化为 一元函数的定积分，小心公示运用过程中的平方和开放 4、第一类曲面积分的引入： 第一类曲面积分是已知曲面的面密度函数，来求曲面的的质量 ()()().1,,,,,2 2???? '+'+==xy d z z y x z y x f Q dS z y x f y x S σσ 若曲面()()xy z x z x y y S σ∈=,,,:，则 ()()()?? ???? ? ????+??? ????+=zx d z y x y z z x y x f dS z y x f S σσ.1,,,,,2 2 若曲面()(),,,,:yz z y z y x x S σ∈=则 ()()()?? ???? ? ????+???? ????+=yz d z x y x z y z y x f dS z y x f S σσ.1,,,,,2 2 这里的各种转化实质上是将将积分转化为二重积分，所以在选择变量的时候要注意好究竟在哪一个坐标平面上的积分更好积一些 两个第一类积分都是的被积函数往往都是可以化简的 5.点函数积分的基本性质 设 ()()P g P f ,在有界闭区域Ω上都可积，有
多元微分学测试题2 一、选择题 1.函数f x y xy x x y x (,)sin()=≠=??? ??00 不连续的点集为____________. A .y 轴上的所有点 B .空集 C .x >0且y =0的点集 D . x<0且y=0的点集 2.曲线x e y t z t t ===22,ln ,在对应于t =2点处的切线方程是____________. A . x e e y z -= -= -4 4221 44 ln B . x e e y z -= -= -4 4 2212 42 ln C . x e e y z += +-= 4 4 212 2 12 4 ln D . x e e y z += +-= 4 4 12 2 12 4 ln 3.设函数z x y =-2322，则_____________. A .函数z 在点(,)00处取得极大值 B .函数z 在点(,)00处取得极小值 C .点(,)00非函数z 的极值点 D .点(,)00是函数z 的最大值点或最小值点，但不是极值点 4.z x y x (,)000=和z x y y (,)000=是函数z z x y =(,)在点(,)x y 00处取得极大值或极小值的_______________. A .必要条件但非充分条件 B .充分条件但非必要条件 C .充要条件 D .既非必要条件也非充分条件 5.设函数F u v (,)具有一阶连续偏导数，且F F u v (,),(,)012013==-，则曲面F x y z xy yz zx (,)-+-+=0在点(,,)211-处的切平面方程为____________. A .260x y z +-+= B .21180x y z --+= C .280x y z +-+= D .21160x y z --+= 二、填空题 1.设函数f x y x y x y xy (,),(,)=+=22 ?，则[]f f x y x y (,),(,)?=???????______.