实验一 列主元消去法 【实验内容】 1．掌握列主元消去法的基本思路和迭代步骤 2．并能够利用列主元的高斯消去法解任意阶数的线性方程组； 3、从课后题中选一题进行验证，得出正确结果，交回实验报告与计算结果。 【实验方法与步骤】 1．列主元消去法基本思路 设有线性方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。列主元消去法的基本思想就是通过列主元的选取将初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]|B A b =，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。 2．列主元高斯消去法算法描述 将方程组用增广矩阵[]()(1)|ij n n B A b a ?+==表示。 步骤1：消元过程，对1,2,,1k n =-L （1） 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+L 使得 ,max k i k ik k i n a a ≤≤= （2） 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行（3）； （3） 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ?， ,,1j k n =+L ； （4） 消元，对,,i k n =L ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++L ，计算 .ij ij ik kj a a l a =- 步骤 2：回代过程： （1） 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行（2）； （2） ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =-L ，计算 ,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+??=- ??? ∑
[实验程序] #include
%利用高斯列主元消去法求如下线性方程组的解 clear all; A=[3 -2 1 -1;4 0 -1 2;0 0 2 3;0 0 0 5]; b=[8;-3;11;15]; function [X,XA] = UpGaussFun(A,b) %利用高斯列主元消去法求如下线性方程组的解 %A为一个n阶上三角非奇异矩阵 %b为线性方程组的阐述向量 %X为线性方程组AX=b的解 %XA为消元后的系数矩阵 N=size(A); n=N(1); index=0; for i=1:(n-1) me=max(abs(A(1:n,i)));%选列主元 for k=i:n if(abs(A(k,i))==me) index=k; break; end; end; end; temp=A(i,1:n); A(i,1:n)=A(index,1:n); A(index,1:n)=temp; bb=b(index); b(index)=b(i); b(i)=bb;%交换主行 for j=(i+1):n if(a(i,i)==0) disp('?????a???a0￡?'); return; end; l=A(j,i); m=A(i,i); A(j,1:n)=A(j,1:n)-l*A(i,1:n)/m; b(j)=b(j)-l*b(i)/m;
end; X=UpTriangleFun(A,b); XA=A; ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- % 函数定义 function [X,XA]= UpGaussFun(A,b) %利用高斯列主元消去法求如下线性方程组的解 %A为一个n阶上三角非奇异矩阵 %b为线性方程组的阐述向量 %X为线性方程组AX=b的解 %XA为消元后的系数矩阵 [N,M]=size(A); %N=sizes(A); n=N; index=0; for i=1:(n-1) me=max(abs(A(1:n,i))); %选列主元 for k=i:n if(abs(A(k,i))==me) index=k; break; end; end; temp=A(i,1:n); A(i,1:n)=A(index,1:n); A(index,1:n)=temp; bb=b(index); b(index)=b(i); b(i)=bb; %交换主行 for j=(i+1):n if(A(i,i)==0) disp('?????a???a0￡?'); return; end; l=A(j,i); m=A(i,i); A(j,1:n)=A(j,1:n)-l*A(i,1:n)/m; b(j)=b(j)-l*b(i)/m; end; end;
贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告 课程名称：数值分析班级：数本（一）班实验日期：年月日 学号： 0098（81）姓名：吴胜指导教师：杨一都 实验成绩：一、实验名称 实验五:线性方程组的数值解法 二、实验目的及要求 1. 让学生掌握用列主元gauss消去法、超松弛迭代法求解线性方程组. 2. 培养Matlab编程与上机调试能力. 三、实验环境 每人一台计算机，要求安装Windows XP操作系统，Microsoft office2003、(或. 四、实验内容 1. 编制逐次超松弛迭代(SOR迭代)函数(子程序),并用于求解方程组
???????=-++=+-+=++-=+++-1 4141414432143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 取初始向量T x )1,1,1,1()0(=,迭代控制条件为 5)1()(102 1 ||||--?≤-k k x x 请绘制出迭代次数与松弛因子关系的函数曲线,给出最佳松弛因子.SOR 迭代的收敛速度是否一定比Gauss-Seidel 迭代快 2. 编制列主元 Gauss 消去法函数(子程序),并用于解 ??? ??=++-=-+-=+-6 15318153312321 321321x x x x x x x x x 要求输出方程组的解和消元后的增广矩阵. 注：题2必须写实验报告 五、算法描述及实验步骤 Gauss 消去法： 功能 解方程组b Ax = . 输入 n ,n n ij a A ?=)(,T n b b b b ),,,(21 =. 输出 方程组的解T n x x x x ),,,(21 =或失败信息. 步1 对1,,2,1-=n k 执行步2→步4 . 步2 调选列主元模块 .
高斯列主元消元法解线性方程组 一、题目：用Gauss 列主元消去法解线性方程组Ax b =，其中， A=17.031 -0.615 -2.991 1.007 -1.006 0.000-1.000 34.211 -1.000 -2.100 0.300 -1.7000.000 0.500 13.000 -0.500 1.000 -1.5004.501 3.110 -3.907 -61.705 12.170 8.9990.101 -8.012 -0.017 -0.910 4.918 0.1001.000 2.000 3.000 4.500 5.000 21.803?? ? ? ? ? ? ? ? ??? 0.230 -52.322 54.000 240.236 29.304 -117.818b ?? ? ? ?= ? ? ? ? ??? T X=(0.907099 -1.961798 3.293738 -4.500708 3.029344 -5.255068) 二、原理及步骤分析 设 n n ij R a A ?∈=][)1(，n n R b b b b ∈=],,,[)1()2(2)1(1 。若约化主元素 ),,2,1(0)(n k a k kk =≠，则通过高斯消元法将方程b AX =约化为三角形方程组求解。 如果在消元过程中发现某个约化主元0) (=k kk a , 则第K 次消元就无法进行。此外，即 使所有约化主元全不为零，虽然可以完成方程组的求解，但也无法保证结果的可靠性，因为计算过程中存在舍入误差。 为减少计算过程中的舍入误差对解的影响，在每次消元前，应先选择绝对值尽可能大的元作为约元的主元，如果在子块的第一列中选取主元，则相应方法称为列主元消元法。相应过程为： （1）选主元：在子块的第一列中选择一个元) (k k i k a 使) (max k ik n i k k k i a a k ≤≤= 并将第k 行元与第k i 行元互换。 （2）消元计算：对k=1,2,……n-1依次计算 ()()()?? ?? ?????++=-=++=-=++==++n k k i b m b b n k k j i a m a a n k k i a a m k k ik k i k i k kj ik k ij k ij k kk k ik k ik ,,2,1,,2,1,,,2,1) ()()1() ()()1()() ()( （3）回代求解
一、 列主元素Gauss 消去法、Jacobi 迭代法原理及计算方法 1. 列主元素Gauss 消去法： 1.1 Gauss 消去法基本原理 设有方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。高斯消去法的基本思想就是将矩阵的初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]B A b = ，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。 1.2 列主元Gauss 消去法计算步骤 将方程组用增广矩阵[]()(1)ij n n B A b a ?+== 表示。 1). 消元过程 对1,2,,1k n =- (1) 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+ 使得 ,max k i k ik k i n a a ≤≤= (2) 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行(3)。 (3) 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ?，,,1j k n =+ 。 (4) 消元，对,,i k n = ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++ ，计算 .ij ij ik kj a a l a =- 2). 回代过程 (1) 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行(2)。 (2) ,1/;n n n nn x a a += 对1,,2,1i n =- ，计算,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+??=- ??? ∑ 2. Jacobi 迭代法 2.1 Jacobi 迭代法基本原理 Jacobi 迭代法的基本思想是对n 元线性方程组b Ax =，.,n n R b R A ∈∈将其变形为等价方程组f Bx x +=，其中.,,n n n n R x R f R B ∈∈∈?B 成为迭代矩阵。从某一取定的初始向量)0(x 出发,按照一个适当的迭代公式 ,逐次计算出向量f Bx x k k +=+)()1( （ 1,0=k ）,使得向量序列}{)(k x 收敛于方程组的精确解.
实验一 列主元消去法 【实验内容】1. 掌握列主元消去法的基本思路和迭代步骤 2. 并能够利用列主元的高斯消去法解任意阶数的线性方程组； 【实验方法与步骤】列主元消去法编写程序 1．列主元消去法基本思路 设有线性方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。列主元消去法的基本思想就是通过列主元的选取将初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]|B A b =，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。 2．列主元高斯消去法算法描述 将方程组用增广矩阵[]()(1)|ij n n B A b a ?+==表示。 步骤1：消元过程，对1,2,,1k n =- （1） 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+ 使得 ,max k i k ik k i n a a ≤≤= （2） 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行（3）； （3） 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ?， ,,1j k n =+ ； （4） 消元，对,,i k n = ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++ ，计算 .ij ij ik kj a a l a =- 步骤 2：回代过程： （1） 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行（2）； （2） ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =- ，计算 ,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+??=- ??? ∑ 习题3第一题程序如下
#include 实验三 高斯列主元消去法 一、实验目的： 1、掌握高斯消去法的基本思路和迭代步骤。 2、 培养编程与上机调试能力。 二、高斯列主元消去法的基本思路与计算步骤： 设有方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。高斯消去法的基本思想就是僵局真的初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]B A b = ，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。 列主元高斯消去法计算步骤： 将方程组用增广矩阵[]()(1)ij n n B A b a ?+== 表示。 步骤1：消元过程，对1,2,,1k n =- （1） 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+ 使得 ,max k i k ik k i n a a ≤≤= （2） 如果 ,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行（3）。 （3） 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ?，,,1j k n =+ 。 （4） 消元，对,,i k n = ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++ ，计算 . ij ij ik kj a a l a =- 步骤 2：回代过程： （1） 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行（2）。 （2） ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =- ，计算,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+??=- ???∑ 三：程序流程图 四：程序清单： function X=uptrbk(A,b) % A是一个n阶矩阵。 % b是一个n维向量。 % X是线性方程组AX=b的解。 [N N]=size(A); X=zeros(1,N+1); Aug=[A b]; for p=1:N-1 [Y,j]=max(abs(Aug(p:N,p)));%返回向量的最大值存入y，最大值的序号存入j。 C=Aug(p,:); Aug(p,:)=Aug(j+p-1,:); Aug(j+p-1,:)=C; if Aug(p,p)==0 'A是奇异阵，方程无惟一解' break end for k=p+1:N m=Aug(k,p)/Aug(p,p); Aug(k,p:N+1)=Aug(k,p:N+1)-m*Aug(p,p:N+1); end end % 这里用到程序函数backsub来进行回代。 X=backsub(Aug(1:N,1:N),Aug(1:N,N+1)); function X=backsub(A,b) % A是一个n阶上三角非奇异阵。 % b是一个n维向量。 % X是线性方程组AX=b的解。 n=length(b);%取b向量的个数。 X=zeros(n,1); X(n)=b(n)/A(n,n); for k=n-1:-1:1 X(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*X(k+1:n))/A(k,k); End 五、测试数据与结果： 测试数据：（第8章习题三第2题）求解线性方程组： 解：建立一个主程序gs.m clc clear A=[1,2,3;5,4,10;3,-0.1,1]; b=[1;0;2]; clear;clc; %Gauss消去法解线性方程组 A=[3 -5 6 4 -2 -3 8; 1 1 -9 15 1 -9 2; 2 -1 7 5 -1 6 11; -1 1 3 2 7 -1 -2; 4 3 1 -7 2 1 1; 2 9 -8 11 -1 -4 -1; 7 2 -1 2 7 -1 9];%系数矩阵 b=[11 2 29 9 5 8 25]';%n维向量 y=inv(A)*b %matlab的计算结果 n=length(b);%方程个数n x=zeros(n,1);%未知向量 %-------------消去----------- for k=1:n-1 % if A(k,k)==0; % error('Error'); % end for i=k+1:n % A(i,k)=A(i,k)/A(k,k); Aik=A(i,k)/A(k,k) for j=k:n A(i,j)=A(i,j)-Aik*A(k,j); end A b(i)=b(i)-Aik*b(k) end end %-------------回代----------- x(n)=b(n)/A(n,n) for k=n-1:-1:1 S=b(k); for j=k+1:n S=S-A(k,j)*x(j); end x(k)=S/A(k,k) end x %程序的计算结果 error=abs(x-ones(n,1))%误差 clear;clc; %列主元Gauss校区法解线性方程组 A=[3 -5 6 4 -2 -3 8; 1 1 -9 15 1 -9 2; 2 -1 7 5 -1 6 11; -1 1 3 2 7 -1 -2; 4 3 1 -7 2 1 1; 2 9 -8 11 -1 -4 -1; 7 2 -1 2 7 -1 9];%系数矩阵 b=[11 2 29 9 5 8 25]';%n维向量 y=inv(A)*b %matlab的计算结果 n=length(b);%方程个数n x=zeros(n,1);%未知向量 %-------------消去----------- for k=1:n-1 Auk=A(k:n,k); [m,u]=max(abs(Auk)); u=u+k-1 %u为最大元所在的列 %------交换最大的行和当前行的值------- for j=k:n temp=A(u,j);A(u,j)=A(k,j);A(k,j)=temp; end temp=b(k);b(k)=b(u);b(u)=temp; % if A(k,k)==0; % error('Error'); % end for i=k+1:n % A(i,k)=A(i,k)/A(k,k); Aik=A(i,k)/A(k,k) for j=k:n A(i,j)=A(i,j)-Aik*A(k,j); end A b(i)=b(i)-Aik*b(k) end end %-------------回代----------- x(n)=b(n)/A(n,n) for k=n-1:-1:1 S=b(k); for j=k+1:n S=S-A(k,j)*x(j); 《Gauss列主元消去法》实验报告 实验名称：Gauss列主元消去法程序设计？？？成绩：_________ 专业班级：数学与应用数学1202班？姓名：王晓阳？??学号： 实？验？日？期：？2014?年11月10日 实验报告日期：？2014年？11月10日 一.实验目的 1. 学习Gauss消去法的基本思路和迭代步骤. 2. 学会运用matlab编写高斯消去法和列主元消去法程序，求解线性方程组. 3. 当绝对值较小时，采用高斯列主元消去法? 4. 培养编程与上机调试能力. 二、实验内容 用消去法解线性方程组的基本思想是用逐次消去未知数的方法把原线性方程组Ax二b 化为与其等价的三角形线性方程组，而求解三角形线性方程组可用回代的方法求解 1. 求解一般线性方程组的高斯消去法? (1) 消元过程： 设a kk k-0 ,第i个方程减去第k个方程的m ik Tk k倍，("k 1^1, n)，得到 A k1x=b k1. 经过n-1次消元，可把方程组A1^b1化为上三角方程组A n x=b n. ⑵回代过程: 以解如下线性方程组为例测试结果 2. 列主元消去法 由高斯消去法可知，在消元过程中可能出现a kk k =0的情况，这是消去法将无法进行, 即使主元素a kk k-0但很小时，用其作除数，会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算解不可靠.这时就需要选取主元素，假定线性方程组的系数矩阵A是菲奇异的. (1)消元过程： 对于k =1,2,川,n -1，进行如下步骤: 1) 按列选主元，记 2) 交换增广阵A的p,k两行的元素 A(k,j)=A(p,j) ( j=k,…,n +1) 3) 交换常数项b的p,k两行的元素。 b(k)=b(p) 4) 计算消元 (2) 回代过程 (3) 以解如下线性方程组为例测试结果 三、实验环境 MATLAB R2014a 四、实验步骤 列主元素消去法求解方程组 [摘 要]在自然科学和工程中有很多问题的解决归结为求解线性方程组或者非线性方程组的数学问题。例如，电学中的网络问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，三次样条的插值问题等等。求解线性方程组的直接法主要有选主元高斯消去法、平方根法、追赶法等。列主元素消去法既是选主元高斯消去法的一种，也是实际计算中常用的部分选主元消去法。本文即是讨论利用列主元素消去法求解线性方程组问题。 [关键词]按列选主元 交换 消元 回代 一 列主元素消去法背景 在科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解线性代数方程组，其中所产生的线性方程组，其系数矩阵大致可分为两种：一种是低阶稠密矩阵；另一类是大型稀疏矩阵（此类矩阵阶数高，但零元素较多）。对于这两种矩阵，我们可以把线性代数方程组的数值解法大致的分为两类：直接法和迭代法。迭代法一般用来求解大型稀疏矩阵方程组（本文不予讨论）；直接法是目前计算机上解低阶稠密矩阵的有效方法，如果计算过程中没有舍入误差，则此种方法通过有限步四则运算可求的方程组的精确解，但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得方程组的近似解。直接法主要有选主元素高斯消去法、平方根法、追赶法等。本文所要讨论的列主元素消去法就是选主元素高斯消去法中的一种。 高斯消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，也是解线性方程组问题中较为常见的一种数值方法。但在采取高斯消去法解方程组时，当采用绝对值很小的主元素时，可能导致计算结果的失败，故在消去法中应避免采用绝对值很小的主元素。对于一般的线性方程组，需要引进选主元的技巧，即在高斯消去法的每一步应该在系数矩阵或消元后的低价矩阵中选取绝对值最大的元素作为主元素，保持乘数1 ik m ，以便减少计算过程中舍入误差对计算解的影响。 选主元素消元法则是对高斯消去法的改进，是解低价稠密矩阵方程组的有效方法。选主元素消元法则避免了采用绝对值很小的主元素。选主元素消去法主要有完全主元素消去法与列主元素消去法两种。完全主元素消去法即是每次按行列选取绝对值最大的元素作为 实验内容 1．编写用高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证. （1） 123 123 123 0.101 2.304 3.555 1.183 1.347 3.712 4.623 2.137 2.835 1.072 5.643 3.035 x x x x x x x x x ++= ? ? -++= ? ?-++= ? （2） 123 123 123 528 28321 361 x x x x x x x x x ++= ? ? +-= ? ?--= ? MATLAB计算源程序 1. 用高斯消元法解线性方程组b AX=的MATLAB程序 输入的量：系数矩阵A和常系数向量b； 输出的量：系数矩阵A和增广矩阵B的秩RA,RB, 方程组中未知量的个数n 和有关方程组解X及其解的信息. function [RA,RB,n,X]=gaus(A,b) B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.') return end if RA==RB if RA==n disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1 for k=p+1:n m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); end end b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1 X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); end else disp('请注意：因为RA=RB 2012-2013（1）专业课程实践论文 列主元素消去法 范宁：0818180102，R数学08-1班 夏之秋：0818180110，R数学08-1班 一、算法理论 列主元素消去法既是选主元高斯消去法的一种，也是实际计算中常用的部分选主元消去法。 列主元素消去法则是对完全主元素消去法的又一次改进。列主元素消去法在完全主元素消去法的基础上减少了在选主元素时所要花费的一定的计算时间。 设有线性方程组 b =Ax 其中，A 为非奇异矩阵。 方程组的增广矩阵为 ??????? ?????????=n nn n n k i n n b a a a a b a a a b a a a A 2 1 2 22221 1112111]b ,[ 首先在A 的第1列选取绝对值最大的元素作为主元素，即选择 0max 111,1≠=≤≤i n i i a a 然后交换A 的第1行与第1i 行（交换后增广矩阵为简单起见仍记为]b ,[A ，其元素仍记为i j i b a ,）。经过第1次消元计算得到与原方程组等价的方程组 (2) ) 2(b x =A 其中 ?? ????? ???????= ?????? ??????? ?=) 2()2(2)1(1) 2() 2()2(2 ) 2(2) 2(22) 1(1) 1(12 ) 1(11) 2(b n nn n n n b b b a a a a a a a A ， 上述过程可记为 ] 2[)2()2(]b ,[]b ,[A A → 重复上述计算过程，现假设已完成第1-k 步的选主元素过程，交换两行并进行消元计 此时]b ,[A 约化为 ???? ??? ?? ?????? ? ??? ?=)() () ()()()() 2(2) 2(2) 2(22 ) 1(1 ) 1(1) 1(12)1(11) ()(]b ,[k n k nn k nk k k k kn k kk n n k k b a a b a a b a a b a a a A 其中)(k A 的元素仍记为j i a ，)(b k 的元素仍记为i b . 第k 步选主元素（在)(k A 右下角方阵的第1列内选），即确定k i ，使 0max ,≠=≤≤ik n i k k i a a k 交换]b ,[)()(k K A 第k 行与)1,,2,1(-=n k i k 行的元素，再进行消元计算，最后将原线性方程组化为 ????? ???????=????????????????? ? ????? ?n n nn n n b b b x x x a a a a a a 2121222 11211 回代可求解得 ?? ?? ?-=-==∑+=) 1,2,,1(/)(/1 n i a x a b x a b x ii n i j j ij i i nn n n 列主元高斯消去法求逆矩阵程序代码： #include M[i][j] = M[i][j] - M[t][j]*m; E[i][j] = E[i][j] - E[t][j]*m; } } } void HuiDai(int t) { int i,j; double max; max=M[t][t]; for(i=t;i 数值分析大作业 －－――（高斯列主元消去法求解线性方程组） 课程名称：数值分析 授课老师：宋国乡 指导导师：丁振国 学生：王伟伟 学号：0425121523 日期：2004/11/20 高斯列主元消去法解线性方程组 一：问题的提出 我们都知道，高斯列主元素消去法是计算机上常用来求解线性方程组的一种直接的方法。就是在不考虑舍入误差的情况下，经过有限步的四则运算可以得到线性方程组的准确解的一类方法。实际运算的时候因为只能有限小数去计算，因此只能得到近似值。在实际运算的时候，我们很多时候也常用高斯消去法。但是高斯消去法在计算机中运算的时候常会碰到两个问题。 1．一旦遇到某个主元等于0，消元过程便无法进行下去。 2．在长期使用中还发现，即使消元过程能进行下去，但是当某个主元的绝对值很小时，求解出的结果与真实结果相差甚远。 为了避免高斯消去法消元过程中出现的上述两个问题，一般采用所谓的选择主元法。其中又可以分为列选主元和全面选主元两种方法。目前计算机上常用的按列选主元的方法。因此我在这里做的也是列选主元高斯消去法。 二、算法的基本思想 大家知道，如果一个线性方程组的系数矩阵是上三角矩阵时，即这种方程组我们称之为上三角方程组，它是很容易求解的。我们只要把方程组的最下面的一个方程求解出来，在把求得的解带入倒数第二个方程，求出第二个解，依次往上回代求解。然而，现实中大多数线性方程组都不是上面所说的上三角方程组，所以我们有可以把不是上三角的方程通过一定的算法化成上三角方程组，由此我们可以很方便地求出方程组的解。高斯消元法的目的就是把一般线性方程组简化成上三角方程组。于是高斯消元法的基本思想是：通过逐次消元将所给的线性方程 数学实验作业 一、矩阵LU分解： function [L,U,p]=lutx(A) [n,n]=size(A); p=(1:n)'; for k=1:n-1 [r,m]=max(abs(A(k:n,k))); m=m+k-1; if (A(m,k)~=0) if (m~=k) A([k m],:)=A([m k],:); p([k m])=p([m k]); end i=k+1:n; A(i,k)=A(i,k)/A(k,k); j=k+1:n; A(i,j)=A(i,j)-A(i,k)*A(k,j); end end L=tril(A,-1)+eye(n,n) U=triu(A) p end 高斯消元法求解方程： n=3; a=[1 2 3 ;4 5 6 ;7 8 9 ]; b=[17 18 19]; l=eye(n); y=1; for i=1:(n-1) for j=1:(n-i) if a(j+(i-1)*n+y)~=0 l(j+(i-1)*n+y)=a(j+(i-1)*n+y)/a(j+(i-1)*n+y-j) for k=1:(n-i+1) a(j+(i-1)*n+y+(k-1)*n)=a(j+(i-1)*n+y+(k-1)*n)-a(j+(i-1)*n+y+(k-1)*n-j)*l(j+(i-1)*n+y) end b(j+y-1)=b(j+y-1)-b(y)*l(j+(i-1)*n+y); end end y=y+1; end sum=0; for j=1:n sum=sum+x(j)+a(k,j); end sum=0; for j=1:n x(j)=0; end for k=n:-1:1 for j=1:n sum=sum+x(j)*a(k,j) end x(k)=(b(k)-sum)/a(k,k) sum=0; end 列主元高斯消元法代码： n=3; a=[1 2 3 ;4 5 6 ;7 8 9 ]; b=[17 18 19]; l=eye(n); p=eye(n); ma=0 for i=1:(n-1) for j=i:n if a(j,i)>ma; ma=a(j,i) end end for k=i:n if a(k,i)==ma m=k; end end for j=1:n a1=a(m,j); a(m,j)=a(i,j); #include for(j=k;j 《数值分析》实验报告 实验编号：实验二 课题名称：列主元Gauss消去法 一、算法介绍 1、输入矩阵的阶数n，方程组的增广矩阵A； 2、对k=0,1,…,n-2，循环：选取列中绝对值最大的元素，将主元所在的行的元素保存在 数组temp[n+1]中。若主元为零，则系数矩阵奇异，计算停止；否则，顺序进行。如果绝对值最大的元素就在矩阵的对角线上，则进行普通高斯消元法的第一大步，否则将方程组系数换行之后再进行普通高斯消元法的第一大步； 3、然后利用回代法求解线性方程组。 二、程序代码 #include 《数值分析》实验报告 实验序号：实验二题目名称: 列主元Gauss消元法解n阶线性代数方程组 学号: 姓名: 任课教师: 马季骕专业班级:计算机科学与技术（非师范） 1、实验目的：用列主元Gauss消元法解n阶线性代数方程组 编写一个程序实现用列主元消元法实现解方程组的问题。 2、算法分析： 其基本做法是把上述方程组通过列主元Gauss消元转化为一个等价的三角形方程组，然后再进行回代就可以求出方程组的解。列主元消元的基本做法是选取系数矩阵的每一列中绝对值最大的作为主元，然后采取和顺序Gauss 消元法相同的步骤进行，求得方程组的解。 1. 列主元Gauss消元法的算法思想： 1．输入系数矩阵A，右端项b,阶n。 2．对k=1,2,…,n，循环： （a）按列选主元保存主元所在行的指标。 （b）若a=0，则系数矩阵奇异，计算停止；否则，顺序进行。 （c）若=k则转向（d）；否则换行 （d）计算乘子 （e）消元： 3. 回代：用右端项b来存放解。 3、实验分析： 建立两个数组a和b，通过循环语句将ｎ阶增广矩阵输入进去，通过对列的循环对每一列进行消去未知数，通过ｎ小步ｎ大步把矩阵化简成上三角形矩阵，最后通过迭代法解得方程组得解。 ３、函数分析： 具体程序设计： for(i=1;i<=n;i++) //消元的第一重循环 { p=0; q=0; for(m=i;m实验三高斯列主元消去法
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