当前位置:文档之家› 自学考试线性代数笔记讲义新版[1]

自学考试线性代数笔记讲义新版[1]

自学考试线性代数笔记讲义新版[1]
自学考试线性代数笔记讲义新版[1]

自考高数线性代数笔记

第一章行列式

1.1行列式的定义

(一)一阶、二阶、三阶行列式的定义

(1)定义:符号叫一阶行列式,它是一个数,其大小规定为:。

注意:在线性代数中,符号不是绝对值。

例如,且;

(2)定义:符号叫二阶行列式,它也是一个数,其大小规定为:

所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。(主对角线减

次对角线的乘积)

例如

(3)符号叫三阶行列式,它也是一个数,其大小规定为

例如=0

三阶行列式的计算比较复杂,为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式,我们可以采用下面的对角线法记忆

方法是:在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线,把右上角到左下角的对角线叫次对角线,这时,三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。

例如:

(1)

=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0

(2)

(3)

(2)和(3)叫三角形行列式,其中(2)叫上三角形行列式,(3)叫下三角形行列式,由(2)(3)可见,在三阶行列式中,三角形行列式的值为主对角线的三个数之积,其余五项都是0,例如

例1a为何值时,

[答疑编号10010101:针对该题提问]

解因为

所以8-3a=0,时

例2当x取何值时,

[答疑编号10010102:针对该题提问]

解:

解得0

所以当0

(二)n阶行列式

符号:

它由n行、n列元素(共个元素)组成,称之为n阶行列式。其中,每一个数称为行列式的一个元素,它的前一个下标i称为行标,它表示这个数在第i行上;后一个下标j 称为列标,它表示这个数在第j列上。所以在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。

为叙述方便起见,我们用(i,j)表示这个位置。n阶行列式通常也简记作。

n阶行列式也是一个数,至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。

(1)在n阶行列式中,划去它的第i行和第j列,余下的数按照原来相对顺序组成的一个(n-1)阶行列式叫元素的余子式,记作

例如,在三阶行列式

中,的余子式表示将三阶行列式划去第1行和第1列后,余下的数按照相对位置组成的二阶行列式,所以

相似地,的余子式表示将三阶行列式划去第二行和第三列后,余下的数组成的二阶行列式。所以

例1若,求:

(1)

[答疑编号10010103:针对该题提问]

(2)

[答疑编号10010104:针对该题提问]

(3)

[答疑编号10010105:针对该题提问]

(4)

[答疑编号10010106:针对该题提问]

解(1)

(2)

(3)

(4)

(2)符号叫元素的代数余子式

定义:(系数其实是个正负符号)

例2求例1中的代数余子式

(1)

[答疑编号10010107:针对该题提问]

(2)

[答疑编号10010108:针对该题提问]

(3)

[答疑编号10010109:针对该题提问]

(4)

[答疑编号10010110:针对该题提问]

解:(1)

(2)

(3)

(4)

(如果符号是奇数,等于相反数;如果是偶数,等于原数)

例3若

计算(以上两组数相等)

[答疑编号10010111:针对该题提问]

解:

由于

与例3的结果比较,发现

这一结果说明:三阶行列式等于它的第一列的元素与对应的代数余子式的积的和,这一结果可以推广到n 阶行列式作为定义。

定义:n 阶行列式

即规定n

阶行列式的值为它的第一列的元素与相应代数余子式的积的和,上面结果

中因为

所以有

特别情形

例4 计算下列行列式

(1)

[答疑编号10010112:针对该题提问]

由本例可见四阶上三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积

(2)

[答疑编号10010113:针对该题提问]

可见五阶上三角形行列式的值仍等于它的主对角线各数之积

一般地可推得

即任意n阶上三角形行列式的值等于它的主对角线各数之积

同理有

1.2行列式按行(列)展开

在1.1节讲n阶行列式的展开时,是把按其第一列展开而逐步把行列式的阶数降低以后,再求出其值。实际上,行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值。

现在给出下面的重要定理,其证明从略。

定理1.2.1(行列式展开定理)n阶行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即

(i=1,2,…,n)(1.8)

或(j=1,2,…,n)(1.9)

其中,是元素在D中的代数余子式。

定理1.2.1(行列式展开定理)n阶行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即

(i=1,2,…,n)(1.8)或(j=1,2,…,n)(1.9)

其中,是元素在D中的代数余子式。

(1.8)式称为D按第i行的展开式,(1.9)式称为D按第j列的展开式,这里i,j=1,2,…

上述展开定理也可以表示成

(i=1,2,…,n)

(j=1,2,…,n)这两个展开式中的每一项都由三部分组成:元素和它前面的符号以及它后面的

余子式,三者缺一不可!特别容易忘掉的是把元素(特别是)抄写下来。

根据定理1.2.1知道,凡是含零行(行中元素全为零)或零列(列中元素全为零)的行列式,其值必为零。

特别情形

(1)

(2)

例5计算

[答疑编号10010201:针对该题提问]

解:由于第一行或第四列所含零最多,故可按第一行展开(解题技巧)

可见四阶下三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积

例5的结果可推广为

我们称这种行列式为下三角行列式(可任意取值的元素在主对角线的下面)。

例6计算

[答疑编号10010202:针对该题提问]

解:由于第2行含0最多,所以应按第二行展开

例7计算

[答疑编号10010203:针对该题提问]

解:将按第6行展开得

例8计算

(1)

[答疑编号10010204:针对该题提问]

解:按第4行展开

(2)

[答疑编号10010205:针对该题提问]

解:将D按第一行展开

(重新分组后得出)

1.3行列式的性质与计算

因为n阶行列式是n!项求和,而且每一项都是n个数的乘积,当n比较大时,计算量

会非常大,例如,10!=3628800。所以对于阶数较大的行列式很难直接用定义去求它的值,

这时利用行列式的性质可以有效地解决行列式的求值问题。下面我们来研究行列式的性质,

并利用行列式的性质来简化行列式的计算。

1.3.1行列式的性质

将行列式D的第一行改为第一列,第二行改为第二列……第n行改为第n列,仍得到

一个n阶行列式,这个新的行列式称为D的转置行列式,记为或。即如果

性质1行列式和它的转置行列式相等,即或

根据这个性质可知,在任意一个行列式中,行与列是处于平等地位的。凡是对“行”成立

的性质,对“列”也成立;反之,凡是对“列”成立的性质,对“行”也成立。所以只需研究行列

式有关行的性质,其所有结论对列也是自然成立的。

(运用最多)性质2用数k乘行列式D中某一行(列)的所有元素所得到的行列式等于kD。这也就是说,行列式可以按某一行和某一按列提出公因数:

证将左边的行列式按其第i行展开以后,再提出公因数k,即得右边的值:

注意如果行列式有多行或多列有公因数,必须按行或按列逐次提出公因数。

例1计算行列式:

[答疑编号10010206:针对该题提问]

=30(4+6+5-2-4-15)

=30(-6)=-180

在例1的计算过程中,我们先提出第二行的公因数2和第三行的公因数3,得到第一个等号右边的式子,然后提出这个行列式中第三列的公因数5,把行列式中各元素的绝对值化小以后,再求出原行列式的值。

例2

[答疑编号10010207:针对该题提问]

因为

所以原式=4abcdef

这里是把上式第一个等号左边的行列式的第一、二、三行分别提出了公因子a,d,f,第二个等号左边的行列式的第一、二、三列分别提出了公因子b,c,e,化简后再求出其值。

例3计算行列式:

在行列式D的每一行中都提出公因数(-1)并用行列式性质1可以得到

[答疑编号10010208:针对该题提问]

因为行列式D是一个数,所以由D= -D,可知行列式D=0。

用这种方法可以证明:任意一个奇数阶反对称行列式必为零。所谓反对称行列式指的是,其中主对角线上的元素全为0,而以主对角线为轴,两边处于对称位置上的元素异号。即若

是反对称行列式,则它满足条件

(运用最多)性质3互换行列式的任意两行(列),行列式的值改变符号。即对于如下两个行列式

根据这个性质可以得到下面的重要推论:

推论如果行列式中有两行(列)相同,则此行列式的值等于零。

因为互换行列式D中的两个相同的行(列),其结果仍是D,但由性质3可知其结果为-D,因此D=-D,所以D=0。

性质4如果行列式中某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值等于零。

证设行列式D的第i行与第j行的对应元素成比例,不妨设第j行元素是第i行元素乘以k得到的,则

由于将行列式D中第j行的比例系数k提到行列式的外面来以后,余下的行列式有两行对应元素相同,因此该行列式的值为零,从而原行列式的值等于零。行列式中某两列元素对应成比例的情形可以类似地证明。

例4验算x=3是否是方程的根。

[答疑编号10010209:针对该题提问]

解:因为(第二行与第四行成倍数)

∴x=3是方程f(x)=0的根。

性质5行列式可以按行(列)拆开,即

证将左边的行列式按其第i行展开即得

这就是右边两个行列式之和。

(运用最多)性质6把行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k以后加到另一行(列)的对应元素上去,所得的行列式仍为D。

即:

例5证明:

的充要条件是k=1或k=±2

[答疑编号10010301:针对该题提问]

证因为

(第一行的数乘与(-1)加到第二行上去)

所以,D=0的充要条件是k=1或k=±2。

此题中,为了叙述方便,我们引入了新的记号,将每一步的行变换写在等号上面(若有

列变换则写在等号下面,本题没有列变换),即第一步中的②+(-1)×①表示将第一行的-1

倍加到第二行上,第二步是第一列展开。

根据行列式的展开定理与行列式的性质,我们有下面的定理:

定理1.3.1n阶行列式的任意一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零,即

,(1.10)

,(1.11)

1.3.2行列式的计算

行列式的计算主要采用以下两种基本方法。

(1)利用行列式的性质,把原行列式化为容易求值的行列式,常用的方法是把原行列

式化为上三角(或下三角)行列式再求值。此时要注意的是,在互换两行或两列时,必须在

新的行列式的前面乘上(-1),在按行或按列提取公因子k时,必须在新的行列式前面乘上

k。

(2)把原行列式按选定的某一行或某一列展开,把行列式的阶数降低,再求出它的值,

通常是利用性质6在某一行或某一列中产生很多个“0”元素,再按包含0最多的行或列展开。

例6计算行列式

[答疑编号10010302:针对该题提问]

解由于上三角行列式的值等于其主对角线上元素的乘积,所以我们只要设法利用行列

式的性质将行列式化为上三角行列式,即可求出行列式的值。

我们在计算例6中的行列式时,是利用行列式的性质先将它化成上三角行列式后,再求出它的值,事实上在计算行列式的值时,未必都要化成上三角或下三角行列式,若将行列式的性质与展开定理结合起来使用,往往可以更快地求出结果。

例7计算行列式:

[答疑编号10010303:针对该题提问]

解观察到行列式的第一行第一列位置的元素a11=1,利用这个(1,1)位置的元素1把行列式中第一列的其他元素全都化为0,然后按第一列展开,可将这个四阶行列式降为三阶行列式来计算,具体步骤如下:

按第一列展开,得

=(-1)×2×

例8计算行列式(把最简单的调到第一列或是第一旬)[答疑编号10010304:针对该题提问]

在本例中,记号①②写在等号下面,表示交换行列式的第一列和第二列,②+5×①写在等号下面,表示将行列式的第一列乘以5后加到第二列。

例9计算行列式:(例子很特殊)

[答疑编号10010305:针对该题提问]

解这个行列式有特殊的形状,其特点是它的每一行元素之和为6,我们可以采用简易方法求其值,先把后三列都加到第一列上去,提出第一列的公因数6,再将后三行都减去第一行:

(32)?

例10计算行列式:a2-b2=(a+b)(a-b)

[答疑编号10010306:针对该题提问]

例11计算n阶行列式(n>1):

[答疑编号10010307:针对该题提问]

解将行列式按第一列展开,得

(简化的过程就是消阶,次方也应减少,为(N-1)等

例12计算范德蒙德(V anderMonde)行列式:

[答疑编号10010308:针对该题提问](第一行乘(-X1)加到第二行上;第二行乘(-X1)加到第三行上)

例13 计算

[答疑编号10010309:针对该题提问]

(这是个定律)

例14计算(解题规律:每行或是每列中的和是一样的,故

每行或是每列都乘“1”加到第一行或是第一列上去,再把这个数当公因数提取,形成有一行或是列全为“1”的行列式,然后再化简)

[答疑编号10010310:针对该题提问]

=(x+4a)(x-a)4

1.4克拉默法则

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结 第一章 行列式 (一)要点 1、二阶、三阶行列式 2、全排列和逆序数,奇偶排列(可以不介绍对换及有关定理),n 阶行列式的定义 3、行列式的性质 4、n 阶行列式ij a D =,元素ij a 的余子式和代数余子式,行列式按行(列)展开定理 5、克莱姆法则 (二)基本要求 1、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行(列)展开的计算方法,即 5、会用行列式的性质简化行列式的计算,并掌握几个基本方法: 归化为上三角或下三角行列式, 各行(列)元素之和等于同一个常数的行列式, 利用展开式计算 6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章 矩阵 (一)要点 1、矩阵的概念 n m ?矩阵n m ij a A ?=)(是一个矩阵表。当n m =时,称A 为n 阶矩阵,此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式,称为矩阵A 的行列式,记为A . 注:矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、几种特殊的矩阵:对角阵;数量阵;单位阵;三角形矩阵;对称矩阵 3、矩阵的运算;矩阵的加减法;数与矩阵的乘法;矩阵的转置;矩阵的乘法 (1)矩阵的乘法不满足交换律和消去律,两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。 如果两矩阵A 与B 相乘,有BA AB =,则称矩阵A 与B 可换。 注:矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幂:对于n 阶矩阵A 及自然数k , 规定I A =0 ,其中I 为单位阵 .

(3) 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλ?1110)( ,A 为方阵,矩阵A 的 多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ?,其中I 为单位阵。 (4)n 阶矩阵A 和B ,则B A AB =. (5)n 阶矩阵A ,则A A n λλ= 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵:可逆矩阵(若矩阵A 可逆,则其逆矩阵是唯一的);矩阵A 的伴随矩阵记为*A , 矩阵可逆的充要条件;逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换:初等变换与初等矩阵;初等变换和初等矩阵的关系;矩阵在等价意义下的标准形;矩阵A 可逆的又一充分必要条件:A 可以表示成一些初等矩阵的乘积;用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩:矩阵的k 阶子式;矩阵秩的概念;用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念;矩阵的元素;矩阵的相等;矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法;数与矩阵的乘法;矩阵的加减法;矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念;矩阵可逆的充分条件;伴随矩阵和逆矩阵的关系;当A 可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下,其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法,例如n m A ?,l n B ?,将矩阵B 分块为 ) (21l b b b B =,其中j b (l j 2, ,1=)是矩阵B 的第j 列, 则 又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =,其中j p (n j 2, ,1=)是矩阵P 的第j 列. (3)设对角分块矩阵

自学考试试卷 线性代数(经管类)

2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类) 试卷 (课程代码04184) 本试卷共3页,满分l00分,考试时间l50分钟。 考生答题注意事项: 1.本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效,试卷空白处和背面均可作草稿纸。2.第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3.第二部分为非选择题。必须注明大、小题号,使用0.5毫米黑色字迹签字笔作答。4.合理安排答题空间。超出答题区域无效。 说明:在本卷中。A T表示矩阵A的转置矩阵。A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,︱A ︱表示方阵A的行列式,r(A)表示矩阵A的秩。 第一部分选择题 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。 1.已知2阶行列式 A.-2 B.-l C.1 D.2 3.设向量组可由向量组线性表出,则下列结论中 正确的是 A.若s≤t,则必线性相关 B.若s≤t,则必线性相关 C.若线性无关,则s≤t D.若线性无关,则s≤t 4.设有非齐次线性方程组Ax=b,其中A为m×n矩阵,且r(A)=r1,r(A,b)=r2,则 下列结论中正确的是 A.若r1=m,则Ax=O有非零解 B.若r1=n,则Ax=0仅有零解 C.若r2=m,则Ax=b有无穷多解 D.若r2=n,则Ax=b有惟一解 5. 设n阶矩阵A满足︱2E-3A︱=0,则A必有一个特征值=

第二部分非选择题 二、填空题 (本大题共l0小题。每小题2分,共20分) 请在答题卡上作答。 6.设行列式中元素a ij的代数余子式为A ij(i,j=1,2),则a11A21+a12+A22=__________.7.已知矩阵,则A2+2A+E=___________. 8.设矩阵,若矩阵A满足AP=B,则A=________. 9.设向量,,则由向量组线性表出的表示式为=____________. 10.设向量组a1=(1,2,1)T,a2=(-1,1,0)T,a3=(0,2,k)T线性无关,则数k的取值应 满足__________. 11.设3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵(A,b)经初等行变换可化为 若该方程组无解,则数k=_________. 12.设=-2是n阶矩阵A的一个特征值,则矩阵A—3E必有一个特征值是________.13.设2阶矩阵A与B相似,其中,则数a=___________. 14.设向量a1=(1,-l,0)T,a2=(4,0,1)T,则=__________. 15.二次型f(x1,x2)=-2x12+x22+4x1x2的规范形为__________. 三、计算题(本大题共7小题,每小题9分,共63分) 请在答题卡上作答。 16. 计算行列式的值. 17. 已知矩阵,若矩阵x满足等式AX=B+X,求X.

历年自考线性代数试题真题及答案分析解答

全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 1.已知2阶行列式 m b b a a =2 1 21, n c c b b =2 1 21,则 =++2 21 121c a c a b b ( B ) A .n m - B .m n - C .n m + D .)(n m +- 2.设A , B , C 均为n 阶方阵,BA AB =,CA AC =,则=ABC ( D ) A .ACB B .CAB C .CBA D .BCA 3.设A 为3阶方阵,B 为4阶方阵,且1||=A ,2||-=B ,则行列式||||A B 之值为( A ) A .8- B .2- C .2 D .8 4.??? ? ? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a A ,????? ??=3332312322 211312 11333a a a a a a a a a B ,????? ??=100030001P ,??? ? ? ??=100013001Q ,则=B ( B ) A .PA B .AP C .QA D .AQ 5.已知A 是一个43?矩阵,下列命题中正确的是( C ) A .若矩阵A 中所有3阶子式都为0,则秩(A )=2 B .若A 中存在2阶子式不为0,则秩(A )=2 C .若秩(A )=2,则A 中所有3阶子式都为0 D .若秩(A )=2,则A 中所有2阶子式都不为0 6.下列命题中错误..的是( C ) A .只含有1个零向量的向量组线性相关 B .由3个2维向量组成的向量组线性相关 C .由1个非零向量组成的向量组线性相关 D .2个成比例的向量组成的向量组线性相关 7.已知向量组321,,ααα线性无关,βααα,,,321线性相关,则( D )

自考本科_线性代数_历年真题[1]

第 1 页 全国2010年1月自考线性代数(经管类)试题 课程代码:04184 说明:本卷中,A T 表示矩阵A 的转置,αT 表示向量α的转置,E 表示单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式,A -1 表示方阵A 的逆矩阵,r (A )表示矩阵A 的秩. 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设行列式==1 11103 4 222,1111304z y x z y x 则行列式( ) A. 3 2 B.1 C.2 D.3 8 2.设A ,B ,C 为同阶可逆方阵,则(ABC )-1=( ) A. A -1B -1C -1 B. C -1B -1A -1 C. C -1A -1B -1 D. A -1C -1B -1 3.设α1,α2,α3,α4是4维列向量,矩阵A =(α1,α2,α3,α4).如果|A |=2,则|-2A |=( ) A.-32 B.-4 C.4 D.32 4.设α1,α2,α3,α4 是三维实向量,则( ) A. α1,α2,α3,α4一定线性无关 B. α1一定可由α2,α3,α4线性表出 C. α1,α2,α3,α4一定线性相关 D. α1,α2,α3一定线性无关 5.向量组α1=(1,0,0),α2=(1,1,0),α3=(1,1,1)的秩为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.设A 是4×6矩阵,r (A )=2,则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.设A 是m ×n 矩阵,已知Ax =0只有零解,则以下结论正确的是( ) A.m ≥n B.Ax =b (其中b 是m 维实向量)必有唯一解 C.r (A )=m D.Ax =0存在基础解系

线性代数知识点归纳

线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行(列)展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算: ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②(降阶法)行列式按行(列)展开定理: 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵(不必同阶),则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关 于 副 对角线: (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1

⑥ 范德蒙德行列式:()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式:1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式,其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同,再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和, 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ,恒有:1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 3. 证明 0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结 第一章行列式 (一)要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数,奇偶排列(可以不介绍对换及有关定理) ,n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ,元素a j 的余子式和代数余子式,行列式按行(列)展开定理 5、 克莱姆法则 (二)基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行(列)展开的计算方法,即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算,并掌握几个基本方法: 归化为上三角或下三角行列式, 各行(列)元素之和等于同一个常数的行列式, 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 (一)要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =(a j )mn 是一个矩阵表。当 m =n 时,称A 为n 阶矩阵,此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式,称为矩阵 A 的行列式,记为 A . 注:矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵:对角阵;数量阵;单位阵;三角形矩阵;对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '

3、矩阵的运算;矩阵的加减法;数与矩阵的乘法;矩阵的转置;矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律,两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘,有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注:矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕:对于n阶矩阵A及自然数k, A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k,A为方阵,矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵:可逆矩阵(若矩阵A可逆,则其逆矩阵是唯一的);矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件;逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换:初等变换与初等矩阵;初等变换和初等矩阵的关系;矩阵在等价 意义下的标准形;矩阵A可逆的又一充分必要条件:A可以表示成一些初等矩阵的乘积; 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩:矩阵的k阶子式;矩阵秩的概念;用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念;矩阵的元素;矩阵的相等;矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法;数与矩阵的乘法;矩阵的加减法;矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念;矩阵可逆的充分条件;伴随矩阵和逆矩阵的关系;当A 可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下,其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法,例如A m n, B nl,将矩

(精选)线性代数-考研笔记

第一章行列式 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2互换行列式的两行(列),行列式变号。 推论如果行列式的两行(列)完全相同,则此行列式等于零。 性质3行列式的某一行(列)中所以的元素都乘以同一个数,等于用数乘以此行列式。第行(或者列)乘以,记作(或)。 推论行列式的某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。第行(或者列)提出公因子,记作(或)。 性质4行列式中如果两行(列)元素成比例,此行列式等于零。 性质5若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,例如第列的元素都是两数之和,则等于下列两个行列式之和: = 性质 6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变。 定义在阶行列式,把元所在的第行和第列划去后,留下来的阶行列式叫做元的余子式,记作;记,叫做元的代数余子式。 引理一个阶行列式,如果其中第行所有元素除元外都为零,那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积,即 定理3 (行列式按行按列展开法则) 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即 或 推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。 范德蒙德行列式 克拉默法则

如果线性方程组①的系数行列式不等于零,即 , 那么,方程组①有唯一解其中是把系数行列式矩阵中第列的元素 用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式,即 定理4 如果非齐次线性方程组的系数行列式,则非齐次线性方程组一定有解,且解是唯一的。 定理如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零。 定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式 定理如果,则它的系数行列式必为零 第二章矩阵级其运算 定义1 由个数排成的行列的数表,称为行列矩阵; 以数为元的矩阵可简记作或矩阵也记作。 行数和列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵。阶矩阵也记作。 特殊定义: 两个矩阵的行数相等,列数也相等时,就称它们是同型矩阵同型矩阵和的每一个元素都相等,就称两个矩阵相等,;元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作;注意不同型的零矩阵是不同的。 特殊矩阵 阶单位矩阵,简称单位阵。特征:主对角线上的元素为,其他元素为; 对角矩阵,特征:不在对角线上的元素都是0,记作

自考线性代数(经管类考点)知识点

线性代数(经管类)考点逐个击破 第一章 行列式 (一)行列式的定义 行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子,它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算,其结果为一个确定的数. 1.二阶行列式 由4个数)2,1,(=j i a ij 得到下列式子: 11122122 a a a a 称为一个二阶行列式,其运算规 则为 2112221122 211211a a a a a a a a -= 2.三阶行列式 由9个数)3,2,1,(=j i a ij 得到下列式子:33 323123222113 1211a a a a a a a a a 称为一个三阶行列式,它如何进行运算呢?教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法,我们采用递归法,为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念. 3.余子式及代数余子式 设有三阶行列式 33 323123222113 12113a a a a a a a a a D = 对任何一个元素ij a ,我们划去它所在的第i 行及第j 列,剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式,称它为元素ij a 的余子式,记成ij M 例如 33 32232211a a a a M = ,33 32131221a a a a M = ,23 22131231a a a a M = 再记 ij j i ij M A +-=)1( ,称ij A 为元素ij a 的代数余子式. 例如 1111M A =,2121M A -=,3131M A = 那么 ,三阶行列式3D 定义为

我们把它称为3D 按第一列的展开式,经常简写成 ∑∑=+=-==3 1 11131 113)1(i i i i i i i M a A a D 4.n 阶行列式 一阶行列式 11111a a D == n 阶行列式 1121211111212222111211n n nn n n n n n A a A a A a a a a a a a a a a D +++== 其中(,1,2,,)ij A i j n =为元素ij a 的代数余子式. 5.特殊行列式 上三角行列式 111212*********n n nn nn a a a a a a a a a = 下三角行列式 1122 112212 000nn n n nn a a a a a a a a a =21 对角行列式 1122112200000 nn nn a a a a a a = (二)行列式的性质 性质1 行列式和它的转置行列式相等,即T D D = 性质2 用数k 乘行列式D 中某一行(列)的所有元素所得到的行列式等于kD ,也就是说,行列式可以按行和列提出公因数. 性质3 互换行列式的任意两行(列),行列式的值改变符号. 推论1 如果行列式中有某两行(列)相同,则此行列式的值等于零. 推论2 如果行列式中某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值等于零. 31 312121111133 323123222113 12113A a A a A a a a a a a a a a a D ++==

线性代数知识点归纳,超详细

线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行(列)展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算: ①(定义法) ②(降阶法)行列式按行(列)展开定理: 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵(不必同阶),则 ⑤关于副对角线: ⑥范德蒙德行列式: 证明用从第n行开始,自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍,按第一列展开,重复上述操作即可。 ⑦型公式: ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式,其中 ,,等结构相同,再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;

3. 证明的方法: ①、; ②、反证法; ③、构造齐次方程组,证明其有非零解; ④、利用秩,证明; ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系: 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作:或 ①同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型,且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加(减)法:两个同型矩阵,对应元素相加(减). b. 数与矩阵相乘:数与矩阵的乘积记作或,规定为. c. 矩阵与矩阵相乘:设, ,则, 其中 注:矩阵乘法不满足:交换律、消去律, 即公式不成立.

全国2010年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题及答案

全国2010年10月高等教育自学考试 线性代数(经管类)试题 课程代码:04184 说明:在本卷中,A T 表示矩阵A 的转置矩阵,A *表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A|表示方阵A 的行列式,r(A)表示矩A 的秩. 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A 为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A T |=( A ) A.-8 B.-2 C.2 D.8 2.设矩阵A=??? ? ??-11,B=(1,1),则AB=( D ) A.0 B.(1,-1) C. ???? ??-11 D. ??? ? ??--1111 3.设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( B ) A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA 4.设矩阵A 的伴随矩阵A *=??? ? ??4321,则A -1= ( C ) A.21- ???? ??--1234 B. 21- ??? ? ?? --4321 C. 21- ???? ?? 4321 D. 21- ??? ? ??1324 5.下列矩阵中不是..初等矩阵的是(A ) A.????? ??000010101 B. ???? ? ??0010101 00 C. ????? ??100030001 D. ???? ? ?? 102010001 6.设A,B 均为n 阶可逆矩阵,则必有( B ) A.A+B 可逆 B.AB 可逆 C.A-B 可逆 D.AB+BA 可逆 7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( D ) A. α1, α2,β线性无关 B. β不能由α1, α2线性表示 C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一 D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一

线性代数知识点全归纳

线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1(1) n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90o ,所得行列式为2D ,则(1)2 2(1)n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值;

线性代数笔记

线性代数笔记 第一章行列式 (1) 第二章矩阵 (2) 第三章向量空间 (8) 第四章线性方程组 (11) 第五章特征值与特征向量...................................... 错误!未定义书签。第一章行列式 1.3。1 行列式的性质 给定行列式,将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式,记为或。 性质1 转置的行列式与原行列式相等。即 (这个性质表明:行列式对行成立的性质,对列也成立,反之亦然) 性质2 用数k乘行列式D的某一行(列)的每个元素所得的新行列式等于kD。 推论1 若行列式中某一行(列)的元素有公因数,则可将公因数提到行列式之外。 推论2 若行列式中某一行(列)的元素全为零,则行列式的值为0。 可以证明:任意一个奇数阶反对称行列式必为零。 性质3行列式的两行(列)互换,行列式的值改变符号。 以二阶为例 推论3 若行列式某两行(列),完全相同,则行列式的值为零. 性质4 若行列式某两行(列)的对应元素成比例,则行列式的值为零。 性质5 若行列式中某一行(列)元素可分解为两个元素的和,则行列式可分解为两个行列式的和, 注意性质中是指某一行(列)而不是每一行。 性质 6 把行列式的某一行(列)的每个元素都乘以加到另一行(列),所得的行列式的值不变。 范德蒙德行列式 例10 范德蒙行列式…… . =(x2-x1)(x3—x1)(x3—x2)

1。4 克莱姆法则 定理1.4.1 对于n阶行列式 定理1.4。2 如果n个未知数,n个方程的线性方程组的系数行列式D≠0,则方程组有惟一的解: 定理1.4。3 如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D≠0,则该方程组只有零解,没有非零解. 推论如果齐次方程组有非零解,则必有系数行列式D=0. 第二章矩阵 一、矩阵的运算 1、矩阵的加法 设A=(a ij)m×n,B=(b ij)m×n,则 A+B=(a ij+b ij)m×n 矩阵的加法适合下列运算规则: (1)交换律:A+B=B+A (2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C) (3)A+0=0+A=A

2018年10月全国自考线性代数(经管类)真题及答案

2014年10月全国高等教育自学考试 线性代数(经管类)试卷及答案 课程代码:04184 本试卷共8页,满分100分,考试时间150分钟。 说明:本试卷中,T A 表示矩阵A 的转置矩阵,*A 表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,A 表示方阵A 的行列式,()A r 表示矩阵A 的秩。 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设3阶行列式111 2322 21131211 a a a a a a =2,若元素ij a 的代数余子公式为ij A (i,j=1,2,3),则=++333231A A A 【 】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵,将A 的第3行乘以21- 得到单位矩阵E , 则A =【 】 A.2- B.2 1- C.21 D.2 3.设向量组321,,ααα的秩为2,则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量 B. B.任意两个向量都线性无关 C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出 4.设3阶矩阵???? ? ??---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特

征向量为 【 】 A.????? ??-011 B.????? ??-101 C.????? ??201 D.???? ? ??211 5.二次型212322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、 6.设131 2)(--=x x f ,则方程0)(=x f 的根是 7.设矩阵??? ? ??=0210A ,则*A = 8.设A 为3阶矩阵,21- =A ,则行列式1)2(-A = 9.设矩阵???? ??=4321B ,??? ? ??=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T )2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出 的表示式为 11.设向量组T T T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关, 则数=k 12.3元齐次线性方程组?? ?=-=+0 03221x x x x 的基础解系中所含解向量的个数 为 13.设3阶矩阵A 满足023=+A E ,则A 必有一个特征值为 14.设2阶实对称矩阵A 的特征值分别为1-和1,则=2A

线性代数知识点总结汇总

线性代数知识点总结 1 行列式 (一)行列式概念和性质 1、逆序数:所有的逆序的总数 2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质:(用于化简行列式) (1)行列互换(转置),行列式的值不变 (2)两行(列)互换,行列式变号 (3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式 (4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。 (5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。 (6)两行成比例,行列式的值为0。 (二)重要行列式 4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则 7、n阶(n≥2)范德蒙德行列式

数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值: (三)按行(列)展开 9、按行展开定理: (1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0 (四)行列式公式 10、行列式七大公式: (1)|kA|=k n|A| (2)|AB|=|A|·|B| (3)|A T|=|A| (4)|A-1|=|A|-1 (5)|A*|=|A|n-1 (6)若A的特征值λ1、λ2、……λn,则 (7)若A与B相似,则|A|=|B| (五)克莱姆法则 11、克莱姆法则: (1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解

(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0 (3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0。 2 矩阵 (一)矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项: (1)矩阵乘法要求前列后行一致; (2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律) (3)AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质(5条) (1)(A+B)T=A T+B T (2)(kA)T=kA T (3)(AB)T=B T A T (4)|A|T=|A| (5)(A T)T=A (二)矩阵的逆 3、逆的定义: AB=E或BA=E成立,称A可逆,B是A的逆矩阵,记为B=A-1 注:A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质:(5条) (1)(kA)-1=1/k·A-1 (k≠0) (2)(AB)-1=B-1·A-1 (3)|A-1|=|A|-1 (4)(A T)-1=(A-1)T (5)(A-1)-1=A

最全线性代数公式笔记

线性代数公式必记 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1(1) n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90 ,所得行列式为2D ,则(1)2 2(1)n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解; ?n b R ?∈,Ax b =总有唯一解;

《线性代数》知识点 归纳整理

《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形: ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩: ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组(不含向量)........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关;齐次线性方程组的解;矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示;非齐次线性方程组的解;矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关(无关)与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -

相关主题
相关文档 最新文档