新东方在线考研 [https://www.doczj.com/doc/a7346314.html, ]网络课堂电子教材系列
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题:1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. (1) 曲线221
x x y x +=-渐近线的条数为 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C
【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞
=，b 为常数）、垂直渐近线（0
lim ()x x f x →=∞）和斜
渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞
-+=，,a b 为常数）。
（iii ）注意：如果
（1）()
lim
x f x x
→∞不存在；
（2）()
lim
x f x a x
→∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。 在本题中，函数221
x x
y x +=-的间断点只有1x =±.
由于1
lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.
（而1
1(1)1
lim lim
(1)(1)2
x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）.
又2
1
1lim lim
11
1x x x y x
→∞→∞+
==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线）
新东方在线考研 [https://www.doczj.com/doc/a7346314.html, ]网络课堂电子教材系列
综上可知，渐近线的条数是2.故选C.
(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ,其中n 为正整数,则(0)f '= ( )
(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - 【答案】A
【考点】导数的概念 【难易度】★★
【详解一】本题涉及到的主要知识点：
00000()()()lim
lim x x f x x f x y
f x x x
→→+-'== .
在本题中，按定义
200()(0)(1)(2)()
(0)lim lim 0x x nx x x f x f e e e n f x x
→→----'==-
1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-?-??--=-- .故选A.
【详解二】本题涉及到的主要知识点：
()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.
在本题中，用乘积求导公式.含因子1x
e -项在0x =为0，故只留下一项.于是
20
(0)[(2)()]
x x nx x f e e e n ='=-- 1
(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-?-??--=-- 故选（A ）.
(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )
(A) 若极限00
(,)
lim
x y f x y x y
→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微
(B) 若极限22
00
(,)
lim
x y f x y x y
→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微
新东方在线考研 [https://www.doczj.com/doc/a7346314.html, ]网络课堂电子教材系列
(C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限00
(,)
lim
x y f x y x y →→+存在
(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限22
00
(,)
lim
x y f x y x y
→→+存在 【答案】B
【考点】全微分存在的必要条件和充分条件 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
全微分存在的充分条件 如果函数(,)z f x y =的偏导数z x ??、z
y
??在点(,)x y 连续，则函数在该点可微分. 在本题中，若22
00
(,)
lim
x y f x y x y →→+记()A ?，则00
lim (,)0x y f x y →→=
又(,)f x y 在(0,0)连续(0,0)0f ?=.于是
2222000
(,)(,)(0,0)
lim
lim x x y y f x y f x y f A x y x y →→→→-==++ 由极限与无穷小的关系22
0(,)(0,0)
(1)0x f x y f A o y x y →??-?
=+ ?→+??
， 其中(1)o 为无穷小.2
2
2
2
(,)(0,0)()()(1)f x y f A x y x y o ?-=+++
00()(0)x y o ρρ=?+?+→，
其中220x y ρ=
+→.因此(,)f x y 在(0,0)可微.故选（B ）.
（A ）不正确，如(,)f x y x y =+满足条件，但(,)f x y 在(0,0)不存在偏导数，故不可微.（C ）不正确，如(,)f x y x =在(0,0)可微，但0
lim
x y x
x y
→→+不存在.（D ）也不正确，如(,)f x y x =在(0,0)
新东方在线考研 [https://www.doczj.com/doc/a7346314.html, ]网络课堂电子教材系列
可微，但2200
lim
x y x
x y →→+不存在.
(4)设2
sin (1,2,3)k x K e xdx k π
==?I ，则有 ( )
(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << 【答案】D
【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
设a c b <<，则()()()b
c
b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+???.
在本题中，
2
10
sin x I e xdx π
=?，2
220
sin x I e xdx π
=?，2
330
sin x I e xdx π
=?
2
22121sin 0x I I e xdx I I π
π
-=
2
332322sin 0x I I e xdx I I π
π
-=>?>?，
2
2
2
323312sin sin sin x x x I I e xdx e xdx e xdx π
π
π
π
π
π
-==+???
2
2
33()22sin()sin t x e
t dt e xdx π
π
ππ
π
π-=-+??22
3()312[]sin 0x x e e xdx I I π
ππ
-=->?>?
因此213I I I <<.故选D.
(5)设1100C α?? ?= ? ?
??
,2201C α?? ?= ? ??? ,3311C α?? ?=- ? ??? ,4411C α-?? ?
= ? ??? ,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向
量组线性相关的为( )
(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα 【答案】C
【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★
新东方在线考研 [https://www.doczj.com/doc/a7346314.html, ]网络课堂电子教材系列
【详解】本题涉及到的主要知识点：
n 个n 维向量相关12,,,0n ααα?=
在本题中，显然
134123
011
,,0
110c c c ααα-=-=， 所以134,,ααα必线性相关.故选C.
(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -?? ?
= ? ???.若P=（123,,ααα），
1223(,,)
Q αααα=+，则1Q AQ -= ( )
(A) 100020001?? ? ? ??? (B) 100010002?? ? ? ??? (C) 200010002?? ? ? ??? (D)200020001??
? ? ???
【答案】B
【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： 设A 是一个m n ?矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 在本题中，由于P 经列变换为Q ，有
12100110(1)001Q P PE ??
??==??
????
，
那么111
112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----==
新东方在线考研 [https://www.doczj.com/doc/a7346314.html, ]网络课堂电子教材系列
100110011101110100120012????????
????????=-=????????????????????????
故选B.
(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则
{}P X Y <=( )
(A)
15 (B) 1
3
(C) 25 (D) 45 【答案】A
【考点】常见随机变量的分布 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
若随机变量X 的概率密度为,0,
()0,
0,x e x f x x λλ-?>=?≤?
则称X 服从参数为λ(0)λ>的指数分布. 在本题中，依题设知X ，Y 的概率密度分别为
,0,()0,0,x X e x f x x -?>=?
≤? 44,
0,()0,
0,
y Y e y f y y -?>=?≤?
又X 与Y 相互独立，从而X 与Y 的联合概率密度为
(4)4,0,0,
(,)()()0,
x y X Y e x y f x y f x f y -+?>>=?=?
?其他 于是{}(4)
(4)01
(,)445
x y x y x D
x y
P X Y f x y dxdy e
dxdy dx e dy +∞
+∞
-+-+<<=
=
==??
????
故选A.
(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )
(A) 1 (B)
12 (C) 1
2
- (D)1-
新东方在线考研 [https://www.doczj.com/doc/a7346314.html, ]网络课堂电子教材系列
【答案】D
【考点】相关系数的性质 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
若X aY b =+，则当0a >时，1XY ρ=；当0a <时，1XY ρ=-.
在本题中，设其中一段木棒长度为X ，另一段木棒长度为Y ，显然1X Y +=，即1X Y =-，Y 与X 之间有明显的线性关系，从而1XY ρ=-.故选D.
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=，则()f x = 【答案】x
e
【考点】二阶常系数齐次线性微分方程 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=的特征方程20r pr q ++=有两个不同的实根，微分方程的通解形式为1212r x
r x
y C e C e =+. 在本题中，因()f x 满足
()()2()0f x f x f x '''+-= ①
()()2x f x f x e ''+= ②
由①、②，得()3()2x f x f x e '-=-， 两边乘以3x
e -得32[()]2x
x e
f x e --'=-
积分得32()x
x e
f x e C --=+，即3()x x f x e Ce =+
代入②式得3392x
x
x
x
x e Ce e Ce
e +++=0C ?=，于是()x
f x e =
新东方在线考研 [https://www.doczj.com/doc/a7346314.html, ]网络课堂电子教材系列
代入①式自然成立.因此求得()x f x e =. (10)
2
20
2d x x x =-?
【答案】
2
π 【考点】定积分的换元积分法 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： 第一类换元法 [()]()()b
a
f t t d t f x d x
β
α
??'=??
在本题中，
2
2
1
2
2
20
1
2d 1(1)d 1
(1)1x x x x=
x x x t x t t dt ----==-+-?
?
?
1
1
221
1102
2
t dt t dt π
π
--=
-+
-=+
=
?
?
，
其中
1
21t dt --?
是半单位圆的面积.
(11)(2,1,1)()|z
grad xy +y
=
【答案】{}1,1,1
【考点】梯度 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
(,,)(
,,)f f f gradf x y z x y z
???=??? 在本题中，记z
u xy y
=+
，则 u y x ?=?，2u z x y y ?=-?，1u z y
?=?
新东方在线考研 [https://www.doczj.com/doc/a7346314.html, ]网络课堂电子教材系列
(2,1,1)(2,1,1)|(
,,)|(1,1,1)f f f
gradu x y z
????==??? 因此(2,1,1)()|(1,1,1)z
grad xy +y
=
(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑
=??
3【考点】曲面积分的计算 【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
曲面积分公式：
22
(,,)[,,(,)]1xy
x y D f x y z ds f x y z x y z z dxdy ∑
=++??
??
在本题中，投影到xy 平面上.∑在xy 平面上的投影区域为
{}(,)01,01xy D x y x y x =≤≤≤≤-
由∑的方程1z x y =--1z x ??
=-?，1z
y
?=-? 现将曲面积分化为二重积分，然后求出积分值.
112222
2001()()33xy
xy
x D D z z y ds y
dxdy y dxdy dx y dy x y -∑
??=++==????????
11
3400313(1)[(1)]4x dx x =-=--= (13)设α为3维单位列向量，E 为3阶单位矩阵，则矩阵T
E αα-的秩为 【答案】2
【考点】矩阵的特征值的性质；实对称矩阵的相似对角矩阵 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
新东方在线考研 [https://www.doczj.com/doc/a7346314.html, ]网络课堂电子教材系列
（i ）若()1r A =，则
11
n
n
n ii i E A a λλλ-=-=-∑；
（ii ）实对称矩阵必可对角化.
在本题中，设123a a a α????=??
????
，则有222
1231T a a a αα=++=，又 21112
132
212321
2
23233132
3(,,)T a a a a a a A a a a a a a a a a a a a a a a αα??
??
????===???????????
?
， 易见秩()1r A =.那么
3222
232123()E A a a a λλλλλ-=-++=-，
所以矩阵A 的特征值为1，0，0，从而E A -的特征值为0，1，1.
又因E A -为对称矩阵，从而011E A ??
??-??
????
，故()2T r E αα-=.
(14)设A ,B ,C 是随机事件，A 与C 互不相容，()()()
11
,,23
p AB P C p AB C === 【答案】
3
4
【考点】条件概率 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： 条件概率公式()
()(()0)()
P AB P B A P A P A =
> 在本题中，由于A 与C 互不相容，所以AC =?，ABC =?，从而()0P ABC =.于是
1
()()()()3
2()11()1()4()
13
P ABC P AB P ABC P AB P AB C P C P C P C -=====---.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．
指定位置上.解答应写出文字说明、证
新东方在线考研 [https://www.doczj.com/doc/a7346314.html, ]网络课堂电子教材系列
明过程或演算步骤.
(15)证明：2
1ln cos 1(11)12
x x x x x x ++≥+-<<- 【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.
证明：令()2
1ln cos 1(11)12x x f x x x x x +=+---<<-，
则转化为证明()0f x ≥（(1,1)x ∈-）
因()()f x f x =-，即()f x 为偶函数，故只需考察0x ≥的情形. 用单调性方法.
()111111ln
sin ln sin 111111x x f x x x x x x x x x x x x ++??'=++--=+--- ?-+---+??
， 22
1111()cos 111(1)(1)
f x x x x x x ''=
+++--+--+， 2233
1122
()sin 0((0,1])(1)(1)(1)(1)f x x x x x x x '''=-
++-+>∈+--+，
其中
22110(1)(1)
x x ->-+，33
11
2[]0(1)(1)x x ->-+，sin 0((0,1))x x >∈ 因(0,1)x ∈时(3)
()0f x >，又()f x ''在[0,1)连续()f x ''?在[0,1) ，()(0)20
f x f ''''>=>（(0,1]x ∈），同理()f x '在[0,1) ，()(0)0((0,1])f x f x ''>=∈()f x ?在[0,1) ，
新东方在线考研 [https://www.doczj.com/doc/a7346314.html, ]网络课堂电子教材系列
()(0)0((0,1])f x f x >=∈.又因()f x 为偶函数()0((1,1),0)f x x x ?>∈-≠，(0)0f =.即原
不等式成立.
(16)求函数222
(,)x y f x y xe
+-=的极值.
【考点】多元函数的极值 【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
二元函数取得极值的充分条件：设(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域有连续的二阶偏导数，又
00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=，令00(,)xx f x y A ''=，00(,)xy f x y B ''=，00(,)yy f x y C ''=，
则
（1）当20A
C B ->时，(,)f x y 在00(,)x y 取极值，且当0A >时取极小值，0A <时取极大值；
（2）当20AC B -<时，00(,)x y 不是(,)f x y 的极值点；
（3）当2
0AC B -=时，仅此不足以判断00(,)x y 是否是(,)f x y 的极值点，还需另作讨论. 在本题中，先求函数的驻点.
()()()()()
2
2
2222
222
2
2
2
2,10
,0
x y
x y x y x y f
x y e xe
x e
x x
f x y xe y y
+
++--
-
+-??=+-=-=??????=-=???
解得驻点为(1,0)-，(1,0)
又
()()()()()()()()2
2
2
2
2222222
22
2222222,21,1,1x y x y x y x y f x y A xe e x x x f x y B e x y x y
f x y C xe y y
++--+-+-
??==-+--??????
==--?
??????==-??? 根据判断极值的第二充分条件， 代入（1，0），得1
2
2A e
-=-，0B =，12
C e
-
=-，从而2
0AC B ->，0A <，所以(,)f x y 在
新东方在线考研 [https://www.doczj.com/doc/a7346314.html, ]网络课堂电子教材系列
（1，0）取得极大值，极大值为12
e -
；
代入（-1，0），得1
2
2A e
-=，0B =，12
C e
-=，从而20AC B ->，0A >，所以(,)f x y 在（-1，
0）取得极小值，极小值为12
e
--.
(17)求幂级数220
44321n
n n n x n ∞
=+++∑
的收敛域及和函数.
【考点】幂级数的收敛域、和函数
【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）求幂级数
n
n n a x
∞
=∑收敛域的步骤：
（1）求收敛半径：设1lim
n n n
a l a +→∞
=，则1/,0,0,,,0l l R l l <<+∞??
==+∞??+∞=?
（2）讨论端点的敛散性：如果0R <<+∞，则需进一步讨论0
n
n n a x
∞
=∑在x R =±处的敛散性；
（3）写出幂级数的收敛域.
（ii ）和函数的性质：
（1）和函数()S x 在(,)R R -内可导，并且有逐项求导公式：
10
()()n
n n n n n S x a x na x ∞∞
-==''==∑∑；
（2）在幂级数的收敛域上逐项积分公式成立，即
1
0()1
x
x
n
n n n n n a S t dt a t dt x n ∞
∞
+====+∑∑
?
?.
本题中，直接用求收敛半径的公式，先求
2124(1)4(1)3
212(1)1
lim
lim lim 443
2(1)121
n n n n n
n n a n n l n n a n n +→∞
→∞→∞+++++++===+++++
新东方在线考研 [https://www.doczj.com/doc/a7346314.html, ]网络课堂电子教材系列
22
22
22
1111324(1)4()4(1)4(1)3lim
134344324n n n n n n n n n n n n n
→∞+
++++++++?=?=+++++ 于是收敛半径1R =
当1x =时，原级数=20
443
21n n n n ∞
=+++∑
，第n 项的极限即2443lim 021n n n n →∞++=∞≠+，所以当1x =时，
原级数发散；同理可证，1x =-时，原级数也是发散的. 因此，原级数的收敛域为(1,1)-.
和函数222220000
44322()[(21)](21)212121n n n
n n n n n n n S x x n x n x x n n n ∞
∞∞∞
====++==++=+++++∑∑
∑∑
(1)x <
令210
()(21)n
n S x n x ∞
==+∑
，2202()21
n
n S x x n ∞
==
+∑
，
因为
22112
()(21)1x
x
n
n n n x
S t dt n t dt x x ∞
∞
+===+==
-∑∑?
?(1)x <， 所以2
1222
1()()1(1)x x S x x x +'==--(1)x <.
因为21202()21n n xS x x n ∞
+==+∑
，所以2222
00
2[()]221n
n n n xS x x x x ∞∞
=='===-∑∑
(1)x < 所以2220002111()[()]()ln 1111x
x
x x
xS x tS t dt dt dt t t t x
+'===+=-+--???(1)x < 当0x ≠时，211()ln
1x
S x x x
+=
-； 当0x =时，1(0)1S =，2(0)2S =.
所以212223,0,()()()111ln ,
1,0
(1)1x S x S x S x x x
x x x x x =?
?
=+=++?+<≠?--?
(18)已知曲线(),
:(0),cos 2
x f t L t y t
π
=?≤<
?
=?其中函数()f t 具有连续导数，且(0)0f =，()0f t '>
(0)2
t π
<<.若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求以曲
新东方在线考研 [https://www.doczj.com/doc/a7346314.html, ]网络课堂电子教材系列
线L 及x 轴和y 轴无边界的区域的面积. 【考点】导数的几何意义、定积分的应用 【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i ）曲线()y f x =在点00(,)M x y 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-.
（ii ）由曲线()y f x =(()0)f x ≥及直线x a =，()x b a b =<与x 轴所围成的曲边梯形的面积
A 是定积分()b
a
A f x dx =?.
（Ⅰ）求()f t . 当02
t π
≤<
时，曲线L 在切点((),cos )A f t t 处的切线斜率为
/sin /()
dy dy dt t dx dx dt f t -=='， 切线方程为sin cos [()]()
t
y t x f t f t =-
-' 令0y =得切线与x 轴的交点B 的x 坐标为cos ()
()sin tf t x f t t
'=+
于是B 点坐标为cos ()
((),0)sin tf t f t t
'+
，切点A 的坐标为((),cos )f t t
依题设，A 与B 2222
()cos cos 1sin f t t
t t
'+=， 化简得2sin ()cos t
f t t
'=，
积分得22
200sin sin 11()(0)sin cos 1sin t
t x
x f t f dx d x x x
-+=+=-?? 0111
sin ()sin 21sin 1sin t t d x x x
=-+++-?
2
211sin 1(1sin )sin ln sin ln
21sin 2cos t t t t t t
++=-+=-+- sin ln sec tan t t t =-++
（Ⅱ）求无界区域的面积S
曲线(),
:(0)cos 2
x f t L t y t
π
=?≤<
?
=?可表为()(0)y g x x =≤<+∞，当02
t π
→
-时x →+∞
当()x f t =时()cos g x t =，于是
新东方在线考研 [https://www.doczj.com/doc/a7346314.html, ]网络课堂电子教材系列
20
()()cos ()S g x dxx f t tdf t π
+∞
==?
?
2
2222000sin cos ()cos sin cos 4
t t f t dt t dt tdt t π
π
ππ
'=?=?==??? (19)已知L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周22+2x y x =到点(2,0)，再沿圆周22+4x y =到点
(0,2)的曲线段，计算曲线积分233d (2)d L
J x y x x x y y =++-?
【考点】格林公式 【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： 格林公式：(
)L D
Q P
dxdy Pdx Qdy x y
??-=+????? 在本题中，记L
J Pdx Qdy =+?
1）
22(31)31Q P
x x x y
??-=+-=??； 2）曲线L 不封闭，添加辅助线1:L 沿y 轴由点(0,2)B 到点(0,0)O .
1
2
2
(0,)224L
L Pdx Qdy Q y dy ydy ydy +==-==?
???；
3）在1L 与L 围成的区域D 上用格林公式（边界取正向，即逆时针方向）：
1
(
)1L L D
D
Q P
Pdx Qdy d d x y σσ+??+=-=???
????221121422πππ=?-?=，
因此42
L
J Pdx Qdy π
=
+=
-?
(20)设10010
101,001000
10a
a A a a β???? ???- ??
?== ??? ?????
??
（I ）计算行列式A ；
（II ）当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.
【考点】行列式按行（列）展开定理；非齐次线性方程组有解的充分必要条件 【难易度】★★★
新东方在线考研 [https://www.doczj.com/doc/a7346314.html, ]网络课堂电子教材系列
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i ）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122(1,2,,)i i i i in in D a A a A a A i n =+++= ， 或1122(1
,2,,)j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++= . （ii ）设A 是m n ?矩阵，方程组Ax b =，则方程组有无穷多解()()r A r A n ?=< （I ）按第一列展开，即得
4141000
101(1)10100101a a A a a a a a
+=?+-=-
（II ）因为0A =时，方程组Ax β=有可能有无穷多解.由（I ）知1a =或1a =- 当1a =时，
110011
10010
11010
1101()00110
001101001000002A β????
???
?
--?
???
=→???????
?
????????
， 由于()3r A =，()4r A =，故方程组无解.因此，当1a =时不合题意，应舍去. 当1a =-时，
110011
00100110101011()00110001101001000000A β?-??-?
????
----?
???
=→????
--????
-????
????，
由于()()3r A r A ==，故方程组Ax β=有无穷多解.选3x 为自由变量，得方程组通解为：
(0,1,0,0)(1,1,1,1)T T k -+（k 为任意常数）.
(21)
新东方在线考研 [https://www.doczj.com/doc/a7346314.html, ]网络课堂电子教材系列
已知1010
111001A a a ?????
?=??
-??-??
，二次型123
(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2
（I ）求实数a 的值；
（II ）求正交变换x Qy =将f 化为标准形.
【考点】二次型的秩；实对称矩阵的特征值和特征向量；用正交变换化二次型为标准形 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i ）实对称矩阵的特性：不同特征值的特征向量互相正交. （ii ）任给二次型,1
()n
ij i
j
ij
ji i j f a x x a
a ==
=∑，总有正交变换x Py =，使f 化为标准形
222
1122n n
f y y y λλλ=+++ ，其中12,,,n λλλ 是f 的矩阵()ij A a =的特征值. （I ）二次型()T T x A A x 的秩为2，即()2T
r A A = 因为()()T
r A A r A =，故()2r A =.对A 作初等变换有
101101011011100
01010
00A a a a ?????????
??
?=→????
-+????
-????
， 所以1a =-.
（II ）当1a =-时，202022224T
A A ????=??????
.由
2
02
2
2(2)(6)2
2
4
T E A A λλλλλλλ---=
--=-----， 可知矩阵T
A A 的特征值为0，2，6.
新东方在线考研 [https://www.doczj.com/doc/a7346314.html, ]网络课堂电子教材系列
对0λ=，由(0)0T E A A x -=得基础解系(1,1,1)T --， 对2λ=，由(2)0T E A A x -=得基础解系(1,1,0)T -， 对6λ=，由(6)0T E A A x -=得基础解系(1,1,2)T . 实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化.
11,1,1)3T γ=
--，21,1,0)2T γ=-，32)6
T γ=. 那么令1122333
263260
36x y
x y x y ????????????????=??????????????
?????
，就有22
23()26T T T x A A x y y y y =Λ=+.
（22）
设二维离散型随机变量(,)X Y 的概率分布为
（Ⅰ）求{}2P X Y =； （Ⅱ）求Cov(,)X Y Y -.
【考点】随机变量的数学期望、方差；协方差及其性质 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
新东方在线考研 [https://www.doczj.com/doc/a7346314.html, ]网络课堂电子教材系列
（i ）22()DX EX EX =-；
（ii ）(,)()Cov X Y E XY EX EY =-?,(,)Cov X X DX =,
1212(,)(,)(,)Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+.
（Ⅰ）由随机变量(,)X Y 的概率分布可知，
{}{}{}1120,02,1044
P X Y P X Y P X Y ====+===
+= （Ⅱ）由条件知
121
11236X ?? ? ? ??? ，01
2111333Y ?? ? ? ?
?? ，0147
1112312XY ??
? ? ???
，
从而11120122363EX =?
+?+?=， 111
0121333EY =?+?+?=，
22221115
0123333EY =?+?+?=，
7112
()014123123
E XY =?+?+?=
又22
52()133
DY EY EY =-=-=，于是
(,)(,)(,)()Cov X Y Y Cov X Y Cov Y Y E XY EX EY DY -=-=-?-2222
13333
=
-?-=-. (23)
设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布2(,)N μσ与2(,2)N μσ，其中σ是未知参数且0σ>.设.Z X Y =-
（Ⅰ）求Z 的概率密度2(,);f z σ
（Ⅱ）设12,,,n z z z 为来自总体Z 的简单随机样本，求2σ的最大似然估计量2σ
（Ⅲ）证明2σ
为2σ的无偏估计量
【考点】常见随机变量的分布；最大似然估计法；估计量的评选标准 【难易度】★★★★
翡翠山湖学校2019年秋季期末考试 四年级数学试卷 一、填空。（每空1分，共32分） 1、由13个亿，305个万，4007个1组成的数是（ ），读作 （ ），四舍五入到万位是（ ），省略亿后面的尾数是（ ）。 2、四边形中，是对称图形的有（ ）形、（ ）形和（ ）形。 3、由8、7、0、5、1组成的最大六位数是（ ），最小六位数是（ ）。 4、要使687÷□5的商是两位数，□里最大填（ ），要使□76÷27的商是两位数，□里最小填（ ）。 5、一个角是89度，它是（ ）角，一个平角等于（ ）个直角，一个周角等于（ ）个平角。 6、括号里最大能填几？ 46×（ ）＜375 （ ）×24＜158 （ ）×36＜405 7、把600606、660600、600066、666000、606000这五个数，按从小到大的顺序排列是（ ）＜（ ）＜（ ）＜（ ）＜（ ） 8、在○里填上“＜”、“＞”、“＝”。 785436 ○ 785426 7200÷180 ○ 720 ÷18 8平方千米 ○ 8000公顷 150×50 ○ 15×501阿 9、线段有（ ）个端点，射线有（ ）个端点。 10、除数是17，商是6，余数取最大是（ ），余数最大时，被除数是（ ）。
11、已知14×18=252，14×180=（），140×180=（）。 二、判断。（对的在题后括号内打“√”，错的打“×”）（每题1分，共5分） 1、一个六位数，“四舍五入”后约等于60万，这个数最大是59999。（） 2、平角就是一条直线。（） 3、个位、十位、百位、千位、万位……都是计数单位。（） 4、每两个计数单位之间的10。（） 5、当长方形长是6厘米，宽是3厘米时，它的周长和面积是相等的。( ) 三、选择。（将正确的序号填在括号里）（每题1分，共5分） 1、下面各数，读数时只读一个零的是（）。 A、803070 B、8030700 C、8003700 2、用放大100倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数是（） A、150° B、15° C、1500° 3、两条平行线间可以画（）条直线。 A、1 B、2 C、无数 4、用计算器运算中，发现输入的数据不正确可以使用（）键清除错误。 A、OFF B、 CE C、 ON/C 5、直线、射线和线段三者比较（） A、直线比射线长 B、射线比线段长 C、线段比直线长 D、无法比较 四、计算。（29分） 1、直接写出结果。（每题0.5分，共8分） 890＋11= 450÷90= 730－280= 70×300 = 210×5= 4500÷15= 670＋80= 780×0=
高一数学上册期末测试题及答案 考试时间：90分钟 测试题满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集U ＝R ，A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∩U B ＝( )． A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |x ＜0} D ．{x |x ＞1} 2．下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是( )． A B C D 3．已知函数 f (x )＝x 2＋1，那么f (a ＋1)的值为( )． A ．a 2＋a ＋2 B ．a 2＋1 C ．a 2＋2a ＋2 D ．a 2＋2a ＋1 4．下列等式成立的是( )． A ．log 2(8－4)＝log 2 8－log 2 4 B ．4 log 8log 22＝4 8log 2
C ．log 2 23＝3log 2 2 D ．log 2(8＋4)＝log 2 8＋log 2 4 5．下列四组函数中，表示同一函数的是( )． A ．f (x )＝|x |，g (x )＝ 2 x B ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x C ．f (x )＝1 －1－2 x x ，g (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝1＋x ·1－x ，g (x )＝1－2x 6．幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( ). A ．一定经过点(0，0) B ．一定经过点(1， 1) C ．一定经过点(－1，1) D ．一定经过点(1，－ 1) 7．国内快递重量在1 000克以内的包裹邮资标准如下表： 如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 300 km 的某地，他应付的邮资是( ). A ．5.00元 B ．6.00元 C ．7.00元 D ．8.00元 8．方程2x ＝2－x 的根所在区间是( ). A ．(－1，0) B ．(2，3) C ．(1，2)
期末考试数学总复习知识点知识与技能：使学生经历数据的收集、整理、描述和分析的过程，能利用统计表的数据提出问题并回答问题。 过程与方法：了解统计的意义，学会用简单的方法收集和整理数据。 情感态度与价值观：通过对周围现实生活中有关事例的调查，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。 重点：使学生初步认识简单的统计过程，能根据统计表中的数据提出问题、回答问题，同时能够进行简单的分析。 难点：使学生亲历统计的过程，在统计中发展数学思考，提高学生解决问题的能力。 1、简单的统计表 师：我们在这一单元中首先认识了简单的统计表，你知道什么是统计表?统计表的作用又是什么吗? 生：将统计的结果用表格的形式展示出来，这种表格就是简单的统计表。 生:统计表可以直接看出各种数据的多少。 2、收集和整理数据。 师：我们在进行统计时，首先要收集数据并对收集的数据进行整理，我们在收集和整理数据时有很多方法，你学会了哪些呢?
生：收集和整理数据的方法有很多，可以采用画正字、打、画○的方法，其中采用画正字的方法既方便又快捷。 生：用画正字的方法记录时一定要注意一个正字代表5个数据。 师：看来，同学们学得还真不错。那你们能运用学会的知识继续解决生活中的问题吗? 第三单元图形的运动(一)。 知识与技能：复习活动，让学生进一步认识轴对称图形的基本特征。 过程与方法：进一步使学生的观察能力、想象能力得到培养，进一步发展学生的空间观念，同时感受对称图形的美。 情感态度与价值观：使学生在实践活动中，体会数学与生活的密切联系，增强学习数学的兴趣;学会与他人合作交流，获得积极的数学学习情感。 重点：认识轴对称图形的基本特征。 难点：能判断出轴对称图形。 1、如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形叫做( )图形，这条直线就是( ) 2、长方形有( )条对称轴，正方形有( )条对称轴。 3、小明向前走了3米，是( )现象。 4、汽车在笔直的公路上行驶，车身的运动是( )现象 1、圆有无数条对称轴。 ( )
全国硕士研究生入学统一考试数学一考试大纲 高等数学一、函数、极限、连续 考试内容：函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和 无穷大量的概念 及其关系无穷 小量的性质及无 穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个 准则：单调有界 准则和夹逼准则 两个重要极限:， 函数连续的 概念函数间断 点的类型初等 函数的连续性 闭区间上连续函 数的性质 考试要求 1．理解函数的概 念，掌握函数的 表示法，会建立 应用问题的函数 关系. 2．了解函数的有 界性、单调性、 周期性和奇偶 性． 3．理解复合函数 及分段函数的概 念，了解反函数 及隐函数的概 念． 4．掌握基本初等 函数的性质及其 图形，了解初等 函数的概念. 5．理解极限的概 念，理解函数左 极限与右极限的 概念以及函数极 限存在与左、右 极限之间的关 系． 6．掌握极限的性 质及四则运算法 则. 7．掌握极限存在 的两个准则，并 会利用它们求极 限，掌握利用两 个重要极限求极 限的方法． 8．理解无穷小 量、无穷大量的 概念，掌握无穷 小量的比较方 法，会用等价无 穷小量求极限． 9．理解函数连续 性的概念（含左 连续与右连续）， 会判别函数间断 点的类型． 10．了解连续函 数的性质和初等 函数的连续性， 理解闭区间上连
续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容：导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高 阶导数一阶微 分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则函 数单调性的判别 函数的极值函 数图形的凹凸 性、拐点及渐近 线函数图形的 描绘函数的最 大值和最小值 弧微分曲率的 概念曲率圆与 曲率半径 考试要求 1.理解导数和微 分的概念，理解 导数与微分的关 系，理解导数的 几何意义，会求 平面曲线的切线 方程和法线方 程，了解导数的 物理意义，会用 导数描述一些物 理量，理解函数 的可导性与连续 性之间的关系． 2．掌握导数的四 则运算法则和复 合函数的求导法 则，掌握基本初 等函数的导数公 式．了解微分的 四则运算法则和 一阶微分形式的 不变性，会求函 数的微分． 3．了解高阶导数 的概念，会求简 单函数的高阶导 数． 4．会求分段函数 的导数，会求隐 函数和由参数方 程所确定的函数 以及反函数的导 数. 5．理解并会用罗 尔(Rolle)定理、 拉格朗日 (Lagrange)中值 定理和泰勒 (Taylor)定理， 了解并会用柯西 中值定理． 6．掌握用洛必达 法则求未定式极 限的方法． 7．理解函数的极 值概念，掌握用 导数判断函数的 单调性和求函数 极值的方法，掌 握函数最大值和
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )． A ．1111+23 10+++ B ．1111+2!3! 10!+++ C ．1111+23 11+++ D ．1111+2!3!11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是 (1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c
2017－2018学年度第一学期期末考试 高一数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共４页，满分120分．考试限定用时100分钟．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．答卷前，考生务必将自己の姓名、座号、考籍号分别填写在试卷和答题纸规定の位置． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 参考公式： 1．锥体の体积公式1 ,,.3 V Sh S h =其中是锥体的底面积是锥体的高 2．球の表面积公式2 4S R π=,球の体积公式3 43 R V π=，其中R 为球の半径. 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出の四个选项中，只有一项 是符合题目要求の． 1．已知全集{0,1,2,3},{1,3}U A ==，则集合U C A = （ ） A ．{}0 B ．{}1,2 C ．{}0,2 D ．{}0,1,2 2．空间中，垂直于同一直线の两条直线 （ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．以上均有可能 3．已知幂函数()α x x f =の图象经过点? ?? ?? 2， 22，则()4f の值等于 （ ） A ．16 B.116 C ．2 D.1 2 4. 函数()lg(2)f x x =+の定义域为 （ ） A.（-2,1） B.[-2,1] C.()+∞-,2 D. (]1,2- 5．动点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则|OP|の最小值为 （ ） A B ．C D ．2 6.设m 、n 是两条不同の直线，α、β是两个不同の平面，则下列命题中正确の是 （ ） A ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α B ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β C ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α D ．若m ⊥n ，m ⊥α， n ⊥β，则α⊥β
2020年六年级毕业班期末考试 数学试卷 一、填空题（6个小题，每小题4分，共24分） 1.右图中有________条线段. 2.一个小数7.123653653653653……，那么小数点后2018个数字是________. 3.已知1357986420x =?，1357886421y =?，那么x ________y （填＞、＜、＝）. 4.有一个时钟现在显示10时整，那么经过________分钟，分针和时针第一次重合. 5.如图，D 是BC 的三等分点，E 是AC 的四等分点，三角形ABC 的面积是三角形ADE 的面积的________倍. 6.三个最简真分数 10a ，12b ，15c 的积为1 5 ，则它们的和为________. 二、计算能力题（8个小题，每小题5分，共40分） 7.112 4342516%2 2.515221.751 4 ??-+÷+÷+ 8.111111762353235353762376?????? ?+-?--?- ? ? ??????? 9.137153163127255248163264128256+++++++
10. 11 20202018 20192019 11 20192019 20202018 ++ + ++ 11. 198 1101 1 1 32 1 1 x = + + + 12.巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧.三百六十四只碗，看看用尽不差争.三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹.请问先生明算者，算来寺内几多僧？
13.下图是用棱长1厘米的小正方体搭成的立体图形，求立体图形的体积. 14.下图中正方形的边长为8厘米，求阴影部分的面积. 三、解决生活问题（6个小题，共36分） 15.（本小题5分）有三杯重量相等的溶液，它们的浓度依次是10%，20%，45%，如果依次将三个杯子中 的溶液重量的1 2 ， 1 3 ， 1 4 倒入第四个空杯子中，则第四个杯子中溶液的浓度是多少？ 16.（本小题5分）甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向面行.出发时他们的速度比是3:2，他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%，这样，当甲到达B地时，乙离A还有14千米，那么A、B两地间的距离是多少千米？
2019届高三联考化学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分, 满分100分。考试用时90分钟。 可能用到的相对原子质量：H:1 C:12 N:14 O:16 Na:23 S:32 Cl:35.5 K:39 Fe:56 Cu:64 Br:80 Ba:137 第Ⅰ卷选择题（共36分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1.中国科学院在世界上首次发现铂元素的一种核素202 78Pt，下列有关叙述错误的是 A．铂元素原子的核外电子数为78 B．铂元素的原子序数为202 C．该原子核内有124个中子D．该原子的质量数为202 2.下列说法或表示正确的是 A．等物质的量的硫蒸气和硫固体分别完全燃烧，后者放出热量多 B．由单质A转化为单质B是一个吸热过程，由此可知单质B 比单质A稳定 C．稀溶液中：H+(aq)＋OH-(aq) H2O(l)；△H=－57.3kJ ／mol，若将含0.5molH2SO4
的浓硫酸与含l mol NaOH 的溶液混合，放出的热量大于 57.3kJ D ．在101kPa 时，H 2燃烧的热化学方程式为:2H 2(g)+O 2(g) = 2H 2O(l); △H ＝－571.6kJ ／mol ，则H 2在101kPa 时的燃烧热为571.6kJ ／mol 3．N A 代表阿伏加德罗常数值，下列说法正确的是 A ．在0.2L 0.5mol/LAlCl 3溶液中Al 3+数目为0.1N A B ．1 mol MgCl 2晶体中含有离子数为N A C ．7.1 g 氯气与足量NaOH 溶液反应转移的电子数为0.2 N A D. 1 mol C 10H 22分子中共价键总数为31 N A 4.下列叙述正确的是 A ．将稀氨水逐滴加入稀硫酸中，当溶液pH=7时，c (SO 42-)＞ c (NH 4+) B ．两种醋酸溶液的物质的量浓度分别为c 1和c 2，pH 分别为a 和a+1，则c 1=10c 2 C ．pH=11的NaOH 溶液与pH=3的醋酸溶液等体积混合，滴入石蕊溶液呈红色 D ．向0.1mol/L 的氨水中加入少量硫酸铵固体，则溶液中 -32(OH ) (NH H O)c c ?增大 5.下列情况下，离子一定可以大量共存的是： A.常温下pH=7的溶液：Na + SO 42- Fe 3+ Cl - B.常温水电离的c （H +）=10-13mol/L 的溶液：K + Cl - Ca 2+
D C A B 8 8 8 8 4 4 4 4 x x y y y y O O O O 数学部分 一、选择题 1、如图，两直线a ∥b ，与∠1相等的角的个数为(C ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、不等式组的解集是( A ) A 、 B 、 C 、 D 、无解 3、如果，那么下列各式中正确的是( D ) A 、 B 、 C 、 D 、 4、如图所示，由∠D=∠C,∠BAD=∠ABC 推得△ABD ≌△BAC ，所用的的判定定理的简称是( A ) A 、AAS B 、ASA C 、SAS D 、SSS 5、已知一组数据1，7，10，8，x ，6，0，3，若=5，则x 应等于( B ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、2 6、下列说法错误的是( B ) A 、长方体、正方体都是棱柱； B 、三棱住的侧面是三角形； C 、六棱住有六个侧面、侧面为长方形； D 、球体的三种视图均为同样大小的图形； 7、△ABC 的三边为a 、b 、c ，且 ，则( D ) A 、△ABC 是锐角三角形； B 、c 边的对角是直角； C 、△ABC 是钝角三角形； D 、a 边的对角是直角； 8、为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查，那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是( C ) A 、中位数； B 、平均数； C 、众数； D 、加权平均数； 9、如右图，有三个大小一样的正方体，每个正方体的六个面上都按照相同的顺序，依次标有1，2，3，4，5，6这六个数字，并且把标有“6”的面都放在左边，那么它们底面所标的3个数字之和等于( A ) A 、8 B 、9 C 、10 D 、11 10、为鼓励居民节约用水，北京市出台了新的居民用水收费标准：(1)若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米2米计算；(2)若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4.5米计算(不超过部分仍按每立方米2元计算)。现假设该市某户居民某月用水x 立方米，水 1 a b 4 1 3 2 1 2 6
期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{}n a 中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°， 则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2n
2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 2．设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．-1+2i C ．1-2i D ．-1-2i 3．已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |= A B ．2 C ． D ．50 4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A ． 2 3 B ． 35 C ．25 D ．15 5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙 6．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+ 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 8．若x 1= 4π，x 2=4 3π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．3 2 C ．1 D ．1 2 9．若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆 2213x y p p +=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 10．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+= 11．已知a ∈（0， π 2），2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ．15 B C D 12．设F 为双曲线C ：22 221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2 交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为
2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国课标I) 理科数学 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )． A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B?A D．A?B 2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )． A．－4 B． 4 5 - C．4 D． 4 5 3．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )． A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 4．已知双曲线C： 22 22 =1 x y a b -(a＞0，b＞0)的离心率为 5 2 ，则C的渐近线方程为( )． A．y＝ 1 4 x ± B．y＝ 1 3 x ± C．y＝ 1 2 x ± D．y＝±x 5．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．
A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )． A ． 500π3cm 3 B ．866π3 cm 3 C ． 1372π3cm 3 D ．2048π3 cm 3 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
2017-2018高一数学上学期期末考试试题及 答案 https://www.doczj.com/doc/a7346314.html,work Information Technology Company.2020YEAR
2 2017－2018学年度第一学期期末考试 高一数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共４页，满分120分．考试限定用时100分钟．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考籍号分别填写在试卷和答题纸规定的位置． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 参考公式： 1．锥体的体积公式1,,.3 V Sh S h =其中是锥体的底面积是锥体的高 2．球的表面积公式2 4S R π=,球的体积公式343 R V π=，其中R 为球的半径. 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．已知全集{0,1,2,3},{1,3}U A ==，则集合U C A = （ ） A ．{}0 B ．{}1,2 C ．{}0,2 D ．{}0,1,2 2．空间中，垂直于同一直线的两条直线 （ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．以上均有可能 3．已知幂函数()αx x f =的图象经过点? ?? ??2，22，则()4f 的值等于 （ ） A ．16 B.116 C ．2 D.1 2 4. 函数()lg(2)f x x =+的定义域为 （ ） A.（-2,1） B.[-2,1] C.()+∞-,2 D. (]1,2- 5．动点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值为 （ ） A B ．C D ．2 6.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （ ） A ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α B ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β
1、比24多6的数是（ ）；比56少4的数是（ ）。 比5吨多51吨是（ ）吨；比10吨多51 是（ ）吨。 2、（ ）∶15=40 （） =80%=（ ）÷40 =（ ）填小数 3、2.4与4.8的最简单整数比是( )，比值是( ) 4、六（1）班今天出勤48人，有2人因病请假，今天六（1）班学生的出勤率是（ ）。 5、从甲城到乙城，货车要行5小时，客车要行6小时，货车的速度与客车的速度的最简比是（ ）。 6、六(1)班有50人，女生占全班人数的5 2 ，女生有( )人，男生有( )人。 7、小红15 小时行38 千米，她每小时行（ ）千米，行1千米要用（ ）小时。 8、王师傅的月工资为2000元，比李师傅少15 ，李师傅每月工资收入是（ ）元。 9、一个圆形舞池周长是37.68米，如果把半径增加1米，面积可增加（ ） 10、要画一个周长是12.56厘米的圆,圆规两脚间的距离应定为( )厘米,这个圆的面积是( )平方厘米。 11、在一块长10分米、宽5分米的长方形铁板上，最多能截取（ ）个直径是2分米的圆形铁板。 12、大船限乘6人，小船限乘4人，38人共租了8条船，都坐满了．租的小船( )艘. 二、判断（5分）
1、7米的18 与8米的17 一样长。（ ） 2、周长相等的两个圆，它们的面积也一定相等。（ ） 3、 1 100 和1%都是分母为100的分数，它们表示的意义完全相同。（ ） 4、六年级去年植树101棵，成活了100棵，成活率是100%。（ ） 5、比的前项增加10%，要使比值不变，后项应乘1.1。（ ） 三、选择（6分） 1、若a 是非零自然数，下列算式中的计算结果最大的是（ ）。 A. a ×58 B. a÷58 C. a ÷32 D. 3÷a 2、自行车后齿轮的半径是前齿轮的3倍，后齿轮转12圈，前齿轮转（ ）圈。 A. 12 B. 4 C. 36 D. 16 3、林场去年种植了10000棵树苗，年底抽查了其中的1000棵，死亡率是2%。你预计一下，林场种植的这批树苗的成活率是（ ）。 A. 20% B. 80% C. 2% D. 98% 4、一个饲养场，养鸭1200只，养的鸡比鸭多3 5 ，养的鸡比鸭多多少只？正确 的列式是（ ） A. 1200×35 B. 1200+1200×3 5 C. 1200-1200×35 D. 1200÷3 5 5、要剪一个面积是12.56平方厘米的圆形纸片，至少需要面积是( )平方厘米的正方形纸片(π取3.14)。 A. 12.56 B. 14 C. 16 D. 20 6、两个圆的半径比是2∶3,这两个圆的面积比是( )。 A.2∶3 B.3∶2 C.4∶9 D.9∶4 四、计算题（共32分） 1、直接写出得数。（8分） 67 ÷ 3= 35 ×15= 1＋23%= 3 7 ÷7 =
中等学校招生贵港市课改实验区统一考试 数 学 （考试时间120分钟，总分120分） 一、细心填一填：本大题共10小题，每小题2分，共20分．请将答案填写在题中的横线上． 1．3 的相反数是 ． 2．计算：12 3 ． 3．光的速度约为300000000米／秒，用科学记数法表示光的速度应记为 米／秒（保留一位有效数字）． 4．分解因式：322x x x ． 5．“明天的太阳从西方升起”这个事件属于 事件（用“必然”、“不可能”、“不确定”填空）． 6．如图，直线y x 是线段AB 的垂直平分线，若A 点的坐标是(02)，，则B 点的坐标是 ． 7．如图，在ABC △中，90B ，D E ，分别是边AB AC ，的中点，410DE AC ，，则 AB ． 8．如图，在O 中，弦AD 平行于弦BC ，若80AOC ，则DAB 度． 9．如图，将Rt ABC △绕点A 逆时针方向旋转90，则旋转后B 点的坐标是 ． 10．观察下列各等式： 1 1112 1 2，1112323，1113434，… 根据你发现的规律，计算： 2 222 12 2334(1) n n … （n 为正整数）． 二、精心选一选：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案前的字母填入题后的括号内．每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分． 11．下列计算中，正确的是（ ） Ａ．23 6x x x · Ｂ．235a b ab Ｃ．321a a Ｄ．236()a a 12．用下列同一种图形，不能密铺的是（ ） Ａ．三角形 Ｂ．正五边形 Ｃ．四边形 Ｄ．正六边形 x y A y=x B O 第6题 A B C D E 第7题 A D C B O 第8题 第9题 1 1 2 2 3 3
数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页） 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1) 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合2 0{}|2A x x x =-> ,{|B x x <<=,则 ( ) A .A B =R B .A B =? C .B A ? D .A B ? 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D .45 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C .按学段分层抽样 D .系统抽样 4.已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>> ,则C 的渐近线方程为 ( ) A .1 4y x =± B .1 3y x =± C .1 2 y x =± D .y x =± 5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( ) A .[3,4]- B .[5,2]- C .[4,3]- D .[2,5]- 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器 高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为 ( ) A .3866π cm 3 B . 3500π cm 3 C .31372πcm 3 D .32048πcm 3 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m = ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值 为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m = ( ) A .5 B .6 C .7 D .8 10.已知椭圆 E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点. 若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 ( ) A .22 14536 x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .22 1189x y += 11.已知函数22,0, ()ln(1),0.x x x f x x x ?-+=?+>? ≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( ) A .(,1]-∞ B .(,0]-∞ C .[2,1]- D .[2,0]- 12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3, n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++= ,12 n n n b a c ++=,则 ( ) A .{}n S 为递增数列 B .{}n S 为递减数列 C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列 D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________. 14.若数列{}n a 的前n 项和21 33 n n S a = +,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. --------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________
2020-2021高一数学上期末试题(带答案) 一、选择题 1．已知函数1 ()ln(1)f x x x = +-；则()y f x =的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 2．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π 对称，当[0,)2 x π ∈时，()1cos f x x =-，则当5( ,3]2 x π π∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =- 3．已知函数()()2,2 11,2 2x a x x f x x ?-≥?=???-
2121 ()() 0f x f x x x -<-，则（ ）． A ．(3)(2)(1)f f f <-< B ．(1)(2)(3)f f f <-< C ．(2)(1)(3)f f f -<< D ．(3)(1)(2)f f f <<- 5．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时， ()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =?-有五个零点，则正数k 的取值范围是 （ ） A ．()3log 2,1 B ．[ )3log 2,1 C ．61log 2, 2?? ??? D ．61log 2,2 ?? ?? ? 6．已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1 ()21 f x x = -有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ），则1232022x x x x ++++=L ( ) A ．1010 B ．2020 C ．1011 D ．2022 7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数 6()(1)cos 43g x x f x =-+?-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（ ） A ．1 B ．-1 C ．-3 D ．3 8．已知全集为R ，函数()()ln 62y x x =--的定义域为集合 {},|44A B x a x a =-≤≤+，且R A B ?e，则a 的取值范围是（ ） A ．210a -≤≤ B ．210a -<< C ．2a ≤-或10a ≥ D ．2a <-或10a > 9．设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有 ()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112x f x ?? =- ??? ，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 （ ） A ．()1,2 B ．()2,+∞ C ．( D ． ) 2 10．若函数y a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485 ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（ ）