微积分初步第三讲
时间:2013年10月23日 星期三
晚上6:30——8:30时 第四章 不定积分与定积分 一、不定积分的概念
(一)原函数与不定积分的概念
1、原函数的概念
定义4.1(课本P.90)设)(x f 是定义在区间D 上的函数,若存在函数)(x F ,使得对于区间D 的任意x 均有
)()(x f x F =' (或dx x f x dF )()(=)
则称)(x F 为)(x f 在区间D 上的原函数。 2、不定积分
定义4.2(课本P.90)函数)(x f 的全部原函数称为)(x f 的不定积分,记作?dx x f )(
3、不定积分的几何意义
如果)(x F 是)(x f 的一个原函数,)(x f 的图形称为)(x f 的积分曲线。因为)(x f 的不定积分为
?+=c x F dx x f )()(
由于c 的任意性,因此,不定积分的几何意义是)(x f 的全部积分曲线所组成的曲线族,其表达式为
c x F y +=)(
(二)不定积分的性质与积分基本公式
1、不定积分的性质
①不定积分与求导数(或微分)互为逆运算 ②被积表达式的非零常数因子可以移到积分号之前 ③两个函数代数和的不定积分等于其分别不定积分的代数和 2、积分基本公式 ①?=c dx 0 ②c x dx x ++=
+?111ααα,c x dx x
+=?ln 1
③c a
a dx a x
x
+=?ln ,c e dx e x x +=?
④?+-=c x xdx cos sin ,?+=c x xdx sin cos c x dx x
+=?
tan cos 12,c x dx x +-=?cot sin 1
2 二、换元积分法和分部积分法
1、换元积分法(凑微分法或第一换元积分法)
2、分部积分法
三、定积分
(一)定积分的定义
设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续,)(x F 是)(x f 的一个原函数,数值
)()(a F b F -
称为函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分,记为?b
a dx x f )(,即
?
b
a
dx x f )(=)()(a F b F -b
a x F )(=
对定积分的概念,应注意: 1、定积分的数值与积分变量无关
2、选取哪个原函数无关紧要
3、变上限积分
)()()()(a F x F t F dt t f x
a x
a
-==?
从而)(])([x f dt t f x
a ='?
4、规定??-=a b b a dx x f dx x f )()(,0)(=?a
a dx x f (二)定积分的性质
1、???±=±b a b
a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([ 2、??=b
a b a x f k dx x kf )()(
3、???+=b
c c
a b
a dx x f dx x f dx x f )()()( (三)定积分的计算
1、换元积分法
2、分部积分法
无限区间的广义积分
?
?+∞→+∞=b
a b a dx x f dx x f )(lim )( 微积分初步作业3解答
———不定积分,极值应用问题
一、填空题(每小题2分,共20分)
1.若)(x f 的一个原函数为2
ln x ,则=)(x f 。 解:由已知可知
c x dx x f +=?
2ln )(
所以=
)(x f x
2
2.若)(x f 的一个原函数为x
x 2e --,则=')(x f 。
解:由题意
?--=x
e
x dx x f 2)(
所以x
e x
f 221)(-+= 因此=')(x f x
e 24--
3.若
?
+=c x x x f x e d )(,则=)(x f .
解:上式两边同时求导,得=)(x f x
x x e x xe e )1(+=+ 4.若
?+=c x x x f 2sin d )(,则)(x f
.
解:上式两边同时求导,得=)(x f x 2cos 2 5.若
c x x x x f +=?ln
d )(,则=')(x f
.
解:上式两边同时求导,得=)(x f 1ln +x 所以=')(x f x
1 6.若
?+=c x x x f 2cos d )(,则=')(x f
.
解:上式两边同时求导,得=)(x f x 2sin 2-
所以=')(x f x 2cos 4-
7.=?
-x x
d e d 2
.
解:=?
-x x d e
d 2
dx e x 2
-
8.='?
x x d )(sin
.
解:='?
x x d )(sin c x +sin 9.若?+=c x F x x f )(d )(,则?=-x x f d )32(
.
解:
?=
-x x f d )32(c x F x d x f +-=--?)32(2
1)32()32(21 10.若
?+=c x F x x f )(d )(,则?=-x x
xf d )1(2
.
解:?
=-x x xf d )1(2
c x F x
d x f +--=---
?)1(2
1)1()1(212
22 二、单项选择题(每小题2分,共16分) 1.下列等式成立的是( ). A .
)(d )(d d
x f x x f x
=? B .)(d )(x f x x f ='? C .)(d )(d x f x x f =? D .)()(d x f x f =?
解:应选A 2.若
c x
x
x x f +=
?
ln d )(,则=)(x f ( ).
A.x ln ln
B.
x
x
ln C.
2
ln 1x
x - D. x 2
ln 解:两边同时求导,得: =
-?=2
ln 1
)(x x
x x x f 2ln 1x x
- 所以应选C 3.若
c x x x f x +=?
22e d )(,则=)(x f ( ).
A. )1(e 22x x x
+ B. x x 22e 2
C. x x 2e 2
D. x x 2e 解:两边同时求导,得:x x
e x xe x
f 22222)(+==)1(e 22x x x +
所以应选A 4.若)0()(>+=x x x x f ,则='?x x f d )(( ).
A. c x x ++
B. c x x ++2
C. c x x ++23
2
2
3 D. c x x ++23
232
21
解:应选A
5.以下等式成立的是( )
A .3ln 3d d 3x x
x = B .)1(d 1d 2
2
x x
x +=+ C .
x x
x
d d = D .)1d(d ln x x x =
解:应选A
6.=''?
x x f x d )(( )
A. c x f x f x +-')()(
B. c x f x +')(
C.
c x f x +')(2
12
D. c x f x +'+)()1( 解:=''?x x f x d )(??+-'='-'='c x f x f x dx x f x f x x f xd )()()()()(
所以应选A
7.?
-x a
x
d d 2=( ).
A .x
a
2- B .x a a
x
d ln 22-- C .x a x d 2-
D .c x a
x
+-d 2
解:应选C 8.如果等式?+-=-
-
C x x f x
x
11e
d e
)(,则=)(x f ( )
A.x 1
-
B. 21x -
C. x 1
D. 21x
解:两边求导,得:211
1)(x
e
e x
f x
x
?
-=-
- 所以21
)(x
x f -
=,故应选B 三、计算题(每小题7分,共35分)
1.?
+-x x
x
x x d sin 33 解:?
+-x x x x x d sin 33???+-=xdx dx x dx x
sin 1
3 c x x x +--=c o s
3
2
ln 323
2.x x d )12(10
?
- 解:x x d )12(10
?
-c x x d x +-+?=--=+?1
1010)12(1
10121)12()12(21 c x +-=
11)12(221
3.x x x d 1sin
2?
解:x x
x d 1sin
2?c x x d x +=-=?1
cos )1(1sin
4.?
x x x d 2sin
解:?x x x d 2sin ??--=-=)2cos 2cos (2
12cos 21xdx x x x xd c x x x ++-=2s i n 4
1
2c o s 21
5.?
-x xe x
d
解:?-x xe x
d c
e xe dx e xe xde
x x x x x
+--=--=-=-----??
)(
四、极值应用题(每小题12分,共24分)
1.
设矩形的周长为120厘米,以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时,才能使圆柱体的体积最大。
解:设矩形的一边长为x 厘米,则另一边长为x -60厘米,以x -60厘米的边为轴旋转
一周得一圆柱体,则体积V 为:
)60(2x x V -=π,即:3260x x V ππ-=
23120x x dx dV ππ-=,令0=dx
dV
,得: 0=x
(不合题意,舍去),40=x ,这时2060=-x 由于根据实际问题,有最大体积,故当矩形的一边长为40厘米、另一边长为60厘
米时,才能使圆柱体的体积最大。
2.
欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地,并在正中用一堵墙将其隔成两块,问这块土地的长和宽选取多大尺寸,才能使所用建筑材料最省?
解:设矩形的长为x 米,则矩形的宽为
x
216
米,从而所用建筑材料为: x x L 21632?+=,即:x
x L 648
2+= 26482x
dx dL -=,令0=dx dL 得:18=x (取正值),这时12216
=x
由于根据实际问题,确实有最小值,故当矩形的长为18米,宽为12米时,才能使
所用建筑材料最省 五、证明题(本题5分)
函数x
e x x
f -=)(在()0,∞-是单调增加的.
证明:因为x
e x
f -='1)(,当∈x ()0,∞-时,x
e x
f -='1)(0> 所以函数x e x x f -=)(在()0,∞-是单调增加的.
第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 教学目的:理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法 教学重点:元素法的思想 教学难点:元素法的正确运用 教学内容: 一、 再论曲边梯形面积计算 设 f x ()在区间],[b a 上连续,且0)(≥x f ,求以曲线y f x =()为曲边,底为] ,[b a 的曲边梯形的面积A 。 1.化整为零 用任意一组分点 b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110 将区间分成 n 个小区间[,]x x i i -1,其长度为 ),,2,1(1n i x x x i i i =-=?- 并记 },,,m ax {21n x x x ???= λ 相应地,曲边梯形被划分成 n 个窄曲边梯形,第 i 个窄曲边梯形的面积记为 n i A i ,,2,1, =?。 于是 ∑=?= n i i A A 1 2.以不变高代替变高,以矩形代替曲边梯形,给出“零”的近似值
),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈??≈?-ξξ 3.积零为整,给出“整”的近似值 ∑=?≈ n i i i x f A 1 )(ξ 4.取极限,使近似值向精确值转化 ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f A )()(lim 1 ξλ 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题: (1)若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =-,则 A 相应地分成部分量 ),,2,1(n i A i =?,而 ∑=?=n i i A A 1 这表明:所求量A 对于区间],[b a 具有可加性。 (2)用i i x f ?)(ξ近似i A ?,误差应是i x ?的高阶无穷小。 只有这样,和式 ∑=?n i i i x f 1 )(ξ的极限方才是精确值A 。故关键是确定 ))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ?=?-??≈?ξξ 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼, 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。 二、元素法 1.能用定积分计算的量U ,应满足下列三个条件 (1) U 与变量x 的变化区间],[b a 有关; (2) U 对于区间],[b a 具有可加性; (3) U 部分量i U ?可近似地表示成i i x f ??)(ξ。 2.写出计算U 的定积分表达式步骤
高等数学教案 、
第一章 函数、极限与与连续 本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上,讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性,闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下: 1. 理解极限的概念(理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中 逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求)。 2. 掌握极限四则运算法则。 3. 了解极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则),会用两个重要极限求极限。 4. 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念,理解区间内(上)连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念,会求函数的间断点并判别间断点的类型。 7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大、最小值定理、零点定理、介值定理)。 第一章共12学时,课时安排如下 绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时 绪论 数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科,数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。 关于数学应用和关于微积分的评价: 恩格斯:在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是这里。 华罗庚:宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之迷,日用之繁,无处不用数学。 张顺燕:微积分是人类的伟大结晶,它给出了一整套科学方法,开创了科学的新纪元,并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分,人类才有能力把握运动和过程;有了微积分,就有了工业革命,有了大工业生产,也就有了现代的社会。航天飞机,宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了(《数学通报》数学与文化2001.1.封二) 初等数学与高等数学的根本区别:用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究,有很多问题不能得到最终答案,甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系,极限的方法是研究变量的一种基本方法,贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题,计算往往比较简单,且能获得最终的结果。
第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题,其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式,而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求: 使学生掌握定积分计算基本技巧;使学生用所学的定积分的微元法(元素法)去解决各种领域中的一些实际问题; 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等) 二、本章教学内容的重点难点: 找出未知量的元素(微元)的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 §6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法,定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤: (1)画出图形; (2)将这个图形分割成n 个部分,这n 个部分的近似于矩形或者 扇形; (3)计算出面积元素; (4)在面积元素前面添加积分号,确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一
个实际问题的步骤。 §6.2 定积分在几何中的应用 一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-,面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步:在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=,)(2x y ?=. 第二步:在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =,b x =;不够时由)(1x ?)(2x ?=解出, b x a ≤≤,)()(21x y x ??≤≤,面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-,面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步:在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=,)(2y x ?=. 第二步:在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =,d y =;不够时由)(1y ?) (2y ?=解出, d y c ≤≤,)()(21y x y ??≤≤,面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ,12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 22 2x y x y ,1222+=-x x ,1-=x ,3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ,于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =,4+=y x 得,4,2=-=y y ,当42<<-y 时 )
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +? = 1ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ+?=1 1() (1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +?= 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2 d x x ax b +? = 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5.d () x x ax b +? =1ln ax b C b x +-+ 6.2 d () x x ax b +? =2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7.2 d () x x ax b +? =2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8.2 2 d () x x ax b +? = 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9.2 d () x x ax b +? = 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10.x ? = C 11.x ?=2 2(3215ax b C a -+ 12.x x ?= 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13.x ? = 2 2(23ax b C a -+
14 .2 x ? = 222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 .? (0) (0) C b C b ?+>? ? 16 .? =2a bx b - - ? 17.d x x ? =b ? 18.2 d x x ? =2 a x -+ ?(三)含有22x a ±的积分 19.2 2 d x x a +?= 1arctan x C a a + 20.22d () n x x a +? = 2 2 2 1 2 2 21 23d 2(1)() 2(1)() n n x n x n a x a n a x a ---+ -+-+? 21.2 2 d x x a -? = 1ln 2x a C a x a -++ (四)含有2 (0)ax b a +>的积分 22.2 d x ax b +? =(0) (0) C b C b ? +>? ? ?+< 23.2 d x x ax b +? = 2 1 ln 2ax b C a ++
第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想; 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量(变力做功、引力、压力和函数的平均值等)。教学重点: 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点: 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).
§6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1.直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1]. (3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上. (4)计算积分 31]3132[)(10323102=-=-=?x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,2 1)(2+==y y y y 右左??. (4)计算积分 ?--+=422)2 14(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+b y a x 所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ?=a ydx S 04. 椭圆的参数方程为: x =a cos t , y =b sin t , 于是 ?=a ydx S 04?=0 )cos (sin 4πt a td b
第六章 定积分的应用 §6.1 定积分的元素法 §6.2 平面图形的面积 一、填空题 1.定积分 ? b a dx x f )(的几何意义是 。 2. )(x f 、g(x)在[a,b] 上连续,则由y=f(x),y=g(x)和x=a,x=b 所围成图形的 面积A= 。 3.计算y 2=2x 与y=x-4所围成图形的面积时,选用 作积分变量较为简捷。 二、选择题 1.曲线y=x ln 与直线0,,1 === y e x e x 及所围成的区域的面积S= 。 (A )、2)11(e - (B )、e e 1- (C )、e e 1+ (D )、e 1 1+ 2.曲线r=2acos θ所围图形的面积A= 。 (A )、 θθπ d a 22 0)c o s 2(2 1 ? (B )、θθππd a 2)c o s 2(21?- (C )、 θθπ d a 2 20 )c o s 2(2 1? (D )、2θθπd a 220)cos 2(21? 3.曲线?????==t a y t x 3 3sin cos 所围图形的面积A= 。 (A )、 28a π (B )、24a π (C )、283a π (D )、22 a π 三、求下列各曲线所围成的图形的面积。 1. 曲线y=x 3-6x 与y=x 2所围成图形的面积。 2. 曲线y=-x 2+-3及共在点(0,-3)和(3,0)处的切线所围成图形的面积。
3. 曲线y=sinx 与y=sin2x(0)π≤≤x 所围成图形的面积。 4. r =3cos θθcos 1+=r 及所围成图形的面积。 5. 摆线?? ?-=-=) cos 1() sin (t a y t t a x 的一拱()20π≤≤t 与横轴所围成图形的面积。 四、在曲线族y=a(1-x 2)(a>0)中确定一条曲线,使该曲线和其在(-1,0)和(1,0)两点处 的切线所围图形的面积最小。