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排列组合基础知识及解题技巧

排列组合基础知识及解题技巧
排列组合基础知识及解题技巧

排列组合基础知识及习题分析

在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式!

35C =(5×4×3)/(3×2×1) 26

C =(6×5)/(2×1) 通过这2个例子 看出

n m C 公式 是种子数M 开始与自身连续的N 个自然数的降序乘积做为分子。

以取值N 的阶层作为分母

35P =5×4×3 66P =6×5×4×3×2×1

通过这2个例子

n m

P =从M 开始与自身连续N 个自然数的降序乘积 当N =M 时 即M 的阶层

排列、组合的本质是研究“从n 个不同的元素中,任取m (m≤n)个元素,有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.

解答排列、组合问题的思维模式有二:

其一是看问题是有序的还是无序的?有序用“排列”,无序用“组合”;

其二是看问题需要分类还是需要分步?分类用“加法”,分步用“乘法”.

分 类:“做一件事,完成它可以有n 类方法”,这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准,然后在这个 标准下进行分类;其次,分类时要注意满足两条基本原则:①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.

分步:“做一件事,完成它需要分成n 个步骤”,这是说完成这件事的任何一种方法,都要分成n 个步骤.分步时,首先要根据问题的特点,确定一个可行的分步标准;其次,步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后,这件事才算最终完成.

两 个原理的区别在于一个和分类有关,一个与分步有关.如果完成一件事有n 类办法,这n 类办法彼此之间是相互独立的,无论那一类办法中的那一种方法都能单独完 成这件事,求完成这件事的方法种数,就用加法原理;如果完成一件事需要分成n 个步骤,缺一不可,即需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种类就用乘法原理.

在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点:

1.有限制条件的排列问题常见命题形式:

“在”与“不在”

“邻”与“不邻”

在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法:

⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”,可把两个以上的元素当做一个元素来看,这是处理相邻最常用的方法.

⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.

⑶“在”与“不在”问题,常常涉及特殊元素或特殊位置,通常是先排列特殊元素或特殊位置.

⑷元素有顺序限制的排列,可以先不考虑顺序限制,等排列完毕后,利用规定顺序的实情求出结果.

2.有限制条件的组合问题,常见的命题形式:

“含”与“不含”

“至少”与“至多”

在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.

3.在处理排列、组合综合题时,通过分析条件按元素的性质分类,做到不重、不漏,按事件的发生过程分步,正确地交替使用两个原理,这是解决排列、组合问题的最基本的,也是最重要的思想方法.

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提供10道习题供大家练习

1、三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数为( C )

(A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个

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【解析】

根据三角形边的原理两边之和大于第三边,两边之差小于第三边

可见最大的边是11

则两外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时是两边之和最大的时候

因此我们以一条边的长度开始分析

如果为11,则另外一个边的长度是11,10,9,8,7,6,。。。。。。1

如果为10 则另外一个边的长度是10,9,8。。。。。。2,

(不能为1 否则两者之和会小于11,不能为11,因为第一种情况包含了11,10的组合)

如果为9 则另外一个边的长度是 9,8,7,。。。。。。。3

(理由同上,可见规律出现)

规律出现总数是11+9+7+。。。。1=(1+11)×6÷2=36

2、

(1)将4封信投入3个邮筒,有多少种不同的投法?

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【解析】每封信都有3个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第1封信,有3种可能性。接着再放第2封,也有3种可能性,直到第4封,所以分步属于乘法原则即3×3×3×3=3^4

(2)3位旅客,到4个旅馆住宿,有多少种不同的住宿方法?

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【解析】跟上述情况类似对于每个旅客我们都有4种选择。彼此之间选择没有关系不够成分类关系。属于分步关系。如:我们先安排第一个旅客是4种,再安排第2个旅客是4种选择。知道最后一个旅客也是4种可能。根据分步原则属于乘法关系即4×4×4=4^3

(3)8本不同的书,任选3本分给3个同学,每人一本,有多少种不同的分法?

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【解析】分步来做

第一步:我们先选出3本书即多少种可能性 C8取3=56种

第二步:分配给3个同学。 P33=6种

这里稍微介绍一下为什么是P33 ,我们来看第一个同学可以有3种书选择,选择完成后,第2个同学就只剩下2种选择的情况,最后一个同学没有选择。即3×2×1 这是分步选择符合乘法原则。最常见的例子就是 1,2,3,4四个数字可以组成多少4位数?也是满足这样的分步原则。用P来计算是因为每个步骤之间有约束作用即下一步的选择受到上一步的压缩。

所以该题结果是56×6=336

3、七个同学排成一横排照相.

(1)某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种?(3600)

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【解析】

这个题目我们分2步完成

第一步:先给甲排应该排在中间的5个位置中的一个即C5取1=5

第二步:剩下的6个人即满足P原则 P66=720

所以总数是720×5=3600

(2)某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种?(1440)

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【解析】第一步:确定乙在哪个位置排头排尾选其一 C2取1=2

第二步:剩下的6个人满足P原则 P66=720

则总数是720×2=1440

(3)甲不在排头或排尾,同时乙不在中间的不同排法有多少种?(3120)

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【解析】特殊情况先安排特殊

第一种情况:甲不在排头排尾并且不在中间的情况

去除3个位置剩下4个位置供甲选择 C4取1=4,剩下6个位置先安中间位置即除了甲乙2人,其他5人都可以即以5开始,剩下的5个位置满足P原则即5×P55=5×120=600 总数是4×600=2400

第2种情况:甲不在排头排尾,甲排在中间位置则剩下的6个位置满足P66=720 因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和即 2400+720=3120

(4)甲、乙必须相邻的排法有多少种?(1440)

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【解析】相邻用捆绑原则 2人变一人,7个位置变成6个位置,即分步讨论

第1:选位置 C6取1=6

第2:选出来的2个位置对甲乙在排即P22=2 则安排甲乙符合情况的种数是2×6=12 剩下的5个人即满足P55的规律=120 则最后结果是120×12=1440

(5)甲必须在乙的左边(不一定相邻)的不同排法有多少种?(2520)

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【解析】

这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边和出现在乙的右边的概率是一样的。所以我们不考虑左右问题则总数是P77=5040 ,根据左右概率相等的原则则排在左边的情况种数是5040÷2=2520

4、用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数.

(1)能组成多少个四位数?(300)

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【解析】四位数从高位开始到低位高位特殊不能排0。则只有5种可能性

接下来3个位置满足P53原则=5×4×3=60 即总数是60×5=300

(2)能组成多少个自然数?(1631)

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【解析】自然数是从个位数开始所有情况

分情况

1位数: C6取1=6

2位数: C5取2×P22+C5取1×P11=25

3位数: C5取3×P33+C5取2×P22×2=100

4位数: C5取4×P44+C5取3×P33×3=300

5位数: C5取5×P55+C5取4×P44×4=600

6位数:5×P55=5×120=600

总数是1631

这里解释一下计算方式比如说2位数: C5取2×P22+C5取1×P11=25

先从不是0的5个数字中取2个排列即C5取2×P22 还有一种情况是从不是0的5个数字中选一个和0搭配成2位数即C5取1×P11 因为0不能作为最高位所以最高位只有1种可能

(3)能组成多少个六位奇数?(288)

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【解析】高位不能为0 个位为奇数1,3,5 则先考虑低位,再考虑高位即3×4×P44=12×24=288

(4)能组成多少个能被25整除的四位数?(21)

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【解析】能被25整除的4位数有2种可能

后2位是25:3×3=9 后2位是50: P42=4×3=12 共计9+12=21

(5)能组成多少个比201345大的数?(479)

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【解析】从数字201345 这个6位数看是最高位为2的最小6位数所以我们看最高位大于等于2的6位数是多少?

4×P55=4×120=480 去掉 201345这个数即比201345大的有480-1=479

(6)求所有组成三位数的总和. (32640)

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【解析】每个位置都来分析一下

百位上的和:M1=100×P52(5+4+3+2+1)

十位上的和:M2=4×4×10(5+4+3+2+1)

个位上的和:M3=4×4(5+4+3+2+1)

总和 M=M1+M2+M3=32640

5、生产某种产品100件,其中有2件是次品,现在抽取5件进行检查.

(1)“其中恰有两件次品”的抽法有多少种?(152096)

【解析】也就是说被抽查的5件中有3件合格的,即是从98件合格的取出来的

所以即C2取2×C98取3=152096

(2)“其中恰有一件次品”的抽法有多少种?(7224560)

【解析】同上述分析,先从2件次品中挑1个次品,再从98件合格的产品中挑4个

C2取1×C98取4=7224560

(3)“其中没有次品”的抽法有多少种?(67910864)

【解析】则即在98个合格的中抽取5个 C98取5=67910864

(4)“其中至少有一件次品”的抽法有多少种?(7376656)

【解析】全部排列然后去掉没有次品的排列情况就是至少有1种的

C100取5-C98取5=7376656

(5)“其中至多有一件次品”的抽法有多少种?(75135424)

【解析】所有的排列情况中去掉有2件次品的情况即是至多一件次品情况的

C100取5-C98取3=75135424

6、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型和乙型电视机各1台,则不同的取法共有()

(A)140种 (B)84种 (C)70种 (D)35种

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【解析】根据条件我们可以分2种情况

第一种情况:2台甲+1台乙即 C4取2×C5取1=6×5=30

第二种情况:1台甲+2台乙即 C4取1×C5取2=4×10=40 所以总数是 30+40=70种

7、在50件产品中有4件是次品,从中任抽5件,至少有3件是次品的抽法有__种.

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【解析】至少有3件则说明是3件或4件

3件:C4取3×C46取2=4140 4件:C4取4×C46取1=46

共计是 4140+46=4186

8、有甲、乙、丙三项任务, 甲需2人承担, 乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务, 不同的选法共有( C )

(A)1260种 (B)2025种 (C)2520种 (D)5040种

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【解析】分步完成

第一步:先从10人中挑选4人的方法有:C10取4=210

第二步:分配给甲乙并的工作是C4取2×C2取1×C1取1=6×2×1=12种情况

则根据分步原则乘法关系210×12=2520

9、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案共有_____种

C(4,12)C(4,8)C(4,4)

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【解析】每个路口都按次序考虑

第一个路口是C12取4

第二个路口是C8取4

第三个路口是C4取4

则结果是C12取4×C8取4×C4取4

可能到了这里有人会说三条不同的路不是需要P33吗其实不是这样的在我们从12人中任意抽取人数的时候,其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。如果再×P33 则是重复考虑了

如果这里不考虑路口的不同即都是相同路口则情况又不一样因为我们在分配人数的时候考虑了路口的不同。所以最后要去除这种可能情况所以在上述结果的情况下要÷P33

10、在一张节目表中原有8个节目,若保持原有节目的相对顺序不变,再增加三个节目,求共有多少种安排方法? 990

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【解析】

这是排列组合的一种方法叫做2次插空法

直接解答较为麻烦,故可先用一个节目去插9个空位,有P(9,1)种方法;再用另一个节目去插10个空位,有P(10,1)种方法;用最后一个节目去插11个空位,有P(11,1)方法,由乘法原理得:所有不同的添加方法为P(9,1)×P(10,1)×P(11,1)=990种。

另解:先在11个位置中排上新添的三个节目有P(11,3)种,再在余下的8个位置补上原有的8个节目,只有一解,所以所有方法有P311×1=990种。

解决排列组合问题的策略

1、逆向思维法:我们知道排列组合都是对一个元素集合进行筛选排序。我们可以把这个集合看成数学上的单位1,那么1=a+b 就是我们构建逆向思维的数学模型了,当a 不利于我们运算求解的时候,我们不妨从b的角度出发思考,这样同样可以求出a=1-b。例题:7个人排座,甲坐在乙的左边(不一定相邻)的情况有多少种?

例题:一个正方体有8个顶点我们任意选出4个,有多少种情况是这4个点可以构成四面体的。

例题:用0,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有()A.24个 B.30个 C.40个 D.60个

2、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略:

(1)无关型:两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集

例题:用0,1,2,3,4,5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数?

(2)包含型:两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系

例题:用0,1,2,3,4,5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数?

P55×-P44=120-24=96

用0,1,2,3,4,5六个数字可组成多少个被25整除且数字不同的六位数?

25,75 (3×3×2×1)×2+P44=36+24=60

(3)影响型:两个特殊位置上可取的元素既有相同的,又有不同的。

例题:用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有多少个?

3、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理分类与准确分步的策略

例题:平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直,则它们构成的矩形共有________个。简析:按构成矩形的过程可分为如下两步:第一步.先在4条平行线中任取两条,有C4取2种取法;第二步再在5条平行线中任取两条,有C5取2种取法。这样取出的四条直线构成一个矩形,据乘法原理,构成的矩形共有6×10=60个

4、解排列组台混合问题——采用先选后排策略

对于排列与组合的混合问题,可采取先选出元素,后进行排列的策略。

例:4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子,则恰有一个空盒的放法有___种。144

5、插板法

插板法的条件构成: 1元素相同,2分组不同,3必须至少分得1个

插板法的类型:

(1)、10块奶糖分给4个小朋友,每个小朋友至少1块,则有多少种分法?(典型插板法点评略)

(2)、10块奶糖分给4个小朋友有多少种方法?(凑数插板法:这个题目对照插板法的3个条件我们发现至少满足1个这个条件没有,所以我们必须使其满足,最好的方法就是用14块奶糖来分,至少每人1块,当每个人都分得1块之后,剩下的10块就可以随便分了,就回归到了原题)

(3)、10块奶糖放到编号为1,2,3的3个盒子里,每个盒子的糖数量不少于其编号数,则有几种方法?(定制插板法:已然是最后一个条件不满足,我们该怎么处理呢,应该学会先去安排使得每个盒子都差1个,这样就保证每个盒子必须分得1个,从这个思路出发,跟第二个例题是姊妹题思路是一样的对照条件想办法使其和条件吻合!)

(4)、8块奶糖和另外3个不同品牌的水果糖要放到编号为1~11的盒子里面,每个盒子至少放1个,有多少种方法?(多次插空法这里不多讲,见我排列组合基础讲义)

6、递归法(枚举法)

公考也有这样的类型,排错信封问题,还有一些邮票问题

归纳法:

例如:5封信一一对应5个信封,其中有3个封信装错信封的情况有多少种?

枚举法:

例如:10张相同的邮票分别装到4个相同的信封里面,每个信封至少1张邮票,有多少种方法?枚举:

1,1,1,7

1,1,2,6

1,1,3,5

1,1,4,4

1,2,2,5

1,2,3,4

1,3,3,3

2,2,2,4

2,2,3,3 9种方法!

疑难问题

1、如何验证重复问题

2、关于位置与元素的相同问题,

例如: 6个人平均分配给3个不同的班级,跟 6个学生平分成3组的区别

3、关于排列组合里面,充分运用对称原理。

例题: 1,2,3,4,5 五个数字可以组成多少个十位数小于个位数的四位数?

例题:7个人排成一排,其中甲在乙右边(可以不相邻)的情况有多少种?

注解:分析2种对立情况的概率,即可很容易求解。当对立情况的概率相等,即对称原理。

4、环形排列和线性排列问题。(见我的基础排列组合讲义二习题讲解)

例如:3个女生和4个男生围坐在一个圆桌旁。问有多少种方法?

例如:3对夫妇围坐在圆桌旁,男女间隔的坐法有多少种?

注解:排列组合中,特殊的地方在于,第一个坐下来的人是作为参照物,所以不纳入排列的范畴,我们知道,环形排列中每个位置都是相对的位置,没有绝对位置,所以需要有一个人坐下来作为参照位置。

5、几何问题:见下面部分的内容。

例析立体几何中的排列组合问题

在数学中,排列、组合无论从内容上还是从思想方法上,都体现了实际应用的观点。

1 点

1.1 共面的点

例题:四面体的一个顶点为A,从其它顶点与棱的中点中取3个点,使它们和点A在同一平面上,不同的取法有()

A.30种 B.33种 C.36种 D.39种

答案:B

点评:此题主要考查组合的知识和空间相像能力;属难度中等的选择题,失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。

1.2 不共面的点

例2:四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有()A.150种 B.147种 C.144种 D.141种

解析:从10 个点中任取4个点有C(10,4)=210 种取法,其中4点共面的情况有三类:第一类,取出的4个点位于四面体的同一个面内,有C(6,2)=15种;第二类,取任一条棱上的3

个点及对棱的中点,这4点共面有6种;第三类,由中位线构成的平行四边形,它的4个顶点共面,有3种。

以上三类情况不合要求应减掉,所以不同取法共有210-4×15-6-3=141 种。

答案:D。

点评:此题难度很大,对空间想像能力要求高,很好的考察了立体几何中点共面的几种情况;排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。

几何型排列组合问题的求解策略

有关几何型组合题经常出现在各类试题中,它的求解不仅要具备排列组合的有关知识,而且还要掌握相关的几何知识.这类题目新颖、灵活、能力要求高,因此要求掌握四种常用求解策略.

一分步求解

例1 圆周上有2n个等分点(n>1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为______.

解:本题所求的三角形,即为圆的内接直角三角形,由平面几何知识,应分两步进行:先从2n 个点中构成直径(即斜边)共有n种取法;再从余下的(2n-2)个点中取一点作为直角顶点,有(2n-2)种不同取法.故总共有n(2n-2)=2n(n-1)个直角三角形.故填2n(n-1).

例2:从集合{0、1、2、3、5、7、11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得的经过坐标原点原直线共有____条(结果用数值来表示).

解:因为直线过原点,所以C=0. 从1、2、3、5、7、11这6个数中任取2个作为A、B,两数的顺序不同,表示的直线也不同,所以直线的条数为 P(6,2)=30.

二分类求解

例3 四边体的一个顶点为A,从其它顶点与各棱的中点中取3点,使它们和A在同一平面上,不同取法有()

(A)30种 (B)33种 (C)36种 (D)39种

解:符合条件的取法可分三类:① 4个点(含A)在同一侧面上,有3 =30种;②4个点(含A)在侧棱与对棱中点的截面上,有3种;由加法原理知不同取法有33种,故选B.

三排除法求解

例4 从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有()

(A) 8种 (B) 12种 (C) 16种 (D) 20种

解:由六个任取3个面共有 C(6,3)=20种,排除掉3个面都相邻的种数,即8个角上3个平面相邻的特殊情形共8种,故符合条件共有 20-8=12种,故选(B).

例5 正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有()个?

解:从7个点中任取3个点,共有C(7,3)=35 个,排除掉不能构成三角形的情形.3点在同一直线上有3个,故符合条件的三角形共有 35-3=32个.

四转化法求解

例6 空间六个点,它们任何三点不共线,任何四点不共面,则过每两点的直线中有多少对异面直线?

解:考虑到每一个三棱锥对应着3 对异面直线,问题就转化为能构成多少个三棱锥. 由于这六个点可构成C(6,4)=15 个三棱锥,故共有3×15 =45对异面直线.

例7 一个圆的圆周上有10个点,每两个点连接一条弦,求这些弦在圆内的交点个数最多有几个?

解:考虑到每个凸四边形的两条对角线对应一个交点,则问题可转化为构成凸四边形的个数.显然可构成 C(10,4)=210个圆内接四边形,故10个点连成的点最多能在圆中交点210个.

6、染色问题:

不涉及环形染色可以采用特殊区域优先处理的方法来分步解决。

环形染色可采用如下公式解决:

An=(a-1)^n+(a-1)×(-1)^n n表示被划分的个数,a表示颜色种类

原则:被染色部分编号,并按编号顺序进行染色,根据情况分类

在所有被染色的区域,区分特殊和一般,特殊区域优先处理

例题1:将3种作物种植在如图4所示的5块试验田里,每块种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物。则有多少种种植方法?

图1

例题2:用5种不同颜色为图中ABCDE五个部分染色,相邻部分不能同色,但同一种颜色可以反复使用,也可以不使用,则符合要求的不同染色方法有多少种?

图2

例题3:将一个四棱锥的五个顶点染色,使同一条棱的2个端点不同色,且只由五个颜色可以使用,有多少种染色方法?

图3

例题4:一个地区分为如图4所示的五个行政区域,现在有4种颜色可供选择,给地图着色,要求相邻区域不同色,那么则有多少种染色方法?

图4

例题5:某城市中心广场建造了一个花圃,分6个部分(如图5)现在要栽种4种不同的颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能种同样颜色的花,则有多少种不同栽种方式?

图5:

1.排列组合题(系列之二)

一) 1, 2, 3, 4作成数字不同的三位数,试求其总和?但数字不重复。

[解析]

组成3位数我们以其中一个位置(百位,十位,个位)为研究对象就会发现当某个位置固定比如是1,那么其他的2个位置上有多少种组合? 这个大家都知道是剩下的3个数字的全排列 P32 我们研究的位置上每个数字都会出现P32次

所以每个位置上的数字之和就可以求出来了

个位是:P32*(1+2+3+4)=60

十位是:P32*(1+2+3+4)*10=600

百位是:P32*(1+2+3+4)*100=6000

所以总和是6660

(二)将“PROBABILITY ”11个字母排成一列,排列数有______种,若保持P, R, O次序,则排列数有______种。

[解析]

这个题目就是直线全排列出现相同元素的问题:在我的另外一个帖子里面有介绍:http://bbs.qz https://www.doczj.com/doc/af106850.html,/read-htm-tid-9487547.html

(1)我们首先把相同元素找出来,B有2个, I 有2个我们先看作都是不同的11个元素全排列这样就简单的多是P11,11 然后把相同的元素能够形成的排列剔除即可 P11/(P2,2*P2,2)=997 9200。

(2)第2个小问题因要保持PRO的顺序,就将PRO视为相同元素(跟B,I类似的性质),则其排列数有11!/(2!×2!×3!)= 166320种。

(三)李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇共10人围坐一圆桌聊天,试求下列各情形之排列数:

(1)男女间隔而坐。

(2)主人夫妇相对而坐。

(3)每对夫妇相对而坐。

(4)男女间隔且夫妇相邻。

(5)夫妇相邻。

(6)男的坐在一起,女的坐在一起。

[解析]

(1) 这个问题也在https://www.doczj.com/doc/af106850.html,/read-htm-tid-9487547.html介绍过

先简单介绍一下环形排列的特征,环形排列相对于直线排列缺少的就是参照物.第一个坐下来的人是没有参照物的,所以无论做哪个位置都是一样的. 所以从这里我们就可以看出环形排列的特征是第一个人是做参照物,不参与排列.

下面就来解答6个小问题:

(1)先让5个男的或5个女的先坐下来全排列应该是 P44, 空出来的位置他们的妻子(丈夫), 妻子(丈夫)的全排列这个时候有了参照物所以排列是P55 答案就是 P44*P55=2880种

(2)先让主人夫妇找一组相对座位入座其排列就是P11(记住不是P22 ),这个时候其他8个人再入座,就是P88,所以此题答案是 P88

(3)每对夫妇相对而坐,就是捆绑的问题.5组相对位置有一组位置是作为参照位置给第一个入座的夫妇的,剩下的4组位置就是P44, 考虑到剩下来的4组位置夫妇可以互换位置即 P44*2^4=38 4

(4)夫妇相邻,且间隔而坐. 我们先将每对夫妇捆绑那么就是5个元素做环形全排列即P44 这里在从性别上区分男女看作2个元素可以互换位置即答案是P44*2=48种(值得注意的是,这里不是*2^4 因为要互换位置,必须5对夫妇都得换要不然就不能保持男女间隔)

(5) 夫妇相邻这个问题显然比第4个问题简单多了,即看作捆绑答案就是P44 但是这里却是每对夫妇呼唤位置都可以算一种方法的. 即最后答案是P44*2^5

(6)先从大方向上确定男女分开座,那么我们可以通过性别确定为2个元素做环形全排列.即P1,1 , 剩下的5个男生和5个女生单独做直线全排列所以答案是P1,1 *P55*P55

(四)在一张节目表中原有8个节目,若保持原有节目的相对顺序不变,再增加三个节目,求共有多少种安排方法?

这个题目相信大家都见过就是我们这次2008年国家公务员考试的一道题目:

这是排列组合的一种方法叫做2次插空法或多次插空法

直接解答较为麻烦,我们知道8个节目相对位置不动,前后共计9个间隔,故可先用一个节目去插9个空位,有C9取1种方法;这样9个节目就变成了10个间隔,再用另一个节目去插10个空位,有C10取1种方法;同理用最后一个节目去插10个节目形成的11个间隔中的一个,有C11取1方法,由乘法原理得:所有不同的添加方法为9*10*11=990种。

方法2: 我们先安排11个位置,把8个节目按照相对顺序放进去,在放另外3个节目,11个位置选3个出来进行全排列那就是P11,3=11*10*9=990

(五) 0,1,2,3,4,5五个数字能组成多少个被25整除的四位数?

[解析] 这里考察了一个常识性的问题即什么样数才能被25整除即这个数的后2位必须是2 5或者50,或者75或者00 方可.

后两位是25的情况有:千位只有3个数字可选(0不能) 百位也是3个可选即3*3=9种

后两位是50的情况有:剩下的4个数字进行选2位排列 P4,2=12种

75不可能,因为数字中没有7

00也不可能,因为数字不能重复

共计 9+12=21种

2.“插板法”的条件模式隐藏运用分析

在说这2 道关于“插板法”的排列组合题目之前,我们需要弄懂一个问题:

插板法排列组合是需要什么条件下才可以使用?这个问题清楚了,我们在以后的答题中就可以尽量的变化题目使其满足这个条件。

这个条件就是:分组或者分班等等至少分得一个元素。注意条件是至少分得1个元素!

好我们先来看题目,

例题1:某学校四、五、六三个年级组织了一场文艺演出,共演出18个节目,如果每个年级至少演出4个节目,那么这三个年级演出节目数的所有不同情况共有几种?

这个题目是Q友出的题目,题目中是不考虑节目的不同性你可以视为18个相同的节目不区分!发现3个年级都是需要至少4个节目以上!跟插板法的条件有出入,插板法的条件是至少1个,这个时候对比一下,我们就有了这样的思路,为什么我们不把18个节目中分别给这3个年级各分配3个节目。

这样这3个班级就都少1个,从而满足至少1个的情况了

3×3=9 还剩下18-9=9个

剩下的9个节目就可以按照插板法来解答。 9个节目排成一排共计8个间隔。分别选取其中任意2个间隔就可以分成3份(班级)!

C8取2=28

练习题目:

有10个相同的小球。分别放到编号为1,2,3的盒子里要使得每个盒子的小球个数不小于其编号数。那么有多少种放法?

【解析】

还是同样的原理。每个盒子至少的要求和插板法有出入那么我们第一步就是想办法满足插板法的要求。

编号1的盒子是满足的至少需要1个,

编号2至少需要2个,那么我们先给它1个,这样就差1个

编号3至少需要3个,那么我们先给它2个,这样就差1个

现在三个盒子都满足插板法的要求了我们看还剩下几个小球?

10-1-2=7

7个小球6个间隔再按照插板法来做 C6,2=15种!

3.【纠错】两个相同的正方体的六个面上分别标有数字的排列组合问题

有两个相同的正方体,每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6。将两个正方体放到桌面上,向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形?()

A.9 B.12 C.18 D.24

--------------------------

很多教材给出的答案是18

这里我更正以下:

请大家注意红色字体“相同”

如果一个显示3,一个显示1,交换以下是 1,3 是否是2种呢?

显然不是是1种这是这个题目存在的陷阱

------------------

方法一:

为偶数的情形分2种情况

(1)、奇数+奇数:(1,3,5)

C(3,1)×C(3,1)注意因为这里是相同的两个色子。所以 3,1和1,3是不区分的要去掉C3,2=3种实际上是6种,

(2)、偶数+偶数(2,4,6)偶数的情况跟奇数相同也是6种!

答案是 6+6=12

方法二:当然我们也可以算总的,那么就是 C6,1×C6,1-C6,2=36-15=21种

(为什么要减去C(6,2 ),因为任意2个数字颠倒都是一种情况)

看奇数:奇数=奇数+偶数 C3,1×C3,1=9种

所以答案是 21-9=12种

4.【讨论】裴波纳契数列的另类运用

先说典型的裴波纳契数列:

图片:

裴波纳契数列就是移动求和A+B=C

因为第一个月这对小兔长成大兔所以第一个月还是1对即A从1开始。第2个月开始剩下一对小兔合计2对 B从2开始。

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233

小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法?

A:54 B:64 C:57 D:37

-------------------

这个题目刚刚看到讨论我也用排列组合的办法参与了讨论现在我再来说说裴波纳契数列的解法

楼梯级数:1,2,3,4,5,6........

走法情况:0,1,1,1,2,2........

这是一个裴波纳契的间隔运用因为他没有走1步的情况

即A+B=D

0,1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,28,37

在举例1题:小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈一级,两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有10级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法?

因为是1,2,3级都可以所以可以采用

A+B+C=D的裴波纳契数列变式!

列举前3个分别是1,2,3

则 10个是 1,2,4,7,13,24,44,81,149,274

练习题目:小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈一级或三级台阶。已知相邻楼层之间有10级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法?

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析 一.基本原理 1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-; (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定: 组合数性质: .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011 =+++=+=+--…… ,, ①;②;③;④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注: 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。

高中排列组合基础题

排列、组合问题基本题型及解法 同学们在学习排列、组合的过程中,总觉得抽象,解法灵活,不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法. 一、相邻问题“捆绑法” 将必须相邻的元素“捆绑”在一起,当作一个元素进行排列. 例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排,如果甲、乙必须站在一起,不同的排法共有几种? 分析:先把甲、乙当作一个人,相当于三个人全排列,有33A =6种,然后再将甲、乙二人全排列有22A =2种,所以共有6×2=12种排法. 二、不相邻问题“插空法” 该问题可先把无位置要求的元素全排列,再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中(注意两端). 例2 7个同学并排站成一排,其中只有A 、B 是女同学,如果要求A 、B 不相邻,且不站在两端,不同的排法有多少种?. 分析:先将其余5个同学先全排列,排列故是55A =120.再把A 、B 插入五个人组成的四个空位(不包括两端)中,(如图0×0×0×0×0“×”表示空位,“0”表示5个同学)有24A =2 种方法.则共有52 54A A =440种排法. 三、定位问题“优先法” 指定某些元素必须排(或不排)在某位置,可优先排这个元素,后排其他元素. 例3 6个好友其中只有一个女的,为了照像留念,若女的不站在两端,则不同的排法有 种. 分析:优先排女的(元素优先).在中间四个位置上选一个,有14A 种排法.然后将其余5个 排在余下的5个位置上,有55A 种方法.则共15 45A A =480种排法.还可以优先排两端 (位置优先). 四、同元问题“隔板法” 例4 10本完全相同的书,分给4个同学,每个同学至少要有一本书,共有多少种分法? 分析:在排列成一列的10本书之间,有九个空位插入三块“隔板”.如图: ×× × ××× ×××× 一种插法对应于一种分法,则共有39C =84种分法. 五、先分组后排列 对于元素较多,情形较复杂的问题,可根据结果要求,先分为不同类型的几组,然后对每一组分别进行排列,最后求和. 例5 由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( ) (A )210个 (B )300个 (C )464个 (D )600个 分析:由题意知,个位数字只能是0,1,2,3,4共5种类型,每一种类型分别有55A 个、113433A A A 个、113333A A A 个、113233A A A 个、13 33A A 个,合计300个,所以选B 例6 用0,1,2,3,…,9这十个数字组成五位数,其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个? 【解法1】考虑0的特殊要求,如果对0不加限制,应有325555C C A 种, 其中0居首位的有314 544C C A 种,故符合条件的五位数共有325314 555544C C A C C A =11040个. 【解法2】按元素分类:奇数字有1,3,5,7,9;偶数字有0,2,4,6,8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类:①不含0的;②含0的. ①不含0的:由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有325 545C C A 个; ②含0的,这时0只能排在除首位以外的四个数位上,有14A 种排法, 再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上,共有3141 5444C C A A 种排法. 综合①和②,由分类计数原理,符合条件的五位数共有325545C C A +3141 5444C C A A =11040个. 例8 由数字1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字,比20000大,且百位数字不是3

☆排列组合解题技巧归纳总结

排列组合解题技巧归纳总结 教学内容 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,…,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有: 12n N m m m =++ + 种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,…,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有: 12n N m m m =?? ? 种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其 它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 5 22480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? C 14A 34C 1 3

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一.基本原理 1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从 1.公式:1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定:0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-; (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定: 组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ①;②;③;④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注: 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2.解排列、组合题的基本策略 (1)两种思路:①直接法; ②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 (2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。注意:分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集, 所有各类的并集为全集。 (3)分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分 类,又要分步。其原则是先分类,后分步。 (43.排列应用题: (1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑; (3).相邻问题:捆邦法: 对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。 (4)、全不相邻问题,插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 (5)、顺序一定,除法处理。先排后除或先定后插 解法一:对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排,再除以定序元素的全排列。 解法二:在总位置中选出定序元素的位置不参加排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元素,若定序元素要求从左到右或从右到左排列,则只有1种排法;若不要求,则有2种排法; (6)“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列,最后再进行“小团体”内部的排列。 (7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。 (8).数字问题(组成无重复数字的整数) ① 能被2整除的数的特征:末位数是偶数;不能被2整除的数的特征:末位数是奇数。②能被3整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数; ③能被9整除的数的特征:各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征:末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征:末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征:末两位数是25,50,75。 ⑦能被6整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数的偶数。 4.组合应用题:(1).“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: (2). “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3.分组问题: 均匀分组:分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组:分步取,得组合数相乘。即组合处理。 混合分组:分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘。 4.分配问题: 定额分配:(指定到具体位置)即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘。

排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)

种。故不同插法的种数为:26A + 22A 16A =42 ,故选A 。 例7.(2003年全国高考试题)如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区 不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种.(以数字作答) 解:由题意,选用3种颜色时,C 43种颜色,必须是②④同色,③⑤同色,与①进行全排列,涂色 方法有C 43A 33=24种4色全用时涂色方法:是②④同色或③⑤同色,有2种情况,涂色方法有 C 21A 44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种;故答案为72 六、混合问题--先选后排法 对于排列组合的混合应用题,可采取先选取元素,后进行排列的策略. 例8.(2002年北京高考)12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4 人,则不同的分配方案共有( )种 A. B.3种 C. 种 D. 解:本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有 种方法,分配到三 个不同的路口的不同的分配方案共有: 种,故选A 。 例9.(2003年北京高考试题)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出 3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共 有() A .24种 B .18种 C .12种 D .6种

解:黄瓜必选,故再选2种蔬菜的方法数是C32种,在不同土质的三块土地上种植的方法是A33, ∴种法共有C32A33=18,故选B. 七.相同元素分配--档板分隔法 例10.把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室,每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数,试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解,并思考这些方法是否适合更一般的情况?本题考查组合问题。 解一:先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书;再对余下的7本书进行分配,保证每个阅览室至少得一本书,这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”(一般可视为“隔板”)共有2 C种插法,即有15种分 6 法。 2、解二:由于书相同,故可先按阅览室的编号分出6本,此时已保证各阅览室所分得的书不小于其编号,剩下的4本书有以下四种分配方案:①某一阅览室独得4本,有种分法;②某两个阅览室分别得1本和3本,有种分法;③某两个阅览室各得2本,有种分法;④某一阅览室得2本,其余两阅览室各得1本,有种分法.由加法原理,共有不同的分法3+=15种. 八.转化法: 对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题,可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解 。例11 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他

(完整版)排列组合知识点与方法归纳

排列组合知识点与方法归纳 一、知识要点 1.分类计数原理与分步计算原理 (1)分类计算原理(加法原理): 完成一件事,有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办 法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有m n种不同的方法,那么完 成这件事共有N= m1+ m2+…+ m n种不同的方法。 (2)分步计数原理(乘法原理): 完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有 m2种不同的方法,……,做第n步有m n种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1× m2×…× m n种不同的方法。 2.排列 (1)定义 从n个不同元素中取出m()个元素的所有排列的个数,叫做从n个不 同元素中取出m个元素的排列数,记为 . (2)排列数的公式与性质 a)排列数的公式: =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= 特例:当m=n时, =n!=n(n-1)(n-2)…×3×2×1规定:0! =1 b)排列数的性质: (Ⅰ) =(Ⅱ) (Ⅲ) 3.组合 (1)定义

a)从n个不同元素中取出个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个组合 b)从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同 元素中取出m个元素的组合数,用符号表示。 (2)组合数的公式与性质 a)组合数公式:(乘积表示) (阶乘表示) 特例: b)组合数的主要性质: (Ⅰ)(Ⅱ) 4.排列组合的区别与联系 (1)排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关,而排列不仅与选取的元素有关,而且还与取出元素的顺序有关。因此,所给问题是否与取出元素的顺序有关,是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。 (2)注意到获得(一个)排列历经“获得(一个)组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤,故得排列数与组合数之间的关系: 二、经典例题 例1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘,要求软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式是() A .5种 B.6种 C. 7种 D. 8种 解:注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元,所以,这里只讨论剩下的180元如何使用,可从购买软件的情形入手分类讨论:第一类,再买3片软件,不买磁盘,只有1种方法;第二类,再买2片软件,不买磁盘,只有1种方法; 第三类,再买1片软件,再买1盒磁盘或不买磁盘,有2种方法;第四类,不买软件,再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘,有3种方法;于是由分类计数原理可知,共有

排列组合基础知识及解题技巧

排列组合基础知识及习题分析 在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式! 35C =(5×4×3)/(3×2×1) 26 C =(6×5)/(2×1) 通过这2个例子 看出 n m C 公式 是种子数M 开始与自身连续的N 个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N 的阶层作为分母 35P =5×4×3 66P =6×5×4×3×2×1 通过这2个例子 n m P =从M 开始与自身连续N 个自然数的降序乘积 当N =M 时 即M 的阶层 排列、组合的本质是研究“从n 个不同的元素中,任取m (m≤n)个元素,有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二: 其一是看问题是有序的还是无序的?有序用“排列”,无序用“组合”; 其二是看问题需要分类还是需要分步?分类用“加法”,分步用“乘法”. 分 类:“做一件事,完成它可以有n 类方法”,这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准,然后在这个 标准下进行分类;其次,分类时要注意满足两条基本原则:①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步:“做一件事,完成它需要分成n 个步骤”,这是说完成这件事的任何一种方法,都要分成n 个步骤.分步时,首先要根据问题的特点,确定一个可行的分步标准;其次,步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后,这件事才算最终完成. 两 个原理的区别在于一个和分类有关,一个与分步有关.如果完成一件事有n 类办法,这n 类办法彼此之间是相互独立的,无论那一类办法中的那一种方法都能单独完 成这件事,求完成这件事的方法种数,就用加法原理;如果完成一件事需要分成n 个步骤,缺一不可,即需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点: 1.有限制条件的排列问题常见命题形式: “在”与“不在” “邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法: ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”,可把两个以上的元素当做一个元素来看,这是处理相邻最常用的方法.

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识 1.排列及计算公式 从n个不同元素中,任取mm≤n个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 pn,m表示. pn,m=nn-1n-2……n-m+1= n!/n-m!规定0!=1. 2.组合及计算公式 从n个不同元素中,任取mm≤n个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 cn,m 表示. cn,m=pn,m/m!=n!/n-m!*m!;cn,m=cn,n-m; 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=pn,r/r=n!/rn-r!. n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/n1!*n2!*...*nk!. k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为cm+k-1,m. 排列Pnmn为下标,m为上标 Pnm=n×n-1....n-m+1;Pnm=n!/n-m!注:!是阶乘符号;Pnn两个n分别为上标和下标=n!;0!=1;Pn1n为下标1为上标=n 组合Cnmn为下标,m为上标 Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!n-m!;Cnn两个n分别为上标和下标 =1 ;Cn1n为下标1为上标=n;Cnm=Cnn-m 加法乘法两原理,贯穿始终的法则。与序无关是组合,要求有序是排列。 两个公式两性质,两种思想和方法。归纳出排列组合,应用问题须转化。 排列组合在一起,先选后排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考虑。

排列与组合解题技巧

佛山学习前线教育培训中心 高二数学(理)讲义 专题:排列与组合解题技巧 主要技巧: 一. 运用两个基本原理 例1:n个人参加某项资格考试,能否通过,有多少种可能的结果? 练习1:同室四人各写了一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有() (A)6种(B)9种(C)11种(D)23种 二. 特殊元素(位置)优先 例2:从0,1,……,9这10个数字中选取数字组成偶数,一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个? 练习2:8人站成两排,每排4人,甲在前排,乙不在后排的边上,一共有多少种排法? 三. 捆绑法 例3:8人排成一排,甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁,有多少种排法? 练习3:记者要为5名志愿者和他们帮助的2为老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有 .A1440种.B960种.C720种.D480种 四. 插入法 例4:排一张有8个节目的演出表,其中有3个小品,既不能排在第一个,也不能有两个小品排在一起,有几种排法? 练习4:安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有种。 五. 排除法 例5:求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。 练习5:100件产品中有3件是次品,其余都是正品。现在从中取出5件产品,其中含有次品,有多少种取法? 练习6:8个人站成一排,其中A与B、A与C都不能站在一起,一共有多少种排法? 六. 机会均等法 例6:10个人排成一队,其中甲一定要在乙的左边,丙一定要在乙的右边,一共有多少种排法? 练习7:用1,4,5,四个数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,求。 七. 转化法 例7:一个楼梯共10级台阶,每步走1级或2级,8步走完,一共有多少种走法? 练习8:动点从(0,0)沿水平或竖直方向运动到达(6,8),要使行驶的路程最小,有多少种走法? 八. 隔板法 例14:20个相同的球分给3个人,允许有人可以不取,但必须分完,有多少种分法? 练习9:把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室,每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数,试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解,并思考

排列组合基本知识

有关排列组合的基本知识 排列与元素的顺序有关,组合与顺序无关.如231与213是两个排列,2+3+1的和与2+1+3的和是一个组合. (一)两个基本原理是排列和组合的基础 (1)加法原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法. (2)乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法. 这里要注意区分两个原理,要做一件事,完成它若是有n类办法,是分类问题,第一类中的方法都是独立的,因此用加法原理;做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续的,只有将分成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理. 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的,因此也将两个原理区分开来. (二)排列和排列数 (1)排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从排列的意义可知,如果两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序必须完全相同,这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法. (2)排列数公式:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列,当m=n时,为全排列Pnn=n(n-1)(n-1)…3·2·1=n!

(三)组合和组合数 (1)组合:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 从组合的定义知,如果两个组合中的元素完全相同,不管元素的顺序如何,都是相同的组合;只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合. (2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个 这里要注意排列和组合的区别和联系,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的. 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一,原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象思维能力 (2)限制条件有时比较隐晦,需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解; (3)计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大; (4)计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们搞清概念、原理,并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1.加法原理 2.加法原理的集合形式 3.分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏)

排列组合问题的解答技巧和记忆方法

排列组合问题的解题策略 关键词:排列组合,解题策略 ①分堆问题; ②解决排列、组合问题的一些常用方法:错位法、剪截法(隔板法)、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法 例1.7名学生站成一排,甲、乙必须站在一起有多少不同排法? 解:两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决,先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列,并考虑甲乙二人的顺序,所以共有种。 评注:一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决,共有种排法。 二、不相临问题——选空插入法 例2.7名学生站成一排,甲乙互不相邻有多少不同排法? 解:甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法,所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为:种 . 评注:若个人站成一排,其中个人不相邻,可用“插空”法解决,共有种排法。 三、复杂问题——总体排除法 在直接法考虑比较难,或分类不清或多种时,可考虑用“排除法”,解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。 例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有多少个. 解:从7个点中取3个点的取法有种,但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形,有3条,所以满足条件的三角形共有-3=32个. 四、特殊元素——优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题,可以考虑优先安排特殊位置,然后再考虑其他位置的安排。

例4.(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念,若老师不排在两端,则共有不同的排法种. 解:先考虑特殊元素(老师)的排法,因老师不排在两端,故可在中间三个位置上任选一个位置,有种,而其余学生的排法有种,所以共有=72种不同的排法. 例5.(2000年全国高考题)乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名队员参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有种. 解:由于第一、三、五位置特殊,只能安排主力队员,有种排法,而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置,有种排法,所以不同的出场安排共有=252种. 五、多元问题——分类讨论法 对于元素多,选取情况多,可按要求进行分类讨论,最后总计。 例6.(2003年北京春招)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为(A ) A.42 B.30 C.20 D.12 解:增加的两个新节目,可分为相临与不相临两种情况:1.不相临:共有A62种;2.相临:共有A22A61种。故不同插法的种数为:A62 +A22A61=42 ,故选A。 例7.(2003年全国高考试题)如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有多少种?(以数字作答) 解:区域1与其他四个区域相邻,而其他每个区域都与三个区域相邻,因此,可以涂三种或四种颜色.用三种颜色着色有=24种方法, 用四种颜色着色有=48种方法,从而共有24+48=72种方法,应填72. 六、混合问题——先选后排法 对于排列组合的混合应用题,可采取先选取元素,后进行排列的策略. 例8.(2002年北京高考)12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案共有() A.种B.种

两个计数原理与排列组合知识点及例题

两个计数原理与排列组合知识点及例题两个计数原理内容 1、分类计数原理: 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法. 2、分步计数原理: 完成一件事,需要分n个步骤,做第1步骤有m1种不同的方法,做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法. 例题分析 例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。现要配成一荤一素一汤的套餐。问可以配制出多少种不同的品种? 分析:1、完成的这件事是什么? 2、如何完成这件事?(配一个荤菜、配一个素菜、配一汤) 3、它们属于分类还是分步?(是否独立完成) 4、运用哪个计数原理? 5、进行计算. 解:属于分步:第一步配一个荤菜有3种选择 第二步配一个素菜有5种选择 第三步配一个汤有2种选择 共有N=3×5×2=30(种) 例2 有一个书架共有2层,上层放有5本不同的数学书,下层放有4本不同的语文书。 (1)从书架上任取一本书,有多少种不同的取法? (2)从书架上任取一本数学书和一本语文书,有多少种不同的取法? (1)分析:1、完成的这件事是什么? 2、如何完成这件事? 3、它们属于分类还是分步?(是否独立完成) 4、运用哪个计数原理? 5、进行计算。 解:属于分类:第一类从上层取一本书有5种选择 第二类从下层取一本书有4种选择 共有N=5+4=9(种) (2)分析:1、完成的这件事是什么? 2、如何完成这件事? 3、它们属于分类还是分步?(是否独立完成) 4、运用哪个计数原理? 5、进行计算. 解:属于分步:第一步从上层取一本书有5种选择 第二步从下层取一本书有4种选择 共有N=5×4=20(种) 例3、有1、2、3、4、5五个数字. (1)可以组成多少个不同的三位数? (2)可以组成多少个无重复数字的三位数? (3)可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数? (1)分析: 1、完成的这件事是什么? 2、如何完成这件事?(配百位数、配十位数、配个位数) 3、它们属于分类还是分步?(是否独立完成) 4、运用哪个计数原理? 5、进行计算. 略解:N=5×5×5=125(个) 【例题解析】 1、某人有4条不同颜色的领带和6件不同款式的衬衣,问可以有多少种不同的搭配方法?

排列与组合解题技巧

排列与组合解题技巧

佛山学习前线教育培训中心 高二数学(理)讲义 专题:排列与组合解题技巧 主要技巧: 一. 运用两个基本原理 例1:n个人参加某项资格考试,能否通过,有多少种可能的结果? 练习1:同室四人各写了一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有() (A)6种(B)9种(C)11种(D)23种 二. 特殊元素(位置)优先 例2:从0,1,……,9这10个数字中选取数字组成偶数,一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个? 练习2:8人站成两排,每排4人,甲在前排,乙不在后排的边上,一共有多少种排法? 三. 捆绑法 例3:8人排成一排,甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁,有多少种排法? 练习3:记者要为5名志愿者和他们帮助的2为老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有 .A1440种.B960种.C720种.D480种

四. 插入法 例4:排一张有8个节目的演出表,其中有3个小品,既不能排在第一个,也不能有两个小品排在一起,有几种排法? 练习4:安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有种。 五. 排除法 例5:求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。 练习5:100件产品中有3件是次品,其余都是正品。现在从中取出5件产品,其中含有次品,有多少种取法? 练习6:8个人站成一排,其中A与B、A与C都不能站在一起,一共有多少种排法? 六. 机会均等法 例6:10个人排成一队,其中甲一定要在乙的左边,丙一定要在乙的右边,一共有多少种排法? 练习7:用1,4,5,四个数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,求。 七. 转化法 例7:一个楼梯共10级台阶,每步走1级或2级,8步走完,一共有多少种走法?

排列组合的基本理论和公式

排列组合的基本理论和公式 排列与元素的顺序有关,组合与顺序无关.如231与213是两个排列,2+3+1的和与2+1+3的和是一个组合. (一)两个基本原理是排列和组合的基础 (1)加法原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法. (2)乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1 种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法.这里要注意区分两个原理,要做一件事,完成它若是有n类办法,是分类问题,第一类中的方法都是独立的,因此用加法原理;做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续的,只有将分成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理. 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的,因此也将两个原理区分开来. (二)排列和排列数 (1)排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从排列的意义可知,如果两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序必须完全相同,这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法. (2)排列数公式:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列 当m=n时,为全排列Pnn=n(n-1)(n-2)…3·2·1=n! (三)组合和组合数 (1)组合:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合. 从组合的定义知,如果两个组合中的元素完全相同,不管元素的顺序如何,都是相同的组合;只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合. (2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个

排列组合基础知识及解题技巧

排列组合基础知识及习题分析 排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中,任取m (m≤n)个元素,有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二: 其一是看问题是有序的还是无序的?有序用“排列”,无序用“组合”; 其二是看问题需要分类还是需要分步?分类用“加法”,分步用“乘法”. 分类:“做一件事,完成它可以有n类方法”,这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次,分类时要注意满足两条基本原则:①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步:“做一件事,完成它需要分成n个步骤”,这是说完成这件事的任何一种方法,都要分成n个步骤.分步时,首先要根据问题的特点,确定一个可行的分步标准;其次,步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后,这件事才算最终完成. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点: 1.有限制条件的排列问题常见命题形式: “在”与“不在” “邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法: ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”,可把两个以上的元素当做一个元素来看,这是处理相邻最常用的方法. ⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. ⑶“在”与“不在”问题,常常涉及特殊元素或特殊位置,通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列,可以先不考虑顺序限制,等排列完毕后,利用规定顺序的实情求出结果. 2.有限制条件的组合问题,常见的命题形式: “含”与“不含” “至少”与“至多” 在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”. 3.在处理排列、组合综合题时,通过分析条件按元素的性质分类,做到不重、不漏,按事件的发生过程分步,正确地交替使用两个原理,这是解决排列、组合问题的最基本的,也是最重要的思想方法. ***************************************************************************** 习题 1、三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数为( C ) (A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个 2、(1)将4封信投入3个邮筒,有多少种不同的投法? (2)3位旅客,到4个旅馆住宿,有多少种不同的住宿方法? (3)8本不同的书,任选3本分给3个同学,每人一本,有多少种不同的分法? 3、七个同学排成一横排照相. (1)某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种?(3600) (2)某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种?(1440) (3)甲不在排头或排尾,同时乙不在中间的不同排法有多少种?(3120) (4)甲、乙必须相邻的排法有多少种?(1440) (5)甲必须在乙的左边(不一定相邻)的不同排法有多少种?(2520)

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合 (一)典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种, 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是: 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题: 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

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