二次根式知识点复习
【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根
式。二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。
【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。 例1 下列各式（22211
(1)
(2)5(3)2(4)4(5)()(6)1(7)2153
x a a a --+---+ 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2 使x ＋
1
x-2
有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠2 C ．x>2 D ．x ≥0且x ≠2．[来源:学*科*网Z*X*X*K] 例3 若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 练习1使代数式
4
3
--x x 有意义的x 的取值范围是 练习2若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为 例4 若230a b -+-=，则 2
a b -= 。
例5 在实数的范围内分解因式：X 4
- 4X 2
+ 4= ________ 例6 若a 、b 为正实数，下列等式中一定成立的是（ ）： A 、a 2
+b 2
=a 2
+b 2
； B 、（a 2
+b 2
）2
=a 2
+b 2
；
C 、（ a + b ）2= a 2+b 2；
D 、（a —b ）2
=a —b ；
【知识点2】二次根式的性质：
（1）二次根式的非负性，)0(0≥≥a a 的最小值是0；也就是说a （
）是一个非
负数，即)0(0≥≥a a 。
注：因为二次根式)0(0≥≥a a 表示a 的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如
若0a b +=，则a=0,b=0；若0a b +=，则a=0,b=0；若2
0a b +=，则a=0,b=0。 （2）2()a a =（
） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非
负数。注：二次根式的性质公式2()a a =（）是逆用平方根的定义得出的结论。上
面的公式也可以反过来应用：若，则2()a a =，如： 22(2)=
（3）
例7 a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2
)(____________.
例8 把(2-x)2
1
-x 的根号外的（2-x ）适当变形后移入根号内，得 例
9 若二次根式
26x -+有意义，化简│x-4│-│7-x │
= 。
例10 已知x 、y 是实数，且满足y=x —6 +6—x +1试求9x —2y 的值
例11 若实数a 满足a 2
+a=0,则有 例12 下列命题中，正确的是（ ）
A ．若a>b ，则 a > b
B ．若 a >a ，则a>0
C ．若|a|=( b )2，则a=b
D ．若a 2
=b ，则a 是b 的平方根
例13 24n 是整数，则正整数n 的最小值是（ ）
A 、4；
B 、5；
C 、6；
D 、7． 例14 实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么2a b a --的结果是什么？
例15 已知已知17a a
+
=,则1
a a -=
练习1. 若y x x x =-+-+36633
，则10x ＋2y 的平方根为_________ 练习2 若y x x =+-+-23322试求y
x 的值。
练习3 若2440x y y y -+-+=，求xy 的值
专题二 二次根式的乘除
【知识点1】二次根式的乘法法则：)0,0(≥≥=?b a ab b a 。将上面的公式逆向运用
可得：)0,0(≥≥?=
b a b a ab 积的算术平方根，
等于积中各因式的算术平方根的积。 例1 化简（1）2442(00)a b a b a b +≥，≥＝________．（2）1
a a
-=__________ 例2 下列各式中不成立的是（ ）
Ａ．2
(4)()2x x --=
Ｂ．224024641632-=?= Ｃ．2
55411999??
-=-=- ???
Ｄ．(62)(62)4+-=
例3 计算
533
455
156y xy x y x ????÷-?- ? ?????
例4若b>0，x<0，化简：b x 3-
b
a
【知识点2】二次根式的除法： （1）一般地，对于二次根式的除法规定
b
a
b
a =
).0,0(>≥b a 【注】分母有理化二次根式的除法运算，通常是采用化去分母中的根号的方法来进行的。分
母有理化：（1）定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（2）关键： 把分子、分母都乘以一个适当的式子，化去分母中的根号。 例5 2+3的有理化因式是________； x-
y 的有理化因式是_________．
-1x +-1x -的有理化因式是_______． 例6 若246-的整数部分为a ，小数部分为b 。求b
a 2
+的值
练习：已知111-的整数部分为a ，小数部分为b ，试求()
()111++b a 的值
【知识点3】最简二次根式：
（1）被开放数不含分母；（2）被开放数中不含开得尽方的因数或因式。 例7 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
(A)12 （B ）xy （C ）3
2
（D ）324a b 例8 已知?xy 0，化简二次根式2
y
x
x -的正确结果为_________． 例9 设a=23-，b=32-，c=25-，则a 、b 、c 的大小关系是
专题三 二次根式的加减
【知识点1】同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。. 例1在8、
1753a 、293a 、125、323a a 、30.2、-218
中，与3a 是同类二次根式的有
例2 若最简根式343a b a b -+与根式23226ab b b -+是同类二次根式，求a 、b 的值．
练习：若最简二次根式22323
m -与21
2410n m --是同类二次根式，求m 、n 的值．
【知识点2】二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的二次根式，
再将被开放数相同的根式进行合并。 例3 （1）
27)4
648(34÷+- （2）21
3904540
+-
例4 已知4x 2+y 2
-4x-6y+10=0，求（2
93x x +y 23
x y ）-（x 2
1x -5x y x ）的值．
【知识点3】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。
例5计算 （1） 22
11a a a a ?
???+-- ? ?
?
??? （2）2a b a b ab a b a b -+----
例6 若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－x
y y x +-2的值．
例7 已知x ＝2323-+，y ＝2
32
3+-，求3
2234232y x y x y x xy x ++-的值．
例8 已知a 、b 为实数，且满足233+-+-=b b a ，求b
a a
b ab +-?1
的值。
全国各地中考数学二次根式
一、选择题
1.（2012菏泽）在算式（
）□（
）的□中填上运算符号，使结果最大，这个运
算符号是（ ） A ．加号 B ．减号 C ．乘号 D ．除号 2．（2012义乌）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 3．（2012?杭州）已知m=
，则有（ ）
A ．5＜m ＜6
B ．4＜m ＜5
C ．﹣5＜m ＜﹣4
D ．﹣6＜m ＜﹣5 4．（2012泰安）下列运算正确的是（ ）
A ．2(5)5-=-
B ．21()164
--= C ．632x x x ÷= D ．325()x x =
5. （2012南充）下列计算正确的是（ ）
（A ）x 3
+ x 3
=x 6
（B ）m 2
·m 3
=m 6
（C ）3-2=3 （D ）14×7=72
6．（2012上海）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．（2012?资阳）下列计算或化简正确的是（ ）
A ． a 2+a 3=a 5
B ．
C ．
D ．
8．（2012?德州）下列运算正确的是（ ）
A ．
B ． （﹣3）2=﹣9
C ． 2﹣3=8
D ． 20
=0 9．（2012?湘潭）下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥3的是（ ）
A ． y=
B ． y=
C ． y =x ﹣3
D ． y=
10．（2012?德阳）使代数式有意义的x 的取值范围是（ ） A ． x ≥0
B ．
C ．
x ≥0且
D ． 一切实数
11．（2012?广州）已知|a ﹣1|+=0，则a+b=（ ） A ．﹣8 B ．﹣6 C ．6 D ．8
12．（2012?黔东南州）下列等式一定成立的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
=9
13. （2012湖北荆门）若与|x ﹣y ﹣3|互为相反数，则x+y 的值为（ ）
A ．3
B ．9
C ．12
D ．27
14．（2012?湘潭）下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）
A．y=B．y=C．y=x﹣3 D．y= 15．（2012?聊城）函数y=中自变量x的取值范围是（）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≥2 .
16．（2012?德阳）使代数式有意义的x的取值范围是（）
A．x≥0 B．C．x≥0且D．一切实数17．（2012攀枝花）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
二、填空题1.（2012临沂）计算：
1
48
2
= ．
2.（2012?聊城）函数y=中自变量x的取值范围是（）
3．（2012?杭州）已知（a﹣）＜0，若b=2﹣a，则b的取值范围是．4．(2012?丽水)写出一个比－3大的无理数是．
5．（2012铜仁）当x 时，二次根式1
x
有意义．
6．（2012?梅州）使式子有意义的最小整数m是．
7．(2012?连云港)写一个比大的整数是2(答案不唯一)．．
8．（2012?德州）＞．（填“＞”、“＜”或“=”）
9．（2012?德阳）有下列计算：①（m2）3=m6，②，③m6÷m2=m3，④
，⑤，其中正确的运算．10．（2012?恩施州）2的平方根是．
11．（2012福州）若20n是整数，则正整数n的最小值为________________．12．（2012?梅州）使式子有意义的最小整数m是．
13．（2012张家界）已知，则x+y= ．
14．（2012江西）当x=﹣4时，的值是．
15．（2012临沂）计算：1
482
-= ． 16．（2012上海）方程的根是 ．
三、解答题
1.(2012?丽水)计算：sin60°＋|－3|－－．
2．（2012成都）计算：024cos458(3)(1)π-+++-
5．(2012?连云港)计算：－(－)0
＋(－1)
2012
．
6．（2012上海）．
7．（2012?德阳）计算：．
8.计算：(1)1
0231)7()2(|2|-??
?
??--+-+-π； (2)241221348+?-÷．