甘肃省兰州一中2015届高考数学三模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x||x﹣|≤}，B={x|y=lg（4x﹣x2）}，则A∩B等于（）
A．（0，2]B．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）已知函数，若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x﹣a）
恒成立，则a的值是（）
A．B．C．D．
4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S n=，S m=（m≠n），则S m+n﹣4的符号是
（）
A．正B．负C．非负D．非正
5．（5分）从平行六面体的8个顶点中任取5个顶点为顶点，恰好构成四棱锥的概率为（）
A．B．C．D．
6．（5分）设f（x）=（1+x）6（1﹣x）5，则导函数f′（x）中x2的系数是（）
A．0B．15 C．12 D．﹣15
7．（5分）设直线x+y=1与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，则△OAB 的面积为（）
A．1B．C．D．2
8．（5分）某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为（）
A．B．C．D．
9．（5分）如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入
的条件是（）
A．n＞2 B．n＞3 C．n＞4 D．n＞5
10．（5分）已知双曲线，被方向向量=（6，6）的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值为（）
A．B．C．D．2
11．（5分）函数f（x）=（x﹣a）e x在区间（2，3）内没有极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]∪ C．（﹣∞，3]D．上的最小值及相应的x值；
（Ⅱ）若存在x∈，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．
【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）
22．（10分）设AB为圆O的直径，AB=10．E为线段AO上一点，OE=AB．过E作一直线交圆O于C，D两点，使得∠CEA=45°．试求CE2+ED2的值．
【选修4-4：坐标系与参数方程．】（共1小题，满分0分）
23．设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，
Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．
【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）
24．若实数a，b满足ab＞0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．
（Ⅰ）求m的最大值；
（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．
甘肃省兰州一中2015届高考数学三模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x||x﹣|≤}，B={x|y=lg（4x﹣x2）}，则A∩B等于（）
A．（0，2]B．，
由B中y=lg（4x﹣x2），得到4x﹣x2＞0，即x（x﹣4）＜0，
解得：0＜x＜4，即B=（0，4），
则A∩B=（0，2]．
故选：A．
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，那么复数对应的点位于复平面内的（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：复数的代数表示法及其几何意义．
专题：数系的扩充和复数．
分析：由图求得z，代入后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解答：解：由图知，z=2+i，
∴，
则对应的点的坐标为（），位于复平面内的第四象限．
故选：D．
点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．（5分）已知函数，若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x﹣a）恒成立，则a的值是（）
A．B．C．D．
考点：正弦函数的对称性．
专题：计算题．
分析：由题意可得=，再由a∈（0，π），可得=+2π，
解方程求出a 的值．
解答：解：由f（x+a）=f（x﹣a）恒成立，可得=，
再由a∈（0，π），可得0＜2a＜2π，故有=+2π，∴a=．
故选D．
点评：本题考查了三角函数的周期性，要注意a∈（0，π）的范围，属于基础题．
4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S n=，S m=（m≠n），则S m+n﹣4的符号是
（）
A．正B．负C．非负D．非正
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：利用等差数列的求和公式，求出d=，a1=，再确定S m+n﹣4的符号．
解答：解：∵S n=na1+d=，S m=ma1+d=，解得d=，a1=．
∵S m+n﹣4=（m+n）a1+d﹣4=＞0（∵m≠n）．
故选：A．
点评：本题考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，确定d=，a1=是关键．5．（5分）从平行六面体的8个顶点中任取5个顶点为顶点，恰好构成四棱锥的概率为（）
A．B．C．D．
考点：古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：总的基本事件为个，可得符合题意的有12×4个，由概率公式可得．
解答：解：由题意可知四棱锥的底面可由6个侧面和6个对角面构成，
每个底面对应4个四棱锥，
故所求概率为P=．
故选：D．
点评：本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．
6．（5分）设f（x）=（1+x）6（1﹣x）5，则导函数f′（x）中x2的系数是（）
A．0B．15 C．12 D．﹣15
考点：二项式定理的应用；简单复合函数的导数．
专题：二项式定理．
分析：f′（x）中x2的系数，即f（x）中x3的系数的3倍，求得（x）中x3的系数，即可得出结论．
解答：解：f′（x）中x2的系数，即f（x）中x3的系数的3倍．
由于f（x）=（1+x）（1﹣x2）5=（1﹣x2）5+x（1﹣x2）5，
x3的系数为0﹣=﹣5，∴f（x）的解析式中含x3的项为﹣5x3，
故函数f′（x）中x2的系数是﹣15，
故选：D．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，函数的导数，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，体现了转化的数学思想，属于基础题．
7．（5分）设直线x+y=1与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，则△OAB 的面积为（）
A．1B．C．D．2
考点：直线与圆锥曲线的关系．
专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：联立直线和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后运用求根公式，求得A，B的坐标，由OA⊥OB，可得x1x2+y1y2=0，求得p，由两点的距离公式可得OA，OB的长，利用三角形的面积公式计算即可得到．
解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由x+y=1与抛物线y2=2px，得y2+2py﹣2p=0，
解得y1=﹣p+，x1=1+p﹣，y2=﹣p﹣，x2=1+p+，
由OA⊥OB得，x1x2+y1y2=0，即+=0，
化简得2p=1，即p=，
从而A（，），B（，），
|OA|2=x12+y12=5﹣2，|OB|2=x22+y22=5+2，
△OAB的面积S=|OA|?|OB|==．
故选B．
点评：本题考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程和抛物线方程联立，求得交点，运用两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．
8．（5分）某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为（）
A．B．C．D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：三视图复原几何体是长方体的一个角，设出棱长，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值．
解答：解：如图所示，可知AC=，BD=1，BC=b，AB=a．
设CD=x，AD=y，
则x2+y2=6，x2+1=b2，y2+1=a2，
消去x2，y2得a2+b2=8≥，
所以（a+b）≤4，
当且仅当a=b=2时等号成立，此时x=，y=，
所以V=××1××=．
故选D．
点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的表面积和体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．
9．（5分）如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入
的条件是（）
A．n＞2 B．n＞3 C．n＞4 D．n＞5
考点：循环结构．
专题：算法和程序框图．
分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解答：解：由框图的顺序，S=0，n=1，S=（S+n）n=（0+1）×1=1；
n=2，依次循环S=（1+2）×2=6，n=3；
n=3，依次循环S=（6+3）×3=27，n=4，
此刻输出S=27．
故判断框①处应填入的条件是n＞3，
故选B．
点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
10．（5分）已知双曲线，被方向向量=（6，6）的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值为（）
A．B．C．D．2
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题．
分析：设l与双曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减，
得，由此能求出a，b的关系，最后求得双曲线的离心
率即可．
解答：解：设l与双曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
则有，两式相减，
得，
由直线方向向量=（6，6）得k AB=1，
截得的弦的中点为（4，1），得x1+x2=4，y1+y2=2，
∴，a2=4b2得双曲线的离心率=
故选A．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质、直线与圆锥曲线的综合问题．本题考查双曲线的中点弦的求法，解题时要注意点差法的合理运用．
11．（5分）函数f（x）=（x﹣a）e x在区间（2，3）内没有极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]∪C．（﹣∞，3]D．
考点：函数在某点取得极值的条件．
专题：导数的概念及应用．
分析：由函数f（x）=（x﹣a）e x在区间（2，3）内没有极值点，可得f′（x）≥0或f′（x）≤0在区间（2，3）内恒成立，进而可得实数a的取值范围．
解答：解：∵f（x）=（x﹣a）e x，
∴f′（x）=（x+1﹣a）e x，
∵函数f（x）=（x﹣a）e x在区间（2，3）内没有极值点，
∴x+1﹣a≥0或x+1﹣a≤0在区间（2，3）内恒成立，
即a≤x+1或a≥x+1在区间（2，3）内恒成立，
∴a≤3或a≥4．
故实数a的取值范围是（﹣∞，3]∪
12．（5分）两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为（）
A．3（2﹣）πB．4（2﹣）πC．3（2+）πD．4（2+）π
考点：球内接多面体．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：设出球O1与球O2的半径，求出面积之和，利用相切关系得到半径与正方体的对角线的关系，通过基本不等式，从而得出面积的最小值．
解答：解：∵AO1=R1，C1O2=R2，O1O2=R1+R2，
∴（+1）（R1+R2）=，
R1+R2=，球O1和O2的表面积之和为4π（R12+R22）≥4π?2（）2
=2π（R1+R2）2=3（2﹣）π．
故选：A．
点评：本题是中档题，考查球与正方体相切关系的应用，考查基本不等式求解最值问题，考查计算能力，空间想象能力．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）6个儿童分坐两行，每行3人面对着做游戏，其中甲、乙二人既不对面，又不相邻的坐法有384种．（用数字作答）
考点：排列、组合及简单计数问题．
专题：排列组合．
分析：由于甲、乙是特殊元素，可先安排甲、乙，分两种情况：甲坐两端，或甲在中间两个位上找一个位子坐下，根据分类计数原理可得答案．
解答：解：由于甲、乙是特殊元素，可先安排甲、乙，分两种情况：
（1）甲坐两端，可从四个位中选一个坐下，有种，由于乙不与甲坐对面和相邻，在其他3
个位中选一个坐下有种，其余4人有种，此类有种方法．
（2）甲在中间两个位上找一个位子坐下，有种，乙应在其他两个位上找一个位子坐下有
种，其余4人有种坐法．此类坐法有种．
所以满足条件的坐法共有=384（种）．
故答案为：384．
点评：本题考查了分类和分步计数原理，特殊元素优先安排原则，属于中档题．
14．（5分）△ABC外接圆的圆心为O，且，则cos∠BAC=．
考点：数量积表示两个向量的夹角．
专题：平面向量及应用．
分析：由题意，设BC中点M，得到，结合已知，得到∠BOM=∠BAC．
解答：解：设BC边中点为M，则，由题设，
∴A、O、M共线，且AO=4OM，而∠BOM=2∠BAM，∴∠BOM=∠BAC，
即cos∠BAC=．
故答案为：．
点评：本题考查了向量共线性质的运用；关键是明确A，O与BC中点三点共线，得到
∠BOM=∠BAC．
15．（5分）如果双曲线x2﹣y2=a2经过圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=5的直径AB的两个端点，则正实数a的值等于2．
考点：双曲线的简单性质．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设点，代入作差，可得AB的方程为y=3x﹣8，与圆方程联立，利用a2=（x+y）（x ﹣y）=（4x﹣8）（8﹣2x）=8﹣8（x﹣3）2，即可求出正实数a的值．
解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线方程作差得（x1+x2）（x1﹣x2）=（y1+y2）（y1﹣y2），
∵x1+x2=6，y1+y2=2，=3，
∴AB的方程为y=3x﹣8，与圆方程联立得10（x﹣3）2=5，
∴（x﹣3）2=，
∴a2=（x+y）（x﹣y）=（4x﹣8）（8﹣2x）=8﹣8（x﹣3）2=4．
∴a=2．
故答案为：2．
点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
16．（5分）关于x的不等式有唯一整数解x=1，则的取值范围是（，1）．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：将不等式进行等价转化，利用根与系数之间的关系建立不等式组，利用线性规划的知识进行求解即可．
解答：解：∵?x2+ax+2b＜0，
∴依题意方程x2+ax+2b=0只有唯一的整数解x=1，
∴方程x2+ax+2b=0一根在内，
即函数f（x）=x2+ax+2b的图象与x轴在内各有一个交点．
∴，作出可行域，如图所示：
∵为可行域内的点（a，b）与定点P（1，2）的连线的斜率，
由图可知，k PA＜＜k PB，其中点A（﹣3，1），B（﹣1，0），
∴k PA=，k PB=1，故的取值范围是（，1）．
故答案为：（，1）．
点评：本题主要考查线性规划的应用，根据不等式的性质结合一元二次函数根与系数之间的关系进行转化是解决本题的关键．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=，a=1，求边AC上的中线BD的长．
考点：余弦定理的应用．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）利用正弦定理，条件化为2sinAcosB+sinA=0，即可求角B的大小；
（Ⅱ）利用三角形的面积公式，求出c，利用余弦定理求出b，进而可求边AC上的中线BD 的长．
解答：解：（Ⅰ）由，可得2sinAcosB+sin（B+C）=0，…（2分）即2sinAcosB+sinA=0，…（4分）
而sinA≠0，所以cosB=﹣，B=．…（6分）
（Ⅱ）解：因S=acsinB，又S=，a=1，sinB=，则c=4．…（8分）
由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得b=，…（10分）
由cosC=，得，
解得BD=．…（12分）
点评：本题考查正弦定理、余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E
分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB．
（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC1﹣D的余弦值．
考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．
专题：空间角；空间向量及应用．
分析：（Ⅰ）利用直线和平面平行的判定定理，只需要证明EF∥BD，即可证明EF∥平面BDC1；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的大小．
解答：解：（Ⅰ）证明：取AB的中点M，
∵AF=AB．
∴F为AM的中点，
又∵E为AA1的中点，
∴EF∥A1M，
在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为A1B1、AA1的中点，
∴A1D∥BM，且A1D=BM，
则四边形A1DBM为平行四边形，
∴A1M∥BD，
∴EF∥BD，
又∵BD?平面BC1D，EF?平面BC1D，
∴EF∥平面BC1D．
（Ⅱ）连接DM，分别以MB，MC，MD所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图空间直角坐标系，
则B（1，0，0），E（﹣1，0，1），D（0，0，2），C1（0，），
∴=（﹣1，0，2），=（﹣2，0，1），=（﹣1，）．
设面BC1D的一个法向量为，面BC1E的一个法向量为
，
则由，
得，取，
又由，
得，取，
则，
故二面角E﹣BC1﹣D的余弦值为．
点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判定，以及求二面角的大小，要求熟练掌握相应的判定定理．建立空间直角坐标系，利用向量坐标法是解决此类问题比较简洁的方法．
19．（12分）已知袋内有标有1～6数字的小球6个，球除标号不同外完全相同，甲、乙两人玩“摸球赢枣”的游戏，由丙做裁判，游戏规定由丙从袋中有放回的摸三次球，记第1、2、3次摸到的球的标号分别为a，b，c，然后将所得的数代入函数f（x）=ax2+bx+c，若所得到的函数无零点，则甲输一个枣给乙，若所得到的函数有零点，则乙输四个枣给甲．
（Ⅰ）记函数的零点的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据两人得枣的数学期望，该游戏公平吗？若不公平，谁吃亏？
考点：离散型随机变量的期望与方差．
专题：概率与统计．
分析：（I）利用判别式得出当△=0时，P（ξ=1）=．当△≥0时，P（ξ=2）=．P（ξ=0）
=1﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=2）=．求解概率分布问题．
（II）利用分布列得出甲得枣的数学期望，乙得枣的数学期望，判断即可．
解答：（Ⅰ）解：ξ的可能取值为0，1，2．f（x）=ax2+bx+c的判别式△=b2﹣4ac，
当△=0时，b为偶数，b=2时，a=1，c=1；
b=4时，a=1，c=4或a=2，c=2或a=4，c=1；
b=6时，a=3，c=3，
∴P（ξ=1）=．
有b≥3，b=3时，ac≤2，有3种；
b=4时，ac≤4，有9种；b=5时，ac≤6，
有14种；b=6时，ac≤9，有17种，共计43种．
∴ξ=1的情形有43﹣5=38种，
∴P（ξ=2）=．
P（ξ=0）=1﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=2）=．
∴ξ的分布列为：
ξ0 1 2
P
数学期望Eξ=．
（Ⅱ）甲得枣的数学期望是，
乙得枣的数学期望是．
∴该游戏不公平，甲吃亏．
点评：本题考查古典概型概率的求法，古典概型在实际问题中应用，结合函数的性质判断概率的求解类别，方法，公平与否要看概率是否相等，属于中档题
20．（12分）如图，椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，左焦点为F，A，B，C为
其三个顶点，直线CF与A B交于点D，若△ADC的面积为15．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在分别以AD，AC为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的圆心坐标；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（Ⅰ）由椭圆的性质离心率和焦点顶点等求得椭圆方程．
（Ⅱ）当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有A，M，N在一条直线上，且AM=AN．则M、N关于点A对称，设M（x1，y1），则N（﹣x1，8﹣y1），点M在线段AD的垂直平分线
y﹣=﹣（x+）上，可求得x1=﹣，继而求得坐标．
解答：（Ⅰ）解：设左焦点F的坐标为（﹣c，0），其中c=，
∵e=，∴a=c，b=c…（1分）
∴A（0，c），B（﹣c，0），C（0，﹣c），…（2分）
∴AB：，CF：，…（3分）
联立解得D点的坐标为（﹣c，c）…（4分）
∵△ADC的面积为15，∴|x D|?|AC|=15，即?c?2?c=15，
解得c=3，∴a=5，b=4，∴椭圆C的方程为…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（﹣，1）…（7分）
假设存在这样的两个圆M与圆N，其中AD是圆M的弦，AC是圆N的弦，
则点M在线段AD的垂直平分线上，点N在线段AC的垂直平分线y=0上…（8分）
当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有A，M，N在一条直线上，且AM=AN．
∴M、N关于点A对称，设M（x1，y1），则N（﹣x1，8﹣y1），…（9分）
根据点N在直线y=0上，∴y1=8．∴M（x1，8），N（﹣x1，0），
而点M在线段AD的垂直平分线y﹣=﹣（x+）上，可求得x1=﹣…（10分）
故存在这样的两个圆，且这两个圆的圆心坐标分别为
M（﹣，8），N（，0）…（12分）
点评：本题主要考查利用椭圆的性质求得椭圆方程和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题型，在2015届高考中经常考到．
21．（12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实数）．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间上的最小值及相应的x值；
（Ⅱ）若存在x∈，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值；
（Ⅱ）若存在x∈，f（x）≤（a+2）x成立，即a（x﹣lnx）≥x2﹣2x，构造函数g（x）=
（x∈），可将问题转化为一个函数成立问题，由此求出函数的最小值，即可得到结论．
解答：（Ⅰ）解：f（x）=alnx+x2的定义域为（0，+∞），
f′（x）=+2x=，
当x∈时，2x2∈，
若a≥﹣2，f′（x）在上非负（仅当a=﹣2，x=﹣1时，f′（x）=0），
故f（x）在上单调递增，此时f（x）min=f（1）=1；
若﹣2e2＜a＜﹣2，令f′（x）＜0，解得1≤x＜，此时f（x）单调递减；
令f′（x）＞0，解得＜x≤e，此时f（x）单调递增，
∴f（x）min=f（）=；
若a≤﹣2e2，f′（x）在上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f′（x）=0），
故f（x）在上单调递减，此时f（x）min=f（e）=a+e2，
综上所述，得a≥﹣2时，f（x）min=1，相应的x=1；
当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）min=，相应的x=；
当a≤﹣2e2时，f（x）min=a+e2，相应的x=e；
（Ⅱ）解：不等式f（x）≤（a+2）x可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．
∵x∈，∴lnx≤1≤x且等号不能同时成立，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，
因而a≥，x∈，令g（x）=（x∈），
则g′（x）=，
当x∈时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），∴g（x）在上是增函数，
故g（x）min=g（1）=﹣1，
∴实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，同时考查不等式存在性问题的解法，属于中档题．
【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）
22．（10分）设AB为圆O的直径，AB=10．E为线段AO上一点，OE=AB．过E作一直线交圆O于C，D两点，使得∠CEA=45°．试求CE2+ED2的值．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：选作题；推理和证明．
分析：利用垂径定理，求出CD，再利用相交弦定理，即可求CE2+ED2的值．
解答：解：∵AB=10，OE=AB．作OH⊥CD于H，则OH=OE，
CD=2==AB…（5分）
由相交弦定理知CE?ED=AE?EB=（AB﹣AB）（AB+AB）=AB2．
∴CE2+ED2=（CE+ED）2﹣2CE?ED=AB2﹣AB2=AB2=50…（10分）
点评：本题考查垂径定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
【选修4-4：坐标系与参数方程．】（共1小题，满分0分）
23．设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，
Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．
考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
专题：计算题；坐标系和参数方程．
分析：（Ⅰ）由ρ=得ρsin2θ=6cosθ，ρ2sin2θ=6ρcosθ，可得直角坐标方程，可指出
曲线是抛物线；
（Ⅱ）利用参数的几何意义，即可求|AB|．
解答：解：（Ⅰ）由ρ=得ρsin2θ=6cosθ，ρ2sin2θ=6ρcosθ，∴y2=6x．
∴曲线C表示顶点在原点，焦点在x上的抛物线…（5分）
（Ⅱ）将化为，代入y2=6x得t2﹣4t﹣12=0（*），
由（*）式解得t1=6，t2=﹣2，|AB|=|t1﹣t2|=8．…（10分）
点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用参数的几何意义解决问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．
【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）
24．若实数a，b满足ab＞0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．
（Ⅰ）求m的最大值；
（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．
考点：二分法求方程的近似解．
专题：不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）先求出a＞0，b＞0，根据基本不等式求出m的最大值即可；（Ⅱ）问题转化为2|x﹣1|+|x|≤3，解出即可．
解答：解：（Ⅰ）由题设可得b=＞0，∴a＞0，
∴a+b=a+=≥3，
当a=2，b=1时，a+b取得最小值3，
∴m的最大值为3；
（Ⅱ）要使2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，
须且只须2|x﹣1|+|x|≤3，
①x≥1时，2x﹣2+x≤3，解得：1≤x≤，
②0≤x＜1时，2﹣2x+x≤3，解得：0≤x＜1，
③x＜0时，2﹣2x﹣x≤3，解得：x≥﹣，
∴实数x的取值范围是﹣≤x≤．
点评：本题考察了基本不等式的性质问题，考察解不等式问题，求出a+b的最小值是解题的关键，本题是一道中档题．
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A. {|0}A B x x =< B. A B =R C. {|1}A B x x => D. A B =? 2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. 14 B. π8 C. 12 D. π4 3.设有下面四个命题 1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为
A.13,p p B.14,p p C.23,p p D.24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，48S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 6.621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35 7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.16 8.右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在 和两个空白框中，可以分别 填入
专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取
2020年高考数学模拟试卷汇编 专题4 立体几何（含答案解析） 1．（2020·河南省实验中学高三二测（理））现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠= ∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为 （ ） A 3 B ．36 C 3 D 3 2．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A ．16 B ．163 C ．163 D ．1283 3．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（ ） A ．若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于β B ．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β C ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥ D ．若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β 4．（2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟（理））榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，
它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑，同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，榫卯结构 中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（ ） A ．36 B ．45 C ．54 D ．63 5．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．83π3 B ．4π1633 C 16343π+ D ．43π1636．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））在平面五边形ABCD E 中，60A ∠=?，63AB AE ==BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120?，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为（ ） A ．63π B ．84π C ．252π D ．126π 7．（2020·陕西省西安中学高三三模（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
高三上期第二次周练 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=， 则数列{}n a 的前9项的和9S =（ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成， 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<< 2019年江苏省高考数学试卷 一、填空题 1.已知集合123A ，，，245B ，，，则集合A B U 中元素的个数为_______. 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ________. 3.设复数z 满足234z i （i 是虚数单位），则z 的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________. 5.袋中有形状、大小都相同的 4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量21a r ，，2a r 1，，若98ma nb mn R r r ，，则m-n 的值为______. 7.不等式 224x x 的解集为________. 8.已知tan 2，1 tan 7，则tan 的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。10.在平面直角坐标系 xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。11.数列}{n a 满足 11a ，且11n a a n n （*N n ），则数列}1{n a 的前10项和 为。12.在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线122y x 右支上的一个动点。若点P 到直线01y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。13.已知函数 |ln |)(x x f ，1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|x g x f 实根的 个数为。14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos k k k k a k ，则1201)(k k k a a 的值 为。 2020全国各地模拟分类汇编（文）：集合 【辽宁抚顺二中2020届高三第一次月考文】1．“lg lg x y >”是“1010x y >”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【辽宁省瓦房店市高级中学2020届高三10月月考】已知集合}1|1||{<-=x x M ， )}32(log |{22++==x x y y N 则=N M I （ ） A ．}21||{<≤x x B ．}20||{< 2019年高考数学试卷及答案 一、选择题 1．()22 x x e e f x x x --=+-的部分图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ） C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+ 4．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a b a b αβ??，，，则αβ∥ D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥ 5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( ) A ． B ． C ． D ． 6．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 7．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆 229x y +=内的概率为（ ） A ． 536 B ． 29 C ． 16 D ． 19 8．在ABC ?中，60A =?，45B =?，32BC =，则AC =（ ） A ． 3 B ．3 C ．23 D ．43 9．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为 A ．15- B ．9- C ．6- D ．0 10．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 11．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 高考理科数学数学导数专题复习 高考数学导数专题复习 考试内容 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数． 利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立 考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义． （3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数． （4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值． （5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． （6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点 导数导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注： ①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ??= ??| |，当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时，1-=??x y ，故x y x ??→?0lim 不存在. 注： ①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义和物理意义： 第 1 页 共 26 页 2021年高考数学模拟试卷汇编：立体几何 1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ） A ．12 B ．2 C ．23 D ．163 2．（2020届河南省六市高三第一次模拟）已知圆锥的高为33，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A ． 53 B ．329 C ．43 D ．259 3．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=?，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC V 的外心，则2PC =；②ABC V 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=?时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π?? ??? ；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC V 内轨迹的长度为2．其中正确的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．（2020届河南省濮阳市高三模拟）在四面体P ABC -中，ABC V 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A ．811B ．10C ．24 D ．1635．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三二联）已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ） A ．23 B ．43 C ．83 D ．163 6．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三一联）已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形， 2018年高考数学(理科)模拟试卷(二) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷(选择题满分60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2016年北京)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝() A．{0,1} B．{0,1,2} C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2} 2．已知z为纯虚数，且z(2＋i)＝1＋a i3(i为虚数单位)，则复数a＋z在复平面内对应的点所在的象限为() A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 3．(2016年新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图M2-1.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是() A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均气温高于20 ℃的月份有5个 图M2-1 图M2-2 4．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，k )，若a 与b 共线，则||3a ＋b ＝( ) A ．3 B ．4 C.5 D ．5 5．函数y ＝1 2x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞) 6．阅读如图M2-2所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 7．(2014年新课标Ⅱ)如图M2-3，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) 图M2-3 A.1727 B.59 C.1027 D.13 8．已知F 1，F 2分别为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，离心率为5 3，过原点的直线l 交双曲线左、右两支分别于A ，B ，若|BF 1|－|AF 1|＝6，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 218－y 2 32＝1 C.x 29－y 225＝1 D.x 236－y 2 64＝1 9．若函数f (x )＝???? ? x －a 2x ≤0，x ＋1x ＋a x >0的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2] D ．[0,2] 1997年全国统一高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（） A ．{x|0≤x＜ 1} B ． {x|0≤x＜ 2} C ． {x|0≤x≤1}D ． {x|0≤x≤2} 考点：交集及其运算． 分析：解出集合N中二次不等式，再求交集． 解答：解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B 点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（） A ．﹣6 B ． ﹣3 C ． D ． 考点：直线的一般式方程与直线的平行关系． 专题：计算题． 分析： 根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行， ∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6． 故选A． 点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（） A ．B ． C ． D ． 考点：正切函数的图象． 专题：综合题． 分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（） 的最小正周期为2π，排除B． 解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D ∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B 故选A 点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC ﹣A的大小为（） A ．B ． C ． D ． 考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题． 专题：计算题． 分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的 其它边与角的关系，解三角形进行求解． 解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等， 且AB=AC=， 得PB=PC=，PA=BC=2， 取BC的中点E，连接AE，PE， 则∠AEP即为所求二面角的平面角． 且AE=EP=， ∵AP2=AE2+PE2， ∴∠AEP=， 故选C． 点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过 程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（） A ．B ． πC ． 2πD ． 4π 考点：三角函数的周期性及其求法． 分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案． 解答： 解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x =sin（2x+θ） ∴T==π 高考数学高三模拟考试试卷压轴题分项汇编专题03 导数（含解析）理 1. 【高考北京理第7题】直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )． A．4 3 B ．2 C． 8 3 D． 162 3 【答案】C 考点：定积分. 2. 【高考北京理第12题】过原点作曲线x e y=的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为. 【答案】(1,)e e 考点：导数的几何意义。 3. 【高考北京理第12题】如图，函数() f x的图象是折线段ABC， 其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64) ，，，，，，则((0)) f f=； 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4 (1)(1) lim x f x f x ?→+?-=? ．（用数字作答） 【答案】 2 2 考点：函数的图像，导数的几何意义。 4. 【高考北京理第13题】已知函数2 ()cos f x x x =-，对于ππ22??-???? ，上的任意12x x ，，有如下条件： ①12x x >； ②22 12x x >； ③12x x >． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ． 【答案】② 考点：导数，函数的图像，奇偶性。 5. 【高考北京理第11题】设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为_________. 【答案】1- 考点：导数的几何意义。 6. 【高考北京理第15题】（本小题共13分） 已知函数.93)(2 3 a x x x x f +++-= （Ⅰ）求)(x f 的单调减区间； （Ⅱ）若)(x f 在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 【答案】 高考理科数学模拟试卷（含答案） 本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后,只将答题卡交回. 第Ⅰ卷 (选择题,共60分) 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合2 {1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则A B =I (A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数1 1i z = +,则||z = (A) 2 (B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2 ()2,f x x =-则((1))f f = (A)1- (B)2- (C)1 (D)2 4. 已知单位向量12,e e 的夹角为 2π 3 ,则122e e -= (A)3 (B)7 5. 已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是 (B) 3 (C)10 (D)10 9 6. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的 新高考数学试卷及答案 一、选择题 1．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由2 222 ()110(40302030),7.8()()()()60506050 n ad bc K K a b c d a c b d -??-?= =≈++++???算得 附表： 2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 2．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27 B ．11 C ．109 D ．36 3．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i B ．-1+3i C ．3+i D ．-1+i 4．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B) P 等于（ ） A ． 49 B ． 29 C ． 12 D ． 13 5．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．22y x =± C ．3y x =± D ．2y x =± 6．下列各组函数是同一函数的是（ ） ①()32f x x = -与()2f x x x =-；()3f x 2x y x 2x 与=-=-②()f x x =与 ()2g x x =； ③()0 f x x =与()0 1g x x = ；④()221f x x x =--与()2 21g t t t =--． A ．① ② B ．① ③ C ．③ ④ D ．① ④ 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 x π =对称的函数是（ ） A ．2sin 23y x π?? =+ ?? ? B ．2sin 26y x π?? =- ?? ? C ．2sin 23x y π?? =+ ?? ? D ．2sin 23y x π? ? =- ?? ? 8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2 π )的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( ) A ．2，－ 3 π B ．2，－ 6 π 1992年全国统一高考数学试卷（理科） 一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分） 1．（3分） 的值是（ ） A ． B ． 1 C ． D ． 2 2．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ） A ． 4 B ． 2 C ． D ． 3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ） A ． 2 B ． C ． 1 D ． 4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x 的一个解是（ ） A ． 10° B ． 20° C ． 50° D ． 70° 5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（ ） A ． 6：5 B ． 5：4 C ． 4：3 D ． 3：2 6．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2 B ． 2，，﹣，﹣2 C ． ﹣，﹣2，2， D ． 2 ，，﹣2，﹣ 7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ） A ． 0＜a ＜b ＜1 B ． 0＜b ＜a ＜1 C ． a ＞ b ＞1 D ． b ＞a ＞1 8．（3分）直线（t 为参数）的倾斜角是（ ） A ． 20° B ． 70° C ． 45° D ． 135° 9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 10．（3分）圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A ． x 2+y 2﹣x ﹣2y ﹣=0 B ． x 2+y 2+x ﹣2y+1=0 C ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+1=0 D ． x 2+y 2﹣x ﹣ 2y+=0 11．（3分）在（x 2+3x+2）5的展开式中x 的系数为（ ） A ． 160 B ． 240 C ． 360 D ． 800 12．（3分）若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a 的x 的范围是（ ） A ． [0，arcsina ] B ． [arcsina ，π﹣arcsina ] C ． [π﹣arcsina ，π] D ． [arcsina ，+arcsina ] 13．（3分）已知直线l 1和l 2的夹角平分线为y=x ，如果l 1的方程是ax+by+c=0，那么直线l 2的方程为（ ） A ． b x+ay+c=0 B ． a x ﹣by+c=0 C ． b x+ay ﹣c=0 D ． b x ﹣ay+c=0 14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ） A ． B ． C ． D ． 15．（3分）已知复数z 的模为2，则|z ﹣i|的最大值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． D ． 3 16．（3分）函数y=的反函数（ ） A ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是减函数 B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数 C ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是增函数 D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数 17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ） A ． f （2）＜f （1） B ． f （1）＜f （2） C ． f （2）＜f （4） D ． f （4）＜f （2） 全国百套高考数学模拟试题分类汇编 08圆锥曲线 二、填空题 1、(启东中学高三综合测试二)已知抛物线ｙ2＝a(x+1)的准线方程是x= 3,那么抛物线的焦点坐标是______. 答案：(1，0) 2、(启东中学高三综合测试三)已知动圆P 与定圆C ：(x+2)2+y2=1相外切，又与定直线L ：x=1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是：。答案：y2=－8x 3、(皖南八校高三第一次联考)已知P 为双曲线19 162 2=-y x 的右支上一点，P 到左焦点距离为12，则P 到右准线距离为______；答案： 5 16 4、(北京市东城区高三综合练习一）已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为F1，F2，若在 双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为. 答案：1＜e≤2 5、(北京市东城区高三综合练习二)已知椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点分别为F1，F2，点P 为椭圆上一点，且 ∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，则椭圆的离心率e=. 答案：3－1 6、(北京市丰台区4月高三统一练习一)过双曲线M ：2 2 21y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l,若l 与双曲 线M 的两条渐近线相交于B 、C 两点 , 且AB BC =, 则双曲线M 的离心率为_____________. 答案：10 7、(北京市海淀区高三统一练习一)若双曲线192 22=-y a x ()0a >的一条渐近线方程为023=-y x ，则a=__________. 答案：2 8、(北京市十一学校高三数学练习题)已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+ e R b a b y a x 的离心率，则一条渐近线 与实轴所构成的角的取值范围是_________． 答案：[π4,π 3 ]. 解析：依题意有2c a ≤≤，∴2224c a ≤≤，即22224a b a -≤≤，∴22 13b a ≤≤，得1b a ≤≤，∴ 4 3 π π θ≤≤ 9、(北京市西城区4月高三抽样测试)已知两点(1 0)A ，，(0)B b ，，若抛物线2 4y x =上存在点C 使ABC ?为等边三角形，则b ＝_________ . 绝密★启用前 试题类型： 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. （1）设集合{}{} (x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T=（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则 41 i zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则∠ABC=（ ） (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是（ ） (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于200 C 的月份有5个 （5）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= （ ） (A) 6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 （6）已知4 3 2a =，25 4b =，13 25c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ） （A ）3高考数学试卷及答案-Word版
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