数学建模与数学实验
实验报告
班级 : 数学师153 ：付爽
学号：1502012060 实验名称 : 数列极限与函数极限
基础实验
基础实验一 数列极限与函数极限
第一部分 实验指导书解读
一、实验目的
从徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。 二、实验使用软件 Mathematic 5.0
三．实验的基本理论即方法 1割圆术
中国古代数学家徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率π。徽先注意到圆接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。
“割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了徽的极限思想。
以n
S 表示单位圆的圆接正1
23-?n 多边形面积，则其极限为
圆周率π。用下列Mathematica 程序可以从量和形两个角度
考察数列{n
S }的收敛情况：
m=2;n=15;k=10; For[i=2,i<=n,i++,
l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆接正1
23-?n 多边形边
长)
s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圆接正1
23-?n 多边形面积)
r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1]; Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]] ]
t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组)
ListPlot[t] (散点图) 2裴波那奇数列和黄金分割
由2110;1;0--+===n n n F F F F F 有著名的裴波那奇数列}{n F 。
如果令n
n n F F R
11
--=
，由n
F 递推公式可得出
11111
/11---+=+=+
=n n n n n
n n R F F F F F R ，]251251[511
1
++???
?
??--???
?
??+=n n n F ； 2
15lim lim 1
-==+∞
→∞→n n
n n n F F R 。
用下列Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{n
R }的收敛情况：
n=14,k=10;
For[i=3,i<=n,i++, t1=(Sqrt[5]+1)/2; t2=(1-Sqrt[5])/2;
f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定义裴波那奇数列通项)
rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1];
Print[i," ",rn," ",Rn," ",dn]; ]
t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}] ListPlot[t] 3收敛与发散的数列
数列}{1∑=-n i p i 当1>p 时收敛，1≤p 时发散；数列}{sin n 发散。 4函数极限与数列极限的关系
用Mathematica 程序
m=0;r=10^m;x0=0; f[x_]=x*Sin[1/x] Plot[f[x],{x,-r,r}] Limit[f[x],x->x0]
观察的1
sin )(-=x x x f 图象可以发现，函数在0=x 点处不连续，且
函数值不存在，但在0=x 点处有极限。 令100,,2,1,/1 ===n n a
x n
，作函数的取值表，画散点图看其子
列的趋向情况
k=10;p=25; a[n_]=1/n;
tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}] ListPlot[tf]
Limit[f[a[n]],n →Infinity,Direction →1] 分别取不同的数列n
a (要求0→n
a
)，
重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。
对于1
sin )(-=x x g ，类似地考察在0=x 点处的极限。
三、实验准备
认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步骤），为上机实验做好准备。 四、实验思路提示 3.1考察数列敛散性
改变或增大n ，观察更多的项（量、形），例如，n 分别取50，100，200，…；扩展有效数字k ，观察随n 增大数列的变化趋势，例如，k 分别取20，30，50；或固定50；或随n 增
大而适当增加。对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。
3.2考察函数极限与数列极限的关系
改变函数及极限类型，例如，考虑六种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字k，提高计算精度。要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系。
第二部分实验计划实验主要是从观察数列的敛散性，观察函数值的变化趋势来理解极限的概念，进一步体会实验的准则
1.割圆术
中国古代数学家徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率。徽先注意到圆接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。
“割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了徽的极限思想。
以nS 表示单位圆的圆接正1 2 3n 多边形面积，则其极限
为圆周率。用下列
Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{nS}的收敛情况：
m=2;n=15;k=10;
For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆接正1 23
n 多边形边长)
s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i ])^2/4],k]; (圆接正1 23
n
多
边
形
面
积) r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s [i-1];
Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]] ]
t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组) ListPlot[t] (散点图
2裴波那奇数列和黄金分割
由2110;1;0--+===n n n F F F F F 有著名的裴波那奇数列}{n F 。
如果令n
n n F F R
11
--=，由n
F 递推公式可得出
1
1111
/11---+=+=+=n n n n n n n R F F F F F R ，]251251[511
1
++???
?
??--???
?
??+=n n n F ；
2
1
5lim lim 1
-==+∞
→∞→n n
n n n F F R 。 用下列Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{n
R }
的收敛情况： n=14,k=10;
For[i=3,i<=n,i++, t1=(Sqrt[5]+1)/2; t2=(1-Sqrt[5])/2;
f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定义裴波那奇数列通项)
rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f [i]-f[i-2]/f[i-1];
Print[i," ",rn," ",Rn," ",dn]; ]
t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}] ListPlot[t]
，]251251[511
1
++???
?
??--????
??+=n n n F ； 2
1
5lim lim 1
-==+∞
→∞→n n
n n n F F R 。
3.收敛与发散的数列
数列
}
{1∑=-n
i p i 当1>p 时收敛，1≤p 时发散；数列}{sin n 发散。
4.函数极限与数列极限的关系
用Mathematica程序
m=0;r=10^m;x0=0;
f[x_]=x*Sin[1/x]
Plot[f[x],{x,-r,r}]
Limit[f[x],x->x0]
观察1
x
f的图象可以发现，函数在0=x点处不连续，
x
(-
sin
)
=x
且函数值不存在，但在0=x点处有极限。
令100,,2,1
n
x
a
=n
,
/1
=
=
n，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况
k=10;p=25;
a[n_]=1/n;
tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]
ListPlot[tf]
Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction →1]
分别取不同的数列n a(要求0→n a)，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。
对于1
x
=x
g，类似地考察在0=x点处的
sin
)
(-
三实验过程与结果
设{xn}为实数列，a 为定数，若对任给的正数b,总存在正整数N，使得当n > N 时，有|xn - a| 程序结果运行如下: 裴波那奇数列和黄金分割 1.考察数列敛散性 改变或增大n，观察更多的项（量、形），例如，n分别取50，100，200，…；扩展有效数字k，观察随n增大数列的变化趋势，例如，k分别取20，30，50；或固定50；或随n增大而适当增加。对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。 2.考察函数极限与数列极限的关系 改变函数及极限类型，例如，考虑六 种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字k，提高计算精度。要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系。 例： 用Mathematica程序 m=0;r=10^m;x0=0; f[x_]=x*Sin[1/x] Plot[f[x],{x,-r,r}] Limit[f[x],x->x0] 观察1 x x f的图象可以发现，函数在0=x点=x sin ) (- 处不连续，且函数值不存在，但在0=x点处有极限。 令100,,2,1,/1 ，作函数的取值表，画散点x a = n =n = n 图看其子列的趋向情况 k=10;p=25; a[n_]=1/n; tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}] ListPlot[tf] Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1] 分别取不同的数列 a(要求0→n a)，重做 n 上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。 对于1 g，类似地考察在0=x点处的极=x x sin ) (- 限。 四实验结论 1.以n S表示单位圆的圆接正123-?n多边形面积，则其极限为圆周率π。用下列Mathematica程序可以从量和形两个角 度考察数列{n S }的收敛情况 2.由2 1 1 ;1;0--+===n n n F F F F F 有著名的裴波那奇数列}{n F 。 令 n n n F F R 11--= ，由n F 递推公式可得 3.数列} {1∑=-n i p i 当1>p 时收敛，1≤p 时发散；数列}{sin n 发散。 4.分别取不同的数列n a (要求0→n a )，重做过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。对于
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