排列组合二项定理 知识要点
一、两个原理.
1. 分步乘法计数原理
完成一件事有n 步，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法‥‥‥，第n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1×m2×…×mn 种不同的方法 2.分类加法计数原理.
完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法‥‥‥，在第n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1＋m2＋???＋mn 种不同的方法 二、排列.
1. ?对排列定义的理解.
定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列.
如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数.
从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示.
?排列数公式：
)
,,()!
(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m
∈≤-=
+--=
注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1
111--++=?+=m n
m
n m n
m
m m
n m
n mA
A C
A A A
1
1
--=m n m n nA A 规定10==n
n n C C
2. 含有可重元素．．．．．．
的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n
其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于
!
!...!!21k n n n n n =
.
例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!
2!1)!21(=+=
n 又例如：数字
5、5、5、求
其排列个数？其排列个数1
!3!3==
n .
三、组合. 1. ?组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
?组合数公式：)!
(!!!
)
1()1(m n m n C m m n n n A
A C
m
n m m
m n m n
-=
+--=
=
?两个公式：①;m
n n m n C C -= ②m
n m n m n C C C 1
1+-=+
①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.
（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其
不同选法，分二类，一类是含红球选法有1
m n
111m n C C C --=?一类是不含红球的选法有m
n
C
）
②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有
C m n
种，依分类原理有m n m n m n C C C
1
1+-=+.
?排列与组合的联系与区别.
联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.
?①几个常用组合数公式
n
n n n n n C C C 2210=+++
11
11
1
1211
5
3
1
4
2
1
11
12++--++++++-+=
+==++=+++=+++k n k
n k n k
n m n m m
n m m
m m
m m
n n n n n n n n C
n C k nC kC C C C C C C C C C C C
②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：
)!
1(11)!
1(!43!32!21+-
=++++n n n
（利用
!
1)!
1(1!
1n n n n -
-=
-）
ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.
v. 递推法（即用m
n m n m n C C C 11+-=+递推）如：
4
13353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：n
n n n n n C C C C 222120)()()(=+++
证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为
2
2120022
11
0)
()()(n n n n n n n n n
n n n
n n n n C C C C C C
C C
C C C +++=?++?+?+?-- ，而右边n n
C
2=
四、排列、组合综合.
1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.
③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有
m
m
m n m n A A ?+-+-1
1个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m
m A 则是“局部排列”.
又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-
2
n A 2
2
11A A n ?-.
②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2
2
1
1
A A
n n ?--.
③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有1
1
2--?n n n
A A
.
注：①③区别在于①是确定的座位，有22
A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.
④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.
例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？
m
m n m
n m n A A 1+---?（插空法），当
n – m+1≥m, 即m≤2
1+n 时有意义.
⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行
全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m
m A 种，
由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有
m m
n
n A A 种排列方法.
例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？ 解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分
配法）m m n n
A A /. ⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有
k
k
n n
n n
k n
kn
A C
C
C
)1(-?.
例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有
3!
22
4
=C
（平
均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （!
2/10202
2
8
18C C C P =
）
注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有m
m m
m n m
n m n A A A /1+---?，当n – m+1 ≥m, 即m≤2
1+n 时有
意义.
⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.
例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为
4
321,,,x x x x 显然
12
4321=+++x x x x ，故
（
1,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟个球之间插入隔板的方式（如图 所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数3
11
C .
注意：若为非负数解的x 个数，即用
n
a a a , (21)
i
a 等于
1
+i x ，有
A a a a A x x x x n n =-+-+-?=+++1...11...21321，进而转化为求
a 的正整数解的个数为
1
-+n n A C .
⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有r
k r n r r A A --.
例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？
固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或1111
1----?+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有m
n A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）
⑩指定元素排列组合问题.
i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个
元素都包含在内 。先C 后A 策略，排列k k r k r n r r A C C --；组合r
k r n r r C C --.
ii. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合），规定某r 个元素都不包含在内。先C 后A 策略，排列k k k r n A C -；组合k r n C -.
iii 从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合），规定每个排列
1x 2x 34
（或组合）都只包含某r 个元素中的s 个元素。先C 后A 策略，排列k
k s k r n s r A C C --；组合s
k r
n s
r C
C --.
II. 排列组合常见解题策略：
①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；
⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题.
①均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，假定其中r 组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为r r A A /（其中A 为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K 组均匀分组应再除以k k
A .
例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为1575/2
244
48210=A C C C .若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为
4
42
22
22
42
62
81
91
10/A A C C C C C C ?
②非均匀编号分组: n 个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为m m
A A ?
例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方
法为：3
35538210A C C C ???种.
若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排
方法有3
34538210A C C C ?种
③均匀编号分组：n 个不同元素分成m 组，其中r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为m
m
r
r
A A
A ?/.
例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为
3
322
44
4
82
10A A C
C C ?
④非均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为
1m n C A =21m
m -n C …k m
)m ...m (m -n 1-k 21C +++
例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为2520
5
538210
=C C C
若从
10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为12600
3
7291
10
=C C C
.
五、二项式定理.
1. ?二项式定理：n
n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .
展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项；
② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C
③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.
?二项展开式的通项.
n
b a )
+（展开式中的第1+r 项为：)
,0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤
=-+.
?二项式系数的性质.
①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n 是偶数时，中间项是第
12
+n 项，它的二项式系数2
n
n
C
最大；
II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第
2
1+n 项和第
12
1++n 项，它们的二项式系
数212
1
+-=n n
n n C
C
最大.
③系数和：
1
3
1
4
2
1
2
2
-=++=+++=+++n n n n n n n n
n n n C C C C C C C C
附：一般来说b a by ax n ,()(+为常数）在求系数最大的项或最小的项．．．．．．．．．．．时均可直接根据性质二求解. 当
1
1≠≠b a 或时，一般采用解不等式组
1
11
11(,+-+-+???≤≤??
?≥≥k k k k
k k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解.
?如何来求n c b a )(++展开式中含r q p c b a 的系数呢？其中,,,N r q p ∈且n r q p =++把
n
n
c b a c b a ]
)[()(++=++视为二项式，先找出含有r C 的项r
r n r n C b a C -+)(，另一方面在
r
n b a -+)
(中含有q b 的项为q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=，故在n c b a )(++中含r q p c b a 的项为
r
q
p
q
r n r n c
b a C C -.其系数为r
r
q p n p
n q
r n r n C C
C p q r n q r n q r n r n r n C C --==
---?
-=
!
!!!)!
(!)!
()!(!!
.
2. 近似计算的处理方法.
当a 的绝对值与1相比很小且n 不大时，常用近似公式na a n +≈+1)1(，因为这时
展开式的后面部分n n n n n a C a C a C +++ 3322很小，可以忽略不计。类似地，有
na
a n
-≈-1)1(但使用这两个公式时应注意a 的条件，以及对计算精确度的要求.
二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式； 另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了 二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素 例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++ 等于 （ ） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 例2．（1）求7 (12)x +的展开式的第四项的系数； （2）求9 1()x x -的展开式中3 x 的系数及二项式系数
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定： 组合数性质： .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011 =+++=+=+--…… ，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
m m m n ! n m 知识内容 1. 基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m 1 种不同的方法，在第二类办法中 有 m 2 种方法，……，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步骤，做第一个步骤有 m 1 种不同的方法，做第二个 步骤有 m 2 种不同方法，……，做第 n 个步骤有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2. ⑴排列：一般地，从 n 个不同的元素中任取 m (m ≤ n ) 顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 个元素的一个排列．（其中被取的象叫做元素） 排列数：从 n 个不同的元素中取出个元素的排列数，用符号 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 排列数公式： ， m ， n ∈ N + ，并且 m ≤ n ． 全排列：一般地， n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1 到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 ⑵组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出个元素的一个组合． 表示．规定： 0! = 1 ． 个元素并成一组，叫做从 n 个元素中任取个 组合数：从 n 个不同元素中，任意取出任意取出 m 个元素的组合数，用符号 表示． 元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中， 组合数公式： ， m , n ∈ N + ，并且 m ≤ n ． 1 / 20 排列组合问题的常用方法总 结 1 m (m ≤ n ) m ! C m n = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) = n C m n ! m !(n - m )! (m ≤n ) m (m ≤ n ) N = m 1 ? m 2 ? ? m n N = m 1 + m 2 + + m n A m n 表示． A m = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) n
二项式定理知识点及11种答题技巧 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的 次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系 数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
排列组合知识点汇总及典型例题(全)
一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集， 所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分 类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （43．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 （5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。 解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法； （6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。 （7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 （8）．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数； ③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。 4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题： 均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。 混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4．分配问题： 定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。
/////////解决排列组合问题常见策略 学习指导 1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的。 较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列。 排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧。 集合是常用的工具之一。为了将抽象问题具体化，可以从特殊情形着手，通过画格子，画树图等帮助理解。 “正难则反”是处理问题常用的策略。 常用方法： 一. 合理选择主元 例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同 的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。 二. “至少”型组合问题用隔板法 对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。 例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？ 解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有： （种） 三. 注意合理分类 元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。再用分类计数原理求出总数。 例6. 求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。解：比2015大的四位数可分成以下三类： 第一类：3×××，4×××，5×××，共有：（个）； 第二类：21××，23××，24××，25××，共有：（个）； 第三类：203×，204×，205×，共有：（个） ∴比2015大的四位数共有237个。
排列组合知识点与方法归纳 一、知识要点 1.分类计数原理与分步计算原理 （1）分类计算原理（加法原理）： 完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办 法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完 成这件事共有N= m1+ m2+…+ m n种不同的方法。 （2）分步计数原理（乘法原理）： 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有 N= m1× m2×…× m n种不同的方法。 2.排列 （1）定义 从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的排列数，记为 . （2）排列数的公式与性质 a)排列数的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）= 特例：当m=n时， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1规定：0！ =1 b)排列数的性质： （Ⅰ） =（Ⅱ） （Ⅲ） 3.组合 （1）定义
a)从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个组合 b)从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。 （2）组合数的公式与性质 a)组合数公式：（乘积表示） （阶乘表示） 特例： b)组合数的主要性质： （Ⅰ）（Ⅱ） 4.排列组合的区别与联系 （1）排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。 （2）注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系： 二、经典例题 例1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式是（） A .5种 B.6种 C. 7种 D. 8种 解：注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论：第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有1种方法；第二类，再买2片软件，不买磁盘，只有1种方法； 第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2种方法；第四类，不买软件，再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有3种方法；于是由分类计数原理可知，共有
排列组合解题技巧归纳总结 教学内容 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =++ + 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =?? ? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其 它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 5 22480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ C 14A 34C 1 3
二项式定理知识点总 结
二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110（*∈N n ）等号右边的多项式 叫做()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设 x b a ==，1，则()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+-ΛΛ101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素 例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++Λ等于 （ ） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.314-n 例2．（1）求7(12)x +的展开式的第四项的系数；
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取mm≤n个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 pn,m表示. pn,m=nn-1n-2……n-m+1= n!/n-m!规定0!=1. 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取mm≤n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 cn,m 表示. cn,m=pn,m/m!=n!/n-m!*m!;cn,m=cn,n-m; 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=pn,r/r=n!/rn-r!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/n1!*n2!*...*nk!. k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为cm+k-1,m. 排列Pnmn为下标，m为上标 Pnm=n×n-1....n-m+1;Pnm=n!/n-m!注：!是阶乘符号;Pnn两个n分别为上标和下标=n!;0!=1;Pn1n为下标1为上标=n 组合Cnmn为下标，m为上标 Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!n-m!;Cnn两个n分别为上标和下标 =1 ;Cn1n为下标1为上标=n;Cnm=Cnn-m 加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。 两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。 排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。
排列组合常用方法总结 排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是，请参考！ 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何
一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定。 又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。 例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入 （一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。
二项式定理高考知识点总结 1．求103 )1 (x x -展开式中的常数项 2．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为4 9,求常数a 的值 ３.求84)21(x x +展开式中系数最大的项; 4.若n x x )21 (-+的展开式的常数项为－20．求n .
５求当25 (32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数? 6.已知n x x )21(4?+ 的展开式前三项中的x 的系数成等差数列. (1)求展开式中所有的x 的有理项； （2)求展开式中系数最大的项. 7. 已知二项式n x x )2(2 -,(n ∈N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：１， (1）求展开式中各项的系数和 （2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 8.求6 998.0的近似值,使误差小于001.0；
9．求证：15151 -能被7整除。 １0．求证:３2n ＋ 2-８n-9能被64整除. 11 求9192除以100的余数. 1２ 求证：C n 0＋21C n 1+31C n 2+…+11+n C n n ＝1 1+n (２n+1－1）. 1３ 计算c C C C n n n n n n n 3)1( (279313) 2 1 -++-+-； 14.求值：
１5、已知数列{a n }（n 为正整数)是首项为a 1,公比为q 的等比数列。 （1)求和：;,3 342331320312231220 2 1C a C a C a C a C a C a C a -+-+- (2）由(1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明； （３)设q ≠1,S n 是等比数列｛ａn }的前ｎ项和,求: . )1(134231201n n n n n n n n C S C S C S C S C S +-++-+- 16．规定! )1()1(m m x x x C m x +--= ,其中x ∈R ，m 是正整数,且10=x C ，这是组合数m n C （n 、 m 是正整数,且m ≤n )的一种推广. (1) 求3 15-C 的值； (2） 设x >０，当x 为何值时，213)(x x C C 取得最小值？ (3) 组合数的两个性质; ①m n n m n C C -=． ②m n m n m n C C C 11+-=+． ?是否都能推广到m x C (ｘ∈R,m 是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由．
排列组合与二项式定理知识点
第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．． 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： ) ,,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C
2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排 列个数等于! !...!!2 1 k n n n n n =. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3 ! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列 个数1!3!3==n . 三、组合. 1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式： )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -= +--==Λ ⑶两个公式：①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ ①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合. （或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一
两个计数原理与排列组合知识点及例题两个计数原理内容 1、分类计数原理： 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法. 2、分步计数原理： 完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法. 例题分析 例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。现要配成一荤一素一汤的套餐。问可以配制出多少种不同的品种？ 分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤） 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 解：属于分步：第一步配一个荤菜有3种选择 第二步配一个素菜有5种选择 第三步配一个汤有2种选择 共有N=3×5×2=30（种） 例2 有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书。 （1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？ （1）分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？ 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算。 解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择 第二类从下层取一本书有4种选择 共有N=5+4=9（种） （2）分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？ 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择 第二步从下层取一本书有4种选择 共有N=5×4=20（种） 例3、有1、2、3、4、5五个数字. （1）可以组成多少个不同的三位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的三位数？ （3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？ （1）分析： 1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？（配百位数、配十位数、配个位数） 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 略解：N=5×5×5=125（个） 【例题解析】 1、某人有4条不同颜色的领带和6件不同款式的衬衣，问可以有多少种不同的搭配方法？
二项式定理知识点总结 1．二项式定理公式： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。 各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是0 1 2 ,,,,,,. r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * +=++++++∈L L
令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 0,n n n C C =·1 k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：0242132111222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： 00112220120120011222021210 01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L n n L n n n L 024135(1)(1),() 2 (1)(1),() 2 n n n n n n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=n n n n L n n n n n n n n n n L n n n n n n n ⑤二项式系数的最大项： 如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数21 2n n n C T +=取得最大值。
高中数学排列组合知识 点 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
排列组合 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有m 种不同 的方法，…，做第n 步有n m 不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花 盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元 素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好 的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不 同顺序共有54 56A A 种 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进 行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种 数是：73 73/A A
排列组合常用方法总结 导读：排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是排列组合常用方法总结，请参考！ 排列组合常用方法总结 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法
中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定， 又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。 例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?