第一章预备知识6 1.3快速计算常系数线性递推数列的第N项
1.3.1快速计算等比数列的第N项
由等比数列的通项公式a n=a1q n?1可知，要快速求得a n,我们只需快速计算出q n?1。计算q n?1可以使用快速幂运算，把n?1二进制展开，通过计算q1,q2,q4,...,q2k可得。
Algorithm4快速幂运算Calculate q to an n power
1:function Power(q,n)
2:Result←0
3:X←q
4:Y←n
5:while Y>0do
6:if number Y then
7:Result←Result?X
8:end if
9:X←X?X
10:Y←Y div2
11:end while
12:end function
这样，我们就在O(log2N)的时间内快速计算出了等比数列的第N项。1.3.2快速计算广义Fibonacci数列的第N项
观察数列的前几项：
F3=F1+F2=a+b
F4=F2+F3=F2+(a+b)=a+2b
F5=F3+F4=(a+b)+(a+2b)=2a+3b
...
第一章预备知识7
也就是说，广义Fibonacci 数列的任意一项都是由若干个a 和若干个b 加和组成的。
能否使用矩阵乘法来解决呢？
尝试用矩阵来表示数列的递推公式：由于要知道新的一项都需要之前的两项，因此我们把相邻两项组成一个矩阵，再利用矩阵间的关系得出：
F i ?1F i = 0111 · F i ?2
F i ?1 于是：
F n ?1
F n
=
01
11 ·
F n ?2
F n ?1
=
0111 · 01
11
· F n ?3F n ?2 = 0111 2· F n ?3F n ?2 =
01
11
2·
0111 · F n ?4F n ?3 = 0111 3· F n ?4F n ?3 ...
=
01
11
n ?1· F 1F 2 这样我们就可以计算出F n 。由于
01
11
n ?1
可以在O(log 2N )的时间内求出，因此我们就顺利地在O(log 2N )的时间内求出广义Fibonacci 数列的第N 项。
1.3.3快速计算常系数线性递推数列的第N 项
通过对求解广义Fibonacci 数列的第N 项的过程我们可以发现，对于更加一般的常系数线性递推数列，我们也可以用类似的办法来解决问题：
如果已知数列{a n }的前k 项，且任一项a n 与它的前k 项间的关系，那么就可以建立一个k ?1的矩阵来表示，并建立k ?k 的矩阵来维系相邻矩阵间的关系，将k ?k 的矩阵的n ?k 次方乘上第一个矩阵即可求得数列的第n 项，具体的，如果数列的递推公式为：
a n +k =c 1a n +k ?1+c 2a n +k ?2+...+c k a n
第一章预备知识8则k?k的矩阵形态如下所示：
010 0
001 0
..
.
..
.
..
.
...
0 00001
c1c2c3···c k
该算法的时间复杂度为：O(log2(n?k))?O(矩阵乘法)=O(k3log2n)。
第二章合理运用数列的“周期性”
除常系数线性递推数列问题经常出现外，一些特殊的非线性递推数列问题在信息学竞赛中也屡见不鲜。对一般的非线性递推方程确定的数列没有通用的方法，涉及的问题也不仅仅是求通项（有时难以用显式表达出通项），往往是确定通项的某些性质。
然而，每个数列都有它的特性，这些特性往往是周期性或者存在阶段性的，对我们的解题很有帮助。本章通过两道例题，阐述如何通过深入的问题分析，合理运用“周期性”这一特点，成功化归，圆满解决问题。
2.1例一Dispute
问题描述：
数列F n满足：
F0=0
F n=g n,F
n+1
其中：g x,y=((y?1)x5+x3?xy+3x+7y)mod9973
给定n，求解F n。1
数据规模：
0 n 100000000
分析：
由于n值最大可到达108，因此单纯的递推显然难以承受。观察数列递推公式，发现它也不是线性的，不能简单地使用矩阵乘法。而细看数列的前几项：3,93,2818,968,2132,...，似乎也找不出什么规律。
1Source:Ural1309，为了方便运算，这个数列存在第0项
第二章合理运用数列的“周期性”10算法一：
在每个地方的分析都碰壁的情况下，使用暴力解决不失为一个好方法。
单纯的递推之所以无法承受，瓶颈在于n的范围太大。
如果把n缩小到一个可以忍受的范围呢？
先写一个普通程序计算出所有的F x，然后保留下所有项数是100000倍数的F x，将它计入一个list里，这样在实际计算的时候我们就可以从F ndiv100000?100000开始递推，复杂度仅为O(100000)。
小结：
“不管白猫黑猫,捉到老鼠就是好猫。”在这个角度上看，算法一不失为一个好方法。
算法二：
数列是优美的。虽说算法一解决了问题，但是它并没有很好的运用数列本身的特性。做题并不是应该为了单纯的过题而做题，我们应该精益求精。
算法一之所以能够成功，是因为它用预处理的方法有效地减少了递推的次数，而减少递推次数的方法不仅仅只有预处理一条路可走。
回想第一章第三部分的内容，如果一个数列是常系数线性递推数列，那么我们可以利用矩阵乘法快速计算出数列的第N项。按照上面的思维，本题的瓶颈在于数列的递推式不是常系数线性的。但是数列本身不是常系数线性的并不意味着他的子序列不存在着常系数线性递推关系。也许数列中相隔2项的元素间存在着常系数线性递推关系，也许是3项，也许是更多……倘若在一个合适的周期k下，元素与元素间存在着线性递推关系，那么我们就可以很好的利用这个关系求解了。
那么是否存在一个周期并且这个周期适合我们的解题呢？
再次观察数列的递推式：g x,y=((y?1)x5+x3?xy+3x+7y)mod9973，这个递推式有两处地方值得注意：
a)递推式中所有项y的指数非0即1，也就是说，如果把x看成常数，递推
式关于y是线性的。
第二章合理运用数列的“周期性”11 b)递推公式的最后取模了一个素数9973。
再细细考虑下去这两个特质给我们带来了更多的性质：
令M=9973，g n关于F n?1是线性的，并且g x,y=g x mod M,y，于是，对于同一个关于M的剩余系里的x，有F x+M=(A?f x+B)mod M，也就是说F n是有周期性的！这样我们可以用O(M)的时间算出数A,B使得F x+M=(A?f x+B)mod M,{可以特别选取x mod M=0}，继而算出F kM ，最后算出F N。
证明.令U i=(j5?j+7)mod M,V i=(?j5+j3+3?j)mod M.其中j=i mod M+1。这样一来就有:
F i+1=U i?F i+V i
故：
F KM+1=(U KM+1?F KM+V KM+1)mod M
F KM+2=(U KM+2?F KM+1+V KM+2)mod M
F KM+3=(U KM+3?F KM+2+V KM+3)mod M
...
F(K+1)M=(U(K+1)M?F(K+1)M?1+V(K+1)M)mod M
所以：
F(K+1)M=(U(K+1)M?F(K+1)M?1+V(K+1)M)mod M =(U(K+1)M?(U(K+1)M?1?F(K+1)M?2+V(K+1)M?1)+V(K+1)M)mod M
=U(K+1)M?U(K+1)M?1?F(K+1)M?2+(U(K+1)M?V(K+1)M?1+V(K+1)M)mod M
...
最后有：
F(K+1)M=(A?F KM+B)ModM
其中：
A=(K+1)M
i=KM+1
U i
第二章合理运用数列的“周期性”12
B=(K+1)M
i=KM+1
(V i
i?1
j=KM+1
U j)
因为对于k不同的取值k1,k2，
U k1?M+i=U(k1?M+i)mod M=U i=U k2?M+i
V k1?M+i=V(k1?M+i)mod M=V i=V k2?M+i
i∈[1,M],i∈N?
故A,B为定值。
这个算法计算A,B需要的复杂度为O(M)，计算F KM的复杂度为O(K)即O(NdivM)，最后计算F N复杂度为O(1)，故总的复杂度为O(NdivM)。
算法二的再优化：
在本题中O(NdivM)就是O(M)级别的，算法二已经是一个非常优秀的算法，但是如果N的范围进一步扩大的话，算法二也很快将难以承受。
能不能再优化？
既然这个数列在M这个周期下数列的递推关系是常系数线性的，那么我们就可以充分利用第一章讲到的方法快速计算。
将F KM看成一个新的数列，即：定义数列C N，满足C N=F NM。观察数列C N：
C0=0
C1=A?C0+B=(B?1)mod M
C2=A?C1+B=(A?B+B=B?(A+1))mod M
C3=A?C2+B=(A?B?(A+1)+B=B?(A2+A+1))mod M
...
C N=A?C N?1=(A?B?(A N?2+A N?1+...+1)+B=B?(A N?1+ A N?2+...+1))mod M
故C N=(B?(1?A N)/(1?A))mod M2
2运用等比数列求和公式，计算可知A不为1
第二章合理运用数列的“周期性”13
这时，如果我们单纯的计算B?(1?A N)/(1?A)再取模，会发现需要高精度运算，复杂度会变高很多，注意到M=9973是一个质数，故我们可以直接计算B?(1?A N)，用3.1节讲到的快速幂运算得出(1?A N)?B mod M，再枚举答案k看k?(1?A)mod M与之前计算的值是否相符即可。
当然最后一步还可以用ExtendedGcd在O(log2M)的时间内解决：
令x=(1?A N)?B mod M，则我们要求的是k∈[0,m?1]使k?(1?A) mod M=x：
这相当于求k∈[0,m?1]使k?(1?A)+tm=x。
先用ExtendedGcd求k?(1?A)+tm=1，那么k?x mod M即是所求。
能用上述方法的原因是M=9973是一个质数，这导致有且只有一个k满足要求：
证明.先用反证法证明不可能有超过1个数均满足要求。
如果有两个数k1,k2∈[0,m?1]均满足要求，那么就有：
k1?(1?A)=k2?(1?A)(mod M)
那么(1?A)(k1?k2)=0(mod M)
由于|1?A|因此k1?k2=0即k1=k2，矛盾。
故不存在两个数同时满足要求。
所以对于k∈[0,m?1]，k?(1?A)mod M对应于M个不同的值，即对于每个数x∈[0,m?1]，均有一个k与之对应。
至此问题得到圆满的解决，时间复杂度为O(M+log2NDivM)。
2.2例二Abs数列
问题描述：
数列F n满足：
F1=A,1 A 1018
第二章合理运用数列的“周期性”14
F2=B,1 B 1018
F n=|F n?1?F n?2|,n>2
给定n，求解F n。3
数据规模：
3 n 1018
分析：
一看到数据规模就知道我们肯定不能通过产生这个数列的前n项来求解。而由于递推公式中绝对值符号的存在，导致不同时刻递推公式的形态可能不同，有可能是F n=F n?1?F n?2，有可能是F n=F n?2?F n?1，于是我们也不能通过矩阵乘法来解决问题。
既然对着枯燥的式子我们难以产生灵感，那么不妨换一个角度，随机选取几组A,B，观察数列的前几项，看看能不能找到一些有用的东西：A=0,B=1:{0,1,1,0,1,1,0,1,1,...}
A=1,B=1:{1,1,0,1,1,0,1,1,0,...}
A=25,B=5:{25,5,20,15,5,10,5,5,0,5,5,0...}
A=65,B=26:{65,26,39,13,26,13,13,0,13,13,0...}
A=23,B=7:{23,7,16,9,7,2,5,3,2,1,1,0,1,1,0...}
...
容易发现，这些数列有一个非常明显的共同点：所有数列进行到最后都出现了一个长度为3周期。
继续观察这些数列，周期里面不为0的数x各不相同，有1，有5，有13，是什么造成了他们的不同？
把数列与A,B联系起来，不难发现：1=gcd(1,1)，5=gcd(25,5)，13=gcd(65,26)，1=gcd(23,7)...4。
x=gcd(A,B)？
3经典题
4A=0,B=1时是特殊情况，实际上如果我们把这个数列忽略掉第一项看作A=1,B=1的话一样满足这个条件
第二章合理运用数列的“周期性”15
这么多的偶然说明事情一定有着它的必然性，事实上我们的猜想也可以得到证明：
证明.首先用数学归纳法证明这个数列中的所有元素都是A,B的最大公约数的倍数：
记t=gcd(A,B)。
1)当n=1,2时，F1=A,F2=B，因为t=gcd(A,B)，显然成立。
2)假设当n=k?1,k时，结论成立，即：
F k?1=u·t,F k=v·t,u,v∈N?
那么
F k+1=|F k?F k?1|=|u·t?v·t|=|u?v|·t
因为
|u?v|∈N?
所以F k+1是依然t的倍数，即当n=k,k+1时猜想依然成立。
根据1)和2)，可知猜想对任何n∈N?都成立。
再证数列一定会在某处出现xt,xt:
在没有出现xt,xt前这个数列的趋势是递减的。
证明.因为
F k+3F k+4F k+4F k+4所以
max(F k+3,F k+4)第二章合理运用数列的“周期性”16
而这个数列元素的最小值为0，因此数列进行到后面递减的趋势一定会停止，故数列一定会出现xt,xt
最后用反证证明x=1：如果x=1,那么数列的所有元素都是xt的倍数，又因为xt>t，所以t不可能为A,B的最大公约数，矛盾，故x=1。
费了这么半天得出x=gcd(A,B)这个结论，我们得到了些什么？
观察证明的过程，再看看证明的命题，仔细联想，这与我们了解的求最大公约数的辗转相除法极为相似！那么再联系证明的过程我们可以发现，数列的前几项应该也与辗转相除法的过程有关。
把数列分成若干阶段来看5:除去最后出现周期的阶段，每个阶段的开始是x,y，而结尾是y,x mod y。
每个阶段具体的细节：
记delta=x?y，那么这段数列的发展过程如下：
x,x?d,d,x?2d,x?3d,d,x?4d,x?5d,d, (6)
又是由若干以d为结尾的3元素小段组成的。
分析到这，我们就可以构造出算法5了：
算法中用f(x,y,left)表示当前数列的前两项为x,y,求第left个位置的值。显然我们要求的答案就是f(A,B,N)
该算法的复杂度分析与辗转相除法的复杂度分析相似，同为O(log2N)。
2.3小结
在例一中我们通过找到递推公式的周期性将问题归结为了常系数线性递推数列、结合快速幂运算高效地解决了问题，而在例二中发现数列最后出现周期性这一事实展开分析，通过联想、类比辗转相除法，将问题化归、分段考虑最后高效地解决了问题。二者都从周期性上找到了突破口，缺少它我们根本无法展开深入的分析，周期性是解决这类问题的源头。
5为方便起见，如果A B，那么去掉数列的第一项，变成B,B?A，这样每个阶段的开始都是x>y
的形式
6第二项x-d就是y
国家集训队2004论文集 肖天
“分层图思想”及其在信息学竞赛中的应用 天津市南开中学肖天 【摘要】本文通过对几道信息学竞赛题的解决，提出了一种解决问题的建模思想——分层图思想。该思想通过挖掘问题性质，将原问题抽象得出的图复 制为若干层并连接形成更大的图，使本来难以用数学语言表达得图论模 型变得简明严谨，为进一步解决问题打下了良好的基础。 【关键字】分层图思想图论数学模型最短路信息学竞赛 【正文】 1 引论 人们在借助计算机解决一个实际问题时，无非就是详细地告诉计算机应该怎么做，使它能通过人们给定的输入得到人们想要的输出。由于一般的计算机只能处理数字信号，所以只有把实际问题转化为数学问题，计算机才能帮助我们。这一步就是建立数学模型。 数学模型的建立在通过计算机解决问题的过程中非常重要。它把计算机无法理解的问题加以转化，使一切事物量化，最终变为只含数学过程的问题。它是人脑与计算机沟通的桥梁。不仅如此，数学模型的好坏直接影响着人与计算机之间的信息交流，影响着计算机对问题的“理解”。好的数学模型能够抓住问题的本质，表述简捷明了，易于人们找到有效的解决方法，并通过编制程序的方式将解决方法告诉计算机；相反，对于同一个问题，如果数学模型不能抓住问题本质，人们就可能无法解决问题，或者找不到有效的方法，更不用提告诉计算机如何做了。 由于建立数学模型是为了解决问题，所以人们在做这项工作时往往希望把问题归结为已经很好解决的经典问题或若干这样问题的有机结合。这样，只要应用前人的研究成果就可以了。比如，排序、求图的单源最短路、网络流等等都是经典问题，前人不仅给出一般解法，而且对各种特殊情况和变形作了深入的研究。但事情并不总像人们希望的那样，有的问题即使可以归结为已有问题，在其中加入一些干扰因素后，原有性质就会发生改变，原来建立起的数学模型难以再用严谨的数学语言表达。这样问题中的部分图论问题可以用本文提出的“分层图思想”解决。 该思想注重对原问题性质的挖掘，通过对原问题数学模型的扩展，将干扰因素融入新的数学模型之中，恢复了模型的严谨性，进而与已解决问题产生联系，得到有效算法。
国家旅游局质量规范与管理司关于进一步规范《国际旅行社业务经营
国家旅游局质量规范与管理司关于进一步规范《国际旅行社业务经营许可证》换发及变更的通知 【法规类别】旅游综合规定 【发文字号】旅管理函[2008]16号 【发布部门】国家旅游局 【发布日期】2008.02.02 【实施日期】2008.02.02 【时效性】现行有效 【效力级别】部门规范性文件 国家旅游局质量规范与管理司关于进一步规范《国际旅行社业务经营许可证》换发及变 更的通知 （旅管理函〔2008〕16号） 各省、自治区、直辖市旅游局（委）： 为了进一步规范《国际旅行社业务经营许可证》的换发和变更，现根据《旅行社管理条例》及实施细则，就有关事项通知如下： 一、《国际旅行社业务经营许可证》有效期为三年，国际旅行社应当在《国际旅行社业务经营许可证》到期之日前的三个月内，持许可证到原颁证机关（国家旅游局）换发。 二、《国际旅行社业务经营许可证》在有效期内需要变更许可证载明事项内容的，应当在完成工商部门的变更登记之日起的相关规定期限内，持相关材料和许可证到原颁证机
关申请换发。 三、《国际旅行社业务经营许可证》损坏的，应当在相关规定期限内将损坏《国际旅行社业务经营许可证》正、副本上交颁证机关申请换发。 四、《国际旅行社业务经营许可证》遗失的，应当在遗失之日起的相关规定期限内在当地公开发行的报纸上刊登启事，并提供报纸原件向颁证机关申请换发。 五、《国际旅行社业务经营许可证》涉及变更事项的，各省（自治区、直辖市）旅游局须认真审验相关材料，并在《国际旅行社变更事项备案登记表》内签章。 附件：1、《国际旅行社业务经营许可证》变更事项所需提供材料的具体规定 2、国际旅行社变更事项备案登记表 国家旅游局质量规范与管理司 2008年2月2日附件1： 《国际旅行社业务经营许可证》变更事项 所需提供材料的具体规定
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动态规划算法的优化技巧 福州第三中学毛子青 [关键词] 动态规划、时间复杂度、优化、状态 [摘要] 动态规划是信息学竞赛中一种常用的程序设计方法，本文着重讨论了运用动态规划思想解题时时间效率的优化。全文分为四个部分，首先讨论了动态规划时间效率优化的可行性和必要性，接着给出了动态规划时间复杂度的决定因素，然后分别阐述了对各个决定因素的优化方法，最后总结全文。 [正文] 一、引言 动态规划是一种重要的程序设计方法，在信息学竞赛中具有广泛的应用。 使用动态规划方法解题，对于不少问题具有空间耗费大、时间效率高的特点，因此人们在研究动态规划解题时更多的注意空间复杂度的优化，运用各种技巧将空间需求控制在软硬件可以承受的范围之内。但是，也有一部分问题在使用动态规划思想解题时，时间效率并不能满足要求，而且算法仍然存在优化的余地，这时，就需要考虑时间效率的优化。 本文讨论的是在确定使用动态规划思想解题的情况下，对原有的动态规划解法的优化，以求降低算法的时间复杂度，使其能够适用于更大的规模。 二、动态规划时间复杂度的分析 使用动态规划方法解题，对于不少问题之所以具有较高的时间效率，关键在于它减少了“冗余”。所谓“冗余”，就是指不必要的计算或重复计算部分，算法的冗余程度是决定算法效率的关键。动态规划在将问题规模不断缩小的同时，记录已经求解过的子问题的解，充分利用求解结果，避免了反复求解同一子问题的现象，从而减少了冗余。 但是，动态规划求解问题时，仍然存在冗余。它主要包括：求解无用的子问题，对结果无意义的引用等等。 下面给出动态规划时间复杂度的决定因素： 时间复杂度=状态总数*每个状态转移的状态数*每次状态转移的时间[1] 下文就将分别讨论对这三个因素的优化。这里需要指出的是：这三者之间不是相互独立的，而是相互联系，矛盾而统一的。有时，实现了某个因素的优化，另外两个因素也随之得到了优化；有时，实现某个因素的优化却要以增大另一因素为代价。因此，这就要求我们在优化时，坚持“全局观”，实现三者的平衡。 三、动态规划时间效率的优化 3.1 减少状态总数 我们知道，动态规划的求解过程实际上就是计算所有状态值的过程，因此状态的规模直接影响到算法的时间效率。所以，减少状态总数是动态规划优化的重要部分，本节将讨论减少状态总数的一些方法。
国家旅游局关于印发《导游IC卡发放管理办法(试行)》的通知
国家旅游局关于印发《导游IC卡发放管理办法(试行)》的通 知 【法规类别】旅游服务机构导游人员管理 【发文字号】旅办发[2010]198号 【修改依据】国家旅游局办公室关于修订《导游IC卡发放管理办法(试行)》等事项的通知 【发布部门】国家旅游局 【发布日期】2010.12.28 【实施日期】2010.12.28 【时效性】已被修改 【效力级别】部门规范性文件 国家旅游局关于印发《导游IC卡发放管理办法（试行）》的通知 （旅办发（2010）198号） 各省、自治区、直辖市旅游局（委）： 为规范和加强导游IC卡发放管理工作，健全导游IC卡使用管理制度，现将《导游IC卡发放管理办法（试行）》，印发给你们，并就有关事项通知如下： 一、自2011年1月1日起，由各省、自治区、直辖市和新疆生产建设兵团旅游局（委）（以下简称“省级旅游局”）负责本地区（系统）导游IC卡的制作、颁发和监督检查工作；原有A版制版系统城市不再发放和制作导游IC卡，继续承担IC卡年审职责，系统
保留年审功能；原有B版系统的城市职责和系统功能不变。 二、请各省级旅游局通知并督促使用A版系统城市旅游局立即停止制作发放IC卡，协调配合系统开发维护单位完成对系统软硬件的调整和剩余导游IC卡的清理回收工作，于2010年12月31日前将清理情况书面报告我局。 三、自本通知发出之日起，我局只向各省级旅游局发放导游IC卡，请各省级旅游局在开展导游IC卡系统调整和IC卡清理回收工作的同时，研究制订相关管理办法，与清理工作一并报我局备案。 四、换卡、补卡收取成本费的标准为30元/张（含卡、卡套和加工制作、邮寄等全部费用），汇付账户和具体方式另行通知。 五、我局将对各省导游IC卡发放管理工作进行不定期抽查和调研工作。 《导游IC卡发放管理办法（试行）》和此通知执行中有重要情况和意见，请及时报告我局。 特此通知。 联系人：卓超美 联系电话：（010）65201338 国家旅游局办公室 二Ｏ一Ｏ年十二月二十八日 导游IC卡发放管理办法（试行） 第一条依据《导游人员管理条例》，为规范导游IC卡的发放管理，制定本办法。
国家集训队2005论文集 黄源河
左偏树的特点及其应用 广东省中山市第一中学黄源河 【摘要】 本文较详细地介绍了左偏树的特点以及它的各种操作。 第一部分提出可并堆的概念，指出二叉堆的不足，并引出左偏树。第二部分主要介绍了左偏树的定义和性质。第三部分详细地介绍了左偏树的各种操作，并给出时间复杂度分析。第四部分通过一道例题，说明左偏树在当今信息学竞赛中的应用。第五部分对各种可并堆作了一番比较。最后总结出左偏树的特点以及应用前景。 【关键字】左偏树可并堆优先队列 【目录】 一、引言 (2) 二、左偏树的定义和性质 (2) 2.1 优先队列，可并堆 (2) 2.1.1 优先队列的定义 (2) 2.1.2 可并堆的定义 (2) 2.2 左偏树的定义 (3) 2.3 左偏树的性质 (4) 三、左偏树的操作 (5) 3.1 左偏树的合并 (5) 3.2 插入新节点 (7) 3.3 删除最小节点 (8) 3.4 左偏树的构建 (8) 3.5 删除任意已知节点 (9) 3.6 小结 (12) 四、左偏树的应用 (13) 4.1 例——数字序列（Baltic 2004） (13) 五、左偏树与各种可并堆的比较 (15) 5.1 左偏树的变种——斜堆 (15) 5.2 左偏树与二叉堆的比较 (16) 5.3 左偏树与其他可并堆的比较 (16) 六、总结 (18)
【正文】 一、引言 优先队列在信息学竞赛中十分常见，在统计问题、最值问题、模拟问题和贪心问题等等类型的题目中，优先队列都有着广泛的应用。二叉堆是一种常用的优先队列，它编程简单，效率高，但如果问题需要对两个优先队列进行合并，二叉堆的效率就无法令人满意了。本文介绍的左偏树，可以很好地解决这类问题。 二、左偏树的定义和性质 在介绍左偏树之前，我们先来明确一下优先队列和可并堆的概念。 2.1优先队列，可并堆 2.1.1优先队列的定义 优先队列(Priority Queue)是一种抽象数据类型(ADT)，它是一种容器，里面有一些元素，这些元素也称为队列中的节点(node)。优先队列的节点至少要包含一种性质：有序性，也就是说任意两个节点可以比较大小。为了具体起见我们假设这些节点中都包含一个键值(key)，节点的大小通过比较它们的键值而定。优先队列有三个基本的操作：插入节点(Insert)，取得最小节点(Minimum) 和删除最小节点(Delete-Min)。 2.1.2可并堆的定义 可并堆(Mergeable Heap)也是一种抽象数据类型，它除了支持优先队列的三个基本操作(Insert, Minimum, Delete-Min)，还支持一个额外的操作——合并操作： H ← Merge(H1,H2) Merge( ) 构造并返回一个包含H1和H2所有元素的新堆H。 前面已经说过，如果我们不需要合并操作，则二叉堆是理想的选择。可惜合并二叉堆的时间复杂度为O(n)，用它来实现可并堆，则合并操作必然成为算法的瓶颈。左偏树(Leftist Tree)、二项堆(Binomial Heap) 和Fibonacci堆(Fibonacci Heap) 都是十分优秀的可并堆。本文讨论的是左偏树，在后面我们将看到各种可并堆的比较。
国家旅游局公告2006年第1号——欠缴质保金的旅行社名单
国家旅游局公告2006年第1号——欠缴质保金的旅行社名单 【法规类别】旅游服务机构导游人员管理 【发文字号】国家旅游局公告2006年第1号 【发布部门】国家旅游局 【发布日期】2006.01.04 【实施日期】2006.01.04 【时效性】现行有效 【效力级别】XE0303 国家旅游局公告 （2006年第1号） 根据我局《关于进一步做好旅行社质量保证金回收工作的通知》（[2005]105号）的要求，各地旅行社补缴质量保证金的工作基本结束。目前，全国仍有74家旅行社未能按时补齐质保金，其中组团社有16家，国际社有58家。现将74家旅行社的名单公示如下。请上述旅行社在2006年2月28日前补齐质保金，逾期将按有关规定给予降类或注销处理。 特此公告。 附：欠缴质保金的旅行社名单 国家旅游局
二00六年一月四日 附： 一、组团社名称及许可证编号（16家） 1 珠海经济特区环球国际旅行社L-GD-GJ00024 2 台山中国旅行社L-GD-GJ00139 3 湛江市旅游总公司L-GD-GJ00017 4 黑龙江省中国青年旅行社L-HLJ-GJ00009 5 伊春中国国际旅行社L-HLJ-GJ00011 6 海南港澳国际旅行社有限公司L-HAN-GJ00006 7 包头中国国际旅行社L-NMG-GJ00008 8 喀什国际旅行社有限责任公司L-XJ-GJ00006 9 开封中国国际旅行社L-HEN-GJ00006 10 广西玉林国际旅行社有限公司L-GX-GJ00024 11 北海中国国际旅行社有限公司L-GX-GJ00005 12 青海省中国青年旅行社有限责任公司L-QH-GJ00003 13 甘肃海外旅游总公司L-GS-GJ0
国家旅游局32号令
国家旅游局32号令：《旅游投诉处理办法》自2010年7月1日起施行2010-5-19 15:12:43国家旅游局政策法规司字号：[大中小]选择背景色： 国家旅游局令 第32号 《旅游投诉处理办法》已经2010年1月4日国家旅游局第1次局长办公会议审议通过。现予公布，自2010年7月1日起施行。 国家旅游局局长：邵琪伟 二○一○年五月五日 旅游投诉处理办法 第一章总则 第一条为了维护旅游者和旅游经营者的合法权益，依法公正处理旅游投诉，依据《中华人民共和国消费者权益保护法》、《旅行社条例》、《导游人员管理条例》和《中国公民出国旅游管理办法》等法律、法规，制定本办法。 第二条本办法所称旅游投诉，是指旅游者认为旅游经营者损害其合法权益，请求旅游行政管理部门、旅游质量监督管理机构或者旅游执法机构（以下统称“旅游投诉处理机构”），对双方发生的民事争议进行处理的行为。 第三条旅游投诉处理机构应当在其职责范围内处理旅游投诉。 地方各级旅游行政主管部门应当在本级人民政府的领导下，建立、健全相关行政管理部门共同处理旅游投诉的工作机制。 第四条旅游投诉处理机构在处理旅游投诉中，发现被投诉人或者其从业人员有违法或犯罪行为的，应当按照法律、法规和规章的规定，作出行政处罚、向有关行政管理部门提出行政处罚建议或者移送司法机关。 第二章管辖 第五条旅游投诉由旅游合同签订地或者被投诉人所在地县级以上地方旅游投诉处理机构管辖。 需要立即制止、纠正被投诉人的损害行为的，应当由损害行为发生地旅游投诉处理机构管辖。 第六条上级旅游投诉处理机构有权处理下级旅游投诉处理机构管辖的投诉案件。 第七条发生管辖争议的，旅游投诉处理机构可以协商确定，或者报请共同的上级旅游投诉处理机构指定管辖。 第三章受理
历年国家集训队论文题目
1999年 陈宏- 数据结构的选择与算法效率——从IOI98试题PICTURE谈起 来煜坤- 把握本质，灵活运用——动态规划的深入探讨 齐鑫- 搜索方法中的剪枝优化 邵铮- 数学模型的建立、比较和应用 石润婷- 隐蔽化、多维化、开放化──论当今信息学竞赛中数学建模的灵活性睢》?- 准确性、全面性、美观性——测试数据设计中的三要素 周咏基- 论随机化算法的原理与设计 2000年 陈彧- 信息学竞赛中的思维方法 方奇- 动态规划 高寒蕊- 递推关系的建立及在信息学竞赛中的应用 郭一- 数学模型及其在信息学竞赛中的应用 江鹏- 探索构造法解题模式 李刚- 动态规划的深入讨论 龙翀- 解决空间规模问题的几种常用的存储结构 骆骥- 数学模型的建立和选择 施遥- 人工智能在围棋程序中的应用 肖洲- 数据结构的在程序设计中的应用 谢婧- 规模化问题的解题策略 徐串- 论程序的调试技巧 徐静- 图论模型的建立与转化 杨江明- 论数学策略在信息学问题中的应用 杨培- 非最优化算法初探 张辰- 动态规划的特点及其应用 张力- 类比思想在解题中的应用 张一飞- 冗繁削尽留清瘦——浅谈信息的充分利用 2001年 高寒蕊- 从圆桌问题谈数据结构的综合运用 符文杰- Pólya原理及其应用 高岳- 中等硬度解题报告 江鹏- 从一道题目的解法试谈网络流的构造与算法 刘汝佳- 搬运工问题的启示 李益明- 计算几何的相关问题 李源- 树的枚举 骆骥- 由“汽车问题”浅谈深度搜索的一个方面——搜索对象与策略的重要性毛子青- 动态规划算法的优化技巧 俞玮- 基本动态规划问题的扩展 张一飞- 求N!的高精度算法 2002年 戴德承- 退一步海阔天空——“目标转化思想”的若干应用
国家旅游局关于放宽旅行社设立服务网点政策有关事项的通知
国家旅游局关于放宽旅行社设立服务网点政策有关事项的通知 (旅发〔2015〕211号) 各省、自治区、直辖市旅游委、局，新疆生产建设兵团旅游局： 为贯彻落实《关于促进旅游业改革发展的若干意见》(国发〔2014〕31号)精神，现就放宽旅行社设立服务网点政策有关事项通知如下： 一、放宽设立服务网点区域范围 允许设立社在所在地的省(市、区)行政区划内及其分社所在地的设区的市的行政区划内设立服务网点，不受数量限制。 在设立社所在地的省(市、区)行政区划内设立服务网点的，设立社向服务网点所在地工商行政管理部门办理服务网点设立登记后，应当在3个工作日内，持设立社营业执照副本、设立社旅行社业务经营许可证副本、服务网点的营业执照、服务网点经理的履历表和身份证明向服务网点所在地与工商登记同级的旅游主管部门备案。 旅行社在其分社所在地的设区的市的行政区划内设立服务网点的，设立社向服务网点所在地工商行政管理部门办理服务网点设立登记后，应当在3个工作日内，持设立社营业执照副本、设立社旅行社业务经营许可证副本、分社的营业执照、旅行社分社备案登记证明、服务网点的营业执照、服务网点经理的履历表和身份证明向服务网点所在地与工商登记同级的旅游主管部门备案。 二、落实分社和服务网点设立政策 各地要认真学习贯彻《国务院关于促进旅游业改革发展的若干意见》(国发〔2014〕31号)，切实按照《旅行社条例》及本通知要求，依法依规做好分社和服务网点的备案工作，不得增设或变相增设旅行社设立分社、服务网点的政策障碍。
各省级旅游主管部门要积极开展针对市、县级旅游主管部门的培训指导和监督检查，发现不依法依规开展分社和服务网点备案工作的，要及时予以纠正。 三、加强对旅行社分社和服务网点的服务监管 各地要进一步引导旅行社增强风险管控意识，审慎确定分支机构设立的数量和规模;督促设立社切实加强对分社和服务网点的管理和人员培训，依法承担经营活动的责任和后果;要加强旅游质监执法人员的培训，建立健全对旅行社分社、服务网点的事中事后监管机制，改进服务监管手段，提升服务监管水平，对发现的违法违规行为，要主动协同设立社所在地旅游主管部门进行依法查处。 国家旅游局此前发布的相关规定与本通知不一致的，依照本通知执行。 国家旅游局 2015年9月22日
NOI国家集训队论文分类(至2008)(摘抄自C博客)
NOI国家集训队论文分类（至2008） 摘抄自C博客 组合数学 计数与统计 2001 - 符文杰：《Polya原理及其应用》 2003 -许智磊：《浅谈补集转化思想在统计问题中的应用》 2007 -周冬：《生成树的计数及其应用》 2008 - 陈瑜希《Polya计数法的应用》 数位问题 2009 -高逸涵《数位计数问题解法研究》 2009 -刘聪《浅谈数位类统计问题》 动态统计 2004 -薛矛：《解决动态统计问题的两把利刃》 2007 -余江伟：《如何解决动态统计问题》 博弈 2002 -张一飞：《由感性认识到理性认识一一透析一类搏弈游戏的解答过程》2007 -王晓珂：《解析一类组合游戏》 2009 -曹钦翔《从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》 2009 -方展鹏《浅谈如何解决不平等博弈问题》 2009 -贾志豪《组合游戏略述一一浅谈SG游戏的若干拓展及变形》母函数 2009 -毛杰明《母函数的性质及应用》 拟阵 2007 -刘雨辰：《对拟阵的初步研究》 线性规划 2007 -李宇骞：《浅谈信息学竞赛中的线性规划一一简洁高效的单纯形法实现与应用》 置换群 2005 -潘震皓：《置换群快速幕运算研究与探讨》 问答交互 2003 -高正宇：《答案只有一个一一浅谈问答式交互问题》 猜数问题 2003 -张宁：《猜数问题的研究：< 聪明的学生> 一题的推广》
2006 -龙凡：《一类猜数问题的研究》 数据结构 数据结构 2005 -何林：《数据关系的简化》 2006 -朱辰光:《基本数据结构在信息学竞赛中的应 用》 2007 -何森：《浅谈数据的合理组织》 2008 -曹钦翔《数据结构的提炼与压缩》 结构联合 2001 -高寒蕊：《从圆桌问题谈数据结构的综合运用》 2005 -黄刚：《数据结构的联合》 块状链表 2005 -蒋炎岩：《数据结构的联合——块状链表》 2008 -苏煜《对块状链表的一点研究》 动态树 2006 -陈首元：《维护森林连通性——动态树》 2007 -袁昕颢：《动态树及其应用》 左偏树 2005 -黄源河：《左偏树的特点及其应用》 跳表 2005 -魏冉：《让算法的效率跳起来”——浅谈跳跃表”的相关操作及其应用》2009 -李骥扬《线段跳表——跳表的一个拓展》 SBT 2007 - 陈启峰：《Size Bala nee Tree 》 线段树 2004 -林涛：《线段树的应用》 单调队列 2006 -汤泽：《浅析队列在一类单调性问题中的应用》 哈希表 2005 - 李羽修：《Hash函数的设计优化》 2007 - 杨弋：《Hash在信息学竞赛中的一类应用》 Splay 2004 -杨思雨：《伸展树的基本操作与应用》
国家集训队2005论文集 潘震皓
置换群快速幂运算 研究与探讨 江苏省苏州中学 潘震皓 [关键词] 置换 循环 分裂 合并 [摘要] 群是一个古老的数学分支，近几年来在程序设计中置换群得到了一定的应用。本文针对置换群的特点提出了线性时间的幂运算算法，并举例说明了优化后算法的效果。 [正文] 一、引言 置换群是一种优秀的结构，在程序设计中，它的大部分基本操作，时间和空间复杂度都是线性的，甚至有的还是常数的。所以一个问题如果能够抽象归结为一个置换群模型的话，往往能够在程序设计中轻松地解决。但是对于整幂运算来说，似乎只能通过反复做乘法来获得O(k*乘法)或是O(logk*乘法)的算法；而对于分数幂运算，则找不到较好的方法实现。 二、置换群的整幂运算 2.1 整幂运算的一个转化 在置换群中有一个定理：设e T k =， （T 为一置换，e 为单位置换（映射函数为x x f =)(的置换）），那么k 的最小正整数解是T 的拆分的所有循环长度的最小公倍数。 或者有个更一般的结论：设e T k =， （T 为一循环，e 为单位置换），那么k 的最小正整数解为T 的长度。 我们知道，单位置换就是若干个只含单个元素的循环．．．．．．．．．的并。也就是说，长度为l 的循环，l 次的幂，把所有元素都完全分裂了。这是为什么呢？ 我们来做一个试验：(下面的置换均以循环的连接表示) 设n=6，那么3 26 )(T T =。任取一T=(1 3 5 2 4 6)，来做一遍乘法： ()() 36 2 45 1 34 126565432134 1 2 6 51265431265436543211265436543211265436543212 =???? ??=???? ?????? ??=???? ?????? ??=T 分裂成了2份！而且这2份恰好是T 的奇数项和偶数项！（注意可以写成(1 5 4)(3 2 6)）
国家旅游局《旅行社公告暂行规定》文档
旅行社公告暂行规定 第一条为规范有关旅行社的公告发布行为，加强对企业经营和旅游行政管理的指导服务，根据《旅行社条例》和《旅行社条例实施细则》，制订本暂行规定。 第二条旅行社公告事项如下： （一）旅行社业务经营许可证的颁发、变更、注销、吊销； （二）许可或暂停、停止旅行社经营出境、边境旅游业务； （三）旅行社经营或暂停、停止经营赴台旅游业务； （四）旅行社分社、服务网点设立与撤销备案； （五）旅行社委托代理招徕旅游者业务备案； （六）旅行社的违法经营行为； （七）旅行社的诚信记录； （八）旅游者对旅行社投诉信息； （九）旅行社质量保证金交存、增存、补存、降低交存比例和被执行赔偿等情况； （十）旅行社统计调查情况； （十一）全国和地区旅行社经营发展情况； （十二）旅游行政管理部门认为需要公开发布的其他有关旅行社的事项和情况信息。 第三条旅行社业务经营许可证颁发、变更公告，由颁发旅行社业务经营许可证和办理旅行社业务经营许可证变更事项的旅游行政管理部门发布。 旅行社业务经营许可证颁发公告，项目内容应该包括旅行社名称、
许可证编号、出资人、法定代表人、经营场所、许可经营业务、许可文号（附件1）。 旅行社业务经营许可证变更公告，项目内容应该包括旅行社许可证编号和变更前与变更后的名称、出资人、法定代表人、经营场所（附件2）。 第四条旅行社业务经营许可证注销、吊销公告，由办理注销旅行社业务经营许可证备案手续和作出吊销旅行社业务经营许可证决定的旅游行政管理部门发布。 旅行社业务经营许可证注销公告，项目内容应该包括旅行社名称、许可证编号、经营场所（附件3）。 旅行社业务经营许可证吊销公告，项目内容应该包括旅行社名称、许可证编号、主要负责人(附件4)。 第五条暂停旅行社业务公告，由作出暂停决定的旅游行政管理部门发布。 暂停旅行社业务公告，项目内容应该包括旅行社名称、许可证编号、经营场所、暂停时间期限(附件5)。 第六条许可或暂停、取消旅行社经营出境旅游业务公告，由国家旅游局或其委托出境旅游业务许可的省、自治区、直辖市旅游行政管理部门发布。 许可旅行社经营出境旅游业务公告，项目内容应该包括旅行社名称、原许可证编号、新许可证编号、出资人、法定代表人、经营场所、许可文号（附件6）。 暂停旅行社经营出境旅游业务公告，项目内容应该包括旅行社名称、许可证编号、经营场所、暂停时间期限（附件7）。 取消旅行社经营出境旅游业务公告，项目内容应该包括旅行社名
国家集训队2009论文集浅谈数位类统计问题
浅谈数位类统计问题 山东省青岛第二中学刘聪 【摘要】 在信息学竞赛中，有一类与数位有关的区间统计问题。这类问题往往具有比较浓厚的数学味道，无法暴力求解，需要在数位上进行递推等操作。本文通过几个例子，简要介绍了解决此类问题的基本思想和方法。 【关键字】 数位区间统计递推树二进制 【正文】 在信息学竞赛中，有这样一类问题：求给定区间中，满足给定条件的某个D进制数或此类数的数量。所求的限定条件往往与数位有关，例如数位之和、指定数码个数、数的大小顺序分组等等。题目给定的区间往往很大，无法采用朴素的方法求解。此时，我们就需要利用数位的性质，设计log(n)级别复杂度的算法。解决这类问题最基本的思想就是“逐位确定”的方法。下面就让我们通过几道例题来具体了解一下这类问题及其思考方法。 【例题1】Amount of degrees (ural 1057) 题目大意： 求给定区间[X,Y]中满足下列条件的整数个数：这个数恰好等于K个互不相等的B的整数次幂之和。例如，设X=15，Y=20，K=2，B=2，则有且仅有下列三个数满足题意： 17 = 24+20， 18 = 24+21， 20 = 24+22。 输入：第一行包含两个整数X和Y。接下来两行包含整数K和B。 输出：只包含一个整数，表示满足条件的数的个数。 数据规模：1 ≤ X ≤ Y ≤ 231?1，1 ≤ K ≤ 20，2 ≤ B ≤ 10。 分析： 所求的数为互不相等的幂之和，亦即其B进制表示的各位数字都只能是0和1。因此，我们只需讨论二进制的情况，其他进制都可以转化为二进制求解。 很显然，数据范围较大，不可能采用枚举法，算法复杂度必须是log(n)级别，因此我们要从数位上下手。
国家旅游局公告2017年第21号――许可旅行社经营出境旅游业务公告
国家旅游局公告2017年第21号――许可旅行社经营出境旅 游业务公告 【法规类别】旅游综合规定 【发文字号】国家旅游局公告2017年第21号 【发布部门】国家旅游局 【发布日期】2017.09.12 【实施日期】2017.09.12 【时效性】现行有效 【效力级别】部门规范性文件 国家旅游局公告 （2017年第21号） 许可旅行社经营出境旅游业务公告 按照《旅行社条例》和《中国公民出国旅游管理办法》，许可以下70家旅行社经营出境旅游业务： 旧许可证编号新许可证 编号 出资人 法 定 代 表 经营场所许可文号
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国家集训队2004论文集_林涛
线段树的应用 广西柳铁一中林涛 【摘要】 在竞赛解题中，常遇到与区间有关的操作，比如统计若干矩形并的面积，记录一个区间的最值、总量，并在区间的插入、删除和修改中维护这些最值、总量。 线段树拥有良好的树形二分结构，能够高效的完成这些操作，本文将介绍线段树的各种操作以及一些推广。 本文通过3个例子：《蛇》、《空心长方体》、《战场统计系统》，讲述线段树中基本的插入、删除、查找操作，和不规则的修改和删除操作，以及到二维的推广。 关键字：线段树二分子树收缩叶子释放面积树 【正文】 1. 线段树的定义及特征 定义1：线段树 一棵二叉树，记为T (a,b)，参数a,b表示该节点表示区间[a,b]。区间的长度b-a记为L。递归定义T[a,b]： 若L>1 ：[a, (a+b) div 2]为T的左儿子 [(a+b) div 2,b]为T的右儿子。 若L=1 ：T为一个叶子节点。 表示区间[1, 10]的线段树表示如下： (以下取对数后均向上取整) 定理1：线段树把区间上的任意一条线段都分成不超过2log L条线段 证明：(1)在区间(a，b)中，对于线段(c，d)，如果(c<=a) 或(d>=b)，那么线段在(a，b)中被分为不超过log(b-a)。 用归纳法证明，如果是单位区间，最多被分为一段，成立。 如果区间(a，b)的左儿子与右儿子成立，那么如果当c<=a时， 1．若d<=(a+b)div2那么相当与其左儿子分该线段，所分该线段数树不超过log((a+b)div 2-a)，即不超过log(b-a),成立。
2．若d>(a+b) div 2那么相当于该线段被分为它左儿子表示的线段，加上右儿子分该线段，线段数不超过1+log(b-(a+b) div 2),也不超过 log(b-a)，成立。 对于d>=b的情况证明类似，不再赘述。 (2)在区间(a,b)中，对于任意线段也用归纳法证明。 对于单位区间，最多分为一段，成立。 若(a，b)的左儿子与右儿子均成立，则对于线段(c，d) 1．若d<=(a+b)div 2 则该区间所分该线段等于其左儿子区间所分该线段，线段数小于log((a+b) div 2-a)<2log(b-a)，成立。 2．若c>(a+b) div 2 则该区间所分该线段等于其右儿子区间所分该线段，线段数小于log(b-(a+b) div 2)<2log(b-a)，成立。 3．若1、2均不成立，则此线段在左儿子区间分该线段满足d>V.Lson.b,分该线段数不超过log(b-(a+b) div 2)，而在右儿子区间分该线段满 足c<=V.Rson.a,分该线段不超过log((a+b) div 2-1)，所以在该区间 分该线段不超过2log(b-a)，成立。 这个结论为线段树能在O(log L)的时间内完成一条线段的插入、删除、查找等工作，提供了理论依据。 【例题一】蛇1 在平面上有N个点，现在要求一些线段，使其满足以下要求： a．这些线段必须闭合 b．线段的端点只能是这N个点 c．交于一点的两条线段成90度角 d．线段都必须平行于坐标轴 e．所有线段除在这N个点外不自交 f．所有线段的长度之和必须最短 如果存在这样的线段，则输出最小长度，否则输出0。 【问题分析】 从该题的要求入手，先构出符合要求的图，再解决线段长度之和最小的问题。1．题目显然要求一个以给定的N个点为顶点的N多边形。所有线段都要和坐标轴平行，所以每个点只能与上下左右四个点相连。由于与一个点相连的两条线段成90度，每个顶点必须与一条平行于X轴和一条平行于Y轴的线段相连。 2．将所有点排序后发现，在同一水平线上的点中，设这些点为P1，P2，P3，P4……Pn，P1要有一条平行于X轴的线段与其相连，就必须连它右边的点——P2，而P3如果再连P2，P2就有两条平行于X轴的线段和它相连，所以P3只能连P4，P5只能连P6……，同一垂直线上的点也是如此，所以线段的构造是唯一的，那么最小长度的问题就解决了。 3．由于解是唯一的，而是否相连只要广度扩展就可以判断了，所以关键在于判断由上述方法所构出线段是否合法——满足线段不在N个点之外自交： 1Saratov State University Problem Archive, 1028, Snake. 本题考查了基本的插入、删除和查找
NOI国家集训队论文分类(至2008)(摘抄自C博客)
NOI 国家集训队论文分类（至2008） 摘抄自 C 博客 组合数学 计数与统计 2001- 符文杰：《Pólya 原理及其应用》 2003- 许智磊：《浅谈补集转化思想在统计问题中的应用》 2007- 周冬：《生成树的计数及其应用》 2008- 陈瑜希《Pólya 计数法的应用》 数位问题 2009- 高逸涵《数位计数问题解法研究》 2009 - 刘聪《浅谈数位类统计问题》 动态统计 2004- 薛矛：《解决动态统计问题的两把利刃》 2007- 余江伟：《如何解决动态统计问题》博弈 2002- 张一飞：《由感性认识到理性认识——透析一类搏弈游戏的解答过程》 2007- 王晓珂：《解析一类组合游戏》 2009 - 曹钦翔《从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》 2009 - 方展鹏《浅谈如何解决不平等博弈问题》 2009 - 贾志豪《组合游戏略述——浅谈SG 游戏的若干拓展及变形》母函数 2009 - 毛杰明《母函数的性质及应用》 拟阵 2007- 刘雨辰：《对拟阵的初步研究》 线性规划 2007 - 李宇骞：《浅谈信息学竞赛中的线性规划——简洁高效的单纯形法实现与应用》 置换群 2005- 潘震皓：《置换群快速幂运算研究与探讨》 问答交互 2003- 高正宇：《答案只有一个——浅谈问答式交互问题》 猜数问题
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国家集训队2004论文集 杨思雨
伸展树的基本操作与应用 安徽省芜湖一中杨思雨 目录 【关键字】 (2) 【摘要】 (2) 【引言】 (2) 【伸展树的基本操作】 (2) 伸展操作Splay(x,S) (3) 伸展树的基本操作 (4) 时间复杂度分析 (5) 【伸展树的应用】 (7) 【总结】 (8) 【参考书目】 (9) 【附录】 (9)
【关键字】 伸展树基本操作应用 【摘要】 本文主要介绍了伸展树的基本操作以及其在解题中的应用。全文可以分为以下四个部分。 第一部分引言，主要说明了二叉查找树在信息学竞赛中的重要地位，并且指出二叉查找树在某些情况下时间复杂度较高，进而引出了在时间复杂度上更为优秀的伸展树。 第二部分介绍了伸展树的基本操作。并给出了对伸展树时间复杂度的分析和证明，指出伸展树的各种基本操作的平摊复杂度均为O(log n)，说明伸展树是一种较平衡的二叉查找树。 第三部分通过一个例子介绍了伸展树在解题中的应用，并将它与其它树状数据结构进行了对比。 第四部分指出了伸展树的优点，总结全文。 【引言】 二叉查找树（Binary Search Tree）能够支持多种动态集合操作。因此，在信息学竞赛中，二叉排序树起着非常重要的作用，它可以被用来表示有序集合、建立索引或优先队列等。 作用于二叉查找树上的基本操作的时间是与树的高度成正比的。对一个含n 各节点的完全二叉树，这些操作的最坏情况运行时间为O(log n)。但如果树是含n个节点的线性链，则这些操作的最坏情况运行时间为O(n)。而有些二叉查找树的变形，其基本操作在最坏情况下性能依然很好，比如红黑树、A VL树等等。 本文将要介绍的伸展树（Splay Tree），也是对二叉查找树的一种改进，虽然它并不能保证树一直是“平衡”的，但对于伸展树的一系列操作，我们可以证明其每一步操作的平摊复杂度都是O(log n)。所以从某种意义上说，伸展树也是一种平衡的二叉查找树。而在各种树状数据结构中，伸展树的空间要求与编程复杂度也都是很优秀的。 【伸展树的基本操作】 伸展树是二叉查找树的一种改进，与二叉查找树一样，伸展树也具有有序性。即伸展树中的每一个节点x都满足：该节点左子树中的每一个元素都小于x，而其右子树中的每一个元素都大于x。与普通二叉查找树不同的是，伸展树可以自我调整，这就要依靠伸展操作Splay(x,S)。
