当前位置:文档之家› 布朗运动理论

布朗运动理论

论文题目:布朗运动理论及其应用院-系:理学院物理系

专业:物理学

年级:2009

学生姓名:黄建武

学号:200902050113

布朗运动理论及其应用

黄建武

理学院09物理学 200902050113

摘要:布朗运动作为具有连续时间参数和连续状态空间的一个随机过程,是一个最基本、最简单同时又是最重要的随机过程,布朗运动理论的建立, 充分证明了分子的存在及分子的热运动, 并充分证明了统计力学预言的涨落现象确实存在,这一理论在很多方面有着广泛的应用。布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证明了分子的无规则热运动,对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义,并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。本文就布朗运动的发现及对布朗运动研究的前景进行了展望。

关键字:布朗运动;朗之万理论;爱因斯坦理论

Theory of Brownian motion and its application

Huang Jianwu

Faculty of physics 09 200,902,050,113

Abstract: Brownian motion as a continuous-time parameter and the continuous state space of a random process, is one of the most basic, most simple and most importantly, stochastic processes, and establishment of the theory of Brownian motion, proved the existence of molecules and molecular thermal motion, and amply demonstrates the statistical mechanical fluctuation phenomenon of prophecy does exist, this theory has a wide range of applications in many ways. Discovery of the Brownian motion, experimental research and theoretical analysis on indirect evidence of the random thermal motion of molecules, structure of matter, kinetic theory of gases to establish and confirm the importance of atomicity, and promote the development of statistical physics in particular the theory of fluctuations. This article on the Brownian motion of discovery and study of Brownian motion's prospects were looking.

Keywords: Brownian motion; langzhiwan theory ;Einstein's theory

引言:

布朗运动是分子物理学中的一个著名现象。它是分子无规则乱运动的最明确最有力的一个证据;布朗运动的发现与理论研究对粉碎唯心主义的唯能论,确立原子、分子的学说起了决定性作;它还对扩散问题的研究以及涨落理论的研究有重要意义。布朗的观测及其解释布朗(Robert Brown,1773—1858年)是英国著名植物学家,植物细胞核就是他发现的。1795年布朗在爱丁堡大学获医学博士。他是一位严谨博学的科学家,他在研究植物的授粉过程中,仔细观察花粉中的微粒(直径约为1/4000到1/5000英寸)发现了一种奇特的现象。1827 年,英国植物学家布朗(Robert Brown)发现浸没在液体中的花粉颗粒做无规则的运动,此现象后被命名为布朗运动。爱因斯坦(Albert Einstein)于1905年解释了布朗运动的原因,认为花粉粒子受到周围介质分子撞击的不均匀性造成了布朗运动。1918 年,维纳(Wiener)在他的博士论文中给出了布朗运动的简明数学公式和一些相关的结论。如今,布朗运动的模型及其推广形式在许多领域得到了广泛的应用,如经济学中,布朗运动的理论可以对股票权定价等问题加以描述。

1、布朗运动

1.1 布朗运动的发现[1]

布朗发现,在温度均匀、无外力作用的流体中都能观察到悬浮在液体或气体中的微粒(线度~10-3毫米)表现出的永不停止的无规则运动(如图1)。该运动就叫做布朗运动。布朗运动的原因是由于微小颗粒受到它周围液体(或气体)分子碰撞作用的不平衡性而引起。布朗运动是小颗粒的运动,不是分子的运动,它是液体(或气体)分子无规则运动的反映。

图1 扩散图图2

1.1 布朗运动的定义

悬浮微粒永不停息地做无规则运动的现象叫做布朗运动,例如,在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒,或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。温度越高,运动越激烈。它是1827年植物学家R.布朗首先发现的。作布朗运动的粒子非常微小,直径约1—10um,在周围液体或气体分子的碰撞下,产生一种涨落不定的净作用力,导致微粒的布朗运动。如果布朗粒子相互碰撞的机会很少,可以看成是巨大分子组成的理想气体,则在重力场中达到热平衡后,其数密度按高度的分布应遵循玻耳兹曼分布。J.B.佩兰的实验证实了这一点,并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。1905年爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动,对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义,并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。由于布朗运动代表一种随机涨落现象,它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。

这是1826年英国植物学家布朗(1773-1858)用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。不只是花粉和小炭粒,对于液体中各种不同的悬浮微粒,都可以观察到布朗运动。

1.2 量子布朗运动

布朗粒子所受到的磨擦力和随机力都来自“环境”。包含无穷自由度的环境没有精确的描述方式,它的一种模型是无穷多个谐振子组成的“热浴”。正是对环境的热平衡假定把温度引进了涨落耗散定理的表述。1960年代以后,激光的发展把量子噪声的研究提上了日程。量子耗散的描述也同热浴相关。这就促进了量子布朗运动理论的发展和量子涨落耗散定理的证明。纳米结构中粒子的运动更使得量子涨落和统计涨落必须同时研究。

布朗运动是一种无规的“永动”。正是对宏观系统和无穷长时间大量粒子运动的完全随机的假定,避免了布朗运动理论和热力学第二定律的矛盾。然而在纳米结构和小时间尺度下,对热力学第二定律的偏离也成为可以检验的事实。量子布朗粒子和热浴量子态纠缠,成为“退

相干”的原因之一。这是量子计算和量子通信必须面对的困难。这一切使量子布朗运动成为1990年代以来的前沿研究课题。量子朗之万方程和量子连续积分的理论都有所发展。

2、朗之万理论

⑴ 为简单起见,只考虑颗粒的运动在一个水平方向的投影。

⑵ 设颗粒的质量为m ,在时刻t 颗粒的坐标为χ(t ),介质分子施于颗粒的净作用力f(t)。用()t Γ表示此外可能存在的其它外力,例如电磁力,又如颗粒在铅直方向运动时存在的重力,根据牛顿第二定理颗粒的运动方程为: ()()t t f dt

x d m Γ+=22 (1) ⑶ 如果将颗粒看作半径为a 的小球,在黏滞系数为的流体中运动,则有:

ηπαa 6= (2)

⑷()t f 的另一部分是涨落力,相当于分子对静止的布朗运动颗粒的碰撞净作用力。显然涨落力可正可负,且正负具有相同的概率,因此其平均值。在作出这区分后,可将颗粒的运动方程表为:

()()t t F dt dx dt

x d m Γ++-=α22 (3) ⑸ 当不存在其它外力时,朗之万方程为: )(222t F dt

dx dt x d m +-=α (4) ⑹ 朗之万定理最后可得: t kT

x α22= (5)

3、皮兰实验[2]

1908年到1913年期间,贝兰进行了验证爱因斯坦理论和测定阿伏加德罗常数的实验研究。他的工作包括好几方面。在初期,他的想法是,既然在液体中进行布朗运动的微粒可以看成是进行热运动的巨大分子,它们就应该遵循分子运动的规律,因此只要找到微粒的一种可用实验观测的性质,这种性质与气体定律在逻辑上是等效的,就可以用来测定阿伏加德罗常数。1908年,他想到液体中的悬浮微粒相当于“可见分子的微型大气”,所以微粒浓度(单位体积中的数目)的高度分布公式应与气压方程有相同的形式,只是对粒子受到的浮力应加以校正。这一公式是:ln(n/n 0)=-mgh(1-ρ/ρ0)/kt 。式中k 是波尔兹曼常数,自k 和N A 的关系,公式也可写成ln(n/n 0)=-N A mgh(1-ρ/ρ0)/RT 。根据此公式,从实验测定的粒子浓度的高度分布数据就可以计算k 和N A 。

为进行这种实验,先要制得合用的微粒。制备方法是先向树脂的酒精溶液中加入大量水,则树脂析出成各种尺寸的小球,然后用沉降分离的方法多次分级,就可以得到大小均匀的级份(例如直径约3/4μm 的藤黄球)。用一些精细的方法测定小球的直径和密度。下一步是测定悬浮液中小球的高度分布,是将悬浮液装在透明和密闭的盘中,用显微镜观察,待沉降达到平衡后,测定不同高度上的粒子浓度。可以用快速照相,然后计数。测得高度分布数据,即可计算N A 。贝兰及其同事改变

各种实验条件:材料(藤黄、乳香),粒子质量(从1到50),密度(1.20到1.06),介质(水,浓糖水,

甘油)和温度(-90°到60°),得到的N A 值是6.8×10-23。

4、爱因斯坦布朗运动理论

为了使分子动理论称为一种精确的物理理论,对分子大小的精确测定是19世纪末至二十世纪初一个重要的研究课题,到1905年,对于分子大小的测定已由几种实验方法。但当时测定的都是气体分子的大小。爱因斯坦的论文——《分子大小的新测定》,首先给出了一种用液体中的现象来测定分子大小的方法。《分子大小的新测定》是爱因斯坦提交给苏黎世大学的博士论文,初稿写于1901年,后来作出了较大的修订,该文将流体力学的技巧与扩散理论相结合,创造了一种测定分子大小和阿伏伽德罗常量的精确度很高的新方法。有关分子动理论的另一篇文章为《热得分子运动论所需要的静止液体中悬浮小粒子的运动》。该文实质上是用分子动理论或者说用统计的观点及方法,

对布朗运动作为理论解释[3]。

到1905年,爱因斯坦依据分子运动论的原理提出了布朗运动的理论,圆满地回答了布朗运动的本质问题,并导出了解释布朗运动的爱因斯坦公式。

爱因斯坦的成果大体上可分两方面。一是根据分子热运动原理推导:在t 时间里,微粒在某一方向上位移的统计平均值,即方根值,D 是微粒的扩散系数。这一公式是看来毫无规则的布朗运动服从分子热运动规律的必然结果。

爱因斯坦成果的第二个方面是对于球星微粒,推导出了可以求算阿式中的€是介质粘度,a 是微粒半径,R 是气体常数,Na 是阿伏伽德罗常数。按此公式,只要实际测得准确地扩散系数D 或布朗运动均方位得到原子和分子的绝对质量。爱因斯坦曾用前人测定的糖在水中的扩散系数,估算的Na 值是23103.3-?,一年后(1906)又修改为231056.6-?。

爱因斯坦的理论成果为证实分子的真实性找到了一种方法,1908年,法国物理学家佩兰利用与大气分子垂直分布相类似的胶态粒子在液体中悬浮进行显微镜观察,以前所未有的精确度确认了上述爱因斯坦公式的正确性。

可以说,爱因斯坦有关布朗运动的理论及其实验证实,使以原子一分子学说为基础的分子动理论得以站稳脚跟,并向统计力学、统计物理方向发展,从此,用统计的观点分析与研究物理问题成为物理学中一种非常有效而被广泛应用的方法。

⑴ 当存在大量布朗颗粒,其密度分布不均时,可观察到的布朗颗粒的扩散。扩散实际上是颗粒的流量(单位时间内通过单位截面的颗粒数)。菲克定律给出n D J ??-=。

⑵ 连续方程是0=??+??J t

n 。 ⑶ 爱因斯坦关系给出温度为T 是颗粒在介质中的黏滞阻力系数与扩散系数D 的关系。

5、热力学平衡

按经典热力学的观点,布朗运动严格来说属于机械运动,因此它表现出的是一种机械能。这种机械能是自发由内能转化而来,而与同时,它又在向内能转化而去,当这两种转化的速率相同时,客观上就达到了一种动态平衡,表现为颗粒做布朗运动。此时两种能自发地不停地相互转化,而不引起其它变化。

有人据此对热力学第二定律提出质疑。实际上,布朗运动是一种特殊的机械运动,做布朗运动的颗粒正好处于宏观与微观的分界点上,所以布朗运动中机械能同时具有一般意义上

的宏观机械能与微观分子动能的双重特性,它的能量集中程度介于两者之间,无序性也介于两者之间。

热力学第二定律本身只适用于宏观物体,而布朗运动的问题,实际上反映了经典物理学“宏观”与“微观”概念的模糊性,也反映了经典物理学的局限。而这种特殊的运动能否像人们希望的那样把人类从灭顶于熵的悲剧中拯救出来,只能从量子物理学中寻求答案。

6、布朗运动理论的应用

现在人们研究布朗粒子的运动,除了因为它在历史上对分子运动理论的确立起重要作用。

6.1 用布朗运动理论研究仪器的灵敏度

测量仪器中的活动部分(如分析天平的称盘,悬线电流计的线圈等)在气体分子的不平衡碰撞下也会产生布朗运动。随着科技的发展,仪器的灵敏度越来越高,布朗运动对灵敏度的影响已成为现代精密测量中一个不可忽视的因素。在近代无线电技术(如卫星通讯)中,由于放大倍数很高,电涨落现象表现得特别显著,引起热噪声,这个问题也需要用布朗运动理论来研究。

6.2 用布朗运动谴论研究各类扩散现象

扩散现象的本质是布朗运动产生的位移,因此布朗运动理论可用于各类扩散现象。例如半导体中载流子(电子或空穴)的扩散,原子核反应堆中中子的扩散等,均可用布朗运动理论来研究。

6.3 布朗运动理论在分形理论中的应用

由于布朗运动轨线的不规则性是统计自相似的,也就是说,其轨线的某一小部分放大后,在概率分布的意义上,跟某一较大部分具有相同的“形状”,因此布朗运动也成为分形理论的重要研究对象,并发展出了。分数布朗运动”和“布朗曲面等理论,后者已非常有效地用于计算机绘制的地貌图。

6.4 布朗运动理论在现代金融顿域的应用

布朗运动是随机涨落的典型现象,不仅用来作为许多自然现象的模型,而且可用来作为许多社会现象的模型.早在1900年,法国数学家巴施利叶就已经在其研究股市的博士论文《投机理论》中,首先给出了布朗运动的数学描述,当然,巴施利叶所谓的“布朗运动”,实质上指的是股市的价格变动,换句话说,他把股价的变动,理想化为布朗运动。可见,在物理学界尚未把布朗运动研究清楚之前,它象征“无规行走的意义,早就被经济研究所吸纳了。控制论创始人维纳于1923年对布朗运动作出了严格的数学定义,根据这一定义,布朗运动是一种独立增量过程,因而是一种马尔科夫过程,数学界也常把布朗运动称为维纳过程。

6.5 布朗运动的现代研究

布朗运动自发现之后,经过多半个世纪的研究,人们逐渐接近对它的正确认识。到本世纪初,先是爱因斯坦和斯莫卢霍夫斯基的理论,然后是贝兰和斯维德伯格的实验使这一重大的科学问题得到圆满地解决,并首次测定了阿伏加德罗常数,这也就是为分子的真实存在提供了一个直观的、令人信服的证据,这对基础科学和哲学有着巨大的意义。从这以后,科学上关于原子和分子真实性的争论即告终结。正如原先原子论的主要反对者奥斯特瓦尔德所说:“布朗运动和动力学假说的一致,已经被贝兰十分圆满地证实了,这就使那怕最挑剔的科学家也得承认这是充满空间的物质的原子构成的一个实验证据”。数学家和物理学家彭加勒在1913年总结性地说道:“贝兰对原子数目的光辉测定完成了原子论的胜利”。“化学家的原子论现在是一个真实存在”。

布朗运动代表了一种随机涨落现象,它的理论在其他领域也有重要应用。如对测量仪器的精度限度的研究;高倍放大电讯电路中的背景噪声的研究等。布朗运动与分子热运动不一样,与温度和粒子个数有关,温度越高,布朗运动越剧烈,粒子越少,分子热运动越剧烈。分子永不停息地做无规则的运动。布朗运动、扩散现象都说明了任何物质的分子,不论在什么状态下,都在做永不停息的无规则运动。分子的无规则运动与物质的温度有关,温度越高,分子的无规则运动越剧烈。

6.6 布朗马达和分子马达

布朗运动理论最新、最积极的应用,可能在于对细胞中各种分子“机器”作用原理的认识。

布朗粒子从极小时间尺度上的无规涨落获取能量,实现各种较大尺度上的无规运动,斯莫鲁霍夫斯基早在1912年就考虑过能否利用布朗运动实现定向运动的问题。费曼(R. Feynman)在1963年提出的“棘齿和棘爪”(ratchet and pawl)模型,原则上可以从两个不同的热浴获得能量,缓慢地做定向机械功。这是一种布朗马达。

细胞中有各种高效地把化学能转变为机械功的分子马达。例如,生物化学过程所需能量存储在称为“腺三磷”(三磷酸腺苷即ATP)的小分子的三磷酸键中,ATP贡献能量后成为ADP(腺二磷),需要重新“充电”成ATP。实现充电的蛋白质机器ATP合成酶,真是具有转动部分的小机器。还有许多长着蛋白质双脚或单腿的小膜泡,沿细胞骨架行走以输送各种物质,这些是线性分子马达。许多人尝试用布朗马达来解释分子马达。小分子在微观涨落上“冲浪”,它们以极高效率消耗能量,并不违反热力学定律。本书中欧阳钟灿的文章会继续介绍布朗运动理论与生物学有关的最新发展。

其实,从广义上讲,达尔文的进化论就是描述随机突变背景上的定向演化。可以参看英国《自然》杂志的一篇题为“达尔文马达”的短文。对液体中小悬浮无规运动的研究,1905年以前主要是实验观察、积累事实,逐步形成基本认识。从1905年到1950年,理论和实验的重心在于证明原子和分子的存在。这一时期布朗运动理论成为非平衡态统计物理的重要组成部分、也成为随机微分方程和随机过程理论的试金石。从1950年到1990年,是涨落场论的形成阶段,这一理论的广泛应用尚有待开拓。1990年代以来,量子布朗运动理论进一步发展,对纳米结构中粒子运动和生物细胞中分子机器的认识可能成为布朗运动理论最重要和最富于建设性的应用。

7、结论

现在,由对布朗运动的研究而得到的数学和物理方面的理论已经广泛的应用到了各个领域,例如,运用布朗运动,对概率算法中的一个关键公式给予了理论上的证明,并对三维Dirichlet问题提出了概率算法;广义布朗运动的最大值的概率分布问题;因为纳米粒子布朗运动特性对:

Micro-/Nano-PIV的使用和与粒子有关的物理现象的研究有重要意义,因此观察200hm荧光的布朗运动,利用单粒子追踪算法和自编程序处理图像,获得粒子的均方位移,计算实验扩散系数等。

相信随着人们对布朗运动的研究不断深入,会有更多领域能够应用到布朗运动的相关知识,而同时,我们对布朗运动的了解也会逐渐增多。

参考文献:

[1] 汪志诚著《热力学·统计物理(第四版)》.高等教育出版社.

[2] 布朗运动,百度百科,https://www.doczj.com/doc/9a18408858.html,.

[3] 杨静;王丽霞.爱因斯坦与布朗运动的数学理论[J].

相关主题
相关文档 最新文档