高中数学必修五同步练习及答案01：正弦定理(2)(苏教版)]

高中数学必修五同步练习：正弦定理（2）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一.填空题

1．在锐角三角形

中，内角所对的边长分别为，若，，

，则

.

2．在ABC ?中，设角B A ,所对边分别为b a ,，若

b

B

a A cos sin =

，则角=B ． 3．设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离

为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，算出A 、B 两点的距离为 m.

4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且

c o s c o s c C

b B

-=

，则B 的大小为_________． 5．如图所示，D ，C ，B 在同一地平面的同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角

分别为30°和45°，则A 点离地面的高度AB 等于________;

6．在ABC ?中，,45,2,0

===B b x a 若三角形有两解，则x 的取值范围是 ． 7．在△ABC 中，若cos cos a A b B =，则△ABC 的形状为_____________. 8．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知6

π

=A ，1=a ，3=b ，

则=B ________.

9．ABC ?为锐角三角形，1,2BC B A =∠=∠，则AC 的取值范围为_______.

10．已知ABC ?的三边分别为a ,b ,c ，且a ＝1，B ＝45°，ABC S ?＝2，则ABC ?的外接圆的面积为 ．

二、解答题（题型注释）

11．（本小题满分12分）已知△ABC 的三内角A ， B ， C 所对边的长依次为a ，b ，c ，若4

3c o s =A ，8

1

cos =

C ． （1）求c b a ::；

（2）若46||=+BC AC ，求△ABC 的面积．

12．（本小题满分12分）设ABC ?的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若角B 为锐角，且2sin a b A =．（1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围．

参考答案 1．

【解析】∵，为锐角，∴；由，得.

又由余弦定

理

得

，，

将代入并化简整理

得

，解得

.

2．

4

π 【解析】

试题分析：利用正弦定理

B R b A R a R B

b

A a s i n 2,s i n 2,2s i n s i n ====得,带入b

B a A c o s s i n =得1sin cos =B B ,所以=B 4

π

. 考点：正弦定理解三角形. 3．502． 【解析】

试题分析：如图：由已知及三角形的内角和定理知0

0003045105180=--=∠ABC ，用正

弦定理得

25045sin 30

sin 50sin sin 0

=?=?∠=∠AB ABC AC ACB AB ．

考点：解三角形的应用． 4．

4

π.

【解析】 试题分析：∵

cos cos c C b B -

=

，∴sin cos cos sin cos A C C

A B B B

-=?

sin cos cos sin sin()B C B C B C =+=+，又∵ABC ?中，A B C π++=，∴

sin()sin B C A +=，

cos sin A B A =，又∵(0,)A π∈，∴sin 0A ≠

，∴cos 4

B B π=?=. 考点：1.正弦定理的运用；2.三角恒等变形. 5

．)

5

1

【解析】

试题分

析

：

在

ACD

?中，根据正弦定理有：

s i n 10

i n 135

,s i n s i n s i n s

i n 1

5

C D

A D

C D A C AD CAD ACD CAD ?∠?=

∴==∠

∠∠=)

101 在直角ABD ?中，)

1

30,512

D AB AD ∠=∴==

所以答案应填：)

51.

考点：正弦定理. 6．222<

试题分析：0

45,2,===B b x a ,且三角形有两解，x b x <<∴045sin ，222<<∴x ．

考点：正弦定理、三角形接的个数． 7．等腰三角形或直角三角形. 【解析】

试题分析：由正弦定理及cos cos a A b B =：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =?=， 又∵,(0,)A B π∈，且至多只有一个是钝角，∴22A B =或22A B π+=， ∴ABC ?为等腰三角形为直角三角形.

考点：1.正弦定理的推论；2.三角恒等变形. 8．

3π或3

2π 【解析】

试题分析：依题意，由正弦定理知

B sin 36

sin

1=

π

，所以2

3

sin =B ，由于π<

π

=

B 或

3

2π

. 考点：正弦定理的运用，容易题. 9．

【解析】

考点：正弦定理 10．

252

π

【解析】

试题分析：11s i n 1s i n 452224

ABC S ac B c c ?=

=???==

，所以c =。所以

(2

2222

2c o s 12242252

b a

c a c B =+-=-??

=，所以5b =。设ABC ?外接

圆半径为R ，由正弦定理可得

2sin b R B =，解得2

R =。则此三角形外接圆的面积为2

22522S R πππ?==?= ??

。 考点：1三角形面积公式；2余弦定理；3正弦定理求外接圆半径。

11．（1）4:5:6；（2）

4

【解析】 试题分析：（1）由已知求出sinA 和sinC ，进而求出sinB ，再由正弦定理可得三边的比值；（2）根据（1），可设出三边的长，由46||=+BC AC 即可求出三边长，又知道夹角正弦值，可以求出三角形面积.

试题解析：（1）依题设：sinA ，sinC

故cosB ＝cos[π－（A ＋C ）]＝－cos （A ＋C ）＝－（cosAcosC －sinAsinC ）＝－（3

32－21

32）＝9

16.

则:sinB

所以==C B A c b a sin :sin :sin ::4:5:6 6分

（2）由（1）知：==C B A c b a sin :sin :sin ::4:5:6，

不妨设：a ＝4k ，b ＝5k ，c ＝6k ，k ＞0.故知：|AC |＝b ＝5k ，|BC |＝a ＝4k. 依题设知：|AC |2

＋|BC |2

＋2|AC ||BC |cosC ＝46 ? 46k 2

＝46，又k ＞0?k ＝1.

故△ABC 的三条边长依次为：a ＝4，b ＝5，c ＝6.

△ABC 的面积是4

7

158735421=??? 12分

考点：同角三角函数关系式，正弦定理，三角形面积 12．（1）

6π；（2）]3,2

3(- 【解析】

试题分析：（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1

sin 2

B =，由角B 为锐角得π6B =

；（2）由（1）知A C --=6

π

π，利用诱导公式与辅助角公式变形化简得)3

sin(3sin cos π

+=+A C A ，由06A 5π<<知，336A ππ7π<+<，因此cos sin A C +的

取值范围为]3,2

3

(-

． 试题解析：（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2

B =， 由AB

C △为锐角三角形得π

6

B =

． （2）cos sin cos sin A C A A π??+=+π-

- ?6??cos sin 6A A π??=++ ???

1

cos cos 2A A A =+3A π?

?=+ ??

?．

由06A 5π<<

知，336

A ππ7π<+<，

所以1sin 123A π?

?-

<+≤ ???．由此有23A π??<+≤ ??

?

所以，cos sin A C +的取值范围为(．

考点：解三角形与三角恒等变换

2018年必修五《正弦定理》教案

§1.1.2 正弦定理 一、知识与技能 1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 2通过三角函数、正弦定理等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 三、教学重点与难点： 重点：正弦定理的探索及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【授课类型】：习题拔高课 四、教学过程 一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么？ 二、例题讲解 例 1试推导在三角形中 A a s i n =B b sin =C c sin =2R 其中R 是外接圆半径. 证明 如图所示，∠A ＝∠D ∴R CD D a A a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，C c sin R 2= ∴ A a sin = B b sin =C c sin =2R a b c O B C A D

例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===? 解：∵213 60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b ，C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角， 0090,30==∴B C ∴222=+=c b a 例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===? 解2 3245sin 6sin sin ,sin sin 0=?==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴<

正弦定理练习 含答案上课讲义

正弦定理练习含答 案

课时作业1 正弦定理 时间：45分钟 满分：100分 课堂训练 1．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π 12 B.π 6 C.π4 D.π3 【答案】 D 【解析】 本题考查了正弦定理由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝3 2， ∴∠A ＝π 3. 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠A ＝π 3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C.3－1 D. 3 【答案】 B 【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 可得3sin π3＝1sin B ，sin B ＝12， 故∠B ＝30°或150°，

由a >b ，得∠A >∠B . ∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2，故选B. 3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝5 6π，BC ＝1，则AB ＝________. 【答案】 102 【解析】 ∵tan A ＝13，且A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝10 10.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 56π 1010 ＝10 2. 4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的周长． 【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，但BC 的对角∠A 未知，只知道∠B ，可结合条件由正弦定理先求出∠C ，再由三角形内角和定理求出∠A . 【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∵AB >AC ，∴∠C >∠B ， 又∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝60°或120°. (1)如图(1)，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，BC ＝4，△ABC 的周长为6＋23；

2019-2020年高二数学必修3 苏教版

2019-2020年高二数学必修3 苏教版 教学目标： 1、理解为什么能用样本数据的平均值估计总体的水平。初步了解如何动用数学知识和方法进行统计研究，提高统计的准确性利税学。感受统计不仅是列表、画图的低层次的工作，而且是一门具有高度科学性的理论与实际相结合的学科。 2、掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计的方法。 3、通过对数据的分析与估计，培养学生的理性思维能力。 教学重点：利用平均数和组中值对样本数据进行分析和估计。 教学难点：最小二乘法的思维过程的理解。 教学过程： 课堂引入： 在2.2节中，我们通过列频率分布表、画频率分布直方图、条形图、折线图、密度曲线和茎叶图来对数据从分布规律角度进行分析和估计，发现数据的规律。从本节起，我们利用上节的相同背景问题，从不同的角度提取数量规律进行分析和估计。 我们从天气预报中常见的“月平均气温”、“年平均气温”等概念，对某季篮球联赛中队员得分情况统计，也常利用“平均得分”，成绩统计中，也利用 “平均分”等，都涉及到“平均数”的概念。 初中我们曾经学过众数、中位数、平均数等各种数字特征，这些数字都能为我们提供关于样本数据的特征信息。 学生思考：在频率直方图中，众数是指最高矩形的中点的横坐标，中位数是指样本数据中累积频率为0.5时所对应的样本数据值，平均数是指样本数据的算术平均数。 定义：能反映总体某种特征的量称为总体特征数 思考：怎样通过抽样的方法，用样本的特征数估计总体的特征数呢？ 新课讲授 §2.3.1平均数及其估计 课本P50页引例： 我们可以计算7月25日至8月10日平均气温为34.02度，8月8日至8月24日的平均气 温为30.02度。 学生自学、讨论课本引例，教师引导，适当提示分析最小二乘法的思维过程。注意以下两点： （1）n 个实数a 1，a 2，a 3，……，a n 的和简记为 ∑=n i i a 1 ； （2）n a a a a n +++= ......21称为这n 个实数a 1，a 2，a 3，……，a n 的平均数或均值。（算术 平均数） 例1：教师在电脑上用EXCEL 展示数据，并直接用EXCEL 中的函数“AVERAGE ”计算给定数据的平均数。 学生练习：课本P66页第3题

正弦定理和余弦定理

04—正弦定理和余弦定理 利用正弦定理解三角形 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况. [例1] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1 2 b ，且 a > b ，则B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π 6 (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π 6，则b ＝________. [解析] (1)利用正弦定理的变形，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 中，得2R sin A ·sin B cos C ＋2R sin C sin B cos A ＝12×2R sin B ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12，所以sin B ＝12.已知a >b ，所以B 不是最大角，所以B ＝π6 . (2)在△ABC 中，∵sin B ＝12，0b .又a ＋c ＝2b ，所以c ＝a －8，所以a 大于c ，则A ＝120°. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(a －4)2＋(a －8)2－2(a －4)·(a －8)·????－12，所以a 2－18a ＋56＝0. 所以a ＝14或a ＝4(舍去)．故选B. (2)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将其代入a cos C ＋32c ＝b 中得，a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋3 2 c ＝b ，化简 整理得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，所以A ＝π6.[答案] (1)B (2)π 6 利用正、余弦定理解三角形 [例3] 设△ABC 1，A ＝2B . (1)求a 的值；(2)求sin ??? ?A ＋π 4的值． [解] (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理，得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 2 2ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3. (2)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－1 3 .因为0

苏教版数学必修五：1.1正弦定理(二)【教师版】

课题：§1.1 正弦定理（二） 总第____课时 班级_______________ 姓名_______________ 【学习目标】 掌握正弦定理的内容及其等价形式；会运用正弦定理、内角和定理与三角形的面积公式解决一些与测量和几何计算与证明有关的实际问题. 【重点难点】 学习重点：正弦定理的等价形式及其基本应用. 学习难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 【学习过程】 一、自主学习与交流反馈： 问题1：对于任意的三角形若已知两边及夹角怎样求三角形的面积? 问题2：正弦定理还有哪些等价的变形形式? 二、知识建构与应用： 例1 在ΔABC 中,已知 C c B b A a cos cos cos ==，试判断ΔABC 的形状. 例2 在ΔABC 中,AD 是∠BAC 的平分线，如图，用正弦定理证明： DC BD AC AB =. 例 3 某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进A B 35?20?1000180?-βαβαD C B A

米后到达处，又测得山顶的仰角为，求山的高度. 例4 判断下列三角形解的情况： （1）已知; （2）已知; （3）已知. 四、巩固练习 D 65?060,12,11 ===B c b 0 110,3,7===A b a 045,9,6===B c b

1．在ΔABC 中，已知,150,3,2o ===C b a 则=?ABC S . 2．在中，_________,sin 23==B A b a 则. 3．在中，若,60,3?==A a 那么的外接圆的周长为____ ____. 4．在中，若，则 . 5. 在中, ______,cos cos 的形状为则ABC B C b c ?=. ABC ?ABC ?ABC ?ABC ?3,600==a A _______sin sin sin =++++C B A c b a ABC ?

正弦定理余弦定理习题及答案

正 余 弦 定 理 1.在ABC ?中，A B >是sin sin A B >的 （ ） Ａ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 Ｄ.既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程2 2 cos cos 2sin 02 C x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半， 则ABC ?一定是 ( ) （A)直角三角形(Ｂ）钝角三角形(C ）等腰三角形（Ｄ)等边三角形. 3、 已知ａ,ｂ，ｃ分别是△ABC 的三个内角A,B,Ｃ所对的边，若a=１,b=3, A ＋C=2Ｂ,则ｓinC= . 4、如图,在△AB Ｃ中，若b = 1,c =3，23 C π ∠=,则a= 。 5、在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为a ，b ,ｃ，若2a =,2b =，sin cos 2B B +=, 则角A 的大小为 ． ６、在?ABC 中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2 7 4sin cos 222 B C A +-= （1）求A ∠的度数 (２）若3a =,3b c +=，求b 和c 的值 ７、 在△A ＢＣ中已知acosB=b ｃosA,试判断△ABC 的形状. 8、如图，在△ABC 中，已知3= a ，2= b ，B=45? 求Ａ、Ｃ及 c . 1、解:在ABC A B ?>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ?>?>?>,因此，选C ． 2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222 C C A B -= ??=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+- A B 3 23 π

苏教版高中数学必修4—第一学期期末文科测试

开始输入x f(x)>g(x) h(x)=f(x)h(x)=g(x) 输出h(x)结束 是否 第4题图 2014—2015学年第一学期期末文科数学测试 参考公式：回归直线的方程是：a bx y +=?， 其中1 2 2 1 ?,;n i i i i i n i i x y nx y b a y bx y x x nx ==-= =--∑∑g g 其中是与对应的回归估计值. 一、选择题 1.集合{}{}4,5,3,9,3M m N =-=-，若M N ?≠?，则实数m 的值为（） A ．3或1-B ．3C ．3或3-D ．1- 2．若直线1ax by +=与圆2 2 1x y +=相交，则点(,)P a b 与圆的位置关系是() A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不能确定 3．若函数()y f x =的反函数是2x y =，则(2)f =() A.4B.2C.1D.0 4.如图所示的算法流程图中,若2 ()2,()x f x g x x ==则(3) h 的值 等于（） A.8 B.9 C.1- D.1 5．若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的左焦点重合，则p 的值为（） A.－2 B.2 C.－4 D.4

6.在ABC V 中，已知2cos c a B =，()()a b c b c a +++-3bc =，则ABC V 是() A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.无法判断 商店名称 A B C D E 销售额x (千万元) 3 5 6 7 9 利润额y (百万元) 2 3 3 4 5 根据此表可得回归直线方程为 A.0.50.4y x =+ B.0.41y x =+ C.28.6y x =- D.8.655y x =-+ 8．若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（） A ．),31 (+∞B ．]31,(-∞C ．),31[+∞D ．)3 1,(-∞ 9.函数2 ()2f x x x =--在[]55x ∈-，内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是(). A ． 110 B ． 23 C ． 310 D ． 45 10．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x 万件时的生 产成本为2 1()2202 C x x x =++(万元),一万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业 一个月应生产该商品数量为() A ．36万件 B ．18万件 C ．22万件 D ．9万件 二、填空题 11.设单位向量12,e e u r u u r 的夹角为120°，向量1222,a e e b e =+=-r u r u u r r u u r ，则a b =r r g _______ 12.下列命题不是真命题的是_________________ ①平行六面体一定是直棱柱； ②一个边长为2的等边三角形的直观图的面积为64 ； ③空间三点确定一个平面； ④若//,,l l m αβαβ?=I ，则//l m ； ⑤若,,,l m l n m n α⊥⊥?，则l α⊥. 13.已知0,0x y >>，若 22832y x m m x y +>+-恒成立，则实数m 的取值范围是 ；

苏教版高中数学必修五正弦定理教案

第 1 课时： §1.1 正弦定理（1） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程； 2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题； 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】： 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【学法与教学用具】： 1. 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： sin sin sin a b c A B C == ，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的？ 2.这种关系在任意三角形中也成立吗？ 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 （1）在直角三角形中：c a A = sin ,1sin ,sin ==C C B B ， 即 =c A a sin ，=c B b sin ，=c C c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形？ （2）斜三角形中 证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ABC 中，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111 sin sin sin 222 ABC S ab C ac B bc A ?= ==，每项

正弦定理余弦定理习题及答案

正 余 弦 定 理 1．在ABC ?中，A B >是sin sin A B >的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程2 2 cos cos 2sin 02 C x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ?一定是 （ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形. 3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= . 4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23 C π ∠=，则a= 。 5、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =， sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ． 6、在?ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2 7 4sin cos 222 B C A +-= （1）求A ∠的度数 （2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值 7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状. 8、如图，在△ABC 中，已知3= a ，2= b ，B=45? 求A 、C 及 c . 1、解：在ABC A B ?>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ?>?>?>，因此，选C ． 2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222 C C A B -= ??=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+- A B 3 23 π

【2020年】2020年苏教版高中数学必修二(全册)同步练习汇总

【推荐】2020年苏教版高中数学必修二（全 册）同步练习汇总 第1章立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.1 棱柱、棱锥和棱台 A级基础巩固 1．下列图中属于棱柱的有()

A．2个B．3个 C．4个D．5个 解析：根据棱柱的定义, 第一行中前两个和第二行中后两个为棱柱． 答案：C 2．五棱柱中, 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线, 那么一个五棱柱共有对角线() A．20条B．15条 C．12条D．10条 解析：由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线, 因为不同在任何侧面内, 故从一个顶点出发的对角线有2条, 五棱柱的对角线共有2×5＝10(条)． 答案：D 3．下面图形所表示的几何体中, 不是棱锥的为()

解析：判断一个几何体是否是棱锥, 关键看它是否满足以下条件：有一个面是多边形, 其余各面都是三角形, 且是有一个公共顶点的三角形．故A不是棱锥；B是四棱锥；C, D是五棱锥．答案：A 4．关于棱柱的下列说法中正确的是________(填序号)． ①所有的棱都相等； ②至少有两个面的形状完全相同； ③相邻两个面的交线叫作侧棱． 解析：①错误, 因为侧棱与底面上的棱不一定相等；②正确, 根据棱柱的结构特征知, 棱柱的两个底面一定是全等的, 故棱柱中至少有两个面的形状完全相同；③错误, 因为底面和侧面的公共边不是侧棱． 答案：② 5．观察如图所示的正六棱柱, 共有________对平行平面, 能作为棱柱底面的有________对．

解析：观察图中的正六棱柱, 可知共有4对平行平面, 其中能作为棱柱底面的只有1对． 答案：4 1 6．下列说法正确的是________(填序号)． ①底面是正方形的棱锥是正四棱锥； ②各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥； ③底面是正三角形, 其余各个面是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥； ④正四面体是正三棱锥． 解析：根据定义判定． 答案：④ 7．在四棱锥的四个侧面中, 直角三角形最多有______个． 解析：从长方体中寻找四棱锥模型． 答案：4 8．有一个面是多边形, 其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？ 解：不一定, 因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各

正弦定理和余弦定理详细讲解

高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导； 2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形； 3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．

学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用； 2.通 过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 基础知识梳理 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可 以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin _B ∶sin _C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos_A ，b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos_B ，c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2ab cos_C ．余弦 定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab .

3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半 径)，并可由此计算R 、r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数 一解 两解 一解 一解 [难点正本 疑点清源] 1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC ；在锐角三角形中，cos A

正弦定理练习含答案上课讲义

正弦定理练习

课时作业1正弦定理 时间：45分钟 满分：100分 课堂训练 1. （2013湖南理，3）在锐角△ ABC 中，角A , B 所对的边长分别 为a , b.若2asinB = 3b ，则角A 等于（ ） A. T2 【答案】 D 【解析】 本题考查了正弦定理由s^a A =S^B ，得sinA ^23, 1 1 n - sinB , SinB = 2, 3 故ZB = 30 或 150 ° 2.在△ ABC 中，角 A 、B 、 C 的对边分别为a 、b 、c ,已知/ A n = 3, a= .3, b = 1,则c 等于（ C. 3— 1 D/3 【答案】 【解析】 a 由正弦定理 sinA - si nB ‘ 可得匚3 sin ：

由 a>b ,得/A>ZB. /.z B = 30 ° 故ZC = 90 ° 由勾股定理得c = 2,故选B. 1 5 3 .在厶 ABC 中，若 tanA = 3 , C = g n, BC = 1 ,贝S AB = 【答案】 弓0 【解析】 1 J10 ??tanA = 3,且 A 为/△ABC 的内角，二 sinA^^0.由正 10 4.在△ ABC 中，若Z B = 30° AB = 2 3, AC = 2,求厶 ABC 的 周长. 【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自 然要考虑去寻求第三边 BC ,但BC 的对角Z A 未知，只知道Z B ,可 结合条件由正弦定理先求出Z C ,再由三角形内角和定理求出Z A. 【解 析】 由正弦定理，得sinC =AE AnB = 23 . VAB>AC ,AZ C>ZB , 又 TO °

苏教版高中数学必修三高一参考答案

兴化市板桥高级中学2009-2010学年度第二学期期中学情检测 高一数学参考答案 1、90 2、2,1-==b a 3、0 4、-2 5、),1(),(+∞?-∞a a 6、ο307、18、25 9、3 39210、311、112、直角 13、32 312214、③ 15、解：（1）()[]()21cos cos cos - =+-=+-=B A B A C π∴C ＝120° （2）由题设：???=+=322b a ab ? -+=?-+=∴120cos 2cos 222222ab b a C BC AC BC AC AB ()()102322 222=-=-+=++=ab b a ab b a 10=∴AB 16、(1)因为x>0,y>0,且2x+y=1 所以

12121x y x y ??+=+? ???()122x y x y ??=++ ??? 44y x x y =++ 448≥+=+= 4112,,42y x y x x y ==上式中，等号当且仅当 即也即x=y=时成立 min 128x y ??∴+= ??? （2） ( )()()( )( )2 2min ,,23 302 3 ,3a+b 22260 1 121 a b R a b ab a b ab a b a b R a b a b ab a b a b a b a b a b ++∈++=-++∴=>∴+<∈+≥-++??≥= ???∴+++-≥∴+≥== ∴+=因为且而当时，有 即上式中等号当且仅当时成立 17、 45451530453015sin sin 1000sin 30sin15sin15cos 7541000100010005001 sin 30sin 302 o o o o o o o o o o o o o ABS SBC BSA AS BS ABS BAS BS BS ?∠=-∠=-=∠=-=∴=∠∠∴=∴=?=?=?=在ABS 中，

高中数学苏教版必修4三角恒等变换练习题

第三章 三角恒等变换 § 3.1.1-2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 一．选择题 1、sin750= （ ） Ａ、14 2、tan170+tan280+tan170tan280 = （ ） Ａ、-１ Ｂ、１ Ｄ、 3、若12sin x x =cos(x +φ)，则φ的一个可能值为 （ ） Ａ、6π- Ｂ、3π- Ｃ、6π Ｄ、3 π 4、设α、β为钝角，且sin α，cos β＝α+β的值为 （ ） Ａ、 34π Ｂ、54π Ｃ、74π Ｄ、54π或74 π 5、1tan 751tan 75+- ＝ （ ） Ｃ、 Ｄ、* 6、在△ABC 中，若0

11、已知tan(4π+x )= 1 2 ，求tan x 12、化简2cos10sin 20cos20- 13、已知4π<α<34π，0<β<4π，且cos(4π-α)=35，sin(34π+β)=513 ，求sin (α+β)的值。 * 14、已知α、β为锐角，sin α= 8,17cos(α-β)=21 29 ，求cos β. 3.1.3二倍角的正弦、余弦与正切公式

正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版)

正弦定理和余弦定理的应用举例 考点梳理 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等； (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 【助学·微博】 解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有

时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 考点自测 1．(2012·江苏金陵中学)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于________． 解析 记三角形三边长为a －4，a ，a ＋4，则(a ＋4)2＝(a －4)2＋a 2－2a (a －4)cos 120°，解得a ＝10，故S ＝12×10×6×sin 120°＝15 3. 答案 15 3 2．若海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里． 解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝AB sin (180°－60°－75°) .解得BC ＝56(海里)． 答案 5 6 3．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/时． 解析 由正弦定理，得MN ＝68sin 120°sin 45°＝346(海里)，船的航行速度为3464＝ 176 2(海里/时)． 答案 176 2 4．在△ABC 中，若23ab sin C ＝a 2＋b 2＋c 2，则△ABC 的形状是________． 解析 由23ab sin C ＝a 2＋b 2＋c 2，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 相加，得a 2＋b 2＝ 2ab sin ? ????C ＋π6.又a 2＋b 2≥2ab ，所以 sin ? ????C ＋π6≥1，从而sin ? ????C ＋π6＝1，且a ＝b ，C ＝π3时等号成立，所以△ABC 是等边三角形． 答案 等边三角形

(完整版)必修五;正弦定理与余弦定理

必修五：正弦定理和余弦定理 一：正弦定理 1：定理内容：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 是三角形外接圆半径） 2：公式变形 （1）R A a C B A c b a 2sin sin sin sin ==++++ （2）?? ???C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===或R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === （3）?? ???B c C b A c C a A b B a sin sin sin sin sin sin === （4）R abc A bc B ac C ab S ABC 4sin 21sin 21sin 21====? 以下是ABC ?内的边角关系：熟记 （5）B A B A b a >?>?>sin sin （大边对大角） （6）B A B A cos cos （7）?? ???+=+=+=)sin(sin )sin(sin )sin(sin B A C C A B C B A 思考A cos 与)cos(C B +的关系 （8）2 cos 2sin C B A += （9）若AD 是ABC ?的角平分线，则 AC DC AB DB = 思考题： 1：若B A sin sin =，则B A ,有什么关系？ 2：若B A 2sin 2sin =，则B A ,有什么关系？ 3：若B A cos cos =，则B A ,有什么关系？ 4：若2 1sin > A ，则角A 的范围是什么？

解三角形：已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形. 例1：已知ABC ?，根据下列条件，解三角形. （1）10,45,60=?=∠?=∠a B A . （2）?=∠==120,4,3A b a . （3）?=∠==30,4,6A b a . （4）?=∠==30,16,8A b a . （5）?=∠==30,4,3A b a . 思考：在已知“边边角”的情况下，如何判断三角形多解的情况 判断方法:（1）用正弦定理：比较正弦值与1的关系 （2）作图法：用已知角所对的高与已知角所对的边长比较. 练习：（1）若?=∠==45,12,6A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？ （2）若?=∠==30,12,6A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？ （3）若?=∠==45,12,9A b a ，则符合条件的ABC ?有几个？ 例2：根据下列条件，判断三角形形状. （1）C B A 2 22sin sin sin =+. （2）C B A cos sin 2sin = （3）B b A a cos cos = （4）A b B a tan tan 22=

正弦定理练习题(含答案)

正弦定理 复习 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A. 6 B. 2 C. 3 D ．2 6 解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.32 3 解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝ a sin B sin A ＝4 6. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4 3，b ＝4 2，则角B 为( ) A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝ b sin A a ＝22 ，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝ 2，则c ＝( ) A ．1 B.1 2 C ．2 D.14 解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝ 2×sin 30° sin45° ＝1. 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A ， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B 即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π 2. 7．已知△ABC 中，AB ＝ 3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34 C.32 或 3 D.34或32

苏教版数学高一必修四模块综合检测

(时间：120分钟；满分：160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．cos ??? ?－17π 3＝__________. 解析：cos ????－17π3＝cos ????－6π＋π3＝cos π3＝12. 答案：12 2．已知????12sin 2θ ＜1，则θ所在的象限为__________． 解析：∵????12sin 2θ ＜1＝????120， ∴sin 2θ＞0， ∴2k π＜2θ＜2k π＋π(k ∈Z )， ∴θ表示第一或第三象限的角． 答案：第一或第三象限 3．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么a ·b 的值为__________． 解析：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×4×cos120°＝16×(－1 2 )＝－8. 答案：－8 4．已知sin α＋cos α＝－52，则tan α＋1 tan α的值为__________． 解析：∵sin α＋cos α＝－52，∴1＋2sin αcos α＝54，∴sin αcos α＝18.∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos α sin α ＝ 1 sin αcos α ＝8. 答案：8 5．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝__________. 解析：|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×????－1 2＝49，∴|5a －b |＝7. 答案：7 6．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2 )的图象如图所示，则y 的表达式为 __________． 解析：由T 2＝2π3－π6，求出周期T ＝π，ω＝2，然后可求得φ＝π 6 . 答案：y ＝2sin(2x ＋π 6 )