固定收益证券练习题：久期与凸度
1、已知一种息票利率为6%的债券每年付息，如果它离到期还有3年且到期收益率为6%，求该债券的久期。如果到期收益率为10%，久期又为多少？
答：题目没说债券面值，则默认为1000。当到期收益率=6%时，计算过程如下：
久期=2542.90/900.53=2.824 年。
2、把下列两类债券按久期长短排序。
a. 债券A：息票利率8%，20年到期，按面值出售；债券B：息票利率8%，20年到期，折价出售。
b. 债券A：不可赎回，息票利率8%，20年到期，按面值出售；债券B：可赎回，息票利率9%，20年到期，也按面值出售。
答：两者均为A大于B。
a.债券B的到期收益率高于债券A，因为它的息票支付额和到期期限等于A，而它的价格却较低，因此，它的久期更短。
b. 债券A的收益率更低，息票率也较低，两者都使得它比B的久期更长。而且，A不可赎回，这将使得它的到期期限至少与B一样长，也使得久期随之增加。
3、一保险公司必须向其客户付款。第一笔是1年支付1000万元，第二笔是5年后支付400万元。收益率曲线的形状在10%时达到水平。
a. 如果公司想通过投资于单一的一种零息债券以豁免对该客户的债务责任，则它购买的债券的期限应为多久？
b.零息债券的市场价值应为1157 万元，与债务的市场价值相等，因此，面值:
1.856
?=万元
1157 1.11381
4、a. 对拟定发行的债券附加赎回条款对发行收益有何影响？
b.对拟定发行的债券附加赎回条款对其久期和凸度有何影响？
a.1）提供了较高的到期收益率，因为赎回的特性给发行人提供了一个有价期权，因为它可以按既定的赎回价格将债券买回，即使计划中的利息支付的现值比赎回价格要高。投资者因此会要求，而发行人也愿意支付一个较高的收益率作为该特性的补偿。
（2）减少了债券的预期有效期。利率下降，债券可被赎回；利率上升，债券则必须在到期日被偿付而不能延后，具有不对称性。
（3）缺点在于有被赎回的风险，也限制了利率下降导致的债券价格上涨的幅度，对价格收益率曲线影响体现在价格压缩。
b.附加赎回条款后如果利率下降，则债券不会经历较大的价格上升。而且作为普通债券的特征的曲率也会因赎回特性而减小。使其久期下降，小于其他方面相同的普通债券的久期。可以看成零息债券，久期即为赎回债券时所经历的期限。对其凸度的影响体现在一个负凸性区间的存在。
5、长期国债当前的到期收益率接近8%。你预计利率会下降，市场上的其他人则认为利率会在未来保持不变。对以下每种情况，假定你是正确的，选择能提供更高持有期收益的债券并简述理由。
a. i. 一种Baa级债券，息票利率8%，到期期限20年；
ii. 一种Aaa级债券，息票利率8%，到期期限20年。
b. i. 一种A级债券，息票利率4%，到期期限20年，可以按105的价格赎回；
ii. 一种A级债券，息票利率8%，到期期限20年，可以按105的价格赎回；
c. i. 长期国债，息票利率6%，不可赎回，20年到期，YTM=8%；
ii. 长期国债，息票利率9%，不可赎回，20年到期，YTM=8%。
答：根据久期判断，选择久期较长的债券，可以在利率下降中获益。
a. Aaa级债券的到期收益率较低而久期较长。
b. 息票率较低的债券久期较长，具有更多的赎回保护。
c. 选择息票率较低的债券，因为它的久期较长。
6、以下问题摘自CFA试题：
1）一种债券的息票利率为6%，每年付息，调整的久期为10年，以800元售出，按到期收益率8%定价。如果到期收益率增至9%，利用久期的概念，估计价格会下降为：
a. 76.56元
b. 76.92元
c. 77.67元
d. 80.00元
2）一种债券的息票利率为6%，半年付息一次，在几年内的凸性为120，以票面的80%出售，按到期收益率8%定价。如果到期收益率增至9%，估计因凸性而导致的价格变动的百分比为：
a. 1.08%
b. 1.35%
c. 2.48%
d. 7.35%
3）有关零息债券的麦考利久期，以下说法正确的是：
a. 等于债券的到期期限。
b. 等于债券的到期期限的一半。
c. 等于债券的到期期限除以其到期收益率
d. 因无息票而无法计算。
4）每年付息的债券，息票利率为8％，到期收益率为10％，麦考利久期为9。债券的修正久期为：
a. 8.18
b. 8.33
c. 9.78
d. 10.00
5）债券的利率风险会：
a. 随到期期限的缩短而上升；
b. 随久期的延长而下降；
c. 随利息的增加而下降；
d. 以上都不对。
6）以下哪种债券的久期最长？
a. 8年期，息票利率6％；
b. 8年期，息票利率11％；
c. 15年期，息票利率6％；
d. 15年期，息票利率11％。
7、当前债券市场期限结构如下：1年期债券收益率7%，2年期债券收益率8%，3年期以上的债券收益率9%。一位投资者从1年、2年、3年期债券中选择，所有债券的息票利率均为8%，每年付息。如果投资者深信在年末收益率曲线的形状会在9%时达到水平，则投资者会购买哪种债券？
3年期债券；由于年末收益率变为9%，对3年期债券不受影响，而1,2年期债券影响较大，价格下降，到期收益率低于预期。
8、菲力普公司发行一种半年付息的债券，具有如下特性：息票利率8％，收益率8％，期限15年，麦考利久期为10年。
a. 计算修正久期；
b. 解释为什么修正久期是测度债券利率敏感性的较好方法；
c. 确定做以下调整后久期变动的方向：
i. 息票利率为4％，而不是8％；
ii. 到期期限为7年而不是15年。
d. 确定凸度，说明在给定利率变化的情况下，修正久期与凸度是怎样用来估计债券价格变动的。
答：a. 调整后久期=麦考利久期/ (1+YTM)
如果麦考利久期是10年，到期收益率为8%，则调整后的久期等于10/1.08= 9.26年。
b. 对于无期权的息票债券而言，调整后久期是债券对利率变动敏感性的更高的测度标准。到期期限仅考虑了最后的现金流，而调整后的久期还包括了其他的因素，如息票支付的规模,时间以及利率(到期收益率)水平。调整后的久期，不像到期期限，它告诉我们对于给定的到期收益率的变动，债券价格的大致变动比例。
c. i. 调整后久期随着息票利率的下降而上升。
ii. 调整后久期随期限缩短而减小。
d. 凸度测度债券的价格-收益率曲线的曲率。这一曲率表明对于债券价格变动的(仅以最初的收益率曲线的斜率为基础)久期法则仅是估计值。加入一个表示债券的凸度的项目将增加这一估计值的精确度。凸度调整表示下列等式中最后的一项，即平方项的一半。
2
凸性（）
/*1/2
?=-?+???
p p D y y
9、在今后的两年内每年年末你将支付10000元的学费开支。债券即期收益率为8%。
a. 你的债务的现值与久期各是多少？
b. 期限为多久的零息债券将使你的债务完全免疫？
c. 假定你购入一零息债券使其价值与久期完全等于你的债务。现在假定利率迅速上升至9%。你的净头寸将会如何变化，即债券价值与你的学费债务的价值之间的差额是多少？ 答： a. 债务的PV=10000美元×年金系数( 8%，2)= 17832.65美元 久期=1.4808年。
b. 要使我的债务免疫，我需要一到期期限为1.480 8年的零息债券。因为现在的价值必须为17832.65 美元，面值(即未来的赎回价)为17832.65×1.08
4808
.1或19985.26 美元。
c. 如果利率上升到9%，零息债券价值下降为19985.26美元/ 1.0914808
=17590.92 美元
学费债务的现值下降为17591.11美元。净头寸下降0.19美元。如果利率下跌到7%，零息债券 升值19985.26 美元/ 1.0
14808
=18079.99美元，学费债务的现值上升为18080.18美元。净头寸
下降0 . 1 9美元。净头寸变化的理由在于随着利率变动，学费支付后现金流的久期也变动。
10、对一个持有长期资产却靠浮动利率债券来融资的公司而言，应持有哪种利率互换？ 答：不好说，视公司所持有的长期资产的本质特性而定。如果这些资产的收益率随着短期利率变动而变动，则采取利率互换是不适当的。但是，如果长期资产是诸如固定利率抵押贷款之类的固定利率的金融资产，则利率互换可能会减少风险。在这种情况下，公司将把它的浮动利率债券债务换成一固定利率的长期债务。
11、一公司发行了1000万元面值的浮动利率债券，其利率是LIBOR 加1%，该债券以面值出售。企业担心利率会上升，因此想将其贷款锁定在某一固定利率上。公司知道在互换市场上交易商提供LIBOR 和7%固定利率的互换，什么样的利率互换可以使该公司的利息债务转换成类似综合型固定利率贷款的债务？对该债务支付的利率是多少？
答：选择利率互换协议；支付7％的固定利率即可。协议中同时收回LIBOR 利率，名义本金为1000 万元，总支付额为：10008%=80 万元万元
12、现在是2004年。你是一养老基金的债券资产组合的经理，基金的政策允许在管理债券资产组合时采用积极的策略。
经济周期看来正进入成熟期，通胀率预计会上升，为了抑制通胀，中央银行开始采取紧缩的政策。在以下各种情况下，说明你会选择两种债券中的哪一种。 a. 加拿大政府债券（加元支付），息票利率10%，2007年到期，价格为98.75元，到期收益率为10.5%；
加拿大政府债券（加元支付），息票利率10%，2015年到期，价格为91.75元，到期收益率为11.19%。
b. 得克萨斯电力公司债券，息票利率7.5%，2008年到期，AAA 级，价格为85元，到期收益率为10.02%；
亚利桑那公共服务公司债券，息票利率7.45%，2008年到期，A －级，价格为75元，到期
收益率为12.05%
c. 爱迪生联合公司债券，息票利率2.75%，2006年到期，Baa 级，价格为61元，到期收益率为12.2%；
爱迪生联合公司债券，息票利率15.37%，2006年到期，Baa 级，价格为114.4元，到期收益率为12.2%。 d. 壳牌石油公司，息票利率8.5%的偿债基金债券，2024年到期，AAA 级（偿债基金于2008年9月按面值开始），定价为68元，到期收益率为12.91%；
华纳-蓝伯特公司，息票利率8.87%的偿债基金债券，2024年到期，AAA 级（偿债基金于2013年4月按面值开始），定价为74元，到期收益率为12.31%。
e. 蒙特利尔银行（加元支付）的利率8%的定期存单，2007年到期，AAA 级，定价100元，到期收益率为8%；
蒙特利尔银行（加元支付）的浮动利率债券，2012年到期，AAA 级，当前息票利率为7.1%，定价100元（利率每半年根据加拿大政府3个月国库券利率加0.5%进行调整）。
13、新发行的10年期债券，息票利率为7%，每年付息，按面值出售。 a. 该债券的凸性和久期是多少？
b. 假定其到期收益率由7%升至8%（期限仍为10年），求债券的实际价格。
c. 根据久期法则估算的价格是多少？这一方法的误差百分比是多少？
d. 根据久期－凸性法则估算的价格是多少？这一方法的误差百分比是多少？ 答：a.凸性：63.736；久期：101.07/0.07[1(1/1.07)]7.515D =-=年；
b.如果到期收益率上升到8%，债券价格下跌到面值的93.29%，下降百分比为6.71%
10
11 1.071
[1][1]7.515(1)0.07 1.07n D m λλλ+=
-=-=+ 221()()212
110063.756
7.5151000.010.0001 6.71
1.072M PC PC
P D P D P λλλλλ?=-?+
?=-?+?+?=-??+?=-
14、长期债券价格波动性大于短期债券，但是短期债券的到期收益率的变动要大于长期债券。你怎样说明这两个经验观察是一致的？
答：利率变动对长期债券影响大，因为长期债券的久期大于短期债券的久期。而且短期债券对利率不是很敏感，所以价格不会大幅波动。如果利率上升10基点,长期债券的价格下降幅度要大于短期债券的幅度。从另一角度讲，两者都有利息回报，可以进行再投资收益。但短期债券的价格受资金的影响更大。
15、固定收益型资产组合经理要求现值100万元的投资经过5年的投资年收益率不得低于3％。3年后，利率为8％，则届时投资的临界点是多少？即经理将不得不进行免疫以确保获得最低可能的收益之前，资产组合价值会跌至多少？
基金经理愿意接受的最小终值由初始投资的每年3%的收益率决定。因此，下限等于
5100(1.03)116D =?=万美元。初始投资3年后，只剩下2年，此时基金经理需要价值
2116/1.0899.4=万美元的资产组合以确保其目标价值可以实现，此为临界点。
16、30年期债券，息票利率为7％，每年付息，现价为867.42元。20年期债券，息票利率为6.5％，每年付息，现价为879.50元。债券市场分析家预测5年后，25年期的债券将以到期收益率8％的价格出售，而15年期债券将以7.5％到期收益率的价格卖出。5年内哪种债券的预期收益率更高？
答：30年期债券，从第6年末到30年末支付的现值（在第5年年初）为：
25
1251701000
893.251.08
1.08A t t P ==+=∑
从开始到第5年的5次支付在第5年年初的终值5
1
21
70 1.06
394.60t A t P -==
?=∑
因此总收入：12893.25394.601287.85A A A P P P =+=+=
5年的收益为1/51287.85/867.62 1.485, 1.48518.23%=-=年均；20年期债券：
911.73366.411278.14,1278.14/879.50 1.453,7.76%B P =+==收益为年均
17、你的公司DNC ，将接受一家大型捐赠基金的投资委员会的面试，看是否有能力管理价
值1亿元的指数化的固定收益型资产组合。因为该委员会尚未决定使用三种指数中的哪一种作为他们的投资基准，此次面谈的重点即在于此。有关三种指数的信息如下表，另外，DNC 公司知道委员会已经采纳了一项长期的且具有高出平均风险承受力的积极的总体投资政策。 在过去的几年中，利率水平及其波动性不断下降。委员会相信这一趋势仍会持续，并且正在深入考察关于指数化资产组合在各种不同的利率条件下的可能业绩。
名 称 各部门综合信息 指数1 指数2 指数3 美国财政部 50 50 80 美国公司代理机构 10 10 10 投资级 10 10 5 低于投资级 5 5 0 住房抵押 20 25 5 扬基债券 5 0 0 总计 100 100 100 修正久期指标 5.0 8.0 8.0 到期收益率指标
7.50
8.05
8.00
两种情景是：
i. 利率普遍降低，但同时伴随着不断上升的风险。
ii. 利率自始至终一直不变，但风险一直很高。
a. 根据表中数据，将三种指数按在两种情景下相对的吸引力程度排序，并说明你的理由。
b. 推荐一种指数作为委员会使用的基准资产组合并说明理由，考虑你对a的答案及你从委员会的投资策略中所获得的信息。
c. 假定委员会已经选定了一种指数作为基准，DNC公司被任命构建和管理该指数化资产组合。试说明构建指数化固定收益型资产组合有关的实际问题。试找出两种构建资产组合的方法并简述之，并讨论每种方法的优劣。
a.第一种情况：1>3>2;
第二种情况：2>3>1
b.选1
c.可能存在种类的变化；包括的种类过多，按市值比重购买难度大，耗时耗力；流动性问题，可能有些不易买卖。
18、作为你对W公司发行的债券分析的一部分，需要对下表所示的两种特定债券作出评估。
项目W公司的债券信息
债券A（可回购）债券B（不可回购）
到期期限2014 2014
息票利率（%）11.50 7.25
当期价格/元125.75 100.00
到期收益率（%）7.70 7.25
修正久期/年 6.20 6.80
回购日2008 －
回购价格/元105 －
回购收益（%） 5.10 －
修正回购久期/年 3.10 －
a. 根据表中的久期与收益情况，比较两种债券在以下两种情况下的价格和收益情况：
i. 强有力的经济复苏同时伴随着高通胀预期；
ii. 经济衰退及低通胀预期。
b. 根据表中的信息，如果债券B到期收益率下跌75个基点，计算它预期的价格变动。
c. 试论述在分析债券A时严格限定为持有到回购日或到期日的缺陷。
答：a.i.债券收益率与利率很可能上升，债券价格将下降，可赎回债券被赎回的概率下降，更类似与不可赎回债券。它们在按到期期限定价时久期相同，可赎回债券稍低久期的特性使其在高利率下表现更好；
ii. 债券收益率与利率很可能下降，而债券价格将上升，可赎回债券可能被赎回，相应久期计算调整回赎回时。稍低的久期表明，价格的增值是有限的。但不可赎回债券调整后的久期相同，具有更高的价值增值。
b. 6.80%=%
-?（-0.75）5.1，因此价格将上升到105.1元
c.对于可赎回债券来说，债券有效期及现金流不确定。如果忽略赎回，在到期期限上分析，所有关于久期和收益率计算将不可靠。因为久期偏高，所以收益率也偏高。
另外，如果从看涨期权出发，债券超过赎回价格的溢价使得久期偏短，从而导致收益率下降。使用期权定价方法，可赎回债券分解成两种独立债券，一个不可赎回债券和一份期权。
可赎回债券价格=不可赎回债券价格—期权的价格，由于赎回债券期权有正的价值，因此可赎回债券价格小于不可赎回债券。
第一讲固定收益证券的matlab计算 第一节固定收益基本知识 固定收益证券: 一组稳定现金流的证券.广义上还包括了债券市场上的衍生产品及优先股.以债券为主. 一. 固定收益的品种 国债是固定收益的重要形式,以贴现债券(discount security)与息票债券(coupon bonds)两种形式发行. 贴现债券: 发行价低于面值,不支付利息,在到期日获取面值金融的收益. 息票:按一定的票息率发行,每隔一段时间支付一次利息,到期按面值金额赎回. 美国的固定收益证券可以分为以下几个品种: 1. (短期)国库券(Treasury bills, T-bills) 期限小于一年,贴现发行,面值usu. 1~10万美元.是流动性最高的债券品种，违约风险小，其利率usu当作无风险利率。 2．政府票据（Treasury notes, T-notes） 即美国中期国债，期限1~10年，是coupon. 3. 长期国债（Treasury bonds, T-bonds） 期限>10年，面值1~10万美元，是coupon.通常每半年付一息，到期偿本息。 4．零息票债券（Zero-coupon bond） 零息票债券是指买卖价格相对布什有较大折让的企业或市政债券。出现大额折让是由于债券并无任何利息，它们在发行时就加入折扣，或由一家银行除去息票，然后包装成为零息票债券发行，投资者在债券到期时以面值赎回。 零息票债券往往由附息债券所”剥离”出来:购买息票国债的经纪人可以要求财政部停止债券的现金支付,使其成为独立证券序列,这时每一证券都具有获得原始债券收益的要求权.
如一张10年期国债被剥离成20张半年期债券,每张都可视为零息票,它们到期日从6个月到10年不等,最后本多支付是另一张零息证券,所有的支付都单独计算,并配有自己的CUSIP号码(统一由美国证券鉴定程序委员会颁布). 具有这种标识的证券都可以在联邦银行及其分支机构上进行电子交易,财政部仍旧具有支付责任.由于这种债券息票被“剥离”了,因此被称为本息剥离式国债STRIPS(separate trading of registered interest and principal of securities). 1982年麻省海湾运输局发行了免税零息债券,标志着政府开始参与长期零息券的发行. 1987年5月起,美国财政部也允许一个被剥离债券的息票重新组合成息票. 5. 美国CD存单 美国CD存单(certificate deposit): 由银行等金融机构向存款人改选的证券,存单上标有一个到期日和利率,并且以任意面值发行,可以买卖, 偿还期限小于1年. 6. 回购协议(repurchase agreement) 短期抵押贷款,是指一方向另一方出售证券的同时,承诺在未来的某一天按协定的价格将相同的证券买回,通常由借款方发起并贷出证券,回购中涉及的证券通常具有较高的信用质量. 回购协议建立了货币市场和债券市场之间的联系. 回购协议的步骤: (1) 以债券作为抵押借入资金; (2) 经过一段时间,按照约定的价格买回抵押债券. 7. 可转换债券(convertible security) 可转换债券(简称可转债)是一种具有固定收益的证券,其特点是持有者可以转换为普通股股票,在合约的条款中规定了可转换债
债券久期、免疫方法与凸性 一、久期及其计算 多年以来，专家们运用资产到期期限作为利率风险衡量指标。例如，30年期固定利 率债券比1年期债券更具有利率敏感性。但是，人们已意识到期限只是提供的最后一笔现金流量的信息，并没有考虑到前期得到的现金流量（例如利息偿还）。通过计算持续期（久期）就可以解决这个问题。它是一个平均的到期期限，考虑了资产寿命早期所获得的现金流量因素。 有效持续期用公式表示则为： P y tC D n t t t ∑=+=1)1( 【例1】票面利率为10%，还有3年到期的债券。价格为95.2，当前利率为12%。求其持续期。 持续期=年728.22.9512.1110312.110212.110132=??? ???+??? ???+??? ??? 持续期是按照贴现现金流量的权重来加权的平均年数（1年、2年、3年）。 简单地说，持续期代表的是资产的平均到期期限。在本例中，2.728年的持续期与 3年比较接近，原因是在第3年得到一笔最大的现金流量110。 持续期与偿还期不是同一概念：偿还期是指金融工具的生命周期，即从其签订金融 契约到契约终止的这段时间；持续期则反映了现金流量，比如利息的支付、部分本金的提前偿还等因素的时间价值。 对于那些分期付息的金融工具，其持续期对于那些分期付息的金融工具，其持续期 总是短于偿还期。持续期与偿还期呈正相关关系，即偿还期越长、持续期越长；持续期与现金流量呈负相关关系，偿还期内金融工具的现金流量越大，持续期越短。 二、债券价格对利率变动的敏感程度 由金融工具的理论价格公式：∑=+=n t t t y C P 1)1( 两边对利率求导，可得出金融工具现值（理论价格）对利率变动的敏感程度： ∑=++-=n t t t y tC dy dP 11)1(∑=++-=n t t t y tC y 1) 1(11 两边同时乘以p dy 得
久期与凸性的理解 (2010-12-22 10:43:20) 最近在研究企业债券的投资，对于某些术语了解了一下，在此与大家共同学习一下,我的心 得是，久期和凸性都是衡量利率风险的指标，衡量债券价格对利率的敏感程度；但久期具 有双面性，就是在利率上升周期，要选择久期小的债券，而在利率下降周期，要选择久期 大的债券；而凸性是具有单面性，就是凸性越大，债券的风险越小，因此需要选择凸性较 大的债券。 久期描述了价格-收益率（利率）曲线的斜率，斜率大表明了作为Y轴的价格变化较大，而凸性描述了这一曲线的弯曲程度，或者是由于该曲线的非线性程度较大，使得衡量曲线斜 率的这一工具变化较大，无法以统一的数字来判断，因此再次对斜率的变化进行衡量，引 入凸性参数。凸性就是债券价格对收益率曲线的二阶导数，就是对债券久期（受利率影响，对利率敏感性）的再度测量。 简单计算方法为：例如债券久期为3，那么当市场利率提高1%，那么债券价格就近似下跌3*1%=3%；凸性用于衡量债券久期对市场利率变化的敏感性，比如债券凸性为3，那么当市场利率提高1%，那么债券久期就近似上升3*1%=3%。 在利率变化很小的时候，传统的久期（是以每期现金流现值占总体现值的比例为权重计算 的加权平均到期日）可以近似衡量债券价格和利率之间关系，但是更为精确的衡量则是修 正久期。 什么是久期？ 久期（Ｄｕｒａｔｉｏｎ）—— 久期是衡量债券利率风险最常用的指标，反映的是市场利率变化引起债券价格变化的幅度。直观地讲，就是收益率变化１％所引起的债券全价变化的百分比。 公式如下： 久期＝价格的变化幅度／单位收益率的变化 久期的分析方法 债券的久期越大，利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此，该债券所承担的利率风险也越大。在降息时，久期大的债券价格上升幅度较大；在升息时，久期大的债券价格下跌的幅度也较大。 由此，投资者在预期未来降息时，可选择久期大的债券；在预期未来升息时，可选择久期小的债券。 久期运用的局限性 久期运用的前提是假设债券价格与收益率之间的反比关系是线性的，因此，久期计算的收益率变动所引起价格变动的值，只是一个近似的公式。当收益率变动幅度比较小时，久期的准确性较高，但对于收益率变化较大时，会产生较大的误差，这时就有必要引进凸性的概念。一般情况下，久期（duration）就是麦考来持续期，这一概念最早由麦考莱为研究债券的期 限结构于1938年提出，因而被称为麦考莱久期。它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均，其权重是各期现金流现值在债券价格中所占的比重。 但是麦考莱久期不适用于具有隐含期权性质的金融工具，在久期模型研究中存在一个重要假设，即随着利率的波动，债券的现金流不会发生变化，然而这一假设对于具有隐含期权的金
固定收益证券练习题：久期与凸度 1、已知一种息票利率为6%的债券每年付息，如果它离到期还有3年且到期收益率为6%，求该债券的久期。如果到期收益率为10%，久期又为多少？ 答：题目没说债券面值，则默认为1000。当到期收益率=6%时，计算过程如下： 久期=2542.90/900.53=2.824 年。 2、把下列两类债券按久期长短排序。 a. 债券A：息票利率8%，20年到期，按面值出售；债券B：息票利率8%，20年到期，折价出售。 b. 债券A：不可赎回，息票利率8%，20年到期，按面值出售；债券B：可赎回，息票利率9%，20年到期，也按面值出售。 答：两者均为A大于B。 a.债券B的到期收益率高于债券A，因为它的息票支付额和到期期限等于A，而它的价格却较低，因此，它的久期更短。 b. 债券A的收益率更低，息票率也较低，两者都使得它比B的久期更长。而且，A不可赎回，这将使得它的到期期限至少与B一样长，也使得久期随之增加。 3、一保险公司必须向其客户付款。第一笔是1年支付1000万元，第二笔是5年后支付400万元。收益率曲线的形状在10%时达到水平。 a. 如果公司想通过投资于单一的一种零息债券以豁免对该客户的债务责任，则它购买的债券的期限应为多久？ b.零息债券的市场价值应为1157 万元，与债务的市场价值相等，因此，面值: 1.856 ?=万元 1157 1.11381 4、a. 对拟定发行的债券附加赎回条款对发行收益有何影响？ b.对拟定发行的债券附加赎回条款对其久期和凸度有何影响？
a.1）提供了较高的到期收益率，因为赎回的特性给发行人提供了一个有价期权，因为它可以按既定的赎回价格将债券买回，即使计划中的利息支付的现值比赎回价格要高。投资者因此会要求，而发行人也愿意支付一个较高的收益率作为该特性的补偿。 （2）减少了债券的预期有效期。利率下降，债券可被赎回；利率上升，债券则必须在到期日被偿付而不能延后，具有不对称性。 （3）缺点在于有被赎回的风险，也限制了利率下降导致的债券价格上涨的幅度，对价格收益率曲线影响体现在价格压缩。 b.附加赎回条款后如果利率下降，则债券不会经历较大的价格上升。而且作为普通债券的特征的曲率也会因赎回特性而减小。使其久期下降，小于其他方面相同的普通债券的久期。可以看成零息债券，久期即为赎回债券时所经历的期限。对其凸度的影响体现在一个负凸性区间的存在。 5、长期国债当前的到期收益率接近8%。你预计利率会下降，市场上的其他人则认为利率会在未来保持不变。对以下每种情况，假定你是正确的，选择能提供更高持有期收益的债券并简述理由。 a. i. 一种Baa级债券，息票利率8%，到期期限20年； ii. 一种Aaa级债券，息票利率8%，到期期限20年。 b. i. 一种A级债券，息票利率4%，到期期限20年，可以按105的价格赎回； ii. 一种A级债券，息票利率8%，到期期限20年，可以按105的价格赎回； c. i. 长期国债，息票利率6%，不可赎回，20年到期，YTM=8%； ii. 长期国债，息票利率9%，不可赎回，20年到期，YTM=8%。 答：根据久期判断，选择久期较长的债券，可以在利率下降中获益。 a. Aaa级债券的到期收益率较低而久期较长。 b. 息票率较低的债券久期较长，具有更多的赎回保护。 c. 选择息票率较低的债券，因为它的久期较长。 6、以下问题摘自CFA试题： 1）一种债券的息票利率为6%，每年付息，调整的久期为10年，以800元售出，按到期收益率8%定价。如果到期收益率增至9%，利用久期的概念，估计价格会下降为： a. 76.56元 b. 76.92元 c. 77.67元 d. 80.00元 2）一种债券的息票利率为6%，半年付息一次，在几年内的凸性为120，以票面的80%出售，按到期收益率8%定价。如果到期收益率增至9%，估计因凸性而导致的价格变动的百分比为： a. 1.08% b. 1.35% c. 2.48% d. 7.35% 3）有关零息债券的麦考利久期，以下说法正确的是： a. 等于债券的到期期限。 b. 等于债券的到期期限的一半。 c. 等于债券的到期期限除以其到期收益率 d. 因无息票而无法计算。
久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标，是衡量债券价格对利率的敏感程度。久期具有双面性，在利率上升周期，要选择久期小的债券；在利率下降周期，要选择久期大的债券。凸性具有单面性，就是凸性越大，债券的风险越小，选择凸性较大的债券，对持有者越有利。 久期描述了价格-收益率（利率）曲线的斜率，斜率大表明了作为Y轴的价格变化较大，而凸性描述了这一曲线的弯曲程度，或者是由于该曲线的非线性程度较大，使得衡量曲线斜率的这一工具变化较大，无法以统一的数字来判断，因此再次对斜率的变化进行衡量，引入凸性参数。凸性就是债券价格对收益率曲线的二阶导数，就是对债券久期（受利率影响，对利率敏感性）的再度测量。 在利率变化很小的时候，传统的久期（是以每期现金流现值占总体现值的比）可以近似衡量债券价格和利率之间关系，但是更为精确的衡量则是修正久期。 久期(也称持续期，duration)是1938年由F. R. Macaulay提出的，以衡量债券利率风险最常用的指标，反映市场利率变化引起债券价格变化的幅度。直观地讲，就是收益率变化１％所引起的债券全价变化的百分比。 久期＝价格的变化幅度／单位收益率的变化 它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均，其权重是各期现金流现值在债券价格中所占的比重。久期的计算比较麻烦，一般投资者没有必要自己去计算它。久期取决于债券的三大因素：到期期限，本金和利息支出的现金流，到期收益率。 债券的久期越大，利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此，该债券所承担的利率风险也越大。在降息时，久期大的债券价格上升幅度较大；在升息时，久期大的债券价格下跌的幅度也较大。 由此，投资者在预期未来降息时，可选择久期大的债券；在预期未来升息时，可选择久期小的债券。 案例：某只债券基金的久期是5年，如果利率下降1个百分点，则该基金的资产净值约增加5个百分点；反之，如果利率上涨1个百分点，则该基金的资产净值要遭受5个百分点的损失。又如，有两只债券基金，久期分别为4年和2年
麦考利久期 其中， MacD是马考勒久期， P是债券当前的市场价格， PV（Ct）是债券未来第t期可现金流（利息或资本）的现值， T是债券的到期时间。 t为从当前到t时刻现金流发生的持续时间。 y为债券的风险程度相适应的收益率。假设未来所有现金流的贴现率都固定为y。 需要指出的是在债券发行时以及发行后，都可以计算马考勒久期。计算发行时的马考勒久期，T（到期时间）等于债券的期限；计算发行后的马考勒久期，T（到期时间）小于债券的期限。
利率期限结构是指某个时点不同期限的即期利率与到期期限的关系及变化规律。 1 由于零息债券的到期收益率等于相同期限的市场即期利率，从对应关系上来说，任何时刻的利率期限结构是利率水平和期限相联系的函数。因此，利率的期限结构，即零息债券的到期收益率与期限的关系可以用一条曲线来表示，如水平线、向上倾斜和向下倾斜的曲线。甚至还可能出现更复杂的收益率曲线，即债券收益率曲线是上述部分或全部收益率曲线的组合。收益率曲线的变化本质上体现了债券的到期收益率与期限之间的关系，即债券的短期利率和长期利率表现的差异性。 1、预期假说 预期理论认为，长期债券的现期利率是短期债券的预期利率的函数，长期利率与短期利率之间的关系取决于现期短期利率与未来预期短期利率之间的关系。如果以Et(r(s))表示时刻t对未来时刻的即期利率的预期，那么预期理论的到期收益可以表达为：
2、市场分割理论 预期假说对不同期限债券的利率之所以不同的原因提供了一种解释。但预期理论有一个基本的假定是对未来债券利率的预期是确定的。如果对未来债券利率的预期是不确定的，那么预期假说也就不再成立。只要未来债券的利率预期不确定，各种不同期限的债券就不可能完全相互替代，资金也不可能在长短期债券市场之间自由流动。 市场分割理论认为，债券市场可分为期限不同的互不相关的市场，各有自己独立的市场均衡，长期借贷活动决定了长期债券利率，而短期交易决定了独立于长期债券的短期利率。根据这种理论，利率的期限结构是由不同市场的均衡利率决定的。市场分割理论最大的缺陷正是在于它旗帜鲜明地宣称，不同期限的债券市场是互不相关的。因为它无法解释不同期限债券的利率所体现的同步波动现象，也无法解释长期债券市场的利率随着短期债券市场利率波动呈现的明显有规律性的变化。 3、流动性偏好 希克思首先提出了不同期限债券的风险程度与利率结构的关系，较为完整地建立了流动性偏好理论。 根据流动性偏好理论，不同期限的债券之间存在一定的替代性，这意味着一种债券的预期收益确实可以影响不同期限债券的收益。但是不同期限的债券并非是完全可替代的，因为投资者对不同期限的债券具有不同的偏好。范·霍恩(Van Home)认为，远期利率除了包括预期信息之外，还包括了风险因素，它可能是对流动性的补偿。影响短期债券被扣除补偿的因素包括：不同期限债券的可获得程度及投资者对流动性的偏好程度。在债券定价中，流动性偏好导致了价格的差别。 这一理论假定，大多数投资者偏好持有短期证券。为了吸引投资者持有期限较长的债券，必须向他们支付流动性补偿，而且流动性补偿随着时间的延长而增加，因此，实际观察到的收益率曲线总是要比预期假说所预计的高。这一理论还假定投资者是风险厌恶者，他只有在获得补偿后才会进行风险投资，即使投资者预期短期利率保持不变，收益曲线也是向上倾斜的。如果R(t，T)是时刻T到期的债券的到期收益，Et(r(s))是时刻t对未来时刻即期利率的预期，L(s，T)是时刻T到期的债券在时刻s的瞬时期限溢价，那么按照预期理论和流动性偏好理论，到期收益率为：
债券的久期、凸性 久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。 久期 久期(也称持续期)是1938年由 F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。其公式为 其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。 可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。 修正久期 修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。由于债券的现值对P 求导并加以变形,得到: 我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。 由公式1和公式2我们可以得到: 在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到: 由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。 修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。 但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。误差的大小取决于曲线的凸性。 市场利率变化时,修正久期稳定性如何?比如上图中,B′和B"的修正久期相同,是否具有同等利率风险呢?显然不同。当y变大时,B"价格减少的幅度要小,而当y变小时,B"价格变大的幅度要大。显然,B"的利率风险要小于B′。因此修正久期用来度量债券的利率风险仍然存在一定误差,尤其当到期收益率变化较大时。凸性可以更准确地度量该风险。 凸性 利用久期衡量债券的利率风险具有一定的误差,债券价格随利率变化的波动性越大,这种误差越大。凸性可以衡量这种误差。 凸性是对债券价格曲线弯曲程度的一种度量。凸性越大,债券价格曲线弯曲程度越大,用修正久期度量债券的利率风险所产生的误差越大。严格地定义,凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率发生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。 根据其定义,凸性值的公式为:
久期、凸度的定义及数学推导 目录 1久期D (1) 1.1久期定义 (1) 1.2久期表达式 (2) 1.3久期作用 (2) 1.3.1 衡量加权平均期限 (2) 1.3.2 测度利率敏感性 (3) 2 凸度C (5) 2.1凸度定义 (5) 2.2表达式 (5) 2.3数学原理 (5) 1久期D 1.1久期定义 久期是债券价格相对于债券收益率的敏感性 （一）麦考利久期Dm：最早的久期衡量指标，其本质是通过计算债券偿还现金流的加权平均年限，来衡量债券价格变化敏
感度。 （二）修正久期D *：对麦考林久期进行了修正，加入考虑了到期收益率r 。比如到期收益率是5%，那么修正久期就要在麦考林久期的基础上，除以1.05。 （三）美元久期D **：对修正久期进一步修正，加入了债券价格P ，比如债券价格95，那么美元久期就要在修正久期的基础上，乘以95。 1.2久期表达式 麦考利久期：t P r t ∑==+=n t 1t t )1/(CF Dm 公式（1） 修正久期： D * =Dm/(1+r) 公式（2） 美元久期： D ** =D *P 公式（3） 【CFt ：债券每期现金流】； 【r ：到期收益率或市场利率】； 【t ：债券期数】。 1.3久期作用 1.3.1 衡量加权平均期限 麦考利久期Dm 是对债券实际平均期限的一个简单概括统计，使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间,其权重是各期现值在债券价格中所占的比重；
1.3.1.1 数学原理 从公式（1）t P r t ∑==+=n t 1t t )1/(CF Dm 出发： Dm 是时间t 的加权平均值，第t 期的权重为P r t t )1/(CF +； 比如t=2时第二期的权重为P r 22)1/(CF +； 求证：权重加总求和 ∑==+n t 1t t )1/(CF P r t =∑==+n t 1t t )1/(CF p 1t r （带入债券定价公式： P )1/(CF n t 1 t t =+∑==t r ） =P p 1 =1 1.3.2 测度利率敏感性 当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价值变化作出大致的估计。 1.3. 2.1数学原理 ①债券定价公式 )1/(CF P n t 1t t ∑==+=t r ，记为P=f （r ），r 是自变量， P 是因变量，假设其他参数均为已知且不变。 ②一阶导数：
案例分析：债券久期与凸度的Matlab实现 一、计算公式 （一）债券久期 麦考利久期（Macaulay duration）是利用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。它是债券在未来产生现金流的时间的jia全平均，其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。普通债券的久期如下式所示： D=∑PV(c t)×t T t=1 P 式中，D是麦考利久期；P是债券的当前市场价格；PV(c t)是债券未来第t期现金流（利息或面值）的现值；T是债券的到期时间。（二）债券凸度 由于债券价格与收益率之间的关系曲线存在凸向原点的非线性特征，当收益率大幅波动时，久期不能准确地描述债券价格对利率变动的敏感性。为纠正久期的这种不足，引入凸度或凸性的概念。与久期一样，凸度也是度量债券价格波动性的方法。凸度越大，债券价格曲线弯曲程度越大，用修正久期度量债券的利率风险所产生的误差越大。凸度的计算公式如下： d2p dy2=∑ t(t+1)c t (1+y)t+2
凸度的性质如下： 第一，凸度随久期的增加而增加。若收益率、久期不变，则票面利率越大，凸度越大。利率下降时，凸度增加。 第二，对于没有隐含期权的债券来说，凸度总大于0，即利率下降，债券价格将以加速度上升；当利率上升时，债券价格以减速度下降。 第三，含有隐含期权的债券的凸度一般为负，即价格随着利率的下降以减速度上升，或债券的有效持续期随利率的下降而缩短，随利率的上升而延长。 二、Matlab实现 （一）债券久期 1、根据价格计算久期 Matlab的Financial Toolbox提供了给定债券期限与价格计算久期的函数为bnddurp。 常用调用格式如下： [ModDuration, YearDuration] = bnddurp(Price, CouponRate, Settle, Maturity, Period, Basis) 主要输入参数： ?Price：债券净价 ?CouponRate：票面利率
久期与凸性就是衡量债券利率风险的重要指标,就是衡量债券价格对利率的敏感程度。久期具有双面性,在利率上升周期,要选择久期小的债券;在利率下降周期,要选择久期大的债券。凸性具有单面性,就就是凸性越大,债券的风险越小,选择凸性较大的债券,对持有者越有利。 久期描述了价格-收益率(利率)曲线的斜率,斜率大表明了作为Y轴的价格变化较大,而凸性描述了这一曲线的弯曲程度,或者就是由于该曲线的非线性程度较大,使得衡量曲线斜率的这一工具变化较大,无法以统一的数字来判断,因此再次对斜率的变化进行衡量,引入凸性参数。凸性就就是债券价格对收益率曲线的二阶导数,就就是对债券久期(受利率影响,对利率敏感性)的再度测量。 在利率变化很小的时候,传统的久期(就是以每期现金流现值占总体现值的比)可以近似衡量债券价格与利率之间关系,但就是更为精确的衡量则就是修正久期。 久期(也称持续期,duration)就是1938年由F、R、Macaulay提出的,以衡量债券利率风险最常用的指标,反映市场利率变化引起债券价格变化的幅度。直观地讲,就就是收益率变化１％所引起的债券全价变化的百分比。 久期＝价格的变化幅度／单位收益率的变化 它就是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重就是各期现金流现值在债券价格中所占的比重。久期的计算比较麻烦,一般投资者没有必要自己去计算它。久期取决于债券的三大因素:到期期限,本金与利息支出的现金流,到期收益率。 债券的久期越大,利率的变化对该债券价格的影响也越大,因此,该债券所承担的利率风险也越大。在降息时,久期大的债券价格上升幅度较大;在升息时,久期大的债券价格下跌的幅度也较大。 由此,投资者在预期未来降息时,可选择久期大的债券;在预期未来升息时,可选择久期小的债券。 案例:某只债券基金的久期就是5年,如果利率下降1个百分点,则该基金的资产净值约增加5个百分点;反之,如果利率上涨1个百分点,则该基金的资产净值要遭受5个百分点的损失。又如,有两只债券基金,久期分别为4年与2年,前者资产净值的波动幅度大约为后者的两倍。