徐州市2009/2010学年度高三年级第三次调研考试
数 学 试 题
正题部分 (总分160分,考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题
纸的指定位置上. 1．若复数2
1(1)i z a a =-+-(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a . 1- 2
．已知函数y =
的定义域为集合P ,N 为自然数集,则集合P N 中元素的个数
为 . 3
3．若函数()sin ()(0
f x A x A ω?=+>的部分图象如图所示，则ω4．在矩形A B C D 中，2A B =， 3B C =，以B C 边所在直线为轴旋转一周，则形成的几
何体的侧面积为 . 12π
5．已知向量(sin ,co s ),(1,2)x x ==-a b ，且//a b ，则tan x = . 12
-
6．已知变量,x y 满足236y x x y y x ??
+??-?
≤≥≥，则2z x y =+的最大值是 .9
7．下面是一个算法的程序框图，当输入值x 为8时，则其输出的结果是 .2
8．在某次数学小测验后，老师统计了所任两个班级的数学成绩，并制成下面的频率分布表，
请你估计这两个班的本次数学测验的平均分为 . 82
第7题图 第8题图
9．一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三
次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为________．112
10．已知p ：
112
x ≤
≤，q ：()(1)0x a x a --->，若p 是q ?
的充分不必要条件，则实
数a 的取值范围是 . 10,2?
?
????
11．在数列{}n a 中，若对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值（n *
∈N ），且
79982,3,4a a a ===，则此数列{}n a 的前100项的和100S = .299
12．已知椭圆
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>
的离心率是
3
，过椭圆上一点M 作直线,M A M B 交
椭圆于,A B 两点，且斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称，则12k k ?的值为 .13
-
13．已知扇形的圆心角为2α（定值），半径为R （定值），分别按图一、二作扇形的内接矩
形，若按图一作出的矩形面积的最大值为2
1ta n 2
R α，
则按图二作出的矩形面积的最大值为 . 2
ta n 2
R α
14．设函数2()21f x x x =+-，若1,a b <<-且()(),f a f b =则a b a b ++的取值范围
为 .()1,1-
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,
请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．在三角形A B C 中，已知2A B A C A B A C ?=?
，设C A B α∠=，
（1）求角α的值；
（2
）若c o s (-)=
7
βα5(
,)36
βππ∈，求c o s β的值.
图一
第13题图
图二
解：（1）由2A B A C A B A C ?=? ，得2c o s A B A C A B A C α?=?
所以1c o s 2
α=
，又因为0α<<π为三角形A B C 的内角，所以3
απ=
，
…………………………………………6分
（2）由（1
）知：s in 2
α=
，且(0,
)2
βαπ-∈，所以1s in ()7
βα-=
…………………………………………8分
故co s co s()co s()co s sin ()sin ββααβααβαα=-+=---
＝
1172
7
2
14
-?=
. …………………………………………14分
16．如图，平面A B C D ⊥平面P A D ,△APD 是直角三角形，0
90
A P D
∠=，四边形A B C D
是直角梯形,其中//B C A D ,90B A D ∠=
,BC AD 2=,的中点是AD O (1)求证：//C D P B O 平面；
(2)求证:P A B P C D ⊥平面平面.
16．证明：（1）因为2A D B C =,且O 是A D 中点， 所以O D B C =，又//A D B C ， 所以//O D B C ， 所以四边形B C D O 为平行四边形， …………………………………………2分
所以//,C D B O C D ?平面P B O , 且B O ?平面P B O ,故//C D 平面P B O , …………………………………………6分
(2)因为90B A D ∠=
，所以B A A D ⊥，
又平面P A D ⊥平面A B C D ，且平面P A D 平面A B C D A D =,A B ?平面A B C D , 所以A B ⊥平面P A D , …………………………………………8分 P D ?平面P A D ，
所以A B P D ⊥,,A P P D A B A P A ⊥= ，
所以P D ⊥平面P A B , …………………………………………12分 P D ?平面P C D ，
故平面P A B ⊥平面P C D . …………………………………………14分
A
D
C
B
P
O
第16题图
A
D
C
B
P
O
第16题图
17．已知圆M 的方程为2
2(2)1x y +-=，直线l
的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过
P
点作圆M 的切线,P A P B ，切点为,A B ．
（1）若60
A P
B ∠=
，试求点P 的坐标；
（2）若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D
两点，当C D =
C D 的方程；
（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标. 解：（1）设(2,)
P m m ，由题可知2M P =，所以2
2
(2)(2)4m m +-=，解之得：40,5
m m ==
故所求点P 的坐标为(0,0)P 或84(,)55
P ． …………………………………………4分 （2）设直线C D 的方程为：1(2)y k x -=-，易知k 存在，由题知圆心M 到直线C D 的距
离为2
，所以
2=
， …………………………………………6分
解得，1k =-或17
k =-，
故所求直线C D 的方程为：30x y +-=或790x y +-=．………………………8分 （3）设(2,)P m m ，M P 的中点(,
1)2
m Q m +，因为P A 是圆M 的切线
所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心，以M Q 为半径的圆， 故其方程为：2
22
2
()(1)(
1)2
2
m m x m y m
-+-
-=+-……………………………10分
化简得：2
2
2(2)0x y y m x y +--+-=，此式是关于m 的恒等式，
故2
2
20,20,
x y y x y ?+-=?+-=?解得02x y =??=?或1,1.x y =??=?
所以经过,,A P M 三点的圆必过定点(0,2)或(1,1).…………………………………14分
18．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足2
21n n a S -=，令
1
1n n n b a a +=
?，数列{}n b 的前n 项和为n T .
（1）求数列{}n a 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和为n T ；
（2）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n
的值；若不存在，请说明理由.
17．解：（1）因为{}n a 是等差数列，由2
12121()(21)
(21)2
n n n n a a n a S n a --+-===-，
又因为0n a ≠，所以21n a n =-， ……2分 由1
11
111(
)(21)(21)
221
21
n n n b a a n n n n +=
=
=-
-+-+，
所以111111(1)2
3
35
21
2121n n T n n n =
-
+
-
++
-
=
-++ ． ……6分
(2)由(1)知，21
n n
T n =
+， 所以11,,3
21
21m n m
n T T T m n =
=
=
++，
若1,,m n T T T 成等比数列，则2
1
(
)(
)21321
m n
m n =
++，即
2
2
441
63
m n m
m n =
+++．……8分
解法一：由
2
2
441
63
m
n m
m n =
+++， 可得
2
2
3241m
m n
m
-++=
，
所以2
2410m m -++>， ……12分
从而：112
2
m -
<<+
，又m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =．
故可知：当且仅当2m =， 12n =使数列{}n T 中的1,,m n T T T 成等比数列。……16分
解法二：因为
11363
6
6n n n =<
++
，故
2
2
1441
6
m m
m <
++，即2
2410m m --<，……12分
从而：112
2
m -
<<+
，（以下同上）．
19．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。为了增加企业竞争力，决定优
化产业结构，调整出*
()x x ∈N 名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利
润为310()
500
x a
-万元(0)a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0
0.2x
.
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调
整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利
润，则a 的取值范围是多少？
19.（1）由题意得：000.10(1000)(12x x -+?≥101000， …………………………4分 即2
500x x -≤0,又0,x >所以0x <≤500.
即最多调整500名员工从事第三产业．…………………………………………6分 （2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500
x a x
-万元，从事原来产业的员工的年
总利润为
110(1000)(1)
500
x x -+
万元，则0
310())(1)
500
0.2x a
x x
x -
+≤10(1000-，
…………………………………………10分
所以2
31000500
x
a x -≤2
12500
x x x
+--
， 所以a x
≤
2
21000500
x
x
++，
即a ≤210001
500
x x
+
+恒成立， …………………………………………12分
因为
21000500x x +
≥2
4
=，
当且仅当
21000500
x x
=
，即500
x
=时等号成立．
所以5a ≤， 又>0a ， 所以05a <≤，
即a 的取值范围为(0,5]． …………………………………………16分 20．设函数2
2
()f x a x =（0a >），()ln g x b x =．
(1) 若函数()y f x =图象上的点到直线30x y --=距离的最小值为a 的值； (2) 关于x 的不等式2
(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (3) 对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得()f x k x m ≥+和
()g x kx m ≤+都成立，则称直线y k x m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”
．设
2
a =
，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”
的方程；若不存在，请说明理由．
20．解：（1）因为22
()f x a x =，所以2
'()2f x a x =，令2
'()21f x a x ==
得：2
12x a
=，此时2
14y a
=
， …………2分
则点2
2
11
(
,
)24a
a 到直线30x y --=的距离为
即=
，解之得14
a =
…………4分
（2）解法一：不等式2
(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，
等价于2
2
(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故2
10a -<， …………6分
令22()(1)21h x a x x =--+，由(0)10h =>且2
(1)0(0)h a a =-<>， 所以函数2
2
()(1)21h x a x x =--+的一个零点在区间(0,1)，
则另一个零点一定在区间(3,2)--， …………8分
故(2)0,(3)0,
h h ->??-
解法二：2
2
(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故2
10a -<，即1a >，…………6分
[][]22
(1)21(1)1(1)10a x x a x a x --+=--+->，
所以
1111x a
a
<<-+，又因为1011a
<
<+， …………8分
所以1321a
-<<--，解之得
433
2
a <<
． …………10分
（3）设2
1()()()
l n 2
F x f x g x x
e x =-=-，则2
'
()e x e F x x x
x
x
-=-
==
所以当0x <<时，'
()0F x >；当x >
'
()0F x <．
因此x =
()F x 取得最小值0，
则()f x 与()g x 的图象在x =
)2
e ． …………12分
设()f x 与()g x 存在 “分界线”，方程为(2
e y k x -=-
，
即2e y k x k =+
-
由()2
e f x k x k
≥+-x ∈R 恒成立，则2
220x k x e k
--+≥在x ∈R 恒成立 ．
所以22
2
44(2)4844(0k k e k k e k ?=-=-=-≤成立，
因此k = …………14分
下面证明()(0)2
e g x x ≤
-
>恒成立．
设()ln 2
e G x e x =-，则)()e x G x x
x
'=
-=
．
所以当0x <<时，'()0G x >；当x >'
()0G x <．
因此x =()G x 取得最大值0
，则()(0)2
e f x x ≤
-
>成立．
故所求“分界线”方程为：2
e y =-
． …………16分
附加题部分
A ．选修4－1（几何证明选讲） 如图，A
B
C
D 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，D A 为半径的圆弧与以B C 为直径的O 交于点F ，延长C F 交A B 于
E ．（1）求证：E 是A B 的中点；（2）求线段B
F 的长． （1）证明：利用C D O B C E ?△△，可证：
12E B O C A B ==
（2）由△FEB ∽△BEC ，得
B F
C B B E
C E
=
,
∴5
B F a =
．
B ．选修4－2（矩阵与变换） 已知矩阵a b A c
d ??
=?
???，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为111α??=????
，属于特征值－1的一个特征向量为211α??
=?
?-??
，求矩阵A ． 解：由矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为111α??=????
可得a b c
d ???
???11??????＝311??
????
，
即3
3a b c d +=??+=?
； …………………………………4分
由矩阵A 属于特征值2的一个特征向量为2
11α??=??-??，可得a
b c d ???
???11????-??＝（－1）11??
??-??
，
E
O
B C
即11
a b c d -=-??
-=? …………………………………………6分
解得1
2
21
a b c d =??=??
=??=?
即矩阵1221A ??
=????
………………10分 C ．选修4－4（坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线C
的极坐标方程为in ()4
π
ρθ=-
，以极点为原点，极轴为x 轴
的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为415
315x t y t
?
=+????=--??
（t 为参数），求直线
l 被曲线C 所截得的弦长.
解：将方程in ()4πρθ=-，415
315x t y t
?
=+???
?=--??
分别化为普通方程： 22
220x y x y ++-=， 341
x y ++
=………(6分) 由曲线C 的圆心为(1,1)C -
C 到直线l 的距离为
25
，
故所求弦长为5
=
………(10分)
D ．选修4—5（不等式选讲）
已知实数,,x y z 满足2x y z ++=，求2
2
2
23x y z ++的最小值；
解：由柯西不等式可知：2
222222()))1x y z z ??
??++++?++???
???
≤
…………………………………………5分 故2
2
2
242311
x y z
++≥
，当且仅当
1
z =
=
，即：6412,,11
11
11
x y z =
=
=
222
23x y z ++取得最小值为
2411
…………………………………………10分
N
3A
2
A
1A
22．如图，在正方体1111A B C D A B C D -中，P 是棱B C 的中点，Q 在棱C D 上.
且D Q D C λ=，若二面角1P C Q C --
的余弦值为7，求实数λ的值.
解：以1,,A B A D A A
为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A x y z -，
设正方体的棱长为4，则各点的坐标分别为(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(4,4,0)C ，(0,4,0)D ；
1(0,0,4)A ，1(4,0,4)B ，1(4,4,4)C ，1(0,4,4)D ，(4,2,0)P ，(4,4,0)Q λ.………2分
设平面1C P Q 法向量为(1,,)n b c = ，而1(0,2,4)P C = ，(44,2,0)P Q λ=- ， 所以240(44)20b c b λ+=?
?-+=?
，可得一个法向量(,,)n a b c = =(1,2(1),(1))λλ---，………6分
设面1C P Q 的一个法向量为(0,1,0)u =
，
则c o s ,7
n u <>=
=
， …………………………8分
即：2
1(1)9
λ-=
，又因为点Q 在棱C D 上，所以23
λ=.……………………………10分
23．如图，在某城市中，,M N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A 、2A 、3A 、4A 是
道路网中位于一条对角线上的４个交汇处.今在道路网,M N 处的甲、乙两人分别要到
,N M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到
达,N M 为止.
（１）求甲经过2A 到达Ｎ的方法有多少种； （２）求甲、乙两人在2A 处相遇的概率；
B
D
1
B 1
（３）求甲、乙两人相遇的概率. 解：（１）甲经过2A ，可分为两步： 第一步，甲从M 经过2A 的方法数为1
3C 种； 第二步，甲从2A 到N 的方法数为1
3C 种；
所以甲经过2A 到达N 的方法数为12
3()9C =种.………………………………2分
（２）由（１）知，甲经过2A 的方法数为213)(C ；乙经过2A 的方法数也为2
13)(C . 所以甲、乙两人在2A 处相遇的方法数为4
13)(C ＝81； 甲、乙两人在2A 处相遇的概率为400
81)
(3
6
3
6413=
=C C C P .………………………6分
（３）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在1A 、2A 、3A 、4A 处相遇，他们在)
4,3,2,1(=i A i 相遇的走法有4
13)(-i C 种方法；
所以：4
33423413403)()()()(C C C C +++＝164
故甲、乙两人相遇的概率100
41400
164=
=
P .
答：（1）甲经过2A 到达N 的方法数为9种； （2）甲、乙两人在2A 处相遇的概率为81400
；
（3）甲、乙两人相遇的概率41100
. ………………………10分