中考数学一轮复习第六章 实数知识点-+典型题含答案
一、选择题
1．对一组数(x,y)的一次操作变换记为P 1(x,y)，定义其变换法则如下：P 1(x,y)=(x+y,x-y)，且规定P n (x,y)=P 1(P n-1(x,y))（n 为大于1的整数），如：P 1(1,2)=(3,-1)，P 2(1,2)= P 1(P 1(1,2))= P 1(3,-1)=(2,4)，P 3(1,2)= P 1(P 2(1,2))= P 1(2,4)=(6,-2)，则P 2017(1,-1)=（ ）．
A ．（0，21008）
B ．（0，-21008）
C ．（0，-21009）
D ．（0，21009）
2．40在下面哪两个整数之间（ ）
A ．5和6
B ．6和7
C ．7和8
D ．8和9
3．如图，数轴上的,,A B C 三点所表示的数分别为a b c 、、，其中AB BC =，如果||||||a c b >>那么该数轴的原点O 的位置应该在（ ）
A ．点A 的左边
B ．点A 与点B 之间
C ．点B 与点C 之间
D ．点C 的右边 4．若一个正数x 的平方根为27a -和143a -，则x =（ ）
A ．7
B ．16
C ．25
D ．49 5．下列各数中，属于无理数的是（ ）
A ．227
B ．3.1415926
C ．2.010010001
D ．π3
- 6．下列说法：①所有无理数都能用数轴上的点表示；②若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0或1164±，其中正确的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
7．观察下列各等式：
231-+=
-5-6+7+8=4
-10-l1-12+13+14+15=9
-17-18-19-20+21+22+23+24=16
……
根据以上规律可知第11行左起第11个数是（ ）
A ．-130
B ．-131
C ．-132
D ．-133
8．若320,a b -+=则+a b 的值是（ ）
A ．2
B 、1
C 、0
D 、1-
9．2a+b b-4=0，则a +b 的值为( )
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．0
D ．2 10．下列各组数的大小比较正确的是( )
A 56
B 3π
C ．5.329
D ． 3.1-＞﹣3.1
二、填空题
11．观察下列算式：
16＋4＝20；
40＋4＝44；…
__________
12．若()22110a c --=，则a b c ++=__________．
13的平方根是 _______ ；38a 的立方根是 __________．
14．规定运算：()a b a b *=-，其中b a 、为实数，则4)+=____ 15．写出一个大于3且小于4的无理数：___________．
16．49的平方根是________,算术平方根是______,-8的立方根是_____.
17．3是______的立方根；81的平方根是________2=__________．
18．35.12=0.3512=-，则x =_____________．
19．已知a 、b 为两个连续的整数，且a b ，则a +b ＝_____．
20．===，……请你将发现的规律用含自然数n （n≥1）的等式表示出来__________________．
三、解答题
21．据说，我国著名数学家华罗庚在一次访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数32768，它是一个正数的立方，希望求它的立方根，华罗庚不假思索给出了答案，邻座乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘，你知道华罗庚是怎样准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由33101000,1001000000==，因为1000327681000000<<______位数；
（2）由32768的个位上的数是8________，划去32768
后面的三位数768得到32，因为333=27,4=64_____________
(3)已知13824和110592-分别是两个数的立方，仿照上面的计算过程，请计算：
________=
22．我们规定：a p -＝1p a
（a ≠0），即a 的负P 次幂等于a 的p 次幂的倒数．例：24-＝2
14 （1）计算：25-＝__；22-（﹣）＝__；
（2）如果2p -＝18，那么p ＝__；如果2a -＝116，那么a ＝__； （3）如果a p -＝19
，且a 、p 为整数，求满足条件的a 、p 的取值． 23．你能找出规律吗？
（1）计算：49?＝ ，49?＝ ；1625?＝ ，1625?＝ ．
结论：49?
49?；1625? 1625?．（填“＞”，”＝”，“＜”）．
（2）请按找到的规律计算：
①520?；
②2
31935
?． （3）已知：a ＝2，b ＝10，则40＝ （可以用含a ，b 的式子表示）．
24．（1）如图，分别把两个边长为1cm 的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为_______cm ；
（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是22cm π，设圆的周长为C 圆，正方形的周长为C 正，则C 圆_____C 正（填“=”或“<”或“>”号）；
（3）如图，若正方形的面积为2400cm ，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为2300cm 的长方形纸片，使它的长和宽之比为3:2，他能裁出吗？请说明理由？
25．你会求（a ﹣1）（a 2012+a 2011+a 2010+…+a 2+a+1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：
()()2111a a a -+=-，
()()23111a a a a -++=-，
()()324111a a a a a -+++=-，
（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a ﹣1）（a 2014+a 2013+a 2012+…+a 2+a+1）＝
利用上面的结论，求：
（2）22014+22013+22012+…+22+2+1的值是．
（3）求52014+52013+52012+…+52+5+1的值．
26．定义：若两个有理数a，b满足a＋b＝ab，则称a，b互为特征数．
（1）3与互为特征数；
（2）正整数n (n＞1)的特征数为；（用含n的式子表示）
（3）若m，n互为特征数，且m＋mn＝－2，n＋mn＝3，求m＋n的值．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】分析：用定义的规则分别计算出P1，P2，P3，P4，P5，P6，观察所得的结果，总结出规律求解.
详解：因为P1（1，-1）=（0，2）；
P2（1，-1）=P1(P1(1,-1）)=P1(0,2)=(2,-2)；
P3（1，-1）=P1（P2(2,-2)）=(0,4)；
P4（1，-1）=P1（P3(0,4)）=(4,-4)；
P5（1，-1）=P1（P4(4,-4)）=(0,8)；
P6（1，-1）=P1（P5(0,8)）=(8,-8)；
……
P2n-1（1，-1）=……=(0,2n)；
P2n（1，-1）=……=(2n,-2n).
因为2017=2×1009-1，
所以P2017=P2×1009-1=（0，21009）.
故选D.
点睛：对于新定义，要理解它所规定的运算规则，再根据这个规则进行相关的计算；探索数字的变化规律通常用列举法，按照一定的顺序列举一定数量的运算过程和结果，从运算过程和结果中归纳出运算结果或运算结果的规律.
2．B
解析：B
【分析】
6＜7．
【详解】
所以6＜7．
故选：B ．
【点睛】
的取值范围是解题关键．
3．C
解析：C
【分析】
根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A 、B 、C 到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解．
【详解】
∵|a|＞|c|＞|b|，
∴点A 到原点的距离最大，点C 其次，点B 最小，
又∵AB=BC ，
∴原点O 的位置是在点B 、C 之间且靠近点B 的地方．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
首先根据正数的两个平方根互为相反数，列的方程：（27a -）+（143a -）=0，解方程即可求得a 的值，代入即可求得x 的两个平方根，则可求得x 的值．
【详解】
∵一个正数x 的平方根为27a -和143a -，
∴（27a -）+（143a -）=0，
解得：a=7.
∴27a -=7，143a -=-7，
∴x=(±7)2 =49.
故选D.
【点睛】
此题考查平方根，解题关键在于求出a 的值.
5．D
解析：D
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：A、22
7
是有理数，故选项A不符合题意；
B、3.1415926是有理数，故选项B不符合题意；
C、2.010010001是有理数，故选项C不符合题意；
D、
π
3
-是无理数，故选项D题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
6．C
解析：C
【分析】
分别根据相关的知识点对四个选项进行判断即可．
【详解】
解：①所有无理数都能用数轴上的点表示，故①正确；
②若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0，故②错误；
③任何实数都有立方根，③说法正确；
2
±，故④说法错误；
故其中正确的个数有：2个．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是实数，需要注意掌握实数的概念、平方根以及立方根的相关知识点．
7．C
解析：C
【分析】
通过观察发现：每一行等式右边的数就是行数的平方，故第n行右边的数就是n的平方，而左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．
【详解】
解：第一行：211
=；
第二行：224
=；
第三行：239
=；
第四行：2416
=；
……
第n行：2n；
∴第11行：2
11121
=．
∵左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．
∴第11行左起第1个数是-122，第11个数是-132．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查探索数与式的规律，正确找出规律是解题关键．
8．B
解析：B
【解析】
试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B．
考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：绝对值．
9．D
解析：D
【分析】
根据绝对值与算术平方根的非负性，列出关于a、b的方程组，解之即可．
【详解】
b-4=0，
∴2a+b＝0，b﹣4＝0，
∴a＝﹣2，b＝4，
∴a+b＝2，
故选D．
【点睛】
本题考查了绝对值与算术平方根的非负性，正确列出方程是解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】
，
∴选项A符合题意；
，
∴选项B不符合题意；
∵5.3
∴选项C不符合题意；
-＜﹣3.1，
∵ 3.1
∴选项D不符合题意．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
二、填空题
11．【分析】
根据题目数据，计算结果等于首尾两个偶数的乘积的平方的算术平方根再加上16的算术平方根，依此进行计算即可．
【详解】
解：
=
=1080+4
=1084．
故答案为：1084．
【点睛】
解析：【分析】
根据题目数据，计算结果等于首尾两个偶数的乘积的平方的算术平方根再加上16的算术平方根，依此进行计算即可．
【详解】
=
=1080+4
=1084．
故答案为：1084．
【点睛】
本题考查了算术平方根，读懂题目信息，观察出计算结果等于首尾两个偶数的乘积加上4是解题的关键．
12．【分析】
先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a、b、c的值，再代入即可得．
【详解】
由题意得：，解得，
则，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用 解析：12
- 【分析】
先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a 、b 、c 的值，再代入即可得．
【详解】
由题意得：2102010a b c -=??+=??-=?，解得1221a b c ?=??=-??=??
， 则()112122a b c ++=
+-+=-， 故答案为：12
-
． 【点睛】
本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用等知识点，熟练掌握绝对值、算术平方根、偶次方的非负性是解题关键． 13．2a
【分析】
根据平方根的定义及立方根的定义解答.
【详解】
的平方根是，的立方根是2a ，
故答案为：，2a.
【点睛】
此题考查平方根及立方根的定义，利用定义求一个数的平方根及立
解析：
【分析】
根据平方根的定义及立方根的定义解答.
【详解】
38a 的立方根是2a ，
故答案为：，2a .
【点睛】
此题考查平方根及立方根的定义，利用定义求一个数的平方根及立方根.
14．4
【分析】
根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可．
【详解】
=
=
=4
故答案为4．
【点睛】
本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键
解析：4
【分析】
根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可．
【详解】
4)+
4
=4=4
故答案为4．
【点睛】
本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键．
15．如等，答案不唯一．
【详解】
本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于和之间的无理数有无穷多个，因为，故而9和16都是完全平方数，都是无理数.
解析：π等，答案不唯一．
【详解】
本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于3和4之间的无理数有无穷多个，
因为2239,416==，故而9和16,15都是无理数.
16．±7 7 -2
【解析】
试题解析：∵（±7）2=49，
∴49的平方根是±7，算术平方根是7；
∵（-2）3=-8，
∴-8的立方根是-2.
解析：±7 7 -2
【解析】
试题解析：∵（±7）2=49，
∴49的平方根是±7，算术平方根是7；
∵（-2）3=-8，
∴-8的立方根是-2.
17．±9 2-
【分析】
根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；
【详解】
解：∵ ，
∴3是27的立方根；
∵ ，
∴81的平方根是 ；
∵ ，
∴；
故答案为：2
解析：
【分析】
根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；
【详解】
解：∵3327= ，
∴3是27的立方根；
∵2(9)81±= ，
∴81的平方根是9± ；
2< ，
22=
故答案为：27，9±，；
【点睛】
本题主要立方根、平方根的定义以及去绝对值法则，掌握一个数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．
18．－0.0433
【分析】
三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x 的值．
【详解】
从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添
解析：－0.0433
【分析】
三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x的值．
【详解】
从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添加了“－”
∴根据规律，三次根式内的式子应该缩小1000000倍，且添加“－”
故答案为：－0.0433
【点睛】
本题考查三次根式的规律，二次根式规律类似：二次根号内的式子扩大或缩小100倍，则得到的结果扩大或缩小10倍．
19．9
【分析】
首先根据的值确定a、b的值，然后可得a+b的值．
【详解】
∵＜，
∴4＜＜5，
∵a＜＜b，
∴a＝4，b＝5，
∴a+b＝9，
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的
解析：9
【分析】
a、b的值，然后可得a+b的值．
【详解】
∴45，
∵a b，
∴a＝4，b＝5，
∴a+b＝9，
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的大小，关键是正确确定a、b的值．
20．【分析】
观察分析可得，，，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
【详解】
由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
故答案为：
【点睛】
本题主要考查二次根式，找
=+≥
(1)
n n
【分析】
=+
=(2
(3
=+n(n≥1)的等式表示出来是
=+≥
(1)
n n
【详解】
由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
=+≥
(1)
n n
n n
=+≥
(1)
【点睛】
本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n表示的等式即可．
三、解答题
21．（1）两；（2）2，3；（3）24，-48．
【分析】
（1）根据题中所给的分析方法先求出这32768的立方根都是两位数；
（2）继续分析求出个位数和十位数即可；
（3）利用（1）（2）中材料中的过程进行分析可得结论．
【详解】
解：（1）由103=1000，1003=1000000，
∵1000＜32768＜100000，
∴10100，
故答案为：两；
（2）∵只有个位数是2的立方数是个位数是8，
2
划去32768后面的三位数768得到32，
因为33=27，43=64，
∵27＜32＜64，
∴3040．
3．
故答案为：2，3；
（3）由103=1000，1003=1000000，
1000＜13824＜1000000，
∴10100，
∵只有个位数是4的立方数是个位数是4，
4
划去13824后面的三位数824得到13，
因为23=8，33=27，
∵8＜13＜27，
∴2030．
；
由103=1000，1003=1000000，
1000＜110592＜1000000，
∴10100，
∵只有个位数是8的立方数是个位数是2，
8，
划去110592后面的三位数592得到110，
因为43=64，53=125，
∵64＜110＜125，
∴4050．
；
故答案为：24，-48．
【点睛】
此题考查立方根，解题关键在于理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的
个位数．
22．（1）
125；14；（2）3；±4．（3）当a ＝9时，p ＝1；当a ＝3时，p ＝2；当a ＝﹣3时，p ＝2.
【分析】
（1）根据题意规定直接计算.
（2）将已知条件代入等式中，倒推未知数.
（3）根据定义，分别讨论当a 为不同值时，p 的取值即可解答.
【详解】
解：（1）5﹣2＝125；（﹣2）﹣2＝14
； （2）如果2﹣p ＝
18，那么p ＝3；如果a ﹣2＝116，那么a ＝±4； （3）由于a 、p 为整数，
所以当a ＝9时，p ＝1；
当a ＝3时，p ＝2；
当a ＝﹣3时，p ＝2．
故答案为（1）
125；14
；（2）3；±4．（3）当a ＝9时，p ＝1；当a ＝3时，p ＝2；当a ＝﹣3时，p ＝2.
【点睛】 本题考查新定义，能够理解a 的负P 次幂等于a 的p 次幂的倒数这个规定定义是解题关键.
23．（1）6，6，20，20，＝，＝；（2）①10，②4；（3）2a b
【分析】
（1)0,0a b =≥≥，据此判断即可．
（2=10===，
4===，据此解答即可．
（3）根据a =b =2a b ==，据此解答即可．
【详解】
解：（1236=?=6==；
4520=?=20==．
==
故答案为：6，6，20，20，＝，＝；
（210===；
4===；
（3）∵a =b =
2a b =
=， 故答案为：2a b ．
【点睛】 本题考查算数平方根，掌握求一个数算术平方根的方法为解题关键．
24．（1；（2）<；（3）不能裁剪出，详见解析
【分析】
（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；
（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方形的周长，利用作商法比较这两数大小即可；
（3）利用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可；
【详解】
解：（1）∵小正方形的边长为1cm ，
∴小正方形的面积为1cm 2，
∴两个小正方形的面积之和为2cm 2，
即所拼成的大正方形的面积为2 cm 2，
cm ，
（2）∵22r ππ=，
∴r =
∴2=2C r π=圆，
设正方形的边长为a
∵22a π=，
∴a
∴=4C a =正
∴1C C ===<圆
正
故答案为：＜；
（3）解：不能裁剪出，理由如下：
∵长方形纸片的长和宽之比为3:2，
∴设长方形纸片的长为3x ，宽为2x ，
则32300x x ?=，
整理得：250x =，
∴22
(3)9950450x x ==?=，
∵450＞400，
∴22(3)20x >，
∴320x >，
∴长方形纸片的长大于正方形的边长，
∴不能裁出这样的长方形纸片．
【点睛】
本题通过圆和正方形的面积考查了对算术平方根的应用，主要是对学生无理数运算及比较大小进行了考查．
25．（1）a
2015﹣1；（2）22015﹣1；（3）2015514-． 【分析】
（1）根据已知算式得出规律，即可得出答案．
（2）先变形，再根据规律得出答案即可．
（3）先变形，再根据规律得出答案即可．
【详解】
（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，（a ﹣1）（a 2012+a 2011+a 2010+…+a 2+a+1）＝a 2015﹣1，
故答案为：a 2015﹣1；
（2）22014+22013+22012+…+22+2+1
＝（2﹣1）×（22014+22013+22012+…+22+2+1）
＝22015﹣1，
故答案为：22015﹣1；
（3）52014+52013+52012+…+52+5+1 ＝14
×（5﹣1）×（52014+52013+52012+…+52+5+1） ＝2015514
-． 【点睛】
本题考查了实数运算的规律题，掌握算式的规律是解题的关键．
26．（1）
32；（2）1n n -；（3）13 【分析】
（1）设3的特征数为b ，根据特征数的定义列式求解即可；
（2）设n 的特征数为m ，根据特征数的定义列式求解即可；
（3）根据m ，n 互为特征数得出m ＋n ＝mn ，结合已知的两个等式进行求解即可．
【详解】
解：（1）设3的特征数为b ，
由题意知，33b b +=， 解得，32
b =，
∴3与32
互为特征数， 故答案为：
32 （2）设n 的特征数为m ， 由题意知，n ＋m ＝nm ， 解得，1
n m n =-， ∴正整数n (n ＞1)的特征数为
1n n -， 故答案为：1
n n - （3）∵ m ，n 互为特征数， ∴ m ＋n ＝mn ，
又m ＋mn ＝－2 ①，n ＋mn ＝3 ②， ①＋②得，m ＋n ＋2mn ＝1， ∴ m ＋n ＋2(m ＋n )＝1， ∴ m ＋n ＝
13． 【点睛】
本题考查了新定义的运算，正确理解特征数的定义是解题的关键．