一、选择题 1.下列复数中，位于第三象限的复数是（ B ） A ． 12i + B ．12i -- C ． 12i - D ．12i -+ 2.下列命题中，正确的是（ C ） A ．1z >表示圆的内部 B ．Re()0z >表示上半平面 C ．0arg 4 z π << 表示角形区域 D ．Im()0z <表示上半平面 3.下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ D ） A ． z z e + B ．2 sin 1 z z + C ．tan z z e + D.sin z z e + 4.已知3 1z i =+，则下列正确的是（ B ） A ．3 12 2i z e π= B ．36 4 2i z e π= C ．73 12 2i z e π= D ．6 32i z e π= 5.积分 ||34 2z dz z =-?的值为（ A ） A ． 8i π B ．2 C ． 2i π D ．4i π 6.0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ D ） A ． 可去奇点 B ．一级极点 C ．二级极点 D ． 三级极点 7． 1 (2) z z -在点 z =∞ 处的留数为（ C ） A ．0 B ．1 C ． 12 D ．12 - 8.复数i z +=3的幅角主值为 （ A ） A. 6π B ． 3π C ． 65π D ． 3 2π 9.函数)(z f w =在点0z 处解析的特征为 （ A ） A. 在0z 的邻域内可导 B ．在0z 可导 C ． 在0z 连续 D ． 在0z 有界 10.复积分 ?c dz z f )(与路径无关的充分必要条件为 （ C ） A. )(z f 连续 B ．)(z f 有界 C ． )(z f 解析 D ． )(z f 可积分 11.复变函数z z z f cos )(=的原函数为 （ B ） A. z z z sin cos + B ．z z z cos sin + C ． )1(cos +z z D ． z z cos 12.下列函数中那一个为调和函数 （A ） A. 22y x - B ．)sin(xy C ．)cos(y x + D ．xy x 22 +
浅谈多媒体课件制作与中学物理教学 计算机技术的普及和发展，冲击着教育观念的改变和教学手段的提高。也成为新贯彻新课改的有力工具。为教育的现代化改革开拓了一个广阔的前景与空间，给优化课堂教学，构建新型的教学模式，提供了丰富的土壤。多媒体集文字、图形、图象、声音、动画、影视等各种信息传输手段为一体,具有很强的真实感和表现力，可以激发学生学习兴趣，可以动态地、对比地演示一些物理现象，极大地提高教与学的效率，达到最佳的教学效果。 随着计算机技术的迅猛发展及计算机的大量普及，很多中学配备了微机室、专用多媒体教室，建立电教中心，为计算机辅助教学（CAI）打下了硬件基础。CAI在现代教学中有着重要的地位，如何充分发挥CAI在中学教学中的作用，是摆在广大中学教育工作者面前的一个重要课题。笔者就CAI在中学物理教学中的应用以及对中学物理教学中的影响谈几点拙见。 一个优秀的CAI课件应充分地发挥计算机多媒体的特点，在制作过程中应注重视听教学的特征，突出启发教学，还应注重教学过程的科学性和合理性，应做到构图合理、美观，画面清晰、稳定，色彩分明、色调悦目，动画流畅，真实感强，解说清晰动听，功能丰富，演播运行安全可靠。 一．在制作多媒体CAI课件时应具备以下几点： ⒈加强课前研究，建立素材资源库 课前研究是教学的准备，只有课前进行充分的研究，才能取得理想的教学效果。在备课过程中，走素材资源库和制作平台相结合的思路。物理教师应根据教学实际，充分利用现有条件下的网络信息资源素材库和教学软件，以及相关的CD、VCD资源，选取适合教学需要的内容来制作自己的课件，从而适应不同教学情境的需要。同时，教师可在Internet上建立自己的网站，把以网页浏览形式制作的CAI课件、教案、论文等放在该网站中，并把在教学过程中制作的每一个课件链接起来，从而逐步建立一个完整的教学课件体系。 2.选择合适的制作工具 为了创作出一个成功的多媒体CAI课件，工具选择得好可以大大地加快开发进程，节省开发人力和资金，有利于将主要精力投入到脚本和软件的设计中去。选择多媒体制作工具，主要应从以下几个方面综合考虑：编程环境、超级链接能力、媒体集成能力、动画创作能力、易学习性、易使用性、文档是否丰富等 3.应充分发挥交互作用
复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1） 模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）； 主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??
§4.3 共同本征函数 1、测不准关系的严格证明 在算符A ?的本征态中测量力学量A ，可以得到确定值，并不出现涨落。如果测量B ，则不一定能得到确定值。 例如，由于粒子的波粒二象性，其位置与动量不能够同时完全确定，而其不确定度由下式确定 ≥???p x 对于比较普遍的情况，设有A ?，B ?两个力学量，令A A A -=???，B B B -=???， （注意在经典力学中A A A -=?） 因为A ?，B ?是厄米算符，所以A ??，B ??也是厄米算符。 考虑积分? ≥?-?=0d |)??(|)(2τψξξB i A I ，ξ为实数，积分区间取为整个空间。 展开上式，有 ??????+??-??-??=?-??-?=τψψτψψψψξτψψξτ ψψξψψξξd )?(?d ]?)?()?(?[d ?(?(d ]??[??()(****2**B B B A A B i A A B i A B i A I ）（）（）（）））（）（） 因为A ??，B ??均是厄米算符，所以有 ? ???+??-??-?=τψψτψψξτψψξξd ?d )????(d )?()(2**2*2）（B A B B A i A I （利用了厄米性） 而A B B A A A B B B B A A A B B A ????)?)(?()?)(?(????-=-----=??-?? 对? ???+??-??-?=τψψτψψξτψψξ ξd ?d )????(d )?()(2**2*2 ）（B A B B A i A I ，则 0?)????()?()(222≥?+--?=）（B A B B A i A I ξξξ 令K i A B B A ?????=-，则 0??)?(222≥?++?）（B K A ξξ 这是有关实参数的一元二次方程。 其有解的条件可由判别式给出，即
第1次 复变函数（1） 一、填空题。 1. 设(1)(2)(3) (3)(2) i i i z i i +--= ++，则z =__________ 2. 设z =, 3arg()4 z i π -= ,则z=________________ 3. 不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线_______________的内部。 4. 复数i 31-的三角表达式为 二、请计算i +1的值。 三、已知21z z 和是两个复数，证明)Re(2212 2212 21z z z z z z ++=+ 四、下列坐标变换公式写成复数形式； 1） 平移公式：11 11 x x a y y b =+??=+?，
2）旋转公式：1111 cos sin sin cos x x y y x y αα αα=-??=+? 五、指出下列各题中点z 的轨迹或所在范围，并作图。 1）56z -=； 2）21z i +≥； 3)314z z +++=。 4) 3 12 z z -≥- 六、将下列方程（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出： 1）(1)z t i =+； 2）t ib t a z sin cos += (b a ,为实常数) 3）2 2i z t t =+ 。 4) it it z ae be -=+
第2次 复变函数（2） 一、填空题 1. 2 4 1lim (12)z i z z →+++=________________ 2. 由映射2 )(z z f =得到的两个二元实函数=),(y x u =),(y x v . 3. 函数z z z f = )( 在0→z 时极限为 4. 已知映射3 z =ω, 则点i z =在该映射下在ω平面的象为 二、对于映射11 ()2w z z =+，求出圆周|z|=4的像。 三、函数1 w z = 把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎样的曲线？ 1）2 2 4x y +=； 2） y x =。 3) 1x =。 4) 2 2 (1)1x y -+=.
《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 (主编:王忠仁 张静) 高等教育出版社 习题一(P12) 1、1 对任何z ,2 2z z =就是否成立？如果就是,就给出证明。如果不就是,对哪些z 值才成立？ 解:设z x iy =+,则2222z x y xyi =-+,2 22z x y =+; 若2 2z z =成立,则有2222 2x y xyi x y -+=+,即222220 x y x y xy ?-=+?=?,解得0y =, 即z x =。 所以,对任何z ,2 2z z =不成立,只对z 为实数时才成立。 1、2 求下列各式的值: (1)5 )i ; (2)6(1)i +; ; (4)13 (1)i -。 解:(1)因为6 2i i e π- -=,所以 5 55 55 6661)223232())2i i i i e e e i i πππ --?-??====-=- ??? (2)因为4 1i i e π+=,所以 6 36634 42(1)288i i i e e e i πππ ??+====-?? (3)因为1cos sin i ππ-=+,所以 ()1 6 22cos sin cos sin 6 6 k k k w i i ππ ππ ππ++==+=+,其中 0,1,2,3,4,5k =; 即01cos sin 6 6 2w i i π π =+= +,1cos sin 22 w i i ππ =+=, 2551cos sin 6622w i i ππ=+=-+,3771 cos sin 6622 w i i ππ=+=--,
§4.9厄密算符的基本性质 一、厄密算符 设u 和v 是任意两个函数，如果算符F ∧ 满足* *()u F vdx F u vdx ∧ ∧ =? ? ，式中x 代表u 和v 的所有变数，积分是在所有变数的全部区域进行的，则称算符F ∧ 为厄密算符或自轭算符。 我们前面已讨论过的坐标算符、动量算符和 能量算符都是厄密算符 例：证明动量算符x p i x ? =-?是厄密算符 证明： * ** ()x u p vdx u i vdx i u vdx x x ∧ +∞ +∞ +∞ -∞ -∞ -∞ ? ? =-=-??? ?? * *** =[()] =|i u v dx u vdx x x i u v i u vdx x +∞ +∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞ ??--??? -+???? 因为u 和v 都是满足波函数标准条件的波函数，它们在无穷远处的边界应为0，上式右边 第一项为0，而第二项可写为 * *()()x i u vdx p u vdx x +∞ +∞-∞ -∞?-=?? ?，所以有 * *()x x u p vdx p u vdx ∧ +∞ +∞ -∞ -∞ =? ? 故动量算符x p 是厄密算符 二. 厄密算符的性质 1. 厄密算符的本征值都是实数，表示为*λλ= 证明：设F 为厄密算符，λ表示它的的本征值，u 表示对应的本征函数，即： Fu u λ= 由厄密算符的定义式可得：**()u F udx F u udx ∧ ∧ =???**()u udx u udx λλ=??，即 ***u udx u udx λλ=??
由此得：*λλ=即λ是实数。 2. 厄密算符的本征值代表力学量的确定值 表示力学量的算符的本征值是测量该力学量可能得到的数值，这些数值必须是实数，因此表示力学量的算符必须是厄密算符。根据波函数应满足态叠加原理的要求，表示力学量的算符还必须是线性的，因此表示力学量的算符应是线性厄密算符。 那么体系处于什么状态时，力学量具有确定的数值呢? 设体系处于波函数(,)r t ψ所描写的状态。测量力学量为F ，它是一个线性厄密算符。一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值F 趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为 22*2*()()()()F F F F d F F d ττ?=-=ψ?ψ=ψ??ψ?? 因为F 是一个厄密算符，F 是一个实数，因此F ?也是一个厄密算符。因此 2*2**2 ()()()()() =()0 F F d F F d F F d F F d ττττ?=ψ?ψ=ψ??ψ=?ψ?ψ-ψ≥???? 当每次测量结果都相同，测量力学量F 所得结果完全确定时，涨落2()F ?=0。 这种状态称为力学量算符F 的本征态。在这种状态下()0F F F λ-ψ=?ψ=ψ
《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 （主编：王忠仁 张静） 高等教育出版社 习题一（P12） 对任何z ，2 2z z =是否成立如果是，就给出证明。如果不是，对哪些z 值才成立 解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，2 22z x y =+； 若2 2z z =成立，则有2222 2x y xyi x y -+=+，即222220 x y x y xy ?-=+?=?，解得 0y =，即z x =。 所以，对任何z ，2 2z z =不成立，只对z 为实数时才成立。 求下列各式的值： （1）5 )i ； （2）6(1)i +； （3； （4）1 3 (1)i -。 解：（16 2i i e π- =，所以 5 55 55 6661)223232())2i i i i e e e i i πππ --?-??====-=- ??? （2）因为41i i e π +=，所以 6 3663 442(1)288i i i e e e i πππ ??+====-?? （3）因为1cos sin i ππ-=+，所以 ()1 6 22cos sin cos sin 6 6 k k k w i i ππ ππ ππ++==+=+，其中 0,1,2,3,4,5k =； 即01cos sin 6 6 22w i i π π =+= +，1cos sin 22 w i i ππ =+=， 2551cos sin 662w i i ππ=+=+，3771 cos sin 662 w i i ππ=+=-，
433cos sin 22 w i i ππ =+=- ，511111cos sin 662w i i ππ=+=-。 （4 ）因为1cos()sin()44i i ππ?-=-+-??，所以 1 13 6 2244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ??-+-+?? =-=+???? ?? ，其中0,1,2k =； 即 16 02cos()sin()1212w i ππ? ?=-+-?? ? ?， 1 6 1772cos sin 1212w i ππ? ?=+???? ， 1 6 2552cos sin 44w i ππ? ?=+???? 。 求方程380z +=的所有根。 解法一：用因式分解法求解。 因为 33322 82(2)(24)(2)(21)3z z z z z z z z ??+=+=+-+=+-++?? 22 (2)(1)((2)(11z z z z z ??=+-+=+-+--?? 所以由380z += ，得(2)(110z z z +-+--=， 解得 12z =- ，21z =- 31z =+ 故方程380z +=的所有根为12z =- ，21z =+ 31z =+ 解法二：用复数的方根的方法求解。 由380z +=，得38z =-，即z 是8-的三次方根；而 88(cos sin )i ππ-=+，所以 2222cos sin 2cos sin 3333k k k k k z i i ππππππππ++++?? ?==+=+??????，其中0,1,2k =； 即02cos sin 133z i ππ? ?=+=+ ?? ?12(cos sin )2z i ππ=+=， 2552cos sin 133z i ππ? ? =+=- ?? ?
《复变函数》（工程数学）教学大纲 一、《复变函数》课程说明 （一）课程代码：08138013 （二）课程英文名称：Complex Function （三）开课对象：通信工程专业本科生 （四）课程性质： 《复变函数》是高等院校工科各专业有关专业的一门基础理论课。它的理论和方法广泛应用于微分方程、概率论、计算数学、流体力学、热传导理论、电磁学、弹性理论、天体力学等学科，并且已经成为解决众多理论与实际问题的强有力工具。本课程以高等数学为基础，也需必备一些物理有关课程的知识，是学习有关专业的基础。。 （五）教学目的： 本课程旨在使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面而奠定必要的基础。 （六）教学内容： 本课程的主要内容包括：复数与复变函数，复变函数的导数，解析函数，复变函数的积分，级数、留数，共形映射等。 （七）学时数、学分数及学时数具体分配 学时数：54 学时 分数： 3 学分 学时数具体分配： （八）教学方式 教师课堂讲授为主。 （九）考核方式和成绩记载说明 考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。 二、讲授大纲与各章的基本要求
第一章复数与复变函数 教学要点： 1、熟练掌握复数的各种表示方法及其运算 2、了解区域的概念 3、理解复变函数的概念 4、理解复变函数的极限和连续的概念 教学时数：6学时 教学内容： 第一节复数及其代数运算 一、复数的概念 二、复数的代数运算 第二节复数的几何表示 一、复平面 二、复球面 第三节复数的乘幂与方根 一、乘积与商 二、幂与根 第四节区域 一、区域的概念 二、单连通域与多连通域 第五节复变函数 一、复变函数的定义 二、映射的概念 第六节复变函数的极限和连续性 1、函数的极限 2、函数的连续性 考核要求： 1、复数及其代数运算 1.1 复数的概念（识记） 2、复数的乘幂与方根 2.1 复数的乘积、商（应用） 2.2 复数的幂与根（应用） 3、区域（识记） 4、复变函数的极限、连续（领会） 第二章解析函数 教学要点：
关于力学量算符本征函数的正交归一性 一、余雷，力学量算符本征函数的正交归一性，贵州师范大学学报(自然科学版)，1998年第16卷第1期 量子力学中关于力学量的基本假设要求： 设某力学量用算符A ?表示，则 n n n a A ??=?（分立谱） （1） a a a A ??=?（连续谱） （2） 1 力学量用线性厄米算符表示； 2 表示力学量算符的本征函数构成完全集，即任一波函数ψ可用力学量算符A ?的本征函数n ?或a ?展开： n n n c ?ψ∑= （3） da a c a ?=?ψ)( （4） 3 几率描述： 在（3）或（4）的ψ态中测力学量A 所得的值必在（1）的n a 或（2）的a 之内。若ψ、n ?、a ?均是归一化的，则在（1）中测得A 的值为n a 的几率为2n c ；在（4）中测A 得的值在da a a +→内的几率为da a c 2)( 同一力学量算符的线性无关的本征函数的归一化系数一般不同。 例如，一维线性谐振子的能量算符的本征函数的归一化系数n N 与量子数n 有关；轨道角动量平方算符、轨道角动量第三个分量算符的共同本征函数的归一化系数与量子数 和m 有关；当然，也有例外，如一维无限深势阱能量算符的本征函数 其归一化系数a A n 1=，所有线性无关的本征函数的归一化系数相同。 又如，轨道角动量第三个分量算符的本征函数??ψim m m e A =)(的归一化系数为 π 21=m A ，也是所有线性无关的本征函数的归一化系数相同；再有，动量分量算符的所
有线性无关的本征函数的归一化系数相同。 ●力学量算符线性无关的本征函数并不全部正交 力学量算符是厄米算符，厄米算符具有属于不同本征值的本征函数正交的重要性质，而对于同一本征值的多个线性无关的本征函数（有简并情况）并不一定正交。此时，对属于同一本征值的多个线性无关的本征函数，可以把它们线性叠加为个数相同的线性无关且相互正交的本征函数。正交化方法很多，常用的方法是选择一组力学量，这组力学量算符间两两对易，它们的本征值能对简并的本征函数分类，此时，正交性问题自动得到解决。 ●力学量算符本征函数的正交归一性是力学量几率描述假设的要求 几率描述假设要求力学量算符的本征函数正交 几率描述假设要求力学量算符的本征函数是归一化的
关于力学量算符本征函数的正交归一性 一、余雷，力学量算符本征函数的正交归一性，贵州师范大学学报(自然科学版)，1998年第16卷第1期 量子力学中关于力学量的基本假设要求： 设某力学量用算符A ?表示，则 n n n a A ??=?（分立谱） （1） a a a A ??=?（连续谱） （2） 1 力学量用线性厄米算符表示； 2 表示力学量算符的本征函数构成完全集，即任一波函数ψ可用力学量算符A ?的本征函数n ?或a ?展开： n n n c ?ψ∑= （3） da a c a ?=?ψ)( （4） 3 几率描述： 在（3）或（4）的ψ态中测力学量A 所得的值必在（1）的n a 或（2）的a 之内。若ψ、n ?、a ?均是归一化的，则在（1）中测得A 的值为n a 的几率为2 n c ；在（4）中测A 得的值在da a a +→内的几率为da a c 2)( 同一力学量算符的线性无关的本征函数的归一化系数一般不同。 例如，一维线性谐振子的能量算符的本征函数的归一化系数n N 与量子数n 有关；轨道角动量平方算符、轨道角动量第三个分量算符的共同本征函数的归一化系数与量子数 和m 有关；当然，也有例外，如一维无限深势阱能量算符的本征函数 ?????<+>=a x a x a n A a x x n n )(2sin 0)(πψ
其归一化系数a A n 1=，所有线性无关的本征函数的归一化系数相同。 又如，轨道角动量第三个分量算符的本征函数??ψim m m e A =)(的归一化系数为π 21=m A ，也是所有线性无关的本征函数的归一化系数相同；再有，动量分量算符的所有线性无关的本征函数的归一化系数相同。 ● 力学量算符线性无关的本征函数并不全部正交 力学量算符是厄米算符，厄米算符具有属于不同本征值的本征函数正交的重要性质，而对于同一本征值的多个线性无关的本征函数（有简并情况）并不一定正交。此时，对属于同一本征值的多个线性无关的本征函数，可以把它们线性叠加为个数相同的线性无关且相互正交的本征函数。正交化方法很多，常用的方法是选择一组力学量，这组力学量算符间两两对易，它们的本征值能对简并的本征函数分类，此时，正交性问题自动得到解决。 ● 力学量算符本征函数的正交归一性是力学量几率描述假设的要求 几率描述假设要求力学量算符的本征函数正交 几率描述假设要求力学量算符的本征函数是归一化的
3.4 厄米算符本征函数的正交性 力学量算符本征值，本征函数,厄米算符 现讨论厄米算符的本征函数的基本性质，正交性 动 量 算 符 的 本 征 函 数 p ψ本征值为 p 32 *1()(2) () i p r p p p r ce c d p p ψπψψτδ?' == '=-? *0p p p p d ψψτ''≠=? 属于动量算符不同本征值的两个本征函数,p p ψψ'相互正交 厄米算符的特点：本 征函数正交 证明：设力学量算符?F ， 本征值 123,,,n λλλλ 本征函数 123,,,n φφφφ 取属于不同本征值的任意两个本征波函数波函数k l λλ≠ 因为k l λλ≠所以 * 0k l d φφτ=? 以上证明过程对分立谱，连续谱都成立 但注意：对分立谱k λ组成分立谱，波函数k φ已归一* 1k k d φφτ=? 由以上两式*k l kl d φφτδ=? 其中1,0,kl k l k l δ=?=?≠? 对连续谱λ 组成分立谱，波函数λφ归一为δ 函数* ()d λλφφτδλλ''=-? 满足以上两式的函数系，称为正交归一系。 以上无简并情况 简并情况---〉同一本征值对应多个波函数（状态） 如力学量算符?F 的一个本征值n λ是f 度简并
此处多讲！一般来说以上这些函数在满足本征方程外，还有更大的自由，所以并不 一定相互正交 但我们总可以用个2f 常数, ,1,2,,ij A i j f = 把以上 f 个函数ni φ 线性组合成 f 个新函数ni ψ相互正交 上结论能否成立，关键是能否找到2f 个常数i j A ，使组成的新函数n i ψ满足正 交归一 即*n j n j j j d ψψτδ''=? 即 f 个新函数n i ψ相互组合，共有22 (1)222 f f f f f C -= =-个类似以上的方程且'' 0j j j j δ≠= 由归一性*1 1,2,,n j n j d j f ψψτ==? 共 f 个找到2 f 个常数i j A ， 使组成的新函数n i ψ 满足正交归一 受限制方程数22 222 22f f f f N f f C f -=+= +=+ 系数i j A 有2f 个 ，大于方程的个数N ，所以总可以找到2f 个系数i j A 组成 f 个新函数n i ψ满足正交性且新函数是力学量?F 的本征函数，本征值为n λ 即 例：力学量算符?F 某本征值λ2度简并本征函数1,2φφ本征值为λ设正交 归一的波函数 1111122 2211222c c c c ?φφ?φφ=+=+ 由正交归一** * 1211220, 1, 1d d d ??τ??τ??τ===??? 已作过的几个厄米算符的本征函数
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 §6 - 3 厄米算符的对易关系 一算符的一般运算规则和对易式 1 、算符之和与积 1 ) 单位算符I 对于任意的波函数，有 ψ= ψ I. (6. 42)
2 ) 算符A ?和B ?相等 如果对于任意的波函数ψ,都有 ψψB A ??=, 则有 B A ??=. (6. 43) 3 ) 算符A ?与B ?之和B A ??+ 对于任意的波函数ψ，有 ψψψB A B A ??)??(+=+. (6. 44) 显然： A B B A ????+=+,
(满足交换律) C B A C B A ?)??()??(?++=++, (满足结合律) 可证: ● 两个线性算符之和仍为 线性算符. ● 两个厄米算符之和仍为厄 米算符。 4 ) 算符A ?与B ?之积B A ?? 对于任意的波函数ψ，有
)?(?)??(ψψB A B A =. (6. 45) 问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符？ 研究两个算符作用是否与次序有关？ 2、 对易式及其满足的恒等式 算符之积一般并不满足交换律， 即 0????≠-A B B A . ● 对易式的定义
A B B A B A ????]?,?[-≡. (6. 46) 若0]?,?[=B A ，则称算符A ?与B ?对易； 若]?,?[B A ≠ 0，则称算符A ?与B ?不对易。 ● 两个厄米算符之积一般并不是厄米 算符，除非这两个厄米算符可对 易。具体而言，若A A ??=+，B B ??=+，则有
§6 - 3 厄米算符的对易关系 一算符的一般运算规则和对易式 1 、算符之和与积 1 ) 单位算符I 对于任意的波函数，有 ψ= ψ I. (6. 42) 2 ) 算符A?和B?相等 如果对于任意的波函数ψ,都有
ψψB A ??=, 则有 B A ??=. (6. 43) 3 ) 算符A ?与B ?之和B A ??+ 对于任意的波函数ψ，有 ψψψB A B A ??)??(+=+. (6. 44) 显然： A B B A ????+=+, (满足交换律) C B A C B A ?)??()??(?++=++,
(满足结合律) 可证: ● 两个线性算符之和仍为线性算符. ● 两个厄米算符之和仍为厄米算符。 4 ) 算符A ?与B ?之积B A ?? 对于任意的波函数ψ，有 )?(?)??(ψψB A B A =. (6. 45)
问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符？ 研究两个算符作用是否与次序有关？ 2、 对易式及其满足的恒等式 算符之积一般并不满足交换律，即 0????≠-A B B A . ● 对易式的定义 A B B A B A ????]?,?[-≡. (6. 46) 若0]?,?[=B A ，则称算符A ?与B ?对易； 若]?,?[B A ≠ 0，则称算符A ?与B ?不对易。 ● 两个厄米算符之积一般并不是厄米算
符，除非这两个厄米算符可对易。具体 而言，若A A ??=+，B B ??=+，则有 A B A B B A ????)??(==+++, (6. 47) 只有当0]?,?[=B A 或B A A B ????=时，才有 B A B A ??)??(=+, 这时两个厄米算符A ?与B ?的积B A ??才是厄米算符。 ● 对易式满足下列恒等式： ]?,?[]?,?[]??,?[C A B A C B A ±=±, ]?,?[??]?,?[]??,?[C A B C B A C B A +=,
工程数学（复变函数）习题课 [例1] [例3] 计算下列各式的值 （1） [例4] 求满足下列条件的所有复数z ： （1） z z 13+ 是实数，且613 1≤+ )13()13(13 132 222y x y y i y x x x iy x iy x z z +-+++=+++=+ 由条件（1）得：y =0 或： 1322=+y x 当 0=y ，由61313122≤+=++ 复变函数(工程数学)教学大纲 《复变函数》（工程数学）教学大纲一、《复变函数》课程说明 08138013 Complex Function 通信工程专业本科生 《复变函数》是高等院校工科各专业有关专业的一门基础理论课。它的理论和方法 广泛应用于微分方程、概率论、计算数学、流体力学、热传导理论、电磁学、弹性理论、 天体力学等学科，并且已经成为解决众多理论与实际问题的强有力工具。本课程以高等 数学为基础，也需必备一些物理有关课程的知识，是学习有关专业的基础。。 本课程旨在使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，为学习有关后继课程和进 一步扩大数学知识面而奠定必要的基础。 本课程的主要内容包括：复数与复变函数，复变函数的导数，解析函数，复变函数 的积分，级数、留数，共形映射等。 学时数： 54 学时 分数： 3 学分 学时数具体分配： 教学内容讲授习题课合计 第一章复数与复变函数 6 6 第二章解析函数 8 8 第三章复变函数的积分 10 10 第四章级数 10 2 12 第五章留数 10 10 第六章共形映射 6 2 8 合计 50 4 54 教师课堂讲授为主。 考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资 格。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。二、讲授大纲与各章的基本要求 第一章复数与复变函数 1、熟练掌握复数的各种表示方法及其运算 2、了解区域的概念 3、理解复变函数的概念 4、理解复变函数的极限和连续的概念 6学时 第一节复数及其代数运算一、复数的概念 二、复数的代数运算 第二节复数的几何表示 一、复平面 二、复球面 第三节复数的乘幂与方根 一、乘积与商复变函数(工程数学)教学大纲
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