定州中学2019学年第一学期高三第一次月考数学试题
一、选择题
1．已知向量(cos ,2),(sin ,1),//a b a b αα=-=，则tan()4
π
α-
等于( )
A ． 3- B. 3 C.
13 D. 13
- 2．已知△ABC 的外接圆半径为R ，角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且
(
)(
)
,sin 2sin sin 222B b a C A R -=
-那么角C 的大小为 （ ）
A ．
3π B.2π C.4π D.3
2π
3．（原创题） 已知P 是曲线??
?==β
βsin 3cos 2y x 上一点，21,F F 是该曲线的两个焦点，若21PF F ?内角平分线的交点到
三边上的距离为1，，则→
→
?21PF PF 的值为
A 、
23 B 、49 C 、－4
9
D 、0 4．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若675S S S >>，则下列命题错误．．
的是 A ．0d < B ．11
0S > C ．
{}n S 中的最大项为11S D ．6
7
a a >
5．直线012=-+y x 的斜率是（ ）
A ．2
B ．2-
C ．
2
2 D ．22-
6．由直线
,,0
3
3
x x y π
π
=-
=
=与曲线sin y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）
A ．12
B ．1 C
． D
7．数列{n a }通项n
n x
x a )3(
2+-=,若2lim =∞→n n a ,则x 的取值范围是（ ）
A. ]2
3,0(- B. )23,0(- C. )2
3,(--∞ D. ]2
3
,(--∞
8．已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形， PA ⊥平面ABC .则下列结论不正确．．．
的是 （A ）//CD 平面PAF （B ）DF ⊥平面PAF （C ）//CF 平面PAB （D ）CF ⊥平面PAD
9．曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化 成直角坐标方程为（ ）
A ．x 2+(y+2)2=4
B ． x 2+(y-2)2
=4
C ．(x-2)2+y 2=4
D ．(x+2)2+y 2
=4
10．现有4名男生和4名女生排成一排，且男生和女生逐一相间的排法共有（ ）
A ．5544A A +
B ．5
544A A C ．442A D ．4
4442A A
11．设a,b 是两个实数，且a ≠b ，①,322355b a b a b a +>+②)1(22
2--≥+b a b a ，③2>+a
b
b a 。上述三个式子恒成立的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 12．定义函数D x x f y ∈=),(，若存在常数
c ，对任意D x ∈1，存在唯一D x ∈2的，使得
c x f x f =+2
)
()(21，则称函数)(x f 在D 上的均值为c ，已知][100,10,lg )(∈=x x x f ，则函数
x x f lg )(=在][100,10∈x 上的均值为。（ ）
A.10
B.43
C.107
D.2
3
二、填空题
13．函数y=)124(log 2
2
1-+x x 的单调递增区间是 .
14．经过点)1,2(-P 且与直线240x y -+=垂直的直线方程为
15．已知函数()sin 2f x x x a =--，若()f x 在[]0,π上的最大值为1-，则实数a 的值是 ． 16．在ABC ?中，已知8,5BC AC ==，三角形面积为12，则cos 2C =________． 三、解答题
17．已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和。 （Ⅰ）求通项n a 及n S ；
（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T 18．（本小题满分12分）已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈． （Ⅰ）设0a ≥，求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ） 设0a >，且对于任意0x >，()(1)f x f ≥．试比较ln a 与2b -的大小．
19．已知函数2()2sin cos f x x x x =+ （1）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；
（2）已知ABC ?的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，若锐角A 满足
(
)26
A f π
-=，且sin sin B C +=
bc 的值． 20．(14分) 已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．（1）类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义；（2） 已知数列{}n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，求 18a 的值，并猜出这个数列的通项公式(不要求证明)。
21．已知直线l 平行于直线3470x y +-=，并且与两坐轴围成的三角形的面积为24,求直线l 的方程。
22．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球， 乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（1）求取出的4个球均为黑球的概率；
（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（3）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望
23．已知曲线C 的极坐标方程为=2,以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，P 是曲线C 上的动点，点A （2，0），M 是线段AP 的中点．
（1）求点M 轨迹的直角坐标方程；
（2）求证：点M 到点E （，0）、F （3、0）的距离之比是常数．
24．某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、
B 两种型号的车辆的载客量分别是32人和48人，
从甲地到乙地的营运成本依次为1500元/辆和2000元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的车队，并要求B 种型号的车不多于A 种型号的车5辆．若每天从甲地运送到乙地的旅客不少于800人，为使公司从甲地到乙地的营运成本最小，应配备A 、B 两种型号的车各多少辆？并求出最小营运成本．
参考答案
1．A 2．C 3．B 4．C 5．D 6．B 7．C 8．D 9．B 10．D 11．B. 12．D 13．()6,-∞- 14．x+2y=0 15．1 16．
725
17．（1）a n =-2n+21 S n =-n 2
+20n （2）b n =3
1
n --2n+21 T n =-n 2
+20n+31
2
n -
18．（Ⅰ）当0=a ，0≤b 时，函数()x f 的单调递减区间是()+∞,0，当0=a ，0>b 时，函数()x f 的单调递减区间是1
(0,)b
，单调递增区间是??
? ??+∞,1b ，当0>a 时，函数()x f 的单调递减区间是
???
? ??++-a a b b 48,02，单调递增区间是???? ??+∞++-,482a a b b ；（Ⅱ）b a 2ln -<．
（Ⅰ）函数定义域为(0,)+∞，求出导函数221
'()ax bx f x x
+-=，由于0a ≥，分两种情况，0
a =
和0a >，0a =时，1
'()bx f x x
-=，当0b ≤时，'()0f x <恒成立，当0b >时，'()0f x =的解为1
x b
=
，可得单调区间，当0a >时，'()0f x =有两根，可得'()0f x >（或0<）的解集，即单调区间；（Ⅱ）由已知得(1)f 是()f x 的极小值，由（1）得1482=++-a
a
b b ，即a b 21-=，因
此问题为比较ln a 与42a -的大小，为此研究函数()ln 42g x x x =-+，通过导数得()g x 绵最大值为1
()4g 且1()04
g <，因此得ln 42a a <-． 19．（1）π，7[,]12
12
k k π
π
ππ+
+
()k Z ∈；（2）40bc =. 解：（1
）2()2sin cos f x x x x =+2sin 23x π?
?
=+
?
?
?，所以
()f x 最小正周期为π，由2322232
k x k π
π
π
ππ+
≤+
≤+
得单调递增区间是7[,]1212k k ππππ++
()k Z ∈； （2）
由()2sin(2())2sin 26263
A A f A πππ
-=-+==，
又∵A 为锐角，∴3
A π
=
，由正弦定理可
得2sin a R A =
==
，
sin sin 2b c B C R ++=
=
，
则1141314b c +==，由余弦定理可知，22222()21
cos 222
b c a b c bc a A bc bc +-+--===，
可求得40bc =．
20．解（1）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和（2）318=a ；???=为偶数。
，为奇数；
n 3,2n a n
21．
,24,43
m m
?-?-=±∴解：设直线l 的方程为：3x+4y+m=0 m m
令x=0,得y=-令y=0,得x=-43
1则解得m=242直线的方程为：3x+4y=24=0或3x+4y-24=0
22．
（1）51；（2）157；（3）分布列（略），67. （1）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ， “从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ．
由于事件A B ，相互独立，且23241()2C P A C ==，2
4262
()5
C P B C ==． 2分
故取出的4个球均为黑球的概率为
121
()()()255P A B P A P B ==
?=
··． 4分
（2） 设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ．则
21132422
464
()15
C C C P C C C ==··，123422461()5C C P
D C C ==·． 6分 由于事件C D ，互斥，故取出的4个球中恰有1个红球的概率为
417()()()15515P C D P C P D +=+=
+=
． 8分
（3）ξ可能的取值为0123，
，，． 由（1），（2）得
1(0)5P ξ==
，7
(1)15P ξ==， 13224611(3)30
C P C C ξ===·． 从而
3
(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==
．
ξ的分布列为
ξ的数学期望17317
012351510306
E ξ=?+?+?+?=． 12分
23．（1）()()2
2
112x y x -+=≠；（2）证明详见解析．
（Ⅰ）曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y θ
θ
=??
=?，设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y
则2cos 2cos 122sin sin 2
x y θθθθ+?==+????==??，即(
)()22112x y x -
+=≠； 5分 （Ⅱ）设()cos 1,sin M θθ+，
则
12ME MF
=
==． 10分
24．备A 型号7辆、B 型号车12辆，最小营运成本为3.45万元 设应配备A 种型号的车x 辆、B 种型号的车y 辆，营运成本为z 元．
则有3248800,21,5,,,x y x y y x x N y N +≥+≤-??≤∈?∈????即2350,
21,5,,,
x y x y y x x N y N +≥+≤-≤∈∈???????
目标函数为15002000x y z +=． 如图，作出不等式组所表示的可行域，
把15002000x y z +=，变形为342000
z y x =-+， 其中
2000
z
是这条直线在y 轴上的截距． 当直线15002000x y z +=经过可行域上A 点时，截距
2000
z
最小，即z 最小， 解方程组2350,
5.
x y y x +=??
-=?得A 点的坐标为7,12x y ==．
所以min 1500200034500z x y =+=．
答：应配备A 型号7辆、B 型号车12辆，最小营运成本为3.45万元．