线性代数
大学数学中两门最重要的课程是线性代数和微积分. 大学数学系本科的其它数学课程都是以线性代数和微积分为基础的.
线性代数是讨论矩阵理论, 有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科. 线性代数在数学, 物理学(量子力学), 计算机图形学(数据结构), 密码学等学科有重要的应用. 我的研究方向是代数群和量子群, 线性代数是我的这个研究方向的理论基础.
大家在刚开始学这门课时, 可能会觉得有些痛苦. 可能会觉得概念太多, 太抽象, 这是一个正常现象. 等到你们把这门课学完以后, 你们会发现其实这门课一点也不抽象, 很多概念的提出都是很自然的.
本书主要讨论线性方程组的求解及其应用, 并且介绍一点简单的向量空间和线性变换的知识.
第一章引入行列式求解未知数个数和方程个数相等的方程组, 并且要求系数行列式不为零. (克拉默法则)
第二章引进矩阵的概念并且研究矩阵具有的性质
第三章研究如何利用矩阵的初等行变换求解一般的线性方程组.
第四章通过引入向量组的线性相关性的理论进一步研究线性方程组的解得结构.
第五章线性方程组理论的应用: 如何利用正交矩阵把对称矩阵化简为对角矩阵, 二次型的化简问题.
第六章抽象的向量空间和线性变换理论.
第一章 行列式
§1 二阶与三阶行列式
解方程是代数中的一个基本问题. 在中学中, 我们解过一元, 二元, 三元一次方程组, 一元二次方程. 我们知道一元二次方程有求根公式, 其实一元三次方程, 一元四次方程也有根式求解, 但是一般高于四次的一元方程是不能用根式求解的. 这个问题是伽罗瓦通过引入群的概念彻底解决的, 他把一元高次方程的根式求解问题转化为群论的问题, 然后通过研究群的一些性质最终解决了根式求解的问题.
在这门课程当中我们不讨论高次方程组的求解问题, 我们讨论的是多元一次方程组的求解问题, 也就是讨论线性方程组的求解问题.
在这本书的前面三章中, 我们主要讨论多元一次方程组的求解问题. 第一章引进行列式的概念来求解线性方程组.
第二章引进矩阵的概念, 并且讨论矩阵的一些基本性质.
第三章我们讨论利用矩阵这个工具来研究线性方程组的求解问题. 我们现在来看一个二元一次方程组1111221
2112222
a x a x
b a x a x b +=??+=?, 其中12,x x 是未知数.
若112212210a a a a -≠, 则122212112211121122122111221221
,b a b a a b a b
x x a a a a a a a a --==--
令
1112
112212212122
a a a a a a a a =
-
称为数表
111221
22
a a a a 对应的二阶行列式.
对角线.
§2 全排列及其逆序数
定义: 由1,2,,n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列.
例如231是一个三级排列. 所有的三级排列: 123, 132, 213, 231, 312, 321.
定义: 在一个排列中, 如果一对数的前后位置与大小顺序相反, 即前面的数大于后面的数,则称之为一个逆序, 一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数. 例如: 排列2431中, 21, 43, 41, 31都是逆序. 2431的逆序数是4.
记12()n j j j τ=排列12n j j j 的逆序数.
定义: 逆序数为偶数的排列称为偶排列, 逆序数为奇数的排列称为奇排列. 例: (2431)4τ=, 所以2431是偶排列.
(3214)3τ=,所以3214是奇排列. 逆序数的计算：设12
n p p p 为1,2,
,n 的一个全排列，则其逆序数为
12n t t t t =++
+
其中i t 为排在i p 前，且比i p 大的数的个数. 例: 求排列13
(21)24(2)n n ?-的逆序数.
解: 10t =, 2
0t =, , 0n t =, 11n t n +=-, 22n t n +=-,
, 20n t =.
所以21
(1)(13
(21)24
(2))(1)(2)02
n
i i n n
n n t n n τ=-?-==-+-+
+=
∑. □§3 n 阶行列式的定义
1212)
12j j j a a .
32 112332122133132231a a a a a a a a a ---
()
123123123()
1231j j j j j j j j j a a a τ=
-∑
是一个三级排列
.
其中123()j j j τ是123j j j 的逆序数, 求和符号Σ是对所有三级排列求和. 下面我们来定义一般的n 阶行列式.
定义:
()
121212
11
121()
21222121
2
1n n n n j j j n j j nj j j j n n n nn
a a a a a a a a a a a a τ=
-∑
是一个级排列
,
称为数表
111212122212
n n n n nn
a a a a a a a a a 的一个n 阶行列式, 其中12()n j j j τ一个排列12n j j j 的逆
序数. 简记为det()ij a . 其中从11a 到nn a 的斜线称为主对角线. 从1n a 到1n a 的斜线称为副对角线. ij a 位于这个数表的第i 行第j 列, 称为行列式的()i,j 元. 根据后面的定义, n 行n 列的数表称为n 阶矩阵, 而行列式称为这个矩阵对应的行列式.
注意: 1. 求和符号Σ是对所有的n 级排列求和, 所以该和式共有n !项. 2. 1212n j j nj a a a 是行列式的不同行不同列的元素的乘积.
3. 12
12n j j nj a a a 这一项的乘积顺序是按照行指标来排列的, 行指标是按照自然顺序
n
μμ=20
n n
λλ.
(对角行列式)
证: 记111a μ=, 222a μ=, , nn n a μ=.因为行列式等于不同行不同列的n 个元素的代数和, 行列式的第一行除了11a 以外其余元素都是零, 所以第一行只能取11a , 第二行除了22a 以外其余元素都是零, 所以第二行只能取22a , 类似的第n 行除了nn a 以外其余元素都是零, 所以第n 行只能取nn a ,
所以
11
22
(12)
112212(1)0
n nn n nn
a a a a a a τμμμ=-=.
记11n b λ=, 2,12n b λ-=,
, 1n n b λ=.因为行列式等于不同行不同列的n 个元素的代数和,
行列式的第一行只能取1n b , 第二行只能取2,1n b -, 类似的第n 行只能取1n b ,
所以
1(1)2,1
((1)21)
2
12,11121
(1)
(1)
n
n n n n n n n n n n b b b b b b τλλλ----=-=-. □
★例2.证明(1)
11
11220
*
nn nn
a a a a a =. (下三角行列式)
(2)
11
1122*
nn nn
a a a a a =. (上三角行列式)
证: 只证(1). 因为行列式的第一行除了11a 以外其余元素都是零, 所以第一行只能取11a , 第二行除了12a 和22a 以外其余元素都是零, 但是因为行列式等于不同行不同列的n 个元素的代数和, 而12a 和11a 在同一列, 所以第二行不能取12a , 只能取22a , 类似的第n 行只能取
nn a , 所以
11
(12
)
11221122(1)0
*
n nn nn nn
a a a a a a a a τ=-=. □
定理.
()
121212
11
121()
21222121
2
1n n n n i i i n i i i n i i i n n n nn
a a a a a a a a a a a a τ=
-∑
是一个级排列
.
在这个求和当中, 我们是把列指标按自然顺序排列,行指标取遍所有的n 阶排列. 这个定理用来证明下面一节的性质1.
§5 行列式的性质
121
2
n n n n nn
a a a a a , 则1212n n n
n
nn
a a D a a a 称为D 的例
123456789
D =, 147
258369T D =.
注意：D 的),(j i 元＝T
D 的),(j i 元.
T
由上面的定理知 ∑
-=n
n n i i i n i i i i i i T b b b D 21212121)()1(τ ∑-=
n
n n i i i ni i i i i i a a a 21212121)
()1(τ
D =. □
性质2. i r 表示行列式的第i 行, i c 表示行列式的第i 列 交换行列式的j i ,两行记做j i r r ?. 交换行列式的j i ,两行记做j i c c ?.
若 1()
i j
i j r r
D D c c ?????→?或, 则D D -=1.
例13123789123456456456789123789r r D ?=????→=-. 12
213123
546456879789
c c D ?????→=-.
推论. 若行列式有两行（或两列）完全相同, 则此行列式为0.
证: 设行列式D 的第i 行和第j 行完全相同. 则i j
r r D D ?????
→, D D =-. 所以0D =. □例 123
4560123
D ==.
性质3. 行列式的第i 行(或列)乘以k , 记为i kr (或i kc ).
设1()
i
i kr D D kc ???→或, 则1D kD =.
例1231234
56456023123
k k
k k ==.
12n n n n n n nn
nn
nn
a a a a a a =
+
.
例 151515262626373737
a b a b c d
c d e f
e f ++=++. 性质6. 把行列式的第j 行的k 倍加到第i 行, 记作i j r kr +.
把行列式的第j 列的k 倍加到第i 列, 记作i j c kc +.
若1()
i j
i j r kr
D D c kc +????→+或, 则1D D =.
例 21
123123
45645263789789
r kr k k k ++++.
计算行列式. 一. 利用运算i j r r ?和i j r kr +可把行列式化简成上三角行列式.
例1. 2132
31
123123123
22258012012133812023001
r r r r r r --=---. □
例2.
23421232123212
3200120
2130
213
202130012001202140
2
1
40001
r r r r ?--
-
=-. □ 2节课完
例3: 计算1
1231
3
3
795.2
4
21357146441010
2D -----=----- 解: 3121
1
1231
1
1231
001020
0102232
4
2
102
4
13571463571464410102
4410102r r r r D
---------+----------
5141
1
1231
11
231001020
01024302
4
102
04
1
0215302153441010200222r r r r -------------------23
42
11
231
11
231020410
20410
10
2
0010
20215300112002220
0222r r r r ------?+----------- 43
53
11
231
11
231020410
204120010
2
0010
200010000100
2
22
026
r r r r ------++----------
54
11
231
02041
212.0010
2000100
06
r r ---+-=----
★例4. 计算a b b b b
a b b D b b a b b b b a
=
. 解:
12
213113411433300030003000a b b b b a b b b b c c r r D a b
a b b a b r r c c r r c c a b
b a b a b a b
b
b
a a b
+++-+--+-++-+- 3(3)()a b a b =+-. □
例5. 计算011
11101111101111101111
10n n D =
.
解: 1111111111110111010001101100100
(1)(1)1110100010111
100
01n n n
n
n n n n D n n n -------=
=
=------. □
例6. 设行列式11
121321
222331
32335a a a a a a a a a =. 求313233332122232311121313
333a a a a D a a a a a a a a -=--. 解: 31323311
12
13
23
1321222321222311
12
1331
32
33
35a a a a a a c c r r D
a a a a a a a a a a a a +?-=-. □ 例7. 证明33()ax by
ay bz az bx x y z ay bz
az bx ax by a b y
z x az bx ax by ay bz z
x
y
++++++=++++.
证: 左式x
ay bz az bx y ay bz az bx
a y
az bx ax by b z az bx ax by z
ax by ay bz x ax by ay bz
++++=+++++++++
x ay bz
az
y bz
az bx
a y az bx ax
b z bx ax by z ax by ay x by ay bz ++=+++++22x ay bz
z
y
z az bx
a y az bx
x b z x ax by z ax by
y x y ay bz
++=+++++ 22x ay
z
y
z bx
a y az
x b z x by z ax
y x
y bz =+33x
y z
y
z x
a y z
x b z x y z
x
y x
y
z
=+=右式. □
例8. (1)
111111
11
11111
1
11
1111
k n
k
n
k kk
k kn n k kk n nn
n nn
a a c c a a
b b a a
c c b b a a b b b b =
?
.
(2) 11
11111111
11
11111
11
1
1
k k
n
k kk k n k kk n nn
n nk
n n a a a a b b a a d d b b a a b b d d b b =
?
.
证: 我们只证明(1), 类似可以证明(2). (1)的左式记为D .
记11
111k
k kk a a D a a =
, 11121
n
n nn
b b D b b =
.
则1
1
1*0
i j k k
a r kr D a a a +=若干次运算
的.
1
2
1*0
i j n k
b r kr D b b b +=若干次运算
的.
对D 的前k 行作与1D 相同的行运算, 对D 的后n 行作与2D 相同的行运算.
所以1
11121
*
k
k n n
a a D a a
b b D D b
b
=
==. □
二. 利用递推法计算行列式.
例9. 计算2n 阶行列式20
n a b
a b D
c d
c
d
=
.
解: 第2n 行依次与第21n -行, 第22n -行, , 第2行对换. 第2n 列依次与第21n -列, 第22n -列, , 第2列对换.
所以2(22)22222
(1)()0
n n n n a b D c
d
ad bc D D ---==--.
43434
3232000000000000.00000000000
0a b
a b
a b r r c c a
b c d c d D c d a b a b r r c c c d c d c d ??
?
?? ?
= ?
?? ?
??
?
例如
记2n n x D =, 1
n
n x
ad bc x -=-, 12()a b
x D ad bc c d
==
=-. 所以121()()n n n n D x x ad bc ad bc -==-=-. □
§6 行列式按行（列）展开
一般来说, 高阶行列式的计算比较复杂. 在这一节当中我们讨论如何把高阶行列式的计算题 化简成低阶行列式的计算问题. 为了达到这个目的, 我们首先需要引入余子式和代数余子式 的概念.
定义. 在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行、第j 列划去，剩下的元素按原来的排列 构成的1n -阶行列式，称为ij a 的余子式，记为ij M ；而()1i j
ij ij A M +=-称为ij a 的代数余
子式.
例 在11
1213
21
222331
3233
a a a a a a a a a 中, 21a 的余子式是12
13
2132
33
a
a M a a =, 21a 的代数余子式是
21212121(1)A M M +=-=-.
在介绍行列式的行列展开公式之前, 我们先介绍一个引理. 引理. 若行列式D 中的第i 行所有()ik a k j ≠为零，即
11
1
11
j n ij n nj
nn a a a a D a a a = 则ij ij D a A =。
证: ()
112
2
1
11
1111112
21
1
0,,1,,
ij
i i i i i j j n j j j j nj
n nn
a r r r r r r a a a D
c c c c c c a a a ---
-+----???-???
()
1i j
ij ij ij ij a M a A +=-=. □
下面我们介绍行列式的行列展开公式.
定理.
()11
111221,1,2,
,n
i i i i in in n nn a a a A a A a A i n a a =++
+=(行列式按第i 行展开.)
()11221
,1,2,
,n
j j j j nj nj n nn
a A a A a A j n a a =++
+=(行列式按第j 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和. 行列式是式，它里面的元素对应的余子式是1n -阶行列式，根据这个定理，我们知道n 阶行列式的1120000
00n
i i in mn
a a a a a =+++++
+++
+
11121
11
121111211
21
2
1
2
1
2
000000n
n n
i i in n n nn
n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++ 1122i i i i in in a A a A a A =+++. □
例1: 计算行列式353
010.772
D --=
-
解: 按第一行展开, 得
100001
3
53
727277
D --=-++
如果按第二行展开, 得 2233
(1)(1)72
D +-=--
例2. 求230001
20004
5230671238
9012
D =.
解:12230230016
223
123(43)123123412
012012012r r D ---=?=-?=-按展开第一列. □
例3. 求方程100020
0030004x x D x x =
=的根. 解: 41222
2
10020
02030(4)(6)0300040
04x
x r xr x D
x x x x x
x -----开
按第一列展按开第列展三.
所以D 的根是2±
,. □ 例4. 证明范德蒙行列式
1
22
2212
11
1112
111
()n n n
i j j i n
n n n n
n
x x x D x x x x x x x x ≤<≤---==
-∏
.
(其中∏是连乘符号, 表示把所有的i j x x -乘起来, ,i j 满足条件1j i n ≤<≤.) 例如. 221D x x =-, 3213132()()()D x x x x x x =---,
4213141324243()()()()()()D x x x x x x x x x x x x =------. 证: 对n 归纳. 2n =时显然成立.
1121
1
2211221222111233
23321222111211
122
12221222111111
00
()()
()
()0()
()
n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n r x r
x x x x r x r x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x r x r x x x x x x x x x x x x --------------------=--=--=--=---=--=-
2
211222
1
1()()
n
n n n n
x x x x x x x x --=--
21121()()
()()n i j i j j i n
j i n
x x x x x x x x ≤<≤≤<≤=---=
-∏
∏
. □
根据行列式的行列展开公式, 我们有一个简单的推论. 定理的推论 (
)11220i j i j i n j n a A a A a A i j
++
+=≠ 0
a A a A
a A i j ++
+=≠.
111
11
1n i in
j jn n nn
j j a a a a a a a a A a =+考察1111
1221
110i j i j in n i in i i jn n n nn
j a a a a a a a a a A a A a A +++=
按第行展开
.
(因为两个行列式只有第j 行不同, 所以它们的第j 行的代数余子式对应相等.) □由定理及其推论知
11111221
0 n i j i j in jn n nn
a a i j a A a A a A a a i j ??
=?
++
+=?
??≠?. 11111221
0 n i j i j ni nj n nn a a i j a A a A a A a a i j ??
=?
++
+=?
??≠?
.
根据上面的推论的证明方法, 我们很容易证明下面的一个简单的性质.
性质. 设
11
11n
n nn
a a a a 中ij a 的代数余子式是ij A .
则1111,1
1,1
1,11,1121
2'n i i
n
n i i i i
n i n n nn
n a a a a D b b a a a b A b A b A a --++++==+.
证: 因为两个行列式只有第i 行不同, 所以它们的第i 行的代数余子式对应相等. 所以1122'
i i n in i D b A b A b A ++
+按第行展开
. □
同理
11
1,1
1
1,111,1,1
1122j j n
n n j n
n j n j j n nj n
A b A b a a b a a b a a b a a A -+-+=++
+.
例 5. 设35211105
13132413
D --=----, D 的(,)i j 元的余子式和代数余子式分别记作ij M 和
ij A .
求11121314A A A A +++和11213141M M M M +++.
解: 111213141111
1105
413132413
A A A A -+++==----.
112131411121314115211105
013131413
M M M M A A A A ---+++=-+-==----. □
2节课完
.综合利用行列式的性质和行列式的行列展开公式
例6: 计算4.a b c d b a d c
D c d a b d c b a
=
解: 122113314
1441000c c r r a b c d b c d a b c d b c d
c c r r a b c d
a d c a
b d
c c d
D a b c d
d a b d b a c b d c c r r a b c d
c b
a c
b b
c a d
+-+++++++-+++---+++---+-+++---
()()12
a b d c c d
a b d c d c c d
c c a b c
d d b a c b d
a b c d a b d c
a c
b d
c b b c a
d b c a d
----+---+=+++---+++-+-------- ()
21
00
a b d c
d c c d r r a b c d a d b c b c
a d
-+----+++---- ()()
()()21
.()().
r r a d
b c
a b c d a b d c b c a d
a b c d a b d c a d b c a d b c ---+++-+---=+++-+--+---+
.利用行列式定义计算
例7. 计算21211
1()321111
x x x f x x x -=
中4x 与3
x 的系数. 解: 1111111111()
22131321232111111111
x
x x f x x x x x x x x x ----+-按第行展开
32432()()2****x x x x x x x x =++-+++
=-+
. □
§7 克拉默法则
在这一节中, 我们介绍利用行列式来求解线性方程组的一个定理, 这就是所谓的克拉默法
则.
克拉默法则 若线性方程组
111
1221211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=? (1)
的系数行列式11110n
n nn
a a D a a =
≠, 则(1)有唯一解: 1212,,,n
n D D D
x x x D D
D
===
, 其中11
1,111,111,1,1
j j n
j n n j n n j nn
a a
b a a D a a b a a -+-+=
.
定理证明在第二章中给出, 在第三章中我们可以证明 定理. (1)有唯一解?det()0ij a ≠.
如果线性方程组的常数项不全为零，则称这个线性方程组为非齐次线性方程组，如果常数项全为零，则称它为齐次线性方程组.
非齐次线性方程组: 12,,,n b b b 不全为0. 齐次线性方程组: 120n b b b ==
==.
111
122121122221122000n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x
a x +++=??+++=????+++=? (2)
120n x x x ====一定是(2)的解, 称为(2)的零解, (2)的其它解称为(2)的非零解. 定理. (2)只有零解?0D ≠
逆否命题: (2)有非零解?0D =.
证: 由上面的定理知(2)只有零解? (2)有唯一解?0D ≠. □
例1. 求1231231
2337224313723
x x x x x x x x x -+=??
+-=-??-++=?的解.
解: 1
372
43196372D -=-=-, 12371435437
2D -=--=-, 2127
21338332
D =--=-,
3132
2
41803
7
3
D -=-=-. 所以112798D x D ==-, 221998D x D ==, 3320
49
D x D ==. □例2. 问λ取何值时, 齐次线性方程组(5)2202(6) 02 (4)0x y z x y x z λλλ-++=??
+-=??+-=?
(*) 有非零解.
解: (*)有非零解?
522
26002
4λ
λλ
--=-. 而
32522
260(156680)2
4λλλλλλ
--=--+--. 所以(*)有非零解?3
2
1566800λλλ-+-=. 问题: 如何对3
2
156680λλλ-+-进行因式分解?
定理. 设1110()n n n n f a a a a λλλλ--=++
++, i a 都是整数. 0n a ≠, 而r
s
是它的一个有
理根, 其中,r s 互素. 则s 是n a 的因子, r 是0a 的因子. 特别的, 若1n a =, 则()f λ的有理根都是0a 的因子.
根据这个定理, 3
2
156680λλλ-+-的有理根都是80的因子.
根据计算, 2是32
156680λλλ-+-的根.
32322156680(2)(1326)(4080)λλλλλλλλ-+-=-+-++-
2(2)(1340)(2)(5)(8)λλλλλλ=--+=---.
所以2λ=, 5λ=或8λ=. □
2节课完
计算行列式.
..一利用行列式定义计算
..i j i j r r r kr ?+二利用运算和可把行列式化简成上三角行列式
..三综合利用行列式的性质和行列式的行列展开公式
例4: 计算1231
2311
231
2
34.n
n n n x a a a a a x a a a D a a x a a a a a a x += 解:1211
2
1221
213
1
2
12
112
3
23
1
1111n
i
n i n
n i n i n n
n
n i
n i
i
n
i n
n i
i x a a a a a a a c c x a
x a a x a a c c D x a a x a x a a x
a c c a a x
x a a a x
==+===++++??
=+ ?+??
++∑∑∑∑∑
2111
32121
21
1
1
1
213210001
00()10()().1n
n
n
i i i i i i n n n
c a c x a c a c x a a a x a x a x a c a c a a a a x a ===---+--=+-----∑∑
∏
例6: 计算2
22
1
112
22.3
3
3n
n
n n D n n
n
= 解: ()2
1
221
1
1
21
1
111
1
22!!
!()1
33
3
1
n n n i
j
n i j n i j n D n n x x n i j n
n n
--≥>≥≥>≥-==-=-∏∏
[][]!(21)(31)
(1)(32)(42)
(2)[(1)]
!(1)!(2)!2!1!..
n n n n n n n n =--------=--
四. 利用递推法计算行列式.
例7. 求211
211
2
11
211
2
n D =
.
解: 122n
n n D D D ---按第一行展开
, 所以112n n n n D D D D ----=-, 而21321D D -=-=.
所以1(1)2(1)1n D D n n n =+-=+-=+.
□
例8: 证明cos 100012cos 100012cos 000002cos 10
1
2cos n D ααααα
=
.
证: 对阶数n 用数学归纳法. D 1=cos α,
《线性代数》课程教案大纲 课程代码：课程性质：专业基础理论课必修 适用专业：工科类各专业总学分数： 总学时数：修订年月： 编写年月：执笔：韩晓卓、李锋 课程简介(中文)： 线性代数是理、工、经管各专业重要的基础课之一。它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性，是数学的一个重要分支，其理论与方法已广泛应用于其它科学领域中。主要包括：矩阵、行列式、线性方程组、秩问题、矩阵的特征值和特征向量、二次型等内容。 课程简介(英文)： , . , , . . , , , , , , . 一、课程目的 《线性代数》是高等院校工科专业学生必修的一门基础理论课。它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性。通过本课程的学习，使学生比较系统地获得线性代数中的行列式、矩阵、线性方程组、矩阵和向量组的秩，矩阵的特征值和特征向量等方面的基本概念、基本理论和基本方法，培养学生独特的代数思维模式和解决实际问题的能力，同时使学生了解线性代数在经济方面的简单应用,并为学生学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。 二、课程教案内容及学时分配 (一）教案内容 第一章行列式(学时) 教案内容：
二阶三阶行列式；阶行列式的定义；行列式的性质（证明选讲）；行列式按行(列)展开（定理证明选讲，行列式按某行（列）展开选讲）；克莱姆法则。 本章的重点与难点： 重点：行列式的性质；行列式按一行（列）展开定理；克莱姆法则的应用。 难点：阶行列式的定义的理解；阶行列式计算。 第二章矩阵(学时) 教案内容： 矩阵的概念；矩阵的运算（矩阵的加、减法；数乘；乘法；矩阵转置；方阵的幂；方阵的行列式）；几种特殊的矩阵（对角矩阵，数量矩阵，三角形矩阵，单位矩阵，对称矩阵与反对称矩阵）；分块矩阵（分块阵及其运算，分块对角阵）；逆矩阵（可逆阵的定义；奇异阵，伴随阵与逆阵的关系；逆阵的性质，二阶上三角分块阵的求逆方法）；本章的重点与难点： 重点：矩阵的运算规律；逆矩阵的性质以及求法； 难点：矩阵的乘积及分块矩阵的乘积；逆矩阵（抽象矩阵的逆矩阵）的求法。 第三章矩阵的初等变换与线性方程组(学时) 教案内容： 矩阵的初等变换（初等矩阵定义；初等矩阵与矩阵初等变换的关系。用初等变换求矩阵的逆）；矩阵的秩（矩阵的秩的定义；矩阵的秩与其子式的关系；初等变换求矩阵的秩）。线性方程组的消元解法（消元解法与初等行变换的关系；线性方程组有唯一解、无穷多组解和无解的讨论；线性方程组有解的判别定理；齐次线性方程组有非零解的充分和必要条件）； 本章的重点与难点： 重点：利用初等变换求矩阵的逆矩阵与矩阵的秩；利用初等变换求线性方程组的通解。 难点：利用初等变换求线性方程组的通解。
线性代数教学教案 第一章线性方程组与矩阵 授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为
n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，
a b+
21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：
2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.
授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .
线性代数 课程教案 学院、部 系、所 授课教师 课程名称线性代数 课程学时45学时 实验学时 教材名称 年月日 线性代数课程教案
授课类型 理论课 授课时间 3 节 授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式 §1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换 本授课单元教学目标或要求： 1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。 2. 知道n 阶行列式的定义。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法 设12n p p p 是1,2,,n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。 先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ； 再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； …… 最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =+++ 。 2. n 阶行列式 121211 1212122212() 1 2(1)n n n n t p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a = = -∑ 其中12n p p p 为自然数1,2,,n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列 12()n p p p 求和。 n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。 3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用 1112 112212212122 a a D a a a a a a = =-
线性代数Ⅰ课程教学大纲 一课程基本情况 课程名称：线性代数。 课程名称（英文）： Linear Algebra。 课程编号：B11071。 课程总学时：40学时（全部为课堂讲授）。 课程学分：2学分。 课程分类：必修，考试课。 开课学期：第3学期。 开课专业：适合对数学类基础课要求较高的理工类本科专业，包括物理学(S)、计算机科学与技术(S)、农业机械化及其自动化、机械设计制造及其自动化、电气工程与自动化、电子信息工程、土木工程、工程管理等专业。 先修课程：无。 后续课程：大学物理等基础课和各专业相应专业课。 二课程的性质、地位、作用和任务 《线性代数》是高等学校上述各专业的重要基础课。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，尤其是在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已成为科学技术人员经常遇到的课题，因此学习和掌握线性代数的理论和方法是掌握现代科学技术以及从事科学研究的重要基础和手段，同时也是实现我院上述各专业培养目标的必备前提。本课程的主要任务是学习科学技术中常用的矩阵方法、线性方程组及其有关的基本计算方法。使学生具有熟练的矩阵运算能力及用矩阵方法解决一些实际问题的能力。从而为学生进一步学习后续课程和进一步提高打下必要的数学基础。 三主要容、重点及深度 了解行列式的定义，掌握行列式的性质及其计算。理解矩阵（包括特殊矩阵）、逆矩阵、矩阵的秩的概念。熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律。理解逆矩阵存在的充要条件，掌握矩阵的求逆的方法。掌握矩阵的初等变换，并会求矩阵的秩。理解n维向量的概念。掌握向量组的线性相关和线性无关的定义及有关重要结论。掌握向量组的极大线性无关组与向量组的秩。了解n 维向量空间及其子空间、基、维数等概念。理解克莱姆（Cramer）法则。理解非齐次线性方程组有解的充要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件。理解齐次线性方程组解空间、基础解系、通解等概念。熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。掌握矩阵的特征值和特征向量的概念及其求解方法。了解矩阵相似的概念以及实对称矩阵与对角矩阵相似的结论。了解向量积及正交矩阵的概念和性质。了解二次型及其矩阵表示，会用配方法及正交变换法化二次型为标准形。了解惯性定理、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。
《线性代数》 授课教案 刘思圆 第一章行列式 本章说明与要求: 行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题： (1) 行列式的定义；
(2) 行列式的基本性质及计算方法； (3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)． 本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式． 计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法． 行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。 。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。 §1.1 二阶与三阶行列式 行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题． 设有二元线性方程组 ?? ?=+=+2 2221211 112111b x a x a b x a x a (1) 用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当a 11a 22–a 12a 21≠0 时，有 ??? ??? ?--=--=2112221121 1211221 1222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x (2) 这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号 2112221122 211211a a a a a a a a -= 为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号． 根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成 222 121212221a b a b b a a b = -，2 21 111211211b a b a a b b a = -， 如果记22 21 1211a a a a D = ，22 2 1211a b a b D = ，2 21 1112b a b a D = 则当D ≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成
典型教案 第一章线性方程组的解法 线性方程组就是一次方程组。 先来分析中学数学怎样解二元一次方程组。看它的原理和方法是否可以推广到一般的多元一次方程组。 例1、解方程组 3x+4y=2 (1) 2x-5y=9 (2) 解、用加减消去法消元： 5x(1)式+4x(2)式：23x=46 (3) 2x(1)式-3x(2)式：23y= -23 (4) 由（3）和（4）解出 x=2 ，y= -1。 代入（1），（2）式检验知道它是原方程组的解。 以上解法的基本原理是: 由原方程(1)、(2)分别乘以适当的常数再相加，得到各消去了一个未知数的新方程(3)、(4), 从中容易解出未知数的值来. 将一组方程分别乘以常数再相加，得到的新方程称为原来那一组方程的线性组合。原来那一组方程的公共解一定是它们的任意一个线性组合的解。 新方程(3)、(4)都是原方程(1)、(2)的线性组合, (1)、(2)的公共解一定是(3)、(4)的解. 但反过来, 由(3)、(4)求出的解是否一定是(1)、(2)的解？这却并不显然。 因此需要将(3)、(4)的解代入(1)、(2)检验。 或者说明(1)、(2)也是(3)、(4)的线性组合。从而由(3)、(4)组成的方程组与原方程组同解. 1.1. 方程组的同解变形 1. 线性方程组的定义 2. 方程的线性组合: 方程的加法 方程乘以常数 方程的线性组合: 将m 个方程分别乘以m 个已知常数，再将所得的m 个方程相加, 得到的新方程称为原来那m 个方程的一个线性组合 容易验证: 如果一组数(c_1,c_2,…,c_n) 是原来那些方程的公共解, 那么它也是这些方程的任一个线性组合的解. 注意: 线性组合的系数中可以有些是0, 甚至可以全部是0. 如果某些系数是0, 所得到的线性组合实际上也就是系数不为0 的那些方程的线性组合。 如果方程组(II) 中每个方程其余都是方程组(I) 中的方程的线性组合, 就称方程组(II) 是方程组(I) 的线性组合. 此时方程组(I) 的每一组解也都是方程组(II) 的解。 如果方程组(I) 与方程组(II) 互为线性组合, 就称这两个方程组等价。此时两
线性代数》 授课教案 刘思圆 第一章行列式 本章说明与要求: 行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问 题： (1) 行列式的定义； (2) 行列式的基本性质及计算方法； (3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则) ． 本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式． 计算行列式的基本思路是：按行(列) 展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法． 行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则) ．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 本章的重点：行列式性质；行列式的计算 本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。
§1.1 二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题． 设有二元线性方程组 (1) 用加减消元法容易求出未知量x1，x2 的值，当a11a22 –a12a21≠0 时，有 (2) 这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2) 这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号 为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线) 上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的 对角线(又叫次对角线) 上两个元素的乘积，取负号． 根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成
第一章 行列式 本章说明与要求: 行列式的理论是从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题： (1) 行列式的定义； (2) 行列式的基本性质及计算方法； (3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)． 本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式． 计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法． 行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。 。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。 §1.1 二阶与三阶行列式 行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的． 设有二元线性方程组 ???=+=+2 2221211 112111b x a x a b x a x a (1) 用加减消元法知，当a 11a 22 – a 12a 21≠0时，有：211222112122211a a a a b a a b x --=， 21 12221121 12112a a a a a b b a x --= (2) 这是一般二元线性方程组的公式解．但公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号 2112221122 211211a a a a a a a a -=为二阶行列式． 它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．
线性代数教案(正式打印版)
第（1）次课授课时间（） 教学章节第一章第一、二、三节学时2学时 教材和 参考书 1.《线性代数》(第4版)同济大学编 1.教学目的：熟练掌握2阶,3阶行列式的计算； 掌握逆序数的定义, 并会计算； 掌握n阶行列式的定义； 2.教学重点：逆序数的计算； 3.教学难点：逆序数的计算. 1.教学内容：二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；n阶行列式的定义 2.时间安排：2学时； 3.教学方法：讲授与讨论相结合； 4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.
基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义 一、二阶行列式的定义 从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。 设二元线性方程组 ? ? ? = + = + 2 2 22 2 21 1 2 12 1 11 b x a x a b x a x a 用消元法,当0 21 12 22 11 ≠ -a a a a时,解得 21 12 22 11 1 21 2 11 2 21 12 22 11 2 12 1 22 1 , a a a a b a b a x a a a a b a b a x - - = - - = 令 21 12 22 11 22 21 12 11a a a a a a a a - =,称为二阶行列式,则 如果将D中第一列的元素 11 a,21a换成常数项1b,2b,则可得到 另一个行列式,用字母 1 D表示,于是有 22 2 12 1 1a b a b D= 按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和： 21 2 22 1 a b a b-,这就是公 式（2）中 1 x的表达式的分子。同理将D中第二列的元素a 12,a 22换 成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 2 D表示,于是有 2 12 1 11 2b a b a D= 按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和： 1 21 2 11 b a b a-,这就是公
线性代数教案正式打印 版 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第（1）次课授课时间（）
基本内容备注 第一节二、三阶行列式的定义 一、二阶行列式的定义 从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。 设二元线性方程组 ? ? ? = + = + 2 2 22 2 21 1 2 12 1 11 b x a x a b x a x a 用消元法,当0 21 12 22 11 ≠ -a a a a时,解得 21 12 22 11 1 21 2 11 2 21 12 22 11 2 12 1 22 1 , a a a a b a b a x a a a a b a b a x - - = - - = 令 21 12 22 11 22 21 12 11a a a a a a a a - =,称为二阶行列式 ,则 如果将D中第一列的元素 11 a,21a换成常数项1b,2b ,则可得到 另一个行列式,用字母 1 D表示,于是有 22 2 12 1 1a b a b D= 按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和： 21 2 22 1 a b a b-,这就是公 式（2）中 1 x的表达式的分子。同理将D中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 2 D表示,于是有 2 12 1 11 2b a b a D= 按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和： 1 21 2 11 b a b a-,这就是公 式（2）中 2 x的表达式的分子。 于是二元方程组的解的公式又可写为 ? ? ? ?? ? ? = = D D x D D x 2 2 1 1 其中0 ≠ D
《线性代数》 授课教案 代数几何教研室 第一章行列式 本章说明与要求: 行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题： (1) 行列式的定义； (2) 行列式的基本性质及计算方法； (3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)． 本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式． 计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法． 行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。 。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。 1 / 205
2 / 205 §1.1 二阶与三阶行列式 行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题． 设有二元线性方程组 ?? ?=+=+2 2221211 112111b x a x a b x a x a (1) 用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当a 11a 22–a 12a 21≠0 时，有 ??? ??? ?--=--=2112221121 1211221 1222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x (2) 这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号 2112221122 211211a a a a a a a a -= 为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号． 根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成 222 121212221a b a b b a a b = -，2 21 111211211b a b a a b b a = -， 如果记22 21 1211a a a a D = ，22 2 1211a b a b D = ，2 21 1112b a b a D = 则当D ≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成
第一章线性空间 一、教学目标与基本要求 数学的特点之一是抽象.从实数、复数、实值函数、无穷级数、向量等数学对象中,可以抽象出它们的共同特点:同一集合中的元素彼此可以相加,可与数相乘,这些运算还遵从一些共同规律.本章讨论的线性空间,就是针对上述特点建立的一种一般性的数学概念.它包括了所有前面提到的实例,另有许多数学对象也可归属其中. 数学中所谓空间,就是具有某些特性的集合.所谓线性空间,概言之就是这样一个集合:在其上定 义了称为加法和数乘的两种运算,并可在该集合上实施(准确的定义见后详述).在此,既不强调集合元素的本来属性,又不规定这两种运算是如何实施的,只规定运算具有称为公理的某些性质. 1 线性空间的定义及例 定义1.1.1设V是一个非空集合,其元素用x、y、z等表示.V被称为一个线性空间,如果它满足以下被分为三组由10条公理构成的公理体系: 1.1.1封闭公理 公理1(加法封闭公理)在V中定义了加法运算:对于V中任意两个元素x和y,有唯一的V中的元素与之对应并被称为x与y的和,记为x＋y. 公理2(数乘封闭公理)在V中定义了实数乘法(简称数乘)运算:对于V中任意元素x和任意实数a,有唯一的V中的元素与之对应并被称为a与x的积,记为a x. 加法运算和数乘运算合称线性运算. 1.1.2加法公理 公理3 (交换律)对于任意x,y∈V,有 x+ +. = x y y 公理4(结合律) 对于任意x,y,z∈V,有 + x+ = +. + y ) ) z (z ( y x 公理5 (零元素存在性)V中存在一个记为θ的零元素,对于任意x∈V,有 +. x= x θ -的x的负元素,使公理6 (负元素存在性)对于任意x∈V,V中存在记为x +) - (. θ x= x 1.1.3数乘公理 公理7(结合律)对于任意x∈V,任意实数a和b,有 b (ab a=. x) x ( )
线性代数教案(2015)
第一章行列式 1.1 行列式的概念 一、本次课主要内容 介绍行列式的起源，总结学习二阶行列式和三阶行列式，学习全排列和逆序数，归纳n阶行列式的定义。 二、教学目的与要求 掌握二阶、三阶及n阶行列式的概念，掌握逆序数的计算。 三、教学重点难点 1、二阶、三阶行列式的定义、计算； 2、逆序数的计算； 3、n阶行列式的定义。 四、教学方法和手段 课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。 五、作业与习题布置 P22 习题1（6）、2（3），3
§1. 1 行列式的概念 对于方程组1111221 2112222 a x a x b a x a x b +=+=?? ?用消元法，当112212210a a a a ≠－方程组有唯一解 122212*********b a b a x a a a a -= -和211121********* b a b a x a a a a -=-。观察上面链各个式子的分母，发现是一 样的。而且两个式子的分子和分母在型式上也是有相似之处的。 一、二阶行列式的概念 设有数表 11 12 2122 a a a a ，两边加上竖线变为 1112 2122 a a a a ，记 1112 112212212122 a a a a a a D a a =-= 注意：2阶的行列式一共能分成2=2!项相加相减（一项加一项减）。每一项里面有2个不同行，不同列的元素相乘。 简单介绍对角线法 其中ij a 表示的是第i 行，第j 列的元素。i 和j 分别称为行坐标和列坐标。D 称为行列式的值，是11221221a a a a -的计算结果。 11 12 2122 a a a a 有两行两列，所以称之为二阶行列式。 如同水有气体，液体，固体三种表现形式一样。一个行列式也可以表现为三种形式：行列式，组成行列式的元素的计算式，和行列式的值。例如： 121122321 =?-?=- 二元一次 方程组的求解公式
线性代数教案 第一章 行列式 行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题： (1) 行列式的定义； (2) 行列式的基本性质及计算方法； (3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)． 本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式． 计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法． 行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 重点：行列式性质；行列式的计算。 难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。 §1.1 二阶与三阶行列式 行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题． 设有二元线性方程组 ?? ?=+=+22221 211 112111b x a x a b x a x a (1) 用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当a 11a 22 – a 12a 21≠0 时，有 ??? ??? ?--=--=2112221121 1211221 1222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x (2) 这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号