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电磁感应及电磁场理论
基本内容小结
一、 电磁感应的普遍规律 1、楞次定律
感应电流的方向总是企图使感应电流本身所产生的通过回路面积的磁通量去补偿或者说反抗引起感应电流的磁通量的改变。
感应电流总是阻止或减缓产生感应电流的各种变化（相对运动，转动……）。 2、电源电动势与非静电场强度
所有电源内部都由连接电源正负极的导体构成回路，它与电源外的导体（外电路）连成闭合回路。断路时整个回路处处无电流，通路时回路各截面电流强度相等——电流的连续性。电流通过导体时产生电势降落消耗电能，电源有维持两极电势差、把不同形式的能量转化为电能的能力，这种能力强弱用电动势ε表示，它的大小等于断路时电源两极的电势差，方向由电源负极经电源内部指向正极。
电源内部存在着不同于静电力的电场力称为“非静电力”k F ，它能作用在任何电荷上因而是“电场力”，它不是保守力故不是静电力。可引入非静电力强度/k k E F q =。断路时，在电源内部导体中处处有0k E E +=，使电荷受力平衡而非定向运动，因而没有电流，这时两电极之间的电势差即电动势为：
l d E k i
??=
正极
负极（内）
ε [（内）表示经由内电路]
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通路时k E 并不改变：l d E l d E l d E l d E k k k k i
????=?+
?=
?=
负极
正极（外）
正极
负极（内）
正极
负极（内）
ε
可见等于单位正电荷按电动势方向绕电路一周时电源非静电力所作功。 3、法拉第电磁感应定律
m
i d dt
εΦ=-
式中i ε
、m Φ分别是回路中的感应电动势、通过回路所围面积磁通量的代数值。使用该式时要规定电路的绕行正方向，由右手螺旋法则确定回路所围面积的正法线方向。m Φ的正、负表示磁感应强度B 方向与回路所围面积的法线方向相同、相反；i ε的正、负表明电动势的方向与规定的电路绕行正方向相同、相反。
若线圈是多匝线圈的串联，m Φ称为磁通链，这时感应电动势是各单匝线圈感应电动势的串联，当通过各单匝线圈的磁通相等记为Φ时则m N Φ=Φ。
i d N
dt
εΦ
=- 4、感应电流
当电路闭合时，通过回路截面的感应电流与磁通量的变化率成正比，即
1I m
i d R dt
Φ=-
5、感应电量
当通过回路的磁通由1Φ改变为2Φ时通过回路截面的电量（感应电量）q 与磁通变化的快慢无关，只与磁通改变量有关，即 121
()q R
=Φ-Φ。 二、 动生电动势
由于回路所围面积的变化或面积取向变化而引起的感应电动势，称为动生
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电动势。
1、形成动生电动势的非静电场强
动生电动势的非静电力是随导体运动的自由电荷所受磁力k
F qv B =?，
非静电场强k E v B =?，式中v 、B 分别是导体上一点的运动速度和该点处的磁感应强度。
2、在均匀磁场中匀速转动线圈（匝数为N ）的感应电动势
sin NB S t εωω=
该线圈的转轴在线圈平面内与磁力线夹角为2
π
，0=t 时线圈平面的法线方向与磁力线方向夹角为0。 3、 计算动生电动势的两种方法
（1）应用动生电动势表达式()i L
v B dl ε=
???计算
这种方法对闭合回路和非闭合回路都适用。由于积分号内是三个矢量的混合积，所以计算时必须准确的区分和确定导体运动方向v 与磁感应强度B 之间的夹角1θ，以及()v B ?与矢量线元dl 之间的夹角2θ。当10,θπ=，即v B 时，
运动导线内的电荷没有受到洛伦兹力；10,θπ≠但22
π
θ=
时，运动导线内的电
荷虽然受到洛伦兹力，但它不能对电荷作功，所以上述两种情况都不能产生动生电动势。只有当10,θπ≠，同时22
π
θ≠
时，导线中才能产生动生电动势。根
据电动势方向的定义，动生电动势的方向与()v B ?即非静电场强k E 的方向一致。如果要使计算结果既得到动生电动势的大小，又能表示出它的方向，可将计算公式写成 ()b
iab a
v B dl ε=???
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则当0iab ε>时，动生电动势的方向由a b →；当0iab ε<时，动生电动势的方向由b a →。因此，动生电动势的方向由计算结果的正、负直接给出。显然，它与()v B ?的方向是一致的。
解题的一般步骤如下：
①根据题意画出示意图，在图上标出v 、B 和()v B ?的方向，并确定v 与B 的夹角
②在导体上任取一线元dl ，并确定dl 与()v B ?的夹角；
③建立适当坐标系，写出线元dl 上的动生电动势()i d v B dl ε=??； ④统一积分变量和正确确定积分上、下限，求积分b
iab i a
d εε=?
，算出动生电动
势的大小和方向。
（2） 用法拉第电磁感应定律i d dt
εΦ
=-
计算 这种方法常用于磁场恒定、磁通量便于计算的闭合回路。对于非闭合回路，不存在磁通量，可设法填补辅助线构成闭合回路，要求辅助线不动（不产生附加动生电动势）或辅助线上的附加电动势容易求出，从闭合回路的动生电动势中减去辅助线上的附加动生电动势，就得到了非闭合回路上的动生电动势。
为了简便，也可以用法拉第电磁感应定律求动生电动势的大小，由楞次定律确定动生电动势的方向。
解题的一般步骤如下：
①根据题意画出示意图，在图上标出B 的方向 ②建立适当坐标系，写出B 的表达式；
③求出穿过闭合回路的磁通量()t Φ，其中描述位置的是时间的函数；
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④求微商
d dt
Φ
，得出动生电动势的大小； ⑤由负号或楞次定律确定动生电动势的方向。 三、 感生电动势
当磁场随时间改变时，静止的导体或导体回路中产生的感应电动势是感生电动势。
1. 涡旋电场
由于磁场随时间改变在磁场变化的区域及其周围空间激发的电场——涡旋电场或感生电场。
涡旋电场对在该电场中的任何电荷都有力的作用F qE =涡；涡旋电场与静
电场的不同在于它不是保守力场，没有电势。它满足方程dt
d l d E m Φ-=?? 涡。
涡旋电场电力线是闭合线，绕行方向与dB
dt
的方向构成左手螺旋。涡旋电场的场强是产生感生电动势的非静电场强。
2. 静电场与涡旋电场的异同如下表： 组闭合曲线 S
L S
E
ds 0
B
E dl ds t ?=??=-?????感
感
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3. 半径为R 的“无限长”柱形区域内随时间变化的匀强磁场产生的涡旋电场的分布与“无限长”均匀截流圆柱体的磁场强度分布相似，即涡旋电场电力线是围绕柱体轴线的同心圆，同一电力线上各点场强大小相等。
2
22r dB dt
E R dB r dt
????=?????涡r R
r R
≤≥ 垂直柱轴并且通过（或延长线通过）柱轴的直导线上的感生电动势为零。与涡旋电场电力线重合的圆弧形导线上感生电动势与导线长度l 的关系是
2
22r dB l dt
R dB l r dt
ε????=?????r R
r R
≤≥ 4. 导体回路、导线在随时间变化的磁场中运动时的感应电动势
对导体回路可用法拉第电磁感应定律计算，也可用各段导线动生电动势与感生电动势的叠加计算。下面给出计算感生电动势的两种方法
（1） 用感生电动势公式i i
L
dl ε=
E ??计算
这种方法对闭合回路和非闭合回路都适用，但要求预先知道L 上感生电场
i E 的分布。对于非闭合回路，为了由计算结果的正、负直接确定i ε的方向，可
将上式写成 b
iab i a
dl ε=
E ??
则当0iab ε>时，感生电动势的方向为a b →；当0iab ε<时，感生电动势的方向为b a →。当然也可以用楞次定律确定感生电动势的方向。
解题的一般步骤如下：
①根据题意画出示意图，确定i E 的分布，并将i E 的方向标在图上；
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②在L 上取一线元，并写出dl 上感生电动势的表达式i i d dl ε=E ?； ③统一积分变量和正确确定积分上、下限，对i d ε求积分； ④求出感生电动势的大小和方向或用楞次定律确定其方向； （2） 用法拉第电磁感应定律i d dt
εΦ
=-
计算，此时S 与时间t 无关，(,)t r t B B =与有关
方法和步骤与用法拉第电磁感应定律求动生电动势相同。 四、 自感应
1. 自感应系数
载流回路在自己回路产生的磁通与电流强度之比为自感系数L
L I
Φ
=
回路的形状大小不变且介质（不含铁磁介质）分布不变时，L 为恒量。 2. 自感电动势
回路中电流变化时在自身回路中产生自感电动势，当L 是恒量时为 l dI L
dt
ε=- l ε的方向：当回路中电流增长时，自感电动势方向与电流方向相反；当回
路中电流减少时，自感电动势的方向与电流方向相同。 五、 互感应
1. 互感系数
回路1中有电流I 1时，它产生的磁场在回路2所围面积内的磁通21Φ，
211/I Φ称为回路1对回路2的互感系数，即 21211/M I =Φ
同理回路2对回路1的互感系数为： 12122/M I =Φ 两者数量相等记为M ，即 211122//M I I =Φ=Φ
当回路1、2的形状、大小、相对位置及介质（不含铁磁介质）分布不发生
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变化时，互感系数为恒量。
2. 互感电动势
由于一个回路中电流变化而在其它回路中产生感应电动势称为互感电动势
121dI M
dt ε=- 212dI M dt
ε=- 3. 两回路间互感系数与两回路各自自感系数的关系
M = 10k ≥≥ 六、 磁场能量
自感电路接通时，电流要克服自感电动势作功把电能转换成磁场能量，断路时自感电动势对电流作功，消耗磁场能量。
自感系数为L 的回路，载有电流I 时它的磁场具有能量W m
212
m W LI =
磁能储存在磁场中单位体积的磁能—磁能密度为
22
11222m B w BH H μμ
===
某体积V 中的磁能为m m V
W w dV =?
七、 麦克斯韦电磁场理论的基本知识
1. 位移电流和全电流
变化的电场形成位移电流。通过指定面的位移电流I d 等于通过该面电通量对时间的变化率：e
d d I dt
Φ=
位移电流与传导电流一样产生磁场。
通过一截面的位移电流与传导电流之和称为通过该面的全电流。全电流永远是连续的构成闭合电流。
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2. 全电流定律
c d c L
d H dl I I I dt
ψ
?=+=+
? 3. 传导电流与位移电流的异同
4. 麦克斯韦方程组（积分形式）
(1)i
i
S
D dS q
?=∑?
(2)m L
d E dl dt
Φ?=-
?
(3)S
B dS ?=?
(4)
c L
d H dl I dt
ψ?=+
?
⑴式说明电荷必建立电场，且电位移线的起、止点在自由电荷上。 ⑵式说明变化的磁场必激发电场（涡旋电场），该电力线的绕行方向与B 的增加方向构成左手系。 ⑶式说明磁力线没有起、止点。
⑷式说明传导电流和变化电场（位移电流）都产生磁场，磁力线是闭合线围绕全电流，绕行方向与全电流方向构成右手系。
80
思考题
1. 判断下图所示各种情况中AC 导线段内或运动的导线框（线圈）内的感应电动势的方向。
解：（a ）AO 与CO 两段的动生电动势大小相等，方向相反。O 点电势较A 和C 端低。故AC 棒上总的感应电动势为零。
（b ）AC 棒上各元段的()v B ?矢量在各时刻均与l d 垂直，故l d B v d ??=)(ε，
因此棒上无动生电动势。
（c ）由楞次定律判得导线框中感应电动势为顺时针。（设ABDCA 为正方向，则
0>Φ，线框右移
0d dt Φ<，故0d dt
εΦ
=->与规定的正方向相同）。或用()v B dl ε=???也可求得。
（d ）由电磁感应定律得出感应电场E 感电力线为垂直于磁场、以O 为圆心的同
81
心圆、方向沿逆时针方向。此E 感沿AC 导线的分量均为由A 到C 的方向。由
??=C A
AC
l d E
感ε可知0AC ε>，即感生电动势的方向为由A 指向C 。
（e ）由于在转动过程中，穿过圆环的总磁通量恒为零，故圆环内无感应电动势。
或认为在转动中任一时刻各元段内由于v ??B
，所以动生电动势0d ε=.故整个
圆环内感应电动势为零。
(f ）在B 环与A 环重合到B 环与A 环垂直的过程中，穿过B 环的磁通量减少，所以B 环中的感应电动势方向与A 环中的电流方向一致。在由B 环与A 环垂直到二者重合的过程中，B 环中的磁通量增加。故感应电动势方向与A 环的电流方向相反。
2. 将磁铁插入非金属的环中时，环内有无感生电动势？有无感生电流，环内
发生何种现象？
答：磁铁插入非金属环时，环中的磁通量的变化不为零，所以环中有感生电动势。感生电动势与导电材料的种类和性质无关，而是电磁场本身的变化引起的。
由于非金属材料内，几乎不存在自由电子，故感生电流为零。环内介质在感生电场的作用下发生极化。
3. 为什么电子感应加速器只有在四分之一的周期间用来加速电子？
答：把磁场变化的周期分为四个阶段，这四个阶段引起的涡旋电场的方向如图所示。考虑使电子反时针加速的情形要求：(1)涡旋电场必须在顺时针。(2)
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为了使电子在一定的圆形轨道上加速，提供向心力的磁场必须逐渐加强。只有第一个 四分之一周期可同时满足以上条件，它的时间虽短，但电子质量很小，仍可加速到一定能量。
4. 均匀磁场被限制在半径为R 的无限长圆柱内，磁场随时间做线性变化。现有两个闭合曲线L 1（为一圆）与 L 2（为一扇形），如图：
讨论：（1）L 1与L 2上每一点的dt B
d
是否为零？感E 是否为零？l d E L ??1
感是否为
零？l d E L
??2
感是否为零？
（2）若L 1，L 2为均匀导体回路，则回路内有无感应电流？L 1上各点电势是否相等？L 2上a, b, c, d 的电势是否相等？
解：（1）L 1上各点0≠dt
B
d ，0E ≠感 2r dB
E dt =-感 01
≠?∴?l d E L 感 L 2在磁场外，L 2上各点dt
B
d
均为零。但0≠感E 。因为变化的圆柱形磁场
外的各点感应电场值都不为零。因L 2内磁通量为零，故
0=Φ
dt
d ，故L 2回路上
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无感应电动势，即02
=??l d E L
感。
（2）L 1回路中有感应电流，L 2回路中无感应电流。
在L 1上任取一小段导体，设其电阻为R ?，感应电动势为ε?，电流为I 。由含源欧姆定律有I R ε?=?即0u I R ε?=?-?=，即这一小段导体两端电势相等。同理L 1回路上处处电势相等（或说处处电势为零），但却流有电流。
在L 2上，因0dc ab εε==，而dt
dB
R bc
ad 22θεε==（θ为扇形所张的圆
心角），但ad bc εε和在回路abcda 中方向相反，故回路中总电动势为零。因而总电流也为零，故有
d a ad U U ε-= ，c b bc U U ε-=
a d U U ∴≠ c
b U U ≠ a b U U =
c
d U U =
从磁场分布看：回路L 1内的感应电场是沿L 1切线方向，L 1为闭合圆回路。电荷在感应电场的作用下作圆周运动，不会引起电荷在回路内的积累，回路内不存在保守的静电场，当然也就没有相应与保守电场的电势分布。
但在回路L 2中，dc 、ab 两径向直线段上感应电场与半径方向处处垂直，故
0dc ab εε==。在ad 与bc 两圆弧内的感应电场处处沿同向的切线方向，这电场
使电荷同方向移动，又因这两段圆弧的感生电动势大小相等，在回路中方向相反，因而不能形成闭合电流。故：若
0dB
dt
>，则在dc 段和ab 段上分别有正、负电荷的积累，这电荷在其周围形成保守电场。所以有相应的电势差存在。5. 2341 简述方程
c L
S
D
H dl I dS t
??=+??∑???
中各项的意义，并简述这个方程解释了什么规律．
答：此式说明，磁场强度H
沿闭合回路L 的环流，由回路L 所包围的传导
电流、位移电流的代数和决定．这是全电流安培环路定律的数学表示，它的物理意义是：不仅传导电流可激发磁场，位移电流（即变化的电场）也同样可在
其周围空间激发磁场．
6. 2538
如图，图（１）是充电后切断电源的平行板电容器；图（２）中是一直与电源相接的电容器．当两极板间距离相互靠近或分离时，试判断两种情况下极板间有无位移电流，并说明原因．
答：（１）因为平板电容器的电量不变，当两板间距离改变时电场强度不变，故无位移电流．
（２）电容改变而电源所加电压不变，电容器所带电量改变，极板间的电场强度也必定改变，由位移电流的定义可知存在位移电流．
84
85
典型题
1. 2498
载流长直导线与矩形回路ABCD 共面，且导线平行于AB ，如图。求下列情况下ABCD 中的感应电动势：
（1） 长直导线中电流恒定，t 时刻ABCD 以垂直于导线的速度v 从图示的初
始位置远离导线匀速平移到某一位置时。 （2） 长直导线中电流,sin 0t I I ω= ABCD 不动.
（3） 长直导线中电流,sin 0t I I ω= ABCD 以垂直于导线的速度v 远离导
线匀速运动，初始位置也如图。
解：ABCD 回路所围平面内任一点到载流导线的距离为r ,该点磁感应强度
r
I
B πμ20=
1分 取ABCDA 转向为回路正方向，设A 点处1r r A =，D 处b r r r D +==12 取r 处宽dr 与AB 边平行的细矩形面元ldr ds =，该面元的磁通
dr r
Il
d m πμ20=
Φ 1分 回路的磁通1
100ln
2221r b
r Il r dr Il d r r S
m m +==Φ=Φ??πμπμ 1分 方法一：
(1)I 为恒量，vt a r +=1，
0=dt
dI
，
v dt dr =1，
86
)
)((2)(ln 201101vt b a vt a Ilvb r b
r dt d Il dt d m +++=+?-=Φ-
=πμπμε 方向：ABCDA ? 3分 (2) a r =1，t I I ωsin 0=，
t I dt
dI
ωωcos 0=， t a
b a l I dt dI
a b a l dt d m ωπωμπμεcos ln 2ln 20002+-=+?-=Φ-
= 方向：正值时?, 负值时⊙ 2分 (3) vt a r +=1,
v dt dr =1, t I I ωsin 0=, t I dt
dI
ωωcos 0=, t
vt
a vt
b a l I vt b a vt a t lvb I vt
a vt
b a dt d Il dt dI vt a vt b a l dt d m ωπωμωπμπμπμεcos )(ln 2))((sin 2)(ln 2)ln 2(000000+++-+++?=+++-+++?-=Φ-
= 2分
方向：正值时?，负值时⊙ 方法二： (1) AB 段)
(201vt a I
B +=
πμ，方向?，v B ?方向为由A 指向B ；BC 段(DA
段),v B BC ?⊥(DA ); CD 段)
(202vt a I
B +=πμ方向?，v B ?方向为由D 指向
C . )
(2)
(2)(00vt a Ilv
AB vt a Iv
l d B v B
A
AB +=
+=
??=
?
πμπμε
)
(2)(0vt b a Ivl
l d B v D
C
CD ++-
=??=?
πμε
012()()
AB CD Ilbv
a b vt a vt μεεεπ=+=
+++
方向：ABCDA 3分
87
（2）t 时刻电流为,ln 2,,sin 010a
b
a Il a r t I I m +=
Φ==πμ t a
b a l I dt dI
M a b a l I M m ωπμεπμcos ln 2,ln 20020+-=-=+=Φ=
2分 （3）t I I ωsin 0=，vt a r +=1，t 时刻,ln 20vt
a vt
b a l M +++=
πμ t vt
a vt
b a l I vt b a vt a t
lbv I ωπωμωπμεεεcos ln 2))((sin 20000+++-+++=
+=感动 2分
提示：虽然计算感应电动势的方法很多，但是只要任一时刻t 通过回路的磁通容易计算，直接用法拉第电磁感应定律计算回路的感应电动势最方便。 2. 2137
两相互平行无限长的直导线载有大小相等方向相反的电流，长度为b 的金属杆CD 与两导线共面且垂直，相对位置如图。CD 杆以速度v
平行直线电流运动，求CD 杆中的感应电动势，并判断C,D 两端哪端电势高？
解：1，2两电流在平面内1外侧距1为r 的点磁感应强度21B B B +=，1B ，2
B
分别为1，2直线电流的磁场为： r
I
B πμ201=
， 方向：⊙； 022()
I
B r a μπ=
+ ， 方向：?。
)
(2021a r r Ia
B B B +=
-=πμ, 方向：⊙ 3分
88
方法一：
CD 上r 处宽dr 的线元上感应电动势
dr a r r Iav
l d B v d )
(2)(0+=
??=πμε
，方向：D C → 2分
D C b a b a Iv a r r Iv dr
a r r Iv d b
a a
b a a D
C →++=+=+-==++??:])
2()(2ln[2ln 2)1
1(2000方向πμπμπμεε 3分
D 端电势高 2分 方法二：
设想如虚线放置导线框DABC ，CD 是其中的可动边，ABCD 回路具有的感应电动势即CD 的动生电动势，取ABCDA 为正转向，设BC 长l ， 则ABCD 回路中取r 处宽dr 的矩形窄条处)
(20a r r Ia
B +=
πμ 3分
l a r r Iadr
BdS d m )
(20+-=-=Φπμ 1分
b
a b a Il dr a r r al
I d b
a a
m m ++-=+-
=Φ=Φ?
?+2)(2ln 2))((
200πμπ
μ 2分
m 0CD d Iv 2(a b )
ln
dt 22a b
Φμεεπ+==-
=+ 方向：D C → 2分 D 端电势高 2分 3.2680
半径为R 的无限长实心圆柱导体接有电流I ，电流沿轴向流动，并均匀分布在导体横截面上，一宽为R ，长为1m 的矩形回路（与导体轴线同平面）以速度v
向导体外运动（设导体有一很小的缝隙，但不影响电流及磁场的分布，如图）.设初始时刻矩形回路一边与导体轴线重合，求：
89
（1） t ()v
R
t <
时刻回路中的感应电动势。 （2） 回路中的感应电动势改变方向的时刻。
解：导体不是铁磁介质0μμ≈则由均匀截流圆柱体磁场公式得
????
?>≤=)
(2)
(2020R r r
I R r r R I B πμπμ 2分
设AB 边离轴)(1vt r =，CD 边离轴21r R r =+
方法一：
(1)在ABCD 平面内距轴)(1r r ≥处取宽dr 长AB 的矩形面元dS ABdr dr ==
02
0()
2()
2m I
rdr r R R d I dr r R r
μπμπ?≤??Φ=?
?>?? 1分
2
1
22
000
221(ln )22222R
r m m r R S
I I I v t R vt d rdr dr R r R R
μμμπππ+Φ=Φ=+=-+??
? 2分 202()2m d I v t v
dt R R vt
μεπΦ=-=-+，正方向： ABCDA 。 2分
（2）电动势改变方向的时刻即0=ε的时刻
vt
R R vt +=12，即0222=-+v R t v R t 2分
)15(2-±=
v
R
t 负值无意义 )15(2-=
∴v
R
t 1分 方法二：
90
（1）AB 边R vt r <= 方向?，tdl v R
I l d B v d 2202)(πμε=??=
202:2AB
Iv t A B R
μεπ=→方向 2分 DC 边?+=
>+=:)
(2,
0方向R vt I
B R R vt r πμ
0()2()
Iv
d v B dl dl R vt μεπ=??=
+
0:2()
DC Iv
D C R vt μεπ=
→+方向 2分
BC 和AD 两边不切割磁力线， 不产生感生电动势。
2000221[]22()2AB DC
Iv Iv Iv vt t R R vt R R vt
μμμεεεπππ=-=-=-++ 2分 4. 2118
在垂直图面的圆柱形空间内有一随时间均匀变化的匀强磁场，其磁感应强度的方向垂直图面向里。在图面内有两条相交于O 点夹角为0
60的直导线Oa 和Ob ，而O 点则是圆柱形空间的轴线与图面的交点。此外，在图面内另有一半径为r 的半圆环形导线在上述两条直导线上以速度v 匀速滑动。v
的方向与aob ∠的平分线一致，并指向O 点（如图）
。在t 时刻，半圆环的圆心正好与O 点重合，此时磁感应强度的大小为B ，磁感应强度大小随时间的变化率为k (k 为正数)。求此时半圆环导线与两条直线所围成的闭合回路cOdc 中的感应电动势
ε。
第10章 电磁感应定律 第一节 法拉第电磁感应定律 1．电动势 只有静电场不能维持稳恒电流。（如电容器放电就是在静电场的作用下，电流由大到小到0的衰变过程，不能维持稳恒的电流。） 要维持稳恒的电流，必须有非静电力作功，将其它形式的能量补充给电路，即电源。 在电源内部，非静电力使电荷从负极搬回到正极板。 电动势的定义：把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，非静电力F k 所作的功。 把正电荷q 经电源内部由负极移到正极时，非静电力作的功为： k k A F dl + - =?? 电动势为： 1k k A F dl q q ε+- ==?? 例：5号电池的开路电压为1.5伏，充电电池的开路电压为1.2伏，这是由化学特性决定的。 在有电流输出时，电池两端的电压比开路电压低，原因是电源内部有电阻。无内阻的电源称为“理想电源”
2．法拉第定律 精确的实验表明： 导体回路中产生的感应电动势ξ的大小与穿过回路的磁通量 的变化率d Φ/dt 成正比。 d dt εΦ=- 实验1： 磁铁插入线圈中，使线圈中的 磁通量发生变化，从而在线圈 中产生感应电动势。 实验2： 内线圈通、断电的变化产生一个 变化的磁场，在外线圈中便产生 了感应电动势，其中没有任何移 动的部件，这样产生的电动势称 为感生电动势。 3．愣次定律 （解决感应电动势的方向问题） 闭合回路中，感应电流的方向总是使得它自身产生的磁通量反抗引起感应电流的磁通量的变化。或者表述为：感应电流产生的磁
电动势方向 0d dt Φ > d dt Φ < 0d dt Φ> 0d dt Φ < 0d dt Φ > 0d dt Φ < 0d dt Φ > 0d dt Φ < 。 。 。 。 。 。 。 。 。。。。。 。 。 。 。 。 。 。 。 。。。。。 × × × × × × × × ××××× × × × × × × × × ×××××
71 电磁感应及电磁场理论 基本内容小结 一、 电磁感应的普遍规律 1、楞次定律 感应电流的方向总是企图使感应电流本身所产生的通过回路面积的磁通量去补偿或者说反抗引起感应电流的磁通量的改变。 感应电流总是阻止或减缓产生感应电流的各种变化（相对运动，转动……）。 2、电源电动势与非静电场强度 所有电源内部都由连接电源正负极的导体构成回路，它与电源外的导体（外电路）连成闭合回路。断路时整个回路处处无电流，通路时回路各截面电流强度相等——电流的连续性。电流通过导体时产生电势降落消耗电能，电源有维持两极电势差、把不同形式的能量转化为电能的能力，这种能力强弱用电动势ε表示，它的大小等于断路时电源两极的电势差，方向由电源负极经电源内部指向正极。 电源内部存在着不同于静电力的电场力称为“非静电力”k F r ，它能作用在 任何电荷上因而是“电场力”，它不是保守力故不是静电力。可引入非静电力强 度/k k E F q =r r 。断路时，在电源内部导体中处处有0k E E +=r r ，使电荷受力平 衡而非定向运动，因而没有电流，这时两电极之间的电势差即电动势为： l d E k i ρ ρ??= 正极 负极（内） ε [（内）表示经由内电路]
72 通路时k E r 并不改变：l d E l d E l d E l d E k k k k i ρ ρρρρρρρ????=?+ ?= ?= 负极 正极（外） 正极 负极（内） 正极 负极（内） ε 可见等于单位正电荷按电动势方向绕电路一周时电源非静电力所作功。 3、法拉第电磁感应定律 m i d dt εΦ=- 式中i ε 、m Φ分别是回路中的感应电动势、通过回路所围面积磁通量的代数值。使用该式时要规定电路的绕行正方向，由右手螺旋法则确定回路所围面 积的正法线方向。m Φ的正、负表示磁感应强度B r 方向与回路所围面积的法线 方向相同、相反；i ε的正、负表明电动势的方向与规定的电路绕行正方向相同、相反。 若线圈是多匝线圈的串联，m Φ称为磁通链，这时感应电动势是各单匝线圈感应电动势的串联，当通过各单匝线圈的磁通相等记为Φ时则m N Φ=Φ。 i d N dt εΦ =- 4、感应电流 当电路闭合时，通过回路截面的感应电流与磁通量的变化率成正比，即 1I m i d R dt Φ=- 5、感应电量 当通过回路的磁通由1Φ改变为2Φ时通过回路截面的电量（感应电量）q 与磁通变化的快慢无关，只与磁通改变量有关，即 121 ()q R =Φ-Φ。 二、 动生电动势 由于回路所围面积的变化或面积取向变化而引起的感应电动势，称为动生
大学物理吴百诗习题答案 电磁感应 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
法拉第电磁感应定律 10-1如图10-1所示，一半径a ＝，电阻R ＝×10-3Ω的圆形导体回路置于均匀磁场中，磁场方向与回路面积的法向之间的夹角为π/3，若磁场变化的规律为 T 10)583()(42-?++=t t t B 求：（1）t ＝2s 时回路的感应电动势和感应电流； （2）最初2s 内通过回路截面的电量。 解：（1）θcos BS S B =?=Φ V 10)86(6.110)86()3 cos(d d cos d d 642--?+?-=?+?-=-=Φ- =t t a t B S t i π πθε s 2=t ，V 102.35-?-=i ε，A 102100.1102.32 3 5---?-=??-= =R I ε 负号表示i ε方向与确定n 的回路方向相反 （2）42 2123 112810 3.140.1()[(0)(2)]cos 4.410C 1102 i B B S q R R θ---???=Φ-Φ=-??==??? 10-2如图10-2所示，两个具有相同轴线的导线回路，其平面相互平行。大回路中有电流I ， 小的回路在大的回路上面距离x 处，x >>R ，即I 在小线圈所围面积上产生的磁场可视为是均匀的。若 v dt dx =等速率变化，（1）试确定穿过小回路的磁通量Φ和x 之间的关系；（2）当x ＝NR （N 为一正数），求小回路内的感应电动势大小；（3）若v ＞0，确定小回路中感应电流方向。 解：（1）大回路电流I 在轴线上x 处的磁感应强度大小 2 02 232 2() IR B R x μ= +，方向竖直向上。 R x >>时，2 03 2IR B x μ= ，22 203 2IR r B S BS B r x πμπΦ=?==?= （2）224032i d dx IR r x dt dt πμε-Φ=-=，x NR =时，2024 32i Ir v R N πμε= 图 10-
第八章 电磁感应与电磁场 §8-1电磁感应定律 一、电磁感应现象 电磁感应现象可通过两类实验来说明： 1．实验 1）磁场不变而线圈运动 2）磁场随时变化线圈不动 2．感应电动势 由上两个实验可知：当通过一个闭合导体回路的磁通量变化时，不管这种变化的原因如何（如：线圈运动，变；或不变线圈运动），回路中就有电流产生，这种现象就是电磁感应现象，回路中电流称为感应电流。 3．电动势的数学定义式 定义：把单位正电荷绕闭合回路一周时非静电力做的功定义为该回路的电动势，即 () ??=l K l d K ：非静电力 ε （8-1） 说明：（1）由于非静电力只存在电源内部，电源电动势又可表示为 表明：电源电动势的大小等于把单位正电荷从负极经电源内部移到正 极时，非静电力所做的功。 （2）闭合回路上处处有非静电力时，整个回路都是电源，这时电动势用普遍式表示：() ??=l K l d K ：非静电力 ε （3）电动势是标量，和电势一样，将它规定一个方向，把从负极经 电源内部到正极的方向规定为电动势的方向。 二、电磁感应定律 1、定律表述
在一闭合回路上产生的感应电动势与通过回路所围面积的磁通量对时间的变化率成正比。数学表达式： 在SI 制中，1=k ，（S t V Wb :;:;:εΦ），有 dt d i Φ- =ε （8-2） 上式中“-”号说明方向。 2、i ε方向的确定 为确定i ε，首先在回路上取一个绕行方向。规定回路绕行方向与回路所围面积的正法向满足右手旋不定关系。在此基础上求出通过回路上所围面积的磁通量，根据dt d i Φ -=ε计算i ε。 三、楞次定律 此外，感应电动势的方向也可用楞次定律来判断。 楞次定律表述：闭合回路感应电流形成的磁场关系抵抗产生电流的磁通量变化。 说明：（1）实际上，法拉第电磁感应定律中的“-”号是楞次定律的数学表 述。 （2）楞次定律是能量守恒定律的反映。 例8-1：设有矩形回路放在匀强磁场中，如图所示，AB 边也可以左右滑动，设 以匀速度向右运动，求回路中感应电动势。 解：取回路顺时针绕行，l AB =,x AD =, 则通过线圈磁通量为 由法拉第电磁感应定律有： “-”说明：i ε与l 绕行方向相反，即逆时针方向。由楞次定律也能得知，i ε沿逆时针方向。 讨论：（1）如果回路为N 匝，则?=ΦN （?为单匝线圈磁通量） （2）设回路电阻为R （视为常数），感应电流 dt d R R I i i Φ-==1ε 在1t —2t 内通过回路任一横截面的电量为 可知q 与（12ΦΦ-）成正比，与时间间隔无关。 例8-1中，只有一个边切割磁力线，回路中电动势即为上述产生的电动势。
班级______________学号____________姓名________________ 练习 十七 一、选择题 1． 如图所示，有一边长为1m 的立方体，处于沿y 轴指 向的强度为0.2T 的均匀磁场中，导线a 、b 、c 都以50cm/s 的速度沿图中所示方向运动，则 （ ） (A)导线a 内等效非静电性场强的大小为0.1V/m ； (B)导线b 内等效非静电性场强的大小为零； (C)导线c 内等效非静电性场强的大小为0.2V/m ； (D)导线c 内等效非静电性场强的大小为0.1V/m 。 2． 如图所示，导线AB 在均匀磁场中作下列四种运动， （1）垂直于磁场作平动；（2）绕固定端A 作垂直于磁场转动；（3）绕其中心点O 作垂直于磁场转动；（4）绕通过中心点O 的水平轴作平行 于磁场的转动。关于导线AB 的感应电动势哪个结 论是错误的？ （ ） (A)（1）有感应电动势，A 端为高电势； (B)（2）有感应电动势，B 端为高电势； (C)（3）无感应电动势； (D)（4）无感应电动势。 3． 一“探测线圈”由50匝导线组成，截面积S ＝4cm 2，电阻R =25∧。若把探测线圈在磁场中迅速翻转?90，测得通过线圈的电荷量为C 1045-?=?q ，则磁感应强度B 的大小为 （ ） (A)0.01T ； (B)0.05T ； (C)0.1T ； (D)0.5T 。 4． 如图所示，一根长为1m 的细直棒ab ，绕垂直于棒且过其一端a 的轴以每秒2转的角速度旋转，棒的旋转平面垂直于0.5T 的均匀磁场，则在棒的中点，等效非静电性场强的大小和方向为（ ） (A)314V/m ，方向由a 指向b ； (B)6.28 V/m ，方向由a 指向b ； (C)3.14 V/m ，方向由b 指向a ； (D)628 V/m ，方向由b 指向a 。 二、填空题 1． 电阻R ＝2Ω的闭合导体回路置于变化磁场中，通过回路包围面的磁通量与时间的关系为)Wb (10)285(3 2 -?-+=Φt t m ，则在t =2s 至t =3s 的时间内，流过回路导体横截面的感应电荷=i q C 。 （1） （2） （3） （4）
练 习 四 稳恒电流的磁场、电磁感应定律 一、填空题 1． 如图所示，均匀磁场的磁感应强度为B =0.2T ，方向沿x 轴正方向，则通过 abod 面的磁通量为___0.024Wb ______，通过befo 面的磁通量为____0______， 通过aefd 面的磁通量为___0.024Wb ____。 2. 如图所示，两根无限长载流直导线相互平行，通过的电流分别为I 1和I 2。则 =??1 L l d B _____)(120I I -μ_______，=??2 L l d B _____)(120I I +μ_____。 3. 试写出下列两种情况的平面内的载流均匀导线在给定点P 处所产生的磁感强度的大小. (1) B = 08I R μ ； (2) B = 0 。 4． 感应电场是由 变化的磁场 产生的，它的电场线是 闭合曲线 。 5. 如图所示，一段长度为l 的直导线MN ，水平放置在载电流为I 的竖直长导线旁与竖直导线共面，并从静止由图示位置自由下落，则t 秒末导线两端的电势差 M N U U -________0ln 2Ig a l t a μπ+- ______________． 二、选择题 1. 一载有电流I 的细导线分别均匀密绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个螺线管（R=2r ），两螺线管 单位长度上的匝数相等。两螺线管中的磁感应强度大小BR 和Br 应满足：( B) （A ）BR=2Br （B ）BR=Br （C ）2BR=Br （D ）BR=4Br 2． 磁场的高斯定理??=?0S d B 说明了下面的哪些叙述是正确的？ （ A ） a 穿入闭合曲面的磁感应线条数必然等于穿出的磁感应线条数； b 穿入闭合曲面的磁感应线条数不等于穿出的磁感应线条数； c 一根磁感应线可以终止在闭合曲面内； 301
法拉第电磁感应定律 10-1如图10-1所示，一半径a ＝0.10m ，电阻R ＝1.0×10-3Ω的圆形导体回路置于均匀磁场中，磁场方向与 回路面积的法向之间的夹角为π/3，若磁场变化的规律为 T 10)583()(4 2-?++=t t t B 求：（1）t ＝2s 时回路的感应电动势和感应电流； （2）最初2s 通过回路截面的电量。 解：（1）θcos BS S B =?=Φ V 10)86(6.110)86()3 cos(d d cos d d 642--?+?-=?+?-=-=Φ- =t t a t B S t i π πθε s 2=t ，V 102.35 -?-=i ε，A 10210 0.1102.323 5---?-=??-==R I ε 负号表示i ε方向与确定n 的回路方向相反 （2）422 123 112810 3.140.1()[(0)(2)]cos 4.410C 1102 i B B S q R R θ---???=Φ-Φ=-??==??? 10-2如图10-2所示，两个具有相同轴线的导线回路，其平面相互平行。大回路中有电流I ，小的回路在大 的回路上面距离x 处，x >>R ，即I 在小线圈所围面积上产生的磁场可视为是均匀的。若 v dt dx =等速率变化，（1）试确定穿过小回路的磁通量Φ和x 之间的关系；（2）当x ＝NR （N 为一正数），求小回路的感应电动势大小；（3）若v ＞0，确定小回路中感应电流方向。 解：（1）大回路电流I 在轴线上x 处的磁感应强度大小 2 02232 2()IR B R x μ= +，方向竖直向上。 R x >>时，2 03 2IR B x μ= ，22 2 03 2IR r B S BS B r x πμπΦ=?==?= （2）224032i d dx IR r x dt dt πμε-Φ=-=，x NR =时，2024 32i Ir v R N πμε= （3）由楞次定律可知，小线圈中感应电流方向与I 相同。 动生电动势 10-3 一半径为R 的半圆形导线置于磁感应强度为B 的均匀磁场中，该导线以 速度v 沿水平方向向右平动，如图10-3所示，分别采用（1）法拉第电磁感应定律和（2）动生电动势公式求半圆导线中的电动势大小，哪一端电势高？ 解：（1）假想半圆导线在宽为2R 的U 型导轨上滑动，设顺时针方向为回路方向， 在x 处 2 1(2)2m Rx R B π=+Φ，∴22m d dx RB RBv dt dt εΦ=-=-=- 由于静止U 型导轨上电动势为零，所以半圈导线上电动势为 2RBv ε=- 负号表示电动势方向为逆时针，即上端电势高。 图10-2
9-1两个半径分别为R 和r 的同轴圆形线圈相距x ，且R >>r ，x >>R ．若大线圈通有电流I 而小线圈沿x 轴方向以速率v 运动，试求小线圈回路中产生的感应电动势的大小． 解：在轴线上的磁场 () ()2 2 003 3 2 2 2 22IR IR B x R x R x μμ= ≈ >>+ 3 2 202x r IR BS πμφ= = v x r IR dt dx x r IR dt d 4 22042202332πμπμφ ε=--=-= 9-2如图所示，有一弯成θ 角的金属架COD 放在磁场中，磁感强度B ? 的方向垂直于金属架 COD 所在平面．一导体杆MN 垂直于OD 边，并在金属架上以恒定速度v ?向右滑动，v ? 与 MN 垂直．设t =0时，x = 0．求当磁场分布均匀，且B ? 不随时间改变，框架内的感应电动势i ε． 解：12m B S B xy Φ=?=?,θtg x y ?=,vt x = 22212/()/i d dt d Bv t tg dt Bv t tg ε?θθ=-=-=?，电动势方向：由M 指向N 9-3 真空中，一无限长直导线，通有电流I ，一个与之共面的直角三角形线圈ABC 放置在此长直导线右侧。已知AC 边长为b ，且与长直导线平行，BC 边长为a ，如图所示。若线圈以垂直于导线方向的速度v 向右平移，当B 点与直导线的距离为d 时，求线圈ABC 内的感应电动势的大小和方向。 解：当线圈ABC 向右平移时，AB 和AC 边中会产 生动生电动势。当C 点与长直导线的距离为d 时，AC 边所在位置磁感应强度大小为：02() I B a d μπ= + AC 中产生的动生电动势大小为： x r I R x v C D O x M θ B ? v ?
稳恒电流 1.电流形成的条件、电流定义、单位、电流密度矢量、电流场（注意我们 又涉及到了场的概念） 2.电流连续性方程（注意和电荷守恒联系起来）、电流稳恒条件。 3.欧姆定律的两种表述（积分型、微分型）、电导、电阻定律、电阻、电 导率、电阻率、电阻温度系数、理解超导现象 4.电阻的计算（这是重点）。 5.金属导电的经典微观解释（了解）。 6.焦耳定律两种形式（积分、微分）。（这里要明白一点：微分型方程是 精确的，是强解。而积分方程是近似的，是弱解。） 7.电动势、电源的作用、电源做功。、 8.含源电路欧姆定律。 9.基尔霍夫定律（节点电流定律、环路电压定律。明白两者的物理基础。）习题：13.19；13.20 真空中的稳恒磁场 电磁学里面极为重要的一章 1. 几个概念：磁性、磁极、磁单极子、磁力、分子电流 2. 磁感应强度（定义、大小、方向、单位）、洛仑磁力（磁场对电荷的作用） 3. 毕奥-萨伐尔定律（稳恒电流元的磁场分布——实验定律）、磁场叠加原理（这是磁场的两大基本定律——对比电场的两大基本定律） 4. 毕奥-萨伐尔定律的应用（重点）。 5. 磁矩、螺线管磁场、运动电荷的磁场（和毕奥-萨伐尔定律等价——更基本） 6. 稳恒磁场的基本定理（高斯定理、安培环路定理——与电场对比） 7. 安培环路定理的应用（重要——求磁场强度） 8. 磁场对电流的作用（安培力、安培定律积分、微分形式）
9. 安培定律的应用（例14.2；平直导线相互作用、磁场对载流线圈的作用、磁力矩做功） 10. 电场对带电粒子的作用（电场力）；磁场对带电粒子的作用（洛仑磁力）；重力场对带电粒子的作用（引力）。 11. 三场作用叠加（霍尔效应、质谱仪、例14.4） 习题：14.20，14.22，14.27，14.32，14.46，14.47 磁介质（与电解质对比） 1.几个重要概念：磁化、附加磁场、相对磁导率、顺磁质、抗磁质、铁磁 质、弱磁质、强磁质。（请自己阅读并绘制磁场和电场相关概念和公式 的对照表） 2.磁性的起源（分子电流）、轨道磁矩、自旋磁矩、分子矩、顺磁质、抗 磁质的形成原理。 3.磁化强度、磁化电流、磁化面电流密度、束缚电流。 4.磁化强度和磁化电流的关系（微分关系、积分关系） 5.有磁介质存在时的磁场基本定理、磁场强度矢量H、有磁介质存在时的 安培环路定律（有电解质存在的安培环路定律）、磁化规律。 6.请比较B、H、M和E、D、P的关系。磁化率、相对磁导率、绝对磁导 率。 7.有磁介质存在的安培环路定理的应用（例15.1、例15.2）、有磁介质存 在的高斯定理。 8.铁磁质（起始磁化曲线、磁滞回线、饱和磁感应强度、起始磁导率、磁 滞效应、磁滞、剩磁、矫顽力、磁滞损耗、磁畴、居里点、软磁材料、 硬磁材料、矩磁材料）（了解） 习题： 15.11
第6章 电磁感应 思考讨论题 1·判断下列情况下可否产生感应电动势，若产生，其方向如何确定？ （1）图8.1a ，在均匀磁场中，线圈从圆形变为椭圆形； （2）图8.1b ，在磁铁产生的磁场中，线圈向右运动； （3）图8.1c ，在磁场中导线段AB 以过中点并与导线垂直的轴旋转； （4）图8.1d ，导线圆环绕着通过圆环直径长直电流转动（二者绝缘）。 解：（1）线圈面积变小，产生顺时针方向的感应电动势（俯视） （2）产生电动势，从左往右看顺时针方向。 （3）产生电动势，由B 指向A 。 （4）不产生电动势。 2·一段导体ab 置于水平面上的两条光滑金属导轨上（设导轨足够长），并以初速 v 0向右运 动，整个装置处于均匀磁场之中（如图8.2所示），在下列两种情况下判断导体ab 最终的运动状态。 解： 图 8.1a 图8.1b O 图8.1c 图8.1d 图8.2a 图8.2b
3·长直螺线管产生的磁场 B 随时间均匀增强， B 的方向垂直于纸面向里。判断如下几种情 况中，给定导体内的感应电动势的方向，并比较各段导体两端的电势高低： （1）图8.3a ，管内外垂直于 B 的平面上绝缘地放置三段导体ab 、cd 和ef ，其中ab 位于 直径位置，cd 位于弦的位置，ef 位于 管外切线的位置。 （2）图8.3b ，在管外共轴地套上一个导体圆环（环面垂直于 B ），但它由两段不同金属材 料的半圆环组成，电阻分别为R 1、R 2，且R R 12>，接点处为a 、b 两点。 解：（1）b a U U =，c d U U >，f e U U > （2）b a U U > 4·今有一木环，将一磁铁以一定的速度插入其中，环中是否有感应电流？是否有感应电动势？如换成一个尺寸完全相同的铝环，又如何？通过两个环的磁通量是否相同？ 解：木环没有感应电流。铝环有感应电流。通过两个环的磁通量相同。 5·两个互相绝缘的圆形线圈如图8.4放置。在什么情况下它们的互感系数最小？当它们的电流同时变化时，是否会有感应电动势产生？ 解：当两者相互垂直放置时，互感系数最小，为0。 此时当电流变化时，没有互感电流。 6·试比较动生电动势和感生电动势（从定义、非静电力、一般表达式等方面分析）。 解：由定义知二者产生的原因不同。 （1）如果外磁场不变，而导体（或回路）的位置、形状等有变化，则产生动生电动势。 （2）如果导体（或回路）都固定不动，只有外磁场在变化，则产生感生电动势。 （3）从物理本质上看，它们都由不同的非静电力产生，前者为洛仑兹力，后者为涡旋电场力。 f 图8.3a b 2 R 1R a 图8.3b 图8.4
练 习 六 静电场 一、填空题 1． 如图所示，均匀磁场的磁感应强度为B =0.2T ，方向沿x 轴正方向，则通过 abod 面的磁通量为___0.024Wb ______，通过befo 面的磁通量为____0______， 通过aefd 面的磁通量为___0.024Wb ____。 2. 如图所示，两根无限长载流直导线相互平行，通过的电流分别为I 1和I 2。则 =??1 L l d B _____)(120I I -μ_______，=??2 L l d B _____)(120I I +μ_____。 3. 试写出下列两种情况的平面内的载流均匀导线在给定点P 处所产生的磁感强度的大小. (1) B = 08I R μ ； (2) B = 0 。 4． 感应电场是由 变化的磁场 产生的，它的电场线是 闭合曲线 。 5. 如图所示，一段长度为l 的直导线MN ，水平放置在载电流为I 的竖直长导线旁与竖直导线共面，并从静止由图示位置自由下落，则t 秒末导线两端的电势差 M N U U -________0ln 2Ig a l t a μπ+- ______________． 二、选择题 1. 一载有电流I 的细导线分别均匀密绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个螺线管（R=2r ），两螺线管 单位长度上的匝数相等。两螺线管中的磁感应强度大小BR 和Br 应满足：( B) （A ）BR=2Br （B ）BR=Br （C ）2BR=Br （D ）BR=4Br 2． 磁场的高斯定理 ??=?0S d B 说明了下面的哪些叙述是正确的？ （ A ） a 穿入闭合曲面的磁感应线条数必然等于穿出的磁感应线条数； b 穿入闭合曲面的磁感应线条数不等于穿出的磁感应线条数； c 一根磁感应线可以终止在闭合曲面内； d 一根磁感应线可以完全处于闭合曲面内。 301
练习（八） 电磁感应 1．半径为a 的圆线圈置于磁感强度为B 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，线 圈电阻为R 。当把线圈转动使其法向与B 的夹角?=60α时，线圈中已通过的电量与线圈面积及转动的时间的关系是（ A ） （A ）与线圈面积成正比，与时间无关 （B ）与线圈面积成正比，与时间成正比 （C ）与线圈面积成反比，与时间成正比 （D ）与线圈面积成反比，与时间无关 2．一矩形线框边长为a ，宽为b ，置于均匀磁场中，线框绕OO ′轴以匀角速度ω旋转（如图1所示）。设t =0时，线框平面处于纸面内，则任一时刻感应电动势的大小为（ D ） （A ）2abB ω | cos ωt | （B ）abB ω （C ）2 1 abB ω | cos ωt | （D ）abB ω | cos ωt | （E ）abB ω | sin ωt | 图1 图2 3．面积为S 和2S 的两圆线圈1、2如图放置，通有相同的电流。线圈1的电流产生的通过线圈2的磁通用21?表示，线圈2的电流所产生的通过线圈1的磁通用12?表示，则21?和12?的大小关系为：（ C ） 3题图 4．自感0.25H 的线圈中，当电流在（1/16）s 内由2A 均匀减少到零时，线圈中自感电动势的大小为：(2005级上考题) C （A ）V .3 1087-? （B ）2.0 V （C ）8.0 V （D ）V .2 1013-?
5．两个相距不太远的平面圆线圈，怎样放置可使其互感系数近似为零？设其中一线圈的轴线恰过另一线圈的圆心。C （A ）两线圈的轴线互相平行。 （B ）两线圈的轴线成45°角。 （C ）两线圈的轴线互相垂直。 （D ）两线圈的轴线成30°角。 6．空气中有一无限长金属薄壁圆筒，在表面上沿圆方向均匀地流着一层随时间变化的面电流)(t i ，则 （ B ） （A ）圆筒内均匀地分布着变化磁场和变化电场。 （B ）任意时刻通过圆筒内假想的任一球面的磁通量和电通量均为零 （C ）沿圆筒外任意闭合环路上磁感应强度的环流不为零。 （D ）沿圆筒内任意闭合环路上电场强度的环流为零。 7．在一自感线圈中通过的电流I 随时间t 的变化规律如图a 所示，若以I 的正方向作为ε 的正方向，则图中代表线圈内自感电动势ε随时间t 变化规律的曲线图是（ D ） 8．用线圈的自感系数L 来表示载流线圈磁场的能量公式2 2 1LI W m = D （A ）只适用于无限长密绕螺线管； （B ）只适用单匝线圈； （C ）只适用一个匝数很多，且密绕的螺线环； （D ）适用于自感系数L 一定的任意线圈。 9．在感应电场中电磁感应定律可写成 φdt d l d E L k -=?? 式中 E k 为感应电场的电场强度， 此式表明：（D ） （A ）闭合曲线 L 上 E k 处处相等， （B ）感应电场是保守力场， （C ）感应电场的电场线不是闭合曲线， （D ）在感应电场中不能像对静电场那样引入电势的概念。
第九章 电磁感应 电磁场理论 练 习 一 一.选择题 1. 在一线圈回路中，规定满足如图1所示的旋转方向时，电动势ε，磁通量为正值。若磁铁沿箭头方向进入线圈，则有（ B ） (A) d /dt 0， 0 ； (B) d /dt 0， 0 ； (C) d /dt 0， 0 ； (D) d /dt 0， 0。 2. 一磁铁朝线圈运动，如图2所示，则线圈内的感应电流的方向（以螺线管内流向为准）以及电表两端电势U A 和U B 的高低为（ C ） (A) I 由A 到B ，U A U B ； (B) I 由B 到A ，U A U B ； (C) I 由B 到A ，U A U B ； (D) I 由A 到B ，U A U B 。 3. 一长直螺线管，单位长度匝数为n ，电流为I ，其中部放一面积为A ，总匝数为N ，电阻为R 的测量线圈，如图3所示，开始时螺线管与测量线圈的轴线平行，若将测量线圈翻转180°，则通过测量线圈某导线截面上的电量q 为（ A ） (A) 2 nINA /R ； (B) nINA /R ； (C) NIA /R ； (D) nIA /R 。 4. 尺寸相同的铁环和铜环所包围的面积中，磁通量的变化率相同，则环中（ A ） （A ）感应电动势相同，感应电流不同； （B ）感应电动势不同，感应电流相同； （C ）感应电动势相同，感应电流相同； （D ）感应电动势不同，感应电流不同。 二.填空题 1．真空中一长度为0l 的长直密绕螺线管，单位长度的匝数为n ，半径为R ，其自感系数L 可 表示为02 20l R n L πμ=。 2. 如图4所示，一光滑的金属导轨置于均匀磁场B 中，导线ab 长为l ，可在导轨上平行移动，速度为v ，则回路中的感应电动势ε=θsin Blv ，a 、b 两点的电势a U ＜ b U （填<、=、>），回路中的电流I=R Blv /sin θ，电阻R 上消耗的功率P=R Blv /)sin (2 θ。 S N v 图1 · · G A B N S v 图2 I I A 图3
磁场、电磁感应练习题答案 一、选择题 1. B 2. B 3. B 4.C 5.D 6.D 二、填空题 1. )(2)(0)(00c I b a I μμ 2. 匀速直线 匀速率圆周 等距螺旋 3. T 101 4.13-?== eR mv B 垂直纸面向里 81057.1-?==v R t πS 4. IBa 5. 8 V 6. RC t e RC E r -0 02επ－ 相反 7. 小于 8. t a nI m ωωπμcos 20－ 9. 6.92 12==LI W J 三、小计算 1． 解： 由磁场高斯定理可知，通过闭合曲面的磁通量为0 20 r B s s πφφφφ=-==+∴圆面圆面 2． 解： 方向向里方向向外；R l R I B R l R I B B B B B B B B B B l l l l l l πμπμ2222(00220110212 102 12121===+==+++= 0)0012 2121=∴=+∴=B B B l l I I l l 3． 建立坐标轴，以P 为原点O ，水平向左为坐标正方向。取微分元d x 方向垂直向里。 b b a a I x x a I dB B x xa I x I B x a I I a b b +===== =??+ln 2d 2d 22d d d 0000πμπμπμπμ
4．解： 方向向上。 方向垂直向外， B NIa mB M NIa NIs m 2 2 90 sin= = = = 5．解：在细环中作同心环路L T 10 26 .2 10 72 300 600 10 4 Am 300 5.0 3.0 500 2 500 500 2 d 1 3 7 1 - - - - ? = ? = ? ? ? = = = ? = = = ? = ?∑ ? π π μ μ π π H B r I H I r H I l H r L 6．解： T 10 5.0 5000 10 4 5000 10 2.0 1 3 7 3 - - - ? = ? ? ? = = = ? = π π μnI B n 7．解： a b a Ic x x Ic x Bc s B x Bc s B x c s b a a b a a + = = = = = = = ? ? ?+ + ln 2 d 2 d d d d d , d d π μ π μ φ φ 取微分元 四、计算题 1．解：在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r处的磁感强度的大小，由安培环路定律可得： ) ( 22 0R r r R I B≤ = π μ 因而，穿过导体内画点部分平面的磁通 1 φ为
第十二章 电磁感应 电磁场 问题 12-1 如图,在一长直导线L 中通有电流I ,ABCD 为一矩形线圈,试确定在下列情况下，ABCD 上的感应电动势的方向：(1)矩形线圈在纸面内向右移动；(2)矩形线圈绕AD 轴旋转；（3）矩形线圈以直导线为轴旋转. 解 导线在右边区域激发的磁场方向垂直于纸面向 里，并且由2I B r μ0=π可知，离导线越远的区域磁感强度越小，即磁感线密度越小．当线圈运动时通过线圈的磁通量会发生变化，从而产生感应电动势．感应电动势的方向由楞次定律确定． （1）线圈向右移动，通过矩形线圈的磁通量减少，由楞次定律可知，线圈中感应电动势的方向为顺时针方向． （2）线圈绕AD 轴旋转，当从0到90时，通过线圈的磁通量减小，感应电动势的方向为顺时针方向．从90到180时，通过线圈的磁通量增大，感应电动势的方向为逆时针. 从180到270时，通过线圈的磁通量减少，感应电动势的方向为顺时针．从270到360时，通过线圈的磁通量增大，感应电动势的方向为逆时针方向. （2）由于直导线在空间激发的磁场具有轴对称性，所以当矩形线圈以直导线为轴旋转时，通过线圈的磁通量并没有发生变化，所以，感应电动势为零. 12-2 当我们把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环中时,铜环内有感应电流和感应电场吗？ 如用塑料圆环替代铜质圆环,环中仍有感应电流和感应电场吗？ 解 当把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环过程中，穿过铜环的磁通量增加，铜环中有感应电流和感应电场产生；当用塑料圆环替代铜质圆环，由于塑料圆环中的没有可以移动的自由电荷，所以环中无感应电流和感应电场产生. 12-3 如图所示铜棒在均匀磁场中作下列各种运动，试问在哪种运动中的铜棒上会有感应电动势？其方向怎样？设磁感强度的方向铅直向下．（１）铜棒向右平移［图(a)］；（２）铜棒绕通过其中心的轴在垂直于B 的平面内转动［图(b)］；（３）铜棒绕通过中心的轴在竖直平面内转动［图(c)］． C I
大学物理电磁学知识点 汇总 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
稳恒电流 1.电流形成的条件、电流定义、单位、电流密度矢量、电流场（注意我们 又涉及到了场的概念） 2.电流连续性方程（注意和电荷守恒联系起来）、电流稳恒条件。 3.欧姆定律的两种表述（积分型、微分型）、电导、电阻定律、电阻、电 导率、电阻率、电阻温度系数、理解超导现象 4.电阻的计算（这是重点）。 5.金属导电的经典微观解释（了解）。 6.焦耳定律两种形式（积分、微分）。（这里要明白一点：微分型方程是 精确的，是强解。而积分方程是近似的，是弱解。） 7.电动势、电源的作用、电源做功。、 8.含源电路欧姆定律。 9.基尔霍夫定律（节点电流定律、环路电压定律。明白两者的物理基 础。） 习题：13.19；13.20 真空中的稳恒磁场 电磁学里面极为重要的一章 1. 几个概念：磁性、磁极、磁单极子、磁力、分子电流 2. 磁感应强度（定义、大小、方向、单位）、洛仑磁力（磁场对电荷的作用） 3. 毕奥-萨伐尔定律（稳恒电流元的磁场分布——实验定律）、磁场叠加原理（这是磁场的两大基本定律——对比电场的两大基本定律） 4. 毕奥-萨伐尔定律的应用（重点）。 5. 磁矩、螺线管磁场、运动电荷的磁场（和毕奥-萨伐尔定律等价——更基本） 6. 稳恒磁场的基本定理（高斯定理、安培环路定理——与电场对比） 7. 安培环路定理的应用（重要——求磁场强度） 8. 磁场对电流的作用（安培力、安培定律积分、微分形式）
9. 安培定律的应用（例14.2；平直导线相互作用、磁场对载流线圈的作用、磁力矩做功） 10. 电场对带电粒子的作用（电场力）；磁场对带电粒子的作用（洛仑磁力）；重力场对带电粒子的作用（引力）。 11. 三场作用叠加（霍尔效应、质谱仪、例14.4） 习题：14.20，14.22，14.27，14.32，14.46，14.47 磁介质（与电解质对比） 1.几个重要概念：磁化、附加磁场、相对磁导率、顺磁质、抗磁质、铁磁 质、弱磁质、强磁质。（请自己阅读并绘制磁场和电场相关概念和公式 的对照表） 2.磁性的起源（分子电流）、轨道磁矩、自旋磁矩、分子矩、顺磁质、抗 磁质的形成原理。 3.磁化强度、磁化电流、磁化面电流密度、束缚电流。 4.磁化强度和磁化电流的关系（微分关系、积分关系） 5.有磁介质存在时的磁场基本定理、磁场强度矢量H、有磁介质存在时的 安培环路定律（有电解质存在的安培环路定律）、磁化规律。 6.请比较B、H、M和E、D、P的关系。磁化率、相对磁导率、绝对磁导 率。 7.有磁介质存在的安培环路定理的应用（例15.1、例15.2）、有磁介质存 在的高斯定理。 8.铁磁质（起始磁化曲线、磁滞回线、饱和磁感应强度、起始磁导率、磁 滞效应、磁滞、剩磁、矫顽力、磁滞损耗、磁畴、居里点、软磁材料、 硬磁材料、矩磁材料）（了解） 习题： 15.11
大学物理电磁学总结 一、三大定律库仑定律：在真空中，两个静止的点电荷q1 和q2 之间的静电相互作用力与这两个点电荷所带电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。 uuu r q q ur F21 = k 1 2 2 er r ur u r 高斯定理：a) 静电场：Φ e = E d S = ∫ s ∑q i i ε0 （真空中） b) 稳恒磁场：Φ m = u u r r Bd S = 0 ∫ s 环路定理：a) 静电场的环路定理：b) 安培环路定理：二、对比总结电与磁 ∫ L ur r L E dl = 0 ∫ ur r B dl = 0 ∑ I i （真空中） L 电磁学 静电场 稳恒磁场稳恒磁场 电场强度：E 磁感应强度：B 定义：B = ur ur F 定义：E = (N/C) q0 基本计算方法：1、点电荷电场强度： E =
ur r u r dF （d F = Idl × B ）(T) Idl sin θ 方向：沿该点处静止小磁针的N 极指向。基本计算方法： ur q ur er 4πε 0 r 2 1 r ur u Idl × e r 0 r 1、毕奥-萨伐尔定律：d B = 2 4π r 2、连续分布的电流元的磁场强度： 2、电场强度叠加原理： ur n ur 1 E = ∑ Ei = 4πε 0 i =1 r qi uu eri ∑ r2 i =1 i n r ur u r u r 0 Idl × er B = ∫dB = ∫ 4π r 2 3、安培环路定理（后面介绍） 4、通过磁通量解得（后面介绍） 3、连续分布电荷的电场强度： ur ρ dV ur E=∫ e v 4πε r 2 r 0 ur ? dS ur ur λ dl ur E=∫ er , E = ∫ e s 4πε r 2 l 4πε r 2 r 0 0 4、高斯定理（后面介绍） 5、通过电势解得（后面介绍） 几种常见的带电体的电场强度公式： 几种常见的磁感应强度公式：1、无限长直载流导线外：B = 2、圆电流圆心处：B = 3、圆电流轴线上：B = ur 1、点电荷：E = q ur er 4πε 0 r 2 1 0 I 2R 0 I 2π r 2、均匀带电圆环轴线上一点： ur E=
第九章 电磁感应 电磁场（一） 一。选择题 [ A ]1. 如图所示，导体棒AB 在均匀磁场B 中绕通过C 点的垂 直于棒长且沿磁场方向的轴OO 转动（角速度ωρ 与B ? 同方向），BC 的长度为棒长的3 1 ，则 (A) A 点比B 点电势高． (B) A 点与B 点电势相等． (C) A 点比B 点电势低． (D) 有稳恒电流从A 点流向B 点 【分析】在B O '上取一个长度微元x d ? ，它离O '点的距离为x ，方 向向B 端。则x d ? 两端的电势差由动生电动势公式可求得： ()Bxdx vBdx x d B v d i ωε==??=? ?? 所以O '、B 两端的电势差为： 230 181 BL Bxdx V V L O B ωω= =-?' 同理O '、A 两端的电势差为： 2320 18 4 BL Bxdx V V L O A ωω= =-? ' 所以A 、B 两点的电势差可求得： 26 1 BL V V B A ω=- A 点的电势高。 [ D ]2. 在圆柱形空间内有一磁感强度为B ?的均匀磁场，如图所示．B ? 的大小以速率 d B /d t 变化．在磁场中有A 、B 两点，其间可放直导线AB 和弯曲的导线AB ，则 (A) 电动势只在导线AB 中产生． (B) 电动势只在AB 导线中产生． (C) 电动势在AB 和AB 中都产生，且两者大小相等． (D) AB 导线中的电动势小于AB 导线中的电动势 【分析】连接oa 与ob ，ob ab ob oab εεεε++=。因为涡旋电场总是与圆柱截面垂直，所以oa 和ob 上的涡旋电场方向处处垂直于oa 、ob ，即0=?= =? → →l d E ob ob εε oab ob d dB S dt dt φεε==- =- o ab oab d d dt dt ??∴< O A B ?B ? O O ′ B ? B A C