专题三 应用性问题探究
1.(2017宜宾中考模拟)某大型企业为了保护环境，准备购买A ，B 两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水．已知购买A 型设备2台、B 型设备3台需54万元；购买A 型设备4台、B 型设备2台需68万元．
(1)求出A 型，B 型污水处理设备的单价；
(2)经核实，一台A 型设备一个月可处理污水220 t ，一台B 型设备一个月可处理污水190 t ．如果该企业每月的污水处理量不低于 1 565 t ，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．
解：(1)设A 型污水处理设备的单价为x 万元，B 型污水处理设备的单价为y 万元．根据题意，得?????2x ＋3y ＝54，4x ＋2y ＝68，解得?????x ＝12，y ＝10.
答：A 型污水处理设备的单价为12万元，B 型污水处理设备的单价为10万元；
(2)设购进a 台A 型污水处理器．根据题意，得
220a ＋190(8－a)≥1 565，解得a≥1.5，
∵A 型污水处理设备单价比B 型污水处理设备单价高，
∴A 型污水处理设备买越少，越省钱，
∴购进2台A 型污水处理设备，购进6台B 型污水处理设备最省钱．
2．(2016宜宾中考模拟)某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14 t (含14 t )，则每吨按政府补贴优惠价m 元收费；若每月用水量超过14 t ，则超过部分每吨按市场价n 元收费．小明家3月份用水20 t ，交水费49元；4月份用水18 t ，交水费42元．
(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？
(2)设每月用水量为x t ，应交水费为y 元，请写出y 与x 之间的函数关系式；
(3)小明家5月份用水26 t ，则他家应交水费多少元？
解：(1)已知每吨水的政府补贴优惠价为m 元，市场调节价为n 元，根据题意，得?
????14m ＋（20－14）n ＝49，14m ＋（18－14）n ＝42， 解得?????m ＝2，n ＝3.5.
答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场调节价为3.5元；
(2)当0≤x≤14时，y ＝2x ；
当x ＞14时，y ＝14×2＋(x －14)×3.5＝3.5x －21.
∴y ＝?
????2x （0≤x≤14），3.5x －21（x ＞14）； (3)∵26＞14，∴3.5×26－21＝70(元)．
答：小明家5月份应交水费70元．
3．(2017宜宾中考模拟)宜宾黄桷庄游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡
另收10元；暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x 次时，所需总费用为y 元．
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y 与x 之间的函数关系式；
(2)在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A ，B ，C 的坐标；
(3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
解：(1)由题意，得银卡消费y ＝10x ＋150，
普通消费y ＝20x ；
(2)由题意，得当10x ＋150＝20x ，解得x ＝15，则y ＝300，∴B(15，300)，当y ＝10x ＋150，x ＝0时，y ＝150，∴A(0，150)，当y ＝10x ＋150＝600，解得x ＝45，∴C(45，600)；
(3)由A ，B ，C 的坐标可得：当0
4．某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如表：
同时，销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元．
(1)观察并分析表中的y 与x 之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数表达式；
(2)求出该公司销售这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个)的函数表达式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
(3)该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x(元/个)的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
解：(1) 根据表格中数据可知y 与x 是一次函数关系，设表达式为y ＝kx ＋b.则?
????30k ＋b ＝5，40k ＋b ＝4， 解得?????k ＝－110，b ＝8，
∴函数表达式为y ＝－110x ＋8； (2)根据题意，得z ＝(x －20)y －40＝(x －20)(－110x ＋8)－40＝－110
x 2＋10x －200＝－110
(x －50)2＋50， ∴销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元；
(3)当公司要求净得利润为40万元时，即－
110
(x －50)2＋50＝40，解得x 1＝40，x 2＝60.
如图，通过观察二次函数z ＝－110
(x －50)2＋50的图象， 可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，
则销售价格的取值范围为：40≤x≤60.
而y 与x 的函数关系式为：y ＝－110
x ＋8，y 随x 的增大而减少；因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．
5．(2017襄阳中考)为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的
一块面积为1 000 m 2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为
x(m 2)，种草所需费用y 1(元)与x(m 2)的函数关系式为y 1＝?????k 1x （0≤x<600），k 2
x ＋b （600≤x≤1 000）.其图象如图所示；栽花所需费用y 2(元)与x(m 2)的函数关系式y 2＝－0.01x 2
－20x ＋30 000(0≤x≤1 000)．
(1)请直接写出k 1，k 2和b 的值；
(2)设这块1 000 m 2空地的绿化总费用为W(元)，请利用W 与x 的函数关系式，求出绿
化总费用W 的最大值；
(3)若种草部分的面积不少于700 m 2，栽花部分的面积不少于100 m 2，请求出绿化总费
用W 的最小值．
解：(1)k 1＝30，k 2＝20，b ＝6 000；
(2)当0≤x<600时，
W ＝30x ＋(－0.01x 2－20x ＋30 000)
＝－0.01x 2＋10x ＋30 000.
∵－0.01<0，W ＝－0.01(x －500)2＋32 500，
∴当x ＝500时，W 取最大值为32 500元．
当600≤x≤1 000时，W ＝20x ＋6 000＋(－0.01x 2－20x ＋30 000)＝－0.01x 2＋36 000.
∵－0.01<0，
∴当600≤x≤1 000时，W 随x 的增大而减小，
∴当x ＝600时，W 取最大值为32 400元．
∵32 400<32 500，∴W 的最大值为32 500元；
(3)由题意，得1 000－x≥100，解得x≤900.
又x≥700，∴700≤x≤900.
∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，∴当x＝900时，W取最小值为27 900元．
L_J 中考数学探索性问题的解法 随着应试教育向素质教育的转轨，加强对学生各方面能力考察的题目成了近年来各省市中考试题中的热门问题，探索性问题便是其中一类应运血生的新题型, 这?类问题对培养学生的创造性思维、想象能力和探索能力有很大帮助。探索性问题又可分为结论探索型和存在探索型两种。 一、结论探索型问题 此类题型一般是在给定题设条件下探求结论，它要求学生在对题设条件或图形认真分析的基础上，进行归纳，大胆猜想，然后通过推理、计算获得结论。 例1、长方形的周长为24cm,面积为64cm2,则这样的长方体（） （A）有一个（B）有二个（C）有无数个（D）不存在 a + b = 12 解：设长方体的长为d,宽为b,贝U、址' = 64 a> b可视为X2—12x+64=0的两个根 ?/ △二（一12） 2-4 X 64 = 144-256V0 ?.?该方程无实根 即a、b不存在，因此选（D） a 例2、在宽为a的纸带中剪出直径为a的圆5个，直径为5的圆10个，排列方法如图1, 计算所用纸带长度，请考虑能否再设计一种排列方法，使所用纸带的长度比原排列 方法节省原材料？ ff ll 图 2
买?恩?收瓦潟暴 圈3 分析： 通过图1观察易发现图中虚线部分具有典型性，为计算方便，取具有典型的部分（图2）进行分析，计算出结果。 易知，在等腰三角形ABC中，BC边上的高为AD, ..a V2 a 今27+ 2 龙 4 = 4a + — + — a 十一+ 2a = - a ..?原排列方法使用纸带长为 2 2 4 4 通过计算启发我们，如果把小圆分别插到大圆中，采用如下的排列方法，（如图3）这时纸带长为 ,a , 72 ° a ,3 ,9」、 3+18>/2 3 2 2 4 4 24 4- A = （6-4很）a a 0.344a 可见改进后的排列方法比较合理 例3、如图6、有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的 顶点A、B、C、D同时出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速 度向点B、C、D、A移动。 （1）证明四边形PQEF是正方形； （2）PE是否总过某一定点，并说明理由； （3）四辿形PQEF的顶点位于何处时其面积有最大值、最小值，各是多少？ 解：（1）证明由己知易得△ AFP A BPQ A CQE A DEF, .\FP=PQ=QE=EF；又由ZBPQ=ZAFP,得匕BPQ+NAPF=NAFP+NAPF=90° , AZFPQ=90° ??四边形PQEF 是正方形。 （2）连结AC交PE于0, VAP=EC, AAPCE是平行四边形，0是AC的中点，即PR总过AC的中点0。 （3）由（2）知正方形ABCD与PQEF的对角线交点重合,因此,要使PQEF的面积最小，只需0P最小即可，所以由点。向ABCD的各边作垂线，其垂足就是各边的
探索性问题 一、探索性问题是指命题中缺少一定的题设或没有明确的结论,需要经过推断、补充、并加以证明的问题.其典型特点是不确定性.主要包括(1)条件探索型，(2)结论探索型，(3)存在性探索型等. 条件探索型是指结论已明确，需要探索发现使结论成立的条件的题目；结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；而存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。 探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注。 探索性问题解法，根据已知条件，从基础知识和基本数学思想方法出发，结合基本图形，抓住本质联系进行探究，常用观察、试验、联想、归纳、类比等方法，进行分析、归纳、猜想、比较、推理等，直到得出答案。题目的答案也是多种多样的，有的题目有唯一解，有的题无解，也有的题要分几种情况讨论。 解结论探索型题的方法是由因导果；解条件探索型的方法是执果索因；解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论。解题时应注意知识的综合运用。 二、理解掌握 例一、已知：（如图）要使ΔABC ∽ΔAPB ，需要添加的条件是_____（只填一个）.(答案： ∠ABP=∠C,或∠ABC=∠APC,或AB 2=AP ·AC) 说明：该图是初二几何的基本图形，是解决其他问题的基础，应牢记。 例二、如图， ☉O 与☉O1外切于点T ，AB 为其外公切线，PT 为内公切线，AB 与PT 相交于点P,根据图中所给出的已知条件及线段,请写出一个正确结论,并加以证明.(本题将按正确答案的难易程度评分) A B C P
2010年中考数学中的存在性问题 一、存在性问题的内涵 所谓存在性问题是指根据题目所给的条件，探究是否存在符合要求的结论．存在性问题是相对于中学数学课本中有明确结论的封闭型问题而言的．存在性问题可抽象为“已知事项M，是否存在具有某种性质的对象Q。”解题时要说明Q存在，通常的方法是将对象Q构造出来；若要说明Q不存在，可先假设存在Q，然后由此出发进行推论，并导致矛盾，从而否定Q的存在。此类问题的叙述一般是“是否存在……，如果存在，请求出……（或请证明）；如果不存在，请说明理由．” 二、存在性问题的解决策略 1、直接求解法 存在性问题是探索型问题中的一种典型性问题．存在性问题探索的方向是明确的．探索的结果有两种：一种是存在：另一种是不存在．直接求解法就是直接从已知条件入手，逐步试探，求出满足条件的对象，使问题得到解决的解法。 2、假设求解法 先假设结论存在，再从已知条件和定义，定理，公理出发，进行演绎推理；若得到和题意相容的结论，则假设成立，结论也存在；否则，假设不成立，结论不存在。即假设结论存在，根据条件推理、计算，如果求得出一个结果，并根据推理或计算过程每一步的可逆性，证得结论存在；如果推得矛盾的结论或求不出结果，则说明结论不存在． 三、中考数学中的存在性问题的类型 1、定性分类 （1）肯定型存在性问题 肯定型存在性问题是解决其余两类存在性问题的基础，具体地构造出（或求出，寻找出）满足条件的数学对象，是证明肯定型存在性问题的主要方法。这种处理方法一般分为两大步，第一步是构造出满足要求的数学对象；第二步是通过验证，证明构造的对象满足问题的要求。 例1、(2010年陕西卷)问题探究 (1)请你在图①中做一条 ．．直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分； （2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。 问题解决 （3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处。为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由
2019版中考数学专题复习专题八综合应用（30）探索性问题教 案 教学目标 知识 技能 1.通过观察、类比、操作、猜想、探究等活动，了解探索性数学问题中的 常见四大类型,并体会解题策略. 2.能够根据相应的解题策略解决探索性问题. 3.使学生会关注探索性数学问题，提高学生的解题能力. 过程 方法 在探索性数学问题中，体会解题策略，渗透数学思想. 情感 态度 在通过对探索性数学问题的学习，使学生获取新知，并激发学生的学习兴 趣，鼓励其敢于探索创新. 教学 重点 条件探索型、结论探索型、规律探索型的问题. 教学 难点 对各探索型问题策略的理解. 二、【教学流程】 教学环节教学问题设计师生活动 二次 备课 知识回顾【回顾练习】 引入——探索性问题 1.请写出一个比5小的整数_____． 2. 观察下面的一列单项式：x，2 2x -，3 4x， 4 8x -，…根据你发现的规律，第7个单项式 为；第n个单项式为 3. 观察算式： 22 4135 -=?； 22 5237 -=?； 22 6339 -=? 给出问题 的条件,让解 题者根据条件 探索相应的结 论，并且符合 条件的结论往 往呈现多样 性． 根据条 件，结 合已学 知识、 数学思 想方 法，通 过分析 归纳逐 步得出 结论， 或通过 观察、
22 74311 -=?； ………… 则第n（n是正整数）个等式为________. 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D． 由以上两个条件可得________．(写出一个结论) 实验、猜想、论证的方法求解. 综合运【自主探究】 例1抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示， 根据这个函数图象，你能得到关于该函数的那些性 质和结论？ 例2（1）探究新知：如图①，已知△ABC与△ABD 的面积相等，试探究AB与CD的位置关系，并说明 理由． （2）结论应用：①如图②，点M，N在反比例函 此类图象信息 开放题，只有 认真观察图象 上所给的各个 数据及位置特 征，灵活运用 函数性质，才 能找出所有的 关系与结论， 数形结合是解 答此类问题的 重要数学思想 方法. 学生通 过探究 新知→ 应用新 知，培 养学生 的探究 应用能 力． 2 1 D C B A
第1讲 角的存在性处理策略 知识必备 一、一线三等角 1.如图1-1-1，o 90=∠=∠=∠E D ACB 且0 45=∠CAB →CBE ACD ??≌，此为 “一线三直角”全等，又称“K 字型”全等; 图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 图1-1-4 2.如图1-1-2，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ??∽，此为“一线三直角” 相似，又称“K 字型”相似; 3.如图1-1-3，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ??∽，此为更一般的“一线三等角”. 二、相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比； 相似三角形的对应线段成比例. 三、正切的定义 如图1-1-4，在ABC Rt ?中，b a A =∠tan ，即A ∠的正切值等于A ∠的对边与A ∠的邻边之比；同理，a b B = ∠tan ，则1tan tan =∠?∠B A ，即互余两角的正切值互为倒数. 方法提炼 一、基本策略：联想构造 二、构造路线 方式(一)：构造“一线三等角” 1.45o 角→构等腰直角三角形→造“一线三直角”全等，如图1-2-1； 图1-2-1 2.30o 角→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-2；
A 图1-2-2 3.tan α=k →构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-3； 4.“一线三等角”的应用分三重境界； 一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1-2-4所示的“同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的“异侧型一线三等角”； 二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题； 三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6及图1-2-7所示； 方式 （二）：构造“母子型相似” “角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“母子型相似 ”，其核心结构如图1-2-8所示. 方式（三）：整体旋转法（ *） DAC DEA →DA 2=DC ?DE →DG 2+AG 2=DC ?DE 定 定 定 定 定 定 定 定 A A A 图1-2-3 图1-2-4 图1-2-5 图1-2-6 图1-2-7 图1-2-8
2021届中考数学压轴题提升训练：圆中证明及存在性问题【含答案】【例1】.如图，已知⊙A的半径为4，EC是圆的直径，点B是⊙A的切线CB上一个动点，连接AB交⊙A于点D，弦EF∥AB，连接DF，AF. （1）求证：△ABC≌△ABF； （2）当∠CAB=时，四边形ADFE为菱形； （3）当AB=时，四边形ACBF为正方形. E F A D C B 【分析】（1）由EF∥AB，得∠EF A=∠F AB，∠CAB=∠AEF，又∠AEF=∠AFE，得：∠BAC=∠BAF，又AB=AB，AC=AF，证得△ABC≌△ABF；（2）连接FC，根据ADFE为菱形，确定出∠CAB的度数；（3）由四边形ACBF是正方形，得AB2AC2. 【解析】解：（1）∵EF∥AB， ∴∠EF A=∠F AB，∠CAB=∠AEF， ∵AE=AF， ∴∠AEF=∠AFE，∴∠BAC=∠BAF， 又AB=AB，AC=AF，∴△ABC≌△ABF（SAS）； （2）如图，连接FC， E F A D B ∵四边形ADFE是菱形，
∴AE=EF=FD=AD， ∵CE=2AE，∠CFE=90°， ∴∠ECF=30°，∠CEF=60°， ∵EF∥AB， ∴∠AEF=∠CAB=60°， 故答案为：60°； （3）由四边形ACBF是正方形，得AB2AC2. 【变式1-1】.如图，在△ABD中，AB＝AD，AB是⊙O的直径，DA、DB分别交⊙O于点E、C，连接EC，OE，OC． （1）当∠BAD是锐角时，求证：△OBC≌△OEC； （2）填空： ①若AB＝2，则△AOE的最大面积为； ②当DA与⊙O相切时，若AB2，则AC的长为． 【答案】（1）见解析；（2）1 2 ；1. 【解析】解：（1）连接AC， ∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BD， ∵AD＝AB，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝EC，
(探索性问题专题) 例3．（2006广东）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BC ∥OA ，OA ＝7，AB ＝4，∠ COA ＝60°，点P 为x 轴上的—个动点，点P 不与点0、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ． （1）求点B 的坐标； （2）当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标；（3）当点P 运动什么 位置时，使得∠CPD ＝∠OAB ，且AB BD ＝8 5 ，求这时点P 坐标． [解析]（1）；过C 作CD ⊥OA 于A ，BE ⊥OA 于E 则△OCD ≌△ABE ，四边形 CDEB 为矩形∴OD ＝AE ，CD ＝BE ∵OC ＝AB ＝4，∠COA ＝60°∴CD ＝ ，OD ＝2∴CB ＝DE ＝3∴OE ＝OD ＋DE ＝5又∵BE ＝CD ＝∴B （5 ， ） （2）∵∠COA ＝60°，△OCP 为等腰三角形∴△OCP 是等边三角形∴OP ＝OC ＝4∴P （4，0）即P 运动到（4，0）时，△OCP 为等腰三角形（3∵∠CPD ＝∠OAB ＝∠COP ＝60°∴∠OPC ＋∠DPA ＝120°又∵∠PDA ＋∠DPA ＝120°∴∠OPC ＝∠PDA ∵∠OCP ＝∠A ＝60° ∴△COP ∽△PAD ∴
OP OC AD AP =∵58BD AB =，AB ＝4 ∴BD ＝52 ∴AD ＝32 即 4372OP OP =-∴ 276OP OP -=得OP ＝1或6∴P 点坐标 为（1，0）或（6，0） 例6．（07山东滨州）如图1所示，在ABC △中，2A B A C ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在 BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动． （1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出OEF △为等腰 三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由． （2）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围． （3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图2），试探究直线EF 与O 的位置关系，并证明你的结论． 解：如图，（1）点E F ，移动的过程中，OEF △能成为45EOF ∠=°的等腰三角形．此时点E F ，的位置分 别是： ①E 是BA 的中点，F 与A 重 合．②BE CF ==．③E 与A 重合，F 是AC 的中 点． 图1 C 图2 B
专题40 存在性问题 ?解读考点 1．BC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由； （2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）． 【答案】（1）AB=B E；（2）BD=．
试题解析：（1）如图1，连结AE．∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB，∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF，∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，∴∠AEB=∠DEF=∠BAE，∴AB=BE； （2）如图2，连结AE．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠ADF=∠AEF，∵∠DAF=90°，∴∠DEF=90°，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB，∵∠ADF=∠AEF，∴∠DEB=∠AEF，在△BDE与△AFE中，∵∠DEB=∠AEF， ∠BDE=∠AFE，∴△BDE∽△AFE，∴BD DE AF FE = ，在直角△DEF中，∵∠DEF=90°， DE=kDF，∴ EF= =DF， ∴ BD m = =，∴ BD=． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．探究型；3．存在型；4．综合题；5．压轴题．2．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（2m，m），翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE，设点B的对应 点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C，F，D的抛物线为 c bx ax+ + =2 y． （1）求点D的坐标（用含m的式子表示）； （2）若点G的坐标为（0，﹣3），求该抛物线的解析式；
中考数学压轴题全面突破之四?三角形的存在性 题型特点 三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算． 解题思路 ①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系； ②分类讨论，画图； ③建等式，对结果验证取舍． 对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为： ①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形． ②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或 线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解． ③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关 系，用同样方法解决问题． 难点拆解 ①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线 k1； ②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合 一找相似建等式； ③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线 段长，借助函数或几何特征建等式． ④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．
1.（2012云南改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线错误！未找到引用源。 的图象经过点(2，4)，且与直线错误！未找到引用源。交于A，B两点．（1）求抛物线的函数解析式． （2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标． （3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
中考数学：存在性问题复习 二次函数中的图形构建及存在性问题 一、二次函数中有关面积的存在性问题 例1（10山东潍坊）如图所示，抛物线与x轴交于点x两点，与x轴交于点x以x为直径作x过抛物线上一点x作x的切线x切点为x并与x的切线x相交于点x连结x并延长交x于点x连结x (1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形x的面积为x求直线x的函数关系式； (3）抛物线上是否存在点x，使得四边形x的面积等于x的面积？若存在，求出点x的坐标；若不存在，说明理由. 答案：解：（1）因为抛物线与x轴交于点x两点，设抛物线的函数关系式为：x ∵抛物线与x轴交于点x ∴x ∴x 所以，抛物线的函数关系式为：x 又x 因此，抛物线的顶点坐标为x (2）连结x∵x是x的两条切线， ∴x∴x 又四边形x的面积为x∴x∴ x 又x∴x 因此，点x的坐标为x或x 当x点在第二象限时，切点x在第一象限. 在直角三角形x中， x ∴x∴x 过切点x作x垂足为点x ∴x 因此，切点x的坐标为x
设直线x的函数关系式为x将x的坐标代入得 x 解之，得 x 所以，直线x的函数关系式为 x 当x点在第三象限时，切点x在第四象限. 同理可求：切点x的坐标为x直线x的函数关系式为 x 因此，直线x的函数关系式为 x 或 x (3）若四边形x的面积等于x的面积 又x ∴x ∴x两点到x轴的距离相等， ∵x与x相切，∴点x与点x在x轴同侧， ∴切线x与x轴平行， 此时切线x的函数关系式为x或x 当x时，由x得，x 当x时，由x得，x 故满足条件的点x的位置有4个，分别是x x 说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数. 强化训练 ★1、（10广东深圳）如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x 轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）． (2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标； (3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标． 答案：（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程 ∴ x 解之得： x ；故x为所求 (2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点 设BD的解析式为x，则有 x ， x ， 故BD的解析式为x；令x则x，故x (3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，x 易知BN=MN=1，易求x x ；设x， 依题意有： x ，即： x 解之得：x，x，故符合条件的P点有三个： x ★2、．矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别为O(0，0)、B(0，3)、D(－
2019版中考数学专题复习 专题八 综合应用（30）探索性 问题当堂达标题 一、选择题 1.长方形的周长为24cm ，面积为64cm 2，则这样的长方体（ ）. A ．有一个 B.有二个 C.有无数个 D.不存在 2.用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n 个图形中小正方形的个数是 （ ）. 第3个图形 第2个图形第1个图形 A . 2n +1 B . n 2-1 C . n 2+2n D . 5n -2 3.观察下列关于x 的单项式，探究其规律： x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…按照上述规律，第xx 个单项式是（ ）. A ． xx x xx B ． 4029x 2014 C ． 4029x xx D ． 4031x xx 4. 请你计算：（1﹣x ）（1+x ），（1﹣x ）（1+x +x 2），…，猜想（1﹣x ）（1+x +x 2+…+x n ）的结果是（ ）. A ．1﹣x n +1 B ．1+x n +1 C ．1﹣x n D ．1+x n 二、填空题 5. 观察：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256… 通过观察用你所发现的规律写出2xx 的未位数是 . 6. 请观察下列等式的规律：11×3＝12(1－13)，13×5＝12(13－15)，15×7＝12(15－1 7)， 17×9＝12(17－19)，…，则11×3＋13×5＋15×7＋…＋1 99×101＝________． 7. 在数学活动中，小明为了求 21+221+321 +421+…+n 21的值（结果用n 表示），设计如图1所示的几何图形. （1）请你利用这个几何图形求 21+221+32 1 +421+…+n 21的值为 .
2017年数学中考专题《存在性问题》 题型概述 【题型特征】存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高.存在性问题按定性可分为:肯定型和否定型.存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能要求较高，并具备较强的探索性.正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验. 【解题策略】不同的存在性问题解法不同.下面按照解法及设问方式的不同将存在性问题分为代数方面的存在性问题(如方程根是否存在、最值是否存在等)、点的存在性问题(如构成特殊图形的点是否存在)并举例分析. (1)代数方面的存在性问题的解法思路是:将问题看成求解题，进行求解，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决此类问题的主要方法. (2)点的存在性问题的解法思路是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断;若导出矛盾，就做出不存在的判断. 真题精讲 类型一 代数方面的存在性问题 典例1 (2016·广东梅州)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2 y x bx c =++过 ,,A B C 三点，点A 的坐标是(3,0)，点C 的坐标是(0，－3)，动点P 在抛物线上. (1)b = ，c = ，点B 的坐标为 ;(直接填写结果) (2)是否存在点P ，使得ACP ?是以AC 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在，说明理由; (3)过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ,过点D 作x 轴的垂线.垂足为 F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标. 【解析】二次函数的图象及其性质，三角形中位线定理，应用数学知识综合解决问题的能力. 【全解】(1)－2 －3 (－1,0) (2)存在. 第一种情况，当以C 为直角顶点时，过点C 作1CP AC ⊥,交抛物线于点1P .过点1P 作 y 轴的垂线，垂足是M .如图(1)，
中考数学专题复习——存在性问题 一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线2 =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2 y x =-+. y x h k () 所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D. （1）写出h k 、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由； （3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 2.如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标； （3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P， 使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
二、二次函数中面积的存在性问题 3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线k y x = 相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2）， 点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积； （3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，写出点D 的坐标； 若不存在，说明理由． 4.如图，抛物线y ＝ax 2 ＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上， A （－2,0）， B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分） （2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） (4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，说明理由。
例谈中考数学中的探索性问题 本文通过对近年来中考数学试卷中的探索性问题的初探，阐述了探索性、开放性的试题是培养学生创新精神和实践能力豹重点，让学生通过分析，从中发现规律，归纳结论，对学生收集和处理信息能力、创造性思维能力要求都很高，突出了对学生探索、归纳、推理能力的考查。 培养创新精神和实践能力是当前推进素质教育的重点，探索性、开放性的试题是考查这种能力的一种题型，这类题目是开放型的，充满生机，涉及知识面宽，综合性强，要求学生有扎实的基础知识和熟练的基本技能。近年来，各省市中考数学命题都十分注重这类试题的设计，其数量和质量都逐年增加。现将这类试题略加分类和评析。 1探索算式规律问题 例1、(2009年长春市)用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为——(用含n的代数式表示)。 分析：这类题仅要求写出结果，并不要求写出推理过程。解这类题是以深刻地观察、分析、归结其图案变化规律为基础的。由已知的三个图案发现：正三角形的个数总是偶数个，而且逐渐多2个，于是得出第n个图案中正三角形的个数为2n+2． 例2：(2009年济南市)在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a，b)若规定以下三种变换： ①f(a，b)=(-a，b)，如f(1，3)=(-1，3) ②g(a，b)=(b，a)，如g(1，3)=(3，1) ③h(a，b)=(-a，-b)，如h(1，3)=(-1，-3) 按照以上变换有：f(g(2，-3))=f(-3，2)=(3，2) 那么f(h(5，-3))等于 A．(-5，-3)B．(5，3)C．(5，-3)D．(-5，3) 分析：这类题考查学生的观察、分析能力，不同的字母表示不同的坐标，学生必须严格按照字母的变化规律逐层分析，才能够得到正确答案。 f(h(5，-3))必须明确先变换h(5，-3)=(-5，3)
中考压轴题全等相似三角形存在性问题 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射． 动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写动点形成的全等、相似三角形存在性问题模拟题． 在中考压轴题中，动点形成的全等、相似三角形存在性问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类． 原创模拟预测题1．如图，一次函数4y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，过点A 作x 轴的垂线l ，点P 为直线l 上的动点，点Q 为直线AB 与△OAP 外接圆的交点，点P 、Q 与点A 都不重合． （1）写出点A 的坐标； （2）当点P 在直线l 上运动时，是否存在点P 使得△OQB 与△APQ 全等？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）若点M 在直线l 上，且∠POM =90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是1S 、2S ，求2 111S S +的值．
从中考探索性问题到课堂 探索能力的培养 Prepared on 22 November 2020
[初中数学论文] 从“中考探索性问题”到“课堂探索能力的培养” ——谈初三几何探索性复习课的初探 摘要：本文从探索“中考探索性问题”入手，阐述了教师如何设计探索性问题，如何在课堂上培养学生探究能力，提出了宁可少讲知识，也要探究，也要创新的观点。 关键词：探索性问题、探索能力、有效复习、创新 探索是人类认识客观世界过程中最生动，最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域 之中，它对培养学生思维的创造性、深刻性、发散性有着独特的要求。新课标指出，数学学习不仅 包括数学的一些现成的结果，还有包括这些结果的形成过程。探索性问题已成为课改思想的具体体 现的热点之一，纵观全国各地中考试题，探索性试题已成为中考压轴的主要题型来源。这些中考探 索性问题不仅可以考查学生发现问题、自主探究、解决问题等综合能力，暴露出学生在解题过程中 的思维品质，还能反馈学生对数学思想方法的掌握情况。这点中考探索性问题又是在新课程理念下 培养学生观察、实验、操作、归纳、猜想的直观思维能力和合情推理能力的好材料。 我们应重视探索。课堂上应重视对学生探索能力的培养。怎么培养对于我们这些长期受演绎论 证训练的教师来说，缺乏“探索能力”，很容易忽视直观思维的存在和作用，虽对“探索”有所重视，但 这重视只不过停留在由几道探索型题目组成的专题讲解上，在中考指挥棒下，很多老师的课堂由大 量的例题组成，大容量、大密度的满堂灌，根本没留出或没有充分的时间让学生探索，学生没有探 索，那“探索能力”的培养又从何谈起。 笔者从培养自身的探索能力入手，认真探索众多的中考探索性问题，从这些问题中受到启发， 试着利用改编、设计探索性问题，努力创设探索型几何复习课。以下是笔者觉得对自己启发较大的 几种探索性问题。 一、利用平移、旋转构造的探索性问题： “平移、旋转”是图形的基本变换，它对发展学生空间观念，丰富学生对空 间图形的认识与感受，使学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程。如下例：
中考百分百——备战2011中考专题 (探索性问题专题) 一、知识网络梳理 探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一 切学科领域之中，在数学中则更为普遍．初中数学中的“探索发现”型试题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作，从而定格于“条件——演绎——结论”这样一个封闭的模式之中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律． 通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型： 1．条件探索型——结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目． 2．结论探索型——给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目． 3．存在探索型——在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目． 4．规律探索型——在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目． 由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑： 1.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律． 2.反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致． 3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证． 以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用． 二、知识运用举例 （一）、条件探索型 例1．（2007呼和浩特市）在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E F G H ，，，，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD填加一个条件，使四边形EFGH成为一个菱形．这 个条件是__ ． A B D E F G H C
存在性问题 1.如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍； （3）连结OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N 在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．
4.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2. （1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC 的面积等于27，试求m的值.
的图象交于点A，且与x轴交于点B． 如图，已知一次函数y=－x+7与正比例函数y=x 3 （1）求点A和点B的坐标； （2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒． ①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？ ②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在， 请说明理由．
5.
答案：1. （1）由题意，可设抛物线的解析式为2 (2)1y a x =-+，∵抛物线过原点， ∴2 (02) 10a -+=， 14 a =- ． ∴抛物线的解析式为 21(2)14y x =--+21 4 x x =-+． （2）AOB △和所求MOB △同底不等高，3MOB AOB S S =△△且， ∴MOB △的高是AOB △高的3倍，即M 点的纵坐标是3-． ∴2 134 x x -=- +，即24120x x --=．解之，得 16x =，22x =-． ∴满足条件的点有两个：1(63)M -， ，2(23)M --，． （3）不存在．由抛物线的对称性，知 AO AB =，AOB ABO ∠=∠．
专题04 相切的存在性问题解题策略 专题攻略 一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形． 解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R、r、d，第二步分类列方程，第三步解方程并验根． 第一步在罗列三要素R、r、d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况． 二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形． 解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时d＝R列方程． 例题解析 例1．如图1-1，已知抛物线y＝x2－1与x轴相交于A、B两点． （1）有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值； （2）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？ 图1-1
例2．如图2-1，△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边上的高．如图2-1，A在原点处，点B 在y轴的正半轴上，点C在第一象限．若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面上滑动．如图2-2，设运动的时间为t秒，当B到达原点时停止运动．当以点C为圆心、CA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值． 图2-1 图2-2 例3．如图3-1，A(－5,0)，B(－3,0)，C(0, 3)，四边形OADC是矩形．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，以PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求运动时间t的值． 图3-1
第二轮复习 探索性问题 Ⅰ、综合问题精讲： 探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目． 探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直 角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】如图2－6－1，已知抛物线的顶点为A(O ，1)，矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B(0，2)，且其面积为8． (1)求此抛物线的解析式； (2)如图2－6－2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S 、R ． ①求证：PB ＝PS ； ②判断△SBR 的形状； ③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P 、S 、M 为顶点的三角形和以点Q 、R 、M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由． ⑴解：方法一：∵B 点坐标为(0，2)，∴OB ＝2， ∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4. ∴C 点坐标为(一2，2)．F 点坐标为(2，2)。 设抛物线的解析式为2 y ax bx c =++． 其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。