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数学试题(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。其中第Ⅱ卷第(22)-(24)题为选考题。其他题为必考题。考生作答时。将答案答在答题卡上。在本试卷上答题无效。

考试结束后。将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项:

1.答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2.选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号。非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。

3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4.保持卷面清洁,不折叠。不破损。

5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共12小题.每小题5分。在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U =R ,集合A ={x |(x +1)(x -3)≥0},B ={x |y =ln (x -2)},则集合B ∩

C U A 为 A .(-1,+∞) B .(3,+∞) C .(-∞,2)

D .(2,3)

2.若复数z 满足(3-4i )z =|4+3i |,则z 的虚部为

A .4

B .45

C .4i

D .45

i 3.设变量x 、y 满足|x |+|y |≤1,则x -2y 的最大值和最小值分别为

A .1,-1

B .2,-2

C .1,-2

D .2,-1

4.运行右面框图输出的S 是254,则①应为

A .n ≤5

B .n ≤6

C .n ≤7

D .n ≤8

5.4名同学到某景点旅游,该景点有4条路线可供游览,其中 恰

有1条路线没有被这4个同学中的任何1人游览的情况有

A .81种

B .36种

C .72种

D .144种

6.已知正项等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若3S =12,且2a 1,a 2,a 3+1成等比数列,则 n a =

A .3n +2

B .3n -2

C .2n -3

D .2n +3

7.已知

1cos 2sin cos ααα-=1,tan (β-α)=-13

,则tan (β-2α)= A .-1 B .0 C .18 D .12 8.给出下列四个结论:

①二项式621()x x

的展开式中,常数项是-15; ②由直线x =12,x =2,曲线y =1x 及x 轴所围成的圈形的面积是2ln2;

③已知随机变量ξ服从正态分布N (1,2

σ),P (ξ≤4)=0.79,则P (ξ≤-2)=

0.21;

④设回归直线方程为y =2-2.5x ,当变量x 增加一个单位时,y 平均增加2个单位.

其中正确结论的个数为

A .1

B .2

C .3

D .4

9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A .

173 B .154

C .172

D .174

10.如图,在△ABC 中,AN =13NC ,P 是BN 上的一点, 若AP uu u r =m AB uu u r +29

AC uuu r ,则实数m 的值为 A .19 B .13 C .1 D .3

11.已知双曲线M :22221x y a b -=和双曲线N :22

221y x a b

-=,其中b >a >0,且双曲线M 与N 的交点在两坐标轴上的射影恰是两双曲线的焦点,则双曲线M 的离心率是

A

.12 B

.12 C

.32 D

.32

12.已知函数f (x )=12

2,00x a x x x ????,??≤log >,若关于x 的方程f (f (x ))=0有且仅有一个实数解,则实数a 的取值

范围是

A .(-∞,0)∪(0,1)

B .(-∞,0)

C .(0,1)

D .(0,1)∪(1,+∞)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题.每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题.考生根据要求做答。

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.

13.设M (x 0,y 0)为抛物线C :2

x =8y 上一点,F 为抛物线C 的焦点,以F 为圆心、|FM | 为半径的

圆和抛物线C 的准线相交,则y 0的取值范围是______________. 14.下面有关函数f (x )=3sin (2x +

6

π)的结论中,不正确命题序号是__________. ①f (x )的周期为π ②f (x )在[3

π,23π]上是减函数 ③f (x )的一个对称中心是(512π,0)

④将f (x )的图象向右平移6

π个单位得到函数y =3sin2x 的图象.

15.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上,且AB =6,BC =O -ABCD 的体

积为______________.

16.若二次函数y =f (x )的图象经过点(0,10),导函数()f x '=2x -5,当x ∈(n ,n +1](n ∈N ﹡)时,

f (x )是整数的个数记为n a ,则n a =___________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤

17.(本小题满分12分)

在锐角△ABC 中,三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,

已知acsinC =(222a c b +-)sinB .

(Ⅰ)若∠C =6

π,求∠A 的大小; (Ⅱ)若a ≠b ,求cosB +cosC 的取值范围.

18.(本小题满分12分)

现有4位同学去参加夏令营活动,该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择.为增加趣 味性,约定:每

个同学通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目,掷出点数为1或2的人去参加甲项目,掷出点数大于2的人去参加乙项目.

(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲项目的概率;

(Ⅱ)求这4个人中去参加甲项目的人数大于去参加乙项目的人数的概率;

(Ⅲ)用X 、Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙项目的人数,记ξ=|X -Y |.求随机变量ξ的分布列

与数学期望E (ξ).

19.(本小题满分12分)

如图,四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的

菱形,∠BAD =60°,已知PB =PD =2,PA .

(Ⅰ)证明:平面BPD ⊥平面ABCD ;

(Ⅱ)若E 为AP 中点,求二面角A -EB -C 的余弦值.

20.(本小题满分12分)

已知椭圆C 1:22221y x a b +=(a >b >0)的短轴长为4,离心率为2

,其一个焦点在抛

物线C 2:2

x =2py (p >0)的准线上,过点M (0,1)

的直线交C 1于C 、D 两点,交C 2于A 、B 两点,

分别过点A 、B 作C 2的切线,两切线交于点Q .

(Ⅰ)求C 1、C 2的方程;

(Ⅱ)求△QCD 面积的最小值.

21.(本小题满分12分)

已知函数f (x )=(2x -3x +3)·x e ,定义域为[-2,t](t >-2),设f (-2)=m , f (t )=n .

(Ⅰ)试确定t 的取值范围,使得函数f (x )在[-2,t]上为单调函数;

(Ⅱ)求证:n >m ;

(Ⅲ)求证:对于任意的t >-2,总存在x 0∈(-2,t ),满足

00()x f x e '=22(1)3

t -,并确 定这样的x 0的个数.

22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲

如图,C 点在圆O 直径BE 的延长线上,CA 切

圆O 于A 点,∠ACB 平分线CD 交AE 于点F ,

交AB 于D 点.

(Ⅰ)求∠ADF 的度数;

(Ⅱ)若AB =AC ,求AC :BC .

23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系xOy 中,直线l 过点P (1,-5),且倾斜角为

3

π,以原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,半径为4的圆C 的圆心的极坐标为(4,2π). (Ⅰ)写出直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程;

(Ⅱ)试判定直线l 和圆C 的位置关系.

24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲

(Ⅰ)已知a 、b 为正实数,a ≠b ,x >0,y >0.试比较22a b x y +与2

()a b x y

++的大小,并 指出两式相等的条件;

(Ⅱ)a ,b ∈R +,2

2

12b a +=,求

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